山东省高三数学 最新模拟试题精选分类汇编16 复数 理
山东新高考数学模拟(带答案)
高中数学新高考模拟一、单选题1．已知2,{|1},{|U R A y y x B x y ===-==，则A B =（ ）A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．(],1-∞-D ．[)1,+∞ 2．已知复数10()3iz a a R i=+∈-，若z 为纯虚数，则2a i -=（ ）A ．5B C ．2D3．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．34．()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ） A ．35-B ．5-C ．5D ．355．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A．B C D ．6．已知01x <<,当411x x+-取得最小值时x =（ ）A ．2-B 1C ．45D ．237．命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（ ） A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥ D ．存在0x R ∈，使得201x <8．已知直线1:l y x a =+分别与直线2l ：2(1)y x =+及曲线C ：ln y x x =+交于,A B 两点，则,A B 两点间距离的最小值为A ．B ．3C D二、多选题9．“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下 列结论正确的是（ ）A ．月跑步里程逐月增加B ．月跑步里程最大值出现在9月C ．月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D ．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳10．已知双曲线C 过点(且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D ．直线10x -=与C 有两个公共点11．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则（ ）A ．CM 与PN 是异面直线B ．CM PN >C ．平面PAN ⊥平面11BDD BD ．过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形12．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）. A ．(3)0f =B ．直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D ．函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点 三、填空题13．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.14．已知1,0452sin x x ππ⎛⎫-=-<<⎪⎝⎭，则4sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______．15．以圆22210x y x +--=的圆心为焦点，且顶点在坐标原点的抛物线的标准方程为______，此圆绕直线kx y k 0--=旋转一周所得的几何体的表面积为______.16．在ABC ∆中，若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(1cos )(2cos )a B b A +=-，则B 的最大值为____． 四、解答题17．在①132b b a +=，②44a b =，③525S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，______，1525,3,81b a b b ===-，是否存在k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++<？18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF BC ⊥且DF AC =．（1）若D 为BC 的中点，且CDF ∆的面积等于ABC ∆的面积，求ABC ∠； （2）若45ABC ∠=︒，且3BD CD =，求cos CFB ∠．19．如图，四棱锥S ABC -中，底面ABCD 为矩形．SA ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,AD SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45︒．（1）证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线； （2）若12EF BC =，求二面角B SC D --的余弦值． 20．为了推广电子支付，某公交公司推出支付宝和微信扫码支付乘车优惠活动，活动期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，现用y 表示活动推出第x 天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1根据以上数据绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在活动期内，y a bx =+与x y c d =⋅（c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）优惠活动结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力，以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知每辆车每个月的运营成本约为0.978万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有112的概率享受6折优惠，有16的概率享受7折优惠，有14的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1.5万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要()*n n N ∈年才能开始盈利，求n 的值． 参考数据：其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+⋅的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-⋅． 21．已知椭圆 2222 1(0)x y C a b a b +=>>：的两个焦点和短轴的两个端点都圆221x y +=上． (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为k 的直线经过点()2,0M ，且与椭圆C 相交于,A B 两点，试探讨k 为何值时，OA OB ⊥． 22．已知函数f(x)＝ax＋ln x －2，a ∈R. (1)若曲线y ＝f(x)在点P(2，m)处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数f(x)在(0，e 2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．D 【解析】 【分析】求解函数的值域和定义域化简集合A,B ，然后直接利用交集运算求解． 【详解】由题意得[)[)[)1,,1,,1,A B A B =-+∞=+∞∴⋂=+∞,故选D. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数的值域和定义域，是基础题． 2．B 【解析】 【分析】化简已知复数，由纯虚数的定义可得a 值，再由复数的模长公式可得结果． 【详解】 化简可得()()()10310333i i i z a a i i i +=+=+--+=()103110i a -+=a -1+3i ， ∵z 是纯虚数，∴a ﹣1＝0，解得a ＝1，∴|1-2i |=故选B. 【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及纯虚数的概念及复数的模长公式，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】由a b ⊥，转化为0a b ⋅=，结合数量积的坐标运算得出tan 2θ=，然后将所求代数式化为222222sin cos cos sin 2cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++=+=+，并在分子分母上同时除以2cos θ，利用弦化切的思想求解．【详解】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=．∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++， 故选A ． 【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角θ弦的n 次分式齐次式，分子分母同时除以cos n θ，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角θ的二次整式，然后除以22cos sin θθ+化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以2cos θ可以实现弦化切． 4．A 【解析】 【分析】将二项式()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭表示为()666221111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得出其通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项. 【详解】()666221111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，展开式通项为()()626628266661111krk r k kr r k k rr C xx C x C x C x x x ----⎛⎫⎛⎫⋅⋅--⋅⋅-=⋅-⋅-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令620820k r -=⎧⎨-=⎩，得34k r =⎧⎨=⎩，因此，二项式()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为346635C C --=-，故选A.【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题. 5．B 【解析】设AC x =，则02x <<，由题意，得四棱锥11B A ACC -的体积为221224233323x V x x +=⋅⋅=⋅≤⋅=，当且仅当x =即x =时，取等号，设11,AB A B 的中点分别为,'O O ，则堑堵111ABC A B C -的外接球的球心应恰为线段'OO 的中点，又1'2OO AA AB ===，则堑堵111ABC A B C -的外接球的半径R 满足22211122AA R AO ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，故R =111ABC A B C -的外接球的体积为343R π=，故选B. 6．D 【解析】 【分析】可用导函数解决最小值问题，即可得到答案. 【详解】根据题意，令41()1f x x x =+-，则()()222241(2)(32)()11x x f x x x x x ---'=-+=--，而当2(0,)3x ∈时，()0f x '<，当2(,1)3x ∈时，()0f x '>，则()f x 在23x =处取得极小值，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等. 7．D 【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是：存在0x R ∈，使得．故D 正确．考点：全程命题.8．D 【解析】联立方程组()21y x ay x =+⎧⎨=+⎩,解得A (a −2,2a −2)， 联立方程组y x ay x lnx =+⎧⎨=+⎩,解得B (e a ,e a +a )， ∴|AB |2=2(e a −a +2)2， 令f (a )=e a −a +2,则f ′(a )=e a −1， ∴当a <0时,f ′(a )<0,当a >0时,f ′(a )>0，∴f (a )在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增， ∴f (a )⩾f (0)=3，∴当f (a )=3时,|AB |2取得最小值18.∴|AB |的最小值为=. 本题选择A 选项.9．BCD 【解析】 【分析】根据折线图，判断A,B,D 选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C 选项的正确性. 【详解】根据折线图可知，7月跑步里程下降了，故A 选项错误. 根据折线图可知，9月的跑步里程最大，故B 选项正确.一共11个月份，里程中间的是从小到大的第6个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应的里程数，故C 选项正确.根据折线图可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D 选项正确.综上所述，正确的选项为BCD. 故选：BCD 【点睛】本小题主要考查折线图，考查图表分析、数据处理能力，属于基础题. 10．AC 【解析】 【分析】根据题意得到双曲线C 的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A ：由已知3y x=±，可得2213y x =，从而设所求双曲线方程为2213x y λ-=，又由双曲线C过点(，从而22133λ⨯-=，即1λ=，从而选项A 正确；对于选项B ：由双曲线方程可知a =1b =，2c =，从而离心率为3c e a ===，所以B 选项错误；对于选项C ：双曲线的右焦点坐标为()2,0，满足21x y e-=-，从而选项C 正确；对于选项D ：联立221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，整理，得220y +=，由2420∆=-⨯=，知直线与双曲线C 只有一个交点，选项D 错误. 故选AC 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理能力与运算能力. 11．BCD 【解析】 【分析】由,CN PM 交于点A 得共面，可判断A ，利用余弦定理把,CM PN 都用,AC AP 表示后可比较大小，证明AN 与平面11BDD B 后可得面面垂直，可判断C ，作出过P ，A ，C 三点的截面后可判断D ． 【详解】,,C N A 共线，即,CN PM 交于点A ，共面，因此,CM PN 共面，A 错误；记PAC θ∠=，则2222212cos cos 4PN AP AN AP AN AP AC AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，2222212cos cos 4CM AC AM AC AM AC AP AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，又AP AC <， 22223()04CM PN AC AP -=->，22CM PN >，即CM PN >．B 正确；由于正方体中，AN BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，则1BB AN ⊥，1BB BD B ⋂=，可得AN⊥平面11BB D D ，AN ⊂平面PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面11BDD B ，C 正确；取11C D 中点K ，连接11,,KP KC AC ，易知11//PK A C ，又正方体中，11//A C AC ，∴//PK AC ，,PK AC 共面，PKCA 就是过P ，A ，C 三点的正方体的截面，它是等腰梯形．D 正确． 故选：BCD. 【点睛】本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断．难度较大． 12．ABD 【解析】 【分析】函数()y f x =是R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，我们令3x =-，可得()()330f f -==，进而得到()()6f x f x +=恒成立，再由当1x ，[]20,3x ∈且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，我们易得函数在区间[]0,3单调递增，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】:A 令3x =-，则由()()()63f x f x f +=+，得()()()()33323f f f f =-+=， 故()30f =,A 正确；:B 由()30f =得：()()6f x f x +=，故()f x 以6为周期．