第五章最小树问题
最小树的名词解释
最小树的名词解释最小树是图论中的一个概念，它是指在一个连通的无向图中，通过选择最少的边将所有的顶点连接起来的一棵树。
最小树通常用于解决最优路径问题和网络设计等领域，它能够在保证所有顶点连通的前提下，使整个图的总权重最小。
为了更好地理解最小树的概念，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个无向图，其中有四个顶点A、B、C和D，以及相应的边AB、AC、AD、BC、BD和CD。
现在的问题是如何通过选择最少的边，将所有的顶点连接起来。
为了解决这个问题，我们可以使用Kruskal算法或Prim算法来构建最小树。
这两种算法在解决最小树问题上非常有效。
在Kruskal算法中，首先将所有边按照权重从小到大进行排序。
之后，依次从最小权重的边开始选择，但要保证所选择的边不会形成环路。
当所有的顶点都被连接起来，即形成一棵树时，这棵树就是最小树。
而在Prim算法中，则是从一个初始顶点开始，逐渐将与该顶点相连的边加入最小树中，直到所有的顶点都被连接起来。
无论是Kruskal算法还是Prim算法，它们都能够快速地找到最小树。
通过这种方式，我们可以在保证图的连通性的前提下，选择最少的边来构建一棵最小树。
最小树不仅仅在图论中有应用，它也可以被应用在其他领域。
例如，最小树经常被用于解决计算机网络设计中的问题。
在设计网络拓扑结构时，我们希望通过尽可能少的连接来保证所有节点之间的可达性和通信效率。
使用最小树可以帮助我们找到一个经济高效的网络设计方案。
此外，最小树还可以用于解决最优路径问题。
在网络路由或交通规划中，我们经常需要找到一条连接所有目标点的最短路径。
使用最小树可以帮助我们找到连接所有目标点的最短路径，从而提高路由的效率和减少通信成本。
总之，最小树是图论中一个重要的概念，它通过选择最少的边来保证图的连通性，并在此过程中使整个图的总权重最小。
最小树不仅仅在图论领域有应用，它还可以被广泛应用于网络设计和最优路径问题等领域。
教学课件：第五章-最小树问题
最小树问题在现实生活中具有广泛的应用，如电路设计、网络路由、物流配送等。通过解 决最小树问题，可以优化网络结构、降低成本、提高效率，为实际问题的解决提供重要的 理论支持和实践指导。
最小树问题的未来研究方向
算法优化与改进
尽管已经存在许多有效的算 法用于解决最小树问题，但 随着问题规模的扩大和复杂 度的增加，需要进一步优化 和改进现有算法，以提高求 解速度和精度。
04 最小小生成树问题是在最小生成树问题的基础上，给 每条边赋予一个权重值，目标是寻找一棵权值最小的生成树 。
详细描述
在带权重的最小生成树问题中，每条边都有一个关联的权重 ，表示该边的长度或代价。算法需要选择一组边，这些边能 够连接所有节点并且总权值最小。常见的带权重的最小生成 树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
理论分析与证明
对于最小树问题的求解算法 ，需要深入的理论分析和证 明，以揭示算法的内在机制 和性能。未来可以进一步研 究算法的理论基础和数学证 明，为算法的设计和分析提 供更严格的依据。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
05 总结与展望
最小树问题的研究现状与成果
最小树问题的定义和性质
最小树问题是一类组合优化问题，旨在寻找一棵具有最小权值的树，该树连接给定的顶点 集。最小树问题在计算机科学、运筹学和图论等领域具有广泛的应用。
最小树问题的研究进展
近年来，最小树问题的研究取得了重要的进展。研究者们提出了许多有效的算法和近似算 法，用于解决最小树问题及其变种。这些算法在理论和实践方面都取得了重要的突破，为 解决实际问题提供了有效的工具。
教学课件：第五章-最小树问
目录
• 引言 • 最小树问题的算法 • 最小树问题的实例分析 • 最小树问题的扩展问题 • 总结与展望
最小树与最小树形图(数学建模)讲解
最小树与最小树形图（数学建模）讲解一、最小树的定义及性质1. 定义：最小树，又称最小树，是指在给定的带权无向图中，包含图中所有顶点的一个树形结构，且树中所有边的权值之和最小。
2. 性质：（1）最小树中不存在回路；（2）对于最小树中的任意两个顶点，它们之间有且仅有一条路径；（3）最小树中边的数量等于顶点数量减一；（4）在最小树中添加任意一条边，都会形成一条回路；（5）最小树不唯一，但权值之和相同。
二、求解最小树的方法1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，其基本思想是从图中的一个顶点开始，逐步添加边和顶点，直到形成最小树。
具体步骤如下：（1）初始化：选择一个顶点作为最小树的起点，将其加入最小树集合；（2）迭代：在最小树集合和非最小树集合之间，寻找一条权值最小的边，将其加入最小树集合；（3）重复步骤2，直到所有顶点都加入最小树集合。
2. Kruskal算法Kruskal算法同样是一种贪心算法，其基本思想是将图中的所有边按权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，判断是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合。
具体步骤如下：（1）初始化：将所有顶点视为独立的树；（2）按权值从小到大排序所有边；（3）迭代：选择权值最小的边，判断其是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合；（4）重复步骤3，直到所有顶点都在同一棵树中。
三、最小树形图的定义及求解方法1. 定义：最小树形图，又称最优树形图，是指在给定的有向图中，找到一个包含所有顶点的树形结构，使得树中所有边的权值之和最小。
2. 求解方法：朱刘算法（Edmonds' Algorithm）朱刘算法是一种用于求解最小树形图的算法，其基本思想是通过寻找图中的最小权值环，进行收缩和扩展操作，最终得到最小树形图。
具体步骤如下：（1）寻找最小权值环；（2）对最小权值环进行收缩操作，将环中的顶点合并为一个新顶点；（3）在新图中寻找最小树形图；（4）将新图中的最小树形图扩展回原图，得到原图的最小树形图。
最小树问题.
