立方根2
2 立方根
∴53=125，93=729
∴体积为0.125米3的正方体鸟笼边长为5分米.0.729立方米正方体鸟笼的边长为9分米.
2. 15分钟课堂过关训练A级：1.(1)√(2)×(3)×(4)√
2.(1)0与±1 (2)－ 8 (3)±4 (4)2
14.已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm3,求第二个纸盒的棱长.
15.判断下列各式是否正确成立.
(1) =2
(2) =3·
(3) =4
(4) =5
判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论.
答案
1 5分钟课堂过关训练参考答案
.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=± ，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=± ，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.
若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x= ，读作x等于三次根号a.
（2） 与 有何关系？
意图：明晰 =a， =a。
(1) ；(2) ；(3)－ ；(4)( )3
例1求下列各数的立方根：
（1） ；（2） ； （3） ； （4） ；（5） .
解：（1）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（2）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（3）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（4）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
立方根及乘方开方表
?cm1-3 立方根及乘方開方表一、重點整理你知道2的三次方等於8，但你知道什麼數的三次方等於2嗎？有沒有這樣的數？這個數怎 麼表示？它到底是多少？用心學過這個單元之後，這些疑惑就可以迎刃而解了。
(1) 正數的立方根體積是125立方公分的正方體，它的邊長是多少公分？ 這個問題就是找一個正數，使這個正數的立方（三次方） 等於125。
12555553=⨯⨯=，即12553=5的立方是125，我們就稱5是125的立方根。
例題：(1)1的立方是1，即113=，1是1的立方根。
(2)2的立方是8，即823=，2是8的立方根。
(3)3的立方是27，即2733=，3是27的立方根。
(2) 負數的立方根 125)5()5()5()5(3-=-⨯-⨯-=-，即125)5(3-=-5-的立方是125-，我們就稱5-是125-的立方根。
例題：1. (1)1)1()1()1()1(3-=-⨯-⨯-=-，所以1-是1-的立方根。
(2)8)2()2()2()2(3-=-⨯-⨯-=-，所以2-是8-的立方根。
(3)27)3()3()3()3(3-=-⨯-⨯-=-，所以3-是27-的立方根。
(4)64)4()4()4()4(3-=-⨯-⨯-=-，所以4-是64-的立方根。
例題：2. (1)問3是不是27的立方根？(2)問3-是不是27的立方根？解：(1)因為2733333=⨯⨯=，所以3是27的立方根。
(2)因為2727)3()3()3()3(3≠-=-⨯-⨯-=-，所以3-不是27的立方根。
答：(1)是；(2)不是(3) 立方根的表示法 1. 正數的立方根是正的，零的立方根是零，負數的立方根是負的。
2. 表示法： 以3a (讀作三次跟號a )表示a 的立方根說明：平方跟號就是2讀作“二次根號”。
例1： (1) 823=∴2是8的立方根，記作283=(2) 8)2(3-=-∴2-是8-的立方根，記作283-=-例2： (1)3273= (2) 3273-=-(3) 0=(4) 乘方開方表我們也可以用乘方開方表來查平方根與立方根。
八年级数学上册平方根与立方根(2)达标检测(AB卷,)华东师大
第11章数的开方第一节平方根与立方根A卷基础达标课堂达标·练基础题组一求立方根1。
-64的立方根是（）A。
4 B.-4 C。
±4 D.【解析】选B。
因为(—4)3=—64，所以—64的立方根是-4。
2。
若—=，则a的值是( )A.B。
-C。
± D.-【解析】选B。
因为—=—，所以a=-.3。
的立方根是。
【解析】因为=8，23=8，所以的立方根是2。
答案：24。
求下列各数的立方根。
(1）(-2）9。
（2）—26. (3)—343。
（4)0.064。
【解题指南】求一个数的立方根，可以将这个数化简，先判断出被开方数的符号，从而确定其立方根的符号。
最后求出立方根.【解析】(1）(—2）9=-512,因为（-8）3=-512，所以（-2)9的立方根是—8.即=—8。
（2)-26=-64，因为(—4)3=—64,所以(—2）6的立方根是—4。
即=-4.（3）因为—73=—343，所以—343的立方根是-7。