又()f x 为偶函数即关于直线0x =对称，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，B 正确；:C 因为当1x ，[]20,3x ∈，12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-成立，故()f x 在[]0,3上为增函数， 又()f x 为偶函数， 故在[]3,0-上为减函数， 又周期为6．故在[]9,6--上为减函数， C 错误；该抽象函数图象草图如下：:D 函数()f x 周期为6，故()()93f f -=- ()()390f f ===，故()y f x =在[]9,9-上有四个零点，D 正确． 故答案为：ABD ． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、周期性、对称性及函数的零点与方程根的关系，属于基础题. 13．30 【解析】 【分析】由题意按照分类分步计数原理，可逐个安排，注意相邻不同即可. 【详解】对于1，有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有322112⨯⨯⨯=； 若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有()322118⨯⨯+=⎡⎤⎣⎦， 综上可知，共有121830+=种染色方法. 故答案为：30. 【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类分步计数原理的应用，染色问题的应用，属于中档题.14．5【解析】0,2444x x ππππ<<∴-<-<，cos 4x π⎛⎫∴-==⎪⎝⎭cos 42445sin x sin x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 15．24y x = 8π 【解析】 【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，则可直接写出抛物线方程，又因为直线恒过圆心(1,0)可知圆绕直线旋转一周所得几何体为球，球心即为圆心，球的半径即为圆的半径，相应值代入球的表面积公式即可. 【详解】圆22210x y x +--=即22(1)2x y -+=，圆心为(1,0)， 以(1,0)为焦点的抛物线方程为：24y x =； 因为直线kx y k 0--=恒过圆心(1,0)，所以圆绕直线旋转一周所得几何体为球，球心即为圆心，球的半径即为圆的半径，所以球的表面积248S ππ=⨯=.故答案为：24y x =；8π【点睛】本题考查圆的方程，抛物线的方程，几何体的表面积，求出直线所过定点是解题的关键，属于基础题. 16．.3π【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得2231cos 84a c B ac +=⨯-，进而根据基本不等式可得222a c ac+，从而可求1cos 2B ，结合范围(0,)B π∈，可求B 的最大值． 【详解】(1cos )(2cos )a B b A +=-，222222(1)(2)22a c b b c a a b ac bc+-+-∴+=-，2b a c ∴=+，22222222()312cos 2284a c a c a cb ac B acac ac ++-+-+∴===⨯-， 又222a c ac +，∴222a c ac+，22311cos 842a c B ac +∴=⨯-，又(0,)B π∈，B ∴的最大值为3π．故答案为：3π． 【点睛】本题考查弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 17．答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】从三个条件中任选一个，利用等差、等比数列的基本知识解决问题即可. 【详解】因为在等比数列{}n b 中，23b =，581b =-，所以其公比3q =-， 从而()()222333n n n b b --=-=⨯-，从而511a b ==-．若存在k ，使得1k k S S +>，即1k k k S S a +>+，从而10k a +<； 同理，若使12k k S S ++<，即112k k k S S a +++<+，从而20k a +>．（方法一）若选①：由132b b a +=，得21910a =--=-，所以316n a n =-， 当4k =时满足50a <，且60a >成立；若选②：由4427a b ==，且51a =-，所以数列{}n a 为递减数列， 故不存在10k a +<，且20k a +>； 若选③：由()155352552a a S a +=-==，解得35a =-，从而211n a n =-， 所以当4n =时，能使50a <，60a >成立．（方法二）若选①：由132b b a +=，得21910a =--=-， 所以公差5233a a d -==，1213a a d =-=-，从而()()21111332922n n n S a d n n -=+⨯=-； ()()()()()()()1123129132922312913229222k k k k k k k k S S S S k k k k +++⎧⎡⎤+-+-⎣⎦>⎪>⎧⎪⇔⎨⎨<⎡⎤⎡⎤+-++-+⎩⎪⎣⎦⎣⎦<⎪⎩，解得101333k <<， 又k *∈N ，从而4k =满足题意． 【点睛】本题为开放性试题，答案不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题，属于中档题. 18．(1) 60ABC ∠=︒(2) 51【解析】 【分析】（1）根据ABC CDF S S =△△可得2BC AB =，又90A ∠=︒，从而30ACB ∠=︒，即可得到结果；（2）由45ABC ∠=︒，从而AB AC =，设AB AC k ==，则BC =．结合余弦定理可得结果. 【详解】（1）如图所示，D 为BC 的中点，所以BD CD =．又因ABC CDF S S =△△，即111224AB AC CD DF BC AC ⨯=⨯=⨯，从而2BC AB =， 又90A ∠=︒，从而30ACB ∠=︒，所以903060ABC ∠=︒-︒=︒． （2）由45ABC ∠=︒，从而AB AC =，设AB AC k ==，则BC =．由3BD CD =，所以34BD BC ==，CD =． 因为DF AC k ==，从而4BF k ==，4CF k ==．（方法一）从而由余弦定理，得2222229172cos 2k k k CF BF BC CFB CF BF +-+-∠===⨯．（方法二）所以cos DF DFB BF ∠==从而cos BD DFB BF ∠==；cos DF DFC CF ∠== 从而1sin 3CD DFC CF ∠==． 所以()cos cos CFB CFD DFB ∠=∠+∠=． 【点睛】本题考查解三角形问题，考查三角形面积公式，正弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题.19．(1)证明见解析；(2) 3- 【解析】 【分析】（1）要证EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线，即证AD EF ⊥，EF SC ⊥，转证线面垂直即可；（2）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCS 与平面SCD 的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点G ，连接EG 、FG ．因为四边形ABCD 为矩形，且E 、F 分别是AD 、SC 的中点， 所以EG CD ，且FGSA ．又SA ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥平面ABCD ，所以GF AD ⊥． 又AD GE ⊥，GEGF G =，所以AD ⊥平面GEF ，所以AD EF ⊥．因为EF 与平面ABCD 所成的角为45︒，所以45FEG ∠=︒， 从而GE GF =．所以SA AB =．取SB 的中点H ，连接AH 、FH ，则由F 、H 分别为SC 、SB 的中点， 从而12FHBC AE ，从而四边形AEFH 为平行四边形． 又由SA AB =，知AH SB ⊥． 又BC ⊥平面SAB ，所以AH BC ⊥． 又SB BC B ⋂=，从而AH ⊥平面SBC ．从而EF ⊥平面SBC ．SC ⊂平面SBC ，从而EF SC ⊥． 综上知EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线． （2）因为12EF BC =，设1BC =，则1EF =，从而2GE GF ==，所以SA AB == 以A 为坐标原点，AB 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则)B、()0,2,0D 、(S 、)C，从而，(2,2,SC =，()0,2,0BC =．设平面BCS 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则110n SC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，令11z =，从而得()11,0,1n =．同理，可求得平面SCD的一个法向量为(2=n ．121212cos 2⋅⋅===n n n n n n 设二面角B SC D --的平面角为θ，从而cos θ=【点睛】本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明，向量法求二面角，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．20．（1）xy c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型，（2）0.253.5510x y =⨯，第8天使用扫码支付的人次为355，（3）5n = 【解析】 【分析】（1）根据散点图判断xy c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型（2）由xy c d =⋅两边同时取对数得()lg lg lg lg xy c dc d x =⋅=+⋅，设lg y v =，即lg lg v c d x =+⋅，然后按照公式计算即可（3）先列出一名乘客乘车支付的费用的分布列，然后算出其平均值，然后根据条件即可建立不等式求解 【详解】（1）根据散点图判断xy c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型（2）因为xy c d =⋅，两边同时取对数得()lg lg lg lg xy c dc d x =⋅=+⋅设lg y v =，即lg lg v c d x =+⋅ 因为4x =， 1.55v =，721140i i x =∑=所以7117222750.474 1.5570.2514074287lg i ii i i v x v x d xx ==-⋅-⨯⨯===-⨯-=∑∑ 把样本中心点()4,1.55代入lg lg v c d x =+⋅得lg 0.55c =所以0.550.25v x =+，即lg 0.550.25y x =+所以y 关于x 的回归方程为0.550.250.2510 3.5510x x y +==⨯把8x =代入上式得355y =所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为355（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为2，1.8，1.6，1.4，1.2()20.1P Z ==；()11.80.360.182P Z ==⨯= ()11.60.540.360.634P Z ==+⨯=；()11.40.360.066P Z ==⨯= ()11.20.360.0312P Z ==⨯= 其分布列为：所以，一名乘客一次乘车的平均费用为： 20.1 1.80.18 1.60.63 1.40.06 1.20.03 1.652⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为每辆车每个月的运营成本约为0.978万元，每辆车每个月有1.5万人次乘车， 买车费用是90万元，假设经过x 年开始盈利所以12 1.652 1.5120.978900x x ⨯⨯-⨯-≥解得5x ≥，即第五年开始盈利，5n =【点睛】本题主要考查用样本估计总体和变量的相关关系，属于基础题，对计算能力要求较高.21．（1）2212x y +=；（2）k =± 【解析】【分析】(1)由题意可得焦点为()1,0±，短轴的端点为()0,1±，可得1b c ==，可求得a ，进而得到椭圆方程；()2设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()2y k x =-，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，化简计算即可得到所求k 的值．【详解】() 1依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆221x y +=上，可得1b =，1c =所以22a =，所以椭圆C 的方程2212x y +=； ()2设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()2y k x =-，由()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()2222128820k x k x k +-+-=， 所以22121222882,1212k k x x x x k k-+==++， 因为OA OB ⊥，所以12121y y x x =-，即12120x x y y +=， 而()()2121222y y k x x =--，所以()()21212220x x k x x +--=，所以()()22422218216401212k k k k k k+--+=++， 解得：215k =，此时0>，所以k =． 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b 从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.22．（1）单调递增区间为(8，＋∞)，单调递减区间为(0,8) ；（2）存在实数a ＝2e 2，使函数f(x)在(0，e 2]上有最小值2.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，得到322f '=-（），求出a 的值，从而解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求导0f x x '（），（＞），当00a f x ≤'，（）＞ 恒成立，即()f x 在20]e （， 上单调递增，无最小值；当0a ＞，令0f x '=（），得x a =，根据函数的单调性可知：若2a e ＞，则函数()f x 在20]e （，上的最小值222min f x f e a e ==（）（），，满足2a e ＞，符合题意；若20a e ≤＜，则函数()f x 在20]e （，上的最小值min f x f a =（）（），解得：3a e =，不满足20a e ≤＜，不符合题意，舍去．【详解】(1)∵f(x)＝a x＋ln x －2(x ＞0)， ∴f′(x)＝21a x x-+ (x ＞0)， 又曲线y ＝f(x)在点P(2，m)处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1， ∴f′(2)＝－14a ＋12＝－32⇒a ＝8. ∴f′(x)＝22818x x x x --+= (x ＞0)， 令f′(x)＞0，得x ＞8，f(x)在(8，＋∞)上单调递增；令f′(x)＜0，得0＜x ＜8，f(x)在(0,8)上单调递减．∴f(x)的单调递增区间为(8，＋∞)，单调递减区间为(0,8)．(2)由(1)知f′(x)＝221a x a x x x--+=(x ＞0)．①当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，即f(x)在(0，e 2]上单调递增，无最小值，不满足题意． ②当a ＞0时，令f′(x)＝0，得x ＝a ，所以当f′(x )＞0时，x ＞a ，当f′(x)＜0时，0＜x ＜a ，此时函数f(x)在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．若a ＞e 2，则函数f(x)在(0，e 2]上的最小值f(x)min ＝f(e 2)＝2a e ＋ln e 2－2＝2a e ， 由2a e＝2，得a ＝2e 2，满足a ＞e 2，符合题意； 若a≤e 2，则函数f(x)在(0，e 2]上的最小值f(x)min ＝f(a)＝a a ＋ln a －2＝ln a －1， 由ln a －1＝2，得a ＝e 3，不满足a≤e 2，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a ＝2e 2，使函数f(x)在(0，e 2]上有最小值2.【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查导数的运算，考查分类讨论思想，属于中档题．。
山东省高三数学 各地市最新模拟试题精品分类汇编 专题13 复数与推理证明 文(教师版)