W T ' W T w e w e '
证明：（1）→（2） 由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。 归纳法：当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。 假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时，T有 k-2条边。 当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一 个点次为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的 悬挂边为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影 响T的连通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以 T’有k-2条边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T 有k个顶点时有k-1条边。
第2步：在Xi 确定的割集（Xi）中选一条最小权边ek， ek=[v’，vk]， v’∈Xi ，vk ∈ Xi ， Ei-1= Ei∪ek
Xi+1= Xi ∪﹛vk﹜,Xi+1= Xi ＼ ﹛vk﹜
第3步：若Xi+1=V，结束，（V，Ei+1）是所求的最 小树。否则，把i换成i+1，返回第2步。
例：
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰 有一条链。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之 间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链 的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾， 从而任两个点之间恰有一条链。
充分性 设图T中任两个点之间恰有一条链， 那么易见T是连通的，如果T中含有圈，那么这个 圈上的两个顶点之间有两条链，这与假设矛盾， 故T不含圈，于是T是树。
最小树问题
V1
V4
V5
0Байду номын сангаас
0
1
1
0
1
0
1
1
0
两顶点间有边连接的记为 1 ，无边连接的记为 0。 得到的矩阵一定是对称矩阵。
2、赋权无向图的矩阵表示： 两顶点间有边 连接的记为该边的权数。无边相连的记为 ， 对角线上的数是 0 。得到的矩阵也是对称矩阵。 例如：
5
v7
5
4
最小树，权为13
2．最小树的求法
(2)破圈法： ① 在网络图中寻找 一个圈。若不存在圈， 则已经得到最短树或网 络不存在最短树； ② 去掉该圈中权数 最大的边； 反复重复 ① ② 两 步，直到最小树。
v1 1 v8 4
4 2
v2 1
1 3 4
v3
1 v4 5 v5
5
v7
5
v0 2 3 v6 2 4
2．最小树的求法
求最小树的两种方法，是避圈法与破圈法
(1)避圈法： 从网络图中 任意节点开始寻 找与该节点关联 的权数最小的边， 使之与已选边不 构成为圈，直到 选够n-1条边为 止。
例
v1 1 v8 4 4 2 v2 1 1 3 4 v0 2 3 v6 2
从网络中 任选一点
v3 1 v4 5 v5
•（3）Kruskal 算法：将图中所有边 v1 按权值从小到大排列，依次选 1 所剩最小的边加入边集 T，只 v8 要不和前面加入的边构成回路， 5 直到 T 中有 n1 条边，则 T 是最小生成树
v7
4
2021年运筹学第五、六、七、八章答案
运筹学第五、六、七、八章答案1 2 3 4 5 ai 1 2 3 4 1 M M M 1.15 1.25 M M 1.3 1.4 0.87 M 1.45 1.55 1.02 0.98 0 0 0 0 65 65 65 65 bj 50 40 60 80 30 (3)用表上作业法，最优生产方案如下表： 1 2 3 4 5 ai 1 2 3 4 50 15 25 60 10 5 65 30 65 65 65 65 Bi 50 40 60 80 30 上表表明：一月份生产65台，当月交货50台；二月份交货15台,二月份生产35台，当月交货25台，四月份交货10台；三月份生产65台，当月交货60台，四月份交货5台，4月份生产65台当月交货。
最小费用Z=235万元。
