双曲线离心率常见求法整理归纳
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出,a c ,求解e 已知标准方程或,a c 易求时,可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C :)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是( )A. 10B. 5C.310 D. 25分析:这里的1,a c ==2b ,即可利用定义求解。
解:易知A (-1,0),则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B)1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--,又|AB|=|BC|,可解得9b 2=,则10c =故有10ace ==,从而选A 。
二、变用公式)c e a==双曲线,)c e a==椭圆,整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =,则双曲线的离心率为( )A. 35B. 34C. 45D. 23分析:本题已知b a =34,不能直接求出a 、c ,可用整体代入套用公式。
解:因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =,所以 43b a =,则53c e a ===,从而选A 。
1.设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线21y x =+相切,则该双曲线的离心率等于( C )解:由题双曲线()222200x y a b a b-=1>,>的一条渐近线方程为a bx y =,代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ,因渐近线与抛物线相切,所以0422=-a b ,即224b a =e ∴===2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC =uur uu u r,则双曲线的离心率是 ( )A D 答案:C【解析】对于(),0A a ,则直线方程为0x y a +-=,直线与两渐近线的交点为B ,C ,22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭,22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭,222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ,即224b a =,e ∴===3.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=,则椭圆的离心率为( )A .2 B .3 C .12 D .13【解析】因为2(,)b P c a -±,再由1260F PF ∠=有232,b a a =即2223b a =从而可得3e ∴===,故选B三、构造a 、c 的齐次式,解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。
双曲线离心率常见题型
一、求双曲线的离心率及其范围。
例1:已知21,F F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点,过1F 垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点,若2ABF ∆是直角三角形,求双曲线的离心率。
答案:21+
=e 变式:
1、若2ABF ∆是等边三角形,求双曲线的离心率。
答案:3=e
2、若2ABF ∆是锐角三角形,求双曲线的离心率。
答案:)21,1(+
∈e 3、若2ABF ∆是钝角三角形,求双曲线的离心率。
答案:),21(+∞+∈e
例2:已知21,F F 分别是双曲线12222=-b
y a x 的左右焦点,过2F 且倾斜角的为 60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点,求双曲线的离心率的取值范围。
答案:),2[+∞∈e
例3:过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点2F 作垂直于渐近线的的直线与双曲线的两支都相交,求双曲线的离心率的取值范围。
答案:),2(+∞∈e
二、直线1-=kx y 与双曲线42
2=-y x 没有公共点,求k 的取值范围 2
5,25>-<k k 或 变式1、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点,求k 的取值范围
)2
5,1()1,1()1,25(⋃-⋃-- 变式2、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点,求k 的取值范围1,2
5±±=k k 或 变式3、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左支有两个公共点,求k 的取值范围 )1,25(--。
双曲线离心率三个公式
双曲线离心率三个公式
双曲线,又称偏态椭圆,是一类椭圆型曲线,它是一类椭圆型曲线中最为普遍的一种。
在平面内,它拥有两个焦点和两条对称的直线,而它的离心率是比较关键的指标,有时依据离心率的大小,可以把它们分开。
许多的重要的数学概念和它们的离心率有关,下面我们就来看看它们的公式:
第一个双曲线离心率公式:
e = c/a
其中,a表示半长轴,c表示半短轴。
第二个双曲线离心率公式:
e = 1 - b^2/a^2
其中,a表示半长轴,b表示半短轴。
第三个双曲线离心率公式:
e =(1 - b^2/a^2)
其中,a表示半长轴,b表示半短轴。
双曲线的离心率是一个最重要的概念,它可以用来描述双曲线的偏态程度,也是双曲线分类的依据之一。
离心率若大于1,则表明双曲线极度偏态,离心率若等于1,则表明它是一个椭圆形,当离心率小于1时,表明双曲线是比较圆滑,两端不太尖锐。
我们以上提到的三个双曲线离心率公式,它们可以求出双曲线的离心率,方便我们研究偏态的曲线,可以准确的描述双曲线的偏态程度,从而用于分类和研究,获得更多的信息。
双曲线离心率的应用广泛,其原理可以运用到多种计算和分析中,比如财务分析,贝叶斯分析,统计分析等等,也运用到重要的物理和数学概念中。
例如,气体爆炸中,我们可以利用双曲线离心率来描述能量的传递,微米级到纳米级的粒子可以利用双曲线离心率来计算其运动的可能性,而在天体的研究中,我们可以利用它来描述和分析椭圆星系的运行方式等。
总之,双曲线离心率是一个非常重要的概念,可以用来衡量双曲线的偏态程度,通过我们上面介绍的三个公式,可以更好的研究、应用及分析双曲线离心率,从而查找和发现更多重要的数学概念和应用。
求离心率的范围问题整理分类
求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法:1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为椭圆上的任意一点,PF 1|∈[a -c ,a +c ];F 1,F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,P 为双曲线上的任一点,|PF 1|≥c -a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式,建立不等关系。
