16.1.2 直线与圆的位置关系
点、直线、圆与圆位置关系
点、直线、圆和圆的位置关系（一）基础知识1.点与圆的三种位置关系如果圆O半径为r，已知点P到圆心的距离OP=d，则：点P在圆外⇔d>r点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d<r2.过三点的圆（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆（2）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.3.直线和圆的位置关系（1）定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆相离；直线和圆只有一个公共点，直线和圆相切；直线和圆有两个公共点，直线和圆相交.（2）等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则：直线和圆相离⇔d>r直线和圆相切⇔d=r直线和圆相交⇔d<r4.圆的切线（1）切线的判定方法①用定义判断②用等价条件判断③用定理判断：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线比必经过圆心（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.5.两圆的位置关系设R、r（R>r）为两圆的半径，d为圆心距，则：两圆相离⇔d>R+r两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+r两圆内切⇔d=R-r两圆内含⇔d<R-r6.性质相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两外公切线所夹的角.相切的两圆的连心线必过切点.7.公切线两圆的两条外公切线长相等；两条内公切线的长也相等.8.公切线的条数与两圆的位置关系两圆相离⇔4条公切线两圆外切⇔3条公切线两圆相交⇔2条公切线两圆内切⇔1条公切线两圆内含⇔0条公切线9.常见辅助线（1）连心线；（2）公共弦；（3）内、外公切线（二）经典例题1.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30 ，BC=4D是线段BC的中点，试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由2.（2009湖北荆门市）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M 、N ．求证：BM =ND ．3.（1）如图，在A B C 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，求证：DE 是⊙O 的切线.（2）已知：如图，O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 与D ，以O 为圆心，以OD 为半径作圆O ，求证：⊙O 与AC 相切4.ADFCM E BN5.（1）如图，A B C的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，AB=11cm，BC=13cm，CA=14cm，求AD、BE、CF的长（2）在Rt A B C中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，求A B C内切圆的半径.6.（1）已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内含（2）已知关于x的一元二次方程22R r x d-++=没有实数根，其中R、rx2()0分别为⊙O1，⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系（）A.外离B.外切C.相交D.内切7.（三）历年中考试题1.（2011上海）2. （2006安徽）3.设⊙O 的半径为2，点P 到圆心O 的距离为m ，且满足方程2210x m -+-=有实数根，则定点P 的位置为（ ）A. 在⊙O 内B. 在⊙O 外C. 在⊙O 上D. 不在⊙O 外 4.（2011杭州）5.（2011日照）6.（2009年泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切7.（2009年益阳市）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）8. (2009年湖州)已知1O ⊙与2O ⊙外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距12O O 的长是（ ）A ．12O O =1B ．12O O ＝5C ．１＜12O O ＜５D ．12O O ＞５9. （2009年遂宁）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于 A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）B ． 3 1 0 2 4 5D ．3 1 0 24 5A ．1 0 C ． 3 1 02 4 5A.4π-8B. 8π-16C.16π-16D. 16π-3210. （2010浙江绍兴）如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O 1,⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切,且O 1O 2∥l 1( l 1为水平线)，⊙O 1,⊙O 2的半径均为30 mm ,弧AB 的最低点到l 1的距离为30 mm ,公切线l 2与l 1间的距离为100 mm .则⊙O 的半径为( )A.70 mmB.80 mmC.85 mmD.100 mm 11.（2011舟山）12.(2009成都)如图，A 、B 、c 是⊙0上的三点，以BC 为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC 上一点P ，作PE∥AB 交BD 于点E ．若∠AOC=60°，BE=3，则点P 到弦AB 的距离为_______．13.（2009年贵州省黔东南州）如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是_____________第10题图AB单位：mml 1l 214.（2009年益阳市）如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm .15.(2009年南充)A B C △中，10cm 8cm 6cm A B A C B C ===，，，以点B 为圆心、6cm 为半径作B ⊙，则边AC 所在的直线与B ⊙的位置关系是 ．16.（2010重庆市潼南县）如图，在矩形ABCD 中，AB=6 ， BC=4， ⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是 .17.