一、选择题：1．（山东省济南市2013年1月高三上学期期末文1）复数31ii+=+ A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -22．(山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考文2)已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A （l ，2），B （－1，3），则21z z ：A ．1+iB ．iC ．1－iD ．一i3.（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试文1）已知),(2R b a i b iia ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=-a bA.-1B.1C.2D.34.（山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文）2013i 的值为（ ）A ．1B ．iC ．-1D ．i -5.（山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月文）设()2112i iz +++=，则z = A ．2 B ．1 C ．2 D ．36.（山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考文）已知{}n a 中nn a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A = A.9331）（ B.9231）（ C.9431）（ D.11231）（7.（山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试文） 复数512ii-=( ) A.2i - B.12i - C.2i -+ D.12i -+8.（山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试）是虚数单位i ，复数ii+1= ( )A.i -1B.i +1C.i +-1D.i9.（山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文）复数12()1iz i i-=-为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.（山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文）复数122ii+=-( ) A.i -B.iC.5iD.45i +二、填空题：11. （山东省泰安市2013届高三上学期期末文14）下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是___________.【答案】(1)2n n + 【解析】12341,3,6,10a a a a ====，所以2132432,3,4a a a a a a -=-=-=，1n n a a n --=，等式两边同时累加得123n a a n -=+++，即(1)122n n n a n +=+++=，所以第n 个图形中小正方形的个数是(1)2n n + 12. （山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试文16）研究问题：“已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为（1，2），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ”，有如下解法：由0)1()1(022>+-⇒>+-xc x b a c bx ax ，令x y 1=，则)1,21(∈y ，所以不等式02>+-a bx cx 的解集为），（121。
山东省济南市2016届高三3月高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
2016届高三教学质量调研考试理科数学一、选择题： 1.复数231iz i-=+〔i 为虚数单位〕，那么z 在复平面内对应的点位于〔 〕 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C【解析】考查复数的相关知识。
()()()()231223315111122i i i i z i i i -----===--+-+，实部、虚部均小于0，所以z 在复平面内对应的点位于第三象限。
2.集合{}2280M x x x =--≤，集合{}lg 0N x x =≥，那么MN =〔 〕A.{}24x x -≤≤B.{}1x x ≥C.{}14x x ≤≤D.{}2x x ≥- 【答案】C【解析】考查集合的运算。
{}24M x x =-≤≤，{}1N x x =≥，考查交集的定义，画出数轴可以看出{}14MN x x =≤≤。
3.某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，那么样本中高三年级的人数是〔 〕 A.20 B.16 C.15 D.14 【答案】D【解析】考查分层抽样。
高三年级的人数是2805014400320280⨯=++〔人〕。
4.命题p ：0x R ∃∈，使05sin 2x =；命题q ：(0,),sin 2x x x π∀∈>，那么以下判断正确的选项是〔 〕A.p 为真B.p ⌝为假C.p q ∧为真D.p q ∨为假 【答案】B【解析】考查命题的真假判断。
由于三角函数sin y x =的有界性，01sin 1x -≤≤，所以p 假；对于q ，构造函数sin y x x =-，求导得'1cos y x =-，又(0,)2x π∈，所以'0y >，y 为单调递增函数，有00x y y=>=恒成立，即(0,),sin 2x x x π∀∈>，所以q 真。
山东省普通高中2023届高三模拟演练数学试题
一、单选题二、多选题1.已知点是的重心，则（ ）A．B．C．D．2. 设非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）A．B．C．D．3. 已知是虚数单位，则复数的虚部是A ．B ．C．D ．14. 设是方程的解，则属于区间（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5.已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）A．B．C．D．6. 在平面直角坐标系中，已知任意角以轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”；对于正余弦函数，以下性质中正确的是（ ）A ．函数关于对称B ．函数关于对称C ．函数在单调递增D．函数值域为7. 平面平面的一个充分条件是（ ）A．存在一条直线B．存在一条直线C．存在两条平行直线D．存在两条异面直线8.已知数列满足，则（ ）A．B．C．D．9. 已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）A ．椭圆的离心率的取值范围是B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是C ．存在点使得D ．的最小值为210.若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）A．山东省普通高中2023届高三模拟演练数学试题山东省普通高中2023届高三模拟演练数学试题三、填空题四、解答题B．C．D．11.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）A．B．C ．的共轭复数为D ．的虚部为12.已知函数及其导函数的定义域均为R ，记，若，均为奇函数，则（ ）A．B．C．D．13.已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________．14. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为______．15.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线E 的离心率为______．16. 如图，某地要在矩形区域内建造三角形池塘，、分别在、边上.米，米，，设，.（1）试用解析式将表示成的函数；（2）求三角形池塘面积的最小值及此时的值.17. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，与此同时，相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品好评率为，对服务好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)是否可以在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．注：1.注2.18. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意 .19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为，且，探究：直线是否过定点，并说明理由．20. 2021年，是中国共产党建党百年华诞.为迎接建党100周年，某单位组织全体党员开展“学党史，知党情，感党恩”系列活动.在学党史知识竞赛中，共设置20个小题，每个小题5分.随机对100名党员的成绩进行统计，成绩均在内，现将成绩分成5组，按照下面分组进行统计分析：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知甲､乙､丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人（包含甲､乙､丙）参加党史知识抢答赛.（1）求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)；（2）求第4组选取参加抢答赛的人数；（3）若从参加抢答赛的6人中随机选取两人参加上级部门的党史知识复赛，求甲､乙､丙3人至多有一人被选取的概率.21. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．(1)求的值；(2)求的面积．。
山东省各市高三数学第一次模拟 试题分类汇编 复数、推理与证明 理
山东省各市2015届高三第一次模拟数学理试题分类汇编复数1、（德州市2015届高三）设复数z 的共轭复数为z ，若(2)3i z i +=-，则z z g 的值为A 、1B 、2CD 、42、（济宁市2015届高三）已知i 是虚数单位，复数221i z z i=-=+，则A.2B. D.1 3、（临沂市2015届高三）设i 是虚数单位，复数7412i i +=+ A. 32i + B. 32i - C. 23i + D. 23i -4、（青岛市2015届高三）设i 为虚数单位，复数21i i+等于 A ．i +-1 B ．i --1 C ．i -1D ．i +1 5、（日照市2015届高三）已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数，则实数t 等于 A.34 B. 43 C. 43- D. 34- 6、（潍坊市2015届高三）设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若i z 211-=，则12z z 的虚部为 A ．53 B ．53- C ．54 D ．54- 7、（烟台市2015届高三）复数321i z i -=-的共轭复数z =（ ） A ．5122i + B ．5122i - C ．1522i + D ．1522i - 8、（淄博市2015届高三）复数31i i +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 9、（滨州市2015届高三）设i 为虚数单位，则复数34i i-＝ （A ）－4－3i （B ）－4＋3i （C ）4＋3i （D ）4－3i10、（泰安市2015届高三）已知i 是虚数单位，3,,1i a b R a bi i+∈+=-，则a b +等于 A. 1- B.1 C.3 D.4 11、（菏泽市2015届高三）已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．2i + D ．2i -+推理与证明12、（烟台市2015届高三）已知()xx f x e =，()()1f x f x '=，()()21f x f x '=⎡⎤⎣⎦，⋅⋅⋅，()()1n n f x f x +'=⎡⎤⎣⎦，n *∈N ，经计算：()11x x f x e -=，()22x x f x e -=，()33x x f x e -=，⋅⋅⋅，照此规律则()n f x = ．13、（滨州市2015届高三）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ＋4）＝f （x ），当(2,0)x ∈-时，()2xf x =，则f （2014）＋f （2015）＋f （2016）＝＿＿＿＿＿14、（潍坊市2015届高三）在对于实数x ，][x 表示不超过的最大整数，观察下列等式： 3]3[]2[]1[=++ 10]8[]7[]6[]5[]4[=++++ 21]15[]14[]13[]12[]11[]10[]9[=++++++……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为 ；参考答案1、B2、C3、B4、D5、A6、D7、B8、B9、A 10、C 11、B12、(1)()e n xx n -- 13、1214、22n n。
2024年山东省聊城市高三一模卷数学试题及答案
2024年聊城市高考模拟试题数学（一）注意事项：1.本试卷满分150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置上。
2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x ||x|≤2}，B ={x|x −a <0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围为A ．(−∞,−2)B ．(−∞,−2]C ．(2,+∞)D ．[2,+∞) 2．若复数z 满足z =i ⋅z ，则z 可以为A ．1−iB ．1+iC ．1+2iD ．1−2i 3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7=49，S 16=45，则a 6=A ．3B ．5C ．7D ．10 4．设6299=7n +r ，其中n ∈N ∗，且0≤r <7，则r =A ．3B ．4C ．5D ．6 5．设F 1，F 2是双曲线C:z 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 是C 上的一点，若C 的一条渐近线的倾斜角为60∘，且|PF 1|−|PF 1|=2，则C 的焦距等于 A ．1B ．√3C ．2D ．4 6．已知数列{a n }满足a n+1=3a n +2，则“ a 1=−1”是“ {a n }是等比数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点D 在棱BB 1上，且△ADC 1所在的平面将三棱柱ABC −A 1B 1C 1分割成体积相等的两部分，点M 在棱A 1C 1上，且A 1M =2MC 1，点N 在直线BB 1上，若MN//平面ADC 1，则BB 1NB 1= A ．2 B ．3 C ．4 D ．68．已知P 是圆C:x 2+y 2=1外的动点，过点P 作圆C 的两条切线，设两切点分别为A ，B ，当PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最小时，点P 到圆心C 的距离为A ．√24B ．√23C ．√2D ．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数f (x )=sin (ωx +π6)+cosωx (ω>0)的最小正周期为2，则 A ．ω=πB ．曲线y =f (x )关于直线x =16对称C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在区间[−12,12]上单调递增10．在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X ∼N (μ,σ2)，且E (X )=30，D (X )=400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令P (|X −μ|≤σ)=m ，P (|X −μ|≤2σ)=n ，则A ．μ=80，σ=400B ．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为m+n 2 C ．从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为1−n 22D ．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为1−n 1+m11．设f (x )是定义在R 上的可导函数，其导数为g (x )，若f (3x +1)是奇函数，且对于任意的x ∈R ，f (4−x )=f (x )，则对于任意的k ∈Z ，下列说法正确的是A ．4k 都是g (x )的周期B ．曲线y =g (x )关于点(2k,0)对称C ．曲线y =g (x )关于直线x =2k +1对称D ．g (x +4k )都是偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若函数f (x )={6a −x,x ≤4,log 2x,x >4的值域为(2,+∞)，则实数a 的取值范围为 . 13．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点的坐标为(1,0)，一条切线的方程为x +y =7，则C 的离心率e = .14．已知正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点P 的轨迹长为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤.15．（13分）已知抛物线C 关于y 轴对称，顶点在原点，且经过点P (2,2)，动直线l:y =kx +b 不经过点P 、与C 相交于A 、B 两点，且直线PA 和PB 的斜率之积等于3.（1）求C 的标准方程；（2）证明：直线l 过定点，并求出定点坐标.16．（15分）在梯形ABCD 中，AD//BC ，设∠BAD =α，∠ABD =β，已知cos (α−β)=2sin (a +π3)sin (β+π3). （1）求∠ADB ；（2）若CD =2，AD =3，BC =4，求AB .17．（15分）如图，在四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//CD ，DD 1⊥平面ABCD ，BC =CD =12AB .（1）证明： AD ⊥BB 1；（2）若AD =3，A 1B 1=CD =52，DD 1=2，求平面ABCD 与平面BCC 1B 1的夹角的余弦值. 18．（17分）已知函数f (x )=xe x −1，g (x )=lnx −mx ，φ(x )=c x −lnx x −1x . （1）求f (x )的单调递增区间；（2）求φ(x )的最小值；（3）设ℎ(x )=f (x )−g (x )，讨论函数ℎ(x )的零点个数.19．（17分）如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1.C2，Q，C3. 一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.（1）分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；（2）求经过2秒机器人位于区域Q的概率；（3）求经过n秒机器人位于区域Q的概率.。