5.8 求解下列最小值的指派问题，其中第（2）题某人要作两项工作，其余3人每人做一项工作．（1）【解】最优解（2）【解】虚拟一个人，其效率取4人中最好的，构造效率表为 1 2 3 4 5 甲 26 38 41 52 27 乙 25 33 44 59 21 丙 20 30 47 56 25 丁 22 31 45 53 20 戊 20 30 41 52 20 最优解：甲～戊完成工作的顺序为3、5、1、2、4，最优值Z=165 最优分配方案：甲完成第3、4两项工作，乙完成第5项工作，丙完成第1项工作，丁完成第2项工作。
5.9 求解下列最大值的指派问题：（1）【解】最优解（2）【解】最优解第5人不安排工作。
表5-58 成绩表(分钟) 游泳自行车长跑登山甲 20 43 33 29乙 15 33 28 26 丙 18 42 38 29 丁 19 44 32 27 戊 17 34 30 28 5.10 学校 ___游泳、自行车、长跑和登山四项接力赛，已知五名运动员完成各项目的成绩（分钟）如表5-58所示．如何从中选拔一个接力队，使预期的比赛成绩最好．【解】设xij为第i人参加第j 项目的状态，则数学模型为接力队最优组合乙长跑丙游泳丁登山戊自行车甲淘汰。
最小树问题
(2)破圈法：
① 在网络图中寻找 一个圈。若不存在圈， 则已经得到最短树或网 络不存在最短树；
② 去掉该圈中权数 最大的边；
反复重复 ① ② 两 步，直到最小树。
v1
4
v2
1
v3
1
2 13
1
v8
4
55
4
v4
v0
2
4
5
v7
3
v6
2
v5
•（3）Kruskal 算法：将图中所有边 v1
按权值从小到大排列，依次选
V1 0 1 1 0 0
V1 V3
V2
V3 V5
V4
1 0011 1 0001 0 10 0 1
V5 0 1 1 1 0
两顶点间有边连接的记为 1 ，无边连接的记为 0。 得到的矩阵一定是对称矩阵。
2、赋权无向图的矩阵表示： 两顶点间有边
连接的记为该边的权数。无边相连的记为 ，
对角线上的数是 0 。得到的矩阵也是对称矩阵。
些边
v2
v5
v6
v3
二、最小生成树及其算法
1．最小生成树
一个网络图可以有多个生成树．记N的所有生成 树的集合为：T＝{ Tk | k＝1，2，…，L }
设Tk ＝（V， Ek ）是网络图N＝（G，w）的一棵生成树， 则边集Ek中所有边的权数之和称为树Tk 的权数，记为
w Tk w e
e Ek
1、根据网路写出边权矩阵，两点间若没有边，则用表示；
2、从 v1 开始标记，在第一行打 ，划去第一列； 3、从所有打 的行中找出尚未划掉的最小元素，对该元素
画圈，划掉该元素所在列，与该列数对应的行打 ；
4、若所有列都划掉，则已找到最小生成树(所有画圈元素所 对应的边)；否则，返回第 3 步。
Steiner最小树问题及其应用
第8卷 第15期 2008年8月1671-1819(2008)15-4238-09科 学 技 术 与 工 程Science T echno logy and Eng i neeringV ol 18 N o 115 A ug . 2008Z 2008 Sci 1T ech 1Engng 1综 述数 学Steiner 最小树问题及其应用张 瑾1,2马 良1*(上海理工大学管理学院1,上海200093;河南大学计算机与信息工程学院2,开封475001)摘 要 Ste i ner 最小树问题是一个历史悠久的经典的组合优化问题,由于应用广泛,多年来一直受到研究者的广泛关注。
介绍了各种S teine r 树问题及其求解算法和实际应用。
关键词 Ste i ner 最小树 精确算法 启发式算法 应用中图法分类号 O 224; 文献标志码 A2008年4月21日收到国家自然科学基金项目(70471065)、上海市重点学科建设项目(T0502)资助第一作者简介:张 瑾(1974)),女,河南开封人,博士生1研究方向:系统工程、智能优化。
*通信作者简介:马 良(1964)),男,上海人,博士,教授,博士生导师1研究方向:智能优化。
现实生活中经常要求解决这样的问题,即将若干给定点相连并使连线的总长最短。
在网络通信领域中,该问题被一般化地提为:如果要在n 个区域间铺设通信网,使得各区域之间能实现信息的共享,那么应如何铺设才能使通信线路的总长最短?一般首先想到的可能就是求连接这n 个点的最小生成树(M i n i m um Spann i n g Tree )M ST )这种做法,但如果不拘泥于这n 个点,而引入除这n 个点之外的另外几个点的话,则有可能使连接各区域的通信线路的总长更短。
这是Steiner 最小树问题(Steiner M i n i m u m Tree Prob le m ,简记为S MTP)的来源。
S teiner 最小树问题是经典的组合优化问题,最早可以追溯到17世纪初。
数学建模最小生成树例题
