3_1质点和质点系的动量定理

I = P2 P1
3–1 质点和质点系的动量定理 1 重写上式: 重写上式: I = 上式表明: 上式表明:
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
∫
t2
t1
F d t = p 2 p1 = m v 2 m v1 (3-1)
在给定的时间内,外力作用在质点上的冲量,等于 在给定的时间内,外力作用在质点上的冲量, 质点在此时间内动量的增量,这就是动量定理 质点在此时间内动量的增量,这就是动量定理 . 直角坐标系 下冲量的分量 形式
1 2
质点系
F2
F12
的作用力, 对系统内质点m 对系统内质点 1和m2的作用力, 称为外力. 称为外力.而 F12 和 F21 为系统内 质点间的相互作用力,叫内力 质点间的相互作用力,
F1
F21
m2

对质点m 分别运用动量定理, 对质点 1和m2分别运用动量定理,有:
∫
t2
t1
t2
( F1 + F12 )dt = m1v1 m1v10
且方向相反 则
p0 = 0
推开后速度 v g = 2 v b 推开前后系统动量不变
p = p0
p =0
3–1 质点和质点系的动量定理 1 (2)动量定理常应用于碰撞 动量定理常应用于碰撞 问题
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
mv
∫ F=
mv2 mv1 t1 = t 2 t1 t 2 t1
t2
t1
t2
由牛顿第三定律知
F12 + F21 = 0
故可将上式改写为
∫
t2
t1
( F1 + F2 )dt = (m1v1 + m2 v2 ) (m1v10 + m2 v20 ) (3-3)
上式表明,作用于两质点组成系统的合外力的冲量等于 上式表明, 系统内两质点动量之和的增量,也就是系统的动量增量. 系统内两质点动量之和的增量,也就是系统的动量增量 推广到由n个质点组成的系统 则式( - )可改写成: 个质点组成的系统,则式 推广到由 个质点组成的系统 则式(3-3)可改写成:
Fx t = mv2 x mv1x = mv cos α ( mv cos α )
x
= 2mv cos α Fy t = mv2 y mv1 y = mv sin α mv sin α = 0 2mv cos α
F = Fx = t = 14.1 N
α α
m v1
mv2
y
方向沿
x
轴反向
3–1 质点和质点系的动量定理 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 1 如图,矿砂从传送带 落到另一传送带B,已知 矿砂从传送带A落到另一传送带 已知v 例4: 如图 矿砂从传送带 落到另一传送带 已知 1=4m/s, 若传送带的运送量q v2=2m/s.若传送带的运送量 m=2000kg/h,求矿砂作用在传 若传送带的运送量 求矿砂作用在传 送带B上的力的大小和方向 不计相对传送带静止的矿砂). 上的力的大小和方向(不计相对传送带静止的矿砂 送带 上的力的大小和方向 不计相对传送带静止的矿砂 v1 300 研究对象: 解: 研究对象 t 时间 A v2 内落到B上的矿砂 内落到 上的矿砂 m 根据质点的动量定理的 微分形式, 微分形式 15 B
d ( mv ) dv dm (1) GN = =m +v dt dt dt dv dm dx 2 v ∵ =g = λv = λv dt dt dt
x
3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
v = 2 gx
2
G = λLg
代入(1)式得 代入 式得
N = λLg mg + 2λxg = λLg λ( L x ) g + 2λxg
3–1 质点和质点系的动量定理 1 两边同时积分: 两边同时积分:
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
∫
t2
t1
Fdt =
∫
p2
p1
d p = p 2 p 1 = m v 2 m v1
t2
上式中定义: 上式中定义:
I =
∫
t1
F d t 为冲量(矢量) 为冲量(矢量)
冲量也可写成: 冲量也可写成:
F/N 10 5 0 -5 10 20 t/s
1 解 ∵ Fdt = d (mv) ∴ dv = Fdt m 1 20 1 1 1 v = ∫ Fdt = (10 × 10 5 ×10) = 5 m s m 0 5 2
3–1 质点和质点系的动量定理 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 1 一质量为0.05kg,速率为 的刚球,以与 例 3 一质量为 ,速率为10ms-1的刚球 以与 钢板法线呈45角的方向撞击在钢板上 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率 钢板法线呈 角的方向撞击在钢板上 并以相同的速率 设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所 和角度弹回来 .设碰撞时间为 设碰撞时间为 求在此时间内钢板所 受到的平均冲力 F . 建立如图坐标系, 解 建立如图坐标系 由动量定理得
