高考选做题几何证明题汇总
【高一数学】高中数学立体几何常考证明题汇总(共6页)
新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形（2） 若BD=AC=2，EG=2。
求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1//,2EH BD EH BD = 同理，1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。
(2) 90° 30 °考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE（2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定AHGFEDCB AEDBC3、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面BDE 。
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC又EO 在平面BDE 内，1AC 在平面BDE 外 ∴1//AC 平面BDE 。
考点：线面平行的判定4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11AC ，设11111AC B D O ⋂=，连结1AO∵ 1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111AC B D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即 同理可证11AC AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂= ∴1AC ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定AED 1CB 1DCBASDCBAD 1O D B A C 1B 1A 1CN M PC BA 6、正方体''''ABCD ABCD -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC = 12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB =（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。
高考数学总复习 选做01 几何证明选讲试题(含解析)
专题1 几何证明选讲【三年高考全收录】1. 【2017高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．∠=∠；求证：（1）PAC CAB（2）2=⋅．AC AP AB【答案】（1）见解析；（2）见解析．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2. 【2016高考江苏】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点. 求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析【解析】 试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质EC BC DE ==21， 再由ECD EDC ∠=∠，ECD ∠与DBC ∠互余，ABD ∠与DBC ∠互余，得ECD ABD ∠=∠，从而得证. 试题解析：证明：在ADB △和ABC △中，因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠o为公共角，所以ADB △∽ABC △，于是ABD C ∠=∠.在Rt BDC △中，因为E 是BC 的中点，所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠.所以EDC ABD ∠=∠.【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．3．【2015江苏高考，21】如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆A B CE DO（第21——A 题）【答案】详见解析【考点定位】相似三角形4．【2016高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】33【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则223122BC =-=249AD x =-BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =222149x x=-，解得23x =考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．5．【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与e O 相切；(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .O DC B A【答案】(I)见解析(II)见解析【解析】试题分析：(I)设E 是AB 的中点,先证明60AOE ∠=︒,进一步可得12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．(II) 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ,证明'OO AB ⊥,'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ．试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切． E O'DC OBA（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥．同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.6．【2016高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,DGF CBF ∆~∆可得0180,CGF CBF ∠+∠=即得,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）由由,,,B C G F 四点共圆，可得FG FB ⊥，再证明,Rt BCG Rt BFG ∆~∆根据四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍求得结论.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即 111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．7．【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O e 中»AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明PFB ∠与PCD ∠是互补的，然后结合2PFB PCD ∠=∠与三角形内角和定理，不难求得PCD ∠的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知,,,C E F D 四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知G 为四边形CEFD 的外接圆圆心，则可知G 在线段CD 的垂直平分线上，由此可证明结果．试题解析：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.因为»»AP BP=，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒， 因此60PCD ∠=︒. （Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．8．【2015高考湖北，理15】如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则AB AC= . 【答案】21 AP B C【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为3BC PB =，所以224PB PA =，即PB PA 2=， 由PAB ∆∽PCA ∆，所以21==PA PB AC AB . 9.【2015高考新课标2，理22】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ） 若AG 等于O e 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，103AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)22⨯⨯-⨯⨯=．10．【2015高考陕西，理22】如图，AB 切O e 于点B ，直线D A 交O e 于D ，E 两点，GAEFON D B CMC D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O e 的直径．【2018年高考命题预测】纵观近几年高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说, “几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2018年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d=，则①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．【解析】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .【解析】(1)在Rt△ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt△ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得, BD 2＝BE ·AB ， 同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt△BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD . 即AD 3＝BC ·CF ·BE . 【考点2】圆的有关问题 【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d 与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r(2) 圆的切线性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 【考点针对训练】1. 如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CDA ABE ∆∆∽．【解析】连结AC ．EA Q 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠．AB AD =Q ，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠．Q 圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠．∴CDA ABE ∆∆∽．2. 如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ． （I ）求AFD ∠的值； （11）若AB=AC ，求BCAC的值．【解析】（Ⅰ）∵AC 是⊙O 的切线，∴B EAC ∠=∠，又∵DC 是ACB ∠的角平分线，DCB ACD ∠=∠,∴+DCB B ACD EAC ∠∠=∠+∠,∴ADF AFD ∠=∠， 又∵BE 是O e 的直径，∴090BAE ∠=,∴045AFD ∠=(Ⅱ) ∵AB AC =，∴=B ACB EAC ∠=∠∠，由（I ）得，090BAE ∠=，∴+=B AEB B ∠∠∠ACE +∠0390EAC B +∠=∠=,∴30B ∠=,∵B EAC ∠=∠,=ACB ACB ∠∠,∴ACE ∆∽BCA ∆,∴03tan 30AC AE BC AB ===．【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】选修4-1：几何证明选讲 如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若，求的度数.【答案】45° 【解析】连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-1：几何证明选讲 如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC OB ⊥于点C ，且2DE BE =，求证：23OC BC =.【答案】见解析 【解析】 解：连结，设圆的半径为，，则，. 在中，，，即，①又直线切圆于点，则，即，②，代入①，，，，.3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.【答案】434. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30AEB ∠=o ．求PCE ∠的大小．【解析】由PC 为APE ∠的平分线得EPC APC ∠=∠,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠,因为,CDE PED EPD DCE PAC APC ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，所以CDE DCE ∠=∠，因此1803075.2PCE -∠==o o o…………10分 5. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．PE B ODAC【解析】AE AC =Q ，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠，POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，又EAC PDE ∠=∠，PDE POC ∴∠=∠．6. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，,BC BD BA =的延长线交CD 的延长线于点,E 求证：AE 平分DAF ∠.【解析】因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以,DAE BCD FAE BAC BDC ∠=∠∠=∠=∠ 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠， 所以AE 平分DAF ∠.……………10分7. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图， AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C ．若DB DC =，求证：CA AO =．【解析】连接,.OD AD 因为AB 是圆O 的直径，所以90,2.ADB AB AO ∠==o --------（3分） 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ，-----------------------（6分） 又因为DB DC =，所以B C ∠=∠，于是ADB ODC ∆≅∆，从而AB CO =， 即2OA OA CA =+，得CA AO =．-----------------------------------（10分） 8. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】如图，,,A B E 是⊙O 上的点，过E 点的⊙O 的切线与直线AB 交于点P ，APE ∠的平分线和,AE BE 分别交于点,C D .求证：(1) DE CE =； (2)CA PECE PB=． 【答案】证明见解析．9.【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB AC =，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 切线交AC 于点E.求证：DE AC ⊥【答案】详见解析【解析】证明：连结OD ，因为AB AC =，所以B C ∠=∠．由圆O 知OB OD =，所以B BDO ∠=∠．从而BDO C ∠=∠，所以//OD AC .又因为DE 为圆O 的切线，所以DE OD ⊥，又因为//OD AC ，所以DE AC ⊥．10．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．【答案】详见解析11．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．【答案】详见解析【解析】证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．12．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析（2）2(2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1．又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3． 在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠PAH ＝2∠CAH ＝60°，所以PA ＝23．由PA 是半圆O 的切线，所以PA 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2．13．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知△ABC 内接于O e ，BE 是O e 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．【答案】详见解析【解析】证明：连结AE ．∵BE 是O e 的直径，∴90BAE ∠=︒．∴BAE ADC ∠=∠．又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． ∴BE AC BA AD =，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． 14．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2AB BE BD AE AC =•-•.【答案】详见解析 【解析】试题分析：证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， 所以2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．15．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E .求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.【答案】详见解析16．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,CA BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD .求证：DEA DFA ∠=∠.【答案】详见解析【解析】证明：连结AD ，Q AB 是圆O 的直径， 90ADB ∴∠=o ，90ADE ∴∠=o ,又EF FB ⊥Q ，90AFE ∴∠=o ，所以,,,A F E D 四点共圆，DEA DFA ∴∠=∠.A BO · FCDE 第21题（A ）图【一年原创真预测】1. 如图，AB 是O e 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O e 的割线，已知AB AC =.（Ⅰ）求证：AC FG //；(II)若1,4CG CD ==,求DE GF 的值.【入选理由】本题考查圆的切割线定理、三角形相似，四点共圆的性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题由切割线定理入手，得出三角形相似，结合四点共圆的性质，得出角相等，本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2. 如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,PO 交圆O 与,B C 两点，15PA =，,5=PB BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1） 求证AB PC AC PA ⋅=⋅ （2） 求AD AE ⋅的值.。
高中数学必修二立体几何常考证明题汇总
新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点的中点 （1） 求证：求证：EFGH EFGH 是平行四边形是平行四边形（2） 若BD=23，AC=2AC=2，，EG=2EG=2。
求异面直线。
求异面直线AC AC、、BD 所成的角和EG EG、、BD 所成的角。
所成的角。
证明：在ABD D 中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1//,2EH BD EH BD =同理，1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。
是平行四边形。
(2) 90(2) 90°° 30 30 °°考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
的中点。
求证：（1）^AB 平面CDE;（2）平面CDE ^平面ABC 。
证明：（1）BC AC CE AB AE BE =üÞ^ý=þ同理，AD BD DE AB AE BE =üÞ^ý=þ又∵CE DE E Ç= ∴∴AB ^平面CDE（2）由（）由（11）有AB ^平面CDE又∵AB Í平面ABC ， ∴平面∴平面CDE ^平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定A H G F E D C B A E D B C 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，的中点， 求证：求证： 1//AC 平面BDE 。
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1AC 在平面BDE 外∴1//AC 平面BDE 。
高考必做20道几何证明答案