二、函数法:1. 根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式;2.通过确定函数的定义域;3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点P ,使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为( )A .12B .13 C.2 D.32π4.5.设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,若在直线x =a 2c上存在点P ,使线段PF 1的中垂线过点F 2,则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0,33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33,1 6.已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上,若点M 为椭圆C 的右顶点,且PO PM ⊥(O为坐标原点),则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A .⎛ ⎝⎭B .()0,1C .⎫⎪⎪⎝⎭D .⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上,双曲线两焦点21F F 、,|PF |4|PF |21=,求双曲线离心率的取值范围。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点,若双曲线上存在点 , 且 ,则双曲线的离心率为( B )
A. B. C. D.
解
8.如图, 和 分别是双曲线 ( )的两个焦点, 和 是以 为圆心,以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线的离心率为()
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ,双曲线的离心率 ,抛物线的离心率 .
一、直接求出 ,求解
已知标准方程或 易求时,可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C: 的左顶点A作斜率为1的直线 ,若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是( )
A. B. C. D.
解:由已知,直线 的方程为 ,由点到直线的距离公式,得 ,
又 ,∴ ,两边平方,得 ,整理得 ,
得 或 ,又 ,∴ ,∴ ,∴ ,故选A
11.知 、 是双曲线 ( )的两焦点,以线段 为边作正三角形 ,若边 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()
A. B. C. D.
解:如图,设 的中点为 ,
A. B. CБайду номын сангаас D.
解析:满足 的点 总在椭圆内部,所以c<b.
4.设 ,则双曲线 的离心率 的取值范围是(B)
,又 ,
在 中,由余弦定理,得 ,
即 ,∴ ,
∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,故选B
3.设 是等腰三角形, ,则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为( B )
A. B. C. D.
4.设双曲线的一个焦点为 ,虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )
高考离心率知识点总结
高考离心率知识点总结高考是对学生十几年学习成果的一次总结和检验。
其中,数学作为高考的一门重要科目,对于许多学生来说,是十分关键和困惑的。
而在数学中,离心率是一个涉及到椭圆、抛物线和双曲线的重要概念。
本文将对高考中常见的离心率知识点进行总结。
离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数,它是椭圆、抛物线和双曲线的特征之一。
一般来说,离心率越大,圆锥曲线形状越扁平。
离心率的计算公式如下:离心率=√(1-(b²/a²))其中,a是椭圆的长半轴长度,b是椭圆的短半轴长度。
接下来,我们将通过具体的例子来讨论高考中可能遇到的离心率问题。
1. 椭圆的离心率求解假设有一个椭圆的长轴长度为8,短轴长度为6。
我们可以先计算出椭圆的离心率。
离心率=√(1-(6²/8²))=√(1-36/64)=√(1-9/16)=√(7/16)因此,这个椭圆的离心率为√(7/16)。
2. 抛物线的离心率求解抛物线是一种特殊的圆锥曲线,其离心率定义为1。
所以,无论抛物线的形状如何,其离心率始终为1。
3. 双曲线的离心率求解对于双曲线,其离心率的计算稍微复杂一些。
假设有一个双曲线的方程为x²/16 - y²/9 = 1,我们可以通过方程来求解其离心率。
首先,将方程化简为标准形式,即(x²/16) - (y²/9) = 1。
然后,我们将方程与椭圆的标准方程进行比较,可以发现椭圆的长半轴为4,短半轴为3,进而计算出椭圆的离心率。
离心率=√(1-(3²/4²))=√(1-9/16)=√(7/16)因此,这个双曲线的离心率为√(7/16)。
综上所述,离心率是数学中重要的概念之一,对于高考尤为重要。
本文通过椭圆、抛物线和双曲线的例子,展示了离心率的计算方法。
希望通过这篇文章的阅读,学生们能够对离心率有一个更加清晰的理解,从而在高考中能够更好地应用和运用相关知识。
求解双曲线离心率问题的常见策略
此双曲线离心率的取值范围是 ( )
解 :直线与双曲线右支只有一 个交点 知其斜率小于等于渐近线 的斜率 ,即
t 6。 鱼 即 √ 得 a 0≤ 6 , n
,
d
/f
0 。 D~
b ≥3 一口 a2c ≥3 a
等: 。 :
设双 曲线 方程 为 一 脯 心率 e:
D
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由点C, !在双曲线上, 将点 C, 坐 E 标和P =! 代入双曲线方 程得
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1 7 创新教 育 4
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求 解 双 曲 线 离 心 率 问 题 的 常 见 策 略
l J
6
即
河北 省 邯 郸 市第 一 中学 赵 静
双曲线中离心率是 重要的几何性 决定双曲线的形状是较开阔 质, 还是较狭窄, 因而高考中常考查离 心率问 P=三且口 题. +6 =f
d
,
只 要找到口 6c中 ,, 任两个量闻的倍数关系即可求出离心率的值: 心率的范围. 求离 在于建立关于 b c , , 的不等式. 进而转化为P =三的
口
不等式求解
一
、
通过坐标与几何关系确定a, , b C关系求e
例1 双曲 一 :l > , > ) 右 点 . 线 设 ( 06 o 的 焦 为F, 准 与 条 近 交 , 点, A Q 直角 形, 双 日 右 线, 两 渐 线 于尸 Q两  ̄ P F是 三角 求
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c,求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时,可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如,已知双曲线2-x^2/y^2=1(a>c)的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合,则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为:抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3,即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2,a=3,e=c/a=2/3.因此,选D。