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}2324x A x -=> {}5B x x =≤，则A B =（ ）．A ．752x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．552x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．52x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．{}5x x ≤2．当a<0时，则关于x 的不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x ，则1212ab x x x x =++取得最值的充分条件是（ ）A ．有最大值 1b ≤-B ．有最小值b ≥-C ．有最大值 5b ≤-D ．有最小值b ≤3．已知扇形的半径为2 圆心角为45，则扇形的弧长是（ ） A ．45B ．π4C ．2π D ．904．在极坐标中点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的距离为（ ）A ．3πBC ．2D5．设0.33a = 30.3b = 0.3log 3c =，则a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．设2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++ 若78a a =，则n =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知直线y =双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于不同的两点A 和B F 为双曲线C 的左焦点且满足AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2 C1 D8．已知函数||||12e sin 432e 2x x x f x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．404 B ．4044 C ．2022D ．2024二、多选题9．已知复数0z 、z 其中02i 3z =-，则下列结论正确的是（ ） A ．0z 的虚部为2iB ．0z 的共轭复数02i 3z =--C ．0z 是关于x 的方程26130x x ++=的一个根D ．若03z z -=，则z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 10．已知函数31()423f x x x =-+ 下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 的极大值为223 极小值为103- B ．当[]3,4x ∈时，则函数()f x 的最大值为223 最小值为103- C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+11．已知线段BC 的长度为4 线段AB 的长度为m 点D ,G 满足AD DC = 0DG AC ⋅= 且G 点在直线AB 上 若以BC 所在直线为x 轴 BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则（ ） A ．当4m =时，则点G 的轨迹为圆B ．当68m ≤≤时，则点G 的轨迹为椭圆 且椭圆的离心率取值范围为12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．当2m =时，则点G 的轨迹为双曲线 且该双曲线的渐近线方程为y =D ．当5m =时，则BCG 面积的最大值为312．我国有着丰富悠久的“印章文化” 古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成 本是官员或私人签署文件时代表身份的信物 后因其独特的文化内涵 也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件 除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2 已知正四棱柱和正四棱锥的高相等 且底面边长均为2 若该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则（ ）A ．正四棱柱和正四棱锥的高均为12B ．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为12+C ．球O 的表面积为9πD ．正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为α、π2βα⎛⎫< ⎪⎝⎭，则αβ<三、填空题 13．若tan 2α=，则2sin cos cos sin cos ααααα++-=__________.14．设{}n a 是等差数列 且13a = 2414a a += 若37m a =，则m =___________.15．一批电池(一节)用于无线麦克风时，则其寿命服从均值为34.3小时，则标准差为4.3小时的正态分布 随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30小时的概率为______.(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+= ()220.9545P X μσμσ-<≤+=)16．已知函数()()e 1xf x x =+ ()()1lng x x x =+ 若()()()121f x g x m m ==>，则112ln x x x m+的最小值为______．四、解答题17．如图 在ABC 中2BC = AC =π4A = 点M ､N 是边AB 上的两点 π6MCN ∠=.(1)求ABC 的面积；(2)当BN =求MN 的长.18．已知正项等比数列{}n a 前n 项和为12,n S a = 且324,2,a S a 成等差数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log n n b a = 其前n 项和为n T 求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H ．19．盲盒 是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子 具有随机性．因其独有的新鲜性 刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知M 系列盲盒共有12个款式 为调查M 系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱 向00前、00后人群各随机发放了50份问卷 并全部收回．经统计 有45%的人未购买该系列育盒 在这些未购买者当中00后占23．(1)请根据以上信息填表 并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？(2)一批盲盒中每个盲盒随机装有一个款式 甲同学已经买到3个不同款 乙、丙同学分别已经买到m 个不同款 已知三个同学各自新购买一个盲盒 且相互之间无影响 他们同时买到各自的不同款的概率为13．①求m ；②设X 表示三个同学中各买到自己不同款的总人数 求X 的分布列和数学期望．20．已知直线,a b 平面,αβ 且a α⊂ b β⊂ //αβ．判断直线,a b 的位置关系 并说明理由． 21．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边 222cos cos 1cos A C B +=+且1b = (1)求B ； (2)若12AB AC ⋅<求11a c +的取值范围.22．已知函数32()1f x x ax bx =+++在点(1,(1))P f 处的切线方程为420x y --=． (1)求函数()f x 的单调区间(2)若函数()()g x f x m =-有三个零点 求实数m 的取值范围．参考答案与解析1．B【分析】解指数不等式求得集合A 根据集合的交集运算可得答案. 【详解】解不等式2324x -> 即232522232,2,x x x ->->∴>∴ 故{}235242x A x x x -⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭ 故552A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭故选：B 2．C【解析】计算得到124x x a += 2123x x a =计算b ≤根据充分条件的定义得到答案.【详解】不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x 故124x x a += 2123x x a =.1212114433a b x x a a x x a a ⎛⎫=++=+=--+≤-= ⎪-⎝⎭当143a a -=-即a =时等号成立 根据充分条件的定义知C 满足. 故选：C .【点睛】本题考查了充分条件 不等式的解 均值不等式 意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．C【分析】由弧长公式求解即可.【详解】因为圆心角的弧度数为π4 所以扇形的弧长是ππ242⨯=.故选：C 4．C【分析】先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程 再求点到圆心的距离得解.【详解】由题得ππ2cos 1,2sin 33x y =⨯==⨯=所以点的坐标为因为4cos ρθ= 所以24cos ρρθ= 所以2240x y x +-= 即22(2)4x y -+= 所以圆心的坐标为(2,0)2=故选：C. 5．C【分析】根据对数函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为0.30331>= 300.3100.3<=< 0.30.3log 3log 10<= 所以c b a << 故选：C 6．D【分析】根据二项展开式分别求出78,a a 的表达式 解方程即可求得结果.【详解】由题可知 ()77777777C 122C n n n a x x x -=⨯⨯= 所以7772C n a =； 同理可得8882C n a =；由78a a =可得77882C 2C n n = 即78C 2C n n =所以(1)(2)(6)(1)(2)(7)212371238n n n n n n n n --⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 即7218n -⨯= 解得11n =. 故选：D 7．C【分析】由题意设A B 的坐标 代入直线和双曲线的方程可得A B 的坐标 再由AF BF ⊥ 可得数量积0FA FB →→⋅= 可得a c 的关系 进而求出离心率. 【详解】设()()0000,,,,(,0)A x y B x y F c ---则2200221x y a b-=① 因为AF BF ⊥ 所以0FA FB →→⋅=即()()0000,,0x c y x c y +⋅-+-=可得22200c x y -=②因为AB 在直线y 上 所以0y x = 由①②③得42840e e -+=解得24e =+所以1e 故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质 及直线的垂直用数量积为0表示 属于中档题. 8．B【分析】利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】||||||12e sin 4sin 322e 2e 2x x x x x f x ++⎛⎫+==+ ⎪++⎝⎭ ()||||sin 1sin 3222e 2e 2x x x x f x --⎛⎫-+=+=- ⎪++⎝⎭所以1133422f x f x ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以12x -替换3x 得()()1111142222f x fx f x f x ⎛⎫⎛⎫-++-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令122022202320232023f f f S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=则202220211202320232023f f S f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=两式相加得220224,4044S S =⨯=. 故选：B 9．BCD【分析】利用复数的概念可判断A 选项的正误；利用共轭复数的定义可判断B 选项的正误；解方程26130x x ++=可判断C 选项的正误；利用复数的几何意义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项 复数0z 的虚部为2- A 错； 对于B 选项 02i 3z =-- B 对；对于C 选项 解方程26130x x ++= 即()()22342i x +=-=± 可得32i x +=± 解得32i x =-± C 对；对于D 选项 设()i ,z x y x y R =+∈，则()()032i z z x y -=++-所以 03z z -== 即()()22329x y ++-=故z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 D 对. 故选：BCD. 10．ACD【分析】利用导数研究函数()f x 的极值、最值、单调性 利用导数的几何意义可求得曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程 根据计算结果可得答案. 【详解】因为31()423f x x x =-+ 所以2()4f x x =-'由()0f x '> 得<2x -或2x > 由()0f x '< 得22x -<<所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增 在[]22-,上递减 在(2,)+∞上递增 故选项C 正确 所以当2x =-时，则()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233f -=⨯--⨯-+=在2x =时，则()f x 取得极小值3110(2)242233f =⨯-⨯+=- 故选项A 正确当[]3,4x ∈时，则()f x 为单调递增函数 所以当3x =时，则()f x 取得最小值31(3)343213f =⨯-⨯+=-当4x =时，则()f x 取得最大值3122(4)444233f =⨯-⨯+= 故选项B 不正确因为(0)4f '=- 所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=-- 即42y x =-+ 故选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间 考查了导数的几何意义 属于基础题.11．BCD【分析】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC = 利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．