场论初步

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场论初步

a ⋅ dl = ∫
( x, y,z )
( x0 , y0 , z0 )
a x dx + a y dy + a z dz
∂φ = az , ∂z
完全与上节一样，可以推得
∂φ = ax , ∂x
∂φ = ay , ∂y
a = gradφ
亦即
这时，我们也称 a 是一个势场 φ 称为向量场 a 的势函势场，势场势函数。上段二阶微分运算中已指出 rot gradφ = 0 即梯度场必为无旋场。于是，综上所述，我们可列出保守
∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = i+ j+ k = gradφ ∂x ∂y ∂z
∂ ∂ ∂ ∇⋅a = i+ j+ k ⋅ (a x i + a y j + a z k ) ∂y ∂z ∂x ∂a z ∂a y ∂a z = + + = diva ∂x ∂y ∂z
∂a z ∂a y ∂a x ∂a z ∇×a = − − i + j+ ∂y ∂z ∂z ∂x
其中 λ
， µ 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。
关于各种乘积有以下的计算公式，其中 φ ( x, y, z ) a 是函数， = a x i + a y j + a z k 和 b = bx i + by j + bz k 是向量，

化工数学-第6章-场论初步

质点的距离成正比；
（3）证明 v´ r 是一常向量，因此动点的轨迹曲线处于
某一平面内。
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化工数学-第六章－场论初步
21
解：（1）动点速度： v = dr = w(- i sin wt + j cos wt)
dt
v ? r (- i wsin wt + jw cos wt) ? (i w cos wt jw sin wt) = 0
bx by bz
其中： i ? j k , j ? k i , k ? i j
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化工数学-第六章－场论初步
8
【习题6-4】求垂直于两个向量2i + 3 j + 4k, i + 2 j - 2k
的单位向量，并确定这两个向量的夹角。
解：记 a1 = 2i + 3 j + 4k, a2 = i + 2 j - 2k
（6－15）（6－16）
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化工数学-第六章－场论初步
15
6.2.3 向量的偏导数
（1）以流速为例，设流速 v 是三维直角坐标系x，y，z的
向量函数 v = v(x, y, z) ，则在x，y，z方向的变化率可以用 v 对x，y，z的偏导数表示。
llliiim m m
ìïïïïïïïïíïïïïïïïïïî

场论初步

一、场的概念
若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一
个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个
数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就等于给定了一个数量函数 u( x , y , z ), 在以下讨论中
容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质:
前页后页返回
1. 若 A, B 是向量函数, 则 ( A B) A B . 2. 若是数量函数, A 是向量函数, 则 ( A) A A .
总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每
前页后页返回
个向量场都与某个向量函数 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数, 并假定它们有一阶连续偏导数. 设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
前页后页返回
量的流体流出这一点, 则称这一点 M 0 为 “源”. 若 div A( M 0 ) 0, 说明流体在这一点 M 0 被吸收, 则称这点为 “汇”.

第03讲预备知识-场论1

1.3 场的几何描述标量场的等值面
在场中t时刻，标量函数φ (r, t)数值相同的点组成的曲面称为等值面 (Contourplane)。
ϕ ( r , t ) = c (t )
（c值不同对应不同等值面）
等值面直观地描述了标量在场中的分布情况。
向量场的向量线
向量线(Vector Line)是这样的线，它上面每一点处切线方向与向量在该点的方向一致向量场
二阶张量的坐标变换
′ 张量同样与坐标系无关： B = bij ei e j = bij ei′e ′j
同样根据坐标单位向量的转换关系可得张量分量的转换关系：
′ bkl = e ′ ⋅ bij ei e j ⋅ el′ = bij (e ′ ⋅ ei )(e j ⋅ el′ ) = bijα kiα jl k k
（3）
e2 a2 b2
e3 a3 b3
（4）（5）（6）
a × (b × c ) = (a ⋅ c )b − (a ⋅ b )c
(a × b) ⋅ (c × d ) = (a ⋅ c )(b ⋅ d )-(b ⋅ c )(a ⋅ d )
2.3 向量分量的坐标变换
新、老坐标系区分：右上角加一撇表示新坐标系。
dx dy dz = = ax ay az
解方程得向量线族，向量线族直观的描述了向量在场中的分布。