数学建模最小生成树例题摘要：一、最小生成树的定义和应用1.定义：最小生成树是一种图论中的算法，用于找到一个加权连通图的最小生成树。
2.应用：在网络分析、运筹学、数据压缩等领域具有广泛应用。
二、最小生成树的数学模型1.问题描述：给定一个加权连通图，求解其最小生成树。
2.模型建立：使用贪心算法，每次选择权值最小的边，累计得到最小生成树。
三、最小生成树的求解方法1.Kruskal 算法：按照权值从小到大的顺序依次选取边，每次选取的边需满足两个条件：一是选取的边所在的两个顶点不属于同一连通分量；二是选取的边的权值最小。
2.Prim 算法：从任意一个顶点开始，每次选择距离当前生成树距离最近的顶点，连接当前顶点与选取顶点之间的边，累计得到最小生成树。
四、最小生成树例题解析1.题目描述：给定一个加权连通图，求解其最小生成树。
2.解题步骤：a) 读题理解，提取关键信息；b) 建立数学模型，明确问题求解目标；c) 选择合适的算法，求解最小生成树；d) 输出结果，验证答案的正确性。
正文：最小生成树是一种图论中的算法，用于找到一个加权连通图的最小生成树。
最小生成树在网络分析、运筹学、数据压缩等领域具有广泛应用。
本文将介绍最小生成树的定义、数学模型、求解方法及例题解析。
一、最小生成树的定义和应用最小生成树是一种图论中的算法，用于找到一个加权连通图的最小生成树。
生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。
最小生成树是生成树中边权值之和最小的生成树。
二、最小生成树的数学模型最小生成树问题的数学模型可以描述为：给定一个加权连通图G=(V,E)，其中每条边e=(u,v) 都关联一个非负权值w(u,v)，求解加权连通图的最小生成树。
三、最小生成树的求解方法目前求解最小生成树问题有两种经典算法：Kruskal 算法和Prim 算法。
1.Kruskal 算法：按照权值从小到大的顺序依次选取边，每次选取的边需满足两个条件：一是选取的边所在的两个顶点不属于同一连通分量；二是选取的边的权值最小。
最小生成树实际城市建设例题
最小生成树实际城市建设例题
最小生成树算法在城市建设中的应用十分广泛，可以帮助我们优化城市的交通网络、供电网络等。
以下是一个简单的例子：
假设我们在一个城市的某个区域进行城市建设，这个区域有若干个居民点（节点）和道路（边）。
我们希望通过铺设电缆（或建设道路）将这些居民点连接起来，同时要保证总的建设成本最小。
我们可以使用最小生成树算法来解决这个问题。
首先，我们需要收集每个居民点到其他居民点的距离（或建设成本），这些距离可以由专业人员测量或根据地图数据计算得到。
然后，我们可以将这些居民点和对应的距离输入到最小生成树算法中，算法会返回一个最优的生成树，这个生成树表示的是总建设成本最小的电缆或道路铺设方案。
具体来说，我们可以使用Kruskal算法或Prim算法等最小生成树算法来求解。
在Kruskal 算法中，我们按照边的权重从小到大排序，然后依次选择边，如果这条边不会与已经选择的边形成环路，就将其加入到最小生成树中。
在Prim算法中，我们首先选择一个起始节点，然后不断选择与已选节点相连且权重最小的边，直到所有的节点都被选中。
通过最小生成树算法，我们可以得到一个总建设成本最小的电缆或道路铺设方案，从而优化城市的交通和供电网络。
最小树
∑
),W 弧e =(i，j)上的权常记为 (e), e 或w(e)，wij等 ， )上的权常记为W( ), ( ) 如果T*是 的一棵生成树 且对G的任何一棵生成树 的一棵生成树， 的任何一棵生成树T都有 如果 是G的一棵生成树，且对 的任何一棵生成树 都有 W（ T* ）≤W（T），则T*称为网络 的最小支撑树或者最小生 ），则 称为网络 称为网络G的最小支撑树或者最小生 （ （ ）， 成树（ ），或者简称最小树 成树（MST：minimum spanning tree），或者简称最小树 ： ），或者简称最小树. 图的最小树一般不唯一
{
}
11
SOLLIN 算法 （1961） 基本思想：前面介绍的两种算法的综合。每次迭代同 基本思想：前面介绍的两种算法的综合。 时扩展多棵子树， 时扩展多棵子树，直到得到最小树 T.
STEP0 中任意一个顶点i， STEP0. 对N中任意一个顶点 ，定义 i={i}. 令T= 。 中任意一个顶点 定义N STEP1 如果T 中已有n-1条弧 条弧， 的最小树； STEP1. 如果 中已有 条弧，则T为G的最小树；否则，对T 中的所有子树 为 的最小树 否则， * 节点集合N 中的最小弧， 节点集合 k，计算边割 [ N k , N k ] 中的最小弧，即计算 w(ek ) = min w(e), 其中 e
该图正好含有一个圈.
