第一章章末复习课 秋学期高中数学(人教版)选修1-1学案

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．命题及其关系的关注点(1)命题的四种形式的转换方法是首先确定原命题的条件和结论，然后对条件与结论进行交换、否定，就可以得到各种形式的命题．(2)命题真假的判断，可根据真(假)命题的定义直接推理判断，还可以根据互为逆否命题具有相同的真假性来判断．2．充分条件与必要条件的注意点(1)在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．(2)证明充要条件要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．3．简单的逻辑联结词的两个关注点(1)正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．(2)有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．4．否命题与命题的否定的注意点否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若¬p，则¬q”，其否定为“若p，则¬q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断．专题1命题及其关系对于命题正误的判断是高考的热点之一，应重点关注，命题正误的判断涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是高考的易失分点．命题正误的判断方法是：真命题要有依据或者给以论证；假命题只需举出一个反例即可．[例❶]给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的序号是________．解析：命题①的否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，是真命题；命题②的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，是假命题；当m>0时，Δ＝1＋4m>0，所以x2＋x－m＝0有实根，即命题③是真命题，故其逆否命题也是真命题．答案：①③归纳升华1．判断一个命题是真命题还是假命题，关键是看能否由命题的条件推出命题的结论，若能推出，则是真命题，否则为假命题．2．还可根据命题的四种形式之间的真假关系进行判断，即当一个命题的真假不易判断时，可以先把它转换成与它等价的命题(逆否命题)，再进行判断．[变式训练]给出下面三个命题：①函数y＝tan x在第一象限内是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③命题“若0<log a b<1，则a>b>1”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①是假命题，反例：x＝2π＋π6和π4，tan⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π＋π6＝33，tanπ4＝1，2π＋π6>π4，但tan⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π＋π6<tanπ4；②是假命题，反例：y＝1x是奇函数，但它的图象不过原点；③是“若a>b>1，则0<log a b<1”，由对数函数的图象及其单调性可知是真命题．答案：③专题2充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定是高考考查的热点内容，在高考试题中主要以选择题的形式出现．解决此类问题的关键是充分利用充分条件、必要条件与充要条件的定义，同时，丰富的数学基础知识是做好此类题目的前提．[例❷](1)(2016·上海卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2016·北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)a>1时，a2>1成立；a2>1时，有a>1或a<－1，即a>1不一定成立，所以“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件．(2)不妨设a，b都是非零向量．若|a|＝|b|，说明以向量a，b为邻边的四边形是菱形．若|a＋b|＝|a－b|，两边平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，化简得a·b＝0，即a⊥b，所以以a，b为邻边的四边形是矩形．由于菱形集合与矩形集合没有任何包含关系，故选D.答案：(1)A(2)D归纳升华判断充分条件和必要条件的方法1．定义法：根据充分条件和必要条件的定义直接判断．如本例中(1)．2．集合法：运用集合思想判断充分条件和必要条件也是一种很有效的方法，主要是通过集合范围的大小判断．3．等价命题法：利用原命题与它的逆否命题是等价命题的结论，有时可以很快地判断．如本例中(2)．[变式训练] 已知p ：x 2－8x －33＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0(a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：解不等式x 2－8x －33＞0，得p ：A ＝{x |x ＞11或x ＜－3}； 解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0，得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}．依题意p ⇒q 但q p ，说明AB .于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤11，1－a ＞－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ＜11，1－a ≥－3，解得0＜a ≤4，所以正实数a 的取值范围是0＜a ≤4.专题3 含逻辑联结词的命题用逻辑联结词“且”“或”“非”正确地表述数学内容是学习数学的基本要求．本内容在高考试题中，既可以以选择题、填空题的形式单独出现，又可以渗透到解答题中．掌握本部分内容的关键是弄清含“且”“或”“非”命题的真假判断方法，即“p ∧q ”有假则假，“p ∨q ”有真则真．¬p 与p 真假相反．[例❸] 设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1或a >2B ．0<a <1或a ≥2C ．1<a ≤2D ．1≤a ≤2解析：若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1.若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2.由题意，得：“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，a >2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a ≤2， 所以1<a ≤2.答案：C归纳升华解答这类问题的一般步骤1．求出命题p ，q 为真时参数的条件；2．根据命题p ∧q ，p ∨q 的真假判定命题p ，q 的真假；3．根据p ，q 的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．[变式训练] 已知命题p ：函数f (x )＝sin x ·cos x 的最小正周期为π；命题q ：函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图象关于原点对称，则下列命题中为真命题的是( )A ．¬pB ．(¬p )∨qC ．p ∧qD ．p ∨q解析：因为f (x )＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，其最小正周期为π，所以命题p 为真命题．因为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2的图象关于y 轴对称，所以命题q 为假命题，所以命题p ∨q 为真命题．答案：D专题4 全称命题与特称命题全称命题“∀x ∈M ，p (x )”强调命题的一般性，因此，(1)要判定它是真命题，需对集合M 中每一个元素x ，证明p (x )成立；(2)要判定它是假命题，只要在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)不成立即可．特称命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”强调结论的存在性，因此，(1)要判定它是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；(2)要判定它是假命题，需对集合M 中每一个元素x ，证明p (x )不成立．[例❹] 判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出命题的否定，并判断命题否定后的真假．(1)p ：∀ x ∈R ，x 2－6x ＋9≥0；(2)p ：所有的正方形都是矩形；(3)p ：∃ x 0∈R ，x 20＋2x 0＋8≤0；(4)p ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0；分析：本题中既有全称命题又有特称命题，对它们否定时要先改变量词，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，再否定结论．解：(1)是全称命题．¬p ：∃ x 0∈R ，x 20－6x 0＋9<0.因为对于任意的x ，x 2－6x ＋9＝(x －3)2≥0，所以¬p 为假命题．(2)是全称命题．¬p ：存在一个正方形，它不是矩形．正方形是特殊的矩形，所以¬p 为假命题．(3)是特称命题．¬p ：∀ x ∈R ，x 2＋2x ＋8>0.因为对于任意的x ，x 2＋2x ＋8＝(x ＋1)2＋7≥7>0，所以¬p 为真命题．(4)是特称命题．¬p ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，因为x ＝－1时，x 3＋1＝0，所以¬p 为假命题．[变式训练] 命题p ：∀ x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2.由已知条件知：p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有：⎩⎨⎧a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1， 当q 为真，p 为假时有：⎩⎨⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2， 综上所述，－2≤a <1或a >2.专题5 转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化、归结为在已学知识范围内可以解决的问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题都是在不断的转化中获得解决的．即使是数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想也都是转化思想的一种表现形式．[例❺] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且¬p 是¬q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解：因为¬p 是¬q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，所以q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， 所以p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以PQ ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10， 即m ≥9或m ＞9.所以实数m 的取值范围是m ≥9.归纳升华对于条件或结论是否定式的命题一般应用等价法．这里要注意“原命题⇔逆否命题”．本题中，¬p 是¬q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件，进而转化为研究p ，q 对应的集合之间的关系，求出实数m 的取值范围．[变式训练]已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．解：由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1，2]恒成立，所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.。