即=-7.(4)因为0.43=0.064，所以0。
064的立方根是0。
4。
即=0。
4。
5.求下列各式中的x:（1）(2x-1）3=-1331。
（2）（2x+10）3=-27。
【解析】(1)2x—1==—11,所以x=—5。
（2）2x+10=，所以2x+10=-3,所以x=-.题组二立方根的应用1.已知甲、乙两个立方体,甲的体积是乙体积的8倍，则甲的棱长是乙的棱长的( ）A.8倍B。
2倍 C.512倍D 。
倍【解析】选B。
设乙的体积为x,则甲的体积为8x,甲的棱长为=2，乙的棱长为，所以甲的棱长是乙的棱长的2倍.2。
一个正方体的体积为64，则这个正方体的棱长的平方根为( )A。
±4 B.4 C.±2 D.2【解析】选C.棱长==4，4的平方根为±2。
【知识归纳】平方根与立方根的区别与联系平方根立方根区别被开方数非负数任何数结果正数有两个互为相反数的平方根,负数没有平方根正数的立方根为正数，负数的立方根为负数根指数根指数是2,可以省略不写根指数是3,不能省略联系都与相应的乘方运算互为逆运算0的平方根与立方根都等于03.李老师外出旅行时买回了一颗珍珠球，经测量,该珍珠球的体积为7。
第2讲 立方根
第2讲 立方根一、【基础知识精讲】1. 立方根的概念：若a x =3，则x 叫做a 的立方根（也叫做三次方根）；记作3a 。
如8。
2．立方根的性质： (1) 正数有一个立方根，仍为正数.如：8的立方根是2，记作283=； (2) 零的立方根是零，记作003=； (3) 负数有一个立方根，仍为负数， 如：－8的立方根为－2，记作283-=-。
3．开立方：① 求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫被开方数。
② 正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算.4．(1)0)a =>, (2) a a =33)( (3) a a =)(33二、【例题精讲】例1：求下列各数的立方根：（1）512； （2）－0.729； （3）27102-； (4) 6【变式练习】1．下列说法中正确的是（ ）A. －4没有立方根B. 1的立方根是±1C.361的立方根是61D. －5的立方根是35-2．在下列各式中：327102=343001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.43．若m<0，则m 的立方根是（ ） A.3mB.－3mC.±3mD.3m -4．下列说法中，正确的是（ ）A. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数C. 负数没有立方根D. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1例2： 求下列各式的值：（1）3216--； （2）36427-；(3）3973.01-； （4）81643-。
【变式练习】 求下列各式的值：（1）327-- （2）33)8(- （3）（33)8-（4）33001.0833+ （5）-3216 （6）3327102112561---例3：求下列各式中的x ．（1）125x 3=8 （2）(－2+x)3=－216（3）27(x+1)3+64=0(4)32-x =－2三、【同步练习】A 组一、选择题1. （2014山东潍坊）32)1(-的立方根是( )A ．－1B ．0C ．1D ． ±12．下列说法中正确的是（ ）A ．－5没有立方根B ．8的立方根是±2C ．125的立方根是15 D ．－23．x 是2(的平方根，y 是125的立方根，则x y -的值是（ ） A ．7 B ．3 C ．-3或-7 D ．1或94．（2013年河北）下列各式中，正确的是（ ）A ．3=B ．749±=C ．21813±= D ．3-27-3= 二、填空题1.364的平方根是______。
立方根符号
立方根符号立方根符号是数学中的一种运算符号，表示一个数的三次方根。
该符号通常写作∛。
下面我们来详细地介绍一下立方根符号。
立方根的定义一个数的立方根是指这个数的三次方，即 a³的逆元素，也就是说，如果 b ³ = a，则 b 即为 a 的立方根。
立方根符号的使用方法立方根符号用来表示一个数的三次方根，通常写作∛a。
其中 a 表示一个实数，它可以是正数、负数或零。
在使用立方根符号时，需要注意以下几点：1. 如果 a 是正数，那么它的立方根也是正数。
2. 如果 a 是负数，那么它的立方根是一个复数，可以表示为 -∛(-a)。
3. 如果 a 是零，那么它的立方根也是零。
例如，∛8 表示 8 的立方根，即 2，因为 2³ = 8。
立方根的计算方法计算一个数的立方根可以使用牛顿迭代法或二分法等数值方法。
下面我们介绍一下牛顿迭代法的具体计算方法。
设待求的数的立方根为 x，那么根据立方根的定义，有 x³ = a。
我们可以将其转化为一个方程 f(x) = x³ - a = 0。
根据牛顿迭代法的思想，我们可以从一个初值 x0 开始不断进行迭代，每一次迭代计算如下式子：xi+1 = xi - f(xi) / f'(xi)其中 f'(x) 表示 f(x) 的导数。
