广州市天河区高一上期末数学试卷(有答案)
广东省广州高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设全集，集合M 满足，，则（ ） {}1,2,3,5,8U ={}1,8U M =ðA ． B ．C ．D ．1M ∈2M ∉3M ∈5M ∉【答案】C【分析】根据补集的定义求出，即可得到结果. {}235M =，，【详解】因为，所以， {}1,8U M =ð{}235M =，，则，所以C 正确. 3M ∈故选：C.2．对于实数，“”是“”的,,a b c a b >22ac bc >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 【解析】不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式的解集是（ ） 26190x x --<A ． B ．∅R C ．D ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式可化为，即，解得，26190x x --<29610x x -+>2(31)0x ->13x ≠故原不等式的解集为.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为（其中，k 是正常数）．已知0e ktW M -=0M 经过1h ，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间约为（结果精确到50%90%0.1h ，参考数据：）（ ） lg 20.3010≈A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【答案】B【分析】由题意可得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用e 0.5k -=()0.10.5t=0.5log 0.1t =换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知，所以，()00150%e kM M --=e 0.5k -=设过滤的污染物需要的时间为，则，90%t ()00190%e ktM M --=所以，()()0.1e e 0.5ttkt k--===所以. 0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈故选：B.5．已知函数的大致图象如图所示，则（ ）log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④A ．B ． a c b a +<+a d b c +<+C ．D ．b c a d +<+b d a c +<+【答案】A【分析】作直线，则由，可得，进而由不等式性质可以判断A 正1y =log 1a a =01c d a b <<<<<确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线，则由， 1y =log 1a a =可得，01c d a b <<<<<则由不等式性质可得，所以A 正确.a cb a +<+由不等式可加性可得，故D 错误， a c b d +<+不能推出B 、C ，故B 、C 错误. 故选：A.6．方程的实数解所在的一个区间是（ ）e 410x x -+=A ．B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设，()e 41xf x x =-+，，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭()00e 40120f =-⨯+=>，，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+=<=< ⎪⎝⎭所以，所以存在，使，()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x =所以方程的实数解所在的一个区间是.e 410x x -+=1,12⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.7．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ） π2π(,0)4-A ．B ．)πsin(42y x =+)πcos(42y x =-C ． D ．tan(π2)y x =+|sin(π2)|y x =+【答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】，函数的最小正周期为；当时，，则此函c πsin(4)os 42y x x =+=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-数在区间上单调递增，故A 错误；π(,0)4-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间s πcos(4)in 42y x x =-=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-上是单调递减，在区间上是单调递增，故B 错误；(,π48)π--()π8,0-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间tan(π2)tan 2y x x =+=π2)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-上单调递增，故C 错误； π(,0)4-，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=sin 2y x =ππ2；当时，，，则此函数在区间上单调递减，故)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-|sin 2|sin 2y x x ==-π(,0)4-D 正确. 故选：D.8．设，，，则 3log 2a =5log 3b =8log 5c =A ． B ．C ．D ．b ac <<a b c <<b<c<a c<a<b 【答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】由对数性质，可得：，(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即；5851log 3log 5log 8∴<=b c <而，，3332log 2log log 3a ==<=5552log 3log log 3b ==>=综上所述，. a bc <<故选：B.【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题，则（ ） 2:R,10p x x x ∀∈-+>A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的否定是“” 2R,10x x x ∀∈-+=C ．命题p 是假命题 D ．命题p 的否定是“”2R,10x x x ∃∈-+≤【答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】，则命题p 是真命题；2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭命题p 的否定是“”，故A 、D 正确． 2R,10x x x ∃∈-+≤故选：AD ．10．已知幂函数的图象过点，则（ ） ()y f x =(A ． B ．的值域是 ()12f x x =()f x [0,)+∞C ．是偶函数 D ．在上是减函数()f x ()f x (0,)+∞【答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可. 【详解】设，()f x x α=∵的图象过点，∴，∴，()y f x =(1233α==12α=∴，从而可得，的定义域为，值域是，既不是奇函数也不是偶函12()f x x =()f x [0,)+∞[0,)+∞()f x 数，在上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误. [0,)+∞故选：AB.11．已知，且，则（ ）5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ππ32x <<A ． B ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12cos 132π3x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ． D ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭5cos 135π6x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得，．由cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断A ；由结sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦合诱导公式计算求解可判断B ；由结合诱导公式计算求解可判断C ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断D. πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】由得，则，.ππ32x <<ππ063x -<-<12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故A 错误； 12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故D 正确. 5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：BCD.12．已知，则（ ） 01a b <<<A ．B ． b a a b <log log a b b a >C ．D ．log log 2a b b a +>sin(sin )sin a b <【答案】ACD【分析】由的单调性可得，由的单调性可得，从而可判断A ；由x y a =b a a a <a y x =a a a b <的单调性可得，从而可判断B ；由基本不等式可log ,log a b y x y x ==log log ,log log a a b b a b a b ∴>>判断C ；利用结论：当时，，可判断D.π(0,)2x ∈sin x x <【详解】在上单调递减，又，在上0< 1,x a y a <∴=(0,)+∞,b a a b a a <∴<0,a a y x >∴= (0,)+∞单调递增，由得，，故A 正确；a b <a a a b <b a a b ∴<由可知在上均单调递减，，01a b <<<log ,log a b y x y x ==(0,)+∞log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，故B 错误； log 1log a b b a ∴<<由，可知，因此01a b <<<lg lg log 0,log 0lg lg a b b ab a a b=>=>，当且仅当取等号，但已知，故等号不lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=a b =01a b <<<成立，从而得，故C 正确；log log 2a b b a +>当时，．，，又在单调递π(0,2x ∈sin x x <π012a b <<<< π0sin 2a a b ∴<<<<sin y x =π(0,2增，所以，故D 正确． sin(sin )sin sin a a b <<故选：ACD ．三、填空题13．若函数的定义域为A ，函数的定义域为B ，则A ∩B =______. ()f x =()()lg 2g x x =-【答案】()1,2-【分析】先求得集合，再利用交集定义即可求得. AB 、A B ⋂【详解】的定义域为； ()f x =()1,-+∞函数的定义域为， ()()lg 2g x x =-(),2-∞则. A B = ()1,2-故答案为：()1,2-14．已知，则__________.tan 2a =()2sin cos αα-=【答案】##0.215【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可． 【详解】．()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++故答案为：.15四、双空题15．函数的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线1101x y a a a -=+>≠(，)上，则的最小值为______. 100)mx ny m n +=>>(，21m n+【答案】 ； 8(1,2)【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得的最小值. 21m n+【详解】当时，，则函数的图象恒过定点， 1x =1112a -+=1101x y a a a -=+>≠(，)(1,2)P 点P 在直线上，可得， 100)mx ny m n +=>>(，2100)m n m n +=>>(，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当时等号成立）122m n ==故答案为：；8(1,2)五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是___________. π2【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， π2AA A 6πA BCB AC ===则等边三角形的边长，π16π23AB BC AC ====分别以点A 、B 、C 为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，,,AB BC AC 1π1π26224⨯⨯=等边的面积ABC A 1122S =⨯=所以莱洛三角形的面积是π3224⨯-=六、解答题17．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求的值； sin cos αα+(2)求的值.sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++【答案】(1)；15-(2) 14【分析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值； sin cos αα、sin cos αα+（2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值. tan α【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合， 它的终边过点，则，34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭43sin ,cos 55αα=-=则；431sin cos 555αα+=-+=-（2）由（1）得，则，43sin ,cos 55αα=-=4tan 3α=-则 sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数.()a f x x x=+(1)若，判断的奇偶性，并说明理由；()15f =()f x (2)若，判断在上的单调性，并加以证明. ()43f =()f x (0,)+∞【答案】(1)是奇函数，理由见解析 ()f x (2)在上的单调递增，证明见解析 ()f x (0,)+∞【分析】（1）由求出，从而得，由函数奇偶性的定义求解即可； (1)5f =a ()f x （2）由求出，从而得，由函数单调性的定义进行判断证明即可. ()43f =a ()f x 【详解】（1）是奇函数，理由如下： ()f x ∵，且，∴，解得 ()af x x x=+()15f =15a +=4a =∴，定义域为 4()f x x x=+(,0)(0,)-∞+∞ 又 44()()(()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以为奇函数.()f x（2）在上的单调递增，理由如下：()f x (0,)+∞∵，且，∴，解得，∴ ()a f x x x=+()43f =434a +=4a =-4()f x x x=-设，则 120x x <<2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵，∴， 120x x <<21x x -0>12410x x +>故，即 21()()0f x f x ->21()()f x f x >所以在上的单调递增.()f x (0,)+∞19．已知函数的最小正周期为.1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈π(1)求的单调递减区间；()f x (2)求在区间上的最大值与最小值.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)在区间.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-【分析】（1）根据周期可以求出，进而求出的单调递减区间；2ω=()f x （2）根据求出，进而求出在区间上的最大值与最小值.π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可得，则， 2πT==πω2ω=则，1π()sin(223f x x =-所以的单调递减区间需要满足：， ()f x ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈解得， 5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈所以的单调递减区间为：. ()f x 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，1π()sin(2)23f x x =-因为，则，π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以，π1sin(232x ⎡-∈-⎢⎣则，1()4f x ⎡∈-⎢⎣所以在区间. ()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-20．已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． ||1()()2x f x a b =+()0,21y =(1)求函数的解析式：()y f x =(2)解关于x 的不等式． 3(ln )2f x <【答案】(1) ()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2) ()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点得的关系，根据图象无限接近直线但又不与该直线相交()0,2,a b 1y =求出，从而得解；b （2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点，得，()0,2()02f a b =+=∵函数无限接近直线，但又不与该直线相交， ||1()()2x f x a b =+1y =∴，从而，1b =1a =∴． ()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由得，即，则， 3(ln )2f x <|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭ln 1x >所以或，解得或． ln 1x <-ln 1x >10ex <<e x >所以不等式的解集为． 3(ln )2f x <()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的．现有三个奖励模型：，请分别判断这三个模型是否符合公司25%80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+的要求？并说明理由．（参考数据：，当时，1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈8x ≥恒成立）8log 10.25x x +≤【答案】奖励模型符合公司的要求，理由见解析8log 1y x =+【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数[10,1000]x ∈的最大值不超过5；③，根据函数的性质一一验证即可．25%y x ≤⋅【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数[10,1000]x ∈的最大值不超过5；③．25%y x ≤⋅对于，易知满足①，但当时，，不符合公司的要求；0.2y x =25x >>5y 对于，易知满足①，但当时，，不符合公司的要求； 1.02x y =82x ≥ 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=对于，函数在上单调递增，而且函数的最大值，因而满足8log 1y x =+[10,1000]8log 1000 3.3225≈<①②，因为当时，恒成立，所以当时，，满足8x ≥8log 10.25x x +≤[10,1000]x ∈8log 125%x x +<⋅③，故符合公司的要求．综上，奖励模型符合公司的要求．8log 1y x =+22．对于定义在上的函数,若存在实数,使得,则称是函数的一个不动点,I ()f x 0x I ∈()00f x x =0x ()f x 已知有两个不动点,且2()2(0)f x ax x a =-+≠12,x x 122x x <<(1)求实数的取值范围；a (2)设，证明：在定义域内至少有两个不动点.[]()log ()a F x f x x =-()F x 【答案】(1) 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到的两个实数根为，设，根据二次函数210ax x -+=12,x x 2()1p x ax x =-+的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把可化为，设的两个实数根为，根据()F x x =()2log 22a ax x x -+=2()220p x ax x =-+=,m n 是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可1x =()g x x =()2()220n n h n a an n a =--+=>()h x 求解．【详解】（1）因为函数有两个不动点，()f x 12,x x 所以方程，即的两个实数根为，()f x x =2220ax x -+=12,x x 记，则的零点为和，2()22p x ax x =-+()p x 1x 2x 因为，所以，即，解得， 122x x <<(2)0a p ⋅<(42)0a a -<102a <<所以实数的取值范围为． a 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）因为 ()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程可化为，即 ()F x x =()2log 22a ax x x -+=2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设，因为，所以有两个不相等的实数根． 2()22p x ax x =-+10,4(12)02a a <<∆=->()0=p x 设的两个实数根为，不妨设．2()220p x ax x =-+=,m n m n <因为函数图象的对称轴为直线，且2()22p x ax x =-+1x a=， 1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-<=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以． 121m n a a<<<<记， ()2()22x h x a ax x =--+因为，且，所以是方程的实数根，(1)0h =(1)0p a =>1x =()F x x =所以1是的一个不动点，()F x ，()2()220n n h n a an n a =--+=>因为，所以，且的图象在上的图象是不间断曲102a <<24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭()h x 2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦线，所以，使得， 0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00h x =又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点， ()p x 2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0()0p x p n >=0x ()F x 综上，在上至少有两个不动点． ()F x (,)a +∞。
广东省广州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，，（ ） {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =A B = A ． B ． C ． D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,4【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】因为集合，， {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =所以. {}2,3,4A B = 故选：D2．下列函数为增函数的是（ ） A ．B ．()f x x =()2xf x =C ．D ．()2f x x =()0.5log f x x =【答案】B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数，函数在上单调递减，在定义域R 上不单,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩()f x (,0]-∞调，A 不是；对于B ，函数在R 上单调递增，B 是；()2x f x =对于C ，函数在上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是； 2()f x x =(,0]-∞对于D ，函数在上单调递减，D 不是. 0.5()log f x x =(0,)+∞故选：B3．设a ，，则“”是的（ ） R b ∈0a b <<11a b>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】因为， 11b a a b ab--=所以当时，，0a b <<0,0ab b a >->所以即， 110b a a b ab --=>11a b >当时，取，得不到， 11a b>1,1a b ==-0a b <<所以是充分不必要条件， 0a b <<11a b>故选:A.4．已知，，，则（ ） 3log 0.3a =0.33b =0.50.3c =A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．c a b <<b c a <<【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】，，， 33log 0.3log 10a =<=0.30331b =>=0.5000.30.31c <=<=所以. a c b <<故选：B5．已知是第四象限角，且，则（ ）θ()3sin π5θ+=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．7177-17-【答案】A【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. tan θ【详解】由得：，即，而是第四象限角，()3sin π5θ+=3sin5θ-=3sin 5θ=-θ则有，， 4cos 5θ===sin 3tan cos 4θθθ==-所以. π3tan tan1π144tan(π3471tan tan 1()144θθθ+-++===---⨯故选：A 6．已知，则的最小值为（ ）0x <21x x--A ．B ．4C ．D ．11【答案】D【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为，则，， 0x <11x ->22(1)11111x x x x -=+--≥-=--当且仅当，即 211x x=--1x =所以的最小值为. 21x x--1-故选：D7．已知，，则的值为（ ） 1cos cos 2αβ+=1sin sin 3-=αβ()cos αβ+A ． B ．C ．D ．1372-13725972-5972【答案】C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】， ()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=两式相加得， ()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++. ()59cos 72αβ∴+=-故选：C.8．已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x 范围为（ ）A ．B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出()y f x =范围作答.1234x x x x 【详解】函数，当时，单调递增，，2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩1x ≤-()ln()f x x =--()0f x ≤当时，单调递减，，10x -<<()ln()f x x =-()0f x <当时，在上递减，在上递增，，0x ≥2()f x x x =-1[0,]21[,)2+∞1()4f x ≥-作出函数的部分图象，如图，()y f x =方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<y a =()y f x =图象有4个公共点， 观察图象知，，，104a -<<123411012x x x x <-<<<<<<显然有，且，由得，12|ln()||ln()|x x --=--341x x +=12|ln()||ln()|x x --=--12ln()ln()0x x -+-=即，则有，因此，12ln()0x x =121=x x 21234333111(1)()(0,)244x x x x x x x =-=--+∈所以的取值范围为.1234x x x x 1(0,4故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.二、多选题9．下列函数为奇函数的是（ ） A ． B ．()21f x x =()3f x x =C ．D ． ()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()1f x x x=+【答案】BCD【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答. 【详解】对于A ，函数的定义域为，，是偶函()21f x x =(,0)(0,)-∞+∞ 21()()()f x f x x -==-()f x 数，A 不是；对于B ，函数的定义域为R ，是奇函数，B 是；()3f x x =()f x 对于C ，函数中，，解得，即的定义域为， 1()ln(1x f x x+=-101xx +>-11x -<<()f x (1,1)-，是奇函数，C 是；11()ln(ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-()f x 对于D ，函数的定义域为，，是奇函数，1()f x x x =+(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x x f x x-=-+=--()f x D 是. 故选：BCD10．下列命题为真命题的是（ ） A ．任意两个等边三角形都相似 B ．所有的素数都是奇数 C ．， D ．，R x ∀∈0x x +≥R x ∃∈210x x -+=【答案】AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，60 A 正确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误； 对于C ，因为，，即，C 正确；R x ∀∈||x x ≥-||0x x +≥对于D ，因为，，D 错误.R x ∀∈221331(0244x x x -+=-+≥>故选：AC11．记函数，，其中．若，则（ ） ()()sin 2f x x ϕ=+x ∈R π2ϕ≤π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．为奇函数D ．为奇函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解π2x =π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭π2ϕ=-π2析式或，分两种情况计算出，及判断和()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为，所以为的对称轴， π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ5662πx =+=()f x 故，A 错误；ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 选项，，解得：，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈ππ,Z 2k k ϕ=-+∈因为，所以，解得：， π2ϕ≤ππππ222k -≤-+≤01k ≤≤因为，所以或1，Z k ∈0k =当时，，当时，，0k =π2ϕ=-1k =π2ϕ=故或，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，B 正确； ()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛此时不满足，不是奇函数，1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭不满足，不是奇函数，C 错误； 1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，为奇函数，()f x ()sin 4sin 4x x -=-当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，即，()f x ()sin 4sin 4x x --=()()f x f x -=-为奇函数，D 正确. ()f x 故选：BD12．已知正实数x ，y ，z 满足，则（ ） 3515x y z ==A ． B ． x y z +=xz yz xy +=C ．D ．3515x y z>>24xy z >【答案】BCD【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 13515x y z t ==>=,,x y z 【详解】是正实数，令，则，,,x y z 13515x y z t ==>=3515log ,log ,log x t y t z t ===， 111log 3,log 5,log 15t t t x y z ===对于A ，，A 错误； ln ln ln ln15ln15ln 5ln 3()(2(24ln 3ln 5ln15ln 3ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+>对于B ，因为，则，B 正确；111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==xz yz xy +=对于C ，因为，则，即，35153515<<3515log 3log 5log 15t t t <<3log 35log 515log 15t t t <<因此，即有，C 正确； 3515x y z <<3515x y z>>对于D ，， 2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅=⋅=⋅<==因此，D 正确. 24xy z >故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题13．若函数只有一个零点，则实数a 的值为_____________．()22f x x x a =-+【答案】1【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数只有一个零点，()22f x x x a =-+所以解得. 440a ∆=-=1a =故答案为:1. 14．计算_____________． 01331log log 120.60.24-+-+=【答案】5【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案. 【详解】. 0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭故答案为：.5四、双空题15．已知函数，分别由下表给出， ()f x ()g x x0 1 2()f x 1 2 1x 0 1 2 ()g x 2 1 0则_____________；满足的x 的值是_____________． ()1f g ⎡⎤⎣⎦=()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣【答案】 2 1【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算、即可作答. [()]f g x [()]g f x 【详解】依题意，；()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，，，，[(0)](2)1f g f ==[(0)](1)1g f g ==()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦[(1)](2)0g f g ==，，因此当且仅当时，成立，[(2)](0)1f g f ==[(2)](1)1g f g ==1x =()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦所以满足的x 的值是1. [()][()]f g x g f x >故答案为：2；1五、填空题16．已知，（且），若对任意的，都存在()221f x x x =--()log a g x x =0a >1a ≠[]11,2x ∈-，使得成立，则实数a 的取值范围是_____________． []22,4x ∈()()12f x g x <【答案】(1,2)【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. ()f x []1,2-【详解】当时，，则， []1,2x ∈-2()(1)2f x x =--max ()(1)2f x f =-=因为对任意的，都存在，使得成立， []11,2x ∈-[]22,4x ∈()()12f x g x <因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， ()f x []1,2-()g x []2,4而当时，，，不符合题意，01a <<[]2,4x ∈log 0a x <于是，函数在上单调递增，则，即，解得，1a >()log a g x x =[]2,4log 42a >214a <<12a <<所以实数a 的取值范围是. (1,2)故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， ()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，故.[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min min f x g x <六、解答题17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点． ()3,4P -(1)求的值；tan α(2)求的值．2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++【答案】(1)；43-(2). 11-【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答. （2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答. 【详解】（1）角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点， α()3,4P -所以.4tan 3α=-（2）由（1）知，，4tan 3α=-所以. 42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+18．已知函数，且，．()x b f x x a -=-()124f =()235f =(1)求函数的解析式；()f x (2)根据定义证明函数在上单调递增．