场论初步

V M
A dS V
lim

存在，则称之为 A 在点 M 处的散度, 记为 divA .
向量场的散度是一个数量（场）！
P Q R divA x y z
四、向量场的环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q( x , y , z ) j R( x , y , z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分 A d s Pdx Qdy Rdz C C 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
数量场的梯度是一个向量（场）！
三、向量场的通量与散度
1. 通量的定义: 设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
0 A d S A n dS
2. 旋度的定义:
i
j y Q
k （向量） . z R
向量场的旋度 (rotA)定义为 x P
R Q P R Q P 旋度 rotA ( )i ( )j ( )k
y
z
z
x
x
y
R Q P R Q P , , . y z z x x y 向量场的旋度是一个向量！

流体力学-第一讲场论与张量分析初步

流体力学-第一讲场论与张量分析初步
引言
工程流体力学
从实用角度，对工程中涉及的问题建立相应的理论基础，并进行计算。
静力学运动学动力学
以理想流体为主
对于实际流体讨论了管流阻力计算,是在理想流体得出规律基础上进行
修正,并结合实验.
高等流体力学
以理论分析为主，讨论实际流体运动规律。
10.01.2021
(M)(M)cos
(M1)(M)
s MM0
MM
MM 10
MM 1
c
cosn,(s)nnns0
grads0
另：s0 与
n同向时， s
最大
10.01.2021
沿梯度方向的方向导数达到最大值
23
定理证明:
a） grad 满足关系式：ddrgrad
证明： gradijk
xy z d r di x dj y dkz
• 标量场（scalar field）：f (r,t) • 向量场（vector field）：g (r,t) g=f(r,t)
• 均匀场（homogeneous field）：f c
• •
非定均常匀流场场（（nstoen-adhyomfoigeelndou）s：ffi(erl)d）：f
(r)
10.01.2021
12
数量三重积： c ab

9-7(场论初步)

3/7
2.无旋场无旋场在向量场 A = A( M )( M ∈ Ω)中，如果对于 Ω 内任意一点 M ，都有rotA( M ) = 0 则称向量场 A 为无旋场对于重力场 F = {0,0,−mg }有
i ∂ rotF = ∂x 0 j ∂ ∂y 0 k ∂ = {0,0,0} = 0 ∂z − mg
∫ A( M ) ⋅ dl
B A
内与路径无关，为保守场，在 Ω 内与路径无关，则称 A 为保守场，其中 A, B 为 Ω 内任意两点
6/7
下面的定理说明了无旋场、下面的定理说明了无旋场、有势场与保守场是等价的
定理：定理：设 Ω 为一维单连通域 A = {P , Q , R} ，其中
P , Q , R 在 Ω 内一阶偏导数连续，则以下四个命题等价内一阶偏导数连续，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.
A是一个无旋场，即在 Ω 内恒有是一个无旋场，
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = , = , = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
2. 沿 Ω内任一简单闭曲线 Γ 均有环量
∫ A ⋅ dl = ∫ Pdx + Qdy + Rdz = 0 3. A是保守场，即在 Ω 内曲线积分 ∫ A(M) ⋅ dl与路径无关是保守场，
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几类特殊的场
1.无源场无源场在向量场 A = A( M )( M ∈ Ω)中，如果对于 Ω 内任意一点 M ，都有divA( M ) = 0 则称向量场 A 为无源场对于重力场 F = {0,0,−mg }有

场论初步

等值面在点P的法线的方向向量就是函数f(x,y,z) 在点P的梯度
f ( P0 ) f ( P0 ) f ( P0 ) gradf ( P0 ) ( , , ) x y z
结论：数量场在点P的梯度方向就是过点P的等值面的法线方向，由数值较小的等值面指向数值较大的等值面。
例1、设 u xy 点 M (1,2,2) ，求：
yz zx，
函数u在点M处最大的方向导数和它的方向。
梯度的性质：
1 grad (u v ) gradu gradv; 2 grad (u v ) ugradv vgradu; 3 gradf (u ) f (u ) gradu.
2、散度
设有一个稳定流动的流体速度场
称为向量场在点P的旋度，表示为
rot A( P ).
注：向量场的旋度是一个向量场。
当某点的旋度为零时，表示该点不是涡旋；当某点的旋度不为零时，表明该点处存在涡旋，并且该点的旋度的模越大，涡旋旋转得越快。
斯托克斯公式
Ay Ax Ax Az Az Ay ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy S
结论：梯度方向是函数f(x,y,z)在点P变化率最大的方向,即函数值增加或减少最快的方向。
等值面：曲面f(x,y,z)=C(C为常数）称为等值面。

