高二数学选修2-1 抛物线及其标准方程 ppt

2
1 1 .5 2 x
，
学习小结:
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.
3.p的几何意义是:
焦点到准线的距离
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
选做作业: 1.抛物线 y (A) (4, 0 )
16 x
2
的焦点坐标是( D )
L
H
M
几何画板观察
F
问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
探 究 ？
M
H
·
C
·
F
l e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
一、抛物线的定义:
（2000.全国）过抛物线 y
2
a x ( a 0 ) 的焦点F
作一条直线
Q 交抛物线于 P ， 两点，若线段 P F 与 F Q 的长分别为p , q ， 1 1 则 等于（ C ）
p q
1 2a
2
A. 2 a
B.
C. 4 a
D.
4 a
2
分析：抛物线 y a x ( a 0 )的标准方程为 x 焦点为
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x
图3
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解， 那么（ D） A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
(1)
y
(3)2y2 +5x =0
准线方程
(4)x2 +8y =0
2
焦点坐标
(2)
(3) (4)
x=-5 （5，0） 1 1 y= - — （0，—） 8 5 8 5 （- —，0） x= — 8 8 （0，-2） y=2
例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。
例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是 xy k .
归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
p 2
想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也
会使抛物线方程的形式简单 ？
y y y
﹒ ﹒ ﹒﹒
y
o
x
o
x
o
o
x
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
图 形
lห้องสมุดไป่ตู้
标准方程
焦点坐标
准线方程
y
O
F
l
O
x
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
)
y
P66思考：
二次函数 y a x 2 ( a 0 ) 的图像为什么 是抛物线？
y ax (a 0) x
2 2

1 a
y

1 a
2 p
当a>0时与当a<0时，结论都为：
焦 点 （ 0， ) 准 线 y = 4a 4a
1
1
y y=ax2
y=ax2+c y=ax2+bx+c
y
A
o
.F
B
x
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与 原点重合。
设抛物线的标准方程是 y
2
2
2 px( p 0)
，由已知条件
可得，点A的坐标是(0.5, 2.4) ，代入方程，得 即 p 5.76
2 .4
2 p 0 .5
所以，所求抛物线的标准方程是 y 焦点的坐标是 (2.88, 0)
y
f(x,y)=0
0
x
分析特例归纳定义
2、两者间的关系：点在曲线上

点的坐标适合于此曲线的方程
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P ( x 0 , y 0 )
在曲线C上的充要条件 是
f ( x0 , y0 ) 0
学习例题巩固定义
y
(3,2)
o
x
返回
2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
• 主要内容：
• 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题
• 重点和难点：
• 曲线和方程的概念
？
曲线和方程之间有 什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
第一、三象限角平分线
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
例2：解答下列问题，并说明理由： （1）判断点A（-4，3），B ( 3 2 , 4 ) ，C ( 5 , 2 否在方程 x 2 y 2 2 5( x 0 ) 所表示的曲线上。
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,
H
d
M
·
C
·
F
焦 点
准线
l e=1
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
即:若
MF d 1
,则点 M 的轨迹是抛物线.
那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?
（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2
②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上
结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y
A 0 2
x
分析特例归纳定义
定义
曲线的方程，方程的曲线
• 给定曲线C与二元方程f（x，y）=0， 若满足 • （1）曲线上的点坐标都是这个方程 的解 • （2）以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点 • 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条 曲线C的方程 • 这条曲线C叫做这个方程的曲线
2 2 2
y
· ·
M
0
满足关系：
x
（1）、如果M ( x 0 , y 0 )是圆上的点，那么 M ( x 0 , y 0 ) 一定是这个方程的解 （2）、如果M ( x 0 , y 0 )是方程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 的解，那么以它为坐标 的点一定在圆上。
分析特例归纳定义
l
点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
曲线 y
条件
方程
l x-y=0 得出关系： （1） l 上点的坐标都是方程x-y=0的解 0 x
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l上
分析特例归纳定义
（2）、方程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 表示如图的圆 图像上的点M与此方程 ( x a ) ( y b ) r 有什么关系？
二、标准方程的推导
解法一：以 L为 y 轴，过点 F 垂直于L 的直线为 x 轴建 立直角坐标系（如下图所示）,则定点F ( p , o ) 设动点 点 M ( x , y ) ，由抛物线定义得：
y
(x p) y
2 2
x
2
. M(X,y)
化简得：y
2
2 px
p
( p 0)
o
x
例1
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线：x =－
2 3 2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求 抛物线的标准方程 x 2 =－8 y 看图 （3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物 y 2 =－4 x 线的标准方程 看图 （4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程 2= 4 x或 x2= 9 y 看图 y 2 3
2.4.1抛物线及其 标准方程
喷泉
球在空中运动的 轨迹是抛物线规律, 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢? 二 次 函 数
y ax bx c ( a 0)
2
又到底是一条怎样的 抛物线?
复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条 定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
F (0, 1 4a ).

1 a
y
，其
y
Q
取特殊情况，即直线P Q 则 p q ，如图。
1 p 1 q 1 p 1 p 2 p
平行与 x 轴，
1 4a 1 4a
P
F
O
P F P M , p
x
N
故




4a