（2010湖北孝感）P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠APB=50°，点C 为⊙O 上一点（不与A 、B ）重合，则∠ACB 的度数为18.（2009襄樊市）已知1O 和2O 的半径分别为3cm 和2cm ，且121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系为 ．19.（2009年浙江省绍兴市）如图，A ⊙，B ⊙的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距A B 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线A B 向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________．20.（2009威海）如图，⊙O 1和⊙O 2的半径为1和3，连接O 1O 2，交⊙O 2于点P ，O 1O 2=8，若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，则⊙O 1与⊙O 2共相切_______次．21.（2009年崇左）如图，正方形A B C D 中，E 是B C 边上一点，以E 为圆心.E C 为半径的半圆与以A 为圆心，A B 为半径的圆弧外切，则sin E A B ∠的值为 ．22.（2010 四川巴中）⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程27110x x -+=的两根，如果两圆外切，那么圆心距a 的值是 23.（2010福州）24.（2009柳州）如图10，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：C F B F =；（2）若2AD =，⊙O 的半径为3，求BC 的长．D C EB A25.（2010济宁）26.（2011福州）27.（2009安顺）28.（2011盐城）29.（2011菏泽）30.（2011十堰）31.（2010湖北十堰）如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C . （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2；（2）证明：AB ·BC =2O 2B ·BO 1；（3）如果AB ·BC =12，O 2C =4，求AO 1的长.32.（2010湖北黄石）在△ABC 中，分别以AB 、BC 为直径⊙O 1、⊙O 2，交于另一点D. ⑴证明：交点D 必在AC 上；⑵如图甲，当⊙O 1与⊙O 2半径之比为4︰3，且DO 2与⊙O 1相切时，判断△ABC 的形状，并求tan ∠O 2DB 的值；⑶如图乙，当⊙O 1经过点O 2，AB 、DO 2的延长线交于E ，且BE ＝BD 时，求∠A 的度数.。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系直线与圆是几何学中常见的两种图形，它们之间的位置关系对于解决许多几何问题具有重要意义。
本文将探讨直线与圆的不同位置关系，并讨论应用这些关系解决实际问题的方法。
一、1. 直线在圆内部当一条直线完全位于圆内部时，我们称这条直线与圆有内部位置关系。
在这种情况下，直线与圆的交点为空集，即直线与圆不相交。
如图1所示，直线L完全位于圆C的内部，没有交点。
2. 直线与圆相切直线与圆相切是指直线与圆仅有一个交点，该交点既在直线上，也在圆上。
此时，我们可以利用该点求解其他相关问题。
如图2所示，直线L与圆C相切于点P。
3. 直线与圆相离当直线与圆没有交点时，它们被认为是相离的。
直线可能位于圆的外部或者与圆相切于一点，但不与圆的内部相交。
如图3所示，直线L 和圆C相离。
4. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，我们称这条直线穿过圆。
直线可能与圆相交于两个不同的点，也可能相切于一个点而穿过圆。
如图4所示，直线L穿过圆C，与圆C有两个交点。
二、应用直线与圆的位置关系在解决实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个常见问题的解决方法：1. 判断一条直线与圆是否相交要判断一条直线与圆是否相交，可以使用以下方法：（1）计算直线与圆心之间的距离，若该距离小于圆的半径，则直线与圆相交；（2）求出直线与圆的方程，计算二次方程的判别式，若判别式大于0，则直线与圆相交；（3）代入直线方程和圆的方程，求解交点，若存在交点，则直线与圆相交。
2. 求直线与圆的交点坐标若直线与圆相交，我们可以通过解方程组的方法求得交点的坐标。
具体步骤如下：（1）列出直线与圆的方程，得到方程组；（2）将直线方程代入圆的方程，消去未知数；（3）解方程组，得到交点的坐标。
3. 求直线与圆的切点坐标若直线与圆相切，我们可以通过求解方程组的方法得到切点的坐标。
具体步骤如下：（1）列出直线与圆的方程，得到方程组；（2）将直线方程代入圆的方程，消去未知数；（3）解方程组，得到切点的坐标。
直线与圆的位置关系(公式及技巧)
解析：连结OB、OC、AC，根据弦切角定理，可得 ∠BAD＝∠BAC＋∠CAD
＝ (180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.
答案：99°
1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出 角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角 的大小．
2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上 的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦 切角．
2．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且 与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝ ________.
解析：由AD·BD＝CD·TD，得TD＝9，又由
得PB(PB＋9)＝(PB＋6)2－92，则PB＝15. 答案：15
3.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC
(2)当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点， 所以直线CA与⊙O2相切． 如图(2)所示，由弦切角定理知： ∠1=∠3，∠2=∠4， 又∠1=∠2，∴∠3＝∠4＝ ×180°＝90°， ∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径， ∴由切割线定理知： AC2＝CB·CE，而CB＝2，CE＝8， ∴AC2＝2×8＝16，AC＝4， 故⊙O1的直径为4.
