场论初步

14场论初步

在空间或空间的一部分V 上分布着某一物理量，V 就构成一个场，在生理学中有各种不同的场，如物体的温度场，大气压力场，空间的引力场，流体的速度场等，一般来说，场可分为两类：数量场，如密度场、温度场；向量场，如引力场、速度场等，尽管每种场都有各自的物理特性，但是在数量关系上各类场都有相同的数学形式。

一、梯度

设三维欧氏空间的有界体V 是一个数量场，即在V 上定义一个三元函数),,(z y x f ，且函数),,(z y x f 在V 上存在所有

定义 向量

k z

f j y f i x f z f y f x f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂)(

称为函数（数量场）),,(z y x f 在点),,(z y x P 的梯度，记为)(P gradf ，即

=)(P gradf ),,(

z

f

y f x f ∂∂∂∂∂∂ 由此可见，数量场的梯度是一个向量场（梯度向量场）

如果l 是过点P 的射线，l 的方向余弦是γβαcos ,cos ,cos ，由10.3定理5，函数

),,(z y x f 在点P 沿射线l 的方向导数

γβαc o s c o s c o s z

f y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 已知)cos ,cos ,(cos γβα=l 是射线l 的单位向量，由向量内积公式，有

∙∂∂∂∂∂∂=∂∂),,(z

f

y f x f l f l P gradf ∙=)()cos ,cos ,(cos γβα =,cos )(cos )(θθP gradf l P gradf =

其中θ是在点P 的梯度向量)(P gradf 与单位向量l 之间的夹角，如图14.30

由（1）式不难看到，仅当0=θ时，即单位向量l （也就是射线l ）的方向与梯度)(P gradf 的方向一致时，方向导数

l

f

∂∂才能取到最大值，换句话说，梯度的方向就是函数),,(z y x f 在

点P 变化率最快（或最大）的方向，

再从等值面看梯度，如果三元函数),,(z y x f 的所有偏导数在V 连续，V 中的曲面 )(),,(常数C z y x f =

称为等值面，例如，气象学中的等温面、等压面等都是等值面的原型，函数

222),,(z y x z y x f ++=的等值面

C z y x =++222（任意0≥C ） 是以原点为球心的一族同心球面，

过场中的每个点只有一个等值面，显然，等值面彼此不相交，数量场),,(z y x f 过点

),,(0000z y x P 有一个等值面，由11.4的（4）式，等值面在点0P 的法线方程是

z

P f z z y P f y y x P f x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-)()()(00

0000

于是，等值面法线的方向向量就是梯度 ),)

(,)(,)((

)(0000z

P f y P f x P f P gradf ∂∂∂∂∂∂= 即数量场),,(z y x f 在点0P 的梯度方向就是过点0P 的等值面的法线方向，由数值较小的等值面指向数值较大的等值面，例如，已知物体V 上任意一点P 的温度是)(P f ，即物体V 是一个温度场，若物体V 中有的点温度高有的点温度低，则V 中就有热的流动，那么在一点

),,(0000z y x P ，热沿着哪个方向流动最快呢？通过对梯度的讨论我们知道，热沿着梯度方

向，也就是过点0P 的等值面的法线方向流动最快，因为热是由温度高处流向温度低处，而梯度方向是由数值较小的等值面指向数值较大的等值面，所以热沿着点)(0P gradf -流动最快。

例1 计算电势场（数量场）2

2

2

z

y x e U ++=在点),,(z y x 的梯度，其中e 是单位

正电荷。

解 为了书写简便，设 222z y x r ++=，有

32r

ex

r x r e x U -=-=∂∂ 同样有

3r ey

y U -=∂∂， 3r

ez

z U -=∂∂ 于是，

)(3zk yj xi r

e k z U j y U i x U gradU ++-=∂∂+∂∂+∂∂=

已知单位正电荷e 产生的电场强度是 ),(3zk yj xi r

e

E ++= 即

,g r a d U E -=

由此可见，电场的强度等于电势的梯度，即 gradU E -=，而电场强度的方向与电势梯度的方向相反。

由梯度的定义，不难证明，梯度有下列性质：

1：;)(gradv gradu v u grad +=+ 2：;)(ugradv

vgradu uv grad += 3：gradu u f u gradf )()('=

二、散度

设有稳定流体速度场)(P A ，场内有一光滑曲面S ，由14.2第二段知，在单位时间内，流体速度场)(P A 通过曲面S 的流量

σnd P A Q S

∙=⎰⎰)(

其中n 是曲面S 的外法线的单位向量，如果S 是闭曲面， σnd P A Q s

⎰⎰=

)(

表示在单位时间内通过闭曲面S 的流量，通过闭曲面S 的流量Q 是流出量（+）和流入量（—）两者之差（注意，S 的外法线方向为正），可能有下列三种情况： 1）0>Q ，即流出量大于流入量，这时S 内有“源”。 1）0

1）0=Q ，即流出量等于流入量，这时S 内可能既无“源”也无“洞”，也可能既有“源”又有“洞”，而“源”与“洞”的流量相互抵消。