()f x ()2,-+∞【答案】(1) ()12x f x x -=+(2)证明见解析【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取，计算判断的符号即可证明单调性.122x x >>-()()12f x f x -【详解】（1）由已知，解得，()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩21a b =-⎧⎨=⎩； ()12x f x x -∴=+（2）任取， 122x x >>-则，()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，即， ()()120f x f x ∴->()()12f x f x>函数在上单调递增.∴()f x ()2,-+∞19．已知函数．ππ())sin()sin cos 44f x x x x x =+-+(1)求函数的最小正周期； ()f x (2)在中，若，求的最大值． ABC A π()1212A f -=sin sinBC +【答案】(1)； π【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.()f x （2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答. 【详解】（1）依题意，πππ1ππ1()sin()sin[()]sin 2)cos()sin 24242442fx x x x x x x =+-++=+++， π11π2)sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x =++==+所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由（1）知，， ππππ()sin[2()]sin()121221236A A f A -=-+=+=在中，，有，于是，解得，则， ABC A 0πA <<ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =2π3BC +=， 2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=+=+显然，，因此当，即时，， 2π03B <<ππ5π666B <+<ππ62B +=π3B =max (sin sin )BC +=所以sin sin B C +20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径，()100m OP =圆心角，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记，矩形ABCD 的π4POQ ∠=POC α∠=面积为． ()2m S(1)将面积S 表示为角的函数；α(2)当角取何值时，S 最大？并求出这个最大值．α【答案】(1)； ππ5000,044S αα=+-<<(2)，. π8α=2max 5000(m )S =- 【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答. α（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，在中，，则， Rt OBC △π2OBC ∠=sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，在中，，则， cos 100cos OB OC POC α=∠=Rt OAD △ππ,24OAD POQ ∠=∠=OA AD =因此， 100(cos sin )AB OB OA αα=-=-100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-， 2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21)50004αααααα=-=+-=+-所以面积S 表示为角的函数是. αππ)5000,044S αα=+-<<（2）由（1）知，当时，，则当，即时，π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=π8α=， max π[sin(2)]14α+=所以当时，. π8α=2max 5000(m )S =21．已知函数的最大值为． ()cos 22sin 2f x x a x a =++12-(1)求a 的值：(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x 的集合．x ∈R ()f x 【答案】(1)1a =-(2)最小值为-5，的取值构成的集合为 x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【详解】（1）()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a =++=-++，22sin 2sin 21x a x a =-+++令，则，对称轴， []sin 1,1t x =∈-2()2221f t t at a =-+++02a t =当即时， 012a t =≤-2a ≤-在单调递减，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以不满足题意； max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-当即时， 112a-<<22a -<<在单调递增，单调递减， 2()2221f t t at a =-+++1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦所以， 22max 1()()21222a a f t f a a ==-+++=-即解得或（舍）；2430a a ++=1a =-3a =-当即时， 012a t =≥2a ≥在单调递增，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以， max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-解得不满足题意， 18a =综上.1a =-（2）由(1)可得在单调递增，单调递减， 2()221f t t t =---11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦所以当时函数有最小值为，1t =(1)2215f =---=-此时，则的取值构成的集合为. sin 1t x ==x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭22．已知函数，其中e 为自然对数的底数，记．()()e R x f x x =∈()()()g x f x f x =+-(1)解不等式；()()26f x f x +≤(2)若存在，使得成立，求实数k 的取值范围．(0x ∈()()20021g x k g x =⋅-【答案】(1)；(,ln 2]-∞(2) 37(,49【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.0e x 【详解】（1）函数，则不等式化为：，即，()()e R x f x x =∈()()26f x f x +≤2e e 6x x +≤2e e 60x x +-≤，而，因此，解得，(e 3)(e 2)0x x +-≤e 0x >0e 2x <≤ln 2x ≤所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞（2）依题意，，当时，，()e e x x g x -=+0x∈0e x ∈，则， 0000002202202))e e )e e 1e e)1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-0021)(1e e x x k -=-+令，，， 0e x t =∈001e e ()x x h t t t-+==+(1212,,t t t t ∀∈<，因为，则， 1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--121t t <<121210,10t t t t-<->因此，即，则有函数在上单调递增，12()()0h t h t -<12()()h t h t <()h t (于是当时，，， t ∈12t t <+≤002e e x x -<+00294(e e )2x x -<+≤，从而， 0022119e e )4(x x -≤<+3749k <≤所以实数k 的取值范围是． 37(,49【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。
广东高一上学期期末数学试题(解析版)
数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5,6U ={}1,2,3A ={}3,4,5B =()UA B ⋂=ðA. B. C.D.{}4,5,6{}4,6{}6{}4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据补集和交集的概念可得答案.【详解】由已知，又，{}4,5,6=U A ð{}3,4,5B =.(){}U 4,5B A ∴= ð故选：D.2. 命题“，”的否定是（ ）ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-A. ，B. ，2ππ,2x ⎛⎫∀∉- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x -≤C. ，D. ，ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x <-【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是“，”. ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤故选：C.3. 已知函数的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（ ） ()()2sin 0f x x ωω=>A.1ω=B. 函数是奇函数()f x C. 当时，函数在上是减函数，在上是增函数 []0,2x π∈()f x []0,π[],2ππD. 当时，在上是增函数，在，上是减函数[],x ππ∈-()f x ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD 【解析】【分析】由周期公式判断A ；根据定义判断B ；根据正弦函数的单调性判断CD. 【详解】因为函数的最小正周期为2π，所以，故A 正确；()()2sin 0f x x ωω=>2π2π,1ωω==，定义域为，，即函数是奇函数，故B()2sin f x x =R ()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-()f x 正确；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递增，在[]0,2x π∈()2sin f x x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误； 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递减，在[],x ππ∈-()2sin f x x =,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误； ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：CD4. 已知a ，b 是实数，且，则“”是“”的（ ） 0a b +≠0a b +>a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】因为满足，但不满足，故充分性不满足； 2,1a b ==-0a b +>a b +≥因为等价于，所以，a b +≥20≥0,0a b ≥≥因为，所以不同时为0， 0a b +≠,a b 所以能得到，故必要性满足，0a b +>所以“”是“”的必要不充分条件 0a b +>a b +≥故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） 12a=2log b =5log 3c =,,a b c A. B. c<a<b a c b <<C. D.c b a <<a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可. 【详解】函数在上单调递增，log (1)a y x a =>()0,∞+，221log log 2b a =>==，55log 31log 2a c ==>=，2453311log log 3log 3log 4log 5b c ===>==.a cb ∴<<故选：B.6. 已知是第二象限的角，，则的值是（ ） α23sin sin cos 2ααα-=cos αA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于sin ,cos αα2cos α的方程，求出，进而可得，则可求.tan αtan ααcos α【详解】是第二象限的角，αQtan 0,cos 0αα∴<≠， 2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα--∴-===++解得，tan 1α=-， 3π2π,Z 4k k α∴=+∈. cos α∴=故选：A.7. 下列函数中，最小值为2的是（ ） A. ()1f x x x=+B. ()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D. ()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可. 【详解】对于A ：当时，，A 错误； =1x -()12f -=-对于B ：， ()2212sin 22sin f x x x =+≥=当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B 错误； 2212sin 2sin x x=2sin 2x =()2f x ∴>对于C ：，当且仅当，即时等号成立，C 正确； ()2e e x x f x -+=≥=e e =x x -0x =对于D ：当时，，当且仅当1x >()11111311f x x x x x =+=-++≥+=--111x x -=-，即时等号成立，D 错误； 2x =故选：C.8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（ ）A. B.()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C. D.()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f xg x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +()10-,，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()12211212121212f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾； 0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） ()0,∞+A. B. cos y x =2y x =-C .D. y x =21y x =【答案】BD 【解析】【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ：是偶函数，但在上不是单调函数，A 不符； cos y x =()0,∞+对于B ：是偶函数，且在上单调递减，B 符合； 2y x =-()0,∞+对于C ：是偶函数，且在上单调递增，C 不符； y x =()0,∞+对于D ：是偶函数，且在上单调递减，D 符合. 221y x x-==()0,∞+故选：BD.10. 设实数a ，b 满足，则下列不等式中正确的是（ ）01b a <<<A.B.11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.ln ln a b >b b a b <【答案】BC 【解析】【分析】选项A ：做差判断；选项BCD ：构造函数，利用函数单调性判断.【详解】对于A ：，，，()()111b a ab a b a b ab --⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭01b a <<< 0,10,0b a ab ab ∴-<->>，即，A 错误； 110a b a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭11a b a b +<+对于B ：函数在上的单调递减，又，，B 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R b a <1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：函数在上的单调递增，又，，C 正确； ln y x =()0,∞+b a <ln ln a b \>对于D ：函数在上的单调递增，又，，D 错误； ,0b y x b =>()0,∞+b a <b b a b ∴>故选：BC.11. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 cos 0θ>B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 cos 0θ>C. 终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D. 已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； cos 0θ>对于B ，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 0θ=cos 10θ=>对于C ，终边在x 轴上的角的集合为，故错误； {},Z k k ααπ=∈对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，βr 则，解得，故正确 224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩21r β=⎧⎨=⎩故选：AD12. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩A.1a =B.1a =-C. 函数是偶函数 ()1y f x =+D. 关于x 的不等式的解集为 ()12f x >()0,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a 的值，判断A ，B ；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C ；分段解不等式可得不等式的解集，判断D. ()12f x >【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足， 1x =()f x ()2()f x f x -=则当时，则，故，则， 1x >21x -<2,222x a a x x a a x ---∴--=-=1a =同理当时，则，故，则， 1x <21x ->2,222a x x a a x x a -+--+=∴=-1a =综合可知，A 正确；B 错误.1a =将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩()1,R y f x x =+∈则的图象关于y 轴对称，故为偶函数，C 正确；()1y f x =+()1y f x =+当时，，令，解得，故； 1x ≥1()2x f x -=1212x->2x <12x ≤<当时，，令，解得，故，1x <1()2x f x -=1122x ->0x >01x <<综合可得，即不等式的解集为，D 正确，02x <<()12f x >()0,2故选：ACD【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数_____________． ()()2log 2f x x =-+【答案】 [)3,2-【解析】【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知得，解得， 22090x x ->⎧⎨-≥⎩32x -≤<即函数. ()()2log 2f x x =-+[)3,2-故答案为：. [)3,2-14. 已知，，则_____________． 12sin cos 25αα=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα-=【答案】## 751.4【解析】【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案. sin cos αα-()2sin cos αα-【详解】， π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，即，sin 0,cos 0αα∴><sin cos 0αα->又， ()21249sin cos 12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⨯-=⎪⎝⎭. 7sin cos 5αα∴-=故答案为：. 7515. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是()y f x =R 0x ≥()f x =0x <()f x _____________．【答案】()f x =【解析】【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.【详解】函数在上为奇函数，且当时，()y f x =R 0x ≥()f x =当时，，0x <0x ->，()()f x f x ∴=--=故答案为：.()f x =16. 对于函数和，设，，若存在使得，则()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=,,αβ1αβ-≤称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与()f x ()g x ()()ln 23f x x x =-+-互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为_____________．()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +【答案】1,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知()f x 3α=31β-≤24β≤≤方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得()()22log 1x a -+⋅2log 3x +[]2,4，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.2231log log a x x+=+a 【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， ()()ln 23f x x x =-+-()2,+∞()30f =3α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，31β-≤24β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +[]2,4即方程在区间上存在实数根，()()22log 1x a -+⋅2log 30x +=[]2,4整理可得：， ()22222log 331log log log x a x xx++==+令，则， 2log ,12t x x =≤≤31a t t +=+根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又()3h t t t=+⎡⎣2⎤⎦()14,h h ==(2)h =则314a t t ⎡⎤+=+∈⎣⎦据此可知实数的取值范围是. a 1,3⎡⎤-⎣⎦故答案为：1,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算： （1）；()110520.01321π---++（2）．3log 22log 8lg 2lg 53++-【答案】（1）5（2）2【解析】 【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()110520.01321102125π---+=---=【小问2详解】 ．()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=18. 已知集合，． {}20log 3A xx =≤≤∣{}08B x x =<<（1）求：A B ⋃（2）若集合，且，求实数a 的取值范围{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆【答案】（1）{}08x x <≤（2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A 中元素范围，然后直接求即可；A B ⋃（2.【小问1详解】 ，又，{}{}20log 318A x x x x =≤≤=≤≤ ∣∣{}08B x x =<<；{}08A B x x ∴⋃=<≤【小问2详解】，，，{}18A x x =≤≤ ∣{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆， 198a a ≤⎧∴⎨+≥⎩解得.11a -≤≤19. 如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点αβαA ，将射线OA 绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B ，且射线OB 是角的终π2β边．（1）求的值； ()()sin cos 23πco πs πsin 2αββα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）若点A ，求的值． ()tan πβ-【答案】（1）1（2） 12【解析】【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；,αβ（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.sin ,cos αα,αβ【小问1详解】由已知， π2π,Z 2k k αβ=++∈； ()()()sin cos sin sin sin sin cos sin 213πcos cos cos sin cos πsi π2ππ2n cos c 22os π2πk k αββαβββαββαβββββ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∴⎛⎫++==⎭-=-=--+ ⎪⎝⎛-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎪⎫+ ⎝⎭【小问2详解】若点A ，则sin αα===. ()2sin t π2πcos 12πsin cos 2πan πt 2an k k βαβααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝-=-=-⎭20. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19为了描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，()Q t a t b =⋅+②，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+③， ()tQ t a b =⋅④．()log b Q t a t =⋅（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m 的最()Q t []0,m 大值．【答案】（1）选择，理由见解析，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+()220110Q t t t =-+（2）20【解析】【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待()Q t 定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m 的最大值【小问1详解】由表中数据可知，先单调递减后单调递增，()Q t 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， ()Q t a t b =⋅+()tQ t a b =⋅()log b Q t a t =⋅因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+由表格数据可得，解得，2221977101010111111a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩120110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，经检验其他几组数据也满足表达式 ()220110Q t t t =-+【小问2详解】由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ()()21010Q t t =-+10t =，所以()()()()22001010110,20201010110,Q Q =-+==-+=()()21010101010Q =-+=，1020m ≤≤所以实数m 的最大值为2021. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<时，列表并填入了部分数据，如下表： x π6- π3x ωϕ+0 π2 π 3π2 2π()f x 1 －1（1）求函数的解析式；()f x （2）当时，求函数的最大值及相应的x 值； ,4π11π12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x （3）求关于x 的不等式的解集．()2f x >【答案】（1） ()2sin 21f x x ⎛=++ ⎝（2）最大值3，或 11π12x =-π12x =（3） πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值； x π23x +（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可.【小问1详解】由表可得，解得，π06ππ3sin 013πsin 12A B A B ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=-⎪⎩2π321A B ωϕ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩； ()π2sin 213f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，， 11π124πx -≤≤5ππ2π2336x -≤+≤ π1sin 213x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当或，即或时，函数取最大值3； ∴π3π232x +=-ππ232x +=11π12x =-π12x =()f x 【小问3详解】关于x 的不等式，即， ()2f x >π2sin 2123x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， π1sin 232x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭， ππ5π2π22π,Z 636k x k k ∴+≤+≤+∈， ππππ,Z 124k x k k ∴-+≤≤+∈关于x 的不等式的解集为. ∴()2f x >πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦22. 已知函数（a 为常数，）．()22x x f x a -=⋅-R a ∈（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m ()f x [)2,0x ∈-()()220f x mf x --≥的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2） 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；()()=f x f x -()()f x f x -=-a （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设()22x x f x -=--22x x m -≥+[2,0)x ∈-12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 ()1t t t ϕ=+()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【小问1详解】函数的定义域为，，()22x x f x a -=⋅-R ()22x x f x a --=⋅-当时，即，解得，()()=f x f x -2222x x x x a a --⋅-=⋅-()(1)220x x a -+-=1a =-所以时，函数是偶函数，1a =-()f x 当时，即，解得，()()f x f x -=-()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-()(1)220x x a --+=1a =所以时，函数是奇函数，1a =()f x 综上所述，当时，函数是奇函数；1a =()f x 当时，函数是偶函数；1a =-()f x 当时，函数是非奇非偶函数1a ≠±()f x 【小问2详解】为偶函数，根据（1）可知()f x 1,()22.x x a f x -=-=--对于任意的，都有成立，故即[2,0)x ∈-(2)()20f x mf x --≥()22222220x x x x m --------≥， ()()22222x x x x m --+≤+因为，所以对恒成立，220x x -+>22x x m -≥+[2,0)x ∈-设，， 12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭()1t t t ϕ=+任取，且，即， 121,,14t t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12t t <12114t t ≤<<则 ， ()()()12121212121111t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121t t t t t t t t t t t t ---=-+=因为，所以，可得，即 12114t t ≤<<12120,1t t t t -<<()()120t t ϕϕ->()()12t t ϕϕ>所以在上为减函数，，故 ()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 117()44t ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭174m ≥所以实数m 的取值范围是 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立；()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立；()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。
广州市天河区高一上期末数学测试卷((含答案))