解析：∵∠CAE＝∠EAB，∠EAB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB. 又∵CB⊥AD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB＝30°. 又∵AE＝2，∴AB＝ 3, AC 2 3, BC＝3. 答案：
6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D 是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是________．
的度数
四、圆中的比例线段
相
交 圆的两条相交弦，被交点 弦 定 分成两段的积 相等
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系直线与圆是几何学中常见的两种图形，它们之间的位置关系可以分为三种情况：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
本文将对这三种情况进行详细的论述。
1. 直线与圆相离当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称它们为相离的关系。
在平面几何中，相离意味着直线与圆之间没有任何交集。
下面是一个例子来说明这种情况。
（插入图片：直线与圆相离）如图所示，直线AB与圆O没有任何交点，因此它们是相离的。
在这种情况下，我们可以观察到直线与圆的位置关系是平行的，但是它们之间没有任何交集。
2. 直线与圆相切当一条直线与一个圆只有一个交点时，我们称它们为相切的关系。
在平面几何中，相切意味着直线与圆刚好接触，并且只有一个交点。
下面是一个例子来说明这种情况。
（插入图片：直线与圆相切）如图所示，直线AB与圆O只有一个交点C，因此它们是相切的。
在这种情况下，我们可以观察到直线与圆的位置关系是垂直的，且交点处的切线方向与直线相同。
3. 直线与圆相交当一条直线与一个圆有两个不同的交点时，我们称它们为相交的关系。
在平面几何中，相交意味着直线与圆有两个交点。
下面是一个例子来说明这种情况。
（插入图片：直线与圆相交）如图所示，直线AB与圆O有两个交点C和D，因此它们是相交的。
在这种情况下，我们可以观察到直线与圆的位置关系是斜交的，且交点处的切线方向与直线不同。
总结：直线与圆的位置关系可以归纳为相离、相切和相交三种情况。
相离表示直线与圆之间没有任何交点，相切表示直线与圆刚好接触并且只有一个交点，相交表示直线与圆有两个不同的交点。
在几何学中，我们可以通过观察直线与圆的交点个数来确定它们的位置关系。
这些位置关系对于解决实际问题和几何证明都有着重要的意义。
【字数：566】。
平面几何中的圆与直线的位置关系
平面几何中的圆与直线的位置关系在平面几何中，圆和直线是两种最基本的几何元素。
它们的相互位置关系是几何学中一个重要且常见的研究课题。
本文将就圆与直线的位置关系展开讨论，分析并总结它们之间的几种典型关系。
1. 直线与圆相离：当一条直线与一个圆没有任何公共点时，它们被称为相离。
在这种情况下，直线既不穿过圆，也不与圆相切。
这种位置关系在平面几何中经常出现。
例如，当直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离。
2. 直线与圆相切：直线与圆相切是指直线与圆只有一个公共点，并且这个公共点在直线上。
当直线与圆相切时，可以根据公共切点的位置关系进一步分类：a. 外切：当直线与圆相切，且直线在圆的外部时，称为外切。
此时，切点位于圆的外部，且直线与圆的切点处垂直于半径。
b. 内切：当直线与圆相切，且直线在圆的内部时，称为内切。
此时，切点位于圆的内部，且直线与圆的切点处垂直于半径。
3. 直线穿过圆：直线与圆相交于两个不同的交点，这种情况被称为直线穿过圆。
直线穿过圆的位置关系可以进一步分类：a. 两交点：当直线与圆相交于两个不同的交点时，称为两交点。
b. 一内一外：当直线与圆相交于一个交点，且直线一部分在圆的内部，一部分在圆的外部时，称为一内一外。
c. 两内：当直线与圆相交于两个交点，且直线完全在圆的内部时，称为两内。
4. 直线包围圆：当一条直线把一个圆完全包围在内时，称为直线包围圆。
这种情况下，直线将圆分成两个半圆。
直线包围圆是直线与圆的一种特殊位置关系，也称为割圆。
根据以上分析，我们可以看出圆与直线的位置关系种类丰富多样。
在解决实际问题时，对于圆与直线的位置关系的准确理解和判断是非常重要的。
这些位置关系在几何证明、物理问题以及工程应用等方面都有着广泛的应用。
因此，我们需要通过学习和实践，熟练掌握这些位置关系的判断方法和应用技巧，以便能够灵活运用于实际问题的解决中。
在平面几何中，圆与直线的位置关系是一个博大精深的领域。
本文只对圆与直线的几种典型关系进行了简要介绍，实际上还有更多更复杂的情况和结论等待我们去探索和研究。
直线与圆的位置关系讲义
九年级数学时间：学生：第讲直线与圆的位置关系【知识点】1 直线和圆的位置关系有三种：，，。
2 设r为⊙O的半径，d为圆心O到直线l的距离， d r,那么直线l与⊙O相交。
d r,那么直线l与⊙O相切d r,那么直线l与⊙O相离。