变式练1:若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0),则其离心率为√(2/3)。
解法为:由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2,∴c=1,又∵椭圆过原点,∴a-c=1,a+c=2,解得a=3/2,e=c/a=√(2/3)。
因此,选C。
变式练2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为√13/2.解法为:由题设a=2,2c=6,则c=3,e=c/a=√13/2.因此,选C。
变式练3:点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1(a>b)的左准线上,过点P且方向为(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为:由题意知,入射光线为y-1=-x/2,关于y=-2的反射光线(对称关系)为y+5=-2(x+3),解得a=3,c=√5,则e=c/a=√113/5.因此,选A。
二、构造a、c的齐次式,解出e根据题设条件,借助a、b、c之间的关系,构造a、c的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e的一元方程,从而解得离心率e。
1到l1的距离,又AB的长为2a,∴XXX的长为a。
设AB的中点为M,则MF1为椭圆的半长轴,由于F1在x轴右侧,∴F1的横坐标为c,且c>a。
设F1为(c,0),则根据椭圆的统一定义,可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距,由题意可得AD的长为a,即MF1的长为a,又MF1为椭圆的半长轴,∴a=c,代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
求解离心率的四种方法技巧
离心率四种考法及其方法技巧1.方程思想:齐次方程、不等式(1)若给定椭圆(双曲线)的方程,则根据椭圆方程确定2a ,2b ,进而求出a ,c 的值,从而利用公式ce a =直接求解;(2)若椭圆(双曲线)方程未知,则根据条件及几何图形建立关于a ,b ,c 的齐次等式(或不等式),化为关于a ,c 的齐次方程(或不等式),进而化为关于离心率e 的方程(或不等式)进行求解.椭圆经典例题铺垫:(1)设椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)的焦点为1F ,2F ,过右焦点2F 的直线l 与C相交于P 、Q 两点,若1PQF ∆的周长为短轴长的倍.则C 的离心率e =________.(2)椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的焦点为1F ,2F ,直线2a x c =-与直线2a x c =和轴的交点分别为M ,,若122MN F F ≤,则该椭圆离心率的取值范围是__________.例1(1)若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等比数列,则该椭圆的离心率是_________.(2)若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是_________.几何条件 例2(1)设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,过点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若12F PF ∆为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是____________.(2)椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)的右顶点为A ,经过原点的直线交椭圆C 于P 、Q 两点,若PQ a =,AP PQ ⊥,则椭圆C 的离心率为__________.(3)如图,12,F F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点,A 和B 是以O (O 为坐标原点)为圆心,以1OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点,且2F AB △是等边三角形,则椭圆的离心率为_________.双曲线经典例题 例1(1)若一个椭圆的焦距、实轴长和虚轴长成等比数列,则该椭圆的离心率是_________. (2)若一个椭圆的焦距、实轴长和虚轴长成等差数列,则该椭圆的离心率是_________. 例2(1)设12,F F 分别是双曲线:C ()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点,点(),M a b .若1230MF F ∠=︒,则双曲线的离心率为_________.(2)已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使()220OP OF PF +⋅=(O 为坐标原点),且1223PF PF =,则双曲线的离心率为________.(3)(文讲义例8(3))已知点12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点,若2ABF △是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是_________.方法2:焦点三角形中的角知识点1:椭圆()222210x y a b a b+=>>中,设12F F 、是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上任一点.若1221,,PF F PF F αβ∠=∠=则cossin 2;sin sin cos 2e αβθαβαβ+==-+双曲线中的结论为:sinsin 2=.sin sin sin 2e αβθαβαβ+=--经典例题 椭圆例题 例12013-2014学年吉林省吉林市实验中学高二(上)模块检测数学试卷(二)(理科 椭圆()222210x y a b a b +=>>,左右焦点分别是焦距为2c,若直线)y x c +与椭圆交于M 点,满足12212MF F MF F ∠=∠,则离心率是( )A.211275F =︒,2115PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为( )例3(讲义例7(3)) ABC △中,1tan 3A =,π4B =,若椭圆E 以AB 为焦距,且过点C ,则椭圆E 的离心率是________.例4(讲义例9(2))已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 是椭圆上一点,12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形,若12060PF F ︒<∠<︒,则该椭圆的离心率的取值范围是________.