2019-2020学年广东省广州市天河区高一（上）期末测试数学试卷一、选择题1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A ∩（∁U B ）=（ ） A ．{1，2，5，6} B ．{1，2，3，4} C ．{2} D ．{1}2．（5分）直线x ﹣y+3=0的倾斜角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°3．（5分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．f （x ）=2x B ．f （x ）=logx C ．f （x ）= D ．f （x ）=﹣x|x|4．（5分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=，AA 1=1，则异面直线AD 与BC 1所成角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．（5分）已知直线l 1的方程为Ax+3y+C=0，直线l 2的方程为2x ﹣3y+4=0，若l 1与l 2的交点在y 轴上，则C 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．±4D ．与A 有关6．（5分）设a=40.1，b=log 30.1，c=0.50.1，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a7．（5分）已知圆x 2+y 2+2x ﹣2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a 的值是（ ） A ．﹣4 B ．﹣3 C ．﹣2 D ．﹣18．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．2π+4D ．3π+49．（5分）函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）过点A （3，5）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（ ） A ．x=3或3x+4y ﹣29=0 B ．y=3或3x+4y ﹣29=0 C ．x=3或3x ﹣4y+11=0 D ．y=3或3x ﹣4y+11=011．（5分）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，则此球的体积等于（ ）A ．π B ．π C ．π D ．8π12．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ﹣2）=f （﹣x ），③在[﹣1，1]上表达式为f （x ）=，则函数f （x ）与函数g （x ）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8二、填空题13．（5分）函数y=ln （1﹣2x ）的定义域是 ． 14．（5分）设函数f （x ）=，则f （f （﹣4））= ．15．（5分）若直线（a+1）x+ay=0与直线ax+2y=1垂直，则实数a= ．16．（5分）已知α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列四个结论中，正确的有 （填写所有正确结论的编号） ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ③若a ∥β，m ⊂α，则m ∥β； ④若m ⊥n ．m ⊥α，n ∥β，则α⊥β三、解答题17．（10分）已知平面内两点A （8，﹣6），B （2，2）． （Ⅰ）求过点P （2，﹣3）且与直线AB 平行的直线l 的方程；（Ⅱ）求线段AB 的垂直平分线方程．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA=2，E 是侧棱PA 的中点． （1）求证：PC ∥平面BDE （2）求三棱锥P ﹣CED 的体积．19．（12分）已知函数f （x ）=2x +2ax （a 为实数），且f （1）=． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）判断函数f （x ）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，CAB=90°，AB=AC=2，AA 1=，M 为BC 的中点，P 为侧棱BB 1上的动点． （1）求证：平面APM ⊥平面BB 1C 1C ；（2）试判断直线BC 1与AP 是否能够垂直．若能垂直，求PB 的长；若不能垂直，请说明理由．21．（12分）已知半径为的圆C ，其圆心在射线y=﹣2x （x ＜0）上，且与直线x+y+1=0相切．（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点P （x 0，y 0））向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求△PMC 面积的最小值，并求此时点P 的坐标． 22．（12分）已知a ∈R ，函数f （x ）=log 2（+a ）． （1）若f （1）＜2，求实数a 的取值范围；（2）设函数g （x ）=f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x+2a ﹣5]，讨论函数g （x ）的零点个数．广东省广州市天河区高一（上）期末测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题B）=（）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UA．{1，2，5，6} B．{1，2，3，4} C．{2} D．{1}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，B={2，3，4}，∴∁B={1，5，6}，U又∵A={1，2}，B）={1}，∴A∩（∁U故选：D．2．（5分）直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．150°【解答】解：设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，∴tanθ=，∵θ∈[0，π），∴θ=60°．故选C．3．（5分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=log x C．f（x）=D．f（x）=﹣x|x|【解答】解：对于A，B，非奇非偶函数；对于C，是奇函数，不是定义域上的减函数；对于D，在其定义域上既是奇函数又是减函数，故选：D．4．（5分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=，AA 1=1，则异面直线AD 与BC 1所成角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解答】解：如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A （），D （0，0，0），B （，0），C 1（0，，1），=（﹣），=（﹣，0，1），设异面直线AD 与BC 1所成角为θ，则cosθ===．∴θ=30°．∴异面直线AD 与BC 1所成角为30°． 故选：A ．5．（5分）已知直线l 1的方程为Ax+3y+C=0，直线l 2的方程为2x ﹣3y+4=0，若l 1与l 2的交点在y 轴上，则C 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．±4D ．与A 有关【解答】解：直线2x ﹣3y+4=0与y 轴的交点（0，）， 代入直线Ax+3y+C=0，可得4+C=0，解得C=﹣4． 故选B ．6．（5分）设a=40.1，b=log 30.1，c=0.50.1，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a【解答】解：∵a=40.1＞1，b=log 30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故选：B．7．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣2a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣2a=2+4，∴a=﹣2，故选：C．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D9．（5分）函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．【解答】解：函数在（0，+∞）上单调递增．因为，，，，所以，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为．故选D ．10．（5分）过点A （3，5）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（ ） A ．x=3或3x+4y ﹣29=0 B ．y=3或3x+4y ﹣29=0 C ．x=3或3x ﹣4y+11=0 D ．y=3或3x ﹣4y+11=0【解答】解：由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：（2，3）；1， 当切线的斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为：kx ﹣y ﹣3k+5=0，由点到直线的距离公式可得：=1解得：k=，所以切线方程为：3x+4y ﹣29=0； 当切线的斜率不存在时，直线为：x=3，满足圆心（2，3）到直线x=3的距离为圆的半径1， x=3也是切线方程； 故选A ．11．（5分）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，则此球的体积等于（ ）A ．π B ．π C ．π D ．8π【解答】解：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，∴AA 1=∴AA 1=2，∵BC=，AC=1，∠ACB=90°，△ABC外接圆的半径R=1，∴外接球的半径为=，∴球的体积等于=π，故选：C．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，其交点个数为6个．故选：B．二、填空题13．（5分）函数y=ln（1﹣2x）的定义域是{x|x＜} ．【解答】解：根据题意：1﹣2x＞0∴x＜故答案为：{x|x＜}14．（5分）设函数f（x）=，则f（f（﹣4））= 3 ．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣4）=（）﹣4﹣7=9，f（f（﹣4））=f（9）==3．故答案为：3．15．（5分）若直线（a+1）x+ay=0与直线ax+2y=1垂直，则实数a= 0或﹣3 ．【解答】解：当a=0时，两条直线方程分别化为：x=0，2y=1，此时两条直线垂直，因此a=0满足条件．当a≠0时，两条直线的斜率分别为﹣，﹣，而﹣•（﹣）=﹣1，此时a=﹣3．综上可得：a=0或﹣3．故答案为：0或﹣3．16．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个结论中，正确的有②③（填写所有正确结论的编号）①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若a∥β，m⊂α，则m∥β；④若m⊥n．m⊥α，n∥β，则α⊥β【解答】解：①若m∥α，n∥α，则m与n的关系不确定，故错误；②如果m⊥α，n∥α，那么平面α内存在直线l使，m⊥l，n∥l，故m⊥n，故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β，故正确；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β的关系不确定，故错误；故答案为：②③．三、解答题17．（10分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．【解答】解：（Ⅰ）因为，…（2分）所以由点斜式得直线l的方程4x+3y+1=0…（4分）（Ⅱ）因为AB的中点坐标为（5，﹣2），AB的垂直平分线斜率为…（6分）所以由点斜式得AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23=0…（8分）18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE（2）求三棱锥P﹣CED的体积．【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，∴O是AC中点，∵E是侧棱PA的中点，∴OE∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA=2，E 是侧棱PA 的中点，∴PA ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵PA ∩AD=A ，∴CD ⊥平面PAD ，∵S △PDE ===，∴三棱锥P ﹣CED 的体积V P ﹣CED =V C ﹣PDE ===．19．（12分）已知函数f （x ）=2x +2ax （a 为实数），且f （1）=．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）判断函数f （x ）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．【解答】解：（1）∵f （x ）=2x +2ax （a 为实数），且f （1）=．∴f （1）=2+2a =．得2a =，即a=﹣1，则函数f （x ）的解析式f （x ）=2x +2﹣x ；（2）f （﹣x ）=2﹣x +2x =﹣（2x ﹣2﹣x ）=f （x ），则函数f （x ）是偶函数．（3）设0≤x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）=﹣﹣+=（﹣）（1﹣）=（﹣），∵y=2x 是增函数，∴﹣＜0，当x ＞0时，＞1，则﹣1＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），函数f （x ）是增函数．20．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，CAB=90°，AB=AC=2，AA 1=，M 为BC 的中点，P 为侧棱BB 1上的动点．（1）求证：平面APM ⊥平面BB 1C 1C ；（2）试判断直线BC 1与AP 是否能够垂直．若能垂直，求PB 的长；若不能垂直，请说明理由．【解答】证明：（1）∵在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，CAB=90°， AB=AC=2，AA 1=，M 为BC 的中点，P 为侧棱BB 1上的动点．∴AM ⊥BC ，AM ⊥BB 1，∵BC ∩BB 1=B ，∴AM ⊥平面BB 1C 1C ，∵AM ⊂平面APM ，∴平面APM ⊥平面BB 1C 1C ．解：（2）以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， B （0，2，0），C1（2，0，），A （0，0，0），设BP=t ，（0）， 则P （0，2，t ），=（2，﹣2，），=（0，2，t ），若直线BC 1与AP 能垂直，则， 解得t=， ∵t=＞BB 1=，∴直线BC 1与AP 不能垂直．21．（12分）已知半径为的圆C ，其圆心在射线y=﹣2x （x ＜0）上，且与直线x+y+1=0相切．（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点P （x 0，y 0））向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求△PMC 面积的最小值，并求此时点P 的坐标．【解答】解：（1）已知圆的半径为，设圆心C （a ，﹣2a ）（a ＜0）， ∵圆心到直线x+y+1=0的距离d=， ∴a=﹣1．∴圆心C （﹣1，2）．则圆的方程为：（x+1）2+（y ﹣2）2=2；（2）点P （x 0，y 0），则PO=，PM=， 由|PM|=|PO|，得2x 0﹣4y 0+3=0，PM=PO====．当时，PM=．因此，PM 的最小值为．△PMC 面积的最小值是：=． 此时点P 的坐标为（，）．22．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log（+a）．2（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．2【解答】解：（1）若f（1）＜2，则log（1+a）＜2，2即0＜1+a＜4，解得：a∈（﹣1，3）；[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，则f（x）=log2即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，①当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，即a=4时函数g（x）有一个零点；②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，即a=3时函数g（x）有一个零点；③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，方程有两个根，x=﹣1，或x=，当x=﹣1时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，当x=时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2a﹣4，当a＞2时，满足条件，综上可得：1＜a≤2时，函数g（x）有一个零点；a＞2且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点；。
广东省高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ） {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =()U A B = ðA ． B ． C ． D ．{1}{1,5}{3}{1,3}【答案】D【分析】根据集合的补集与交集运算即可.【详解】解：已知全集，集合，， {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =所以，则. {}1,2,3U B =ð(){}1,3U A B = ð故选：D.2．“”是“”的（ ） 0x =20x x +=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件定义判断.【详解】充分性：当时，，充分性成立；0x =20x x +=必要性：解得或，必要性不成立；故为充分不必要条件 20x x +=0x ==1x -故选：A3．已知实数a ，b ，c 满足，则下列不等式一定成立的是（ ） 0a b c >>>A ． B ．C ．D ． 22a c b c >c c b a >b a c c<11a b b a+>+【答案】D【分析】利用作差法逐项判断可得答案.【详解】因为a ，b ，c 满足，所以，，，0a b c >>>0a b ->0ab >0a b +>对于A ，，所以，故A 错误；()()220a c b c c a b a b -=+-<22a c b c <对于B ，，所以，故B 错误；()0--=<c a b c c b a abc c b a <对于C ，，所以，故C 错误； 0b a b ac c c --=>b a c c>对于D ，，所以，故D 正确；()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab 11a b b a +>+故选：D.4．已知，则下列结论正确的是（ ）3sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ． B ．4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ． D ． 4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭24sin 35πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】C【分析】由诱导公式、同一三角函数的平方关系和商数关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，，所以A 不正确；4cos 35πθ⎛⎫-==± ⎪⎝⎭对于B ，，3cos =cos =cos =sin 6232335ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以B 不正确；对于C ，由B 知，，所以，3cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin 65πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭则，所以C 正确；4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭对于D ，. 23sin sin sin sin 33335ππππθπθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以D 不正确. 故选：C. 5．函数，的值域是（ ） ()222x xf x -=[]1,2x ∈-A ． B ．C ．D ．(]8-∞，1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(]0,8【答案】B【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域.()[]222,1,g t x x x ∈-=-()g t ()f x 【详解】令，()[]222,1,g t x x x ∈-=-则， ()()min max (1)1,(1)3,g t g g t g ==-=-=所以()[1,3]g t ∈-又在上单调递增，2x y =R 所以()1322f x -≤≤即()182f x ≤≤故选：B.6．设函数，若关于x 的方程有4个不等实根，则a 的取值范围是()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =（ ） A ． B ．C ．D ．(0,2][0,2)(0,2)[0,2]【答案】A【分析】根据图象的对称变换画出函数的图象，数形结合即可求解. ()f x 【详解】函数的图象如图所示，()fx关于x 的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交()f x a =()y f x =y a =点，所以. 02a <≤故选：A.7．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为x y ､1110x y +-=0xy >490x y t +-≥t （ ） A ．9 B ．25C ．16D ．12【答案】B【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实x y ､数的最大值.t 【详解】由得，1110x y +-=111x y +=又因为，所以实数均是正数，0xy >x y ､若不等式恒成立，即；490x y t +-≥min (49)t x y≤+， 114949132954x y y x x y y x ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭（）当且仅当时，等号成立；55,23x y ==所以，，即实数的最大值为25. min (49)25t x y ≤+=t 故选：B.8．函数是定义在R 上的偶函数，且当时，的解()f x 0x ≥()f x =()()1f x x -≥集为（ ） A ． B ．C ．D ．(],1-∞-1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,0-11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先根据函数的解析式可得，再结合偶函数的性质与单调性求解即()()2,R f x x x =∈可.【详解】因为是定义在R 上的偶函数，故当时，()f x 0x <()()f x f x =-=又当时，； 0x ≥()()2f x x ===当时，， 0x <()()2f x x ===故.()()2,R f x x x =∈故即，()()1f x x -≥()()12f x f x -≥结合偶函数性质与的单调性可得，()f x =12x x -≥即，，解得.()()2212x x -≥()()3110x x -+≤11,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知函数的图象关于点对称，则（ ）()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π,06⎛⎫⎪⎝⎭A ．π6ϕ=B ．直线是曲线的一条对称轴 5π12x =()y f x =C ．()()πf x f x +=D ．在区间上单调递增()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据求得，结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ【详解】依题意，ππsin 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于，所以，A 选项错误.ππ4π0π,333ϕϕ<<<+<π2ππ,33ϕϕ+==则，()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以直线是曲线的一条对称轴，B 选项正确.5π5π2π3πsin sin 112632f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π12x =()y f x =的最小正周期，所以，C 选项正确. ()f x 2ππ2T ==()()πf x f x +=由得，所以不是的递增区间，D 选项错误.π02x <<2π2π5π2333x <+<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 故选：BC10．下列说法正确的是（ ） A ．任取，都有 x ∈R 43x x >B ．函数的最大值为113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数（且）的图象经过定点()1xf x a =+0a >1a ≠()0,2D ．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称3xy =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭x 【答案】BC【分析】A 选项：利用特殊值的思路，令，即可得到A 不成立；B 选项：根据函数0x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性求最大值即可；C 选项：将代入到的解析式中验证即可；D 选项：求出函数()0,2()f x 图象关于轴对称后的解析式即可判断D 选项.3x y =x 【详解】A 选项：当时，，故A 错；0x =00431==B 选项：函数在上单调递增，上单调递减，所以1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩(),0∞-()0,∞+，故B 正确； 0max113y ⎛⎫== ⎪⎝⎭C 选项：令，则，所以的图象恒过，故C 正确； 0x =()02f =()f x ()0,2D 选项：函数图象关于轴对称后的解析式为，故D 错.3xy =x 133xxy ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭故选：BC.11．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“，”的否定为“，” x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++>B ．“或”是“”的必要不充分条件 2x ≠3y ≠5x y +≠C ．已知，，则,,a b c ∈R 22ac bc <a b <D ．当时，的最小值是π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +【答案】BC【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，命题“，”的否定为“，”， A 选项错误. x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++≤B 选项，若“或”，如，，则，即“”不成立； 2x ≠3y ≠1x =4y =5x y +=5x y +≠若“”，则“或”，5x y +≠2x ≠3y ≠所以“或”是“”的必要不充分条件，B 选项正确、 2x ≠3y ≠5x y +≠C 选项，由于，，则，所以，C 选项正确. ,,a b c ∈R 22ac bc <20c >a b <D 选项，，，()π0,,sin 0,12x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +≥=但D 选项错误. 2sin ,sin sin x x x==故选：BC12．设，关于函数，给出下列四个叙述，其()31xf x =-()()()()()22R g x f x m f x m m ⎡⎤=-++∈⎣⎦中正确的有（ ）A ．任意，函数都恰有3个不同的零点 0m >()g xB ．存在，使得函数没有零点 R m ∈()g xC ．任意，函数都恰有1个零点 0m <()g xD ．存在，使得函数有4个不同的零点 R m ∈()g x 【答案】AC【分析】画出函数的图像，利用函数的零点()31xf x =-转化为函数图像的交点逐项分析.【详解】如图的图像：()31xf x =-令()()0f x t t =≥所以化为：()()()()()2[]2R g x f x m f x m m =-++∈，()()22h t t m t m =-++令，()0h t =由()222440m m m ∆+-=+>=所以有两个不同的实数根，()220t m t m -++=设为：，12,t t 所以，12122,t t m t t m +=+=由 ()()()12121211110t t t t t t --=-++=-<所以121t t <<选项A ：任意， 则如图所示：0m >有两个交点，即此时原函数有两个零点， 1()y t f x ==有一个交点，即此时原函数有一个零点， 2()y t f x ==所以共3个不同的零点，故A 选项正确； ()g x 当时，，此时， 0m =120t t =122t t +=10t =22t =故此时函数有2个零点当时，由选项A 知有3个不同的零点； 0m >当时，，0m <120t t m =<有，此时函数有1个零点， 120,1t t <>所以函数至少有1个零点，故B 不正确； 由选项B ，可知C 正确；若存在，使得函数有4个不同的零点， R m ∈()g x 如图：则即：1201,01t t <<<<有两个交点，即原函数有两个零点， 1()t f x =有两个交点，即原函数有两个零点， 2()t f x =共4个零点；此时，121202,0t t t t <+<>当时，矛盾； 0m =12122,0t t t t +==当时，矛盾； 0m >122t t +>当时，矛盾， 0m <120t t <故D 选项错误. 故选：AC.三、填空题 13．____________. 5π19πcostan 225sin 36+︒+=【答案】1【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，直接得到答案.【详解】依题意，根据诱导公式，原式. π7π11cos tan 45sin113622⎛⎫⎛⎫=-++=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：114．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为()nf x x =()2,8()()210f x f x +-<x __________. 【答案】}{1x x <-【分析】先求出函数的解析式，再利用其单调性解不等式即可.【详解】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上()n f x x =(2,8)3n =3()f x x =3()f x x =R 是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得()()210f x f x +-<()()21f x f x <-21x x <-，故取值范围为.1x <-}{1x x <-故答案为： }{1x x <-15．下列命题中：①与互为反函数，其图象关于对称; 2x y =2log y x =y x =②函数的单调递减区间是；1y x=(,0)(0,)-∞+∞ ③当，且时，函数必过定点；0a >1a ≠()23x f x a -=-()2,2-④已知，且，则实数.()231a bk k ==≠121a b +=8k =上述命题中的所有正确命题的序号是______. 【答案】①③【分析】根据反函数、单调性、指数型函数图象所过定点、对数运算等知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①，因为与互为反函数，其图象关于对称；x y a =log a y x =y x =所以当时，与互为反函数，其图象关于对称，故命题①正确； 2a =2x y =2log y x =y x =对于②，由反比例函数可知，函数的单调递减区间是，故②错误；；1y x=(,0),(0,)-∞+∞对于③，因为，所以令，即，则，()23x f x a -=-20x -=2x =()22232f a -=-=-故过定点，故命题③正确；()f x ()2,2-对于④，因为，所以，()231a bk k ==≠23log ,log a k b k ==所以， 231111log 2,log 3log log k k a k b k====故由得，即，即，121a b+=log 22log 31k k +=()2log 231k ⨯=log 181k =所以，故命题④错误. 18k =故答案为：①③16．若对于任意，任意，使得不等式成立，则实数[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-x的取值范围是__________．【答案】()4,2-【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.【详解】因为对于任意,任意，使得不等式成立,[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-设,则()13t y y y =-+-()()2min 36x m x t y +--<又因为,所以.()()()13132t y y y y y =-+-≥---=()min 2t y =所以即()2362x m x +--<()2380x m x +--<设,()()223838g m x m x mx x x =+--=-++-对于任意,,应用一次函数性质可知[]1,1m ∈-()2380g m mx x x =-++-< ()()2213801380g x x x g x x x ⎧=-++-<⎪⎨-=++-<⎪⎩即得,解得 22280480x x x x ⎧+-<⎨+-<⎩2242x x ⎧--<<⎪⎨-<<⎪⎩则实数的取值范围是. x ()4,2-故答案为: .()4,2-四、解答题17．若集合，． {}24A x x =-<<{}0B x x m =-<(1)若，求．3m =A B ⋂(2)若，求实数m 的取值范围． A B A = 【答案】(1) {}23x x -<<(2){}4m m ≥【分析】根据交集和子集的定义，即可求解.【详解】（1）解：当时，，3m ={}3B x x =<因为，所以；{}24A x x =-<<{}23A B x x ⋂=-<<（2）解：由得,A B A = A B ⊆所以m 的取值范围是.{}4m m ≥18．已知. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)化简；()f α(2)若角为第二象限角，且，求的值. α1sin 3α=()f α【答案】(1) 1tan α-(2)()f α=【分析】（1）由诱导公式化简；（2）由平方关系求得，再由商数关系得，从而得结论．cos αtan α【详解】（1）. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1cos sin (tan )tan αααααα-==---（2）∵，，角为第二象限角， 1sin 3α=22sin cos 1αα+=α∴，∴cos α=tanα=∴()f α=19．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．()*n n ∈N ()2102n n -(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额） =总盈利额年度【答案】(1)3(2)方案二更合理，理由见解析【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出()f n n ()f n 结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【详解】（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；()f n n 由题意可得，()()()()2298102160101001601028f n n n n n n n n =---=-+-=---由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；()0f n >28n <<*n ∈N 3（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，()()221010016010590f n n n n =-+-=--+当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；5n =()f n 909020110+=方案二：由（1）可得，平均盈利额为， ()210100160161010010020f n n n n n n n -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 16n n =4n =4n =()80f n =此时处理掉设备，总利润为万元；8030110+=综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.11020．已知函数的最小正周期． ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数单调递增区间和对称中心；()f x (2)求函数在上的值域． ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦【答案】(1)答案见解析(2)[]1,2-【分析】（1）先由最小正周期求得，再结合的性质即可求得所求；ωsin y x =（2）利用整体法及的单调性即可求得在上的值域． sin y x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）因为的最小正周期， ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π所以，得，故， 2ππω=2ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则由得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈由得， π2π,Z 6x k k +=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以单调递增区间为，对称中心为. ()f x ()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()ππ,0Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）因为，所以， π02x ≤≤ππ7π2666x +≤≤所以，故，即， 1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()12f x -≤≤所以在上的值域为. ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦[]1,2-21．已知是定义在上的奇函数，且当时，.()f x R 0x >()13x f x =-(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，方程有解，求实数的取值范围. []2,8x ∈()()222log 4log 0f x f a x +-=a 【答案】(1)； 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥=⎨-+<⎩(2).[]4,5【分析】（1）当时，则，再利用为奇函数，和0x <()0,13x x f x -->-=-()f x ()()f x f x =--，即可求出答案.(0)0f =（2）利用函数是奇函数把方程化为，再利用()()222log 4log 0f x f a x +-=()()222log log 4f x f a x =-是上的单调减函数得，在上有解. 再令，则()f x R 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈2log t x =在有解.分离参数有解问题，即可求出答案.240t at -+=[]1,3t ∈【详解】（1）当时，则，0x <()0,13x x f x -->∴-=-是奇函数，.()f x ()()13x f x f x -∴=--=-+又当时，0x =(0)0f =. 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-+<⎩（2）由， ()()222log 4log 0f x f a x +-=可得. ()()222log 4log f x f a x =--是奇函数，()f x .()()222log log 4f x f a x ∴=-又是上的单调减函数，()f x R 所以在有解. 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈令，则在有解.[]2log ,2,8t x x =∈[]21,3,40t t at ∈∴-+=[]1,3t ∈即在有解， 4a t t=+[]1,3t ∈设易知函数在（1,2）递减，（2,3）递增，故值域为 ∴()4,g t t t=+[]4,5.实数的取值范围为∴a []4,522．已知函数与，其中是偶函数． ()()()4log 41x f x kx k =++∈R ()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭()f x (1)求实数的值及的值域；k ()f x (2)求函数的定义域；()g x (3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．()f x ()g x a 【答案】(1)，函数的值域为 12k =-()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析(3){}()31,-⋃+∞【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数的值，利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得k 函数的值域；()f x （2）由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得4203x a a ⋅->a 函数的定义域；()g x（3）令，由可知关于的方程有且只有一个正根，对实数20x t =>()()f x g x =t ()241103a t a ---=的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式（组），综a a 合可得出实数的取值范围.a 【详解】（1）解：由函数是偶函数可知，()f x ()()f x f x -=所以，，()()44log 41log 41x x kx kx -++=+-所以，， ()()()444444141142log log log log 441441441x x x xx x x x x x kx x ---+++=====-+++则，故，所以， 21k =-12k =-()()()4441log 41log 41log 22x x x f x x =+-=+-， ()(444411log log 22log 22x x x x -+==+≥=当且仅当时，等号成立，故函数的值域为. 0x =()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：对于函数，则有. ()g x 4203x a a ⋅->当时，，不合乎题意； 0a =4203x a a ⋅-=当时，，得； 0a >423x >24log 3x >当时，，得. a<0423x <24log 3x <综上所述，当时，函数的定义域为； 0a >()g x 24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数的定义域为. a<0()g x 24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（3）解：函数与的图象有且只有一个公共点，()f x ()g x 即方程有且只有一个实根， ()4414log 41log 223x x x a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭即方程有且只有一个实根， 142223x x x a a +=⋅-令，则方程有且只有一个正根. 20x t =>()241103a t at ---=①当时，，不合题意; 1a =34t =-②当时，由得或， 1a ≠()216Δ4109a a =+-=34a =3-若，则不合题意；若，则满足要求. 34a =2t =-3a =-12t =若，可得或. ()2164109a a ∆=+->3a <-34a >则此时方程应有一个正根与一个负根， ()241103a t a ---=所以，，解得，因为或，故. 101a -<-1a >3a <-34a >1a >综上，实数的取值范围是a {}()31,-⋃+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
【数学01】广东省广州市天河区2023-2024学年高一上学期期末考试试卷(解析版)
第1页共12页广东省广州市天河区2023-2024学年高一上学期期末考试
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.2cos
3π=（）A.12
B. C.1
2-
D.【答案】C 【解析】21cos
32π=-.故选：C.