几何证明专题一、解答题1 ．如图,∠BAC 的平分线与BC 和外接圆分别相交于D 和E,延长AC 交过D 、E 、C 三点的圆于点F.(Ⅰ)求证:EA ED EF 2∙=;(Ⅱ)若3EF ,6AE ==,求AC AF ∙的值.23 ．如图,已知0和M 相交于A、B两点,AD 为M 的直径,直线BD 交O 于点C,点G 为弧BD 中点,连结 AG分别交0、BD 于点E 、F,连结CE.22CEEF =4．如图,已知C、F是以AB为直径的半圆O上的两点,且CF=CB,过C作CD⊥AF交AF的延长线与点D.(1)证明:CD为圆O的切线;(2)若AD=3,AB=4,求AC的长.=, 5．如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P.E为⊙O上一点,AC AE DE交AB于点F.(I)证明:DF·EF=OF·FP;(II)当AB=2BP时,证明:OF=BF.6．如图,⊙O1与⊙O2相交于点A,B,⊙O1的切线AC交⊙O2于另一点C,⊙O2的切线AD交⊙O1于另一点D,DB的延长线交⊙O2于点E.(Ⅰ)求证:AB2=BC·BD;(Ⅱ)若AB =1,AC =2,AD=2,求BE.7．已知PA 与圆O 相切于点A ,经过点O 的割线PBC 交圆O 于点C B 、,APC ∠的平分线分别交AC AB 、于点E D 、.(1)证明:ADE AED ∠=∠; (2)若AP AC =,求PC PA的值.8．如图,半圆O 的直径AB 的长为4,点C 平分弧AE ,过C 作AB 的垂线交AB 于D ,交AE 于F .(1)求证:AF AE CE ⋅=2;(2)若AE 是CAB ∠的角平分线,求CD 的长.9．如图所示,已知PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点P 的割线交圆于B 、C 两点,弦CD ∥AP ,AD 、BC 相交于点E ,F 为CE 上一点,且DE 2 = EF ·EC .(1)求证:CE ·EB = EF ·EP ;(2)若CE :BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求PA 的长.10．如图,已知⊙O的半径为1,MN是⊙O的直径,过M点作⊙O的切线AM,C是AM的中点,AN 交⊙O于B点,若四边形BCON是平行四边形;(Ⅰ)求AM的长; (Ⅱ)求sin∠ANC.11．如图,A,B,C,D四点在同一圆O上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.(Ⅰ)若=,=,求的值;(Ⅱ)若EF2=FA·FB,证明:EF∥CD.12．如图, AB 是圆 O 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P .过点 A 作直线交圆 O 于点 Q ,交圆 B 干点 M , N .(1)求证: QM= QN ;(2)设圆O的半径为 2 ,圆 B 的半径为 1 ,当103AM 时,求 MN 的长.13．如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是⊙O的直径.(Ⅰ)求证:AC·BC=AD·AE;(Ⅱ)过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F,若AF=4,CF=6,求AC的长.14．如图,在△ABC中,∠C为钝角,点E、H是边AB上的点,点K、M分别是边AC和BC上的点,且AH =AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM.(I)求证:E、H、M、K四点共圆;(Ⅱ)若KE - EH,CE=3,求线段KM的长.15．在△ABC中,BC边上的点D满足BD=2DC,以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A,过点B 作BE⊥CA于点E,BE交圆D于点F.(1)求∠ABC的度数;(2)求证:BD=4EF16．在∆ABC的边AB,BC,CA上分别取D,E,F.使得DE=BE,FE=CE,又点O是△ADF的外心.(Ⅰ)证明:D,E,F,O四点共圆;(Ⅱ)证明:O在∠DEF的平分线上.17．如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B和两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.(1)求证:AD∥EC;(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.∠M,交圆0于点D, 过D作18．如图,直线MN交圆O于A,B两点,AC是直径,AD平分CAMDE上MN于E.(I)求证: DE是圆O的切线:(II)若DE=6,AE=3,求ΔABC的面积19．如图所示,AC 为O 的直径,D 为BC 的中点,E 为BC 的中点.(Ⅰ)求证://DE AB ;(Ⅱ)求证:AC BC AD CD =2.20． 如图,过圆O 外一点P 作该圆的两条割线PAB 和PCD,分别交圆 O 于点A,B,C,D 弦AD 和BC 交于Q 点,割线PEF 经过Q 点交圆 O 于点E 、F,点M 在E F 上,且BMF BAD ∠=∠:(I)求证:PA·PB=PM·PQ(II)求证:BOD BMD ∠=∠参考答案一、解答题1.解:(Ⅰ)如图,连接CE,DF. ∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC在圆内又知∠DCE=∠EFD,∠BCE=∠BAE . ∴∠EAF=∠EFD又∠AEF=∠FED, ∴ΔAEF∽ΔFED, ∴EFAE ED EF =, ∴EA ED EF ∙=2要证明角度相等,找中间角度作为桥梁. 要证明2EF ED EA =,可以把乘法变为除法,变为:EF EA EF ED ED EF EA EF==或者,于是得到“分子三角形和分母三角形”:EFA EFD EFD EFA ∆∆∆∆或者.这样就转化为三角形的相似,帮助找相似三角形.这样就可以做出辅助线,构造相似三角形.另外,做题要先度量,后计算,把图形画准确.从求证出发,向已知进行靠拢.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2EF ED EA =∵EF=3,AE=6, ∴ED=3/2,AD=9/2 ∴AC AF=AD AE=692⨯÷=272.3. 证明:(Ⅰ)连结AB 、AC ,∵AD 为⊙M 的直径,∴∠ABD =90°,∴AC 为⊙O 的直径,∴∠CEF =∠AGD =90°. ――――2分∵G 为弧BD 中点,∴∠DAG =∠GAB =∠ECF . ――――4分∴△CEF ∽△AGD ∴GDAG EF CE =, ∴AG·EF = CE·GD ――――6分 (Ⅱ)由⑴知∠DAG =∠GAB =∠FDG ,∠G =∠G ,∴△DFG ∽△AGD , ∴DG 2=AG·GF . ――――8分 由⑴知2222AG GD CE EF =,∴22CE EF AG GF = ――――10分 4. (Ⅰ)证明:∵CF CB =,CAF CAB ∴∠=∠.6.7. (1)∵ PA是切线,AB是弦,∴ ∠BAP=∠C,又∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED.(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴PC CAPA AB,∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵ BC 是圆O 的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴ ∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°. 在Rt△ABC 中,CA AB ∴ PC CAPA AB=. 8.9. (I)∵EC EF DE ⋅=2,∴C EDF ∠=∠,又∵C P ∠=∠,∴P EDF ∠=∠,∴EDF ∆∽PAE ∆∴EP EF ED EA ⋅=⋅又∵EB CE ED EA ⋅=⋅,∴EP EF EB CE ⋅=⋅···5分 (II)3=BE ,29=CE ,415=BP PA 是⊙O 的切线,PC PB PA ⋅=2,4315=PA 10.解:(Ⅰ)连接BM ,则90MBN∠=︒,因为四边形BCON 是平行四边形,所以BC ∥MN ,因为AM 是O 的切线,所以MN AM ⊥,可得BC AM ⊥, 又因为C 是AM 的中点,所以BM BA =, 得45NAM ∠=︒,故2AM =.(Ⅱ)作CE AN ⊥于E 点,则2CE =,由(Ⅰ)可知CN =故sin CE ANC NC ∠==. 11.12.13.14.15.16.证明:(Ⅰ) 如图,∠DEF =180°-(180°-2∠B )-(180°-2∠C )=180°-2∠A .因此∠A 是锐角,从而ADF 的外心与顶点A 在DF 的同侧,∠DOF =2∠A =180°-∠DEF . 因此D ,E ,F ,O 四点共圆 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠DEO =∠DFO =∠FDO =∠FEO , 即O 在∠DEF 的平分线上 17.证明:解:(I)∵AC 是⊙O 1的切线,∴∠BAC =∠D ,又∵∠BAC =∠E ,∴∠D =∠E ,∴AD ∥EC . 5' (II)设BP =x ,PE =y ,∵P A =6,PC =2, ∴xy =12 ①∵AD ∥EC ,∴PD PE =AP PC ,∴9＋x y =62② 由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4 (∵x >0,y >0)∴DE =9+x +y =16,∵AD 是⊙O 2的切线,∴AD 2=DB ·DE =9×16,∴AD =12.10'18.解:(Ⅰ)连结OD,则OA=OD,所以∠OAD=∠ODA.因为∠EAD=∠OAD,所以∠ODA=∠EAD因为∠EAD+∠EDA=90︒,所以∠EDA+∠ODA=90︒,即DE ⊥OD. 所以DE 是圆O 的切线A C EB D O F图6(Ⅱ)因为DE 是圆O 的切线,所以DE 2=EA·EB, 即62=3(3+AB),所以AB=9 因为OD∥MN, 所以O 到MN 的距离等于D 到MN 的距离,即为6 又因为O 为AC 的中点,C 到MN 的距离等于12 故△ABC 的面积S= 12AB·BC=5419.证明:(Ⅰ)连接BD ,因为D 为BC ︵的中点,所以BD =DC . 因为E 为BC 的中点,所以DE ⊥BC . 因为AC 为圆的直径,所以∠ABC =90︒, 所以AB ∥DE(Ⅱ)因为D 为BC ︵的中点,所以∠BAD =∠DAC , 又∠BAD =∠DCB ,则∠DAC =∠DCB .又因为AD ⊥DC ,DE ⊥CE ,所以△DAC ∽△ECD .所以AC CD =ADCE,AD ·CD =AC ·CE ,2AD ·CD =AC ·2CE , 因此2AD ·CD =AC ·BC 20.证明:(Ⅰ)∵∠BAD =∠BMF ,所以A,Q,M,B 四点共圆, 所以PA PB PM PQ ⋅=⋅ (Ⅱ)∵PA PB PC PD ⋅=⋅ , ∴PC PD PM PQ ⋅=⋅ ,又 CPQ MPD ∠=∠ , 所以~CPQ MPD ∆∆, ∴PMD PCQ ∠=∠ ,则DCB FMD ∠=∠,∵BAD BCD ∠=∠,∴2BMD BMF DMF BAD ∠=∠+∠=∠, 2BOD BAD ∠=∠, 所以BMD BOD ∠=∠ 21.选修4-1几何证明选讲证明:(Ⅰ)由弦切角定理知DAB DBE ∠=∠ 由DAC DBC ∠=∠,DAC DAB ∠=∠所以DBC DBE ∠=∠, 即.CBE BD ∠平分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知.BH BE =ABCDE OM N所以BE AH BH AH ⋅=⋅,因为DAC DAB ∠=∠,ABE ACB ∠=∠, 所以AHC ∆∽AEB ∆,所以BEHCAE AH =,即HC AE BE AH ⋅=⋅ 即:HC AE BH AH ⋅=⋅.22.证明:(1)连结AB ,AC ,∵AD 为圆M 的直径,∴090ABD ∠=, ∴AC 为圆O 的直径, ∴CEF AGD ∠=∠, ∵DFG CFE ∠=∠,∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点,∴DAG GDF ∠=∠, ∵ECB BAG ∠=∠,∴DAG ECF ∠=∠, ∴CEF ∆∽AGD ∆,∴CE AGEF GD=, GD CE EF AG ⋅=⋅∴(2)由(1)知DAG GDF ∠=∠,G G ∠=∠,∴D G F ∆∽AGD ∆,∴2DG AG GF =,由(1)知2222EF GD CE AG =,∴22GF EF AG CE = 23.解:(Ⅰ)∵PA 为⊙O 的切线,∴ACP PAB ∠=∠, 又P ∠P =∠∴PAB ∆∽PCA ∆.∴PCPAAC AB =(Ⅱ)∵PA 为⊙O 的切线,PBC 是过点O 的割线,∴PC PB PA ⋅=2.又∵10=PA ,5=PB ,∴20=PC ,15=BC 由(Ⅰ)知,21==PC PA AC AB ,∵BC 是⊙O 的直径, ∴90=∠CAB .∴225222==+BC AB AC , ∴AC=56· · A BCDGE F O M24.。
高考数学几何证明题型题库
高考数学几何证明题型题库题目一：平行四边形性质的证明证明：平行四边形的对角线互相平分解析：首先，我们知道平行四边形的对角线是互相等长的。
因此，我们可以将平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
现在，我们需要证明AC和BD互相平分。
证明过程如下：1. 过点O分别作直线DE和FG分别平行于AB和CD，DE和FG 与AC交于点E和G，分别与BD交于点F和H。
2. 由于ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，而DE∥AB，所以DE∥CD。
同理，FG∥CD。
3. 由平行线的性质可知，∠DAO = ∠OCD，而∠OAC = ∠OCB，所以∠EAO = ∠FDO。
4. 又因为平行四边形的对角线等长，所以AO = CO，BO = DO。
根据等边三角形的性质可知，AO = EO，DO = FO。
5. 综上所述，AO = EO = CO，BO = FO = DO，即AC和BD互相平分。
题目二：三角形角平分线的性质的证明证明：三角形内角的角平分线互相相交于同一点，且与对边相交点构成的线段等长。
解析：给定三角形ABC，角A的角平分线与BC相交于点D，角B的角平分线与AC相交于点E，角C的角平分线与AB相交于点F。
我们需要证明角平分线AD、BE和CF相交于同一点，且AD = BD = CD。
证明过程如下：1. 过点A分别作直线DE和DF分别平分∠BAC和∠BDC，DE与BC交于点E，DF与BC交于点F。
2. 由于∠BAF和∠BDF是角B的平分线，所以∠BAF = ∠FAD = α，∠BDF = ∠FDC = β。
3. 将直线DE延长与直线AB相交于点G，直线DF延长与直线BC相交于点H。
4. 在△ABG和△DFH中，根据内角和定理可得∠ABG + ∠BAG = 180°，∠DHG + ∠FDH = 180°。
5. ∠ABG和∠BDF互补，∠BAG和∠FDH互补，所以∠FAD +∠FDC = ∠BAF + ∠BDF = 180°。
高中数学立体几何证明题汇总
高中数学立体几何证明题汇总立体几何常考证明题1.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。
1）证明EFGH是平行四边形。
2）已知BD=23，AC=2，EG=2，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
2.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E 是AB的中点。
1）证明AB垂直于平面CDE。
2）证明平面CDE垂直于平面ABC。
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
证明A1C平行于平面BDE。
4.已知三角形ABC中∠ACB=90，SA垂直于面ABC，AD垂直于SC。
证明AD垂直于面SBC。
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点。
1）证明C1O平行于面AB1D1.2）证明AC1垂直于面AB1D1.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明AC垂直于平面B1D1D。
2）证明BD1垂直于平面ACB1.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明平面A1BD平行于平面B1DC。
2）已知E、F分别是AA1、CC1的中点，证明平面EB1D1平行于平面FBD。
8.四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=AC/2，∠XXX。
证明BD垂直于平面ACD。
9.如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB垂直于平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。
1）证明XXX垂直于AB。
2）当∠APB=90，AB=2BC=4时，求MN的长度。
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点。
证明平面D1EF平行于平面BDG。
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
1）证明A1C平行于平面BDE。
2）证明平面A1AC垂直于平面BDE。
12、已知矩形ABCD，PA垂直于平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。
高考选做题——精选推荐
⾼考选做题⾼考选做题22. （本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、的延长线相交于点E 。
EF 垂直BA 的延长线于点F 。
求证：（1）DEA DFA ∠=∠；（2）2AB BE BD AE AC =?-?23. （本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程 1O 和2O 的极坐标⽅程分别为4cos ,4sin ρθρθ==-。
（1）写出1O 和2O 的圆⼼的极坐标；（2）求经过1O 和2O 交点的直线的极坐标⽅程24. （本⼩题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|1||2|f x x x =-+-。
（1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()()||||||,0,a b a b a f x a a b R ++-≥≠∈、恒成⽴，求实数x 的范围。
22．（选修4—1：⼏何证明选讲）如图，AD 是△ABC 的内⾓平分线，延长AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，过C 、D 、E 三点的圆O 1交AC 的延长线于点F ，连结EF 、DF ．（1）求证：△AEF ∽△FED ；（2）若AD=6，DE=3，求EF 的长． 23．（选修4—4：坐标系与参数⽅程）已知直线l 的参数⽅程,()12,x t t y t =??=+?为参数和圆C 的极坐标⽅程)4πρθ=+．（1）将直线l 的参数⽅程化为普通⽅程，将圆C 的极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程；（2）判断直线l 和圆C 的位置关系． 24．（选修4—5：不等式选讲）已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且a 1＞b 1，x ＞y ．求证：a x x +＞by y+ 22．（本⼩题满分10分）选修4—1：⼏何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 是⊙O 上的点，OC 垂直于直径AB ，过F 点作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ．连结CF 交AB 于E 点．（I ）求证：2DE DB DA =?；（II ）若⊙O的半径为OB，求EF 的长．AB OC DE已知曲线C 的极坐标⽅程是4cosρθ=．以极点为平⾯直⾓坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建⽴平⾯直⾓坐标系，直线l 的参数⽅程是：2x m y ?=+??=（t 是参数）．（I ）将曲线C 的极坐标⽅程和直线l参数⽅程转化为普通⽅程；（II ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||AB m 值． 24．（本⼩题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|1|||(0)f x x x a a =++->．（I ）作出函数()f x 的图象；（II ）若不等式()5f x ≥的解集为][(,23,)-∞-+∞ ，求a 值．22．（选修4-1⼏何证明选讲）（本⼩题满分10分）如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，求BD 的长．23．（选修4-4极坐标与参数⽅程）（本⼩题满分10分）已知直线l 的参数⽅程为+=+=t y t x 232213（t 为参数），曲线C 的参数⽅程为??==θθsin 4cos 4y x （θ为参数）．（1）将曲线C 的参数⽅程化为普通⽅程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 24．（选修4-5不等式选讲）（本⼩题满分10分）设函数()412--+=x x x f ．（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）求函数()x f 的最⼩值．22．（本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲已知：如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3， BD ＝6，求PB 的长。
2024年高考数学复习大题全题型专练：专题08 立体几何垂直平行的证明(解析版)