对于 f(x) = x³ - a，它的导数为 3x²，所以上式可以改写为：xi+1 = (2xi + a/xi²) / 3我们可以在计算机中编写一个循环来实现这个迭代过程，直到 xi 的值足够接近真实的立方根为止。
例如，计算 8 的立方根可以按照如下步骤进行：1. 选择一个初始值，假设为 x0 = 2。
2. 根据牛顿迭代公式计算 x1：x1 = (2x0 + 8/x0²) / 3 = 7/3 ≈ 2.33 3. 再次使用牛顿迭代公式计算 x2：x2 = (2x1 + 8/x1²) / 3 ≈ 2.084. 继续迭代，直到足够接近 2：x3 ≈ 2.00x4 ≈ 2.00因此，8 的立方根约为 2。
立方根2
探究二
( 3 27)3 27 , ( 3 64)3 64
( 3 0.001)3 0.001, ( 3 125000)3 125000
立方根的性质： (3 a )3 a
题型1：求下列各式的值
(1)
3 3 1 2
8
(2) 3 (8)2
(3)(－2)3× (4)2 3 (4)3 (1 )2 81
(6)3 (8)2 的平方根为 ±2 .
(7) 3 512的立方根为 -2 .
（8） 3 64 的算术平方根是
。
（9）—8的立方根与 16
的平方根的和是
。
（10）3 3 3
。
（11）3 x 4 ，则x=
。
（12）一个数立方根与它的算术平方
根相同，则这个数是
。
（13） a 3 a3
0。
． ；
2
(4)
﹣
64 -(-
1 2
)2+23-
3
27
题型2：求下列各式中x的值：
(1) 27x3 8 0
(2) (x 3)3 1 0
；
(3) 3 x 2
(4) 3 x 2 4
题型3：大小比较 你能比较以下两个数的大小吗？
24 与 5
3 28 与 3
( 24)2 24 52 25
（14）计算： 61 3
1
=
.
125
3 2 10 = 27
， 3 106
，
题型7：利用性质求字母取值范围
(1)若 3 1 2m ，则m的取值范围是
。
2
（2）若 3 3 k 3 k 3
则K的值是 。
(3)若式子 x 2 1 1 x
2立方根 教案1(新人教版七年级下) (3)
立方根（1）一、教学目的1、使学生了解数的立方根的概念。
2、使学生能用根号表示一个数的立方根。
3、使学生能用立方运算求某数的立方根。
4、使学生能了解开立方的概念。
5、使学生理解开立方与立方互为逆运算。
6、通过性质推导过程培养学生的类比思想和推理能力。
二、教学分析重点：立方根的概念与性质及求法。
难点：求一个数的立方根的方法。
三、教学方法启发式，讲练结合四、教学手段多媒休课件五、教学过程7C 学科网，最大最全的中小学教育资源网站，教学资料详细分类下载！实数教学设计教学目标：（1）了解无理数和实数的概念和实数的分类，知道实数和数轴上的点一一对应关系 .（2）让学生感知无理数的存在，经历数系从有理数扩展到实数的过程 .通过无理数的引入，培养从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力 .（3）渗透数形结合及分类的思想，体验数系的扩展源于实际，又服务于实际的辩证关系 .教学重点：理解无理数、实数的意义和实数的分类 . 教学难点：正确理解无理数的意义 . （一）导入新课在小学时候，我们认识了一个非常特殊的数：圆周率π，它约等于 3.14，你还能说出它后面的数字吗？比一比，看谁记住最多 .目前π值已准确到上千亿位，π是一个怎样的数呢？是有理数吗？ 整数 如：-3，0 ，5… 有理数分数 如：41，32-…π肯定不是整数，那么它一个分数吗？请同学们将下列的小数形式：5= ，41= ，32-= ，71= .引导发现：任何有理数写成小数的形式，一定是有限小数或者无限小数，因此可以说π不是有理数，它是一个无限不循环小数，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，如2，我们把无限不循环小数又叫无理数 .我们把有理数和无理数统称为实数，这就是今天我们将要学习的内容——实数 . （二）新知探究探究1：数的扩张与分类⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数像有理数一样，无理数也有正负之分 .π是正无理数，，π-是负无理数 .由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数探究2 实数与数轴的对应关系(1)我们在学习有理数时，认识了数轴，什么叫数轴？(2)我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的有的点都表示有理数吗？无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？(3)如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？（4）在前面的学习中，我们还知道边长为1的正方形的对角线长为2，在数轴上表示2的点（画图） .