2019届高三一轮总复习文科数学检测：5-2等差数列及其前n项和 含解析

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14解析：由题知3a 1＋3×22d ＝12，因为a 1＝2，解得d ＝2，又a 6＝a 1＋5d ，所以a 6＝12.故选C.答案：C2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63D ．27解析：解法一：∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9×6＝54.故选B. 解法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，∴S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54.故选B. 答案：B3．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项和为( )A ．24B ．39C ．104D ．52解析：因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×82＝52.故选D.答案：D4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( ) A ．24 B ．48 C ．66D ．132解析：解法一：由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6，得a 1＋5d ＝12， 所以a 1＝12－5d .又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132. 解法二：由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12.由等差数列的性质得a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132.答案：D5．(2018届沈阳教学质量监测)设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：由题可得数列{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，则{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝2a 52×9>0，S 10＝a 5＋a 62×10＝0，S 11＝2a 62×11<0，故选A.答案：A6．(2017届陕西省五校模拟)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66解析：由等差数列的性质可知，2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝39＋27＝66，所以a 2＋a 5＋a 3＝33，所以数列{a n }前9项的和为66＋33＝99. 答案：C7．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 1＝29，S 10＝S 20，所以10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，所以S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.所以当n ＝15时，S n 取得最大值．解法二：∵S 10＝S 20， ∴在对称轴n ＝10＋202＝15处取最大值．答案：A8．(2018届江西质检)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＞0，且S 9＜0，则S 1、S 2、…、S 9中最小的是( )A ．S 5B ．S 6C ．S 7D ．S 8解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 8＞0，且S 9＜0，a 5＋a 6＞0,9a 1＋9×82d ＜0，即a 5＜0，∴a 6＞0，∴d ＞0，则S 1、S 2、…、S 9中最小的是S 5.故选A.答案：A9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，S n ＝324，最后6项和为180(n >6)，则数列的项数n ＝________.解析：由题意可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180.②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，所以a 1＋a n ＝36.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，所以18n ＝324，n ＝18.答案：1810．已知等差数列{a n }中，S n 是前n 项的和，a 1＝－2 017，S 2 0172 017－S 2 0152 015＝2，则S 2 019的值为________．解析：S 2 0172 017－S 2 0152 015＝a 1 009－a 1 008＝2. 即{a n }的公差d ＝2，又a 1＝－2 017， 所以S 2 019＝2 019×(－2 017)＋2 019×2 0182×2＝2 019.答案：2 01911．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， 所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0， 解得正整数m 的值为5. 答案：512．(2018届湖北省襄阳市四校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 2＝－2，S 6＝6.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－2，6a 1＋6×52d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝2，所以a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6. (2)由(1)得S n ＝(－4＋2n －6)n 2＝n 2－5n ，①当n ＜3时，a n ＜0，此时T n ＝－S n ＝5n －n 2；②当n ≥3时，a n ≥0，此时T n ＝－a 1－a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－2(－4－2)＋S n ＝n 2－5n ＋12，综上T n ＝⎩⎨⎧5n －n 2，n ＜3，n 2－5n ＋12，n ≥3或T n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，6，n ＝2，n 2－5n ＋12，n ≥3.13．(2017届广东梅州一检)已知数列{a n }中，a 1＝3，满足a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 为等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由定义a n －12n －a n －1－12n －1＝2a n －1＋2n －22n －a n －1－12n －1＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 是以a 1－12＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知a n －12n ＝n ，∴a n ＝n ·2n ＋1. 令T n 为{n ·2n }的前n 项和，则 T n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.故S n ＝(n －1)2n ＋1＋n ＋2.14．(2017届山西五校联考)已知等差数列{}a n 的公差d >0，且a 1·a 6＝11，a 3＋a 4＝12.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1－2a n 2n ＋1的前n 项和T n .解：(1)因为a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝12，所以a 1，a 6是方程x 2－12x ＋11＝0两根，且a 1<a 6， 解得a 1＝1，a 6＝11，所以a 6－a 1＝5d ＝10，即d ＝2， 所以a n ＝2n －1.(2)解法一：因为a n ＋1－2a n 2n ＋1＝a n ＋12n ＋1－a n2n ，所以T n ＝a 222－a 121＋a 323－a 222＋…a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋12n ＋1－a 121＝2n ＋12n ＋1－12.解法二：因为a n ＋1－2a n 2n ＋1＝－12×2n －32n ， 所以T n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋122＋323＋…＋2n －32n ， 所以12T n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋123＋324＋…＋2n －32n ＋1，所以 12T n ＝－12× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －32n ＋1＝14－122－12n ＋11－12＋12×2n －32n ＋1，所以T n ＝2n ＋12n ＋1－12. [能 力 提 升]1．(2017届东北三校联考)已知正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n ＋1＋a na n －1＝2，则a 12＝________.解析：因为a n a n ＋1＋a n a n －1＝2，所以1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为1a 1＝12，公差为1a 2－1a 1＝12，所以1a n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，所以a n ＝2n ，所以a 12＝16.答案：162．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 6＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 答案：103．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎨⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎨⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－784．已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)解法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 解法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2. 又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12 ＝2n 2－3n ＋52；②当n为偶数时，S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n ＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a n－1＋a n)＝1＋9＋…＋(4n－7)＝2n2－3n2.。