3 圆的切线的性质：圆的切线垂直于的半径。
4 圆的切线的判定定理：经过直径的一端，并且这条直径的直线是圆的切线。
5 圆的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
6.三角形的内切圆：〔1〕定义：与三角形三边都相切的圆称为三角形的内切圆。
〔2〕内切圆的作法; .(3)内心的性质：内心是的交点，内心到的距离相等，内心与三角形顶点的连线这个内角。
【课前自测】1. 〔2021•成都〕⊙O的面积为9πcm2，假设点0到直线l的距离为πcm，那么直线l与⊙O的位置关系是〔〕A、相交B、相切C、相离D、无法确定2.如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．假设∠A＝26°，那么∠ACB的度数为▲．3. ⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，那么⊙O上有且只有__________个点到直线AB的距离为3．4. 如图，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D．假设CD＝，那么线段BC的长度等于▲．5.如图23，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，假设∠ABC=32°，那么∠P的度数为。
【例题讲解】例1. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，假设∠A=25°，那么∠D等于A．20°B．30°C．40°D．50°例2BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧AB上的一点，过M作⊙O的切线MP交OA的延长线于点P，MD交OA于点N。
〔1〕求证：PM=PN(2) 假设BD=4, 2PA=3AO，过点B作BC//PM，交⊙O于点C，求BC的长。
直线与圆的位置关系
当直线与圆的位置关系是相交时，
知识梳理：
直线和圆的 位置关系 图形 公共点 个数 公共点 d 与 r 名称 的关系 直线 名称
相离 相切
没有
d>r
切点
一个
d=r d<r
切线
相交
两个
割线
练一练！
1、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离分别为 （1）d=4.5cm （2）d=6.5cm （3）d=8cm，
d=r
时，直线与圆的位置关系是相离
时，直线与圆的位置关系是相切
当
d<r
时，直线与圆的位置关系是相交
想一想！
如果已知直线l与圆的位置关系分别是相离、相切、相
交时，圆心O到直线l的距离d与圆的半径r有什么关系？
r d
o l
r d
o l
d>r d=r d<r
r
o
d
l
设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r： 当直线与圆的位置关系是相离时， 当直线与圆的位置关系是相切时，
试猜想在BC是否存在一点P，使得⊙P与线段CD、
AB都相切，如存在，请确定⊙P的半径.
A D
B
30
C
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向仲零王尪,道：“仲零王尪,难道你没有告诉鞠言战申,界碑世界内の禁区之地,是绝对不能进入の吗?那个地方,进去了就是死啊！据说,便是天庭大王,也不愿承受那样の恐怖.”“仲零王尪,鞠言战申进入界碑世界之前,你没与他说禁区之地呐个地方?”毕微王尪凝了凝眉,也出声问道, 不过他不是像秋阳王尪那样幸灾乐祸の申态.“俺确实是忽略了呐一点.”仲零王尪摇摇头,有些懊恼の说道.“鞠言战申误入禁区之地,恐怕要凶多吉少了.”天轮王国の万江王尪一脸惋惜表情说道.“也未必！鞠言战申实历极强,连伍拾分凶兽都能够斩杀！只要……他谨慎一些,意识到 禁区之地の非同寻常后立刻退出来,那应该没哪个问题.”仲零王尪说道,他似乎是在给自身打气.在场の几位王尪之中,他绝对是最不希望看到鞠言陨落の一个.“呵呵……”秋阳王尪不置可否の笑了一声.听到秋阳王尪の笑声,仲零王尪便是心中升腾怒吙,他很想抽秋阳王尪几巴掌.他很 着急.但是,没哪个办法,此事再与鞠言战申传讯,那于事无补,已经晚了.一切,就只能看鞠言战申自身,是否能及事の退出禁区之地.……界碑世界,禁区之地.鞠言の身影,快速の移动着,忽上忽下,忽左忽右.他,是在刻意の聚集禁地子兽.大量の绿色子兽和蓝色子兽,夹着少量黑色子兽,层 层叠叠の向鞠言扑杀.鞠言の动作很灵巧,总是能避开呐些凶兽の扑杀.偶尔被击中几次,以他强大の肉身防御,也能轻松扛得住.“鞠言战申在做哪个?”“呐是要干哪个?他是嫌自身四周の凶兽数量太少了吗?俺怎么感觉,他是在故意の聚集那些凶兽?他四周の凶兽,越来越多了.”几名混 元无上级善王,都瞪着眼睛不可思议の表情望着鞠言.“依俺看,他是绝望到疯狂了.他知道自身即将被吞吃,所以最后の呐点事间,再在俺们面前表演一下.”尹红战申嘴角挂着冷笑,阴声说道.“看他上蹿下跳の那样子！”尹红战申凶狠の又说道：“俺倒要看看他,还能蹦跶多久.”第三 零七八章一杀一片第三零七八章一杀一片(第一/一页)鞠言保持着身体极速移动,在他四周,大量禁区之地の子兽宛若滚滚洪流.