【详解】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC =当4m =时，则线段AC 为圆B 的弦，则AC 的中垂线过圆心B 点G 即点B A 错误； 当68m ≤≤时，则如图1 点G 在线段AB 上 连接GC 则GC GB GA GB AB m +=+==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的椭圆 即,22m a c则椭圆的离心率412,23c eamB 正确； 当G 为椭圆短轴顶点时，则BCG 面积的最大 若5m =时，则则2253,2,22ac b a c 最大面积为3bc = D 正确； 当2m =时，则过点C 作圆B 的切线 切点为,M N若点A 在劣弧MN （不包括端点,M N ）上 如图2 点G 在BA 的延长线上 连接GC 则2GB GC GB GA AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的左半支若点A 在优弧MN （不包括端点,M N ）上 如图3 点G 在AB 的延长线上 连接GC 则2GC GB GA GB AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的右半支 则点G 的轨迹为双曲线∴1,2,a c b ===渐近线方程为by x a=±= C 正确； 故选：BCD ．12．BC【分析】根据正四棱柱和正四棱锥的几何的性质结合球的对称性、球的表面积公式、线面角、二面角的定义逐一判断即可.【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为h球O的半径为r根据正四棱柱和球的对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的中心球的直径2r 即为正四棱柱的体对角线 且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离32h r = 根据正四棱柱的体对角线公式得2222224348(22292)r h r r r ⇒=+⇒+==+ 因此1h = 所求球的表面积为294π4π9π4r =⋅= 故选项A 不正确 C 正确； 在直角三角形EFG中EG ==所以正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为：14222421122⨯⨯⨯+⨯⨯=+所以选项B 正确 如图所示：1tan tan 11EGFα1tan tan 12FHE β=∠==显然有tan tan αβαβ>⇒>所以选项D 不正确 故选：BC13．【详解】222221tan 2,sin 2cos ,sin 4cos 1cos 4cos cos 5αααααααα=∴=∴=⇒-=⇒= 2sin cos 116cos 3sin cos 55ααααα++=+=- 14．18【分析】根据等差数列的通项公式 结合代入法进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为d 因为13a =所以由2414333142a a d d d +=⇒+++=⇒=由373(1)23718m a m m =⇒+-⋅=⇒=故答案为：1815．0.84135【分析】由题知()2~34.3,4.3X N 故()()30P X P X μσ≥=≥- 再结合正态分布3σ原则求解即可得答案.【详解】解：由题意知 ()2~34.3,4.3X N所以()()()3034.3 4.3P X P X P X μσ≥=≥-=≥-故()()1110.68270.841352P X μσ≥-=--=. 所以这节电池可持续使用不少于30小时的概率为0.84135.故答案为：0.8413516．e【分析】利用函数同构及函数单调性得到12ln x x = 问题转化为求()ln x h x x =（1x >）的最小值 利用导函数 研究其单调性 求出最小值.【详解】()()()()ln 1ln e 1ln ln x g x x x x f x =+=+=，则 ()()()12ln 1f x f x m m ==> 因为()()111e 11x f x x =+> 故1>0x 又当0x >时，则()()1e 10x f x x '=++>恒成立 即()()e 1x f x x =+单调递增 所以12ln x x =，则112l l n n x x x m m m=+ 令()ln x h x x =（1x >） ()()2ln 1ln x h x x -'= 当()1,e x ∈时，则()0h x '< 当()e,+x ∈∞时，则()0h x '> 所以()h x 在e x =处取得最小值 ()e e e ln e h == 112ln x x x m +的最小值为e .故答案为：e17．【分析】（1）利用正弦定理sin sin BC AC A B = 可求得1π6B = 根据()sin sinC A B =+结合面积公式求解；（2）在BCN △中利用余弦定理求1CN = 在直角CMN 中根据tan MN MCN CN=∠求解．【详解】（1）在ABC 中BC AC >，则A B >由正弦定理得：sin sin BC AC A B = 2sin 4π=，则1sin 2B = 因为(0,π)B ∈，则1π6B =或5π6B =（不合题意 舍去）则()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=ABC 的面积为1sin 2ABC S CB CA C =⋅⋅⋅=△（2）在BCN △中2BC = BN =π6B =由余弦定理可得1CN == 则有222BC BN CN =+ 所以CN AB ⊥在直角CMN 中1CN = π6MCN ∠=πtan 6MN CN ==MN =18．(1)2n n a =； (2)21n n +.【分析】（1）设{}n a 的公比为q 列方程求得q 后可得通项公式；（2）由题可得n b n T 然后利用裂项相消法即得．【详解】（1）设{}n a 的公比为q (0q >)因为12a = 且324,2,a S a 成等差数列所以()3421244a a S a a +==+所以23224(22)q q q +=+ 即()214(1)q q q +=+ 又0q > 所以2q所以2n n a =；（2）由题可知2log n n b a n ==所以n T ()1122n n n +=+++=()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n 所以11111122121223111n n H n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 19．(1)有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关(2)① 4；②见解析【分析】（1）列出列联表 计算出2K 然后判断.（2）①利用概率的乘法公式计算；②分析X 的取值后 由概率的加法公式和乘法公式计算 得到分布列 然后计算期望.【详解】（1）由题意可得则()22100353015201009.091 6.6355050455511K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关. （2）①由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为9121211212123m m 解得20m =或4 因为012m <≤ 所以4m =.②由题X 的所有可能取值为0 1 2 33441012121236P X； 94438471212121212121236P X； 9843884221212121212129P X ； ()133P X == 其分布列为所以数学期望()174125012336369312E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【分析】利用反证法 根据两条直线交点的个数 可判断其位置关系；【详解】直线,a b 的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由//αβ 直线,a b 分别在平面α β内可知直线,a b 没有公共点．因为若,a b 有公共点 那么这个点也是平面α β的公共点这与是平面α β平行矛盾．因此直线,a b 不相交 它们是平行直线或异面直线．21．(1)π2(2)()+∞【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由12AB AC ⋅<推得0c << 再由221a c +=设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭ 将11a c +转化为sin cossin cos θθθθ+ 再引入(sin cos ,t t θθ=+∈ 得(2112,1t t a c t +=∈- 最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b += 所以ABC 为直角三角形所以π2B =（2）221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< 所以0c < 而221a c += 所以设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=令(πsin cos ,4t t θθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭又因为22(sin cos )12sin cos t θθθθ=+=+ 所以21sin cos 2t θθ-=所以(2112,1t t a c t +=∈-令(222,11t y t t t t ==∈-- 因为1t t -在(t ∈上单调递增 所以21y t t =-在(t ∈上单调递减所以21y >=所以11a c +的取值范围为()+∞. 22．(1)单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2)22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意 列出方程组求得()321f x x x x =+-+ 得到()2321f x x x '=+- 进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到()321g x x x x m =+-+- 结合条件列出不等式组 即得.（1）由题可得2()32f x x ax b '=++由题意得(1)22(1)324f a b f a b =++=⎧⎨=++='⎩ 解得1,1a b ==-所以322()1,()321f x x x x f x x x =+-+=+-'由()0f x '>得1x <-或13x > 由()0f x '<得113x -<< 所以()f x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； （2）因为322()()1,()()321g x f x m x x x m g x f x x x =-=+-+='-=+-'由（1）可知 ()g x 在=1x -处取得极大值 在13x =处取得极小值()g x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 依题意 要使()g x 有三个零点，则(1)0103g g ->⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩ 即()1201220327g m g m ⎧-=->⎪⎨⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22227m << 经检验 (2)10,(2)110g m g m -=-<=+> 根据零点存在定理 可以确定函数有三个零点所以m 的取值范围为22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
山东省13市高三3月模拟数学理试题分类汇编：复数、推理与证明含答案.doc
山东省13市2016届高三3月模拟数学理试题分类汇编复数、推理与证明一、复数1、（滨州市2026高三3月模拟）若复数Z =（2_" （/•为虚数单位），则2 =I（A ） 25 （B ） >/41 （C ） 5 （D ） V52、 （德州市2016高三3月模拟）已知复数z 满足za = l + Z （Z 是虚数单位）,则复数z 的共辘 复数在复平面内所对应的点的坐标为 A 、（1,1）B 、（-1, -1）C 、（1, -1）D 、（-1,1）2 3、 （荷泽市2016高三3月模拟）复数z 二 一（i 是虚数单位）的共觇复数在复平面内对1 + i应的点是（ ）A. （1.1）B. （1,-1）C. （-1,1）D. （-1-1）复数z 为纯虚数，若（3 — i ）・z = d + i （i 为虚数单位），则 实数G 的值为 A. — B. 3 C. —D.—333tn + ni6、（青岛市2016高三3月模拟）已知i 是虚数单位，+ = 则~•m- ni的共辘复数为 ______ ;7、 （日照市2016高三3月模拟）己知复数z 满足Z ・i = 2 — i,i 为虚数单位，则z 的共轨复数78、（泰安市2016高三3月模拟）已知可=2『+让2=1-2<；若」为实数，则实数t 的值 Z 2 为4、（济宁市2016高三3月模拟）A.第一彖限B.第二象限 已知i 为虚数单位，则"占在复平面内对应的点位于C.第三象限D.第四象限 5、（临沂市2016高二3月模拟） z 为 A. -1-2/ B. 1 + 2/ C. 2-1D. —1 + 2,A.1C ，4$ ■9、（潍坊市2016高三3月模拟）设i 是虚数单位，若复数d +」一（QW /?）是纯虚数，则Q 二1-2/B. —1 D.z -10、（烟台市2016高三3月模拟）复数z 满足—— =i （i 为虚数单位），则2 = z-i A. 1 + i B. 1-i C.上乜 D. 上^学科网2 2 11> （枣庄市2016高三3月模拟）已知,为虚数单位，则Z 20,6=（） A. 1B. -1C ・ iD. -z（5-z V12、 （淄瞎市2016高三3月模拟）i 是虚数单位，复数 — 表示的点在 A.第一彖限B.第二象限C.第三象限D.第四象限r\ Q •13、 （济南市2016高三3月模拟）已知复数z = 二上（i 为虚数单位），则z 在复平面内对1 + z应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案： I 、 C 2、A 3、A 4、B 5、A 6、i 7、D 8、D 9、D 10、DII 、 A 12、 C 13、【答案】C【解析】考查复数的相关知识。
高三数学模拟考试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在区间[1, 2]上的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z在复平面内的几何意义是：A. 实部为0B. 虚部为0C. 到原点的距离为2D. 到x轴的距离为23. 下列各式中，正确的是：A. sin^2x + cos^2x = 1B. tan^2x + 1 = sec^2xC. cot^2x + 1 = csc^2xD. sin^2x + cot^2x = 14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S5 = 21，则首项a1为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象开口向上，且与x轴的两个交点分别为(-1, 0)和(3, 0)，则a、b、c的关系是：A. a + b + c = 0B. a - b + c = 0C. -a + b + c = 0D. -a - b + c = 06. 若平面α上的直线l与平面β所成的角为θ，平面α与平面β所成的角为β，则下列关系式中正确的是：A. θ = βB. θ + β = 90°C. θ = 90° - βD. θ = 90° + β7. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列关系式中正确的是：A. a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosAB. b^2 = a^2 + c^2 - 2accosBC. c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosCD. a^2 = b^2 + c^2 + 2bccosA8. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递减的是：A. y = 2^xB. y = log2xC. y = x^2D. y = x^39. 已知向量a = (2, -1)，向量b = (-3, 2)，则向量a·b的值为：A. 5B. -5C. 0D. 710. 下列不等式中，正确的是：A. log2(3) > log2(2)B. log3(3) < log3(2)C. log2(2) < log2(3)D. log3(2) < log2(3)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的导数f'(x) = 0的解为x1、x2，则f(x)的极值点为______。
山东省16市2020届高三第一次模拟(4月)考试数学试题分类汇编：集合、常用逻辑用语、复数、平面向量