5
最小树
定义2 为权函数, 定义 G=（N，E，W）为一个无向网络，W为权函数 即W: （ ， ， ）为一个无向网络， 为权函数 E→R （这里 表示实数集合）. G中权最小（大）的弧称为最小 这里R表示实数集合 表示实数集合） 中权最小 中权最小（ （大）弧. 如果H=（ 的一个子图， 的权定义为H所包含 如果 （N1，E1）为G的一个子图，子图 的权定义为 所包含 的一个子图 子图H的权定义为 的所有弧的权之和，记为W(H)，即W（H）= 的所有弧的权之和，记为 ， （ ） W ( e) .
最小树与最短路问题
常记：V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.
图的一些基本概念
有边联结的两个点称为相邻的点, 有一个公共端点的 边称为相邻边. 边和它的端点称为互相关联. 常用d(v) 表示图G中与顶点v关联的
291.1 303.8 248.8 106.5
问题分析与建模 • 用v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8表示8个学院的地理位置，因 为各学院之间的距离都是固定的，则我们得一赋 权图。 • 要使各学院都可以用网络通讯，这样的图一定为连 通的，其次若图中有圈，则可以划去一条以节省一 条光缆，因而计算机网络一定为一棵树。 • 考虑到使用光缆最少，所以要在赋权图中找到一 边权之和最小的树。即：最小树。 问题归结为：求一赋权图的最小树问题。
2、最小生成树模型
一个无圈的连通图称为树。 设图G为具有n顶点的树，则下列6个结论等价 ①、G为无圈的连通图。
②、G为连通的且具有n-1条边。 ③、G为连通的且每条边为一割集。
④、G无圈且具有n-1条边。 ⑤、G任意两个顶点之间恰有一条路。 ⑥、G为最小连通图。
若图T=(V,E')是图G=(V,E)的生成子图，且T是一棵 树，则称T是G的一棵生成树。
最小生成树
设G=（V，E）是一个非负赋权图，设T=（V，E'） 是G的一棵生成树，记生成树的边权之和为：
w(T )
称为生成树的权。
( vi ,v j )T
w
ij
若G的一生成树T*，其权w(T*)是G所有生成树权 最小者，则称T*为最小生成树。
一个实际的例子
问题提出:
SU大学有8个学院,其中A为 学校行政部门(如图所示)。 该大学现在需要设计一个电 脑网络系统,使得A到每个系 都有光缆相连.SU 大学主管 部门希望连接用的光缆量尽 量的少,为便于管理,要求光 缆连接点必须设在各学院处, 施工部门测得各学院的位置 坐标如下：
第五章最小树问题
[举例] 下面的图表示一个5个城市的地图，可以得到它 的最小生成树的权和为19.
例2、最优布线问题（wire.???） 学校有 n 台计算机，为了方便数据传输，现要将它 们用数据线连接起来 . 两台计算机被连接是指它们之间 有数据线连接 . 由于计算机所处的位置不同，因此不同 的两台计算机的连接费用往往是不同的.
• 例3 机器蛇 • 在未来的某次战争中,我军计划了一次军事行动， 目的是劫持敌人的航母．由于这个计划高度保密，你 只知道你所负责的一部分：机器蛇的通信网络.计划中 要将数百条机器蛇投放到航母的各个角落里．由于航 母内部舱室、管线错综复杂，且大部分由金属构成， 因此屏蔽效应十分强烈，况且还要考虑敌人的大强度 电子干扰，如何保持机器蛇间的联系，成了一大难题. 每条机器蛇的战斗位置由作战计划部门制定，将会及 时通知你．每条机器蛇上都带有接收、发射系统，可 以同时与多条机器蛇通讯．由于整个系统承载的数据 量庞大，需要一个固定的通讯网络．情报部门提供了 极其详尽的敌方航母图纸，使你对什么地方有屏蔽了 如指掌． • 请你设计一个程序，根据以上信息构造通讯网络, 要求信息可以在任意两条机器蛇间传递，同时为了避 免干扰，通讯网络的总长度要尽可能的短．
果形成圈，ej就不能加进去，而考虑下一条边ej+1,一直 加到得到的支撑子图含有n-1条边时，计算结束. 加边法的计算框图：
开始：对G的边重新编号，使l(e1) ≤l(e2) ≤…≤l(em)
令支撑子图的边集合E′=Ø，令i=1
ei加到E′中去是否形成圈？
是
令i=i+1
否
令i=i+1 把ei加到E′中去 E′中的边数是否等于n-1
v1 这个图的每个顶点的度数都大 e1 e2 于等于2.先任意取一个顶点，例如 v3 v2 取v4，并且令p={v4}.因为 e3 deg(v4)≥2，所以一定有与v4关联的 e4 e5 边，任取一条这样的边，例如取e4， e6 v5 v 把e4及它的另一个端点v2加到p中去， 4 图5.2.1 使p扩大成p={v4,e4,v2}.然后再取 一条与v2关联，而不属于p的边.因 为deg(v2)≥2，这样的边是一
运筹学_21 图论最小树和最大流
7
Operational Research