2.“a b =”是“ac bc =”的（
）A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】当a b =，则ac bc =成立；反之，当ac bc =，0c =时，显然a b =不一定成立，故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件.
故选：A.
3.已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（
）A.a a m b b
+< B.a a m b b m +<+C.a m a b m b +<+ D.a a b m b
<+【答案】B 【解析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即
a a m
b b m
+<+.故选：B.。
广东省广州市高一上学期期末(线上)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则的真子集个数是（ ）{}21M x x ==M A ． B ． C ． D ．3456【答案】A【分析】首先求集合中的元素个数，再根据集合的真子集个数公式求解.【详解】因为，所以，即，集合中有两个元素，所以的真子集个数是21x =1x =±{}11M =-，M .2213-=故选：A2．命题“”的否定是（ ） 2[0,),0∀∈+∞+≥x x x A ．B ．2[0,),0∀∈+∞+<x x x 2(,0),0∀∈-∞+≥x x x C ．D ．2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 2000[0,),0∃∈+∞+≥x x x 【答案】C【分析】全称命题的否定形式，变，变即可.∀∃20+≥x x 2000x x +<【详解】命题“”为全称命题，则命题的否定为，2[0,),0∀∈+∞+≥x x x 2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 故选：C ．【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定形式，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 3．在中，，则（ ）ABC A cos A =1tan 3B =()tan A B -=A ． B ． C ． D ．22-12-12【答案】A【解析】根据已知条件计算出的值，然后根据两角差的正切公式结合的值计算出tan A tan ,tan A B 的值. ()tan A B-【详解】因为，所以，所以，cos A =()0,A π∈34A π=tan 1A =-所以，()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.4．已知，，，则（ ） 0.62a =sin 2b =0.3log 1.3c =A ． B ． C ． D ．c<a<b a b c <<b a c <<c b a <<【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质把与0和1比较后可得． ,,a b c 【详解】因为，，，所以． 0.621>0sin 21<<0.3log 1.30<c b a <<故选：D ．5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当()f x 3x y =y x =()g x 0x >时，，则（ ） ()()g x f x x =-(9)g -=A ． B ．6 C ． D ．76-7-【答案】D【分析】先求出，再求出即得解.3()log f x x =(9)7g =-【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则． ()y f x =3x y =3()log f x x =由题设，当时，，则． 0x >3()log g x x x =-3(9)log 99297g =-=-=-因为为奇函数，所以. ()g x (9)(9)7g g -=-=故选：D ．6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第sin sin αβ=αβcos 0θ<θ二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误； sin sin αβ=αβy 对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误； cos 0θ<θx 综上，其中正确命题是②，只有个. 1故选：A 【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.7．函数的零点个数为（ ）()23log 1xf x x =-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】所求零点个数等价于与图象的交点个数，作出函数图象，由数形结合2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可判断.【详解】函数的零点即的解，即与()23log 1xf x x =-2213log 10log 3xxx x ⎛⎫-=⇒= ⎪⎝⎭2log y x =图象的交点，如图所示， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭从函数图象可知，与有两个交点.2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C8．若函数的图象与轴有交点，且值域，则()[]sin (0,,0)4f x x x πωπω⎛⎫=-∈> ⎪⎝⎭x [)M ⊆+∞ω的取值范围是（ ） A ．B ．14[,234[,2]3C ．D ．11[,]43119[,]412【答案】D【分析】由函数有零点，可求得，由函数的值域可求得，()f x 14ω≥()f x [)M ⊆+∞1912ω≤综合二者即可得到的取值范围.ω【详解】定义在上的函数，[]0,π()sin 04y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭则，由函数有零点，所以，解得； ,444x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x 04πωπ-≥14ω≥由函数的值域，所以，解得； ()f x M ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎪⎣⎭443ππωπ-≤1912ω≤综上，的取值范围是．ω119,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知x ，y ∈R ，且<0，则（ ）11x y <A ．x -y >0 B ．sin x -sin y >0C ．>0D ．>2 22x y -y x x y+【答案】ACD【分析】由不等式的性质得出，再由三角函数的性质、指数函数的单调性以及基本不等式0x y >>即可求解.【详解】因为x ，y ∈R ，且<0， 11x y<且，， 110y x x y xy -∴-=<0,0x y <<0y x ∴<<A ，由题意可得，故A 正确；0x y ->B ，因为正弦函数是周期函数，仅有，不能得出sin x -sin y >0，故B 错误； 0y x <<C ，由，则，即，故C 正确； 0y x <<22y x <220x y ->D ，因为，则，即， 0y x <<0,0y x x y >>2y x x y +≥=当且仅当，即取等号，又因为，x yy x =x y =0y x <<所以，故D 正确. 2y xx y+>故选：ACD10．下列函数中，最小正周期为的有（ ） πA ． B ．C ．D ．|cos |y x =sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos ||y x =【答案】AB【分析】逐项分析即得.【详解】对于A ，的最小正周期为，故A 正确；|cos |y x =π对于B ，的最小正周期为，故B 正确； sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22ππ=对于C ，的最小正周期为，故C 错误；tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π对于D ，的最小正周期为2，故D 错误. cos ||cos y x x ==π故选：AB.11．下列各式正确的是（ ） A ．设0a >16a =B ．已知，则31a b +=81333a ba⋅=C ．若，则log 2,log 5a a m n ==220m n a +=D ．114511lg 311log log 93+=【答案】ABC【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.【详解】对于A，故A 对；1656a a a===对于B ，，故B 对； 43813333333a b a ba b a a+⋅⋅===对于C ，，，，故C 对；2m a =5n a =()2220m n m n a a a +==对于D ，，故D 错．933334511451111log log log log log 11log log log log 4525109933=+=+=+=+故选：ABC ．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M 位于点，经过t 秒后运动到点，点P 的纵坐标满足0=t (03,P -(),P x y （，，），则下列叙述正确的是（ ） ()()sin y f t R t ωϕ==+0t ≥0ω>π2<ϕA ．筒车转动的角速度 π60ω=B ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为 2-C ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为60P D ．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到x 轴的距离的最大值为6 (]0,60【答案】ACD【分析】根据题意可知周期为120秒，进而可求，根据可求解，进而得ω0(3,P -π3ϕ=-，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A 正确； 2ππ=12060ω=对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以， 0=t M 0(3,P -6R ==所以有， (0)6sin sin f ϕϕ==-=因为，所以，π||2ϕ<π3ϕ=-即， ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以B 错误； ππ4π(100)6sin 1006sin 66033f ⎛⎛⎫=⨯-==⨯=-⎪ ⎝⎭⎝对于C,由B 可知：盛水筒的纵坐标为， M -x，63x =⇒=±因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，M 故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C 正确； 3x =-M 0P 3(3)6--=对于D,因为，， πππ50(06032t x -=⇒=∈60]所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D 正确．(060]M x故选：ACD三、填空题13．已知，，且，则的最小值是________．0x >0y >41x y +=11x y+【答案】9【分析】，再根据基本不等式求解. ()4111114511y xx y x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】 ()1114145111y xx y x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 又因为 40,00,0y xx y x y>>∴>>由基本不等式得，当且仅当并且 44y x x y +≥=4y x x y =41x y +=所以，所以，即的最小值为. 110,063y x =>=>459y x x y ++≥11x y +9故答案为：914．函数的表达式为，若，则实数的取值集合是______．()y f x =()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩()1f x >x 【答案】{}|2x x >-【分析】分类讨论和不同条件下，即可得到实数的取值集合. 1x ≤1x >()1f x >x 【详解】解：由题意在中，()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩当时，， 1x ≤()3f x x =+当时，解得：()1f x >21x -<≤当时，，1x >()2xf x =当时，解得： ()1f x >1x >综上，2x >-∴满足的实数的取值集合是 ()1f x >x {}|2x x >-故答案为：.{}|2x x >-15．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为e kt V a -=⋅49a 827a，则需经过的天数为______． 【答案】75【分析】由题意，先算出，由此可算出一个新丸体积变为需经过的天数. 1504e 9k -⎛⎫= ⎪⎝⎭827a 【详解】由已知，得，504e 9ka a -=⋅∴． 1504e 9k-⎛⎫= ⎪⎝⎭设经过天后，一个新丸体积变为， 1t 827a 则， 18e 27kt a a -=⋅∴， ()115084e 279t t k -⎛⎫== ⎪⎝⎭∴，． 13502t =175t =故答案为：75.16．已知是定义在R 上的奇函数，满足，有下列说法： ()=y f x ()()12f x f x +=-①的图象关于直线对称； ()=y f x 3=2x ②的图象关于点对称；()=y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭③在区间上至少有5个零点；()=y f x []0,6④若上单调递增，则在区间上单调递增． []0,1[]2021,2022其中所有正确说法的序号为_______． 【答案】②③④【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭()=y f x []0,6判断③；求得在区间上的单调性判断④ ()=y f x []2021,2022【详解】因为，所以，(1)(2)f x f x +=-(3)()f x f x +=故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R 上的奇函数， ()f x =()y f x 则，所以，(3)()()f x f x f x +==--(3)()0f x f x ++-=故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭由题意可知，，因为，(6)(3)(0)0f f f ===()(3)()f x f x f x =+=--令，可得， 即， 32x =-3322f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，从而，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭93022f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故函数在区间上至少有5个零点，故③正确； =()y f x [0,6]因为，，202136741=⨯-20223674=⨯且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， ()f x [0,1]()f x [1,0]-故函数在区间上也单调递增，故④正确． ()f x [2021,2022]故答案为：②③④四、解答题17．设 {}{}22,430,0,1,4x U R A x x x B xC x a x a a R x ⎧⎫-==-+≤=<=≤≤+∈⎨⎬-⎩⎭(1)分别求(),U A B A B ⋂⋃ð(2)若，求实数的取值范围B C C = a 【答案】(1)；或 {}23A B x x =<≤ {|3U A B x x ⋃=≤ð}4x ≥(2) ()2,3a ∈【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.【详解】（1）解：解不等式可得，{}{}243013A x x x x x =-+≤=≤≤，{}20244x B x x x x ⎧⎫-=<=<<⎨⎬-⎩⎭所以，或，或； {}23A B x x =<≤ {2U B x x =≤ð}4x ≥{3U A B x x =≤ ð}4x ≥（2）解：由可得，且，B C C = C B ⊆C ≠∅所以，解得，即.214a a >⎧⎨+<⎩23a <<()2,3a ∈18．在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，点位于角的终边上．α)1P-α(1)求和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)若，求函数的定义域和单调递增区间．(),αππ∈-()()tan f x x α=-【答案】(1)，1sin 2α=-cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)定义域，单调递增区间 |,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z【分析】（1）利用三角函数的定义，结合两角和与差的三角函数转化求解和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）求解角，然后利用正切函数的定义域以及单调区间求解即可． α【详解】（1）∵点位于角的终边上，，)1P-α1sin 2α∴=-cos α=1cos cos cos sin sin 4442πππααα⎛⎫∴-=+== ⎪⎝⎭（2），，(),αππ∈- 1sin 2α=-cos α=，所以6πα∴=-()tan 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,62x k k πππ+≠+∈Z ,3x k k ππ∴≠+∈Z 所以函数的定义域为|,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 令，解得 ,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z 2,33k x k k ππππ-+<<+∈Z 所以函数的单调递增区间 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19．已知函数（为常数且）的图象经过点， ()x f x b a =⋅,a b 0,1a a >≠(1,8)A (3,32)B （1）试求的值；,a b （2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.11(()0x xm a b+-≥(,1]x ∈-∞m 【答案】（1）；（2）.2,4a b ==3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值. ,a b （2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.m m 【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以()f x (1,8)A (3,32)B 3832a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩2,4a b ==.()2422x x f x +=⋅=（2）原不等式为，即在时恒成立，11(()0x x m a b +-≥11024x x m ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1124x xm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞而在时单调递减，故在时有最小值为，故1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞1x =1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113244⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以实数的取值范围是. 34m ≤m 3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.20．已知函数. 21()sin()cos cos 64f x x x x π=-+-（1）求函数的最小正周期和单调区间；()f x （2）求函数在上的值域. ()f x [0,]2π【答案】⑴，递增区间为，递减区间 T π=[,36k k k Z ππππ-+∈2[,],63k k k Z ππππ++∈⑵ 11[,]42-【分析】整理函数的解析式可得：. ()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为. 11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】 ()221111cos cos cos cos cos 2424f x x x x x x x x ⎫=-+-=⋅+-⎪⎪⎭11cos2111cos222422x x x x ⎫+=+⋅-=+⎪⎪⎭. 1sin 226x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1），T π=递增区间满足：， ()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递增区间为， ,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间满足：， ()3222262k x k k ππππ+≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递减区间为. 2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2），，， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 111sin 2,2642x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为. ()f x ∴11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本万元. 21()150600p x x x =++（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单8(60),130()15480,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？【答案】（1）300台；（2）90人.【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）()p x y x=可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.【详解】（1）由总成本， 21()150600p x x x =++可得每台机器人的平均成本. 21150()11506001600x x p x y x x x x++===++因为. 1150112600y x x =++≥=当且仅当，即时，等号成立. 150600x x =300x =∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当时，300台机器人的日平均分拣量为130m ≤≤2160(60)1609600m m m m -=-+∴当时，日平均分拣量有最大值144000.30m =当时，日平均分拣量为30m >480300144000⨯=∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）. 1440001201200=∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.1203090-=【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.()300q m 22．已知函数的图象过点，.()ln()()f x x a a R =+∈()1,02()()2f x g x x e =-（1）求函数的解析式；()f x （2）若函数在区间上有零点，求整数k 的值；()ln(2)y f x x k =+-()1,2（3）设，若对于任意，都有，求m 的取值范围. 0m >1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()ln(1)g x m <--【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.()ln f x x =k ()1,2【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；ln(1)0a +=a （2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函()2ln 2y x kx =-2210x kx --=2()21h x x kx =--数在上有零点，列出不等式组，即可求解；()y h x =()1,2（3）求得的最大值，得出，得到，设()g x ()g m max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--，结合单调性和最值，即可求解.2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m 【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得， ()ln()()f x x a a R =+∈()1,0ln(1)0a +=0a =所以函数的解析式为.()f x ()ln f x x =（2）由（1）可知，，()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-(1,2)x ∈令，得，()2ln 20x kx -=2210x kx --=设，则函数在区间上有零点，2()21h x x kx =--()ln(2)y f x x k =+-()1,2等价于函数在上有零点，所以，解得， ()y h x =()1,2(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩712k <<因为，所以的取值为2或3.Z k ∈k （3）因为且，所以且， 0m >1m m >1m >101m<<因为，2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--所以的最大值可能是或， ()g x ()g m 1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为 22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以，2max ()()2g x g m m m ==-只需，即，max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--设，在上单调递增，2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m (1,)+∞又，∴，即，所以，(2)0h =22ln(1)0m m m -+-<()(2)h m h <12m <<所以m 的取值范围是.()1,2【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，()f x 从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,3}，T ={4}，则(∁U S )∪T 等于( )A. {2,4}B. {4}C. ⌀D. {1,3，4} 【答案】A【解析】解：∵全集U ={1,2，3，4}，集合S ={l ,3}，T ={4}， ∴(∁U S )∪T ={2,4}∪{4}={2,4}． 故选：A ．利用集合的交、并、补集的混合运算求解．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．2. 已知向量a =(x ,1)，b =(1,−2)，若a //b ，则a +b =( )A. (12,−1)B. (12,1)C. (3,−1)D. (3,1)【答案】A【解析】解：∵a //b； ∴−2x −1=0； ∴x =−12； ∴a =(−12,1)；∴a +b =(12,−1)．故选：A ．根据a //b 即可得出x =−12，从而得出a =(−12,1)，这样即可求出a +b 的坐标． 考查平行向量的坐标关系，以及向量坐标的加法运算． 3.已知函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0，则f (f (14))的值是( )A. −19B. −9C. 19D. 9【答案】C【解析】解：∵函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0， ∴f (14)=log 214=−2， f (f (14))=f (−2)=3−2=19． 故选：C ．由已知得f (14)=log 214=−2，从而f (f (14))=f (−2)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4. 设a=(13) 25，b=24，c=log213，则()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b 【答案】D【解析】解：∵a=(13) 25∈(0,1)，b=243>1，c=log213<0，则c<a<b．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 函数f(x)=ln x+2x−6的零点一定位于下列哪个区间()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=ln x+2x−6f(1)=−4<0，f(2)=ln2−4<0f(3)=ln3>ln1=0，∴f(2)f(3)<0，∴函数的零点在(2,3)上，故选：B．要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果．本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．6. 已知角α的终边经过点P(−4,3)，则tan(α+π4)的值等于()A. −17B. 17C. 37D. 47【答案】B【解析】解：∵角α的终边经过点P(−4,3)，∴tanα=−34，则tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11+3=17．故选：B．由角α的终边经过点P(−4,3)，利用任意角的三角函数定义求出tanα的值，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后，将tanα的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，特殊角的三角函数值，以及任意角的三角函数定义，根据题意得出tanα的值是解本题的关键．7. 已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,φ<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(πx+π6) B. f(x)=2sin(2πx+π6)C. f(x)=2sin(πx+π3) D. f(x)=2sin(2πx+π3)【答案】A【解析】解：∵根据图象判断：周期T=4×(56−13)=2，A=2，∴ω=2π2=π，∵2sin(13π+φ)=2，∴13π+φ=2kπ+π2，k∈z，∴φ=2kπ+π6，k∈z，∵φ<π2，∴φ=π6．∴f(x)=2sin(πx+π)故选：A．根据图象可得周期T=2，A=2，利用周期公式可求ω，利用2sin(13π+φ)=2及φ的范围可求φ的值，即可确定函数解析式．本题考查了三角函数的图象和性质，考查了由y=A sin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，关键是据图确定参变量的值，属于中档题．8. 若两个非零向量a，b满足b=2 a=2，a+2b=3，则a，b的夹角是()A. π6B. π3C. π2D. π【答案】D【解析】解：根据题意，设a，b的夹角是θ，又由b=2 a=2，且a+2b=3，则(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=9，即1+4(1×2cosθ)+16=9，解可得cosθ=−1，则θ=π； 故选：D ．根据题意，设a ，b 的夹角是θ，由数量积的计算公式可得(a +2b )2=a 2+4a ⋅b +4b 2=9，代入数据计算可得cos θ的值，结合的范围，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握由向量的数量积求向量夹角的方法．9. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12×(弦×矢+矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，弧长为4π米的弧，按上述经公式计算( 3≈1.73)，所得弧田面积约是( )A. 16平方米B. 18平方米C. 20平方米D. 25平方米【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：∠AOB =2π3，弧长为4π米，∴OA =4π2π3=6在Rt △AOD 中，可得：∠AOD =π3，∠DAO =π6，OD =12AO =12×6=3， 可得：矢=6−3=3，由AD =AO ⋅sin π3=6× 32=3 3，可得：弦=2AD =2×3 3=6 3，所以：弧田面积=12(弦×矢+矢 2)=12(6 3×3+32)=9 3+4.5≈20平方米． 故选：C ．在Rt △AOD 中，由题意OA =4，∠DAO =π6，即可求得OD ，AD 的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．10. 偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (−5)=f (2)=0，且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增，则不等式x ⋅f (x )<0的解集为( ) A. (−∞,−5)∪(−2,2)∪(5,+∞) B. (−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5) C. (−5.−2)∪(2,5) D. (−5,−2)∪(0,2)∪(5,+∞) 【答案】B【解析】解：根据题意，x ⋅f (x )<0⇒ f (x )>0x <0或 f (x )<0x >0，等价于求函数y =f (x )的图象在第二、四象限时x 的取值范围．又由偶函数f (x )(x ∈R )满足f (−5)=f (2)=0， 则f (5)=f (−2)=f (−5)=f (2)=0，且f(x)在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减与递增，其草图为：即x∈(2,5)函数图象位于第四象限，x∈(−∞,−5)∪(−2,0)函数图象位于第二象限．综上：x⋅f(x)<0的解集为：(−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5)，故选：B．利用偶函数关于y轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数f(x)的图象，再由xf(x)<0得到x与f(x)异号得出结论本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，关键是分析得到函数的图象草图．11. 已知锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，则tan2α=()A. 3B. ±3C. 33D. ±33【答案】C【解析】解：∵锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，∴22cosα+22sinα=cos2α−sin2α，∴cosα−sinα=22，平方可得1−sin2α=12，sin2α=12．∵cosα>sinα，∴0<α<π4，∴2α还是锐角，故cos2α=22α=32，则tan2α=sin2αcos2α=33，故选：C．