专题8立体几何平行垂直的证明一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED 平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)CF 与平面ABD 【解析】【分析】（1）根据已知关系证明ABD CBD ≌△△，得到AB CB ，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到BE DE ，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.(1)因为AD CD ，E 为AC 的中点，所以AC DE ；在ABD △和CBD 中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB ，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ；又因为,DE BE 平面BED ，DE BE E ，所以AC 平面BED ，因为AC 平面ACD ，所以平面BED 平面ACD .(2)连接EF ，由（1）知，AC 平面BED ，因为EF 平面BED ，所以AC EF ，所以1=2AFC S AC EF △，当EF BD 时，EF 最小，即AFC △的面积最小.因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ，又因为60ACB ，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ，BE ，因为AD CD ，所以112DE AC ,在DEB 中，222DE BE BD ，所以BE DE .以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz ，则1,0,0,,0,0,1A B D ，所以1,0,1,AD AB ，设平面ABD 的一个法向量为 ,,n x y z ，则00n AD x z n AB x，取yn ，又因为31,0,0,4C F，所以34CF，所以cos ,n CF n CF n CF 设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02，所以sin cos ,n CF 所以CF 与平面ABD2．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC 的高，PA PB ，AB AC ，E 是PB的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ，3PO ，5PA ，求二面角C AE B 的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB ，再根据直角三角形的性质得到AO DO ，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；(1)证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P ABC 的高，所以PO 平面ABC ，,AO BO 平面ABC ，所以PO AO 、PO BO ，又PA PB ，所以POA POB △△，即OA OB ，所以OAB OBA ，又AB AC ，即90BAC ，所以90OAB OAD ，90OBA ODA ，所以ODA OAD所以AO DO ，即AO DO OB ，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE 平面PAC ，PD 平面PAC ，所以//OE 平面PAC(2)解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO ，5AP ，所以224OA AP PO ，又30OBA OBC ，所以28BD OA ，则4 AD，AB 所以12AC，所以 2,0O， B， 2,3P ， 0,12,0C，所以32E，则32AE，AB ， 0,12,0AC ，设平面AEB 的法向量为 ,,n x y z，则3020n AE y z n AB，令2z ，则3y ，0x ，所以 0,3,2n ；设平面AEC 的法向量为 ,,m a b c，则302120m AE b c m AC b，令a 6c ，0b，所以6m ；所以cos ,13n m n m n m 设二面角C AE B 为 ，由图可知二面角C AE B 为钝二面角，所以cos 13，所以11sin 13 故二面角C AE B 的正弦值为1113；3．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥P ABCD 中，PD底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP ∥．(1)证明：BD PA ；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】（1）作DE AB 于E ，CF AB 于F ，利用勾股定理证明AD BD ，根据线面垂直的性质可得PD BD ，从而可得BD 平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.(1)证明：在四边形ABCD 中，作DE AB 于E ，CF AB 于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF，故32DE ，BD 所以222AD BD AB ，所以AD BD ，因为PD 平面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以PD BD ，又PD AD D ，所以BD 平面PAD ，又因PA 平面PAD ，所以BD PA ；(2)解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，BD ，则 1,0,0,,0,0,A B P ，则,0,,AP BP DP ，设平面PAB 的法向量 ,,n x y z ，则有0{0n AP x n BP，可取 n ，则cos ,5n DP n DP n DP所以PD 与平面PAB4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C 中，11222A C AA AB AC BC ，160BAA．(1)证明：平面ABC 平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 的中点，求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）设2AB，由余弦定理求出1A B 1A B AB ，1A B BC ，进而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.(1)设2AB ．在四边形11AA B B 中，∵12AA AB ，160BAA ，连接1A B ，∴由余弦定理得2221112cos6012A B AA AB AA AB，即1A B ∵22211A B AB AA ，∴1A B AB ．又∵22211A B BC A C ，∴1A B BC ，AB BC B ，∴1A B 平面ABC ，∵1A B 平面11AA B B ，∴平面ABC 平面11AA B B ．(2)取AB 中点D ，连接CD ，∵AC BC ，∴CD AB ，由（1）易知CD 平面11AA B B，且CD 如图，以B 为原点，分别以射线BA ，1BA 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系B -xyz，则(2,0,0)A，1A，C，1(B，1(C，P ．11(2,0,0)A B，1(0,A P ，设平面11PA B 的法向量为(,,)n x y z ，则11100n A B n A P，得200x ，令1y ，则取(0,1,1)n ，퐴 =(−1,0,3)，||cos ,4||||AC n AC n AC n ，AC 与平面11PA B5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PCD 平面ABCD ，PCD 为等边三角形，22CD AB，AD ，90BAD ADC ，M 是棱PC 上一点．(1)若2MC MP ，求证：//AP 平面MBD ．(2)若MC MP ，求点P 到平面BDM 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)223【解析】【分析】（1）连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH ，先证明//AP MH ，再由线面平行的判定定理即可证明.（2）由等体积法B DMP P BMD V V ，即可求出点P 到平面BDM 的距离.(1)连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH ．由90BAD ADC ，得//AB CD ，12AB AH CD HC ，又12PM MC ，则AH PM HC MC，∴//AP MH ，又MH 平面MBD ，PA 平面MBD ，∴//AP 平面MBD ．(2)由已知易得BD DM BM ，所以在等边BMD 中，BM 边上的高为32h，所以BMD 的面积为1333224BMD S △，易知三棱锥B PDM 的体积为1161326B DMP V ，又因为B DMP P BMD V V ，所以点P 到平面BDM的距离为33P BMD BMD V d S △．6．（2021·上海市建平中学模拟预测）如图，三棱锥P ABC ，侧棱2PA ，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ，且1DB.(1)求证：//AC 平面PDB ；(2)求二面角P AB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)217.【解析】【分析】（1）证明//DB AC ，原题即得证；（2）以D 为原点，AD 方向直线为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.(1)解：因为AD DB ，且1DB ，2AB，所以AD 所以60DBA ．因为ABC 为正三角形，所以60CAB ，又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC ．因为AC 平面PDB ，DB 平面PDB ，所以//AC 平面PDB ．(2)解：由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD 平面ACBD ，所以PD DA ，PD DB ．如图，以D 为原点，AD 方向直线为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知(0B ，1，0)，(A 0，0)，(0P ，0，1)，(C ，2，0)．平面ABC 的法向量(0n ，0，1)，所以(1,0),(0,1,1)BA BP,设(m x ，y ，)z 为平面PAB 的一个法向量，则由00m BA m BP，得00y y z ，令1x，则yz 所以平面PAB 的一个法向量(1m，，所以21cos ,7n m ，由图象知二面角P AB C --是钝二面角，所以二面角P AB C --的余弦值为7.7．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD 底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD ，N 为线段BC上的动点．(1)证明：平面MND 平面PBC(2)当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)点N 在线段BC 的中点【解析】【分析】（1）由PD 底面ABCD ，可得PD BC ，而CD BC ，可证得BC 平面PCD ，从而得BC DM ，而DM PC ，所以DM 平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可得结论，（2）设1PD AD ，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可(1)证明：因为PD 底面ABCD ，BC 底面ABCD ，所以PD BC ，因为CD BC ，CD PD D ∩，所以BC 平面PCD ，因为DM 平面PCD ，所以BC DM ，因为四边形ABCD 为正方形，PD AD ，所以PD CD ，因为在PDC △中，PD CD ，M 为线段PC 的中点，所以DM PC ，因为PC BC C ，所以DM 平面PBC ，因为DM 平面DMN ，所以平面MND 平面PBC ，(2)当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，理由如下：因为PD 底面ABCD ，, DA DC 平面ABCD ，所以,PD DA PD DC ，因为DA DC ，所以,,DA DC DP 两两垂直，所以以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1PD AD ，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,1,0),0,,22D A B P C M，设(,1,0)(01)N ，则11(1,0,1),(0,1,0),(,1,0),0,,22AP AB DN DM，设(,,)m x y z 为平面PAB 的法向量，则00m AP x z m AB y ，令1x ，则�=(1,0,1)，设(,,)n a b c为平面MND 的法向量，则011022n DN a b n DM b c，令1a ，则(1,,)n ，因为平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，所以cos ,2m n m n m n ，化简得24410 ，得12 ，所以当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°8．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形ABCD 中，60DAB ，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ，AC MN G ．沿MN 将CMN △翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD 平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB 体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P余弦值的绝对值为10？若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)在翻折过程中总有平面PBD 平面PAG ，证明见解析(3)Q 存在且Q 为线段PA 的中点【解析】【分析】（1）证明出BD 平面PAG ，进而证明面面垂直；（2）找到当PG 平面MNDB 时，四棱锥P MNDB 体积最大，直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ，求出PG ，BG PB ，从而求出PBG 的正弦值；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量和二面角的大小，列出方程，确定点Q 的位置(1)在翻折过程中总有平面PBD 平面PAG ，证明如下：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ，∴MN AC ，∵AC PG G ，AC 平面PAG ，PG 平面PAG ，∴MN 平面PAG ，∴BD 平面PAG ，∵BD 平面PBD ，∴平面PBD 平面PAG ．(2)由题意知，四边形MNDB 为等腰梯形，且4DB ，2MN ，1O G所以等腰梯形MNDB 的面积 242S 要使得四棱锥P MNDB 体积最大，只要点P 到平面MNDB 的距离最大即可，∴当PG 平面MNDB 时，点P 到平面MNDB此时四棱锥P MNDB 体积的最大值为133V ，直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ，连接BG ，在直角三角形PBG 中，PG BG ，由勾股定理得：PB .sin PG PBG PB(3)假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 A ， 0,1,0M ， 0,1,0N， P ，由（2）知，AG PG ，又AG MN ，且MN PG G ，MN 平面PMN ，PG 平面PMN ，AG 平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为�1=1,0,0，设AQ AP （01 ≤≤），∵ AP，AQ，故1 ，∴ 0,2,0NM，1,1,QM ，平面QMN 的一个法向量为 2222,,n x y z，则20n NM ，20n QM ，即222220,10,y x y z 令21z ，所以 220,31y x211,0,1,0,313131n，则平面QMN 的一个法向量 ,0,31n ，设二面角Q MN P 的平面角为 ，则11cos n n n n 12 ，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．9．（2022·全国·模拟预测）在四棱锥P ABCD 中，PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1,,2AB AP ADE F 分别是AP BC ，的中点．(1)求证：//EF 平面PCD ；(2)求二面角C EF D 的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)31010【解析】【分析】（1）根据平行四边形，可得线线平行，进而可证明线面平行.（2）根据空间向量，计算法向量，利用法向量的夹角求二面角.(1)证明：取DP 的中点G ，连接EG ，CG ，又E 是AP 的中点，所以EG AD ∥，且12EG A D =．因为四边形ABCD 是矩形，所以BC AD 且//BC AD ，所以12EG BC，且//EG BC ．因为F 是BC 的中点，所以12CF BC ，所以EG CF 且//EG CF ，所以四边形EFCG 是平行四边形，故//EF CG ．因为EF 平面PCD ，CG 平面PCD ，所以//EF 平面PCD ．(2)因为PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示）．设122AB AP AD ，所以2AB AP ，4AD BC ．因为E ，F 分别为AP ，BC 的中点，所以 2,4,0C ， 0,4,0D ， 0,0,1E ，2,2,0F 所以 2,2,1EF ， 2,2,0DF ， 0,2,0CF ．设平面CEF 的一个法向量为�=�1,�1,�1，由0,0,m EF m CF即1111220,20.x y z y 令11x ，则12z ，10y ，所以 1,0,2m ．设平面DEF 的一个法向量为 222,,n x y z r ，由0,0,n EF n DF即22222220,220.x y z x y 令21x ，则21y ，24z ，所以 1,1,4n ．所以cos ,m n m n m n 由图知二面角C EF D 为锐角，所以二面角C EF D 10．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））如图在梯形中，//BC AD ，22AB AD BC ，23ABC ，E 为AD 中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达点P 的位置，连接,PD PC ，(1)证明：平面PED 平面BCDE ；(2)当2PC 时，求点D 到平面PEB 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】【分析】（1）首先根据题意易证BE ED ，BE PE ，从而得到BE 平面PED ，再根据面面垂直的判定即可证明平面PED 平面BCDE .（2）利用三棱锥等体积转换求解即可.(1)在梯形ABCD 中，23ABC ，所以3BAE ，在ABE △中，2AB ，1AE ，所以BE 所以222AE BE AB ，即2AEB∠，梯形ABCD 为直角梯形.因为BE ED ，BE PE ，PE ED E ∩，所以BE 平面PED ，又因为BE 平面BCDE ，所以平面PED 平面BCDE .(2)因为平面PED 平面BCDE ED ，CD ED ，所以CD 平面PED ，又PD 平面PED ，所以CD PD ，所以1PD ，即PED V 为等边三角形.取ED 的中点F ，连接PF ，如图所示：因为PE PD ，F 为ED 中点，所以PF ED .因为平面PED 平面BCDE ED ，PF ED ，所以PF 平面EBCD ，因为PF 112EBD PEB S S △△设D 到平面PEB 的距离为h ，因为D PEB P EBD V V ，所以1313332322h ，解得32h .即点D 到平面PEB 的距离为2.11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱台111ABC A B C 中，AB AC ，4AB AC ，1112A A A B ，侧棱1A A 平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点．(1)证明：平面1BB C 平面1AB C ；(2)求二面角C BD A 的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）先根据线面垂直的性质与判定证明1AC BB ，再根据勾股定理证明11AB BB ，进而根据线面垂直得到1BB 平面1AB C ，从而根据面面垂直的判定证明即可（2）A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 的所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，再分别求解平面,ABD CBD 的一个法向量，进而得到面面角的正弦即可(1)证明：因为1A A 平面ABC ，AC 平面ABC ，所以1AA AC ，又AB AC ，1AA AB A ∩，1AA ，AB Ì平面11ABB A ，所以AC 平面11ABB A ．又1BB 平面11ABB A ，所以1AC BB ．又因为1AB1BB ，所以22211AB AB BB ，所以11AB BB ．又1AB AC A ∩，1AB ，AC 平面1AB C ，所以1BB 平面1AB C ，因为1BB 平面1BB C ，所以平面1BB C 平面1AB C ．(2)以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA的所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为4AB AC ，111112A A A B A C ，所以 0,0,0A ， 4,0,0B ， 0,4,0C ， 10,2,2C ， 0,3,1D ．设平面ABD 的一个法向量为 1111,,x n y z ，设平面CBD 的一个法向量为 2222,,n x y z ，且 4,0,0AB ， 0,3,1AD ，4,4,0CB ， 0,1,1CD ，因为110,0,AB n AD n 所以1110,30,x y z 令11y ，则10x ，13z ，所以 10,1,3n ．又因为220,0.CB n CD n 所以22220,0,x y y z 令21x ，则21y ，21z ，所以 21,1,1 n ．所以12121230cos ,15n n n n n n ．设二面角C BD A 的大小为，则sin 15 ，所以二面角C BD A12．（2022·青海·模拟预测（理））如图，在四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接BM ，CE 交于点F ，G 为△ABE 的重心．