练习双曲线例题 例5双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 作倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( )例62016-2017学年湖北省襄阳市枣阳一中高三(上)开学数学试卷(理科) 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点,M 为双曲线上的点,若1221,60,MF MF MF F ⊥∠=︒则双曲线的离心率为( )1 1例7设A 是双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)在第一象限内的点,F 为其右焦点,点A 关于原点O 的对称点为B ,若AF BF ⊥,设ABF α∠=,且ππ,126α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则双曲线离心率的取值范围是________.结论2:椭圆最大顶角与离心率 最大顶角 椭圆:sin2e θ≥,2cos 12e θ≥-例12016-2017学年辽宁省盘锦高中高二(上)期中数学试卷(文科)设椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左、右焦点分别是12,F F ,如果在椭圆上存在一点P ,使12F PF ∠为钝角,则椭圆离心率的取值范围是_________.例2已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>),1F ,2F 为两焦点,若椭圆上存在P ,使得110PF PF ⋅<.则椭圆离心率的取值范围是________.拓展 长轴三角形最大顶角设12A PA θ∠=,12,A A 为左右顶点e ≥设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左、右端点分别是,A B ,如果在椭圆上存在一点P ,使120APB ∠=︒则椭圆离心率的取值范围是_________.方法3:焦半径知识点1.焦半径公式与范围(1)椭圆公式:焦半径10PF a ex =+,20PF a ex =-; 焦半径范围:[],a c a c -+;12PF PF 的范围:222,a c a ⎡⎤-⎣⎦12PF PF ⋅的范围:22222,a c a c ⎡⎤--⎣⎦(2)双曲线:焦半径10PF a ex =+,20PF a ex =-;范围:短焦半径[),a c -+∞,长焦半径[),a c ++∞,其中一个成立,另一个自然成立12PF PF ⋅范围:2,b ⎡⎤+∞⎣⎦ 双曲12PF PF ⋅范围:2,b ⎡⎤-+∞⎣⎦例题:铺垫 已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点为2F ,直线2a x c =与x 轴的交点为A ,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点2F ,则椭圆的离心率的取值范围____________.重点题型1:12PF PF λ=例1 已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ,离心率为e ,若椭圆上存在点P ,使得12PF ePF =,求椭圆离心率e 的范围.例2 已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的两个焦点是()1,0F c -,()2,0F c ,若椭圆上存在一点P ,使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠,则该椭圆的离心率的取值范围是___________.例3 已知点P 在双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的右支上,双曲线的两焦点为1F ,2F ,若212PF PF 的最小值是8a ,则双曲线离心率的取值范围为____________;例4 设点P 在双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的右支上,双曲线的两焦点为1F ,2F ,124PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为____________.例5 已知双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的两个焦点是()1,0F c -,()2,0F c ,若双曲线上存在一点P ,使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠,则该双曲线的离心率的取值范围是___________.经典题型2:已知12PF PF ⋅的范围椭圆12PF PF ⋅范围:22222,a c a c ⎡⎤--⎣⎦ 双曲12PF PF ⋅范围:2,b ⎡⎤-+∞⎣⎦例题例6(讲义例9(3))已知()1,0F c -,()2,0F c 为椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的两个焦点,P 为椭圆上一点,且212PF PF c ⋅=,则此椭圆离心率的取值范围是________.(强化班讲义例9(1))例7 设点()1,0F c -、()2,0F c 是双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左右焦点,P 为双曲线上的一点,且21223c PF PF ⋅=-,则其离心率的取值范围是________.知识点2:设点F 是离心率为e ,焦点x 轴上的圆锥曲线的一个焦点,过F 的线AB 与x 轴的夹角为α,F 分AB 所成的比为λ,则1cos 1e λαλ-=+ 若焦点在y 轴上,1sin 1e λαλ-=+ 重点题型3:()0AF FB λλ=>或1cos 1AF BF e λλαλ-=⇒=+经典例题例1 经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 作倾斜角为60︒的直线和椭圆相交于A ,B两点,若112AF BF =,求椭圆的离心率.例2 已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ,若23ABC BCF S S =△△,则椭圆的离心率为( )A B C D例3 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且2BF FD =,则C 的离心率为多少?例4已知双曲线C :22221x y a b-=(00a b >>,)的右焦点为F ,过F 直线交C 于A ,B 两点,若4AF FB =,则C 的离心率为 ( ) A .65B .75C .85D .95例5 (2008全国卷)过抛物线24y x =的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于,A B 两点,设FA FB >,则FA FB的值为_________.1cos 31FAe FBλαλλ-===++方法4:以b a求离心率e主要包括:(1)椭圆垂径定理(由点差法推导),(2)第三定义(类比圆); (3)渐近线与双曲线关系(1)点差法与中点弦(椭圆中的垂径定理)AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的任意一条弦,O 为椭圆的中心,M 为AB 的中点,则.222 1.AB OMb k k e a⋅=-=-.AB 是双曲线22221x y a b -=的任意一条弦,O 为双曲线的中心,M 为AB 的中点,则222 1.AB OMb k k e a⋅==-(2)第三定义AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上过原点的弦,P 是椭圆上异于A B 、的任意一点,则222 1.PA PBb k k e a⋅=-=-AB 是双曲线22221x y a b -=上过原点的弦,P 是双曲线上异于A B 、的任意一点,则222 1.PA PBb k k e a⋅==-(3)双曲渐进线经典例题椭圆垂径定理 例12016-2017湖北省宜昌市夷陵中学高三期末练习试卷(1)已知椭圆()222210x y a b a b +=>>,直线:240l x y +-=与椭圆相交于,A B 两点,且AB中点M 坐标为()2,1,则椭圆的离心率为___________.