事实上，数轴上数，不仅表示有理数的点，还有表示无理数的点，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数 . （三）范例讲解例1 下列说法正确吗？请说明理由 .（1）3．14是无理数； （2）无限小数都是无理数； （3）无理数都是无限小数； （4）带根号的数都是无理数；例2把下列各数分别填入相应的集合里：π31-，1322-，7，327，0.1010010001…，0.5，36.0-，39，924，16实数集{ …}， 无理数集{ …}， 有理数集{ …}， 分数集{ …}， 负无理数集{ …} . （四）知能训练1、请将数轴上的各点与下列实数对应起来：2，-1.5，5，π ，32、如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点有 个，分别是 .（五）总结反思1、无理数、实数的意义及实数的分类.2、实数与数轴的对应关系 .7C 学科网，最大最全的中小学教育资源网站，教学资料详细分类下载！。
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
1212立方根2
12．1．2 立 方 根教材新知识点详解 知识点1立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．例1 求下列各数的立方根：(1)64； (2)0．343； (3)－0．729； （4）－21027解析求一个数a 的立方根，就是要找到一个数x ，使x 3等于这个数a ． 答案(1)因为43=64，所以;4643= (2)因为0．73=0．343，所以;7.0343.03=(3)因为(－0．9)3 = －0．729，所以;9.0729.03-=-(4)因为,27102)34(3-=-31042273-=-⋅ 方法技巧：借助立方运算，结合立方根的定义求立方根．例2 下列命题正确的是 ( )A ．负数没有立方根B ．－7的立方根是37-26.3=C D ．任何正数都有两个立方根，它们互为相反数答案 B 警示误区：明确一个数的立方根有且只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．知识点2 开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方．注意：(1)开立方是一种运算，即开方运算，它和立方互为逆运算． (2)开立方所得的结果就是立方根．例3 计算：;162511112564)1(3-+-;900512781)2(3+-+ ;33)2()3(32+- .3)5)(4(3-解析此类计算应先求出各式的值(即平方根或立方根)再进行运算．题(4)可利用结论a a =33)(来计算．答案162511112564)1(3-+-;533456544)56()54(2233-=-+-=-+-= 31(2)81279005+-+=3232119(3)309355+-+=-+⨯30=1232333(3)(2)38911;-+=-+==3333(4)(5)(5) 5.-=-=-点评 弄清求值题的实质，运用平方根或立方根的定义求解，同时要特别注意符号问题．知识点3 用计算器求立方根用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可．若被开方数为负数，“一”号的输入可按，也可以按例4 用计算器计算(精确到0．01)：3(1)26.42; ;4.68)2(3- .125.0)3(3解析 直接输入数据即可，注意符号． 答案(1)在计算器上依次键入显示结果为2．978…，所以;98.242.263≈ (2)在计算器上依次键入显示结果为－4．089…，所以;09.44.683-≈- (3)在计算器上依次键入显示结果为0．5，所以.5.0125.03=综合例题讲解 题型l 学科综合例5 求下列各式中x 的值：3(1)(0.2)8000;x +=- ;54)32(41)2(3=+x;64125)1(8)3(3-=+x .54)5(2)4(3-=-x 答案;2.20,2080002.0)1(3-=-=-=+x x;23,32,621632,216)32)(2(33====+=+x x x x;851,855121251,5121253)1)(3(3-=-=-=+-=+x x x .2,3275,273)5)(4(3=-=-=--=-x x x例6 已知31-y 和321x -互为相反数，求xy的值． 解析 因为互为相反数的两数相加，和为零，故可得,021133=-+-x y 又由立方根的性质可得(y －1)+(1－2x)=0，从而可求y 与x 的比值．答案31-y 与321x -互为相反数，,021133=-+-∴x y ,0211=-+-∴x y .2,2=∴=∴xyx y 题型2拓展创新例7 已知,0,200420032002333>==xyz z y x 且=++3222200420032002z y x求zy x 111++的值． 