(1)证明：//GF 平面ABC(2)已知平面ABC ⊥BCDE ，平面ACD ⊥平面BCDE ，BC =3，CD =6，当平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角为60°时，求G 到平面ADE 的距离．【答案】(1)证明见解析【解析】(1)延长EG 交AB 于N ，连接NC ,因为G 为△ABE 的重心，所以点N 为AB 的中点，且2EG GN ,因为//CM BE ,故CMF EBF ∽,所以2EF BE CF CM,故EF EG CF GN ，故//GF NC ,而NC 平面ABC ，GF 平面ABC,故//GF 平面ABC ；(2)由题意知，平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ∩平面BCDE=BC ，DC BC ,DC 平面BCDE ，故DC 平面ABC,AC 平面ABC,则DC AC ,同理BC AC ，又,,BC DC C BC DC ∩平面BCDE,所以AC 平面BCDE ，以C 为原点，以CB,CD,CA 所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设点G 到平面BCDE 的距离为(0)t t ，则(0,0,3),(3,0,0),(3,6,0),(2,2,),(0,6,0)A t B E G t D ，故(2,2,),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,0)CG t CE AD t DE ,设平面GCE 的法向量为111(,,)m x y z ，则00m CG m CE，即11111220360x y tz x y ，取11y ，则112,,2,z x t 即2(2,1,m t，设平面ADE 的法向量为222(,,)n x y z ，则00n AD n DE，即22263030y tz x ，取22z ，则2y t ，则(0,,2)n t ，所以4||||1cos 602||||t m n t m n，解得212,t t ，又(2,4,DG ，故点G 到平面ADE的距离为||||DG n d n 13．（2022·北京市第九中学模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAB 为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD的中点．(1)求证：PB //平面ACM ；(2)求直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值；(3)求二面角C PA D 的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(3)277.【解析】【分析】（1）连接BD AC N ∩，连MN ，证明//PB MN ，再利用线面平行的判定推理作答.（2）（3）取AB 中点O ，连PO ，证明PO 平面ABCD ，以点O 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求线面角的正弦，二面角的余弦作答.(1)连接BD AC N ∩，连MN ，如图，正方形ABCD 中，N 为BD 的中点，而M 为PD的中点，则//PB MN ，而MN 平面ACM ，PB 平面ACM ，所以//PB 平面ACM .(2)取AB 中点O ，连PO ，如图，正PAB △中，PO AB，因侧面PAB 底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB ，PO 侧面PAB ，则PO 平面ABCD ，在平面ABCD 内过O 作Oy AB ，则射线,,OB Oy OP 两两垂直，以点O 为原点，射线,,OB Oy OP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，则13(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(,1,),(1,2,0)22B A D P M C，3(0,2,0),(,1,)22AD AP BM ，设平面PAD 的法向量111(,,)m x y z，则111200m AD y m AP x，令11z，得(m ，设直线BM 与平面PAD 所成角为，则||sin |cos ,|||||m BM m BM m BM 所以直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值是32.(3)由（2）知，퐴 =(2,2,0)，设平面CPA 的法向量222(,,)n x y z，则22222200n AC x y n AP x ，令21z，得(n ，于是得cos ,||||m n m n m n C PA D 大小为锐角，所以二面角C PA D的余弦值为7.14．（2022·浙江·三模）如图，四面体ABCD 的棱AB Ì平面,CD 23,cos cos 3AB AC AD BAC BAD．(1)证明：平面ABC 平面ABD ；(2)若平面ABC 与平面 所成锐二面角的正切值为12，线段CD 与平面 相交，求平面ACD 与平面 所成锐二面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)6【解析】【分析】（1）作CM AB 于M ，通过余弦定理解三角形得到CM MD ，即可证得CM 平面ABD ，即可证得平面ABC 平面ABD ；（2）作DG 于G ，CH 于H ，求出1,2CH HM ，1,2MG DG ，延长,DC GH 交于点N ，连接AN ，作GK AN 于K ，平面ACD 与平面 所成锐二面角即DKG ，通过解三角形计算出tan DKG 即可.(1)作CM AB 于M ，连接DM ，则cos 2AM AC CAB ，2225CM AC AM ，则2222cos 9485DM AD AM AD AM BAD ，则222AD AM DM ，故DM AB ．又22210MD MC CD ，则CM MD ，又AB DM M ，,AB DM 平面ABD ，故CM 平面ABD ，又CM 平面ABC ，则平面ABC 平面ABD ．(2)作DG 于G ，CH 于H ，由（1）知CM AB ，又CM CH C ，,CM CH 平面CHM ，则AB 平面CHM ，又MH 平面CHM ，则MG AB ，又DM AB ，同理可得AB 平面GDM ，MH AB ，则,,G H M 三点共线．由平面ABC 与平面 所成锐二面角的正切值为12，则1tan 2CMH ，又5CM ，则1,2CH HM ．又CM MD ，则π2CMH DMG ，5DM ，则1,2MG DG ．延长,DC GH 交于点N ，连接AN ，作GK AN 于K ，易得DG AN ，又DG GK G ，,DG GK 平面DGK ，则AN 平面DGK ，又DK 平面DGK ，则AN DK ，则平面ACD 与平面 所成锐二面角即DKG ．又12CH DG，则3GH HN ，又2AM ，则5,29MN AN ，故212sin 62929GK GN GNK ，故29tan 6DG DKG GK ．15．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知四棱锥S ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，SAB SBA ，.SD AB (1)求证：ABD △是等边三角形；(2)22SA SD AD ，求SC 与平面SAD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析42【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接SO 、OD ，证明出AB 平面SDO ，可得出AB DO ，可得出AD BD ，再利用菱形的性质可证得结论成立；（2）证明出SO DO ，以点O 为坐标原点，OA 、OD 、OS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得SC 与平面SAD 所成角的正弦值.(1)证明：取AB 的中点O ，连接SO 、OD ，因为SAB SBA ，O 为AB 的中点，则SO AB ，因为SD AB ，SO SD S ∩，AB 平面SDO ，OD ∵平面SDO ，则 OD AB ，故AD BD ，因为四边形ABCD 为菱形，则AB AD ，所以，AD AB BD ，因此，ABD △为等边三角形.(2)解：由已知SA SB ，2AB ，则222SA SB AB ，SA SB ，O ∵为AB 的中点，所以，112SO AB ，因为ABD △是边长为2的等边三角形，则2sin3DO ，因为2SD ，则222SO DO SD ，SO DO ，因为AB 平面SDO ，以点O 为坐标原点，OA 、OD 、OS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 1,0,0A、 D、C 、 0,0,1S ，设平面SAD 的法向量为 ,,n x y z，AD ， 1,0,1AS ，则00n AD x n AS x z，取xn，1SC，cos ,14SC n SC n SC n .因此，SC 与平面SAD.16．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形ABCD 中，60A ，4AB ，DE AB 于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED ，使A E BE ，如图2．(1)求三棱锥C A BD 的体积；(2)在线段A D 上是否存在一点F ，使EF ∥平面A BC ？若存在，求DF FA 的值；若不存在，说明理由．【答案】(2)存在，1DF FA .【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明A E 平面EBCD ，再利用等体积法及棱锥的体积公式计算即可.（2）设线段A D 的中点为F ，线段A C 的中点为G ，先证明四边形EBGF 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明//EF 平面A BC ，即可得出结论.(1)解：由题可知在菱形ABCD 中，60A ，4AB BC CD DA ，DE AB ，故2AE EB ED ，所以在四棱锥A EBCD 中，A E ED EB ED A E EB ，，，又ED EB E ，所以A E 平面EBCD ，且2A E AE ，连接BD ，因为4,60BC CD BCD 则142BCD S所以112333C A BD A BCD BCD V V AE S .故棱锥C A BD 的体积为3.(2)解：设线段A D 的中点为F ，线段A C 的中点为G ，连接EF FG GB 、、，因为点F 为A D 的中点，点G 为A C 的中点，所以1//,22FG DC FG DC ，又由（1）得，//,2EB DC EB ，所以//,FG EB FG EB ，所以四边形EBGF 为平行四边形，故//,EF BG EF BG ,又EF 平面A BC ，BG 平面A BC ，所以//EF 平面A BC ，此时点F 为A D 的中点，故1DF FA .17．（2022·广东茂名·二模）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形，AD ∥BC ，BC =2AD ，60ABC ，E 是棱PB 的中点，F 是棱PC 上的点，且A 、D 、E 、F 四点共面．(1)求证：F 为PC 的中点；(2)若△PAD 为等边三角形，二面角P AD B 的大小为120 ，求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)4【解析】【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明AD ∥平面PBC ，再根据线面平行的性质定理即可证明EF ∥AD ,即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关各点坐标，求得平面ADFE 的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.(1)证明：四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ，∴AD ∥平面PBC ．由题意A 、D 、E 、F 四点共面，平面ADFE ∩平面PBC =EF ，∴AD ∥EF ，而AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，∵E 是棱PB 的中点，∴F 为PC 中点．(2)如图，以BC 为x 轴，连接BC 中点O 和AD 中点G ,以OG 为y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为AB =CD ，BC =2AD ，60ABC设AD =a ，则BC =2a ，AB CD a ，所以,(,0),(,0,0),(,,0),(,0,0)22a a OG A B a D C a ，3(,0),(,0,0)2BD a AD a ，因为△PAD 为等边三角形，所以PG ⊥AD ，由题意知OG AD ,所以∠PGO 为二面角P AD B 的平面角，又二面角P AD B 的大小为120 ，所以120PGO ，因为PG ⊥AD ，GO ⊥AD ，,,PG GO G PG GO ∩平面PGO ，所以AD ⊥平面PGO ，过P 作PH 垂直于y 轴于点H ，因为PH ⊂平面PGO ，所以AD ⊥PH ，又PH ⊥GH ，,GH AD 平面ABCD ，GH AD G ∩，所以PH 垂直于平面ABCD ，且60PGH ,33333,,22244PG aPH a a GH a，OH OG GH a a a ，∴30,,44P a a ，因为E ，F 分别为PB ，PC 的中点，所以333333(,,),(,,),(0,,)2882883883a a E a a F a a AE a a ，设平面ADFE 的法向量为(,,)n x y z，则00n AE n AD，所以3080az ax，取z =1，n ，设BD 与平面ADFE 所成角为θ，则332sin |cos ,|4a BD n ，即直线BD 与平面ADFE所成角的正弦值为4．18．（2022·安徽省舒城中学三模（理））在四棱锥P ABCD 中，PAB △为正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，M 为棱AP 的中点，且2224AB AD BC CD，DM 퐴 =14퐴.(1)求证：平面ODM 平面ABCD ；(2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】（1）E 为AB 中点，连接,,OM PE DE ，易得BCDE 为平行四边形，即知△ADE 为等腰三角形，进而有 OD AB ，由等边三角形性质有PE AB ，根据中位线、平行线的推论知OM AB ，再根据线面垂直的判定、面面垂直的判定证结论.（2）构建空间直角坐标系，求出直线AP 方向向量和平面PBC 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.(1)若E 为AB 中点，连接,,OM PE DE，由//CD BE 且2CD BE ，故BCDE 为平行四边形，所以2BC DE ，又2AD 且퐴 =14퐴 ，即O 为AE 中点，等腰△ADE 中OD AE ，即 OD AB ，又PAB 为正三角形，故PE AB ，因为,O M 分别为AE ，AP 中点，故//OM PE ，则OM AB ，由OM OD O ∩，,OM OD 面OMD ，故AB 面OMD ，而AB Ì面ABCD ，则平面ODM 平面ABCD ；(2)过O 作Oz 面ABCD ，由（1）可构建以O 为原点，,,OB OD Oz 为,,x y z轴的空间直角坐标系，所以(1,0,0),(3,0,0),A B C，而OM OD DM ，则33,)22M ，所以P，故((1,0,3)AP BP CP ，若(,,)m x y z 是面PBC的一个法向量，则23030m BP x z m CP x z，令1z，则m ，所以|cos ,|||||||m AP m AP m AP AP 与平面PBC19．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D 中，2AB ，111A B ，四边形ABCD 为平行四边形，点E 为棱BC的中点．(1)求证：1//D E 平面11ABB A ；(2)若四边形ABCD 为正方形，1AA 平面ABCD ，12A A AB ，求二面角1A DE C 的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)23.【解析】【分析】（1）连1A B ，利用给定条件证明四边形11A D EB 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）以点A 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.(1)在四棱台1111ABCD A B C D 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112AB A B ，点E 为棱BC 的中点，连1A B，如图，则有1112A D AD BE ，11////A D AD BE ，即四边形11A D EB 为平行四边形，则11//D E A B ，又1D E 平面11ABB A ，1A B 平面11ABB A ，所以1//D E 平面11ABB A ．(2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 10,0,2A ， 0,2,0D ， 2,1,0E ， 10,2,2DA ， 2,1,0ED ，设平面1A DE 的一个法向量为 ,,n x y z ，则122020DA n y z ED n x y ，令1x ，得 1,2,2n ，平面DEC 的一个法向量为 0,0,1m ，则22cos ,133||||m n m n m n ，显然二面角1A DE C 的平面角为钝角，所以二面角1A DE C 的余弦值为23.20．（2022·全国·模拟预测）如图所示，四棱台1111ABCD A B C D 的上下底面均为正方形，侧面11ADD A 与底面垂直，11113BB CC B C BC ．(1)求证：平面11ADD A 平面11ABB A ；(2)已知四棱台1111ABCD A B C D 的体积为①求异面直线BC 和1AA 的距离②求1A 到平面11CDD C 的距离．请从以上两个问题中选取一道进行求解．注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分．【答案】(1)证明见解析(2)；【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理，可得AB 平面11ADD A ，进而可知平面11ADD A 平面11ABB A ．（2）先根据棱台的体积求出各条边及高的长度，若选择问题①求解，即求异面直线BC 和1AA 的公垂线段AB 的长度，若选择问题②求解，1A 到平面11CDD C 的距离就是1A 到直线1DD 的距离，用三角形等面积可求.(1)在正方形ABCD 中，有AB AD ．由题设，平面11ADD A 平面ABCD ，且平面11ADD A 平面ABCD AD ，所以AB 平面11ADD A ．而AB Ì平面11ABB A ，所以平面11ADD A 平面11ABB A ．(2)设111133BB CC B C BC x方法一：利用棱台的体积公式由勾股定理，直角梯形11CDD C 的高1DD ，等腰梯形11ADD A 的高（也就是四棱台的高）2h x ．故四棱台1111ABCD A B C D 的体积 232123103V x x x x ，解得x 方法二：复原棱锥如图，延长各侧棱交于原棱锥的顶点P ．则四棱台1111ABCD A B C D 的体积1111P A B C D P ABCD V V V ，其中1111P A B C D V ，P ABCD V 分别表示四棱锥1111P A B C D 和P ABCD 的体积．由于两棱锥位似，因此 1111311::27P A B C D P ABCD V V B C BC ，所以1111P A B C D V由勾股定理，直角梯形11CDD C 的高1DD ，等腰梯形11ADD A 的高（也就是四棱台的高）2h x ．故四棱锥1111P A B C D 的高为332x ，111121333P A B C D V x x x若选择问题①求解：由（1）知，AB 平面11ADD A ，且AD 平面11ADD A ，故1AB AA ．在正方形ABCD 中，有AB BC ，因此AB 是异面直线BC 和1AA 的公垂线段，所以异面直线BC 和1AA 的距离为AB xBC 和1AA 若选择问题②求解：同（1）可知平面11ADD A 平面11CDD C ，所以1A 到平面11CDD C 的距离就是1A 到直线1DD 的距离d ．因为为111111122DA D S A D h DD d △，所以d ．故1A 到平面11CDD C。
高中立体几何证明题
高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。
解析1. 连接AC。
- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。
2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。
- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。
- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。
- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。
题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。
解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。
- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。
2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。
- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。
- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。
二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。
解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。
- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。
- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。
- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。
- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。
- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。
高中几何证明题的练习题及讲解
高中几何证明题的练习题及讲解高中几何证明题练习题题目：在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。
已知角A为锐角，且a^2 = b^2 + c^2 - bc*cosA。
证明三角形ABC是直角三角形。
证明：1. 首先，我们已知a^2 = b^2 + c^2 - bc*cosA。
2. 根据余弦定理，我们有a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA。
3. 将已知条件代入余弦定理，得到b^2 + c^2 - bc*cosA = b^2 + c^2 - 2bc*cosA。
4. 简化上述等式，得到bc*cosA = bc。
5. 由于b和c都是正数（三角形的边长），我们可以除以bc，得到cosA = 1。
6. 由于角A是锐角，且cosA = 1，那么角A的度数必须是0°。
但题目中已经说明角A是锐角，所以这里我们得到了一个矛盾。
7. 因此，我们的假设是错误的，所以角A必须是90°。
8. 由于角A是90°，那么三角形ABC就是一个直角三角形。
结论：根据以上证明，我们证明了三角形ABC是直角三角形。
题目：在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。
已知a = 2b，且三角形ABC的面积为3√3。
求边c的长度。
解答：1. 已知三角形ABC的面积为3√3，根据三角形面积公式，我们有面积= (1/2) * b * c * sinA。
2. 将已知面积代入公式，得到3√3 = (1/2) * b * c * sinA。
3. 由于a = 2b，我们可以利用正弦定理，得到sinA = a * sinC / c = 2b * sinC / c。
4. 将sinA代入面积公式，得到3√3 = (1/2) * b * c * (2b * sinC / c)。
5. 简化上述等式，得到3√3 = b^2 * sinC。
6. 由于a = 2b，我们可以利用余弦定理，得到a^2 = b^2 + c^2 -2bc*cosA。
高考数学总复习选做几何证明选讲试题含解析
专题1 几何证明选讲【三年高考全收录】1. 【2017高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．∠=∠；求证：（1）PAC CAB（2）2=⋅．AC AP AB【答案】（1）见解析；（2）见解析．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2. 【2016高考江苏】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点. 求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析 【解析】试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质EC BC DE ==21， 再由ECD EDC ∠=∠，ECD ∠与DBC ∠互余，ABD ∠与DBC ∠互余，得ECD ABD ∠=∠，从而得证.试题解析：证明：在ADB △和ABC △中，因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠为公共角， 所以ADB △∽ABC △，于是ABD C ∠=∠. 在Rt BDC △中，因为E 是BC 的中点， 所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠. 所以EDC ABD ∠=∠. 【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例． 2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．3．【2015江苏高考，21】如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆ABCE DO（第21——A 题）【答案】详见解析【考点定位】相似三角形4．【2016高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】33【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则223122BC =-=249AD x =-BCE DAE ∆∆，则BC EC AD AE =222149xx=-，解得23x =考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．5．【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与O 相切；(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .ODCBA【答案】(I)见解析(II)见解析 【解析】试题分析：(I)设E 是AB 的中点,先证明60AOE ∠=︒,进一步可得12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．(II) 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ,证明'OO AB ⊥,'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ． 试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．EO'DCO BA（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥．同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ． 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理. 6．【2016高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,DGF CBF ∆~∆可得0180,CGF CBF ∠+∠=即得,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）由由,,,B C G F 四点共圆，可得FG FB ⊥，再证明,Rt BCG Rt BFG ∆~∆根据四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍求得结论.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ， 由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．7．【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明PFB ∠与PCD ∠是互补的，然后结合2PFB PCD ∠=∠与三角形内角和定理，不难求得PCD ∠的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知,,,C E F D 四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知G 为四边形CEFD 的外接圆圆心，则可知G 在线段CD 的垂直平分线上，由此可证明结果．试题解析：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,. 因为AP BP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒， 因此60PCD ∠=︒. （Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆． 【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．8．【2015高考湖北，理15】如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC= .【答案】21APBC【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为3BC PB =，所以224PB PA =，即PB PA 2=，由PAB ∆∽PCA ∆，所以21==PA PB AC AB . 9.【2015高考新课标2，理22】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ； （Ⅱ） 若AG 等于O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，103AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)22⨯⨯-⨯⨯=．10．【2015高考陕西，理22】如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，GAEFONDB CMC D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ； （II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．【2018年高考命题预测】纵观近几年高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说, “几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2018年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d=，则①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．【解析】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .【解析】(1)在Rt△ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt△ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得, BD 2＝BE ·AB ， 同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt△BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD . 即AD 3＝BC ·CF ·BE . 【考点2】圆的有关问题 【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d 与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r(2) 圆的切线性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 【考点针对训练】1. 如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CDA ABE ∆∆∽．【解析】连结AC ．EA 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠．AB AD =，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠．圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠． ∴CDA ABE ∆∆∽．2. 如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ． （I ）求AFD ∠的值； （11）若AB=AC ，求BCAC的值．【解析】（Ⅰ）∵AC 是⊙O 的切线，∴B EAC ∠=∠，又∵DC 是ACB ∠的角平分线，DCB ACD ∠=∠,∴+DCB B ACD EAC ∠∠=∠+∠,∴ADF AFD ∠=∠， 又∵BE 是O 的直径，∴090BAE ∠=,∴045AFD ∠=(Ⅱ) ∵AB AC =，∴=B ACB EAC ∠=∠∠，由（I ）得，090BAE ∠=，∴+=B AEB B ∠∠∠ACE +∠0390EAC B +∠=∠=,∴30B ∠=,∵B EAC ∠=∠,=ACB ACB ∠∠,∴ACE ∆∽BCA ∆,∴03tan 30AC AE BC AB ===．【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】选修4-1：几何证明选讲 如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若，求的度数.【答案】45° 【解析】连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-1：几何证明选讲 如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC OB ⊥于点C ，且2DE BE =，求证：23OC BC =.【答案】见解析 【解析】 解：连结，设圆的半径为，，则，. 在中，，，即，①又直线切圆于点，则，即，②，代入①，，，，.3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.【答案】434. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30AEB ∠=．求PCE ∠的大小．【解析】由PC 为APE ∠的平分线得EPC APC ∠=∠,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠,因为,CDE PED EPD DCE PAC APC ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，所以CDE DCE ∠=∠，因此1803075.2PCE -∠== …………10分 5. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．PE B ODAC【解析】AE AC =，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠，POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，又EAC PDE ∠=∠，PDE POC ∴∠=∠．6. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，,BC BD BA =的延长线交CD 的延长线于点,E 求证：AE 平分DAF ∠.【解析】因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以,DAE BCD FAE BAC BDC ∠=∠∠=∠=∠ 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠， 所以AE 平分DAF ∠.……………10分7. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图， AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C ．若DB DC =，求证：CA AO =．【解析】连接,.OD AD 因为AB 是圆O 的直径，所以90,2.ADB AB AO ∠==--------（3分） 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，-----------------------（6分） 又因为DB DC =，所以B C ∠=∠，于是ADB ODC ∆≅∆，从而AB CO =， 即2OA OA CA =+，得CA AO =．-----------------------------------（10分） 8. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】如图，,,A B E 是⊙O 上的点，过E 点的⊙O 的切线与直线AB 交于点P ，APE ∠的平分线和,AE BE 分别交于点,C D .求证：(1) DE CE =； (2)CA PECE PB=． 【答案】证明见解析．9.【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB AC =，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 切线交AC 于点E.求证：DE AC ⊥【答案】详见解析【解析】证明：连结OD ，因为AB AC =，所以B C ∠=∠．由圆O 知OB OD =，所以B BDO ∠=∠．从而BDO C ∠=∠，所以//OD AC .又因为DE 为圆O 的切线，所以DE OD ⊥，又因为//OD AC ，所以DE AC ⊥．10．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．【答案】详见解析11．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．【答案】详见解析【解析】证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．12．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析（2）2(2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1．又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3． 在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠PAH ＝2∠CAH ＝60°，所以PA ＝23．由PA 是半圆O 的切线，所以PA 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2．13．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．【答案】详见解析【解析】证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒．∴BAE ADC ∠=∠．又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． ∴BE AC BA AD =，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． 14．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2AB BE BD AE AC =•-•.【答案】详见解析 【解析】试题分析：证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， 所以2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．15．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E .求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.【答案】详见解析16．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,CA BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD .求证：DEA DFA ∠=∠.【答案】详见解析【解析】证明：连结AD ，AB 是圆O 的直径，90ADB ∴∠=，90ADE ∴∠=,又EF FB ⊥，90AFE ∴∠=，所以,,,A F E D 四点共圆，DEA DFA ∴∠=∠.A B O · FCDE 第21题（A ）图【一年原创真预测】1. 如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O 的割线，已知AB AC =.（Ⅰ）求证：AC FG //；(II)若1,4CG CD ==,求DE GF 的值.【入选理由】本题考查圆的切割线定理、三角形相似，四点共圆的性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题由切割线定理入手，得出三角形相似，结合四点共圆的性质，得出角相等，本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2. 如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,PO 交圆O 与,B C 两点，15PA =，,5=PB BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1） 求证AB PC AC PA ⋅=⋅ （2） 求AD AE ⋅的值.。
高中几何大题练习题及讲解
高中几何大题练习题及讲解题目1：三角形的性质与证明已知：在三角形ABC中，点D是边BC上的一点，DE⊥AB于E，且DE=DC。
求证：三角形ABC是等腰三角形。
分析：要证明三角形ABC是等腰三角形，我们需要证明AB=AC。
根据已知条件，我们可以考虑使用相似三角形的性质和全等三角形的判定。
证明：1. 由于DE⊥AB，我们可以得出∠AED=90°。
2. 又因为DE=DC，所以∠DEC=∠DCB。
3. 由于∠AED=∠DEC，我们可以得出∠AED=∠DCB。
4. 因此，三角形AED与三角形BDC是相似的。
5. 根据相似三角形的性质，我们有AD/BD=AE/BC。
6. 由于DE=DC，我们有AE=CD。
7. 因此，AD=BD，即AB=AC。
8. 综上所述，三角形ABC是等腰三角形。
题目2：圆的切线性质已知：点P是圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B。
求证：PA=PB。
分析：要证明PA=PB，我们可以通过证明三角形OAP与OBP全等来实现。
证明：1. 由于PA、PB是圆O的切线，我们知道OA⊥PA，OB⊥PB。
2. 因此，∠OAP=∠OBP=90°。
3. 由于切线的性质，我们有OA=OB。
4. 现在我们需要证明∠OPA=∠OPB。
5. 由于PA和PB都是切线，根据切线的性质，我们有OP是角AOB的角平分线。
6. 因此，∠OPA=∠OPB。
7. 根据SAS（边-角-边）全等条件，我们有三角形OAP≌三角形OBP。
8. 因此，PA=PB。
题目3：多边形的内角和已知：一个n边形的内角和为S，求证：S=(n-2)×180°。
分析：我们可以通过将多边形划分为三角形来证明其内角和。
证明：1. 考虑一个n边形，我们可以将其划分为(n-2)个三角形。
2. 每个三角形的内角和为180°。
3. 因此，n边形的内角和S=(n-2)×180°。