(2)过点()1,1作斜率为12-的直线与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>相交于,A B 两点,若M是线段AB 中点,求椭圆离心率.第三定义 例2(1)2016-2017学年河北省唐山市开滦一中高二(上)期中数学试卷(文科)已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一个动点,且点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为14-,则椭圆的离心率为( )C.12(2)已知12,A A 分别椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点,点P 为椭圆C 上一点(点P 与12,A A 不重合),点M 为P 点关于x 轴对称点,若直线1PA 与2MA 的斜率乘积是34,则椭圆的离心率为( )A.14D.12例32016-2017学年江苏省泰州中学高三(上)期中数学试卷已知椭圆的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶点,点P 是椭圆上的一点,直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、满足tan tan 1αβ+=,则直线PA 的斜率为_________.例42015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)已知A B ,为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,ABM 为等腰三角形,顶角为120︒,则E 的离心率为( )B.2离心率与渐近线 铺垫:已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±,则其离心率为( )A .5B C D例5(1)已知双曲线22221x y a b -=(0a >,0b >(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为________. (2)已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >)的右焦点为F ,以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ,且MF 与双曲线的实轴垂直,则双曲线的离心率为____________. 例6(1)已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的右焦点且与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是_________.(2)已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的右焦点且与双曲线的右支交于不同的两点,则双曲线离心率的取值范围是_________.(3)已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线离心率的取值范围是_________. 例7设双曲线C 的中心为点,若有且只有一对相交于点O ,所成的角为60︒的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A ,1B 和2A ,2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )A.⎤⎥⎝⎦B.⎫⎪⎪⎣⎭C.⎫+∞⎪⎪⎝⎭D.⎫+∞⎪⎪⎣⎭。
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出a 、c ,求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时,可利用率心率公式ace =来解决。
例1:已知双曲线1222=-y ax (0>a )的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合,则该双曲线的离心率为( )A.23 B. 23 C. 26 D. 332变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为()0,11F 、()0,32F ,则其离心率为( )A.43 B. 32 C. 21 D. 41 变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( )A.23 B. 26 C. 23 D 2变式练习3:点P (-3,1)在椭圆12222=+by a x (0>>b a )的左准线上,过点P 且方向为()5,2-=a 的光线,经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )A33 B 31 C 22D 21 二、构造a 、c 的齐次式,解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。
例2:已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x (0,0>>b a )的两焦点,以线段21F F 为边作正三角形21F MF ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A. 324+B.13- C.213+ D. 13+变式练习1:设双曲线12222=-by a x (b a <<0)的半焦距为c ,直线L过()0,a ,()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43,则双曲线的离心率为( )A. 2B.3 C. 2 D.332变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为1F 、2F ,021120=∠MF F ,则双曲线的离心率为( )A3 B26 C 36 D 33 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3:设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若21PF F ∆为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。
双曲线离心率的求法
双曲线离心率的求法在化学领域中,离心率(eccentricity)是指椭圆曲线形状(ellipses)长短轴两端之间的中间有多长的距离,双曲线离心率(hyperbolic eccentricity)是一种常见的曲线,它位于传统的椭圆曲线(ellipses)之后。
双曲线的离心率可以通过一系列的特定算法或公式来求解。
双曲线离心率的求解公式是根据双曲线的对称性来确定的。
