最小树问题.

v3
v1 v2
（a）
v5
v3
v5
v6
v v6 1
v4 v2
（b）
v4
（b）是（a）的一个支撑树。
定理4 ： 图G有支撑树的充分必要条件是图G是连通的。 证明：必要性是显然的。 充分性： 设G是连通的，如果G不含圈，则G本身是 一个树，从而是它自身的一个支撑树。 现设G含图，从圈中任意去掉一条边，得G的一 个支撑子图G1，如G1不含圈，则G1是G的一个支撑树； 如G1含圈，则从G1中任取一圈，从圈中再任意去掉一 条边，得G的一个支撑子图G2，如此重复，终可得G
中至少有两个悬挂点。
设v1是T的一个悬挂点，考虑图T-｛v1｝，则图T-
｛v1｝ 的顶点数为K，由归纳假设可得 ：
mT (v1 ) nT (v1 ) 1 ，因为 nT ( v ) nT 1 ， 1
nT (v1 ) nT 1 ，则
mT (v1 ) mT 1
，证毕。
定理2 图T=（V，E）， p=n， q=m，则下列关于
树的说法是等价的。 （1）T是一个树。 （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1。 （4）T无圈，但每加一条新边即得唯一一个圈。 （5）T连通，但每丢掉一条边就不连通。 （6）T中任意两点，有唯一链相连。
边数=点数-1
先证明（6）→（1）
的一个不含圈的支撑子图Gk，于是Gk是G的一个支撑
树。
（一）破圈法
例题 破圈法求解
e1
v2
e3 e4
e8
v1
e2
e5
v4
e7 e6
v5
v2
e1
v3
e8 e4
（1）
v2
e1
e8
v1
e2
e5
v4
e7 e6
v5 v1
e2
e5
v4
e7 e6
v5
（2）
v3
v3
（3）
v2
e1
e8
v1
e2
e5
v4
e7
v3
根据树的定义及其三个性质的证明，我们可以归 纳出树T的六 个基本性质，即： （1）T是无圈图 （2）T是连通图 （3）T中边数为点数减1，即 mT nT 1 （4）T中减去一条边则不连通 （5）T中加一条边则恰有一个圈 （6）T中至少有两个悬挂点
二、图的支撑树
定义2 设图T=[V，E’]是图G=（V，E）的支撑 子图，如果T是一个树，则称T是G的一个支撑树。
定理2：图T是树，则T中的边数m等于点数n减1， 即：m=n-1 证明：如图图T是树，则依树的定义，则T 是连 通图，对于m=n-1可以用数学归纳法证明。 （1）当n=1时，m=0，m=n-1成立。 （2）当n=1时，m=1，m=n-1成立。 （3）假设当n=k时，m=n-1成立。
（4）对于k+1个顶点的图T而言，由树的性质1可知，T
第二节
一、树及其性质
最小树问题
定义1： 无圈的连通图称为树。树一般用T表示。 定理1： 任给树T=（V，E），若n（T）≥2，则
T中至少有两个悬挂点。
证明：设 Q=（v1，v2，…，vk）是G中含边数最多 的一条初等链，因 n（T ）≥2，并且T是连通的，故 链 Q中至少有一条边，从而v1与vk是不同的 。
w(T ) we
eT
为树T的权。 如果支撑树T*的权w（T*）是G的所有支撑树的权 中最小的，则称T*是G的最小支撑树（简称最小树）。 即
w(T *) min w(T )
T
最小树问题，即求网络G的最小支撑树。
定理5 设T是网络的支撑树，而任意一个树外的 边，唯一决定一个圈，除e外，的其它来自百度文库都属于T， 如果T是G的最小支撑树，则e是的最大边。
证明：（1）→（2） 由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。 归纳法：当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。 假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时，T有 k-2条边。 当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一 个点次为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的 悬挂边为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影 响T的连通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以 T’有k-2条边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T 有k个顶点时有k-1条边。
（2）→（3） 只须证T是连通图。 反证法 设T不连通，可以分为l个连通分图（l≥2），
设第i个分图有ni个顶点，
n
i 1
l
i
n
因为第i个分图是树，所以有ni-1条边，l个分图 共有边数为：
(n
i 1
l
i
1) n l n 1
与已知矛盾。所以T为连通图。 （3）→（4）、（4）→（5）、（5）→（6）、 及（6）→（1）的证明略。
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰 有一条链。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之 间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链 的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾， 从而任两个点之间恰有一条链。
充分性 设图T中任两个点之间恰有一条链， 那么易见T是连通的，如果T中含有圈，那么这个 圈上的两个顶点之间有两条链，这与假设矛盾， 故T不含圈，于是T是树。
v1 v2
v5 v6v1
v3 v1
v3 v1 v2
v3
v5
v4 v5
v6 v1 v2 v4
v2 v5
v6
v3 v1
v3
v2
三、最小支撑树问题
定义3 给定无向网络图G=（V，E，W），对于G的任一 边ek=[vi，vj]有一个非负权w（ek）=wij（wij≥0）,T=（V，E’ 是G的一个支撑树，称
现证v1是悬挂点，即d（v1）=1。
反证法：如d（v1）≥2，则存在边[v1，vm]，使m≠2，
v1
若vm不在Q上，
v2
vk
vm
那么（vm，v1，v2，…，vk）比Q链边数多一条， 与Q是边数最多的链矛盾。 若vm在Q上
v1
v2
vm
vk
（v1，v2，…， vm， v1）是圈，与T是树矛盾。 所以必有d（v1）=1，即v1是悬挂点。 同理可证：vk也是悬挂点。所以G至少有两个悬挂点。
（4）
v2
e1
v1
e2
e5
v4
e7
v3
（5）
（二）避圈法 在图中任取一条边e1，找一条与e1不构成 圈的边e2，再找一条与{e1，e2}不构成圈的边 e3。一般设已有{e1，e2，…，ek}，找一条与 {e1，e2，…，ek}中任何一些边不构成圈的边 ek+1，重复这个过程，直到不能进行为止。
v3