「精选」人教版最新高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解及参考答案-精选文档
高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案)一、选择题1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D[解析] 由切割线定理知：PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5.4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562 C.15 D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，20102009) D ．(0，20092010) [答案] A[解析] 由题意知圆与x 轴交点为A (2010,0)，B (－2009,0)，与y 轴交点为C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)．设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F ＝－2010×2009 令x ＝0得y 2＋Ey －2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y 2＝－2010×2009 ∴y 2＝1，故选A.[点评] 圆与x 轴交点A (2010,0)，B (－2009,0)与y 轴交点C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)，∵A 、C 、B 、D 四点共圆，∴AO ·OB ＝OC ·OD ， ∴OD ＝1，∴y 2＝1.6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32[答案] B[解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，∴2b ＝2c ，∴e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22.二、填空题7．如图，PT 切⊙O 于点T ，P A 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________.[答案] 15[解析] 由相交弦定理得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )．又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15.8．(09·天津)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为______________．[答案] 2[解析] ∵AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比，∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.9．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，P AB 为割线，PC ＝4，PB ＝8，∠B ＝30°，则BC ＝________.[答案] 4 3[解析] (1)由切割线定理 PC 2＝P A ·PB ， ∴P A ＝2，∠ACP ＝∠B ＝30°，在△P AC 中，由正弦定理2sin30°＝4sin ∠P AC ，∴sin ∠P AC ＝1，∴∠P AC ＝90°，从而∠P ＝60°，∠PCB ＝90°， ∴BC ＝PB 2－PC 2＝82－42＝4 3.11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cosα13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝____________.[答案] －12[解析] 如图，O 1、O 2、O 3为三个圆的圆心，A 1、A 2、A 3分别是每两个圆的交点，则∠A 1P A 2＋∠A 2P A 3＋∠A 3P A 1＝12(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，∴cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.12．(2010·广东中山市四校联考)如图，P A 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴P A ＝3，∴∠AOP ＝60°， 又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.三、解答题13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠P AC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CP A ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33. 14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析] 连结OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形，∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，(1)求PF 的长度．(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度． [解析] (1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系， 结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PDPO， 由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12， 故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ， 则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.。
高考数学几何证明练习题及答案
高考数学几何证明练习题及答案数学几何作为高考数学考试的一大重点内容，对于很多学生来说是一项难点。
为了帮助广大高中生更好地应对高考数学几何证明题，本文将为大家提供一些常见的练习题及详细解答，希望能够对大家的备考有所帮助。
练习题一：已知矩形ABCD中，AB=2BC，E为AB上一点，且CE⊥BF，证明：∠BED=∠CDA。
解答一：首先，根据题设条件可知，矩形ABCD中的∠DAB=90°，且AB=2BC，并且CE⊥BF，因此我们可以推出：1. 在△DCE中，CE⊥DF，所以∠DCF=90°。
2. 在△FBE中，∠FEB=90°，且根据矩形性质可知，BE=2BC，所以BE=2BF。
3. 根据等腰三角形的性质，我们可以知道∠BCF=∠CBF。
综上所述，我们可以得出结论：∠DCF=∠FEB=∠BCF。
又因为∠BED=∠BEC+∠FEB=∠CDA，所以我们证明了∠BED=∠CDA。
练习题二：已知ABCD是一个平行四边形，E是对角线BD上的一个点，且AE⊥BC，证明：BE=CE。
解答二：首先，根据题设条件可知，ABCD是一个平行四边形，且AE⊥BC，因此我们可以推出：1. 由平行四边形的性质可知，∠DAB=∠CBA。
2. 在△AEB和△BCD中，∠BEA=∠DCB，且∠AEB=∠CDB=90°。
综上所述，根据两个三角形的对应角相等和共边相等，我们可以得出结论：BE=CE。
练习题三：已知△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AC上的中点，证明：DE⊥BC。
解答三：首先，根据题设条件可知，AD是边BC上的高，且E是边AC上的中点，因此我们可以推出：1. 根据中位线的性质可知，DE∥AB，并且DE=1/2AB。
2. 在△ADC和△EBD中，AD∥EB，且AD=EB。
3. 根据两个平行四边形的性质，我们可以得出结论：DE⊥BC。
练习题四：已知A、B、C、D四点共面，且AB⊥BC，CD⊥BC，证明：AD⊥BC。
专题06 立体几何专项高考真题总汇(带答案与解析)
专题06立体几何（解答题）1．【2021·全国高考真题】如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析(2)6【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【解析】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F,作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD,AO ⊥CD所以EF ⊥BD,EF ⊥CD,BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥ME 则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角,4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以BCD 为直角三角形因为2DE EA =,1112(1)2233FM BF ∴==+=从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥Q 平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.2．【2021·浙江高考真题】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,15ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）156．【分析】（1）要证AB PM ⊥，可证DC PM ⊥，由题意可得，PD DC ⊥，易证DM DC ⊥，从而DC ⊥平面PDM ，即有DC PM ⊥，从而得证；（2）取AD 中点E ，根据题意可知，,,ME DM PM 两两垂直，所以以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN和平面PDM 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【解析】（1）在DCM △中，1DC =，2CM =，60DCM ∠= ，由余弦定理可得DM =，所以222DM DC CM +=，∴DM DC ⊥．由题意DC PD ⊥且PD DMD ⋂=，DC ∴⊥平面PDM ，而PM ⊂平面PDM ，所以DC PM ⊥，又//AB DC ，所以AB PM ⊥．（2）由PM MD ⊥，AB PM ⊥，而AB 与DM 相交，所以PM ⊥平面ABCD，因为AM =，所以PM =，取AD 中点E ，连接ME ，则,,ME DM PM 两两垂直，以点M 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则(2,0),(0,0,A P D,(0,0,0),1,0)M C -又N 为PC中点，所以31335,,,2222N AN ⎛⎛-=- ⎝⎝ .由（1）得CD ⊥平面PDM ，所以平面PDM 的一个法向量(0,1,0)n =从而直线AN 与平面PDM所成角的正弦值为5||2sin 6||AN n AN n θ⋅===‖．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明AB PM ⊥，可以考虑DC PM ⊥，题中与DC 有垂直关系的直线较多，易证DC ⊥平面PDM ，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．3．【2021·全国高考真题（理）】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）见解析；（2）112B D =【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．【解析】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥底面ABC ，所以1BB AB ⊥因为11//A B AB ，11BF A B ⊥，所以BF AB ⊥，又1BB BF B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2B A C B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．（1）因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-= ，所以BF DE ⊥．（2）设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅===⋅ ．当12a =时，2224a a -+取最小值为272，此时cos θ63=．所以()min3sin 3θ==，此时112B D =．【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出(),0,2D a （02a ≤≤），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．4．【2021·全国高考真题（理）】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值．【答案】（12；（2）7014【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2BC a =，由已知条件得出0PB AM ⋅=，求出a 的值，即可得出BC 的长；（2）求出平面PAM 、PBM 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【解析】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ，则()2,1,1PB a =- ，(),1,0AM a =-，PB AM ⊥ ，则2210PB AM a ⋅=-+= ，解得22a =，故2BC a ==；（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z = ，则2,1,02AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()AP = ，由111102m AM x y mAP z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，取1x =，可得)2m = ，设平面PBM 的法向量为()222,,n x y z = ，2,0,02BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1BP =- ，由2222202n BM x nBP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，取21y =，可得()0,1,1n =r，314cos ,14m n m n m n⋅<>==⋅，所以，70sin ,14m n <>==，因此，二面角A PM B --的正弦值为14.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.5．【2021·北京高考真题】已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F ．（1）证明：点F 为11B C 的中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）11112A M AB =．【分析】(1)首先将平面CDE 进行扩展，然后结合所得的平面与直线11BC 的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数λ的值.【解析】(1)如图所示，取11B C 的中点'F ，连结,','DE EF F C ，由于1111ABCD A B C D -为正方体，,'E F 为中点，故'EF CD ，从而,',,E F C D 四点共面，即平面CDE 即平面'CDEF ，据此可得：直线11B C 交平面CDE 于点'F ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F 与点'F 重合，即点F 为11B C 中点.(2)以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方形，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设正方体的棱长为2，设()11101A MA B λλ=≤≤，则：()()()()2,2,2,0,2,0,1,2,2,1,0,2M C F E λ，从而：()()()2,22,2,1,0,2,0,2,0MC CF FE λ=---==-，设平面MCF 的法向量为：()111,,m x y z =，则：()111112222020m MC x y z m CF x z λ⎧⋅=-+--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11z =-可得：12,,11m λ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设平面CFE 的法向量为：()222,,n x y z =，则：2222020n FE y n CF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11z =-可得：()2,0,1n =-，从而：5,m n m n ⋅===则：,5cos 3m n m n m n ⋅===⨯ ，整理可得：()2114λ-=，故12λ=（32λ=舍去）.【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO DO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值．【解析】（1）设DO a =，由题设可得63,,63PO a AO a AB a ===，22PA PB PC a ===.因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥.又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥.所以PA ⊥平面PBC .（2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，||OE为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得312(0,1,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,222E A C P --.所以312(,,0),(0,1,222EC EP =--=- .设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则00EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即021022y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可取3(3=-m .由（1）知2(0,1,2AP = 是平面PCB 的一个法向量，记AP = n ，则25cos ,|||5⋅==n m n m n m |.所以二面角B PC E --的余弦值为255.【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.7．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值．【解析】（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以1MN CC ∥．又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ．所以平面A 1AMN ⊥平面11EB C F ．（2）由已知得AM ⊥BC ．以M 为坐标原点，MA的方向为x 轴正方向， MB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz ，则AB =2，AM 3连接NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故23231(,0)333PM E =．由（1）知平面A 1AMN ⊥平面ABC ，作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC ．设(,0,0)Q a ，则22123234()(4())33NQ a B a a =----，故21123223210(,,4()|3333B E a a B E =-----=．又(0,1,0)=-n 是平面A 1AMN 的法向量，故1111π10sin(,)cos ,210||B E B E B E B E ⋅-===⋅ n n |n |所以直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为1010．8．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．【解析】设AB a =，AD b =，1AA c =，如图，以1C 为坐标原点，11C D的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -．（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c = ，11(0,,)3C F b c = ，得1EA C F = ．因此1EA C F ∥，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内．（2）由已知得(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ，(0,1,1)AE =--，(2,0,2)AF =-- ，1(0,1,2)A E =- ，1(2,0,1)A F =-．设1(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量，则110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0,220,y z x z --=⎧⎨--=⎩可取1(1,1,1)=--n ．设2n 为平面1A EF 的法向量，则22110,0,A E A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 同理可取21(,2,1)2=n ．因为121212cos ,||||⋅〈〉==⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --的正弦值为427．9．