解析 因为已知条件中x ，y ，z 之间的关系并不明显，所以必须把复杂的问题简单化，可设一个铺助未知数，把x ，y ，z 有机地结合在一起，同时利用性质=3ab .33b a ⋅答案设,200420032002333k z y x ===显然k≠0，则⋅===3332004,2003,2002zky k x k=111()x y z=++⋅因为k ≠0，所以,1111113zy x z y x ++=++由已知得,0,0,0>>>z y x所以.1111=++zy x例8 已知,1111,333=++==zy x cz by ax 试证明222ax by cz ++=.333c b a ++解析 方法同上例，设,333k cz by ax ===左、右两边变形得到的结果均为.3k答案 设,333k cz by ax ===则⋅===zk cz yk by xk ax 222,,33222z k y k x k cz by ax ++=++3)111(z y x k ++=,111333k zy x k =++⋅= 333333333k k k a b c x y z,)111(3k k z y x =⋅++= 所以.3333222c b a cz by ax ++=++方法技巧：在代数变形中要学会运用整体思想来解题． 题型3实践应用我们知道正方体的体积等于棱长的立方，在现实生活中如果需要根据正方体的体积制作正方体，那么就要确定正方体的棱长，这只有通过开立方运算才能求得．例9 王老师有两个棱长为40 cm 的正方体纸箱，都装满了书，他现在把这些书都放入一个新制的正方体木箱中，正好装满，那么这个木箱的棱长大约是多少?(结果精确到0．0l cm) 解析 在这个问题中，原两个正方体纸箱的体积之和等于新木箱的体积，于是可设木箱的棱长，列出方程求解．答案 设这个木箱的棱长为x cm ．依题意得.40233⨯=x .40.50cm x ≈答：这个木箱的棱长大约是50．40 cm ． 点评 由本例可以看出，将一个正方体的体积扩大一倍得到一个新的正方体时，其棱长并未扩大两倍，故应防止出现思维定式上的错误．例10 球的半径是r ，球的体积是500 cm 3(球的体积公式是),343r v π=求r 的值．(π取3．14，精确到0．01 cm)解析 我们知道球的体积和球的体积公式，于是可以通过公式变形求出r ．因为,343r v π=所以⋅=343πV r 题中的数值复杂，计算量大，提倡用计算器计算． 答案 已知π,5003cm V =为3．14．).(92.414.34500343,34333cm V r r v ≈⨯⨯==∴=ππ 释疑解难为什么一个正数的平方根有两个，而一个正数的立方根只有一个呢? 小玲在学习了平方根、立方根后，发现64的平方根是±8，而64的立方根只有一个，是4．她想，同样是一个正数，开方的结果却大不相同，这是为什么呢?小玲百思不得其解，于是求教于老师．老师告诉她，这是因为平方根的定义是“如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根”,因为82=64（－8）2=64，所以平方的结果等于64的数有两个−8或－8，故64的平方根有两个；而立方根的定义与平方根的定义相似，因为43=64，而（－4）3=－64，故64的立方根是4，－4是－64的立方根。
2、3立方根
《立方根》是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第二章《实数》第三 节．本节内容安排了 1 个学时完成．主要是通过对立方根与平方根的比较与归类，探索立方根
教材 分析
的概念、计算和简单性质．因此，除了具体的知识技能（如知道一个数的立方根的意义，会用 根号表示一个数的立方根，掌握立方根运算，掌握求一个数的立方根的方法和技巧）外，还需 要让学生感受类比的思想方法，为今后的学习打下基础．
3
发现规律， 教师可以
3 2
再给出几个例子， 述和符号表示互 27 3 3 ＝3 ，所以 3 的 8 8 8 如 ： 相补充的做法，
3
立方根是
3 3 3 ，即 3 3 ＝ ； 2 8 2
3
3 3 8＝3 －23＝－2；学生在熟练以后 3 8 ＝（）＝ 3 ＝3 27＝3； 23 3
合 作 探 究
课本
数学助学
练习本．
教学 准备
北师大版数学八年级上教案
枣庄十三中—张雷
教
程序 导入示标
学
过
程
设 计
学生行为 设计意图
教师行为
1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立 方根． 2．会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方 与立方互为逆运算． 3．区分立方根与平方根的不同．
掌握学习目标
阅读自学