双曲线的对称性可以通过它的弧长参数(arc length parameter)来定义。
大多数情况下,双曲线的弧长参数r/r0是用于求解它的离心率的。
下面是一个双曲线离心率的求解公式:双曲线离心率(e)=√(1-(r/r0)^2)这个公式定义了双曲线的离心率,其中r/r0表示双曲线的弧长参数,e表示双曲线的离心率。
这个公式可以用来计算任何双曲线的离心率,但是在使用这个公式之前,必须确定双曲线的弧长参数。
另一种求解双曲线离心率的方法是使用现有的椭圆离心率公式,这个公式可以用来求解任何椭圆的离心率:椭圆离心率(e)=√(a^2-b^2/a^2)其中a,b分别为椭圆的长半轴(major axis)和短半轴(minor axis)。
可以使用这个公式来求解任何双曲线的离心率,使用这种方法可以准确求解双曲线的离心率,而且这个公式不需要计算双曲线的弧长参数,只要确定椭圆的长半轴(major axis)和短半轴(minor axis),就可以求解出双曲线的离心率。
虽然这两种方法都可以求解出双曲线的离心率,但从精准性以及计算简单性上考虑,相比较而言椭圆公式求解双曲线离心率更为可行。
尤其是在双曲线的弧长参数很难确定的情况下,使用椭圆公式求解双曲线离心率更加简易,并且结果更为准确。
因此,椭圆公式求解双曲线离心率是比较理想的一种方法。
离心率问题的7种题型15种方法
离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一 椭圆离心率的求值方法一 定义法求离心率1. 已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( ) A .31 B .21 C .22 D .322 【解析】 14222=+y a x ,∵ a 2−4=4⇒a =2√2 ,则 e =c a =2√2=√22 ,选C2. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )A .13 B .12 C .23 D .34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==,选B3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25D . 15【解析】设长轴为2a ,短轴为2b ,焦距为2c ,则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得:2225230,5230c ac a e e +-=+-=,选B4. 椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x (a >b >0)左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a﹣c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以e=55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C2222x ya b+=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a=1,则F1(﹣c,0),F2(c,0),当x=c时,由2222x ya b+=1得y=ab2=b2,即A(c,b2),B(c,﹣b2),设D(0,m),∵F1,D,B三点共线,∴,得m=﹣2b2,即D(0,﹣2b2),∴若AD⊥F1B,在,即=﹣1,即3b4=4c2,则3b2=2c=3(1﹣c2)=2c,即3c2+2c﹣3=0,解得c==,则c=,∵a=1,∴离心率e=ac=336.从椭圆22221x ya b+=(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥O P(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A(a,0),B(0,b),P2,bca⎛⎫-⎪⎝⎭∵AB∥O P,∴2b bac a-=-.∴b=c;又∵a2=b2+c2,∴22212cea==.∴2e=7.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c-,2(,0)F c,由题意易知,21212,PF F F c PF===,1212212F Fcea PF PF∴====+【解法二】由题意易知,2122,PF FF c ==由通径得22=a b PF ,故22c=ab ,解得e 1方法三 运用e =e = 8. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为【解】 如图,,作DD 1⊥y 轴于点D 1,则由,得,所以,,即,由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |,得,a 2=3c 2,解得e ==33,9. 经过椭圆2222=1x y a b+(a >b >0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ,B两点,若||||AF BF 112=,求椭圆的离心率。
双曲线离心率常见求法整理归纳
1双曲线离心率求法 在双曲线中,1c e a =>,c e a ===== 方法一、直接求出a c ,或求出a 与b 的比值,以求解e1.已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =,则双曲线的离心率为 . 2.已知双曲线22212x y a -=(a >)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为 .3.已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点,以线段12F F 为边作正三角形12MF F ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 .4.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点,如果PQF ∆是直角三角形,则双曲线的离心率=e .5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 .6.设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60,则双曲线C 的离心率为 .8.已知双曲线的渐近线方程为125y x =±,则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线12222=-by a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ,若这样的直线有且仅有两条,则离心率为 .10.双曲线两条渐近线的夹角等于90,则它的离心率为 .方法二、构造,a c 的齐次式,解出e1.过双曲线22221x y a b-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点,以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于________.2.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ,(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________.3.设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为________.