【2020年高考江苏】在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥.又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ,所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B C AC C = 所以AB ⊥平面1AB C .又因为AB ⊂平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.10．【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（Ⅰ）证明：EF ⊥DB ；（Ⅱ）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）如图，过点D 作DO AC ⊥，交直线AC 于点O ，连结OB ．由45ACD ∠=︒，DO AC ⊥得2CD CO =，由平面ACFD ⊥平面ABC 得DO ⊥平面ABC ，所以DO BC ⊥.由45ACB ∠=︒，1222BC CD ==得BO BC ⊥.所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB ．由三棱台ABC DEF -得BC EF ∥，所以EF DB ⊥.（Ⅱ）方法一：过点O 作OH BD ⊥，交直线BD 于点H ，连结CH .由三棱台ABC DEF -得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角.由BC ⊥平面BDO 得OH BC ⊥，故OH ⊥平面BCD ，所以OCH ∠为直线CO 与平面DBC 所成角.设CD =.由2,DO OC BO BC ====BD OH ==所以sin OH OCH OC ∠==，因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33.方法二：由三棱台ABC DEF -得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.如图，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设CD =.由题意知各点坐标如下：(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)O B C D .因此(0,2,0),(1,1,0),(0,2,2)OC BC CD ==-=-.设平面BCD 的法向量(,,z)x y =n .由0,0,BC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0220x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，可取(1,1,1)=n .所以|3sin |cos ,|3|||OC OC OC θ⋅===⋅n |n n |.因此，直线DF 与平面DBC【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．11．【2020年高考天津】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【解析】依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M = ，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA = 是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =- ．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||6cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是30sin ,6CA 〈〉= n ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为306．（Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是3cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ．所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为33．12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A−MA 1−N 的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）105.【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ．又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ．由题设知A 1B 1= DC ，可得B 1C = A 1D ，故ME =ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ．又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ．（2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =- ，1(3,2)A M =--，1(1,0,2)A N =-- ，(0,3,0)MN =-．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，所以32040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取(3,1,0)=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，．n n 所以3020q p r ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是2315cos ,||525⋅〈〉==⨯‖m n m n m n ，所以二面角1A MA N --的正弦值为105．【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.13．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）32.【解析】（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒，故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB = ，(1,1,1)CE =-，1(0,0,2)CC =．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取m =（1，1，0）．于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ．所以，二面角1B EC C --的正弦值为2．【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.14．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.【答案】（1）见解析；（2）30 .【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ．又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH以H 为坐标原点，HC的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0），CG =（1，0AC=（2，–1，0）．设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩所以可取n =（3，6，）．又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以3cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m ．因此二面角B –CG –A 的大小为30°．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问题，突出考查考生的空间想象能力.15．【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13 PFPC=．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）33；（3）见解析.【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．（2）过A作AD的垂线交BC于点M．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如图建立空间直角坐标系A−xyz，则A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP==-=．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF⎛⎫⎛⎫==-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则0,0,AEAF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即0,2240.333y zx y z+=⎧⎪⎨++=⎪⎩令z=1，则1,1y x=-=-．于是=(1,1,1)--n．又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以3cos ,||3⋅〈〉==-‖n p n p n p .由题知，二面角F −AE −P为锐角，所以其余弦值为3．（3）直线AG 在平面AEF 内．因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--，所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n .所以4220333AG ⋅=-++= n .所以直线AG 在平面AEF 内.【名师点睛】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F −AE −P 的余弦值；（3）首先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量即可判断直线是否在平面内.16．【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,AD AB ⊥1,2AB AD AE BC ====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【答案】（1）见解析；（2）49；（3）87．【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE，，的方向为x 轴，y 轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB = 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．（2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．（3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=-⎪⎝⎭m ．由题意，有224||1cos ,||||3432h h -⋅〈〉==+m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意．所以，线段CF的长为8 7．【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．17．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC−A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.18．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A A C AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）35．【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E 3EG 3由于O 为A 1G 的中点，故11522A G EO OG ===，所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35．方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，），B，1，0），1B，33,,22F ，C (0，2，0)．因此，33(,,22EF =，(BC = ．由0EF BC ⋅=得EF BC ⊥．（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(10)=(02BC A C -，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得0y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅，n n n |，因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.。
高中数学几何证明题型练习与参考答案
高中数学几何证明题型练习与参考答案数学几何世界中的证明题型是让学生头疼的一部分，但通过不断的练习和掌握一定的方法，我们可以更好地应对这些题目。
本文将为大家提供一些常见的高中数学几何证明题型的练习题和参考答案，希望对同学们的学习有所帮助。
1. 垂直证明题题目：已知直线AB与直线CD相交于点O，且AO平分∠BAC，CO平分∠CDB，证明∠AOB与∠COD互为补角。
解析：根据已知可得AO与CO是∠AOC的角平分线，也就是说∠AOB与∠BOC互为补角。
同理，可以得到∠COB与∠COD互为补角。
由于∠BOC与∠COB是两条直线AB与CD的垂直交角，所以∠AOB与∠COD也必定是两条直线的垂直交角。
2. 相似证明题题目：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，证明△ABC∽△DEF。
解析：由于∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以△ABC与△DEF 的对应角相等。
再根据角度相等与边成比例可得，∠A/∠D=∠B/∠E=∠C/∠F，即三角形的对应边的比值相等。
因此，根据相似三角形的定义和判定条件，我们可以得出△ABC∽△DEF。
3. 一致运算证明题题目：在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD并延长至与AC相交于点E。
若∠ABC=∠BCE，证明∠ACB=∠CED。
解析：根据题意，我们已知∠ABC=∠BCE，又根据一致运算，我们可以得到∠ABC=∠BCE=∠CED。
同理，我们可以通过一致运算得到∠CBA=∠CED。
由于∠ACB是一个三角形的内角，所以∠ACB+∠CBA=180°。
将已知条件带入，我们可以得到∠CED+∠CED=180°，即2∠CED=180°。
解方程可得∠CED=90°，所以∠ACB=∠CED。
通过以上三道题目的解析，我们可以发现，在数学几何证明题中，要灵活运用已知条件、定义、定理以及一致运算等方法，依据题目中给出的条件进行推理和论证。
高考数学(新课标版) 专题22 几何证明(选修1) Word版含解析
【名师精讲指南篇】【（高|考）真题再现】1．【2021 新课标全国】如图 ,直线AB为圆的切线 ,切点为B ,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E ,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ )证明：DB =DC；(Ⅱ )设圆的半径为1 ,BC = 3 ,延长CE交AB于点F ,求△BCF外接圆的半径.【解析】 (1 )利用弦切角定理进行求解； (2 )利用 (1 )中的结论配合角度的计算可以得到答案.2.【2021（高|考）全国1】如图 ,四边形ABCD 是O 的内接四边形 ,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB CE =.(Ⅰ )证明：D E ∠=∠；(Ⅱ )设AD 不是O 的直径 ,AD 的中点为M ,且MB MC = ,证明：ADE ∆为等边三角形.3.【2021全国Ⅱ】如下图 ,O 为等腰三角形ABC 内一点 ,圆O 与ABC △的底边BC 交于M ,N 两点 ,与底边上的高AD 交于点G ,且与AB ,//EF BC 分别相切于E ,F 两点.(1)证明：//EF BC ；(2)假设AG 等于圆O 的半径 ,且23AE MN ==求四边形EDCF 的面积. ON M GFED A4.【2021全国Ⅰ】如下图 ,AB 是O 直径 ,AC 是O 切线 ,BC 交O 于点E .(1 )假设D 为AC 中点 ,求证：DE 是O 的切线；(2 )假设3OA CE = ,求ACB ∠的大小..解析 (1 )连接OE ,AE ,如下图. A O DE因为AB 为直径 ,所以AE BC ⊥.又D 为AC 中点 ,所以DE AD = ,所以CAE DEA ∠=∠.①因为AC 为切线 ,所以90CAB ∠= ,即90CAE EAO ∠+=.②在圆中 ,OA OE = ,所以EAO OEA ∠=∠.③ E D C O A结合①②③ ,可得90DAE OEA ∠+∠= ,即OE DE ⊥.所以DE 是圆O 的切线.【热点深度剖析】2021年（高|考）以圆为几何背景考查弦切角定理 ,三角形全等 ,直角三角形外接圆半径 ,考查学生的数形结合的能力. 2021年（高|考）涉及到圆的内接四边形的性质 ,垂径定理的推论．2021年涉及到面积、切线证明、切割线定理 .从三年试题来看 ,（高|考）对这局部要求不是太高 ,要求会以圆为几何背景 ,利用直角三角形射影定理 ,圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 ,相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似 ,全等 ,求线段长等 ,但连续几年没考查相交弦定理 ,预测2021年（高|考）可能以圆为几何背景 ,考查相似三角形的证明、相交线定理 ,切割线定理 ,以及圆内接四边形的性质定理与判定定理 ,考查学生的数形结合的能力.【重点知识整合】一、相似三角形1．相似三角形(1)定义：对应角相等 ,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 ,相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)判定①判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似．判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似．判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．②如果两个直角三角形有一个锐角对应相等 ,那么它们相似．如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例 ,那么它们相似．如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例 ,那么这两个三角形相似．(3)性质①性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．②性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应角的平分线的比 ,外接圆直径的比、周长的比 ,内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．相似三角形外接圆面积的比 ,内切圆面积的比都等于相似比的平方．2．平行截割定理平行截割定理：三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．直角三角形的射影定理：假设Rt△ABC斜边AB上的高为CD ,那么CD2＝AD·BD ,BC2＝BD·AB ,AC2＝AD·AB.二、圆幂定理与圆锥截线1．圆的切线(1)切线判定定理经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．推论1 从圆外一点所引圆的两条切线长相等．推论2 经过圆外一点和圆心的直线平分从这点向圆所引两条切线的夹角．(3)内切圆、旁切圆与一个三角形三边都相切的圆 ,叫做这个三角形的内切圆；与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆 ,叫做三角形的旁切圆．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数．3．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．推论1 直径(或半圆)所对的圆周角都是直角．推论2 同弧或等弧所对的圆周角相等．推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径．4．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5．圆幂定理(1)相交弦定理圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．(2)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线 ,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项．(3)割线定理从圆外一点引圆的两条割线 ,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．圆幂定理⊙(O ,r) ,通过一定点P ,作⊙O的任一条割线交圆于A、B两点 ,那么PA·PB＝定值k.①当点P在圆外时 ,k＝PO2－r2 ,②当点P在圆内时 ,k＝r2－OP2 ,③当点P在⊙O上时 ,k ＝0 ,通常把这里的定值k称作点P对⊙O的幂．6．圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理①对角互补．②外角等于它的内对角(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的一组对角互补 ,那么这个四边形内接于圆．推论如果四边形的一个外角等于它的内对角 ,那么这个四边形四个顶点共圆．