提问： （1）什么叫一个数 a 的平方根？如何用符 号表示数 a（a≥0）的平方根? （2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什 么？负数有没有平方根？0 的平方 根是什么？ （3）平方和开平方运算有何关系？ （4）算术平方根和平方根有何区别和联系？ 强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数； 一个负数没有平方根；0 的平方根是 0. （5）为了前面场景的问题中，需要引出一个新的 运算，你将如何定义这个新运算？ 3 1．一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x =a, 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（cube root, 也 叫做三次方根） ．如：2 是 8 的立方根， 复习引入既复习了 平方根的知识， 又利 于学生类比学习法 学习立方根知识. 自主学习 小组合作 掌握基本知识和基 本技能 学生通过回顾上 节课的学习内 容，为进一步研 究立方根的概念 及性质做好铺 垫 ， 同 时 突出平方根与立 方根的对比，以 利于弄清两者的 区别和联系．
平方根和立方根的概念
平方根和立方根的概念
平方根和立方根是数学中常用的两个概念，用来表示一个数的平方和立方的根。
平方根: 给定一个非负实数x，它的平方根是一个实数y，满足y的平方等于x。
平方根通常表示为√x，其中√符号称为根号。
例如，√4 = 2，因为2的平方是4。
同样地，√9 = 3，√16 = 4，以此类推。
立方根: 给定一个实数x，它的立方根是一个实数y，满足y的立方等于x。
立方根通常表示为³√x，其中³√符号表示立方根。
例如，³√8 = 2，因为2的立方是8。
同样地，³√27 = 3，³√64 = 4，以此类推。
需要注意的是，平方根和立方根可能为正数、负数或零，具体取决于被开方数的正负。
在一些情况下，我们可能会使用正数平方根（称为主方根）来代表平方根的解。
平方根和立方根在数学和实际应用中有广泛的应用，例如在几何学、物理学、工程学和计算机科学中。
它们帮助我们计算面积、体积、方程的解等。
人教版七年级下数学6.2立方根(2用计算器求立方根、用有理数估计一个数立方根的大小)教案
《§6.2立方根（2）》一、教材分析：1、说教材的地位和作用这一节课是人教版（2012年版）义务教育教科书数学七年级下册第六章《实数》§6.2立方根，本节共两课时，这节课的内容为第二课时。
本章内容是在前面学习有理数的基础上，把有理数的范围进行扩大，也可以看成是其后的代数内容的起始章，是学习二次根式、一元二次方程以及解三角形的基础，因此本章内容起着承上启下的作用，在中学数学中占有重要的地位。
通过本章的学习，学生对数的范围的认识就由有理数扩大到实数，而无理数的概念正是由数的平方根和立方根引入的。
在此之前，学生已学习了数的平方根内容和研究方法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
通过本节课的学习，学生可以更深入的了解无理数，为后面学习实数奠定基础。
2、说教学目标知识与技能：（1）会正确使用计算器求一个数的立方根。
（2）能用有理数估计一个立方根的大致范围，使学生形成估算的意识，培养估算能力。
过程与方法：经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力。
情感态度与价值观：培养学生严谨的数学学习态度，科学的探索精神。
4、说教学重点和难点（1）重点：计算器的使用方法和用有理数估计一个立方根的大致范围。
（2）难点：探索立方根的变化规律及应用。
二、学情分析七年级具有学生年龄低、好奇心强、发言积极、爱好表现，有话就说，小组合作初步形成，兼有一定的形象思维和初步的逻辑思维能力，知识经验不够丰富的特点，因此探索的结论还需要同学公认和老师把关。
三、教法分析针对以上学生基础知识薄弱，主动参与学习的积极性高，学习探究能力较差的这种情况及本节课的特点，我采用“类比探究----验证结论-----归纳概括----巩固应用”为主线的教学程序。
通过创设生动有趣的情境，本着结论让学生得，疑难让学生议，思路让学生想，错误让学生析，规律让学生找，小结让学生讲的原则，在方法的设计上，把重点放在了逐步展示知识的形成过程上，激发学生对数学学习的兴趣。
[配套K12]八年级数学上册 第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根 2 立方根教案1 (新版)华东师大版
![[配套K12]八年级数学上册 第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根 2 立方根教案1 (新版)华东师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/3a555b2ab84ae45c3b358c8d.png)
(4)算术平方根和平方根有何区别和联系？
强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0.
羊村慢羊羊村长中秋节想送一些月饼给包包大人和附近的邻居，让小羊们制作一种体积为27cm3的正方体包装礼盒，它的棱长要取多少？你能帮助小羊们吗？你是怎么知道的？
0的立方根是0.
探究4：立方根的表示
若一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根(cuberoot；也叫三次方根)记为x＝ ，读作x等于三次根号a.