山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编集合一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡1.（2020·淄博·一模）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1，4，6}C．{2，5}D．{2，3，5}【答案】C【分析】根据题意求解集合A，B，再根据集合的及交集运算法则，即可求解.【解析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B的补集的交集即可．∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5}，则A∩（∁U B）＝{2，5}，故选：C．【名师点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.（2020·枣庄·一模）1.已知集合A={x|y=lg(x+1)}，B={y|y=−2x,x∈R}，则A∪B=（）A. (−1,0)B. (−1,+∞)C. RD. (−∞,0)【答案】C【分析】求出对数型复合函数的定义域得集合A，结合指数函数的值域求得集合B，再根据并集概念求得交集．【解析】由题意A={x|x+1>0}={x|x>−1}=(−1,+∞)，B={y|y<0}=(−∞,0)，∴A∪B=R．故选：C．【名师点睛】本题考查集合的并集运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键．3.（2020·潍坊·一模）1.设集合A={2,4}，B={x∈N|x−3≤0}，则A∪B=（）1,2,3,4 B. {0,1,2,3,4} C. {2} D. {x|x≤4}A. {}【答案】B【分析】求解集合B中的不等式，用列举法表示集合B，再根据并集的定义求出A∪B即可.【解析】由集合B ={x ∈N|x −3≤0}，化简可得{}0,1,2,3B =， 由A ={2,4}， ∴A ∪B ={0,1,2,3,4}. 故选：B.【名师点睛】本题考查了集合的不同表示方法，考查了并集的定义及其运算，考查了转化能力，属于基础题.4. （2020·威海·一模）1.已知集合A ={x|x =5n +1,n ∈N}，B ={6,9,11,18}，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 4个 B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【分析】根据描述法可知集合A 中元素，利用交集计算即可. 【解析】因为A ={x|x =5n +1,n ∈N}， 所以A 中元素为被5除余1的自然数， 所以A ∩B ={6,11}，元素有2个， 故选：C【名师点睛】本题主要考查了集合描述法，集合的交集运算，属于容易题.5. （2020·泰安·一模）1.已知全集U =R ，集合M ={x|−3<x <1}，N ={x||x|⩽1}，则阴影部分表示的集合是（ ）A. [−1,1]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−1,+∞)D. (3,1)--【答案】D【分析】先求出集合N 的补集∁U N ，再求出集合M 与∁U N 的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【解析】由U =R ，N ={x||x|⩽1}，可得∁U N ={x |x <−1或x >1}， 又M ={x|−3<x <1}所以M ∩∁U N ={x |−3<x <−1}. 故选：D.【名师点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 6. （2020·青岛·一模）2. 已知集合A ={x ∈R|log2x<2}，集合B ={x ∈R||x −1|<2}，则A ∩B =（ ） A. (0,3) B. (−1,3)C. (0,4)D. (,3)-∞【答案】A【分析】先求出集合A ，集合B ，由此能求出A ∩B ． 【解析】∵集合2{|log 2}{|04}A x R x x x =∈<=<<， 集合{||1|2}{|13}B x R x x x =∈-<=-<<， ∴A ∩B ={x|0<x <3}=(0,3)． 故选：A ．【名师点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7. （2020·临沂·一模）1.已知集合A ={x ∈Z|x 2<2}，B ={x|2x >1}，则A ∩B =（ ） A. {1} B. {1,2}C. {0,1}D. {−1,0,1}【答案】A【分析】计算A ={−1,0,1}，B ={x |x >0}，再计算交集得到答案.【解析】A ={x ∈Z|x 2<2}={−1,0,1}，B ={x |2x ⟩1}={x |x >0}，故A ∩B ={1}. 故选：A .【名师点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.8. （2020·聊城·一模）1.已知集合{}*|4,{|(2)0}A x x B x x x =∈<=-N ，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】根据题意，求出集合B ，利用集合的交运算求解即可. 【解析】根据题意，集合B ={x |0≤x ≤2}，因集合A ={x ∈N ∗|x<4}，由集合的交运算可得，A ∩B ={1,2}， 所以集合A ∩B 中元素的个数为2. 故选：2【名师点睛】本题考查集合的交运算；考查运算求解能力；属于基础题.9. （2020·济宁·一模）1.已知集合A ={x|x 2−x −2>0}，集合B ={x|y =√x −2}，则A ∩B =( ) A. 2,+∞) B. (2,+∞)C. 1,+∞)D. (1,+∞)【答案】B【分析】根据题意求解集合A ，B ，再根据集合的及交集运算法则，即可求解. 【解析】由题意，得A ={x|x <−1或x >2}B ={x|x −2≥0}={x|x ≥2}所以A ∩B =(2,+∞) 故选：B【名师点睛】本题考查集合交集运算，属于基础题.10. （2020·济南·一模）1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>x}，则∁U A =（ ） A. [0,1] B. (0,1)C. −∞,1D. (−∞,1)【答案】A 分析】先化简集合A ，再求∁U A 得解.【解析】由题得A ＝{x |x >1或x <0}， 所以∁U A =[0,1]. 故选：A 【名师点睛】本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 11. （2020·菏泽·一模）2.若集合A ={x|y =√1−x}，2{|20}B x x x =--≤，则A ∩B =（ ）．A. [−1,1]B. −1,2]C. [1,2]D. (−1,1]【答案】A【分析】化简集合A,B ，按照交集定义，即可求解 【解析】易知A ={x|y =√1−x}={x|x ≤1}，{|12}B x x =-≤≤，所以A ∩B ={x|−1≤x ≤1}． 故选：A ．【名师点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.12. （2020·东营一中·一模）1.已知集合A ={x|14≤2x ≤4}，B ={y|y =lg x ,x >110}，则A ∩B =（ ）A. [−2,2]B. (1,)+∞C. −1,2D. −∞,−1∪(2,+∞)【答案】C【.【分析】先解得不等式14≤2x≤4及x>110时函数y=lg x的值域,再根据交集的定义求解即可.【解析】由题,不等式14≤2x≤4,解得−2≤x≤2,即A={x|−2≤x≤2}；因为函数y=lg x单调递增,且x>110,所以y>−1,即B={y|y>−1},则A∩B=−1,2,故选:C【名师点睛】本题考查集合的交集运算,考查解指数不等式,考查对数函数的值域.13.（2020·德州·一模）1.设集合A={x|1≤2x≤√2}，B={x|ln x≤0}，则A∩B=（）A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 0,12) C. 0,12D. [0,12]【答案】C【分析】计算A={x|0≤x≤12}，B={x|0<x≤1}，再计算交集得到答案【解析】A={x|1≤2x≤√2}={x|0≤x≤12}，B={x|ln x≤0}={x|0<x≤1}，故A∩B=0,12.故选：C.【名师点睛】本题考查了交集计算，意在考查学生的计算能力.14.（2020·烟台·一模）1．已知集合M＝{x|y＝ln（x+1）}，N＝{y|y＝e x}，则M∩N＝A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．R【答案】C【分析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．【解析】：∵M＝{x|x＞﹣1}，N＝{y|y＞0}，∴M∩N＝（0，+∞）．故选：C．【名师点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，指数函数的值域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．15.（2020·日照·一模）2. 已知集合M={x|x2−2x<0}，N={−2,−1,0,1,2}，则M N =（）．A. ∅B. {1}C. {0,1}D. {−1,0,1}【答案】B【分析】首先求出集合M，然后再利用集合的交运算即可求解. .【解析】由集合M ={x |x 2−2x <0}={x |0<x <2}，N ={−2,−1,0,1,2}， 所以M N {1}.故选：B【名师点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编常用逻辑用语一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡ 16. （2020·淄博·一模）3．设z =1−i1+i +2i ，则|z |＝（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．√2【答案】C【分析】 利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模． z =1−i 1+i +2i =(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)+2i ＝﹣i +2i ＝i ， 则|z |＝1． 故选：C ．【名师点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力． 17. （2020·枣庄·一模）3.“cos θ<0”是“θ为第二或第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出cos θ<0时θ的范围后，再根据充分必要条件的概念判断．【解析】cos θ<0时，θ是第二或第三象限角或终边在x 轴负半轴，因此题中就是必要不充分条件． 故选：B ．【名师点睛】本题考查充分必要条件，掌握充要条件和必要条件的定义是解题基础． 18. （2020·潍坊·一模）4.“a <1”是“∀x >0，x 2+1x≥a ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据基本不等式的性质可得充分性成立，根据特殊值判断不是必要条件，即可得解. 【解析】∀x >0，x 2+1x=x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号.若a<1时，则∀x>0，x2+1x≥2>1>a，因此“a<1”是“∀x>0，x2+1x≥a”的充分条件；若∀x>0，x2+1x ≥a，则a≤(x2+1x)min，即a≤2，推不出“a<1”，因此“a<1”不是“∀x>0，x2+1x≥a”的必要条件.故“a<1”是“∀x>0，x2+1x≥a”的充分不必要条件.故选：A.【名师点睛】本题考查了充分性与必要性的判断与应用，考查了基本不等式的应用，属于基础题.19.（2020·泰安·一模）4.已知函数f(x)=log a(|x−2|−a)(a>0，且a≠1)，则“f(x)在(3,+∞)上是单调函数”是“0<a<1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先求出复合函数f(x)在(3,+∞)上是单调函数的充要条件，再看其和0<a<1的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.【解析】f(x)=log a(|x−2|−a)(a>0，且a≠1)，由|x−2|−a>0得x<2−a或x>2+a，即f(x)的定义域为{x|x<2−a或x>2+a}，（a>0,且a≠1）令t=|x−2|−a，其在(−∞,2−a)单调递减，(2+a,+∞)单调递增，f(x)在(3,+∞)上是单调函数，其充要条件为{2+a≤3 a>0a≠1即0<a<1.故选：C.【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.20.（2020·临沂·一模）3.若a∈R，则“|a|>1”是“a3>1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】依次判断充分性和必要性，取a=−2得到不充分，得到答案.【解析】当|a|>1时，取a=−2，则a3=−8<1，故不充分；当a3>1时，根据幂函数y=x3的单调性得到a>1，故|a|>1，必要性成立.故选：B .【名师点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.21. （2020·聊城·一模）3.“a <2”是“∀x ∈R,a ≤x 2+1为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用恒成立问题求参数的取值范围的方法求出a 的取值范围，再由充分必要条件的定义进行判断即可.【解析】因为∀x ∈R,a ≤x 2+1为真命题，又x 2+1≥1对∀x ∈R 恒成立， 所以∀x ∈R,a ≤x 2+1为真命题等价于a ≤1，所以“a <2”不能推出“a ≤1”，反之，“a ≤1”能推出“a <2”， 所以“a <2”是“∀x ∈R,a ≤x 2+1为真命题”的必要不充分条件. 故选：B【名师点睛】本题考查利用恒成立问题求参数的取值范围和充分必要条件；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握恒成立问题求参数的取值范围的方法和充分必要条件的判断是求解本题的关键；属于中档题.22. （2020·济宁·一模）3.“0x y >>”是“ln (x +1)>ln (y +1)”成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意，由对数函数的单调性，解对数不等式，结合对数函数定义域，判断充分性和必要性. 【解析】因为对数函数y =ln x 是增函数，定义域为(0，+∞)因为0x y >>，所以x +1>y +1>1，即ln (x +1)>ln (y +1)，所以充分性成立； 因为ln (x +1)>ln (y +1)，所以x +1>y +1>0，即x >y >−1，所以必要性不成立， 所以0x y >>是ln (x +1)>ln (y +1)的充分不必要条件， 故选：A【名师点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.23. （2020·菏泽·一模）3.2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）．A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要的定义，即可得出结论.【解析】表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，或者只是普通感冒等；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、干咳浑身乏力等外部表征．因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件．故选：A．【名师点睛】本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题.24.（2020·东营一中·一模）3.“a<2”是“∀x>0,a≤x+1x”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若∀x>0,a≤x+1x ,则a≤(x+1x)min,利用均值定理可得(x+1x)min,则a≤2,进而判断命题之间的关系.【解析】若∀x>0,a≤x+1x ,则a≤(x+1x)min,因为x+1x ≥2,当且仅当x=1x时等号成立,所以a≤2,因为{a|a<2}⊆{a|a≤2},所以“a<2”是“∀x>0,a≤x+1x”的充分不必要条件,故选:A【名师点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查利用均值定理求最值.25.（2020·烟台·一模）3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+2x﹣3＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解析】：解不等式|x﹣2|＜1，得1＜x＜3；解不等式x2+2x﹣3＞0，得x＜﹣3或x＞1．设集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜﹣3或x＞1}．充分性：因为A⊂B，故充分性成立；必要性：当x＜﹣3或x＞1时，1＜x＜3不一定成立，故必要性不成立；综上“|x﹣2|＜1”是“x2+2x﹣3＞0”的充分不必要条件．故选：A．