那等恐怖の威势,即便是在远端の倪炯老祖、祝桦老祖等人都难免产生一种琛琛の无历感！鞠言战申,必死无疑！而由于引动の子兽数量实在是太多,所以哪怕 鞠言极历の闪避腾挪,他所遭受の攻击也是越来越多.哪怕是绿色子兽の攻击能历,都非常凶悍.鞠言能清楚の感知到,自身微子世界历量正在快速消逝着,他要抵挡子兽の攻击,所以要用微子世界の历量维持着肉身の防御能量.“差不多了！”鞠言眼申凝了凝.眼前,密密麻麻全是嘶鸣の子 兽,数量不知多少.“乾坤千叠击！”鞠言口中低沉の喝道.冰炎剑の剑身之上,层层剑幕凝现而出.每一层剑幕,都化为一个空间世界.“杀！”随着鞠言低喝声传出,剑幕空间,向着那一大片禁地子兽,镇杀了过去.而面对鞠言の乾坤千叠击善术,那些禁地子兽毫无退之意,它们保持着原有 の冲刺速度,继续疯狂の向着鞠言扑杀.顷刻之间,大量の禁地子兽,便冲入了乾坤千叠击の镇杀范围.每一层剑幕空间,都蕴含无穷の杀机.每一个空间世界,都充斥无数の剑芒,剑芒蕴含可怖历量.当呐些禁地子兽一头冲了进来,便立刻被绞杀.禁地子兽の凶残,在于其数量和攻击能历.若是 论防御,便是黑色の子兽,也不能与正常の拾分子兽相比.而拾分子兽,在鞠言の善术乾坤千叠击之下也撑不住两个回合.所以,只要是被笼罩进去の子兽,几乎是全军覆没.在远端,倪炯老祖、祝桦老祖等人,都能看到,那些本是冲向鞠言战申の子兽,成批量の倒在剑幕之中,而后化为世界内 の道则之历.仅仅是眨眼间,鞠言战申身前の大量凶兽,就空了一片.那一片凶兽,全部被斩杀掉了,死在乾坤千叠击呐一善术之下.“呐是怎么了?”倪炯老祖,目瞪口呆望着前方.“祝桦道友,你看到了吗?”倪炯老祖似乎是怀疑自身看花了眼或者产生了幻觉.祝桦老祖,则是对倪炯老祖叠叠 の点了点头,说道：“只是……呐怎么可能发生?鞠言战申,为何能一下子斩杀如此之多の禁地子兽?”祝桦老祖曾亲身与绿色子兽厮杀过,知道绿色子兽の真正实历,所以对于自身所看到の呐一幕,祝桦老祖比别人更为震惊和不解.“鞠言战申,已强大到呐种程度了吗?”倪炯老祖低声呢喃, 向是自言自语.若非亲眼所见,叫人实难信任.呐混元空间,竟然还有修行者,能够一招灭杀上百头禁地子兽！“狗屁の实历！俺看,是呐禁地子兽太弱！”尹红战申从愣申之中恢复过来,恶狠狠の说道.他开始怀疑关于界碑世界禁区之地の传言了.或许,禁区之地の凶兽,根本就没有想象中 の那名强大.或许,禁区之地凶兽の攻击能历还不错,但防御一定非常の弱.只要用群体杀伤善术,就能大量の斩杀禁区之地の凶兽.对,一定是呐样！“禁区之地の凶兽,防御一定极差.所以,那鞠言小儿才能如此大量の斩杀呐些凶兽.便是俺们,也能做到呐一点.”尹红战申再次开口对其他 人说道.而他说の话,竟也令在场多位混元无上级善王暗暗点头.显然,他们认为尹红战申说得有道理.否则,实在是无法解释他们所看到の呐一幕.如果禁区之地の凶兽真如传闻中那样恐怖,鞠言战申又怎么可能做到呐种程度の斩杀?鞠言战申实历再强,又能强到哪里去?千年之前,战申榜排 位
直线与圆的位置关系—知识讲解
直线与圆的位置关系—知识讲解【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的性质定理和判定定理1．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3.（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．在Rt△DOF中，DF4．∴DE＝DF＝4．【总结升华】本题综合考察了平行线的判定，全等三角形的判定和勾股定理的应用，是一道很不错的中档题.举一反三：【变式1】（2015•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．C B举一反三：【变式2】如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B，则AC 等于( )AC．．【答案】因为以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，所以∠ABC ＝90°，在Rt△ABC中，AC==C ．类型三、三角形的内切圆5．如图，已知O 是△ABC 的内心，∠A=50°，求∠BOC 的度数.【思路点拨】O 是△ABC 的内心，∠A=50°，根据内切圆的性质可求∠OBC+∠OCB=11(180)=(18050)=6522A ︒-︒-︒︒∠ ，在△BOC 中，根据三角形内角和求出∠BOC 的度数. 【答案与解析】解：∵O 是△ABC 的内心，∠A=50°，∴∠OBC+∠OCB=11(180)=(18050)=6522A ︒-︒-︒︒∠， ∴∠BOC=180°-65°=115°.【变式】如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切与△ABC，则△ABC去除⊙O剩余阴影部分的面积为（）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.C B。
直线与圆的位置关系
目录
CONT 2 判断直线与圆的位置关系 3 直线与圆的相交弦定理 4 直线与圆的相切定理 5 圆心距与半径的关系 6 圆与直线的交点坐标
1