方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形1.已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________.2.双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点,且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________.3.设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使1290F AF ∠=,且12||3||AF AF =,则双曲线离心率为________.4.双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为________.5.如图,1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且2F AB ∆是等边三角形,则双曲线的离心率为________.6.设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点,12,F F 分别是其左右焦点,离心率为e ,若12||||PF e PF =,此离心率的取值范围为________.方法四、双曲线离心率取值范围问题例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c∠=∠,则该双曲线的离心率的取值范围是 .例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是 .例 4.已知点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上,双曲线两焦点为12,F F ,2221||||PF PF 最小值是8a ,则此双曲线的离心率的取值范围是 . 例 5.双曲线2222222211x y y x a b b a-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 .与准线有关的题目1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为 .2.已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ,则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上,双曲线两焦点为12,F F ,已知1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项,则此双曲线的离心率的取值范围是 .4.已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 是准线上一点,且12PF PF ⊥,124PF PF ab =,则双曲线的离心率是_______.。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出,a c ,求解e 已知标准方程或,a c 易求时,可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C :)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是( )A. 10B. 5C.310 D. 25分析:这里的1,a c ==2b ,即可利用定义求解。
解:易知A (-1,0),则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B)1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--,又|AB|=|BC|,可解得9b 2=,则10c =故有10ace ==,从而选A 。
二、变用公式)c e a==双曲线,)c e a==椭圆,整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =,则双曲线的离心率为( )A. 35B. 34C. 45D. 23分析:本题已知b a =34,不能直接求出a 、c ,可用整体代入套用公式。
解:因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =,所以 43b a =,则53c e a ===,从而选A 。
1.设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线21y x =+相切,则该双曲线的离心率等于( C )解:由题双曲线()222200x y a b a b-=1>,>的一条渐近线方程为a bx y =,代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ,因渐近线与抛物线相切,所以0422=-a b ,即224b a =e ∴===2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC =uur uu u r,则双曲线的离心率是 ( )A D 答案:C【解析】对于(),0A a ,则直线方程为0x y a +-=,直线与两渐近线的交点为B ,C ,22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭,22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭,222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ,即224b a =,e ∴===3.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=,则椭圆的离心率为( )A .2 B .3 C .12 D .13【解析】因为2(,)b P c a -±,再由1260F PF ∠=有232,b a a =即2223b a =从而可得3e ∴===,故选B三、构造a 、c 的齐次式,解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出,a c ,求解e 已知标准方程或,a c 易求时,可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C :)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是( ) A. 10B. 5C.310 D. 25分析:这里的1,a c ==2b ,即可利用定义求解。
解:易知A (-1,0),则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--,又|AB|=|BC|,可解得9b 2=,则10c =故有10ace ==,从而选A 。
二、变用公式)c e a==双曲线,)c e a==椭圆,整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =,则双曲线的离心率为( )A. 35B. 34 C. 45D. 23分析:本题已知b a =34,不能直接求出a 、c ,可用整体代入套用公式。
解:因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =,所以 43b a =,则2451()33c e a ==+=,从而选A 。