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cosα−sinα=22，sin2α=12，判断0<α<π4，2α还是锐角，再求得cos2α的值，可得tan2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．12. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且AM=45AB，AN=23AD，连接AC、MN交于P点，若AP=λAC，则λ的值为()A. 35B. 37C. 411D. 413【答案】C【解析】解：∵AM=45AB，AN=23AD，连∴AP=λAC=λ(AB+AD)=λ(54AM+32AN)=54λAM+32λAN，∵三点M，N，P共线．∴54λ+32λ=1，∴λ=411，故选：C ．根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是______． 【答案】(−1,1]【解析】解：由题意， 可令 x +1>01−x≥0，解得−1<x ≤1，∴函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是(−1,1] 故答案为：(−1,1]．由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于x 的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域．本题考查求对数函数定义域，解题的关键是理解函数定义域的定义，找出自变量满足的不等式，解出定义域，本题中用到了对数的真数大于是，偶次根号下非负这些限制条件，属于是函数概念考查基本题．14. 已知cos(θ+π)=−13，则sin(2θ+π2)=______． 【答案】−79【解析】解：∵cos(θ+π)=−13， ∴cos θ=13，∴sin(2θ+π2)=cos2θ=2cos 2θ−1=29−1=−79， 故答案为：−79根据诱导公式和二倍角公式即可求出．本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．15. 已知函数f (x )= ln x ,x >0e x ,x≤0，g (x )=f (x )+x +a ，若g (x )存在2个零点，则实数a 取值范围是______． 【答案】[−1,+∞)【解析】解：由g (x )=0得f (x )=−x −a ， 作出函数f (x )和y =−x −a 的图象如图： 当直线y =−x −a 的截距−a ≤1，即a ≥−1时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数g (x )存在2个零点，故实数a 的取值范围是[−1,+∞)， 故答案为：[−1,+∞)．由g (x )=0得f (x )=−x −a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可． 本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．16. 函数f (x )=2sin(2x −π3)的图象为C ，如下结论中正确的是______．①图象C 关于直线x =11π12对称；②图象C 关于点(2π3,0)对称；③函数f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数；④由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 【答案】①②③【解析】解：函数f (x )=2sin(2x −π3)， 由f (11π12)=2sin3π2=−2，为最小值，可得图象C 关于直线x =11π12对称，故①正确；由f (2π3)=2sin π=0，图象C 关于点(2π3,0)对称，故②正确；由x ∈(−π12,5π12)，可得2x −π3∈(−π2,π2)，即有f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数， 故③正确；由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到y =2sin2(x −π3)的图象，故④错误． 故答案为：①②③．由正弦函数的对称轴特点可判断①；由正弦函数的对称中心特点可判断②； 由正弦函数的增区间可判断③；由三角函数的图象变换特点可判断④．本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的对称性和单调性、图象变换，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a =(1,0)，b =(1,1)．(1)若c =2 2，且c ⊥b ，求向量c的坐标； (2)若AB =2a −b ，BC =a +m b ，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值． 【答案】解：(1)设c=(x ,y )； ∵c ⊥b ，且c=2 2； ∴c ⋅b =x +y =0①，x 2+y 2=8②；①②联立得， y =2x =−2，或y =−2x =2； ∴c =(−2,2),或(2,−2)；(2)AB =2a −b =(1,−1)，BC =a +m b =(1+m ,m )； ∵A 、B 、C 三点共线；∴AB //BC ；∴m+1+m=0；∴m=−12．【解析】(1)可设c=(x,y)，根据c⊥b及c=22即可得出x+y=0①，x2+y2=8②，①②联立即可求出x，y，即得出向量c的坐标；(2)可先求出AB=(1,−1),BC=(1+m,m)，根据A、B、C三点共线可得出AB//BC，从而得出m+1+m=0，解出m即可．考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数量积运算．18. 已知函数f(x)=mx+n1+x 是定义在R上的奇函数，且f(2)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并用定义法证明．【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=mx+n1+x2是定义在R上的奇函数，则f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=25，则f(2)=2m1+22=25，解可得m=1，则f(x)=x1+x2，(2)由(1)的结论，f(x)=x1+x在(0,1)上为增函数，证明：0<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)又由0<x1<x2<1，则(x1−x2)<0，(1−x1x2)>0，则有f(x1)−f(x2)<0，则函数f(x)在(0,1)上为增函数．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=2m1+2=25，解可得m的值，将m、n的值代入函数的解析式，计算可得答案；(2)根据题意，设0<x1<x2<1，由作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，涉及单调性的判断，属于基础题．19. 已知函数f(x)=2sin(x2+π6).(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)先列表，并用描点法作出函数f(x)在[0,4π]上的简图．【答案】(本题满分为12分)解：(1)f(x)的最小正周期为T=2π12=4π；…(4分)令π2+2kπ≤x2+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得：2π3+4kπ≤x≤8π3+4kπ，k∈Z，可得单调递减区间为：[2π3+4kπ,8π3+4kπ]，k∈Z．(2)列表如下：连线成图如下：【解析】(1)利用正弦函数的图象和性质即可求出f(x)的最小正周期与单调减区间；(2)列表如下，作出它在[0,4π]上的简图即可；本题主要考查了五点法作函数y=A sin(ωx+φ)的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：(Ⅰ)分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系；(Ⅱ)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【答案】解：(Ⅰ)投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x，投资股票类风险型产品的收益满足函数：y=k′x(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.5，则k=0.5，即y=0.5x，(Ⅱ)设投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元，由题知总收益y=0.125x+0.520−x(0≤x≤20)，令t=20−x(0≤t≤20)，则x=20−t2，y=0.125(20−t2)+0.5t=−18t2+12t+52=−18(t−2)2+3，当t=2，即x=16时，y max=3(万元)答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．【解析】(Ⅰ)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元.这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．21. 已知a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，函数f(x)=a⋅b．(1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)=85，x0∈[π4,π2]，求cos2x0的值；(3)若函数y=f(ωx)在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．【答案】解：∵a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，∴f(x)=a⋅b=2cos x(3sin x+cos x)−1=23sin x cos x+2cos2x−1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π)(1)∵x∈[0,π2]，∴π6≤2x+π6≤7π6，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值2，最小值−1；(2)若f(x0)=85，则2sin(2x0+π6)=85，∴sin(2x0+π6)=45，∵x0∈[π4,π2 ]，∴cos(2x0+π6)=−35，∴cos2x0=cos[(2x0+π)−π]=3cos(2x0+π)+1sin(2x0+π)=3×(−3)+1×4=4−33(3)∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，令−12π+2kπ≤ωx+π6≤12π+2kπ，k∈z，可得，−2π3ω+2kπω≤x≤π3ω+2kπω令k=0可得，−2π3ω≤x≤π3ω，∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，∴π3ω≥2π3，解可得，0<ω≤12．【解析】由向量数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式可求f(x)=2sin(2x+π6)(1)由x∈[0,π2]，结合正弦函数的性质可求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值及最小值；(2)若f(x0)=85，可求2sin(2x0+π6)，结合同角平方关系可求cos(2x0+π6)，然后由cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]，利用两角差的余弦公式即可求解(3)由y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，结合正弦函数的单调性可求单调递增区间，然后与区间(π3,2π3)进行比较可求．本题主要考查了向量的数量积的运算性质及两角和的余弦公式，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键．22. 已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[−1,1]上有最大值4和最小值0.设f(x)=g(x)x．(1)求实数a，b的值；(2)若不等式f(x)−k⋅x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数的取值范围；(3)若f( 2x−1 )+k⋅22x−1−3k=0有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】解：(1)函数g(x)=ax2−2ax+b+1=a(x−1)2+1+b−a，因为a>0，所以g(x)在区间[−1,1]上是减函数，故g(−1)=3a+b+1=4，g(1)=1+b−a=0，解得a=1，b=0；(2)由f(x)−k⋅x≥0即为x2−2x+1−kx2≥0，即为k≤(1x−1)2在x>0恒成立，由(1x−1)2≥0，当且仅当x=1时取得最小值0，所以的取值范围是(−∞,0]；(3)方程f( 2x−1 )+k⋅22−1−3k=0可化为：2x−12−(2+3k) 2x−1 +(1+2k)=0，2x−1 ≠0，令2x−1 =t，则方程化为t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，∵方程f ( 2k −1 )+k ⋅⋅22−1 −3k =0有三个不同的实数解，∴由t = 2x −1 的图象知，t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，有两个根t 1、t 2，且0<t 1<1<t 2或0<t 1<1，t 2=1．记 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，则 (1)=−k <0 (0)=1+2k >0，或 (0)=1+2k >0(1)=−k =00<2+3k 2<1， ∴k >0．【解析】(1)由函数g (x )=a (x −1)2+1+b −a ，a >0，所以g (x )在区间[−1,1]上是减函数，故g (−1)=4，g (1)=0，由此解得a 、b 的值；(2)不等式可化为k ≤(1x −1)2在x >0恒成立，由平方数非负可得不等式右边的最小值，从而求得的取值范围；(3)方程f ( 2x −1 )+k ⋅22−1 −3k =0⇒ 2x −12−(2+3k ) 2x −1 +(1+2k )=0，( 2x −1 ≠0)，令2x −1 =t ，则t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，构造函数 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，通过数形结合与等价转化的思想即可求得的范围． 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．。
2022-2023学年广东省广州市天河中学数学高一上期末监测模拟试题含解析
则 ，
故选：C.
7、A
【解析】解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义结合集合间的关系直接判断作答.
【详解】解不等式 得： ，
对于A，因 ，即 是 成立的充分不必要条件，A正确；
对于B， 是 成立的充要条件，B不正确；
对于C，因 ，且 ，
则 是 成立的不充分不必要条件，C不正确；
16．写出一个值域为 ，在区间 上单调递增的函数 ______
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．设函数
（1）求 的最小正周期；
（2）若函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，求函数 在 上的最值
18．我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．已知
对于C： 定义域为 ，定义域不关于原点对称，故 为非奇非偶函数，故C错误；
对于D： 定义域为 ，但是 ，故 为非奇非偶函数，故D错误；
故选：A
4、C
【解析】分析函数 的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 在 上也为增函数，
因为 ， ， ， ，
由零点存在定理可知，函数 的零点所在的区间为 .
（2）由题意得，
当 时， 为增函数，
所以 ，等号当且仅当 成立；
当 时，
即 ，等号当且仅当 ，即 成立.
综上， 的最大值约为3250，此时 约为87.
答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解
2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学试题1(含解析)
3a 1 1 a
a
1 2
等价于
2 2
3a 1
1 2 a2
，解得
1 a 1，即 3 1 a 3
1 3
a
1 2
，
即实数
a
的取值范围是
1 3
,
1 2
.
故选：B 7. 生物体死亡后，它机体内原有的碳 14 含量 P 会按确定的比率衰减（称为衰减率）， P 与
死亡年数
t
之间的函数关系式为
P
故选：C
2. 已知 x R ，则“ x 2 ”是“| x | 2 ”的（ ）
A. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 【正确答案】A
B. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：由| x | 2 解得 2 x 2 ，
所以由 x 2 推不出| x | 2 ，故充分性不成立，
个单位长度得到函数
y
sin
1 2
x
π 3
sin
1 2
x
π 6
的图像，故
B
错误；
对于 C，函数 y sin x 的图像所有点向右平移 π 个单位长度，再把所得图像各点横坐标缩 3
短到原来的
1 2
（纵坐标不变），得到函数
y
sin
2x
π 3 的图像，故
C
正确；
对于 D，函数 y sin x 的图像所有点向右平移 π 个单位长度，再把所得图像各点横坐标伸 6
9,
当且仅当 4b a ,即 a 2b 1 时等式成立,
ab
3
故 1 1 的最小值为 9, ab
故选项 D 正确. 故选:AD
2020-2021学年广东省广州市天河区高一上学期期末数学试题及答案解析
绝密★启用前2020-2021学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，4}D．{﹣1，4}2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且，则x＝（）A．±4B．4C．﹣4D．3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+2＜6B．∀x∈R，x2+2≥6C．∃x0∈R，x02+2＜6D．∃x0∈R，x02+2≥64．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在上存在零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．|x|＞|y|C．x＞|y|D．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A．B．C．10s D．8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n 的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．6B．7C．8D．9二、选择题（共4小题）.9．下列命题中错误的是（）A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，的最小值是4B．当x＜0时，的最大值是﹣2C．当0＜x＜1时，的最小值是2D．当时，的最小值是210．关于函数，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个的周期为﹣πB．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象D．该函数在区间上单调递减11．下列几种说法中，正确的是（）A．面积相等的三角形全等B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（）A．函数f（x）是周期函数，且周期为2B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣xD．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为．14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝．15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求cos（α+β）．19．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式f（x）的值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，4}D．{﹣1，4}解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x＜0或x＞4}，∴A∩B＝{﹣1}．故选：A．2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且，则x＝（）A．±4B．4C．﹣4D．解：∵角α的终边经过点（x，﹣3），且＝，则x＝﹣4，故选：C．3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+2＜6B．∀x∈R，x2+2≥6C．∃x0∈R，x02+2＜6D．∃x0∈R，x02+2≥6解：命题是全称命题，则否定是：∃x0∈R，x02+2＜6，故选：C．4．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．解：由函数f（x）的图象知A＝2，T＝2×（+）＝4π，∴ω＝＝，由五点法作图可得×+φ＝π，且|φ|＜π，∴φ＝，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故选：D．5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在上存在零点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝x+log2x﹣m在区间（0，+∞）上为增函数，由函数f（x）在上存在零点，∴f（）＝﹣2﹣m＜0，f（8）＝8+3﹣m＞0，解得﹣＜m＜11，故函数f（x）在上存在零点时，m∈．故选：B．6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（）A．x＞y B．|x|＞|y|C．x＞|y|D．解：x2＞y2等价于|x|＞|y|，若x＝1，y＝﹣2，则x＞y，但|x|＜|y|，故选择A错误；|x|＞|y|是x2＞y2的充要条件，故选项B错误；当x＞|y|时，则有x2＞y2，但x2＞y2不能得到x＞|y|，比如x＝﹣2，y＝1，故选项C正确；当x＝1，y＝2时，，但是x2＜y2，故选项D错误．故选：C．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为．则盛水筒出水后到达最高点的最少时间为（）A．B．C．10s D．解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，∴T＝，则ω＝，振幅A为筒车的半径，即A＝4，K＝，由题意，t＝0时，d＝0，∴0＝4sinφ+2，即sinφ＝﹣，∵＜φ＜，∴φ＝．则+2，由d＝6，得6＝4sin（）+2，∴sin（）＝1，∴，k∈Z，得t＝，k∈Z．∴当k＝0时，t取最小值为（s）．故选：D．8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n 的最小整数值为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．6B．7C．8D．9解：∵0.8×100＝80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg，则n小时后的血液中酒精含量为80×（1﹣20%）n＝80×0.8n，由80×0.8n＜20，解得，因为他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，所以n≥7，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题中错误的是（）A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，的最小值是4B．当x＜0时，的最大值是﹣2C．当0＜x＜1时，的最小值是2D．当时，的最小值是2解：对于A，当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，y＝2﹣x＞2，＝＝＝∈（﹣∞，0），所以A错；对于B，当x＜0时，＝﹣（）≥﹣＝﹣2，x＝﹣1时“＝“成立，所以B对；对于C，当0＜x＜1时，，而函数f（t）＝t+在（0，1）上单调递减，无最小值，所以C错；对于D，当时，0＜sin x≤1，而函数f（t）＝t+在（0，1]上单调递减，≥1，x＝时“＝“成立，所以D对；故选：BD．10．关于函数，下列结论正确的是（）A．该函数的其中一个的周期为﹣πB．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象D．该函数在区间上单调递减解：令f（x）＝；对于A，因为f（x+（﹣π））＝＝＝＝fx），所以A对；对于B，因为f（）＝＝＝＝fx），所以B对；对于C，f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数f（）＝＝，函数f（）与函数y＝3cos2x+1不同，所以C错；对于D，⇒⇒f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，⊂，所以D对；故选：ABD．11．下列几种说法中，正确的是（）A．面积相等的三角形全等B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件C．若a为实数，则“a＜1”是“”的必要不充分条件D．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题解：对于A，因为同底等高三角形未必全等，所以A错；对于B，当x＝0，y＝4时，x（y﹣3）＝0，但，x2+（y﹣3）2＝1≠0，所以B错；对于C，当a＜1，未必有，如a＝﹣1，所以不充分；反之，⇒a＞0⇒a＜1，则“a＜1”是“”的必要条件，所以C对；对于D，先求出命题“若a＞b＞0，则”的否命题，￢（a＞b＞0）⇔￢（（a＞b）∧（b＞0））⇔￢（a＞b）∨￢（b＞0）⇔（a≤b）∨（b≤0），￢（）⇔，所以命题“若a＞b＞0，则”的否命题是：“若a≤b或b≤0，则”，分情况说明：①若b＝0，无意义，所以不成立，②若b＜0，取a＝b＞b，则不成立，③若a≤b，取b＞0，a＜0，则不成立，由①②③知，否命题为假，所以D对；故选：CD．12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（）A．函数f（x）是周期函数，且周期为2B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣xD．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，即f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，又由f（x+2）＝f（2﹣x），则f（﹣x）＝f（4+x），则有f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，A错误，对于B，当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x＝，在区间[0，2]上为减函数，则其最大值为f（0）＝4，最小值为f（2）＝1，又由f（x）为偶函数，则区间[﹣2，0]上，其最大值为f（0）＝4，最小值为f（﹣2）＝f（2）＝1，又由f（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）的最大值是4，最小值是1；B正确，对于C，当x∈[2，4]，则4﹣x∈[0，2]，f（x）是周期为4的偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝f（4﹣x）＝22﹣（4﹣x）＝2x+2，C错误，对于D，f（x）是偶函数且在区间[0，2]上为减函数，则f（x）在[﹣2，0]上为增函数，f（x）是周期为4的周期函数，则函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减，D正确，故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为（﹣∞，）．解：由题意得8﹣3x＞0，解得x＜，故函数的定义域是（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝﹣1．解：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝sin25°cos（90°+25°）+cos（180°﹣25°）cos25°＝﹣sin25°sin25°﹣cos25°cos25°＝﹣sin225°﹣cos225°＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则∀x∈（1，2），a≤恒成立，只需a≤（）min，x∈（1，2），令g（x）＝，x∈（1，2），所以g′（x）＝＝＜0，所以g（x）在（1，2）上单调递减，所以g（x）＞g（2）＝＝﹣，所以a≤﹣，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，，若对于任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]．解：当x≥0时，f（x）＝﹣，∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝，∴f（x）＝，∴f（x）在R上是单调递减函数，且f（x）可化为f（x）＝﹣，且满足2f（x）＝f（﹣4x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）＝f（﹣4x）在x∈[t，t+1]恒成立，∴x+t≤﹣4x在[t，t+1]恒成立，即5x≤﹣t在[t，t+1]恒成立，∴5t+5≤﹣t，解得t≤﹣，即t的取值范围是（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集；（2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．解：（1）不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3可化为x2﹣3x+2＜0，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，所以该不等式的解集为（1，2）；（2）x≥1时，x﹣1≥0，所以（2x3+1）﹣（2x+x4）＝（2x3﹣2x）﹣（x4﹣1）＝2x（x2﹣1）﹣（x2﹣1）（x2+1）＝（x2﹣1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）（x﹣1）3≤0，所以2x3+1≤2x+x4．18．（1）已知，求的值；（2）已知，，且，，求cos（α+β）．解：（1）∵，∴tanα＝＝＝，＝＝＝＝＝．（2）∵，，∴+β∈（，），则cos（+β）＝﹣＝﹣，﹣α∈（﹣，﹣），则﹣α∈（﹣，0），则sin（﹣α）＝﹣，则cos（α+β）＝cos[（+β）﹣（﹣α）]＝cos（+β）cos（﹣α）+sin（+β）sin （﹣α）＝×+（﹣）×＝．19．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）．（1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明．解：（1）显然f（x）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（0）＝1+a＝0，∴a＝﹣1，经检验a＝﹣1时，f（x）为奇函数，∴a＝﹣1时，函数f（x）为奇函数．（2）当a＝﹣2时，f（x）＝e x﹣2e﹣x，此时f（x）在R上单调递增，证明如下：证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝∵x1，x2∈R且x1＜x2，∴，，∴＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在R上单调递增．20．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式f（x）的值域；（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．解：（1）f（x）＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+2×＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．由2x+＝kπ，得2x＝kπ﹣，得x＝﹣，即函数的对称中心为（﹣，），k∈Z．（2）当时，2x∈（﹣，），2x+∈（﹣，），则sin（2x+）∈（sin（﹣），sin]，即sin（2x+）∈（﹣，1]，2sin（2x+）∈（﹣1，2]，则2sin（2x+）+∈（﹣1，2+]，即函数f（x）的值域为（﹣1，2+]．（3）由f（x）≥0得2sin（2x+）+≥0，得sin（2x+）≥﹣，得2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴当k＝0时，≤x≤，当k＝1时，≤x≤π，当k＝﹣1时，﹣π≤x≤﹣，即不等式的解集为[﹣π，﹣]∪[，]∪[，π]．21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润．解：（Ⅰ）当0＜x＜70时，y＝100x﹣（），当x≥70时，y＝100x﹣（101x+﹣2060）﹣400＝1660﹣（x+）．∴；（Ⅱ）当0＜x＜70时，y＝﹣＝，当x＝60时，y取最大值1400万元；当x≥70时，y＝1660﹣（x+），当且仅当，即x＝80时y取最大值1500．综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元．22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．解：（1）∵f（x）＝log2（x2+1）≥0．∴由方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3可得f（x）＝2，∴log2（x2+1）＝2，∴，∴方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3的解集为{，﹣}；（2）∵2f（x）＝x2+1，∴函数g（x）＝2f（x）+＝＝（x+）2﹣2b（x+）+b2﹣2，令t＝x+，（1≤x≤2），则t，g（x）＝h（t）＝t2﹣2bt+b2﹣2＝（t﹣b）2﹣2，t∈[2，]，①当b时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（）＝2，整理可得4b2﹣20b+9＝0，解答b＝或（舍）②当b≤2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（2）＝2，整理可得4b2﹣4b＝0，解答b＝0或4（舍）③当2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（b）＝﹣2≠2，综上，b的值为0或．。
广州天河区高一上学期期末考试数学试卷含答案
18.已知平面向量 ， ， ，且 ， .
（1）求 和 ：
（2）若 ， ，求向量 与向量 的夹角的大小.
【答案】（1） ， ；（2） .
19.如图，在 中，已知 为线段 上的一点， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ， ，且 与 的夹角为 时，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
4.函数 的最小正周期是
A. B. C. D.
【答案】D
5.已知弧长为 cm的弧所对的圆心角为 ，则这条弧所在的扇形面积为（）cm2．
A. B. C. D.
【答案】C
6.已知 ，则 （）.