8
最大流问题
案例 • v1表示工厂，v6表示市场，v1-v5表示转运站。产品从工厂到市场要经过转运站。 • 弧的权数表示能通过的货物量，求如何安排运输，使到达市场数量最大？
Operational Research
9
最大流问题
（V，A），指定一个点为起点不终点，其余点叫作中间点。对于A的每条弧 ，都对应一个权数 wij ≥0，称为弧的容量。 每一弧（vi，vj）的流量为xij，集合X={xij | （vi，vj）属于A }称为该网络一个流。 可行流
（1）找到一个增广链； （2）逐一检查，给出标号；每一标号点包括两部分（第一标号表明标号从哪里来，顺则+ 逆则-；第二标号表明可调整量，取之前的最小值）。
（3）调整流量（保持每个中间点的平衡）；
（4）再找增广链。
V2
（4,4）
V4
（6,5）
最大流为10
V1
（5,4） （3,0） （4,2） （6,6）
11
最大流问题
定理：
•
算法
可行流为最大流的充要条件是丌存在关于x*的增广链。
Ford-Fulkerson算法
•
V2
（5,3）
（4,4）
V4
（6,4）
V1
（6,6）
（3,1）
（4,2）
（6,2）
（8,5）
V6
V3
（5,3）
V5
Operational Research
12
最大流问题
过程
•
从某一可行流出发，通过找增广链、检查-标号、调整三步完成算法；
流 Flow
• •
最小树问题
v3
v3
破圈法
• 任取一圈，从该圈中去 掉任一条边 • 对余下的圈重复相同的 v1 步骤 • 直到将图中所有的圈都 破掉为止
v4
2 1 3 4
v5
v6
v2
v3
避圈法
• 也称为生长法 • 从图中某一点开始 生长边 • 逐步扩展成长为一 v1 棵树 • 每步选取与已入树 的边不构成圈的那 些边
v4
2．最小树的求法
求最小树的两种方法，是避圈法与破圈法
(1)避圈法： 从网络图中 任意节点开始寻 找与该节点关联 的权数最小的边， 使之与已选边不 构成为圈，直到 选够n-1条边为 止。
例
v1 1 v8 4 4 2 v2 1 1 3 4 v0 2 3 v6 2
从网络中 任选一点
v3 1 v4 5 v5
6.2.3 最小生成树
v5 9 v6 17 10 8 7 11 v4 16 v3 9.5 v2 v1 10
12 7 19.5
10 16 11 10 17 10 9.5 19.5 16 9.5 7 12 7 8 7 11 10 8 9 17 19.5 12 7 9
2 6 v5 +∞
v6
+∞
二、最短路问题的算法
（2）考察 v1: T(v2)=min [T(v2)，P(v1) +d12] ＝min [∞，0＋3] = 3 T(v3)=min [T(v3)，P(v1) +d13] ＝min [∞，0＋5] = 5 所以，P(v2 )= 3 (0)
P(v2 )= 3 +∞ v2（3） ∞ v4 + 9 T(v4)= 9
斯坦纳最小树
e）若dist1<dist2, 则加入path1, 若dist2<dist1, 则加入path2, 若dist1=dist2, 则对下一个最近点 重复(2)a到(2)e, 直到dist1¹ dist2, 或穷 尽了Z中所有顶点（此时任意选择）； 3）取ziZ∩(G-T),zjT,使zi,zj尽可能 近； 4）重复2），3）直到Z中的顶点均在 T中。
在下述四类区域中不含Steiner点
D 1 {( x , y ) | x x 00 ( k ), y y k }; D 3 {( x , y ) | x x 10 ( k ), y y k }; D 2 {( x , y ) | x x 01 ( k ), y y k }; D 4 {( x , y ) | x x 11 ( k ), y y k };
问题
假定要设计一个有9个通 讯站点的局部网络，使 其造价最低。这9个站的 直角坐标为： a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)。 求出联结这9个通讯站的 最小Steiner树。
(1)穷举法
求最小Steiner树问题是NP难题，点数较小 的问题可用穷举法，但若规模较大，应寻 求近似算法。 由于费用最少的Steiner树T*上最多只需引 入n-2个虚设点，因此可从m≤n(n-1)个可能 的Steiner点位置中任取s个点， s=0,1,2,…,n-2，连同给定的n个点一起， 用Kruskal算法，求由这n+s个点确定的赋 权完全图（图中边权取为两点间的直角折 线距离）的最小生成树Ts。 若m不大的最小Steiner树可分解为两个问题： 1）求Steiner点；2）求最小生成树。 根据提示“最小Steiner树最多只需n-2个虚 设站（Steiner点）”， Vs ：表示Vp中任意s个点的集合。 对满足0≤s≤n-2的整数s和点集Vs Vp，以 V= Vs∪V0为顶点集的加权完全图Ks+n的 最小生成树记为Ts, 所有Ts 中权最小者记为 T*，T*即为所要求的最小Steiner树。