场论初步

∆s → 0
∫ A ⋅ dl lim
L
∆s
即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状即单位面积平均环流的极限。无关，无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方且通常L 向 n ，且通常L的正方向与 n 规定要构成右手螺旋法则，为此定义
∫ A ⋅ dl n ˆ rotA = ∇ × A = lim
若向量场中∇ σ≠ σ≠0，称之为有源场，称为源（密度；若向量场中∇•a=σ≠ ，称之为有源场，σ称为源（强）密度；若向量场中处处∇ 中处处∇•a=0，称之为无源场。，称之为无源场。
3 向量场的环流与旋度
1、矢量场的环流: 在数学上，将向量场 A(x ) 的环流: 在数学上，沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）闭合曲线）的线积分
Agrandϕ
为数量） (ϕ 为数量）
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ ∇⋅∇ϕ = div gradϕ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
∂2 ∂2 ∂2 ∆ = 2 + 2 + 2 拉普拉斯算子 ∂x ∂y ∂z
∇⋅∇ϕ = ∆ϕ
物理量的散度可用来判别向量场是否有源。物理量的散度可用来判别向量场是否有源。为闭合曲面，可根据净通量的大小判断闭合面中源的性质: 若S 为闭合曲面，可根据净通量的大小判断闭合面中源的性质
L ∆s →0

第一章场论及张量初步知识分享

dr•grad
dxdydz
x y z
d
物理意义：函数在M点dr方向的增量
等于M点处的梯度在dr方向的投影
grad
dr
d r r
梯度的主要性质
定理2 若 a=grad，且是矢径r的单值函
数，则沿封闭曲线L的线积分：
a•dr0
反之，若矢量a沿任一封闭曲线L的线积分
a•dr0
则矢量a必为某一标量函数的梯度，即 a=grad
L
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一曲线L 作线积分
L a d r La x d a x y d a y zdz
若L为封闭曲线，则矢量a沿L的环量为：
L a d r La x d a x y d a y zdz
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点函数值都相等
定常场：场内函数值不随时间t改变
均匀场
定常场
1.1 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位面的概念来几何表示，矢量的方向则采用矢量线来表示。
diva
sandS
lim V0 V

数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分

4 场论初步

一、场的概念

概念：若对全空间或其中某一区域V 中每一点M ，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V 上给定了一个数量场(或向量场).

温度场和密度场都是数量场. 若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0, 则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.

曲面上函数u 都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.

重力场和速度场都是向量场. 设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), 则A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 其中P , Q, R 为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.

设向量场中的曲线L 上每点M 处的切线方向都与向量函数A 在该点的方向一致，即

P dx =Q dy =R

, 则称曲线L 为向量场A 的向量场线. 如, 电力线、磁力线等都是向量场线.

二、梯度场

概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数grad u=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 且grad u 的方向是使

∂∂达到最大值的方向, 其大小为u 在这个方向上

的方向导数. 所以可定义数量场u 在点M 处的梯度grad u 为在M 处最大的方向导数的方向，及大小为在M 处最大方向导数值的向量. 因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关. 由梯度给出的向量场，称为梯度场. 又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c 的法线方向为⎪