A. B. C. D.
【答案】C
7.已知向量 ，则锐角 等于
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】B
20.如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪 ，直角边 米， 米，扇形花坛 是草坪的一部分，其半径为20米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路 和 ，考虑到小区整体规划，要求M、N在斜边 上，O在弧 上（点O异于D，E两点）， ， .
（1）设 ，记 ，求 的表达式，并求出此函数的定义域.
【答案】A
11.如图所示，在 中，D、E分别为线段 、 上的两点，且 ， ， ，则 的值为（）.
A. B. C. D.
【答案】C
12.定义在R上的函数 满足 ，且当 时， ， ，若任给 ，存在 ，使得 ，则实数a的取值范围为（）.
A. B.
C. D.
【答案】D
二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共计16分.）
广东广州天河区高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分.）
2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学试题(含解析)
【详解】对于 B，令 2x k , k Z ，得 x k , k Z ，
2
24
可知
f
x
的定义域为
x
x
k
,k
Z
，故
B
错误；
24
对于 A，定义域关于原点对称，且 f x tan 2x tan 2x f x ，故 f x 是奇
函数，故 A 正确；
对于 C，令 k 2x k , k Z ，解得 k x k , k Z ，
f
x
1 x 1
sin
x 2
2021
的零点问题转化为函数
y
1 x 1 和
y sin x 的图象的交点问题，因此可作出二者的图象，则问题可解. 2
【详解】因为 sin
x 2
2021
sin x 2
，所以由
f
x 0 ，得
1 x 1
sin
x 2
，
因为函数 y
1 x 1
与
y
sin
x 2
的图象都关于直线
x
最小正周期为
，在区间
π 2
,
π
上
y
sin
x
sin
x 单调递减，
所以 A 错误；
对于
B，
y
cos
x
最小正周期为 2
，在区间
π 2
,π
上单调递减，所以
B
错误；
对于
C，
y
tan
x
最小正周期为
，在区间
π 2
,
π
上单调递增，所以
C
正确；
对于 D， y cos 2x 最小正周期为 T
天河区高一期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -√3D. 0.1010010001…2. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -1C. 1D. 53. 下列各方程中，无实数解的是（）A. x² - 2x + 1 = 0B. x² + 2x + 1 = 0C. x² - 2x - 1 = 0D. x² + 2x - 1 = 04. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项a10的值为（）A. 27B. 30C. 33D. 365. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°6. 已知复数z = 1 + 2i，则|z|的值为（）A. 1B. 2C. √5D. √37. 下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（）A. f(x) = x²B. f(x) = 2x - 3C. f(x) = 1/xD. f(x) = -x³8. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前10项之和S10为（）A. 144B. 145C. 146D. 1479. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (-3,-2)D. (-2,-3)10. 已知等比数列{bn}的首项为3，公比为2，则第5项b5的值为（）A. 48B. 96C. 192D. 384二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a > 0，b < 0，则a - b的值为________。
12. 已知函数f(x) = -x² + 4x - 3，则f(2)的值为________。
13. 在△ABC中，若∠A=90°，∠B=30°，则∠C的度数为________。
广东省广州市天河区2022-2023学年高一上学期期末数学试题含答案
（参考数据: ， ， ）
22.已知函数 ， .
（1）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
A.18B.27C.20D.16
7.已知角α的顶点与直角坐标系原点重合,始边与x轴非负半轴重合,其终边上有一点) ,且 ,若 ,则α=（）
A.θB. C. D.
8.已知实数a，b，c满足 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
【答案】（1） ；（2） .
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2） 在区间 上是增函数；证明见解析
【20题答案】
【答案】（1） ；
（2）
【21题答案】
【答案】（1）应选函数模型是 ( 且 )；
（2）2028年底
【22题答案】
【答案】（1）
（2）
9.下列说法正确的是（）
A.命题“函数 的定义域为 ”是真命题
B.“ ”是“ ”为成立的充要条件
C.“ ”是“函数 只有一个零点”的充分不必要条件
D.命题“ ， ”的否定是“ ， ”
10.如图，某池塘里浮萍的面积y（单位:m2）与时间t(单位:月)的关系为 ( ，且 ).下列说法正确的是（）
A.浮萍每月的增长率为
C.若 ， ，则 D.若 ，则
3.下列选项中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（）
2022-2023学年广东省广州市天河外国语学校高一上学期期末考试数学试卷带讲解
2022-2023学年高一（上）数学期末考试卷一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}10A x x =+>，{}23B x x =-≤≤，则A B = （）A.{}13x -<≤B.{}13x -<<C .{}13x x -<≤ D.{}13x x -<<C【分析】求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}101A x x x x =+>=>-，{}23B x x =-≤≤，因此，{}13A B x x ⋂=-<≤.故选：C.2.在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合，角θ的终边经过点(34)P -，，则cos θ=（）A.35- B.45C.325-D.425A【分析】根据任意角的三角函数定义即可求解.【详解】解：由题意知：角θ的终边经过点(34)P -，，故3cos 5θ==-.故选：A.3.下列说法中，错误的是（）A.若22a b >，0ab >，则11a b< B.若22a b c c>，则a b >C.若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D.若a b >，c d <，则a c b d->-A【分析】逐一检验，对A ，取3,2a b =-=-，判断可知；对B ，20c >，可知；对C ，利用作差即可判断；对D 根据不等式同向可加性可知结果.【详解】对A ，取3,2a b =-=-，所以11a b>，故错误；对B ，由20c >，22a bc c>，所以a b >，故正确；对C,()()()m b a a m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+⋅+⋅+，由0b a >>，0m >，所以()()0m b a b b m ->⋅+，所以a m ab m b+>+，故正确；对D ，由c d <，所以c d ->-，又a b >，所以a c b d ->-故选：A4.已知4log 5a =，1214b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.b<c<aB.c<a<bC.a b c<< D.c b a<<A【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：∵44log 5log 41>=，∴1a >，∵121142⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12b =，∵π5π226<<，∴1sin 212<<，即112c <<，∴b<c<a ．故选：A ．5.为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度C.向左平移6π个单位长度D.向左平移3π个单位长度B【分析】由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2cos 2(6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由sin 2cos(2)cos 2(6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，即为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.6.关于x 的不等式()(3)0ax b x -+<的解集为(-∞，3)(1-⋃，)∞+，则关于x 的不等式0ax b +>的解集为（）A.(,1)-∞- B.(1,)-+∞ C.(,1)-∞ D.(1,)+∞A【分析】根据题意可得1，3-是方程()(3)0ax b x -+=的两根，从而得到a b ，的关系，然后再解不等式0ax b +>从而得到答案.【详解】由题意可得a<0，且1，3-是方程()(3)0ax b x -+=的两根，1x ∴=为方程0ax b -=的根，a b ∴=，则不等式0ax b +>可化为10x +<，即1x <-，∴不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞-．故选:A ．7.已知θ为三角形ABC 内角，且sin cos m θθ+=，若()0,1m ∈，则关于ABC 的形状的判断，正确的是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.三种形状都有可能C【分析】利用同角平方关系可得，212sin cos m θθ=+，结合()0,1m ∈可得sin cos 0θθ<，从而可得θ的取值范围，进而可判断三角形的形状．【详解】解：sin cos m θθ+= ，22sin cos 12sin cos m （）θθθθ∴=+=+20101m m <<∴<< 02sin cos 11θθ∴<+<，1sin cos 02θθ-<<θ 为三角形ABC 内角，sin 0θ∴>，cos 0θ<θ为钝角，即三角形ABC 为钝角三角形故选C ．【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从sin cos θθ的符号中判断θ的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用．8.当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半.2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（）（参考数据：0.5log 0.5520.8573≈，0.5log 0.448 1.1584≈)A.2919年B.2903年C.4928年D.4912年B【分析】根据碳14的半衰期为5730年，即每5730年含量减少一半，设原来的量为1，经过t 年后变成了0.552，即可列出等式求出t 的值，即可求解.【详解】解：根据题意可设原来的量为1，经过t 年后变成了155.2%0.552⨯=，即573010.50.552t ⨯=，两边同时取对数，得：57300.50.5log 0.5log 0.552t =，即0.85735730t=，57300.85734912t ∴=⨯≈，4912201012903-+=，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前2903年.故选：B.二、多选题：本题共有4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列几种说法中，正确的是（）A.面积相等的三角形全等B.“()30x y -=”是“()2230x y +-=”的充分不必要条件C.若a 为实数，则“1a <”是“11a >”的必要不充分条件D.命题“若0a b >>，则11a b<”的否定是假命题CD【分析】对于A ：因为同底等高的三角形其面积相等，但未必全等，；对于B ：当05x y ==，时，满足()30x y -=，但()22340x y +-=≠；对于C ：由11a>得10aa ->，解得01a <<；对于D ：因为0ab >>，所以11a b<，由原命题与原命题的否定的真假关系可判断.【详解】对于A ：因为同底等高的三角形其面积相等，但未必全等，故A 错；对于B ：当05x y ==，时，满足()30x y -=，但()22340x y +-=≠，故B 错；对于C ：由11a >得10aa ->，解得01a <<，所以1a <能成立，所以“1a <”是“11a>”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ：因为0a b >>，所以11a b <，所以命题“若0a b >>，则11a b<”是真命题，所以命题“若0a b >>，则11a b<”的否定是假命题，故D 正确，故选：CD.10.有如下命题，其中为真命题的有（）A.若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)2f >B.函数1()1(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点(1,2)C.2()log f x x x m =+-在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，则m 的取值范围是7,114⎫⎛- ⎪⎝⎭D.若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2]BCD【分析】A 选项，根据幂函数经过的点，求出解析式，即可判断；B 选项，根据指数函数恒过定点(0,1)即可得到；C 选项，判断函数2()log f x x x m =+-的单调性，根据零点存在定理，根据两端点函数值的正负即可求出m 的取值范围；D 选项，由2()24f x x x =-+可知，最小值在顶点处取得，最大值在0x =或2x =时取到，即可得出m 的取值范围.【详解】对A 选项，设幂函数的解析式为y x α=，因为幂函数的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，即122α=，解得1α=-，则1y x -=，11(3)32f =<，故A 选项错误.对B 选项，函数1()1(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点(1,2)，故B 选项正确.对C 选项，因为函数2()log f x x x =+在1,84⎫⎛⎪⎝⎭上单调递增，且在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，则11(2044f m =--<，()8830f m =+->，解得7114m -<<，故C 选项正确.对D 选项，函数2()24f x x x =-+，对称轴为1x =，此时函数取得最小值为(1)3f =，当0x =或2x =时，函数值等于4，又函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，所以实数m 的取值范围是[1,2]，故D 选项正确.故选：BCD11.函数()()sin f x A wx ϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图像交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期是πB.函数()f x 的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.函数()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增D.函数()f x 的图像向右平移512π个单位长度后关于原点成中心对称AB【分析】根据函数的图象，可求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的性质，即可求解得到答案．【详解】根据函数()()Acos f x x ωφ=+的部分图象以及圆C 的对称性，可得M N 、两点关于圆心C 对称，A 选项，根据给定函数的图象得点C 的横坐标为3π，所以1()2362T πππ=--=，解得T π=，正确；B 选项，由A 得T π=，不妨令0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=，又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为4sin 230334f A πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称，正确；C 选项，由图像可知，函数的单调增区间为222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，即5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当1k =-时，函数的单调递增区间为711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当0k =时，函数的单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎣⎦，C 错误；D 选项，函数()f x 的图象向右平移512π个单位后，5sin 2(sin 2cos 21232y A x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所得图象关于y 轴对称，D 错误.故选：AB ．【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．12.设函数()f x 是定义在R 上的函数，满足()()0f x f x --=，且对任意的x R ∈，恒有()()22f x f x +=-，已知当[]0,2x ∈时，()22xf x -=，则有（）A.函数()f x 是周期函数，且周期为2B.函数()f x 的最大值是4，最小值是1C.当[]2,4x ∈时，()22xf x -=D.函数()f x 在[]2,4上单调递增，在[]4,6上单调递减BD【分析】推导出函数()f x 的周期，可判断A 选项的正误；求出函数()f x 在区间[]0,2上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B 选项的正误；利用函数的奇偶性和周期性求出函数()f x 在[]2,4上的解析式，可判断C 选项的正误；利用C 中的解析式结合周期性可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由已知可得()()()222f f f x x x -=+-=，则()()4f x f x +=，故函数()f x 是周期函数，且周期为4，A 选项错误；对于B 选项，当[]0,2x ∈时，()[]221,4xf x -=∈，由于函数()f x 为偶函数，则当[]2,0x ∈-时，()[]1,4f x ∈，所以，当[]2,2x ∈-时，()[]1,4f x ∈，由于函数()f x 是周期为4的周期函数，故函数()f x 的最大值是4，最小值是1，B 选项正确；对于C 选项，当[]2,0x ∈-时，()()22xf x f x +=-=，当[]2,4x ∈时，[]42,0x -∈-，则()()()242422x x f x f x +--=-==，C 选项错误；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在[]2,0-上单调单调递增，在[]0,2上单调递减，由于函数()f x 是周期为4的周期函数，故函数()f x 在[]2,4上单调递增，在[]4,6上单调递减，D 选项正确.故选：BD.三、填空题：本题共有4小题，每小题5分，共20分．13.化简：21sin 352sin10cos10︒︒︒-＝________.1-【分析】直接利用二倍角公式及诱导公式求解即可．【详解】21cos70sin 35sin 20221sin 20sin10cos10sin 202︒︒︒︒--︒==-=-︒︒．故答案为：1-．14.若0m >，0n >，3m n +=，则14m n+的最小值为___________.3【分析】利用基本不等式常值代换即可求解.【详解】因为0m >，0n >，3m n +=，所以()14114141553333n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4n mm n =，即1,2m n ==时，等号成立，所以14m n+的最小值为3，故答案为：315.已知函数()()221f x x ax a R =+-∈，若()1,2x ∀∈，()0f x ≤，则a 的取值范围是_________.7,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】()1,2x ∀∈，()0f x ≤，分离参数a ，得到12a x x ≤-+，求出12,(1,2)x x x -+∈的范围，即可得出结论.【详解】()1,2x ∀∈，()2021f x x ax =-≤+恒成立，即12,(1,2)a x x x≤-+∈恒成立，设1()2g x x x =-+在(1,2)单调递减，所以7()12g x -<<-，所以72a ≤-.故答案为：7,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，()f x =[],1x t t ∈+，不等式()()2f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是_____________.3(,]2-∞-【分析】由奇函数的对称性求出()f x 的解析式，确定()f x 的单调性，并得到2()(4)f x f x =，利用函数的单调性，将()()2f x t f x +≤转化为自变量,4x t x +的不等量关系，即可得出结论.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，()f x =，设0,0,()()x x f x f x <->-==-，()()0x f x f x x ⎧≥⎪∴==<，()f x ∴在R 上单调递减，且2()(4)f x f x =，()()2(4)f x t f x f x +≤=对于任意的[],1x t t ∈+恒成立，即4,3x t x t x +≥≥对于任意的[],1x t t ∈+恒成立，所以333,2t t t ≥+∴≤-.故答案为：3(,2-∞-.四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知全集U =R ，集合{}240A x x x =-<，{}232B x m x m =≤≤-.（1）当2m =时，求()U A B ⋂ð；（2）如果A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.（1）R .（2）{}2,m m m R≠∈【分析】（1）由集合交补定义可得.（2）由A B A ⋃=可得B A ⊆建立不等关系可得解.【小问1详解】当2m =时,()0,4A =，{}4B =，A B ⋂=∅，()U A B =R ð【小问2详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，B =∅，232m m -<，1m <或m>2，B ≠∅，2120324m m m ≤≤⎧⎪>⎨⎪-<⎩，12m ≤<，综上：m 的取值范围是{}2,m m m R≠∈18.（1）已知1tan 22α=，求()()6cos sin 222cos 3sin ππαααπαπ⎫⎫⎛⎛-++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭--+的值；（2）已知3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，5,44ππβ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭，且3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12sin 413πβ⎫⎛+=- ⎪⎝⎭，求()cos αβ+.（1）92；（2）3365.【分析】（1）由二倍角公式，先求出tan α，利用诱导公式，将所求的式子化为sin ,cos αα的齐次分式，再转化为tan α，即可求出结论；（2）根据已知条件求出sin ,cos 44ππαβ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()()44ππαββα+=+--，由两角差的余弦公式，即可求解.【详解】（1）22tan1142tan ,tan 12231tan 124αααα====--，()()6cos sin 6sin cos 222cos 3sin 2cos 3sin ππαααααπαπαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=--+-+6tan 193tan 22αα+==-；（2）3,,,04442ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又34cos ,sin 4545ππαα⎛⎫⎛⎫-=∴-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，53,,,44422πππππββ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又125sin ,cos 413413ππββ⎛⎫⎛⎫+=-∴+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos()cos[()()]44ππαββα+=+--cos()cos()sin()sin()4444ππππβαβα=+-++-5312433()(13513565=-⋅+-⋅-=.19.已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a >0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (3)＝2，求使h (x )<0成立的x 的集合．(1)定义域为{x |－1<x <1}；h (x )为奇函数，理由见解析；(2){x |－1<x <0}．【分析】(1)利用对数式有意义可得函数定义域，由奇偶性定义判断奇偶性；(2)由(3)2f =求得a 值，然后根据对数函数性质可解不等式．【详解】(1)∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x >－1}，g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x <1}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x >－1}∩{x |x <1}＝{x |－1<x <1}．∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )，∴h (x )为奇函数．(2)∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2．∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )，∴h (x )<0等价于log 2(1＋x )<log 2(1－x )，∴111010x x x x +<-⎧⎪+>⎨⎪->⎩解得－1<x <0．故使h (x )<0成立的x 的集合为{x |－1<x <0}．【点睛】本题考查求对数型函数的定义域，奇偶性，解对数不等式，掌握对数函数性质是解题关键．20.已知函数()()2cos sin f x x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心；（2）当,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ时，解不等式()f x 的值域；（3）当[],x ππ∈-时，解不等式()0f x ≥.（1）单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，对称中心为(62k p p -+Z k ∈；（2）1,2-+；（3）2,,,2323p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【分析】（1）由()2sin(23f x x =++π（2）由,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ，可得22(,)363x p p p +∈-，所以1sin(2)(,1]32x +∈-π即可得解；（3）由[],x ππ∈-时，求出整体范围572(,)333x p p p +∈-，若要3sin(2)32x +≥-π，只要524572,,,3333333x p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+∈---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求解即可.【详解】（1）()()22cos sin 2cos sin f x x x x x x x =+=+sin 222sin(2)3x x x =+=++π，由222,232k x k πππππ-+≤+≤+解得51212k x k ππππ-+≤≤+，所以5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由23x k ππ+=可得62πkπx =-+，所以对称中心为(62k p p -+；（2）由,46⎛⎫∈-⎪⎝⎭x ππ，可得22(,)363x p p p +∈-，所以1sin(2)(,1]32x +∈-π，所以()f x 的值域为1,2+；（3）当[],x ππ∈-时，572,333x πππ+∈-［，由()0f x ≥可得：2sin(203x ++≥π，则3sin(232x +≥-π，根据正弦函数的图像与性质可得：524572,,,3333333x p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+∈---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,解得x 的取值范围为2,,,2323p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.21.某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图（1）所示；B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y 与投资x 的单位均为万元）．（1）分别求A ，B 两种产品的利润y 关于投资x 的函数解析式；（2）已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产．①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？（1）A 产品的利润y 关于投资x 的函数解析式为：0.25(0)y x x =≥；B 产品的利润y 关于投资x 的函数解析式为：0)y x =≥.