θq v m 1
300
3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
如图所示,有 千克的水以初速度 进入弯管,经 秒 例5:如图所示 有m千克的水以初速度 v1 进入弯管 经t秒 如图所示 在管子转弯处,水对管壁 后流出时的速度为v2 ,且v1=v2=v,在管子转弯处 水对管壁 且 在管子转弯处 ,方向 垂直向下 .(管 的平均冲力大小是 mv/t 方向 管 内水受到的重力不考虑) 内水受到的重力不考虑 y v2 根据题意,设管壁对水 解: 根据题意 设管壁对水 v1 的平均冲力为 F ,它是水对 它是水对 管壁平均冲力的反作用力. 管壁平均冲力的反作用力 300 300 x 根据动量原理 A 分量式为 Ft = mv mv
( F + mg )t = mv2 mv1
m ( v2 v1 ) = qm ( v2 v1 ) F= t
2 1 2 2 0
0
F
q m v2
150
F = qm v + v 2v1v2 cos 75 = 2.21N 0 0 sinθ = qmv2 sin 75 / F = 0.49 ∴θ = 29
而
= 3λxg = 3G1 G1 = λxg
正是已落到桌面上的绳重量,证毕 正是已落到桌面上的绳重量 证毕. 证毕
3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
例5,一长为 ,密度均匀的柔软的链条,其单位长度的 ,一长为l,密度均匀的柔软的链条, 质量为λ 将其卷成一堆放在地面上,如图所示. 质量为λ.将其卷成一堆放在地面上,如图所示.若手握 链条的一端,以匀速v将其上提,当链条一端被提离地面 链条的一端,以匀速 将其上提, 将其上提 F 为y时,求手的提力. 时 求手的提力. y v 解:取地面为惯性参考系,地面上一点为 取地面为惯性参考系, 坐标原点o,竖直向上的轴为oy正向 正向. 坐标原点 ,竖直向上的轴为 正向.如图 所示. 所示. 以整个链条为一系统.设在时刻t, 以整个链条为一系统.设在时刻 ,链条一 y 端离原点的距离为y,其速率为v.由于地面 端离原点的距离为 ,其速率为 由于地面 部分的链条的速度为零,故在时刻t, 部分的链条的速度为零,故在时刻 ,整个 链条的动量就是提离地面部分的动量. 链条的动量就是提离地面部分的动量.即 p(t ) = λyvj 0 由于λ 均为常数, 由于λ和v均为常数,故链条的动量随时间的变化率为: 均为常数 故链条的动量随时间的变化率为:
I x = ∫ Fx dt = mv2 x mv1x
t1
t2
I y = ∫ Fy dt = mv2 y mv1 y
t1
2
t2
(3-2)
I = Ixi + I y j + Izk I = t F dt = mv mv z 2z 1z ∫ z
t1
3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
例题1 例题 质量 m = 10 kg的质点受力F = 30 + 40t 作用,且力方向不变. 时从v 的作用,且力方向不变.t=0 s时从 0=10 ms-1 时从 开始作直线运动(v0方向与力向相同),求: 开始作直线运动( 方向与力向相同),求 ), (1)0~2 s内,力的冲量 I;(2)t=2 s时质点的速 ) 内 ; ) 时质点的速 率v2.(式中力的单位为 ,时间单位为s.) 式中力的单位为N,时间单位为 ) 力的单位为 解 (1)I = F (t ) dt= )
∑m v ∑m v
i =1 i i i =1 i
n
n
i0
I = p p0 (3-4)
式中 p0 p 表示系统的初动量和末动量. 表示系统的初动量和末动量.
3–1 质点和质点系的动量定理 1 注意
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
(1) 内力不改变质点系的动量
初始速度
v g 0 = v b 0 = 0 m b = 2m g 则
∫
∫
2
0
(30 + 40t )dt = 140 N s
1
(2) 应用质点动量定理 mv2 mv0 = I )
v 代入数据解得: 代入数据解得: 2 = 24 m s
3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
例题2 一质量为5 例题 一质量为 kg的物体,其所受力 的物体, 的物体 F 随时间的变化关系 如图, 如图,设物体从静止 开始运动,则20 s末 开始运动, 末 物体的速度为多少? 物体的速度为多少
in ij
∫
t2
t1
F dt = ∑ m i vi ∑ m i vi 0