场论初步

= ∫∫∫ divadV
Ω
利用散度的记号，Gauss 公式就可以写成如下形式：
∫∫ a ⋅ d S .
∂Ω
设 M 为这个场中任一点。作包含 M 的一张封闭曲面 Σ ，记 Σ 所围
区域为 V，V 体积记为 mV . 如果 Σ 得定向为外侧，那么 = Φ ∫∫ a ⋅ d S 就是
梯度显然， Ω 上任意一个三元函数 f ( x, y, z ) 都可以看成是 Ω 上的一个数量场。若 f ( x, y, z ) 在 Ω 上具有连续偏导数，我们知道其梯度为
gradf = f x i + f y j + f z k
而且沿方向 l =cos(l , x)i + cos(l , y ) j + cos(l , z )k
Φ
∫∫ v ( x, y, z )dydz + v ( x, y, z )dzdx + v ( x, y, z )dxdy
x y z
= ∫∫ v ⋅ nd S= ∫∫ v ⋅ d S ,
Σ Σ
Σ
这里 n =cos α i + cos β j + cos γ k 为 Σ 在 ( x, y, z ) 处的，在指定侧的单位法向量。
Σwenku.baidu.comΩ Σ
设 Ω 中稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1）的速度场为

2. 场论初步

§2 场论初步

一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度

[标量场] 空间区域D 的每点M (x ,y ,z )对应一个数量值ϕ(x ,y ,z )，它在此空间区域D 上就构成一个标量场，用点M (x,y,z )的标函数ϕ(x ，y ，z )表示.若M 的位置用矢径r 确定，则标量ϕ可以看作变矢r 的函数ϕ＝ϕ(r ).

例如温度场u (x ,y ,z ),密度场),,(z y x ρ,电位场e (x ,y ,z )都是标量场.

[矢量场] 空间区域D 的每点M (x ，y ，z )对应一个矢量值R (x ，y ，z )，它在此空间区域D 上就构成一个矢量场，用点M (x ，y ，z )的矢量函数R (x ，y ，z )表示.若M 的位置用矢径r 确定，则矢量R 可以看作变矢r 的矢函数R (r )：

R (r )＝X (x ，y ，z )i ＋Y (x ，y ，z )j ＋Z (x ，y ，z )k

例如流速场 υ(x ，y ，z )，电场E (x ，y ，z )，磁场H (x ，y ，z )都是矢量场.

与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.

[梯度]

grad ϕ＝(

x ∂∂ϕ，y ∂∂ϕ，z ∂∂ϕ)=∇ϕ=x ∂∂ϕi ＋y

∂∂ϕj ＋z ∂∂ϕk 式中∇=i

x ∂∂＋j y

∂∂

＋k z ∂∂称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad ϕ有的书刊中记作del ϕ. grad ϕ的方向与过点(x ，y ，z )的等量面ϕ＝C 的法线方向N 重合，并指向ϕ增加的一方，是函数ϕ变化率最大的方向，它的长度等于

数学分析简明教程22 各种积分间的联系与场论初步

第二十二章各种积分间的联系与场论初步

§1 各种积分间的联系

1．应用格林公式计算下列积分：

(1)ydx x dy xy L ⎰-2

，其中L 为椭圆22a x +22

y =1取正向；

（2）,)()(⎰-++L

dy y x dx y x L 同（1）;

（3）dy y x

dx y x L

)()(22

2+-+⎰， L 是顶点为)5,2(),2,3(),1,1(C B A 的三角形的边界，取

正向；

（4）

,1,)()(223333=+--+⎰y x L dy y x dx y x L

为取正向；

（5）,sin sin ydy e

xdx e x

-+⎰

L 为矩形d y c b x a ≤≤≤≤, 的边界,取正向；

（6）],))cos(sin ())cos(sin [(dy y x xy x dx y x xy y e L xy

+++++⎰

其中L 是任意逐段光滑闭曲

线．

解（1）原式 =

()()

d xdy y x dxdy x y

⎰⎰⎰⎰+=--2222

)(

=ab

()

r dr r b r a d ⎰⎰

22222220

sin cos θθθπ

(广义极坐标变换）

=()

)(3

sin cos 312

2202222b a ab d b a ab +=+⎰πθθθπ．

（2)⎰-++L

dy y x dx y x )()(=⎰⎰=-D

dxdy 0)11(．

(3）原式 ⎰⎰+-=

dxdy y x x ))(22(

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+215

31143124322y

y y y D dx ydy dx ydy ydxdy

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化工数学-第6章-场论初步

场论初步

第03讲预备知识-场论1

场论初步

流体力学-第一讲 场论与张量分析初步

9-7(场论初步)

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第一章场论及张量初步知识分享

数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)

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2. 场论初步

数学分析简明教程22 各种积分间的联系与场论初步

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