（2）①45万元；②当投入B 产品的资金为16万元，投入A 产品的资金为184万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元.【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；（2）①：利用代入法进行求解即可；②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】因为A 产品的利润y 与投资x 成正比，所以设(0)y kx k =≠，由函数图象可知，当1x =时，0.25y =，所以有0.25k =，所以0.25(0)y x x =≥；因为B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，所以设0)y m =≠，由函数图象可知：当4x =时，4y =，所以有42m m =⇒=，所以0)y x =≥；【小问2详解】①:将200万元资金平均投入两种产品的生产，所以A 产品的利润为0.2510025⨯=，B 产品的利润为20y ==，所以获得总利润为252045+=万元；②：设投入B 产品的资金为(0200)x x ≤≤万元，则投入A 产品的资金为(200)x -万元，设企业获得的总利润为w 万元，所以10.25(200)504w x x =-+-+，令(0t t =≤≤，所以2211()250(4)5444w f t t t t ==-++=--+，当4t =时，即当16x =时，w 有最大值，最大值为54，所以当投入B 产品的资金为16万元，投入A 产品的资金为184万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元.22.设R a ∈，函数2()2x x a f x a+=-．（1）若a<0，判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若0a ≠，函数()f x 在区间[],m n （m n <）上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（R k ∈），求k a的范围．（1）()f x 在R 上递增，证明见解析.（2）({}0,31-- 【分析】（1）根据函数单调性的定义计算()()12f x f x -的符号，从而判断出()f x 的单调性.（2）对a 进行分类讨论，结合一元二次方程根的分布来求得k a的范围.【小问1详解】2222()1222x x x x x a a a a f x a a a++===+----，当a<0时，()f x 的定义域为R ，()f x 在R 上递增，证明如下：任取()()()()21121212122222,22222x x x x x x a a x x f x f x a a a a a -<-=-=⋅----，由于21220x x ->，所以()()()()12120,f x f x f x f x -<<，所以()f x 在R 上递增.【小问2详解】由于m n <，所以22m n <，1122m n>，由,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦知22m n k k <，所以0k <.由于0a ≠，所以a<0或0a >.当a<0时，由（1）可知()f x 在R 上递增.所以()()22mn k f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而222x x x a k a +=-①有两个不同的实数根，令2,0x t t =>，①可化为()20t a k t ak +-+=，其中0,0,0a k ak <<>，所以()202400a k a k ak ak -⎧->⎪⎪⎪-->⎨⎪>⎪⎪⎩，22600k a k ak a ak >⎧⎪-+>⎨⎪>⎩，2016100k a k k a a ak ⎧<<⎪⎪⎪⎛⎫-⋅+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得03k a <<-.当0a >时，函数2()12x a f x a=+-的定义域为{}2|log x x a ≠，函数()f x 在()()22,log ,log ,a a -∞+∞上递减.若[]()2,log ,m n a ⊆+∞，则()1f x >，于是02m k >，这与0k <矛盾，故舍去.所以[]()2,,log m n a ⊆-∞，则()1f x <，于是()()()()()()22222222222222m n m m m n n n m n n m n m a k k f m a k a a k a k a k a f n a ⎧+⎧==⎧⎪+=-⎪⎪⎪⎪-⇒⇒⎨⎨⎨++=-⎪⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩-⎩，两式相减并化简得()()220n m a k +-=，由于,22n m m n <>，所以0a k +=，所以1k a=-.综上所述，k a 的取值范围是({}0,31-- .【点睛】函数()f x 在区间[],a b 上单调，则其值域和单调性有关，若()f x 在区间[],a b 上递增，则值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦；若()f x 在区间[],a b 上递减，则值域为()(),f b f a ⎡⎤⎣⎦.。
2018-2019学度广州天河区高一上年末数学试卷(含解析解析).doc.doc
2018-2019学度广州天河区高一上年末数学试卷（含解析解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】选择题1、〔5分〕设全集U＝｛1，2，3，4，5，6｝，A＝｛1，2｝，B＝｛2，3，4｝，那么A∩〔∁UB〕＝〔〕A、｛1，2，5，6｝B、｛1，2，3，4｝C、｛2｝D、｛1｝2、〔5分〕直线x﹣y＋3＝0的倾斜角是〔〕A、30°B、45°C、60°D、150°3、〔5分〕以下函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是〔〕A、f〔x〕＝2xB、f〔x〕＝log xC、f〔x〕＝D、f〔x〕＝﹣x｜x｜4、〔5分〕在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝1，那么异面直线AD与BC1所成角为〔〕A、30°B、45°C、60°D、90°5、〔5分〕直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x﹣3y＋4＝0，假设l1与l2的交点在y轴上，那么C的值为〔〕A、4B、﹣4C、±4D、与A有关6、〔5分〕设a＝40.1，b＝log30.1，c＝0.50.1，那么〔〕A、a》b》cB、a》c》bC、b》a》cD、b》c》a7、〔5分〕圆x2＋y2＋2x﹣2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，那么实数a的值是〔〕A、﹣4B、﹣3C、﹣2D、﹣18、〔5分〕一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为〔〕A、3πB、4πC、2π＋4D、3π＋49、〔5分〕函数的零点所在的区间为〔〕A、B、C、D、10、〔5分〕过点A〔3，5〕作圆〔x﹣2〕2＋〔y﹣3〕2＝1的切线，那么切线的方程为〔〕A、x＝3或3x＋4y﹣29＝0B、y＝3或3x＋4y﹣29＝0C、x＝3或3x﹣4y＋11＝0D、y＝3或3x﹣4y＋11＝011、〔5分〕三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，假设该棱柱的体积为，BC＝，AC＝1，∠ACB＝90°，那么此球的体积等于〔〕A、πB、πC、πD、8π12、〔5分〕定义在R上的函数f〔x〕满足：①f〔x〕＋f〔2﹣x〕＝0；②f〔x ﹣2〕＝f〔﹣x〕，③在【﹣1，1】上表达式为f〔x〕＝，那么函数f〔x〕与函数g〔x〕＝的图象在区间【﹣3，3】上的交点个数为〔〕A、5B、6C、7D、8【二】填空题13、〔5分〕函数y＝ln〔1﹣2x〕的定义域是、14、〔5分〕设函数f〔x〕＝，那么f〔f〔﹣4〕〕＝、15、〔5分〕假设直线〔a＋1〕x＋ay＝0与直线ax＋2y＝1垂直，那么实数a＝、16、〔5分〕α，β是两个平面，m，n是两条直线，那么以下四个结论中，正确的有〔填写所有正确结论的编号〕①假设m∥α，n∥α，那么m∥n；②假设m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③假设a∥β，m⊂α，那么m∥β；④假设m⊥n、m⊥α，n∥β，那么α⊥β【三】解答题17、〔10分〕平面内两点A〔8，﹣6〕，B〔2，2〕、〔Ⅰ〕求过点P〔2，﹣3〕且与直线AB平行的直线l的方程；〔Ⅱ〕求线段AB的垂直平分线方程、18、〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA的中点、〔1〕求证：PC∥平面BDE〔2〕求三棱锥P﹣CED的体积、19、〔12分〕函数f〔x〕＝2x＋2ax〔a为实数〕，且f〔1〕＝、〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕判断函数f〔x〕的奇偶性并证明；〔3〕判断函数f〔x〕在区间【0，＋∞〕的单调性，并用定义证明、20、〔12分〕如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点、〔1〕求证：平面APM⊥平面BB1C1 C；〔2〕试判断直线BC1与AP是否能够垂直、假设能垂直，求PB的长；假设不能垂直，请说明理由、21、〔12分〕半径为的圆C，其圆心在射线y＝﹣2x〔x《0〕上，且与直线x ＋y＋1＝0相切、〔1〕求圆C的方程；〔2〕从圆C外一点P〔x0，y〕〕向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有｜PM｜＝｜PO｜，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标、22、〔12分〕a∈R，函数f〔x〕＝log2〔＋a〕、〔1〕假设f〔1〕《2，求实数a的取值范围；〔2〕设函数g〔x〕＝f〔x〕﹣log2【〔a﹣4〕x＋2a﹣5】，讨论函数g〔x〕的零点个数、2016－2017学年广东省广州市天河区高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题1、〔5分〕设全集U＝｛1，2，3，4，5，6｝，A＝｛1，2｝，B＝｛2，3，4｝，那么A∩〔∁UB〕＝〔〕A、｛1，2，5，6｝B、｛1，2，3，4｝C、｛2｝D、｛1｝【解答】解：∵全集U＝｛1，2，3，4，5，6｝，B＝｛2，3，4｝，∴∁UB＝｛1，5，6｝，又∵A＝｛1，2｝，∴A∩〔∁UB〕＝｛1｝，应选：D、2、〔5分〕直线x﹣y＋3＝0的倾斜角是〔〕A、30°B、45°C、60°D、150°【解答】解：设直线x﹣y＋3＝0的倾斜角为θ、由直线x﹣y＋3＝0化为y＝x＋3，∴tanθ＝，∵θ∈【0，π〕，∴θ＝60°、应选C、3、〔5分〕以下函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是〔〕A、f〔x〕＝2xB、f〔x〕＝log xC、f〔x〕＝D、f〔x〕＝﹣x｜x｜【解答】解：对于A，B，非奇非偶函数；对于C，是奇函数，不是定义域上的减函数；对于D，在其定义域上既是奇函数又是减函数，应选：D、4、〔5分〕在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝1，那么异面直线AD与BC1所成角为〔〕A、30°B、45°C、60°D、90°【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A〔〕，D〔0，0，0〕，B〔，0〕，C1〔0，，1〕，＝〔﹣〕，＝〔﹣，0，1〕，设异面直线AD与BC1所成角为θ，那么cosθ＝＝＝、∴θ＝30°、∴异面直线AD与BC1所成角为30°、应选：A、5、〔5分〕直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x﹣3y＋4＝0，假设l1与l2的交点在y轴上，那么C的值为〔〕A、4B、﹣4C、±4D、与A有关【解答】解：直线2x﹣3y＋4＝0与y轴的交点〔0，〕，代入直线Ax＋3y＋C＝0，可得4＋C＝0，解得C＝﹣4、应选B、6、〔5分〕设a＝40.1，b＝log30.1，c＝0.50.1，那么〔〕A、a》b》cB、a》c》bC、b》a》cD、b》c》a【解答】解：∵a＝40.1》1，b＝log30.1《0，0《c＝0.50.1《1，∴a》c》B、应选：B、7、〔5分〕圆x2＋y2＋2x﹣2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，那么实数a的值是〔〕A、﹣4B、﹣3C、﹣2D、﹣1【解答】解：圆x2＋y2＋2x﹣2y＋2a＝0即〔x＋1〕2＋〔y﹣1〕2＝2﹣2a，故弦心距d＝＝、再由弦长公式可得2﹣2a＝2＋4，∴a＝﹣2，应选：C、8、〔5分〕一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为〔〕A、3πB、4πC、2π＋4D、3π＋4【解答】解：由中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S＝2×π＋〔2＋π〕×2＝3π＋4，应选：D9、〔5分〕函数的零点所在的区间为〔〕A、B、C、D、【解答】解：函数在〔0，＋∞〕上单调递增、因为，，，，所以，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为、应选D、10、〔5分〕过点A〔3，5〕作圆〔x﹣2〕2＋〔y﹣3〕2＝1的切线，那么切线的方程为〔〕A、x＝3或3x＋4y﹣29＝0B、y＝3或3x＋4y﹣29＝0C、x＝3或3x﹣4y＋11＝0D、y＝3或3x﹣4y＋11＝0【解答】解：由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：〔2，3〕；1，当切线的斜率存在，设切线的斜率为k，那么切线方程为：kx﹣y﹣3k＋5＝0，由点到直线的距离公式可得：＝1解得：k＝，所以切线方程为：3x＋4y﹣29＝0；当切线的斜率不存在时，直线为：x＝3，满足圆心〔2，3〕到直线x＝3的距离为圆的半径1，x＝3也是切线方程；应选A、11、〔5分〕三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，假设该棱柱的体积为，BC＝，AC＝1，∠ACB＝90°，那么此球的体积等于〔〕A、πB、πC、πD、8π【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，BC＝，AC＝1，∠ACB＝90°，∴AA1＝∴AA1＝2，∵BC＝，AC＝1，∠ACB＝90°，△ABC外接圆的半径R＝1，∴外接球的半径为＝，∴球的体积等于＝π，应选：C、12、〔5分〕定义在R上的函数f〔x〕满足：①f〔x〕＋f〔2﹣x〕＝0；②f〔x ﹣2〕＝f〔﹣x〕，③在【﹣1，1】上表达式为f〔x〕＝，那么函数f〔x〕与函数g〔x〕＝的图象在区间【﹣3，3】上的交点个数为〔〕A、5B、6C、7D、8【解答】解：由f〔x〕＋f〔2﹣x〕＝0，可得函数f〔x〕的图象关于点M〔1，0〕对称、由f〔x﹣2〕＝f〔﹣x〕，可得函数f〔x〕的图象关于直线x＝﹣1对称、又在【﹣1，1】上表达式为f〔x〕＝，可得图象：进而得到在区间【﹣3，3】上的图象、画出函数g〔x〕＝在区间【﹣3，3】上的图象，其交点个数为6个、应选：B、【二】填空题13、〔5分〕函数y＝ln〔1﹣2x〕的定义域是｛x｜x《｝、【解答】解：根据题意：1﹣2x》0∴x《故答案为：｛x｜x《｝14、〔5分〕设函数f〔x〕＝，那么f〔f〔﹣4〕〕＝3、【解答】解：∵f〔x〕＝，∴f〔﹣4〕＝〔〕﹣4﹣7＝9，f〔f〔﹣4〕〕＝f〔9〕＝＝3、故答案为：3、15、〔5分〕假设直线〔a＋1〕x＋ay＝0与直线ax＋2y＝1垂直，那么实数a＝0或﹣3、【解答】解：当a＝0时，两条直线方程分别化为：x＝0，2y＝1，此时两条直线垂直，因此a＝0满足条件、当a≠0时，两条直线的斜率分别为﹣，﹣，而﹣•〔﹣〕＝﹣1，此时a＝﹣3、综上可得：a＝0或﹣3、故答案为：0或﹣3、16、〔5分〕α，β是两个平面，m，n是两条直线，那么以下四个结论中，正确的有②③〔填写所有正确结论的编号〕①假设m∥α，n∥α，那么m∥n；②假设m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③假设a∥β，m⊂α，那么m∥β；④假设m⊥n、m⊥α，n∥β，那么α⊥β【解答】解：①假设m∥α，n∥α，那么m与n的关系不确定，故错误；②如果m⊥α，n∥α，那么平面α内存在直线l使，m⊥l，n∥l，故m⊥n，故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，那么m∥β，故正确；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β的关系不确定，故错误；故答案为：②③、【三】解答题17、〔10分〕平面内两点A〔8，﹣6〕，B〔2，2〕、〔Ⅰ〕求过点P〔2，﹣3〕且与直线AB平行的直线l的方程；〔Ⅱ〕求线段AB的垂直平分线方程、【解答】解：〔Ⅰ〕因为，…〔2分〕所以由点斜式得直线l的方程4x＋3y＋1＝0…〔4分〕〔Ⅱ〕因为AB的中点坐标为〔5，﹣2〕，AB的垂直平分线斜率为…〔6分〕所以由点斜式得AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23＝0…〔8分〕18、〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA的中点、〔1〕求证：PC∥平面BDE〔2〕求三棱锥P﹣CED的体积、【解答】证明：〔1〕连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，∴O是AC中点，∵E是侧棱PA的中点，∴OE∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE、解：〔2〕∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA的中点，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵S△PDE＝＝＝，∴三棱锥P﹣CED的体积VP﹣CED ＝VC﹣PDE＝＝＝、19、〔12分〕函数f 〔x 〕＝2x ＋2ax 〔a 为实数〕，且f 〔1〕＝、 〔1〕求函数f 〔x 〕的解析式；〔2〕判断函数f 〔x 〕的奇偶性并证明；〔3〕判断函数f 〔x 〕在区间【0，＋∞〕的单调性，并用定义证明、 【解答】解：〔1〕∵f 〔x 〕＝2x ＋2ax 〔a 为实数〕，且f 〔1〕＝、 ∴f 〔1〕＝2＋2a ＝、得2a ＝，即a ＝﹣1， 那么函数f 〔x 〕的解析式f 〔x 〕＝2x ＋2﹣x ； 〔2〕f 〔﹣x 〕＝2﹣x ＋2x ＝﹣〔2x ﹣2﹣x 〕＝f 〔x 〕， 那么函数f 〔x 〕是偶函数、〔3〕设0≤x 1《x 2，f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕＝﹣﹣＋＝〔﹣〕〔1﹣〕＝〔﹣〕，∵y ＝2x 是增函数，∴﹣《0，当x 》0时，》1，那么﹣1》0，∴f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕《0，即f 〔x 1〕《f 〔x 2〕，函数f 〔x 〕是增函数、20、〔12分〕如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，CAB ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝，M 为BC 的中点，P 为侧棱BB 1上的动点、 〔1〕求证：平面APM ⊥平面BB 1C 1C ；〔2〕试判断直线BC 1与AP 是否能够垂直、假设能垂直，求PB 的长；假设不能垂直，请说明理由、【解答】证明：〔1〕∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点、∴AM⊥BC，AM⊥BB1，∵BC∩BB1＝B，∴AM⊥平面BB1C1C，∵AM⊂平面APM，∴平面APM⊥平面BB1C1 C、解：〔2〕以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，B〔0，2，0〕，C1〔2，0，〕，A〔0，0，0〕，设BP＝t，〔0〕，那么P〔0，2，t〕，＝〔2，﹣2，〕，＝〔0，2，t〕，假设直线BC1与AP能垂直，那么，解得t＝，∵t＝》BB1＝，∴直线BC1与AP不能垂直、21、〔12分〕半径为的圆C，其圆心在射线y＝﹣2x〔x《0〕上，且与直线x ＋y＋1＝0相切、〔1〕求圆C的方程；〔2〕从圆C外一点P〔x0，y〕〕向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有｜PM｜＝｜PO｜，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标、【解答】解：〔1〕圆的半径为，设圆心C〔a，﹣2a〕〔a《0〕，∵圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝，∴a＝﹣1、∴圆心C〔﹣1，2〕、那么圆的方程为：〔x＋1〕2＋〔y﹣2〕2＝2；〔2〕点P〔x0，y〕，那么PO＝，PM＝，由｜PM｜＝｜PO｜，得2x0﹣4y＋3＝0，PM＝PO＝＝＝＝、当时，PM＝、因此，PM的最小值为、△PMC面积的最小值是：＝、此时点P的坐标为〔，〕、22、〔12分〕a∈R，函数f〔x〕＝log2〔＋a〕、〔1〕假设f〔1〕《2，求实数a的取值范围；〔2〕设函数g〔x〕＝f〔x〕﹣log2【〔a﹣4〕x＋2a﹣5】，讨论函数g〔x〕的零点个数、【解答】解：〔1〕假设f〔1〕《2，那么log2〔1＋a〕《2，即0《1＋a《4，解得：a∈〔﹣1，3〕；〔2〕令函数g〔x〕＝f〔x〕﹣log2【〔a﹣4〕x＋2a﹣5】＝0，那么f〔x〕＝log2【〔a﹣4〕x＋2a﹣5】，即＋a＝〔a﹣4〕x＋2a﹣5，即〔a﹣4〕x2＋〔a﹣5〕x﹣1＝0，①当a＝4时，方程可化为：﹣x﹣1＝0，解得：x＝﹣1，此时＋a＝〔a﹣4〕x＋2a﹣5＝3，满足条件，即a＝4时函数g〔x〕有一个零点；②当〔a﹣5〕2＋4〔a﹣4〕＝0时，a＝3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1＝0，解得：x＝﹣1，此时＋a＝〔a﹣4〕x＋2a﹣5＝2，满足条件，即a＝3时函数g〔x〕有一个零点；③当〔a﹣5〕2＋4〔a﹣4〕》0时，a≠3，方程有两个根，x＝﹣1，或x＝，当x＝﹣1时，＋a＝〔a﹣4〕x＋2a﹣5＝a﹣1，当a》1时，满足条件，当x＝时，＋a＝〔a﹣4〕x＋2a﹣5＝2a﹣4，当a》2时，满足条件，综上可得：1《a≤2时，函数g〔x〕有一个零点；a》2且a≠3且a≠4时函数g〔x〕有两个零点；。
2021-2022学年广东省广州市天河区高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省广州市天河区高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列函数中，既在R 上单调递增，又是奇函数的是（ ） A ．sin y x = B ．3y x = C ．1y x =+ D ．2x y =【答案】B【分析】逐一判断每个函数的单调性和奇偶性即可.【详解】sin y x =是奇函数，但在R 上不单调递增，故A 不满足题意； 3y x =既在R 上单调递增，又是奇函数，故B 满足题意；1y x =+、2x y =不是奇函数，故C 、D 不满足题意；故选：B2．已知集合{1,2,3,4,5},{2,3,5},{2,5}U A B ===，则（ ） A ．A B ⊆ B ．{1,3,4}U B = C ．{2,5}A B = D ．{3}A B ⋂=【答案】B【解析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断. 【详解】由题B A ⊆，故A 错；∵{1,2,3,4,5}U =，{2,5}B =，∴{1,3,4}U B =，B 正确； {2,3,5}A B =，C 错；{2,5}A B ⋂=，D 错；故选:B3．设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】B【分析】根据指、对数函数的知识判断出,,a b c 的范围即可. 【详解】因为50log 41a <=<，15log 30b =<，0.200.50.51c -=>=所以c a b >> 故选：B4．已知α是锐角，那么2α是（ ）． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角【答案】C【分析】由题知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()20,απ∈，进而得答案.【详解】因为α是锐角,所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()20,απ∈,满足小于180°的正角.其中D 选项不包括90，故错误. 故选：C5．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 1.00.51在四个函数模型（a ，b 为待定系数）中，最能反映x ，y 函数关系的是（ ）.A ．y a bx =+B ．x y a b =+C ．log b y a x =+D ．by a x=+【答案】B【分析】由题中表格数据画出散点图，由图观察实验室是指数型函数图象 【详解】由题中表格数据画出散点图，如图所示， 观察图象，类似于指数函数对于A ，是一次函数，图象是一条直线，所以A 错误， 对于B ，是指数型函数，所以B 正确，对于C ，是对数型函数，由于表中的x 取到了负数，所以C 错误， 对于D ，是反比例型函数，图象是双曲线，所以D 错误， 故选：B6．设0a >，0b >，若54ab a b -=+，则ab 的最小值是（ ） A ．5 B ．9 C ．16 D ．25【答案】D【分析】结合基本不等式来求得ab 的最小值.【详解】0,0a b >>，54244ab a b a b ab -=+≥⋅=， )()45510ab ab ab ab -=≥，50,25ab ab ≥≥，当且仅当4a b =时等号成立，由5425410b a a ab a b b ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨-=+⎩⎪=⎩. 故选：D7．使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是（ ） A ．20x -<< B ．23x -<< C ．05x << D ．24x -<<【答案】A【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义结合集合间的关系直接判断作答.【详解】解不等式260x x --<得：23x -<<，对于A ，因{|20}x x -<< {|23}x x -<<，即20x -<<是260x x --<成立的充分不必要条件，A 正确；对于B ，23x -<<是260x x --<成立的充要条件，B 不正确；对于C ，因{|05}x x <<⊄{|23}x x -<<，且{|23}{|05}x x x x -<<⊄<<， 则05x <<是260x x --<成立的不充分不必要条件，C 不正确；对于D ，因{|23}x x -<< {|24}x x -<<，则24x -<<是260x x --<成立的必要不充分条件，D 不正确. 故选：A8．一半径为2m 的水轮，水轮圆心O 距离水面1m ；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P 距离水面的高度h （单位：m ）表示为时间t （单位：s ）的函数，记()h f t =，则()(1)(2)f t f t f t ++++=（ ）A ．0B ．1C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意设h ＝f （t ）＝A sin （ωt +φ）+k ，求出φ、A 、T 和k 、ω的值，写出函数解析式，计算f （t ）+f （t +1）+f （t +2）的值．【详解】根据题意，设h ＝f （t ）＝A sin （ωt +φ）+k ，（2π-＜φ＜0），则A ＝2，k ＝1，因为T ＝3，所以ω223T ππ==，所以h ＝2sin （23πt +φ）+1， 又因为t ＝0时，h ＝0，所以0＝2sin φ+1，所以sin φ12=-，又因为2π-＜φ＜0，所以φ6π=-，所以h ＝f （t ）＝2sin （23πt 6π-）+1； 所以f （t ）3=23πt ﹣cos 23πt +1， f （t +1）＝2sin （23πt 2π+）+1＝2cos 23πt +1， f （t +2）＝2sin （23πt 76π+）+13=-23πt ﹣cos 23πt +1， 所以f （t ）+f （t +1）+f （t +2）＝3．故选：C ． 二、多选题9．下列几种说法中，正确的是（ ） A ．“x y >”是“22x y >”的充分不必要条件B ．命题“Z x ∀∈，20x >”的否定是“0Z x ∃∈，200x ≤”C ．若不等式20x ax b +-<的解集是(2,3)-，则20ax x b -+>的解集是(3,2)-D ．“,0()3k ∈-”是“不等式23208kx kx +-<对一切x 都成立”的充要条件【答案】BC【分析】利用充分必要条件的定义可判断A ；由命题的否定可判断B ；由不等式的解法可判断C ；由不等式恒成立求出k 的取值范围，再由充分必要条件的定义可判断D ． 【详解】对于A ，x ＞y 不能推出x 2＞y 2，例如x ＝﹣1，y ＝﹣2，x 2＞y 2也不能推出x ＞y ，例如x ＝﹣2，y ＝﹣1，故“x ＞y ”是“x 2＞y 2”的既不充分也不必要，故A 错误；对于B ，命题“Z x ∀∈，20x >”的否定是“0Z x ∃∈，200x ≤”，故B 正确；对于C ，若不等式x 2+ax ﹣b ＜0的解集是（﹣2，3），则﹣2，3是方程x 2+ax ﹣b ＝0的两个根，由根与系数的关系可得﹣a ＝﹣2+3，﹣b ＝﹣6，可得a ＝﹣1，b ＝6，所以ax 2﹣x +b ＞0即为﹣x 2﹣x +6＞0，即x 2+x ﹣6＜0，解得﹣3＜x ＜2，可得不等式ax 2﹣x +b ＞0的解集为（﹣3，2），故C 正确；对于D ，不等式23208kx kx +-＜对一切x 都成立，当k ＝0时，不等式38-＜0恒成立，当k ≠0时，0,Δk <＝k 2﹣4×2k ×（38-）＜0，解得﹣3＜k ＜0，综上，k ∈（﹣3，0]，所以“k ∈（﹣3，0）”是“不等式23208kx kx +-＜对一切x 都成立”的充分不必要条件，故D 错误． 故选：BC ．10．下列几种说法中，正确的是（ ） A ．若0a b >>，0c <，则c c a b> B ．若0x >且1x ≠，则2log log 2x x +的最小值是2C ．2x >时，22x x x-+的最小值是1D5x = 【答案】AD【分析】利用不等式的性质判断A ，利用基本不等式判断B ，C ，D ，注意基本不等式成立的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可． 【详解】对于选项A ，0a b >>，∴11a b<， 又0c <，∴c ca b>，故选项A 正确， 对于选项B ，当01x <<时，2log 0x <， 2221log log 2log 0log x x x x∴+=+<，故选项B 错误， 对于选项C ，2x >，∴2221221x x x x x-+=+--，当且仅当2x x =即x 号成立，显然x C 错误， 对于选项D ：由(10)0x x -可得010x ，(10))52x x x +-=，当且仅当10x x =-即5x =时，等号成立，故选项D 正确， 故选：AD11．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．直线43x π=是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 在区间7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将函数()f x 图象上的所有点向左平移6π个单位长度，得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象D ．