探究5：平方根与立方根的区别与联系．
问题：学习了平方根与立方根的定义，请大家说说它们的联系与区别(填写表格)．
学生独立思考后小组内进行讨论，对比归纳得出立方根的性质表格由学生填写完整，这样可以清晰地看出平方根和立方根的区别.
探究3：立方根的性质
问题1：2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8?
问题2：－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27?
问题3：0的立方等于多少？0有几个立方根？
问题4：归纳：正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？
归纳：正数有一个正的立方根，
负数有一个负的立方根，
问题解决
1.用过对立方根的探究过程，学会解决立方根的问题一些基本方法和策略．
2．通过对立方根及其性质的探究，培养学生分类讨论的意识和逆向思维能力．
情感态度
1.在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．
2．学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．
例2[教材P6例5]用计算器求下列各数的立方根．
(1)1.331；(2)9.263(精确到0.01)．
平方根、立方根2
• 一个正数
的正的平方根，记作
的负的平方根记 ”。这两个平方根合起
“ a ”，正数
作“ a
来记作“ a
”。
（3）性质
①一个正数的平方根有2个，它们互
为相反数；0只有1个平方根，它是
0本身；负数没有平方根。
②a 0时，a 0；
③( a ) a
2
a , a o 2 ④ a a 0, a 0 a, a 0
x
5、设 为正整数，若 x 1是完全平方数， 则它前面的一个完全平方数是（ ） • A． D B． x • C. D． 2 x 1
x
x 2 x 1 1
2
x
x 2 x 1 2
分析：设m x 1, 则m x 1
则x＋1前面一个完全平方数就是（m 1）
2
• 2、利用算术平方根的性质进行化
简计算。
三、典型例题剖析
（一）概念题
1、下列说法中正确的是（ C ） A.任何数的平方根都有两个 B.只有正数才有平方根 C.一个正数的平方根的平方就是 这个数 D.不是正数没有立方根
2、下列四个命题中，正确的是 （ D ） A.倒数等于本身的数只有1 B.绝对值等于本身的数只有0 C.算术平方根等于本身的数只有1 D.相反数等于本身的数只有0
2
0, 求xy y 2的值。
y 2x 0 2 解：由题意得9 x 0 3 x 0
x 3, y 6
xy y ( 3) (6) (6) 18
2 2
3、已知y
x 5 5 x 1,
求xy的算术平方根。
4、实数a、b在数轴上的位置如图所示，那 么化简|a-b|- 2 的结果是 ( C ) a A、2a-b B、b C、-b D、-2a+b
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课题：立方根导学案（2）
学习目标：
1. 比较含立方根的数字之间的大小
2. 掌握被开方数小数点与立方根的小数点之间的规律。
学习重点：估计一个数的立方根及比较大小。
学习难点：被开方数小数点与立方根的小数点之间的规律。
学习过程：
一、温故：
1.正数的立方根是 数，负数的立方根是 数，0的立方根是 。
2.—125的立方根是 ，3的立方根是 ， 0的立方根是 ，2-的立方根是 ．
3. 因为(
)=33001.0，所以3001.0= ； 因为(
)=331，所以31= ； 因为()=31000， 所以31000= 。
二、知新;
知识点1 比较含立方根的数字之间的大小
1.已知1的立方根是1，8的立方根是2，那么5的立方根介于哪两个整数之间？ —5的立方根呢？
2. 比较3，4，350的大小.
3.若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是 ．
知识点2 被开方数小数点与立方根的小数点之间的规律
1.求下列各式的值
（1）3001.0； （2）31； （3）31000； （4）3610；
（5）3008.0； （6）38； （7）38000； （8）36108⨯.
2.通过上题计算可知，被开方数小数点与立方根的小数点之间有怎样的规律？ （提示：当被开方数扩大多少倍时，立方根会相应扩大几倍.）
练习：已知,，则的值等于( )
A ．485.8
B ．15360
C ．0.01536
D ．0.04858
三、小结
1. 如何比较含立方根的数字之间的大小。
2. 被开方数小数点与立方根的小数点之间的规律。
四、达标测试：
1.若，则
2.已知12.35433003=，3512.03=x ，求x
3.课本52页第8题
课后作业：
1. 比较大小（填大于、小于、等于号）
（1）； （2;
(4)327-; (6)2.已知,12 y 则3y = ．
3.课本50页练习第1题.
4.课本52页6题
5.课本52页7题。