最小树算法
最小树算法
最小树算法是一种用于构建最小生成树的算法。
最小生成树是指在一个无向连通图中，选取一些边，使得这些边连接了所有的点，并且总权值最小。
最小树算法主要有两种：Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法：
Prim算法是一种贪心算法，它从一个点出发，每次选择与当前树连接的权值最小的边，将该边的另一个点加入到当前树中。
具体实现：从一个起始点开始，将这个点加入到一个集合中，然后找到连接这个集合的最小边，将另一个点加入到集合中，再找到连接这个集合的最小边，不断重复此过程，直到将所有的点都加入到集合中。
2. Kruskal算法：
Kruskal算法是一种基于并查集的贪心算法，它首先将所有的边按照权值从小到大排序，然后按照权值从小到大的顺序依次加入边，如果加入的边会形成环，则舍弃该边。
具体实现：将所有边按照权值从小到大排序，然后依次遍历每一条边，如果这条
边的两个端点在同一个集合中，则舍弃该边；否则将这条边加入到最小生成树中，并将这两个端点合并到同一个集合中。
总之，无论是Prim还是Kruskal，最终得到的最小生成树的权值都是相同的，只不过算法的实现方式不同。
最小树问题VS最短路问题
2
i 1 j 1 8 8
a67
x12 x13 x24 x34 3; x34 x36 x47 x67 3; x47 x45 x78 x58 3; x x x x x x 5; 12 13 24 47 36 67 st x x x x x x 5; 36 34 45 58 78 67 x12 x13 x36 x67 x78 x58 x45 x24 7; x 7; ij ij xij 8； j=1ٛ 8) 0或1；(i=1ٛ
最小树问题 • 已知有六个城市，它们之间 要 架设电话线，要求任意两个城 市均可以互相通话，并且电话 线的总长度最短
最短路问题（SPP-Shortest Path Problem）
• 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一 车货物从甲地运往乙地. 从甲地到乙地的公 路网纵横交错，因此有多种行车路线，这 名司机应选择哪条线路呢？ • 假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这 一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地 6 B D 的最短路. 6 5
A 7 C 4至v7点的最短路问题归结为求解整数规划问题。 1
v2
v5 v4 2 3 3 4 v6 4 v7
最短路问题
• 城市中的管道铺设，线路安排，工 厂布局，设备更新，选址问题
min Z aij xij
i 1 j 1 7 7
9
v1
5 v3
2 8
8
1, 最短路径弧(i, j ); 解：设xij 0, 否则
7
x12 x13 1; x12 x 23 x 24 x 25; x13 x 23 x34 x36; x 24 x34 x 45 x 46; st x 25 x 45 x65 x57; x36 x 46 x65 x 67; x57 x67 1; xij 0或1, (i 1…7；j=1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5.2 树的等价定义
本节我们来看看关于树的一些等价定义. 定理5.2.1 设T=(V,E)是一个树，设T有m条边，n个 顶点，则m=n-1. 在证明这个定理之前，我们先看一些引理. 引理 5.2.1 设G=(V,E)是一个图，它的每一个顶点的 度数都满足deg(vi)≥2，那么G一定有圈. 证明：证明的方法是：从任意一 v1 e1 个顶点开始，来构造G的一条简单 e2 了p，开始时，p只含一个顶点，以 v2 v3 e3 后逐步扩大，然后证明，扩大若干 e4 e5 次后，p中一定会出现圈,当然，这 e6 v5 v 就证明了G中一定有圈.我们结合图 4 图5.2.1 5.2.1来证明.
(a)G1
图5.1.1
(b)G2
图5.1.1(a)、(b)中画的都是树的例子. 注：树中度为1的顶点称为树叶，度大于1的顶点 称为枝点或分支点.
前面已经讲过，所谓图G=(V,E)的支撑子图，指 的是G的一个子图G1=(V1,E1)，其中V1=V，即G1是由G 的全部顶点及一部分边组成的.对于我们来说，特别 重要的是图G(G本身不一定是树)的那些形成树的支撑 子图. 定义5.1.2 设G=(V,E)是一个无向图，如果 T=(V,E1)是G的支撑子图并且T是树，则称T是G的一个 支撑树.