若()6f x a f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则1a <-【答案】ACD【分析】直接利用函数的关系式，利用正弦型函数的性质的应用和恒成立问题的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． 【详解】函数()sin(2)6f x x π=-，对于A ：f （43π）＝8sin 36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭＝1，故A 正确； 对于B ：由于7,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上有增有减，故B错误；对于C ：将函数()sin(2)6f x x π=-的图象上的所有点向左平移6π个单位，得到函数sin(2)6y x π=+的图象，故C 正确；对于D ：函数()6f x a f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得1sin(2)62a x π<--，即求出函数()1sin(2)62g x x π=--的最小值即可，由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当x ＝0时取得最小值1-，故a ＜﹣1，故D 正确．故选：ACD ．12．已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，令()()h x f x k =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞B ．当(]43k ,∈--时，()h x 有3个零点C ．当2k =-时，()h x 的所有零点之和为-1D ．当(),4k ∈-∞-时，()h x 有1个零点 【答案】BD【分析】画出()f x 的图象，然后逐一判断即可. 【详解】()f x 的图象如下：由图象可知，()f x 的增区间为()()1,0,0,-+∞，故A 错误当(]43k ,∈--时，()y f x =与y k =有3个交点，即()h x 有3个零点，故B 正确； 当2k =-时，由2232x x +-=-可得1x =-±2ln 2x -+=-可得1x = 所以()h x的所有零点之和为11-=C 错误；当(),4k ∈-∞-时，()y f x =与y k =有1个交点，即()h x 有1个零点，故D 正确； 故选：BD 三、填空题13．函数1()1f x x -的定义域为______． 【答案】[)()0,11,+∞【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由2101x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，因此定义域为[)()0,11,+∞.故答案为：[)()0,11,+∞.14．在单位圆中，已知角θ的终边与单位圆的交点为43(,)55P -，则tan()4πθ-=______．【答案】7【分析】先由三角函数定义得3tan 4θ=-，再由正切的两角差公式计算即可.【详解】由三角函数的定义有335tan 445θ-==-，而311tan 4tan()7341tan 14πθθθ+--===+-. 故答案为：715．已知函数()()2,0,0x x f x g x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则(2)g =______．【答案】14-0.25- 【分析】利用奇函数的性质进行求解即可.【详解】因为()f x 是奇函数，所以有21(2)(2)(2)24g f f -==--=-=-，故答案为：14-16．若函数2()61f x ax x =+-在(1,1)-内恰有一个零点，则实数a 的取值范围为______．【答案】[3,3]-【分析】根据实数a 的正负性结合零点存在原理分类讨论即可. 【详解】当0a =时，1()610(1,1)6f x x x =-=⇒=∈-，符合题意，当0a ≠时，二次函数2()61f x ax x =+-的对称轴为：3x a=-，因为函数2()61f x ax x =+-在(1,1)-内恰有一个零点，所以有：(1)(1)031f f a ⋅-<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，或(1)(1)031f f a ⋅-<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，即(5)(7)031a a a +-<⎧⎪⎨-≥⎪⎩或(5)(7)031a a a+-<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩， 解得：30a -≤<，或03a <≤， 综上所述：实数a 的取值范围为[3,3]-， 故答案为：[3,3]- 四、解答题17．已知集合1{|3}2A x x =-≤≤，2{|40}B x x =-<，{|0}M x x a =-<.(1)求A B ，R ()A B ．(2)若A M A ⋂=，求实数a 的取值范围．【答案】(1){|23}x x -<≤；1{|2}2x x -<<-；(2)3a >.【分析】(1)解不等式化简集合B ，再利用交集、并集、补集的定义直接计算作答. (2)由已知可得A M ⊆，再利用集合的包含关系列式计算作答. (1)解240x -<得：22x -<<，则{|22}B x x ，而1{|3}2A x x =-≤≤， 所以{|23}A B x x =-<≤，R1{|2A x x =<-或3}x >，R 1(){|2}2A B x x ⋂=-<<-.(2){|}M x x a =<，因A M A ⋂=，则A M ⊆，于是得3a >，所以实数a 的取值范围是3a >.18．已知cos()cos()2()sin(2)f ππθθθπθ+⋅-=-． (1)若1()3f θ=，求cos2θ的值； (2)若1()63f πθ-=，且263θππ<<，求sin θ的值．【答案】(1)79-【分析】（1）利用诱导公式化简可得()cos f θθ=，然后利用二倍角公式求解即可；（2）由条件可得1cos 63πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin sin sin cos cos sin 666666ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求解即可.(1)cos()cos()cos sin 2()cos sin(2)sin f ππθθθθθθπθθ+⋅--===--因为1()cos 3f θθ==，所以27cos 22cos 19θθ=-=-(2)因为1()cos 663f ππθθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，263θππ<<所以062πθπ<-<，sin 6πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭所以11sin sin sin cos cos sin 666666332ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 19．已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--． (1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论； (2)解不等式()0f x >．【答案】(1)f （x ）为奇函数，证明见解析；(2)当a ＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a ＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）． 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出f （﹣x ）与f （x ）的关系，利用函数的奇偶性的定义，得出结论；（2）分类讨论底数的范围，再利用函数的定义域和单调性，求得x 的范围． (1)对于函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，由1010x x +⎧⎨-⎩＞＞，求得﹣1＜x ＜1，故函数的定义域为（﹣1，1），再根据()()log (1)log (1)a a f x x x f x -=-+-+=- 可得f （x ）为奇函数． (2)不等式f （x ）＞0，即log a （x +1）＞log a （1﹣x ），当a ＞1时，可得x +1＞1﹣x ，且x ∈（﹣1，1），求得0＜x ＜1． 当0＜a ＜1时，可得x +1＜1﹣x ，且x ∈（﹣1，1），求得﹣1＜x ＜0，综上，当a ＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a ＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）． 20．已知函数()sin(4)cos(4)36f x x x ππ=++-．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若()f x 在区间[]0,m 上存在唯一的最小值为-2，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)2T π=,5,,Z 242242k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)719[,)2424ππ【分析】（1）用诱导公式将函数化为sin()y A x ωϕ=+，然后可解； （2）根据m 介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解. (1)()sin(4)cos(4)sin(4)cos[(4)]2sin(4)363323f x x x x x x ππππππ=++-=+++-=+所以()f x 的最小正周期242T ππ==， 由242,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得5,242242x k k k Z ππππ≤≤-++∈，所以()f x 的单调递增区间为5,,Z 242242k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. (2) 令4232x k πππ+=-+，得5,242k x k Z ππ=-+∈ 因为()f x 在区间[]0,m 上存在唯一的最小值为-2， 所以，5524224m ππππ-+≤<-+，即7192424m ππ≤< 所以实数m 的取值范围是719[,)2424ππ. 21．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图（1）所示；B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y 与投资x 的单位均为万元）．(1)分别求A ，B 两种产品的利润y 关于投资x 的函数解析式；(2)己知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？【答案】(1)A 产品的利润y 关于投资x 的函数解析式为：0.25(0)y x x =≥； B 产品的利润y 关于投资x 的函数解析式为：2(0)y x x =≥.(2)①45万元；②当投入B 产品的资金为16万元，投入A 产品的资金为184万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元.【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可； （2）①：利用代入法进行求解即可；②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可. (1)因为A 产品的利润y 与投资x 成正比，所以设(0)y kx k =≠，由函数图象可知，当1x =时，0.25y =， 所以有0.25k =，所以0.25(0)y x x =≥；因为B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，所以设(0)y m x m =≠，由函数图象可知：当4x =时，4y =， 所以有442m m ==，所以2(0)y x x =≥； (2)①: 将200万元资金平均投入两种产品的生产， 所以A 产品的利润为0.2510025⨯=， B 产品的利润为210020y ==， 所以获得总利润为252045+=万元；②：设投入B 产品的资金为(0200)x x ≤≤万元，则投入A 产品的资金为(200)x -万元，设企业获得的总利润为w 万元，所以10.25(200)504w x x =-+=-+(0t t =≤≤，所以2211()250(4)5444w f t t t t ==-++=--+，当4t =时，即当16x =时，w 有最大值，最大值为54，所以当投入B 产品的资金为16万元，投入A 产品的资金为184万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元. 22．设R a ∈，函数2()2x x af x a+=-．(1)若0a <，判断并证明函数()f x 的单调性；(2)若0a ≠，函数()f x 在区间[],m n （m n <）上的取值范围是,22mn k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k ∈R ），求k a的范围．【答案】(1)()f x 在R 上递增，证明见解析.(2)({}0,31--【分析】（1）根据函数单调性的定义计算()()12f x f x -的符号，从而判断出()f x 的单调性.（2）对a 进行分类讨论，结合一元二次方程根的分布来求得ka的范围.(1)2222()1222x x x x x a a a af x a a a++===+----，当0a <时，()f x 的定义域为R ，()f x 在R 上递增，证明如下：任取()()()()21121212122222,22222x x x x x x a a x x f x f x a a a a a -<-=-=⋅----，由于21220x x ->，所以()()()()12120,f x f x f x f x -<<，所以()f x 在R 上递增. (2)由于m n <，所以22m n ，1122m n>， 由,22mn k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦知22m n k k <，所以0k <.由于0a ≠，所以0a <或0a >.当0a <时，由（1）可知()f x 在R 上递增.所以()()22m n k f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而222x xx a ka +=-①有两个不同的实数根， 令2,0x t t =>，①可化为()20t a k t ak +-+=，其中0,0,0a k ak <<>，所以()202400a k a k ak ak -⎧->⎪⎪⎪-->⎨⎪>⎪⎪⎩，22600k a k ak a ak >⎧⎪-+>⎨⎪>⎩，2016100k a k k a a ak ⎧<<⎪⎪⎪⎛⎫-⋅+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得03ka <<-当0a >时，函数2()12x af x a=+-的定义域为{}2|log x x a ≠，函数()f x 在()()22,log ,log ,a a -∞+∞上递减.若[]()2,log ,m n a ⊆+∞，则()1f x >，于是02m k>，这与0k <矛盾，故舍去.所以[]()2,,log m n a ⊆-∞，则()1f x <，于是()()()()()()22222222222222m n m m m n n n m nn m n m a k k f m a k a a k a k a k a f n a ⎧+⎧==⎧⎪+=-⎪⎪⎪⎪-⇒⇒⎨⎨⎨++=-⎪⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩-⎩， 两式相减并化简得()()220n ma k +-=，由于,22n m m n <>，所以0a k +=，所以1k a=-.综上所述，ka的取值范围是({}0,31--.【点睛】函数()f x 在区间[],a b 上单调，则其值域和单调性有关，若()f x 在区间[],a b 上递增，则值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦；若()f x 在区间[],a b 上递减，则值域为()(),f b f a ⎡⎤⎣⎦.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷一、选择题1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1，2，3，4}C．{2}D．{1}2．（5分）直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．150°3．（5分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=log x C．f（x）=D．f（x）=﹣x|x|4．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=1，则异面直线AD与BC1所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5分）已知直线l1的方程为Ax+3y+C=0，直线l2的方程为2x﹣3y+4=0，若l1与l2的交点在y轴上，则C的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．与A有关6．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣18．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+49．（5分）函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．10．（5分）过点A（3，5）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（）A．x=3或3x+4y﹣29=0 B．y=3或3x+4y﹣29=0C．x=3或3x﹣4y+11=0 D．y=3或3x﹣4y+11=011．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，则此球的体积等于（）A．πB．πC．πD．8π12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题13．（5分）函数y=ln（1﹣2x）的定义域是．14．（5分）设函数f（x）=，则f（f（﹣4））=．15．（5分）若直线（a+1）x+ay=0与直线ax+2y=1垂直，则实数a=．16．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个结论中，正确的有（填写所有正确结论的编号）①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若a∥β，m⊂α，则m∥β；④若m⊥n．m⊥α，n∥β，则α⊥β三、解答题17．（10分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE（2）求三棱锥P﹣CED的体积．19．（12分）已知函数f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）=．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（3）判断函数f（x）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1=，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．（1）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（2）试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．21．（12分）已知半径为的圆C，其圆心在射线y=﹣2x（x＜0）上，且与直线x+y+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0））向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标．22．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1，2，3，4}C．{2}D．{1}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，B={2，3，4}，∴∁U B={1，5，6}，又∵A={1，2}，∴A∩（∁U B）={1}，故选：D．2．（5分）直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．150°【解答】解：设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，∴tanθ=，∵θ∈[0，π），∴θ=60°．故选C．3．（5分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=log x C．f（x）=D．f（x）=﹣x|x|【解答】解：对于A，B，非奇非偶函数；对于C，是奇函数，不是定义域上的减函数；对于D，在其定义域上既是奇函数又是减函数，故选：D．4．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=1，则异面直线AD与BC1所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（），D（0，0，0），B（，0），C1（0，，1），=（﹣），=（﹣，0，1），设异面直线AD与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴θ=30°．∴异面直线AD与BC1所成角为30°．故选：A．5．（5分）已知直线l1的方程为Ax+3y+C=0，直线l2的方程为2x﹣3y+4=0，若l1与l2的交点在y轴上，则C的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．与A有关【解答】解：直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点（0，），代入直线Ax+3y+C=0，可得4+C=0，解得C=﹣4．故选B．6．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【解答】解：∵a=40.1＞1，b=log30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故选：B．7．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣2a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣2a=2+4，∴a=﹣2，故选：C．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D9．（5分）函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【解答】解：函数在（0，+∞）上单调递增．因为，，，，所以，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为．故选D．10．（5分）过点A（3，5）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（）A．x=3或3x+4y﹣29=0 B．y=3或3x+4y﹣29=0C．x=3或3x﹣4y+11=0 D．y=3或3x﹣4y+11=0【解答】解：由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：（2，3）；1，当切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为：kx﹣y﹣3k+5=0，由点到直线的距离公式可得：=1解得：k=，所以切线方程为：3x+4y﹣29=0；当切线的斜率不存在时，直线为：x=3，满足圆心（2，3）到直线x=3的距离为圆的半径1，x=3也是切线方程；故选A．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，则此球的体积等于（）A．πB．πC．πD．8π【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，∴AA1=∴AA1=2，∵BC=，AC=1，∠ACB=90°，△ABC外接圆的半径R=1，∴外接球的半径为=，∴球的体积等于=π，故选：C．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，其交点个数为6个．故选：B．二、填空题13．（5分）函数y=ln（1﹣2x）的定义域是{x|x＜} ．【解答】解：根据题意：1﹣2x＞0∴x＜故答案为：{x|x＜}14．（5分）设函数f（x）=，则f（f（﹣4））=3．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣4）=（）﹣4﹣7=9，f（f（﹣4））=f（9）==3．故答案为：3．15．（5分）若直线（a+1）x+ay=0与直线ax+2y=1垂直，则实数a=0或﹣3．【解答】解：当a=0时，两条直线方程分别化为：x=0，2y=1，此时两条直线垂直，因此a=0满足条件．当a≠0时，两条直线的斜率分别为﹣，﹣，而﹣•（﹣）=﹣1，此时a=﹣3．综上可得：a=0或﹣3．故答案为：0或﹣3．16．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个结论中，正确的有②③（填写所有正确结论的编号）①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若a∥β，m⊂α，则m∥β；④若m⊥n．m⊥α，n∥β，则α⊥β【解答】解：①若m∥α，n∥α，则m与n的关系不确定，故错误；②如果m⊥α，n∥α，那么平面α内存在直线l使，m⊥l，n∥l，故m⊥n，故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β，故正确；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β的关系不确定，故错误；故答案为：②③．三、解答题17．（10分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．【解答】解：（Ⅰ）因为，…（2分）所以由点斜式得直线l的方程4x+3y+1=0…（4分）（Ⅱ）因为AB的中点坐标为（5，﹣2），AB的垂直平分线斜率为…（6分）所以由点斜式得AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23=0…（8分）18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE（2）求三棱锥P﹣CED的体积．【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，∴O是AC中点，∵E是侧棱PA的中点，∴OE∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵S===，△PDE=V C﹣PDE===．∴三棱锥P﹣CED的体积V P﹣CED19．（12分）已知函数f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）=．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（3）判断函数f（x）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．【解答】解：（1）∵f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）=．∴f（1）=2+2a=．得2a=，即a=﹣1，则函数f（x）的解析式f（x）=2x+2﹣x；（2）f（﹣x）=2﹣x+2x=﹣（2x﹣2﹣x）=f（x），则函数f（x）是偶函数．（3）设0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣+=（﹣）（1﹣）=（﹣），∵y=2x是增函数，∴﹣＜0，当x＞0时，＞1，则﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）是增函数．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1=，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．（1）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（2）试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．【解答】证明：（1）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1=，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．∴AM⊥BC，AM⊥BB1，∵BC∩BB1=B，∴AM⊥平面BB1C1C，∵AM⊂平面APM，∴平面APM⊥平面BB1C1C．解：（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），C1（2，0，），A（0，0，0），设BP=t，（0），则P（0，2，t），=（2，﹣2，），=（0，2，t），若直线BC1与AP能垂直，则，解得t=，∵t=＞BB1=，∴直线BC1与AP不能垂直．21．（12分）已知半径为的圆C，其圆心在射线y=﹣2x（x＜0）上，且与直线x+y+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0））向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标．【解答】解：（1）已知圆的半径为，设圆心C（a，﹣2a）（a＜0），∵圆心到直线x+y+1=0的距离d=，∴a=﹣1．∴圆心C（﹣1，2）．则圆的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=2；（2）点P（x0，y0），则PO=，PM=，由|PM|=|PO|，得2x0﹣4y0+3=0，PM=PO====．当时，PM=．因此，PM的最小值为．△PMC面积的最小值是：=．此时点P的坐标为（，）．22．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得：a∈（﹣1，3）；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，则f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，①当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，即a=4时函数g（x）有一个零点；②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，即a=3时函数g（x）有一个零点；③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，方程有两个根，x=﹣1，或x=，当x=﹣1时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，当x=时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2a﹣4，当a＞2时，满足条件，综上可得：1＜a≤2时，函数g（x）有一个零点；a＞2且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点；。