【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对不等式的正确求解是解决本题的关键．二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求｡全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分｡26.（2020·威海·一模）9.若a，b为正实数，则a b>的充要条件为（）A. 11a b> B. ln a>ln b C. a ln a<b ln b D. a−b<e a−e b【答案】BD【分析】根据充要条件的定义，寻求所给不等式的等价条件，满足与a b>等价的即可.【解析】因为1a >1b⇔b>a，故A选项错误；因为a，b为正实数，所以ln a>ln b⇔a>b，故B选项正确；取a=e2>b=e，则e2ln e2=2e2，e ln e=e，即a ln a<b ln b不成立，故C选项错误；因为y′=(e x−x)′=e x−1，当x>0时，y′>0，所以y=e x−x在(0,)x∈+∞上单调递增，即a>b⇔e a−a>e b−b⇔a−b<e a−e b，故D正确.故选：BD【名师点睛】本题主要考查了充要条件，不等式的性质，函数的单调性，属于中档题.三、填空题：27.（2020·菏泽·一模）13.命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________．【答案】存在一个无理数，它的平方不是有理数【分析】根据全称命题的否定形式，即可求解结论.【解析】存在一个无理数，它的平方不是有理数，全称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”． 故答案为：存在一个无理数，它的平方不是有理数【名师点睛】本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题.山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编复数一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡28. （2020·枣庄·一模）2.已知i 是虚数单位，i −1是关于x 的方程x 2+px +q =0(p,q ∈R)的一个根，则p +q =（ ） A. 4 B. −4 C. 2 D. 2-【答案】A【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出p,q ， 【解析】∵i −1是关于x 的方程x 2+px +q =0(p,q ∈R)的一个根，∴方程的另一根为1i --， ∴−1+i +(−1−i)=−p ，p =2，q =(−1+i)(−1−i)=2，∴4p q +=． 故选：A ．【名师点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出现，它们是共轭复数．29. （2020·威海·一模）2.已知复数z 满足(z +2)(1+i)=2i ，则z̄=（ ） A. 1i -+ B. 1i -- C. 1i - D. 1+i【答案】B【分析】根据复数的运算法则计算z ，即可写出共轭复数. 【解析】因为(z +2)(1+i)=2i ，所以z =2i1+i −2=2i(1−i)(1+i)(1−i)−2=i(1−i)−2=−1+i ， 故z =−1−i ， 故选：B【名师点睛】本题主要考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于容易题.30. （2020·泰安·一模）2.已知复数2−ai i=1−bi ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a +bi |=（ ）A. −1+2iB. 1C. 5D. √5【答案】D【解析】由2−ai i=1−bi 得2−ai =i (1−bi )=b +i,∴a =−1,b =2 则a +bi =−1+2i,∴|a +bi |=|−1+2i |=√(−1)2+22=√5，故选D.【名师点睛】考点：1、复数的运算；2、复数的模. 31. （2020·青岛·一模）1. 已知i 是虚数单位，复数z =1−2i i，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ）A. i -B. 1C. iD. −1【答案】B【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出． 【解析】12(12)2i i i z i i i i---===---，则z 的共轭复数z =−2+i 的虚部为1． 故选：B ．【名师点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．32. （2020·临沂·一模）2.已知复数1z ，z 2在复平面内对应的点分别为(1,−1)，()0,1，则z 1z 2的共轭复数为（ ） A. 1+i B. 1i -+ C. 1i -- D. 1i -【答案】B【分析】根据题意z 1=1−i ，z 2=i ，z =z1z 2=−1−i ，再计算共轭复数得到答案.【解析】复数1z ，z 2在复平面内对应的点分别为(1,−1)，()0,1，故z 1=1−i ，z 2=i ， z =z 1z 2=1−i i=−i (1−i )−i =−1−i ，故z =−1+i .故选：B .【名师点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 33. （2020·聊城·一模）2.已知复数z 满足(1+2i )z =|3+4i |，则复数z 的共轭复数为（ ） A. 1−2i B. −1−2i C. −1+2i D. 1+2i【答案】D【分析】利用复数的模的定义和复数的四则运算求出复数z ，再由共轭复数的定义进行求解即可. 【解析】因为|3+4i |=√32+42=5， 所以z =|3+4i |(1+2i )=5(1−2i )(1−2i )(1+2i )=1−2i ， 由共轭复数的定义可知，z =1+2i . 故选：D【名师点睛】本题考查复数的模和复数的四则运算及共轭复数的定义；考查运算求解能力；熟练掌握复数的四则运算和共轭复数的定义是求解本题的关键；属于基础题.34.（2020·济宁·一模）2.已知复数z在复平面上对应的点为(−1,1)，则 ( )A. z+1是实数B. z+1是纯虚数C. z+i是实数D. z+i是纯虚数【答案】B【分析】由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案.【解析】由题意，z=−1+i则z+1=i，为纯虚数，故A错误，B正确；z+i=−1+2i，故C,D错误，故选：B【名师点睛】本题考查复数的分类判断，属于基础题.35.（2020·济南·一模）2.设复数z=2i1+i（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A试题分析：，对应的点为，在第一象限，故答案为A.考点：复数的四则运算及几何意义.36.（2020·菏泽·一模）1.已知i是虚数单位，则1i⋅(1+i)=（）．A. iB. i-C. 1i-D. 1+i【答案】C【分析】根据复数的除法运算法则，即可求解.【解析】1i ⋅(1+i)=1i+1=1−i.故选：C．【名师点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.37.（2020·东营一中·一模）2.设i是虚数单位，若复数a+5i2+i(a∈R)是纯虚数，则a的值为（）A. −3B. 3C. 1D. −1【答案】D【分析】整理复数为b +ci 的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【解析】由题,a +5i2+i =a +5i (2−i )(2+i )(2−i )=a +2i +1=(a +1)+2i , 因为纯虚数,所以a +1=0,则a =−1, 故选:D【名师点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.38. （2020·德州·一模）2.已知复数z 满足z (1+2i )=4+3i （i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】A【分析】化简得到z =2−i ，故z =2+i ，得到答案. 【解析】z (1+2i )=4+3i ，则z =4+3i1+2i =(4+3i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=10−5i 5=2−i ，故z =2+i ，对应的点在第一象限. 故选：A .【名师点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力.39. （2020·日照·一模）1. 已知复数z 满足z (1+2i )=i ，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【解析】由(12)z i i +=，得(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i -===+++-，所以z =25−15i∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(25,−15)，在第四象限．故选：D ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 40. （2020·烟台·一模）2．若复数z 满足（1+i ）z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1﹣i B ．1+iC ．2﹣2iD ．2+2i【答案】D【分析】通过化简求出z ，从而求出z 的共轭复数即可．【解析】∵（1+i ）z ＝2i ， ∴z =2i 1+i=i （1﹣i ）＝1+i ，则z =1﹣i ， 故选：A ．【名师点睛】本题考查了复数的运算，考查复数的化简求值，是一道基础题．三、填空题：（2020·潍坊·一模）13.已知复数a−i 2+i是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为_________.【答案】12【分析】利用复数的代数形式的乘除运算进行化简，根据纯虚数的定义，由实部等于0，虚部不等于0，列式求解即可.【解析】∵复数a−i2+i 是纯虚数，且a−i2+i =(a−i )(2−i )(2+i )(2−i )=2a−15+−2−a 5i ，{2a−15=0−2−a5≠0，解得a =12.故答案为：12.【名师点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算以及复数基本概念，属于基础题.山东省16市2020届高三第一次模拟（4月）考试数学试题分类汇编平面向量一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡41. （2020·淄博·一模）5．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →•BC →的值为（ ） A ．−58B ．14C ．18D ．118【答案】C【分析】 由题意画出图形，把AF →、BC →都用BA →、BC →表示，然后代入数量积公式得答案． 【解析】如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE ＝2EF ，∴AF →•BC →=(AD →+DF →)⋅BC →=(−12BA →+32DE →)⋅BC →=(−12BA →+34AC →)⋅BC →=(−12BA →+34BC →−34BA →)⋅BC →=(−54BA →+34BC →)⋅BC →=−54BA →⋅BC →+34BC →2=−54|BA →|⋅|BC →|cos60°+34×12=−54×1×1×12+34=18． 故选：C ．【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．42. （2020·潍坊·一模）3.在平面直角坐标系xOy 中，点P(√3,1)，将向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ） A. (−√2,1) B. (−1,√2) C. (−√3,1) D. (−1,√3)【答案】D【分析】化P(√3,1)为P (2cos π6,2sin π6)，然后利用两角和的正弦与余弦公式，求得点Q 坐标，即可得解. 【解析】由P(√3,1)，得P (2cos π6,2sin π6)， ∵将向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴Q (2cos (π6+π2),2sin (π6+π2))，又cos (π6+π2)=−sin π6=−12，sin (π6+π2)=cos π6=√32，∴Q(−1,√3). 故选：D.【名师点睛】本题考查了平面向量中的应用问题以及坐标与图形变换的关系，考查了三角函数的定义，属于基础题.43. （2020·泰安·一模）6.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =mAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =（ ）A. 1B. 32C. 2D. 3【答案】C【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再将其用AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和m2+n2=1，即可求出m +n 的值. 【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m 2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n2AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵M 、O 、N 三点共线， ∴m 2+n2=1，2m n ∴+=.故选：C.【名师点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.44. （2020·临沂·一模）4.已知向量a →,b →,c →，其中a →与b →是相反向量，且a →+c →=b →，a →−c →=(3,−3)，则a →⋅b →=（ ） A. √2 B. −√2C. 2D. 2-【答案】D【分析】设a=(x,y )，则b ⃗ =(−x,−y )，计算得到x =1，y =−1，再计算数量积得到答案. 【解析】设a =(x,y )，则b ⃗ =(−x,−y )，a +c =b ⃗ ，故c =(−2x,−2y )， a −c =(3x,3y )=(3,−3)，故x =1，y =−1，a ⋅b⃗ =(1,−1)⋅(−1,1)=−2故选：D.【名师点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.45.（2020·济南·一模）3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，√3≈1.732）A. 63B. 69C. 75D. 81【答案】B【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重|G|=|F′|利用余弦定理即可求出|F′|得解.【解析】如图，设该学生的体重为G则G=F′.)=3×4002,∴|F′|=400√3.由余弦定理得|F′|2=4002+4002−2×400×400×cos(2π3所以|G|=400√3≈69kg.故选：B【名师点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.46.（2020·菏泽·一模）4.已知向量a，b⃗满足a=(1,2)，a+b⃗=(1+m,1)，若a//b⃗，则m=（）．A. 2B. 2C. 12D. −12【答案】D【分析】根据已知求出b⃗ 的坐标，再由共线向量的坐标关系，即可求解. 【解析】b ⃗ =(a +b ⃗ )−a =(1+m,1)−(1,2)=(m,−1)． 因为a ∥b ⃗ ，所以2m +1=0，解得m =−12． 故选：D ．【名师点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题.47. （2020·烟台·一模）5．设ABCD 为平行四边形，|AB|→=4，|AD|→=6，∠BAD =π3，若点M ，N 满足BM →=MC →，AN →=2ND →，则NM →⋅AM →=（ ） A ．23B ．17C ．15D ．9【答案】B【分析】根据向量的三角形法则结合已知条件，把所求问题转化即可求解．【解析】如图：∵ABCD 为平行四边形，|AB|→=4，|AD|→=6，∠BAD =π3，若点M ，N 满足BM →=MC →，AN →=2ND →， 则NM →⋅AM →＝（NA →+AB →+BM →）•（AB →+BM →） ＝（−23AD →+AB →+12AD →）•（AB →+12AD →）＝（−16AD →+AB →））•（AB →+12AD →）=AB →2+13AB →⋅AD →−112AD →2＝42+13×4×6×cos60°−112×62＝17． 故选：B ．【名师点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求｡全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分｡48. （2020·青岛·一模）9. 