最小树问题有很多很广泛的应用.例如，我们把 图5.1.3(a)的图G中的五个顶点看成某个镇的5个村， G的边看成是公路，现在要假设电线(电线必须沿着公 路假设)，使各村之间都能通电话,问应该怎样架线， 才能使所用的电线最少？
考虑一下，就可以看出，这个问题的关键是决定 图上哪些边上架线，哪些边上不架线.设架线的边的集 合是E1,那么G1=(V,E1)就是G的一个支撑子图.因为架线 后各个村之间都能通话，所以G1必须是连通的.因此要 使电线最节约，就是要从G的所有连通的支撑子图中， 把总边长最小的找出来，但是不难看出，总边长最小 的连通支撑子图一定不会含圈，从而必定是一个支撑 树.因此假设电线的问题就归结为最小树问题. 类似的问题还有很多，例如修公路把一些城镇连 接起来，修渠道使水源和各块地连接起来，等等，都 可以归结为最小树问题.同时，最小树问题还是图论 中其它很多问题的基础，也就是说，有不少的问题在 计算时，往往首先必须求出一个最小树，这也是最小 树问题显得特别重要的一个原因.
图5.1.2
是不是每个图G都有支撑树呢？不见得.很显然， 如果G不连通，G就一定不会有支撑树.反过来，我们 有: 定理5.1.1 连通图一定有支撑树.
证明：设G是一个连通图，如果G没有圈，那么G 本身就是一个支撑树，如果G有圈，那么任取G的一个 圈，并且从这个圈中任意去掉一条边，得到G的一个 支撑子图G1,易见G1仍是连通的，如果G1还有圈，就再 从某一个圈中去掉一条边，得到G2，G2仍是连通 的，…，这样做下去，直至得到一个不含圈的连通支 撑子图Gs为止，Gs就是G的一个支撑树了. 按定理5.1.1的证明方法得到一个支撑树的过程 成为“破圈法”。
定存在的，例如可以取e1，把e1及它的另一个端点v1 再加入p，使p扩大成p={v4,e4,v2,e1,v1}，…，这样 做下去，p中每增加一条边ej′与一个顶点vi′后，就应 该看一看，它属于下面两种情况中的哪一种：
情况1：vi′是第一次出现在p中.这时，因为 deg(vi′)≥2，所以一定还有与vi′关联而不属于p的边，取 一条这样的边，把它及它的不同于vi′的另一个端点加入p， p就可以扩大了. 情况2：vi′是第二次出现在p中.这时不必再扩大p了. 因为p中从上一次出现vi′到这次出现vi′中的一段就是一个 圈. 因此，只要情况2一出现，就找到圈了.那么，情况2 是不是一定会出现呢？一定会的.这是因为p是简单路,即 每一条边在p中只出现一次，而图的总边数是有限的，因 此，p不能无限的扩大.要是在扩大p的过程中只是出现情 况1，那么p久可以不断地扩大下去.这个矛盾说明，经过 若干次扩大后,一定会出现情况2.
v1
3 v2 6 2 8
v3 v1 5 v4
3 v2 6
2 6 5
v3
6 5
v5
6 5
v5
v4
8
c:T2
v5
b:T1 图5.1.3
现在的问题是如何从G的所有支撑树中，把长度最 小的支撑树找出来？.
通常，我们把长度最小的支撑树叫做最小树.所 以上面的问题实际上就是如何把一个图G的最小树找 出来.因此这个问题就叫做最小树问题.
例如，前面已扩大到 p={v4,e4,v2,e1,v1}了.看一下v1， 因为v1是第一次出现在p中，属于情 况1，故可以继续扩大，例如可以 把e2与v3加到p中去.再看v3，仍是 第一次出现，再扩大p，例如取e3与 v2，即扩大成：
e1 v2 e4 v4 e3 e6
v1 e2
v3
e5 v5
图5.2.1
从破圈的过程可以看出，一个连通图G一般有许 多支撑树.因为取定一个圈后，可以从这个圈上任意 去掉一条边.去掉的边不一样，得到的支撑树就不同.. 现在考虑一个连通图G=(V,E)，它的每一条边ej 有一个长度l(ej)>0.这时，对于G的任意一个支撑树T， 我们把属于T的各条边的长度加起来的和叫做树T的长 度，记作l(T).如下图：l(T1)=22,l(T2)=17. v1 5度数都大 e1 e2 于等于2.先任意取一个顶点，例如 v3 v2 取v4，并且令p={v4}.因为 e3 deg(v4)≥2，所以一定有与v4关联的 e4 e5 边，任取一条这样的边，例如取e4， e6 v5 v 把e4及它的另一个端点v2加到p中去， 4 图5.2.1 使p扩大成p={v4,e4,v2}.然后再取 一条与v2关联，而不属于p的边.因 为deg(v2)≥2，这样的边是一
p={v4,e4,v2,e1,v1,e2,v3,e3,v2} 检查v2,v2是第二次出现，这属于情况2，故不必 再扩大了，因为p中已出现了圈 {v2,e1,v1,e2,v3,e3,v2}.证毕