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
相交
如果直线和圆有交点 ，则称直线和圆相交 。此时，直线称为圆 的割线，交点称为割 点
3 整理得到二次方程：(A+B)x² + (B-2a)y² + (2b-2a)xy + a² + b² - r² + C = 0
由于交点是二次方程的解：设交点坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，则可以将它们代入二次方程中，得到
4 两个方程组：(A+B)x1² + (B-2a)y1² + (2b-2a)x1y1 + a² + b² - r² + C = 0(A+B)x2² + (B-2a)y2²
此时，这条直线称为直径
5
圆心距与半径的关系
圆心距与半径的关系
若直线与圆相交或相切，则圆心到直线 的距离d与圆的半径r之间有以下关系
d≤r
其中，d是圆心到直线的距离，r是圆的 半径。当直线与圆相交时，d小于r；当 直线与圆相切时，d等于r
6
圆与直线的交点坐标
圆与直线的交点坐标
若直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，圆的方程为 (x - a)² + (y - b)² = r²，则联立这两个方程可以
+ (2b-2a)x2y2 + a² + b² - r² + C = 0
5 解这个方程组可以得到交点坐标(x1：y1)和(x2, y2)
直线和圆的位置关系(详细)
B 5 4 C 3
D
d=2.4cm
A
归纳与小结 1.直线与圆的位置关系表 直线与圆的位置关系表: 直线与圆的位置关系表
直线和圆 的位置关 系
图形
公共 点个 数
公共点 名称
圆心到直线的 距离d与半径 与半径r 距离 与半径 的关系
直线 名称
相 交 相 切 相 离
2个 个
交点
d<r d=r d>r
割线
思考:当直线与圆 思考 当直线与圆 相离、相切、 相离、相切、 相交时， 与 相交时，d与 r有何关系？ 有何关系？ 有何关系
O
我们把圆心到直线 的距离用d表示, 半径用r表示
r
d P P d a
P
a
1、直线与圆相离 <=> d>r 、 2、直线与圆相切 <=> d=r 、 3、直线与圆相交 < => d<r 、
台风预报： 台风预报： 台风来了! 台风来了
讨论
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， △ 中 ° ， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。 为圆心， 为半径作圆。 ， 为圆心 为半径作圆 0cm<r＜2.4cm ＜ 1、当r满足________________时， 满足________________时 ________________ ⊙C与直线AB相离。 与直线AB相离。 AB相离
你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种? 你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
a(地平线) (3) (2) (1)
观察三幅太阳落山的照片, 观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关 系是怎样的? 系是怎样的?
●
直线与圆的位置关系
(3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。
O
l
相交
O
Al
相切
O
l
相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？
二、直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的 距离d与圆的半径r的大小关系来区分）
A
相切，则这个圆的半径是 12/5 cm。
4、直线L 和⊙O有公共点，则直线L与⊙O（ D ）. A、相离；B、相切；C、相交；D、相切或相交。
典型例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的 圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2cm；(2)r=2.4cm (3)r=3cm．
段AB只有一个公共点.
d=2.
4cm
B
5 4
D
CA3Fra bibliotek当堂达标
1.设⊙O的半径为 4，圆心O到直线 a 的距离为d，若⊙O与 直线 a 至多只有一个公共点，则 d 为（ ）.
A d≤4 B d＜4 C d≥4 D d＝4 2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d,若 AB和⊙O相交,则 d 的 范围是___________
AB
5
即圆心C到AB的距离d=2.4cm 所以 (1)当r=2cm时,有d>r,因此⊙C和直线AB相离。
D
d
（2）当r=2.4cm时,有d=r, 因此⊙C和直线AB相切。
D
d
（3）当r=3cm时，有d<r， 因此，⊙C和直线AB相交。
直线与圆的位置关系(好)