【应试技巧点拨】1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线 ,相似关系的根底就是平行截割定理 ,故作辅助线的主要方法就是作平行线 ,见中点取中点连线利用中位线定理 ,见比例点取等比的分点构造平行关系 ,截取等长线段构造全等关系 ,立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中 ,经常要应用比例的性质：假设a cb d= ,那么①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形 ,然后证明图形符合命题条件 ,确定所作图形与题设条件所指的图形相同 ,从而证明命题成立．4.证明多点共圆 ,当两点在一条线段同侧时 ,可证它们对此线段张角相等 ,也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧 ,那么证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．【考场经验分享】1．应用相似三角形的性质时 ,对应量必须找准(对应边 ,对应角 ,对应边上的高、中线 ,对应的角平分线等等) ,牢牢把握对应角对的边是对应边 ,对应边对的角是对应角．2．判定两三角形相似时 ,可以用三边对应成比例 ,也可以用两角对应相等(只要两角对应相等 ,第三个角也对应相等)．但两边对应成比例时 ,必须有夹角相等的条件．3．等弧对等弦、对等圆心角、对等圆周角、对等弦切角的前提是同圆或等圆．4．相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线假设相交 ,各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理 ,当两交点在圆外时为割线定理 ,两交点重合时为切线 ,一条上两点重合时为切割线定理 ,两条都重合时为切线长定理 ,应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．【名题精选练兵篇】1.【2021河北唐山二模】如图 ,四边形ABCD 内接于圆O ,AC 与BD 相交于点F ,AE 与圆O 相切于点A ,与CD 的延长线相交于点E ,∠ADE ＝∠BDC ．(Ⅰ )证明：A 、E 、D 、F 四点共圆；(Ⅱ )证明：AB ∥EF ．2.【2021广西桂林市、北海市、崇左市3月联合调研】如图,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,延长BA 和CD 相交于点P ,14PA PB =,12PD PC =． (1 )求AD BC的值； (2 )假设BD 为圆O 的直径,且1PA =,求BC 的长．【解析】 (1 )由PAD PCB ∠=∠,P P ∠=∠,得PAD ∆与PCB ∆相似．设PA x =,PD y =,那么有PA PD PC PB =,24x y y x=2y x ⇒． ∴22AD PA x BC PC y ===． EB O FDC A(2 )由题意知,90C ∠=︒,1PA =,∴4PB = , 22PC =． ∴2228BC PB PC =-=,∴22BC =．3.【2021吉林长春质量监测 (二 )】如图 ,过圆O 外一点P 的作圆O 的切线PM ,M 为切点 ,过PM 的中点N 的直线交圆O 于A 、B 两点 ,连接PA 并延长交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,假设MC BC =.(1 )求证：APM ∆∽ABP ∆；(2) 求证：四边形PMCD 是平行四边形.4.【2021安徽 "江南十校〞联考】如图 ,过圆O 外一点E 作圆O 的两条切线EA EB 、 ,其中A B 、为切点 ,BC 为O 的一条直径 ,连CA 并延长交BE 的延长线于D 点.(Ⅰ )证明：ED BE =；(Ⅱ )假设3AD AC =,求:AE AC 的值.OB AC E D解： (Ⅰ )连接AB 、OE ,因为EA 、EB 为圆O 的切线 ,所以OE 垂直平分AB又BC 为圆O 的直径 ,所以CD AB ⊥ ,所以CD OE //又O 为BC 的中点 ,故E 为BD 的中点 ,所以ED BE =(Ⅱ )设(0)AC t t => ,那么3AD t = ,4CD t =在Rt BCD ∆中 ,由射影定理可得：2212BD DA DC t =⋅= 23BD t ∴= ,在Rt ABD ∆中 ,132AE BD t == :AE AC ∴ =35.【2021河南新乡许昌平顶山二调】如图 ,圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点 ,AB 是圆O 2的直径 ,过A 点作圆O 1的切线交圆O 2于点E ,并与BO 1的延长线交于点P ,PB分别与圆O 1、圆O 2交于C ,D 两点．(Ⅰ )求证：PA ·PD ＝PE ·PC ；(Ⅱ )求证：AD ＝AE ．O B A C E D.6.【2021甘肃兰州实战考试】7.【2021福建4月质检】如图 ,ABC ∆的两条中线AD 和BE 相交于点G ,且D ,C ,E ,G 四点共圆.(Ⅰ)求证：ACG BAD ∠=∠；(Ⅱ)假设GC =1 ,求AB .解法一： (Ⅰ )连结DE ,因为,,,D C E G 四点共圆 ,那么ADE ACG ∠=∠．又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线 ,所以,D E 分别是,BC AC 的中点 ,故DE ∥AB ．所以BAD ADE ∠=∠ ,从而BAD ACG ∠=∠．(Ⅱ )因为G 为AD 与BE 的交点 ,故G 为△ABC 的重心 ,延长CG 交AB 于F ,那么F 为AB 的中点 ,且2CG GF =．在△AFC 与△GFA 中 ,因为FAG FCA ∠=∠ ,AFG CFA ∠=∠ ,所以△AFG ∽△CFA ,所以FA FG FC FA = ,即2FA FG FC =⋅．来源:Z +xx +k ] 因为12FA AB =,12FG GC = ,32FC GC = , 所以221344AB GC = ,即3AB GC = , 又1GC = ,所以3AB =．解法二： (Ⅰ )同解法一．8．【2021届陕西省宝鸡市九校高三联合检测】圆内接△ABC 中 ,D 为BC 上一点 ,且△ADC 为正三角形 ,点E 为BC 的延长线上一点 ,AE 为圆O 的切线．(Ⅰ )求∠BAE 的度数；(Ⅱ )求证:2=CD BD EC ⋅E D C B A【解析】证明: (Ⅰ )在△EAB 与△ECA 中 ,因为AE 为圆O 的切线 ,所以∠EBA =∠EAC ,又∠E 公用 ,所以∠EAB =∠ECA ,因为△ACD 为等边三角形 ,所以120o EAB ECA ∠=∠= (Ⅱ )因为AE 为圆O 的切线,所以∠ABD =∠CAE ,因为△ACD 为等边三角形,所以∠ADC =∠ACD,所以∠ADB =∠ECA,所以△ABD∽△EAC ,所以AD EC BD CA=,即AD CA BD EC = ,因为△ACD 为等边三角形,所以AD =AC =CD, ,所以2=CD BD EC ⋅.9. 【2021届河北省唐山市高三第|一次模拟】如图 ,圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ,过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ,AD 交BC 于点F.(Ⅰ )求证：//BC DE ；(Ⅱ )假设D ,E ,C ,F 四点共圆 ,且弧长AC 等于弧长BC ,求BAC ∠.10. 【2021届甘肃省局部普通高中高三第|一次联考】如下图 ,PA 为圆O 的切线 ,A 为切点 ,两点，于交圆C B O PO ,20PA = ,10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .(1 )求证AB PC PA AC ⋅=⋅(2 )求AD AE ⋅的值.11. 如下图 ,AB 为圆O 的直径 ,C ,D 是圆O 上的两个点 ,AB CE ⊥于E ,BD 交AC 于G ,交CE 于F ,FG CF =． F GE CO D(1 )求证：C 是劣弧BD 的中点； (2 )求证：FG BF =．【解析】 (1 )∵FG CF = ,∴FCG CGF ∠=∠ ,∵AB 圆O 的直径 ,∴2π=∠=∠ADB ACB ,∵AB CE ⊥ ,∴2π=∠CEA ,∵CAB CBA ∠-=∠2π,2ACE CAB π∠=-∠ ,∴ACE CBA ∠=∠ ,∵DGA CGF ∠=∠ ,ABC DGA ∠=∠ ,∴22DGA ABC ππ-∠=-∠ ,∴DAC CAB ∠=∠ ,∴C 为劣弧BD 的中点；(2 )∵CGB GBC ∠-=∠2π,2FCB GCF π∠=-∠ ,∴FCB GBC ∠=∠ ,∴FB CF =,∴FG BF =．12．如图 ,AB 是O 的直径 ,CD 是O 的切线 ,C 为切点 ,AD CD ⊥ ,交O 于点E ,连接AC 、BC 、OC 、CE ,延长AB 交CD 于F . E OF BAC D (1 )证明：BC CE =；(2 )证明：BCF EAC ∆∆∽.【解析】 (1 )∵CD 为O 的切线 ,C 为切点 ,AB 为O 的直径 ,∴OC CD ⊥ ,又∵AD CD ⊥ ,∴OC AD // ,∴OCA CAE ∠=∠ ,又∵OC OA = ,∴OAC OCA ∠=∠ , ∴OAC CAE ∠=∠ , ∴BC CE =；(2 )由弦切角定理可知 ,FCB OAC ∠=∠ ,∴=FCB CAE ∠∠ ,∵四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 ,∴180ABC CEA ∠+∠= , 又∵+=180ABC FBC ∠∠ ,∴FBC CEA ∠=∠ ,∴BCF EAC ∆∆∽.13 ．如图 ,AB 是O 的一条切线 ,切点为B ,直线D A E ,CFD ,CG E 都是O 的割线 ,C A =AB ．(1 )求证：FG//C A ；(2 )假设CG 1= ,CD 4=．求D GFE 的值．14．如图 ,AB 是⊙O 的直径 ,CD 是⊙O 的切线 ,C 为切点 ,连接AC ,过点A 作AD⊥CD 于点D ,交⊙O 于点E ．(Ⅰ )证明：∠AOC =2∠ACD； (Ⅱ )证明：AB•CD =AC•CE．15. 如图 ,C B A ,,为O 上的三个点 ,AD 是BAC ∠的平分线 ,交O 于点D ,过B 作O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1 )证明：BD 平分EBC ∠；(2 )证明：BE AB DC AE ⋅=⋅．【解析】 (1)因为BE 是⊙O 的切线 ,所以BAD EBD ∠=∠ ,又因为CAD BAD CAD CBD ∠=∠∠=∠,所以CBD EBD ∠=∠,即BD 平分EBC ∠.(2)由⑴可知BAD EBD ∠=∠ ,且BED BED ∠=∠ ,BDE ∆∽ABE ∆,所以AB BD AE BE =,又因为DBC DBE BAE BCD ∠=∠=∠=∠,所以DBC BCD ∠=∠ ,CD BD = ,所以ABCD AB BD AE BE == , 所以BE AB DC AE ⋅=⋅16. 如图,ABC ∆内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径, PA 是过点A 的直线, 且ABC PAC ∠=∠.(Ⅰ)求证: PA 是⊙O 的切线;(Ⅱ)如果弦CD 交AB 于点E , 8=AC , 5:6:=ED CE , 3:2:=EB AE , 求BCE ∠sin . . ABCO E D P【名师原创测试篇】1．如下图 ,PE 是圆O 的切线 ,E 为切点 ,PBA 是圆O 的割线 ,∠APE 的平分线与AE ,BE 分别交于点C,D ,且30∠AEB =． (Ⅰ)求证：D D D CE PB P ⋅=B PA P ； (Ⅱ)求DB ∠P 的大小．101520DPC E BO【解析】(Ⅰ)证明：由题意可知 ,EPC APC ∠=∠ ,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠ ,那么△PED ∽△PAC ,那么PE PD PA PC = ,由三角形角平分线定理得,PE ED PB BD= ,那么ED PB PD BD PA PC⋅=. (Ⅱ)∵PCE DCE APC PAC ∠=∠=∠+∠ ,CDE EPC PEB ∠=∠+∠ ,而EPC APC ∠=∠ ,PEB PAC ∠=∠ ,∴CDE ECD ∠=∠.又在△ECD中 ,30CED ∠= ,可知()118030752CDE ︒︒∠=-=.又CDE DB ∠=∠P ,∴75DB ∠P =.2. 如图 ,O ⊙是△ABC 的外接圆 ,D 是AC ⌒ 的中点 ,BD 交AC 于E ． (Ⅰ )求证：DB DE DC ⋅=2；(Ⅱ )假设32=CD ,O 到AC 的距离为1 ,求⊙O 的半径r3. 如下图, PA 为圆O 的切线, A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA = ,10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .(Ⅰ )求证AB PA AC PC =； (Ⅱ )求AD AE ⋅的值. A CBO ．ED4. 如图 ,在△ABC 中 ,CM 是∠ACB 的平分线 ,△AMC 的外接圆O 交BC 于点N . 假设AB =2AC , 求证：BN =2AM .【解析】连结MN ,那么由BM·BA =BN·BC 得：BM BC BN BA = ,又MBN CBA ∠=∠ ,所以 ,BMN ∆∽BCA ∆ , 于是12MN CA BN BA ==. 因为CM 是∠ACB 的平分线 ,所以MN =AM ,故BN =2AM.5. P 是圆O 外一点 ,PE 切圆O 于点E ,A 是圆O 上一点 ,PA 交圆O 于B 点 ,C 为AE 一点 ,PC 交BE 与D ,CE ＝DE ．(Ⅰ )求证：PC 是APE ∠的平分线(Ⅱ )PA BD PE DE ⨯=⨯【解析】 (Ⅰ )PE 切⊙O 于点E ,A BEP ∴∠=∠．∵EC ED = ,∴∠ECD=∠EDC ,∵,ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠ ,∴∠CPA =∠CPE ,∴PC 是∠APE 的平分线 (Ⅱ ),,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∴∠=∠ ,,BPD EPC PBD ∠=∠∴△∽PEC △ ,PE CE PB BD ∴=． EC ED = ,PE DE PB BD ∴= ,PE 是圆O 的切线 ,PBA 是圆O 的割线 ,2PE PA PB ∴=⨯ ,PA PE ∴ =PE PB ,PA PE∴ =DE BD ．∴PA BD PE DE ⨯=⨯. MCN B O ·A6. 如图 ,ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ,过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ,BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、 ,假设102==PB PA .(Ⅰ )求证：AB AC 2=；(Ⅱ )求DE AD ⋅的值.。
高考几何证明试题及参考答案
高考几何证明试题及参考答案高考几何证明题一∠B=2∠DCN证明：∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;于是∠B=2∠DCN。
11输入内容已经达到长度限制∠B=2∠DCN证明：∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;于是∠B=2∠DCN。
高考几何证明题二空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。
如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行;二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。
这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。
以下用向量法求解的简单常识：1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得或对空间一定点O有2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，则四点P、A、B、C共面.3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量(k∈R).4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 .5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题.6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： .7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的'坐标.高考几何证明题三空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。
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第十六章几何证明选讲
考点一平行截割定理与相似三角形
1.(2014天津,6,5分)
如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分
∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.则所有正确结论的序号是( ) A.①② B.③④
C.①②③
D.①②④
2.(2014广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= .
考点二圆的初步
3.(2014重庆,14,5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB= .
4.(2014陕西,15B,5分)(几何证明选做题)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF= .
5.(2014湖南,12,5分)如图,已知AB,BC是☉O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则☉O的半径等于.
6.(2014湖北,15,5分)选修4—1:几何证明选讲
如图,P为☉O外一点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O 于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB= .
7.(2014课标Ⅰ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.
(1)证明:∠D=∠E;
(2)设AD不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.
8.(2014课标Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.
证明:(1)BE=EC;
(2)AD·DE=2PB2.
9.(2014辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.
(1)求证:AB为圆的直径;
(2)若AC=BD,求证:AB=ED.
10.(2014江苏,21A,10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上位于AB异侧的两点.
证明:∠OCB=∠D.
7解析(1)证明:由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.
由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.
(2)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上. 又AD不是☉O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,
即MN⊥AD.
所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.
又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.
8证明(1)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,
∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而=.
因此BE=EC.
(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB,
由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,
所以AD·DE=2PB2.
9证明(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.
由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,
故∠DBA=∠EGA,
所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.
由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直径.
(2)连结BC,DC.
由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,
从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.
又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.
由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.
于是ED为直径.由(1)得ED=AB.
10证明(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.
由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,
故∠DBA=∠EGA,
所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.
由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直径.
(2)连结BC,DC.
由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,
从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.
又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.
由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.
于是ED为直径.由(1)得ED=AB.。