1.设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线21y x =+相切,则该双曲线的离心率等于( C )A.3B.2C.5D.6解:由题双曲线()222200x y a b a b-=1>,>的一条渐近线方程为a bx y =,代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ,因渐近线与抛物线相切,所以0422=-a b ,即224b a=221145b e a∴=+=+=.2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC =,则双曲线的离心率是 ( )A .2B .3C .5D .10 答案:C【解析】对于(),0A a ,则直线方程为0x y a +-=,直线与两渐近线的交点为B ,C ,22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭,22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭, 222,4AB BC a b =∴=因此 ,即224b a =,221145b e a∴=+=+=3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=,则椭圆的离心率为( ) A .22 B .33 C .12 D .13【解析】因为2(,)b P c a -±,再由1260F PF ∠=有232,b a a =即2223b a =从而可得22231133b e a ∴=-=-=,故选B三、构造a 、c 的齐次式,解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。
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双曲线离心率求法 在双曲线中,1c e a =>
,c e a ===== 方法一、直接求出a c ,或求出a 与b 的比值,以求解e
1.已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43
y x =,则双曲线的离心率为 . 2.已知双曲线22212x y a -=
(a >)的两条渐近线的夹角为3
π,则双曲线的离心率为 .
3.已知1F 、2F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两焦点,以线段12F F 为边作正三角形12MF F ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 .
4.设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点,如果PQF ∆是直角三角形,则双曲线的离心率=e .
5.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 .
6.设1a >,则双曲线22
221(1)
x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60,则双曲线C 的离心率为 .
8.已知双曲线的渐近线方程为125y x =±,则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线122
22=-b
y a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ,若这样的直线有且仅有两条,则离心率为 .
10.双曲线两条渐近线的夹角等于90,则它的离心率为 .
方法二、构造,a c 的齐次式,解出e
1.过双曲线22
221x y a b
-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点,以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于________.
2.设1F 和2F 为双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ,(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________.
3.设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为________.
方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形
1.已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________.
2.双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点,且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________.
3.设12,F F 分别是双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使1290F AF ∠=,且12||3||AF AF =,则双曲线离心率为________.
4.双曲线22
221x y a b
-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为________.
5.如图,1F 和2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且2F AB ∆是等边三角形,则双曲线的离心率为________.
6.设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点,12,F F 分别是其左右焦点,离心率为e ,若12||||PF e PF =,此离
心率的取值范围为________.
方法四、双曲线离心率取值范围问题
例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若双曲线上存在一点P 使
1221sin sin PF F a PF F c
∠=∠,则该双曲线的离心率的取值范围是 .
例2.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是 .
例 4.已知点P 在双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右支上,双曲线两焦点为12,F F ,2
22
1||||PF PF 最小值是8a ,则此双曲线的离心率的取值范围是 . 例 5.双曲线2222
222211x y y x a b b a
-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 .
与准线有关的题目
1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为 .
2.已知双曲线)0( 1222>=-a y a
x 的一条准线为23=x ,则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左支上,双曲线两焦点为12,F F ,已知
1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项,则此双曲线的离心率的取值范围是 .
4.已知双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 是准线上一点,且12PF PF ⊥,124PF PF ab =,则双曲线的离心率是_______.。