.A2
.B2
.O
.A1
.B1
.A
.B
是是非非
4、若C为⊙O内一点，则过点C的
直线与⊙O相交。（ √ ）
C. O.
小问题：
能否根据基本概念来判断直线与圆的 位置关系？
直线与圆的公共点的个数
新的问题：
是否还有其它的方法来判断直线与 圆的位置关系？
L •O
直线与圆的位置关系
d表示圆心O到直线l的距
当直线与圆 相离、相切、 相交时，d与 r有何关系？
2020/3/21
练习
1、设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，
若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为…（ C ）
A、d≤4 B、d＜4 C、d≥4 D、d＝4
2、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的 距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系
（2）另一种是根据圆心到直线的距离d与圆半径r数量 比较来进行识别：
d>r 直线L与⊙o相离； d=r 直线L与⊙o相切； d<r 直线L与⊙o相交。
Bye！
Y
B
OX
4
.A
C
3
例2、在Rt ABC中，∠ C=90°，AC=3cm, BC= 4cm, 则以C为 圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？ (1）r =2cm, (2) r =2.4cm (3) r =3cm
分析：
D
讨论：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。
OM=5cm，以M为圆心，以r为半径的圆与直线OA有怎
样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm; (2)r=4cm; (3)r=2.5cm.
直线与圆的位置关系
一是连半径证垂直，二是作垂线证半径
证明一条直线是圆的切线，有几种方法？
切线的判定定理： 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线。
1、一般情况下，要证明一条直线为圆的切线， 它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给 出时，只需证明直线垂直于这条半径。
OA
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
P O
一般地,圆的切线有如下的性质:
T A
经过切点的半径垂直于圆的切线 （判定垂直）
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 （判定半径或
直径）
几 ∵⊙O与AT相切于点A
[关键词]
何 ∴OA⊥AT
切点,圆心,切线
语 言
∵圆与AT相切于点A,PA⊥AT,交圆于P点
∴AP是圆的直径
A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
P
P
4cm
4cm
l
A
A
l
例题1：
已知⊙A的直径为6，点A的坐标为 （-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是 __相__离_,⊙A与Y轴的位置关系是___相__切_。
Y
思考：圆心A到X轴、
B
Y轴的距离各是多少?
O
X
4
.A
C
3
选择:
1、设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d， 若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d与r的 关系是……………………（ C） A、d≤r B、d＜r C、d≥r D、d＝r
线。
（√）
⑸、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上
的高为半径的圆与底边相切。 （√）
切线的性质
1.如图,直线AT与⊙O相切于点A,连结OA.∠OAT等于
2. 直线与圆的位置关系
(续表)(续表)(续表)(续表)典案二导学设计【学习目标】1、使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。
2、进一步体会分类讨论思想。
【学习重点】用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系。
【学习难点】用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系。
【课标要求】了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系，掌握切线的识别方法。
【知识回顾】情境导入：用移动的观点认识直线与圆的位置关系1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，它和海平面就有右图中的三种位置关系。
2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？【自主学习】从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，（1）直线与圆的位置关系的概念：如下图所示：如图28.2.6（1）所示，如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆________________．如图28.2.6（2）所示，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆_______________．此时这条直线叫做圆的____________，这个公共点叫做____________．如图28.2.6（3）所示，如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆_____________，此时这条直线叫做圆的____________．（2）数量关系来体现圆与直线的位置关系：如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：若d r>⇒直线l与⊙O________；直线l与⊙O相离⇒________；若d r=⇒直线l与⊙O________；直线l与⊙O相切⇒________；若d r<⇒直线l与⊙O________；直线l与⊙O相交⇒________。
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∠PAC
APOM
的内部， 的对角互补，
高考总复习·数学 高考总复习 数学 所以
A，P，O，M
四点共圆
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 四点共圆，所以 由（Ⅰ）得 可知 所以
A，P，O，M
∠OAM = ∠OPM
OP ⊥ AP 由圆心O在 ∠PAC 的内部，
∠OPM + ∠APM = 90°
∠OAM + ∠APM = 90°
高考总复习·数学 高考总复习 数学
• 五. 圆内接四边形的判定和性质 • 1、圆内接四边形的判定： 、圆内接四边形的判定： • • 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶 点共圆。 如果四边形一个外角等于它的内角的对角，那么这个四 边形的四个顶点共圆。 圆内接四边形的对角互补。 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
高考总复习·数学 高考总复习 数学
16.1.2 直线与圆的位置关系
高考总复习·数学 高考总复习 数学
• 一、与圆有关的角的概念： 与圆有关的角的概念： • 1.圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角 圆心角： 圆心角 （如图1中的∠AOB）。 • 2.圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角 圆周角： 圆周角 （如图2中的∠BAC）。 • 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相 弦切角： 弦切角 切的角叫做弦切角（如图3中的∠BAT）。
CH // BG
∠AFB = ∠AEH = ∠CEF
∴ ∠ BFG = ∠ HCF , ∴
∠BFG = ∠BGA
又
FB = FB
≌
∴
∆FBA
∆FBG
高考总复习·数学 高考总复习 数学
可得：
FA = FG
且 AB = BG
由切割线定理得：
(2 + FG ) = BG ⋅ AG = 2 BG
2
2
…①
在 Rt ∆FBG
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆； （Ⅱ）求
∠OAM + ∠APM
的大小。
高考总复习·数学 高考总复习 数学 【解析】（Ⅰ）证明：连结 OP，OM 解析】 因为AP与⊙O相切于点P，所以
OP ⊥ AP
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以 于是
OM ⊥ BC
∠OPA + ∠OMA = 180°
由圆心O在 可知四边形
又∵PC切⊙O于C， ∴∠PCB=∠PDC,∠CPB=∠DPC,∴∆PCB∽∆PDC,∴
C
DC PC = BC PB
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又PA=PC,故
AD DC = AB BC
,∴:AD·BC=AB·DC.
高考总复习·数学 高考总复习 数学 圆周角定理圆的切线的判定和性质定理的应用
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A
O
E
G D
F
B
C
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切线、 切线、割线定理的应用
如图,PA,PC切⊙O于A,C,PBD是⊙O的割线, 求证:AD·BC=AB·DC.
A
证明:∵PA切⊙O于A,∴∠PAB=∠PDA, ∠APB=∠DPA,
D P B
O
AD PA = ∴∆PAB∽∆PDA,∴ AB PB
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• 二.与圆有关的角的性质： 与圆有关的角的性质： 与圆有关的角的性质 • 1、圆周角定理： 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 、圆周角定理： 的圆心角的一半。 • 2、圆心角定理： 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 、圆心角定理 • • 推论1： 推论 ：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2： 推论 ：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆 周角所对的弦是直径。
高考总复习·数学 高考总复习 数学 解： ∵ AC、AD分别是⊙ O '、⊙O的切线，AB是两圆的公共弦， 由弦切角定理得∠CAB=∠ADB, ∠DAB=∠ACB, ∴△ABC∽△DBA,
BC AB ∴ = ,∴ AB 2 = BC ห้องสมุดไป่ตู้ BD = 2 × 6,∴ AB = 2 3. AB BD
【答案】 2 3 【点评 点评】本题根据弦切角定理推出角相等，从而转化为相似 点评 三角形问题来解决。
o
高考总复习·数学 高考总复习 数学 又∵ ∠OCB ∴
= ∠OBC
∠OCG = ∠OCB + ∠BCF = ∠OBC + ∠CBF = 90o
∴CG是⊙O的切线 方法二：可证明△OCF≌△OBF（略）
高考总复习·数学 高考总复习 数学 (3) 解：由 得： ∵
FC = FB = FE ∠FCE = ∠CEF
2 2
中，由勾股定理得：
2
BG = FG − BF
………②
高考总复习·数学 高考总复习 数学 由①、②得： FG 2 − 4 FG − 12 = 0 解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去） ∴AB＝BG＝ 4 2 ∴⊙O半径为2 2
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四点共圆的判定及其应用 年宁夏卷） （2007年宁夏卷）已知AP是⊙O的切线， 年宁夏卷 P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、 C两点，圆心O在 ∠PAC 的内部，点M是 BC的中点。
【点评】 抓住角度相等或互补，转化为四点共圆，另一方面， 点评】 利用四点共圆，可以得到相关的角度相等。
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四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两 相交弦定理： 相交弦定理 条线段长的积相等。 2. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到 割线定理： 每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线 切割线定理： 切割线定理 长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 切线长定理： 切线长定理 切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹 角。
• 3、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 、弦切角定理：
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• 三、圆的切线的判定和性质 • 1、圆的切线的判定 、 • 经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。 • 2、圆的切线的性质 、 • 圆的切线垂直于经过切点的半径。 • 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 • 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
CH ⊥ AB 如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，
于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中 点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G， （1）求证：点F是BD中点； （2）求证：CG是⊙O的切线； （3）若 FB 的半径．
= FE = 2
，求⊙O
高考总复习·数学 高考总复习 数学 (1) 证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB， ∴ CH ∴ △AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF ∴
• 2、圆内接四边形的性质： 、圆内接四边形的性质： • •
• 六.直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系：相切、相离、相交。 直线和圆的位置关系
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高考总复习·数学 高考总复习 数学 弦切角定理及相似三角形知识的运用 （09阳江市模拟）如图，⊙O和⊙ O ' 都经过A、B两点， AC是⊙ O ' 的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线， 交⊙O ' 于点D，若BC= 2，BD=6，则AB的长为
// BD
EH AE CE = = BF AF FD
∵HE＝EC，∴BF＝FD
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(2)证明：方法一：连接CB，OC，∵AB是直径，
∴∠ACB ∴
= 90
o
，∵ F是BD中点，
∠BCF = ∠CBF
又∵BD与⊙O相切于点B，
∴
∠OBD = ∠OBC + ∠CBD = 90