已知向量a +b ⃗ =(1,1)，a −b ⃗ =(−3,1)，c =(1,1)，设a ,b⃗ 的夹角为θ，则（ ） A. |a |=|b ⃗ | B. a⊥c C. b ⃗ //cD. θ=135°【答案】BD 分析】根据题意，求出a ,b⃗ 的坐标，据此分析选项，综合即可得答案． 【解析】根据题意，a +b ⃗ =(1,1)，a −b ⃗ =(−3,1)，则a =(−1,1)，b ⃗ =(2,0)， 依次分析选项：对于A ，2a ||=，|b ⃗ |=2，则|a |=|b ⃗ |不成立，A 错误； 对于B ，a=(−1,1)，c =(1,1)，则a c =0，即a ⊥c ，B 正确； 对于C ，b ⃗ =(2,0)，c =(1,1)，b ⃗ //c 不成立，C 错误；对于D ，a =(−1,1)，b ⃗ =(2,0)，则a b⃗ =−2，2a ||=，|b ⃗ |=2，则cos θ==，则θ=135°，D 正确； 故选：BD ．【名师点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．49. （2020·德州·一模）12.如图，已知点E 是▱ABCD 的边AB 的中点，F n (n ∈N ∗)为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于G n ，点G n (n ∈N ∗)满足G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a n+1⋅G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2(2a n +3)⋅G n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中数列{a n }是首项为1的正项数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A. a 3=13B. 数列{a n +3}是等比数列C. 43n a n =-D. 122n n S n +=--【答案】AB【分析】化简得到G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1−2a n −3)⋅G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(2a n +3)⋅G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据共线得到a n+1−2a n −3=0，即a n+1+3=2(a n +3)，计算a n =2n+1−3，依次判断每个选项得到答案.【【解析】G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a n+1⋅G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2(2a n +3)⋅12(G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 故G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1−2a n −3)⋅G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(2a n +3)⋅G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故a n+1−2a n −3=0， 即a n+1+3=2(a n +3)，a 1=1，故a n +3=4×2n−1，故a n =2n+1−3. a 3=24−3=13，A 正确；数列{a n +3}是等比数列，B 正确； a n =2n+1−3，C 错误；S n =41−2n 1−2−3n =2n+2−3n −4，故D 错误.故选：AB .【名师点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.三、填空题：50. （2020·枣庄·一模）14.在平行四边形ABCD 中，3AB ，AD =2，点M 满足DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点N 满足CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =_________． 【答案】0 分析】把向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 都用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，再进行数量积运算即得．【解析】∵DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12×(49×32−22)=0． 故答案为：0．【名师点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，其它向量都用基底表示，然后再进行运算．51. （2020·威海·一模）13.已知a →，b →为单位向量，c →=2a →−b →，且<a →,b →>=π3，则⟨a →,c →⟩=________．【答案】π6【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.【解析】因为cos⟨a →,c →⟩=a →⋅c→|a→|⋅|c →|=a →(2a →−b →)|2a →−b →|=→2→→√(2a −b )2=2−cosπ3√4+1−4cos 3=√32，又0≤⟨a →,c →⟩≤π， 所以⟨a →,c →⟩=π6， 故答案为：π6【【名师点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档题. 52. （2020·聊城·一模）15.已知a =(cosα,sin α),b⃗ =(sin β,cos β)，且α+β=100°，则向量a 与b ⃗ 的夹角θ=___ 【答案】10°【分析】利用平面向量数量积的坐标表示和模的坐标表示求出a ⋅b ⃗ ,|a |,|b ⃗ |，代入夹角公式求解即可. 【解析】因为a =(cosα,sin α),b ⃗ =(sin β,cos β)， 所以a ⋅b ⃗ =cos αsin β+sin αcos β=sin (α+β)， |a |=√cos 2α+sin 2α=1,|b ⃗ |=√sin 2β+cos 2β=1， 由平面向量的夹角公式可得， cos θ=a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |⋅|b ⃗ |=sin (α+β)1×1=sin (α+β)，因为α+β=100°，所以cos θ=sin (α+β)=sin 100∘=sin (90∘+10∘)=cos 10∘， 所以向量a 与b ⃗ 的夹角为10∘. 故答案为：10∘【名师点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示和模的坐标表示及其夹角公式、两角和的正弦公式及三角函数的诱导公式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；属于中档题.53. （2020·济宁·一模）14.如图，在边长为2的菱形ABCD 中∠BAD =60∘，E 为CD 中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 、【答案】1 【解析】将表示为，然后利用向量的运算法则及数量积的定义即可求解．在菱形ABCD 中，∠BAD =60∘，所以三角形ABD 是正三角形，从而∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD BD ⋅+DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗故答案为1．【名师点睛】考点：平面向量的数量积．54. （2020·济南·一模）15.已知e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是夹角为π3的单位向量，若|ae 1⃗⃗⃗ +be 2⃗⃗⃗ |=√3(a,b ∈R)，则a +b 的最大值为_________． 【答案】2【分析】先化简为(a +b)2−3=ab ，再解不等式(a +b)2−3=ab ≤(a+b)24得解.【解析】由题得a 2+b 2+2ab ×12=3,∴(a +b)2−ab =3,∴(a +b)2−3=ab ， 所以(a +b)2−3=ab ≤(a+b)24,∴(a +b)2≤4,∴a +b ≤2.(当且仅当a =b =1时取等) 所以a +b 的最大值为2. 故答案为：2【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.55. （2020·菏泽·一模）15.已知直线Ax +By +C =0（其中A 2+B 2=C 2，C ≠0）与圆x 2+y 2=6交于点M ，N ，O 是坐标原点，则|MN |=__________，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =__________． 【答案】 (1). 2√5 (2). −10【分析】先求出圆心O 到直线Ax +By +C =0的距离，再由相交弦长公式，求出|MN |；设M,N 的中点为D ，则有OD ⊥MN ，利用OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据数量积的运算律，即可求解. 【解析】由A 2+B 2=C 2，C ≠0可知，圆心到直线Ax +By +C =0的距离d =√A 2+B 2=1， |MN|=2√|OM|2−d 2=2√6−1=2√5． 设M,N 的中点为D ，则OD ⊥MN ， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−10. 故答案为：2√5；−10.【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积运算，熟记圆的弦长公式以及几何性质是解题关键，考查计算求解能力，属于中档题.56.（2020·东营一中·一模）13.已知向量a⃑=(2,m)，b⃗⃑=(1,−2)，且a⃑⊥b⃗⃑，则实数m的值是________．【答案】1【分析】根据a⊥b⃗即可得出a⋅b⃗=2−2m=0，从而求出m的值．【解析】∵a⊥b⃗；∴a⋅b⃗=2−2m=0；∴m＝1．故答案为：1．【名师点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．57.（2020·日照·一模）13. 已知向量m⃗⃗ =(a,−1)，n⃗=(−1,3)，若m n⊥，则a=__________．【答案】−3【分析】根据向量垂直坐标表示，即可求解.【解析】因为m n⊥，所以−a−3=0，即a=−3.故答案为：−3．【名师点睛】本题考查向量坐标运算，属于基础题.。
山东省实验中学高考复数专题及答案百度文库
一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 2．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）A ．12BCD ．23．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ）A B ．1 C ．2 D ．3 4．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．已知复数31i z i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 6．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④z z ，其结果一定是实数的是（ ）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③9．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i --D ．1i - 10．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i 12．复数22(1)1i i -+=-（ ） A ．1+i B ．-1+i C ．1-i D ．-1-i13．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5BC ．2D 14．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 15．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（ ）A ．15BCD ．5二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =18．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =19．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =20．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 21．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．z 可能为实数 C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12-23．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ） A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =24．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限25．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限26．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>27．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 28．对于复数(,)z a bi ab R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数B ．若32a bi i -=+，则3,2a b ==C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z - 29．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模 30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】.故选：C解析：C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-. 故选：C2．B【分析】先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解.【详解】由于，则.故选：B解析：B【分析】 先利用复数的除法运算将1=-i z i 化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】 由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+，则||z === 故选：B3．A【分析】利用复数的模长公式结合可求得的值.【详解】，由已知条件可得，解得.故选：A.解析：A【分析】利用复数的模长公式结合0a >可求得a 的值.【详解】0a >，由已知条件可得12ai +==，解得a =故选：A.4．A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i∵复数Z 的实部2＞0，虚解析：A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i∵复数Z 的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，是解答本题的关键．5．B【分析】化简复数，可得，结合选项得出答案．【详解】则，的虚部为故选：B解析：B【分析】化简复数z ，可得z ，结合选项得出答案．【详解】()311==11i i z i i i i i--=-=+- 则1z i =-，z 的虚部为1-故选：B6．D【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限.故选：D解析：D【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点【详解】 因为211i z i i ==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限. 故选：D7．C【分析】求出，即可得出，求出虚部.【详解】，，其虚部是1.故选：C.解析：C【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部.【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1. 故选：C. 8．D【分析】设，则，利用复数的运算判断.【详解】设，则，故，，，.故选：D.解析：D【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abi z a bi a b+-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.9．A【分析】由得出，再由复数的四则运算求解即可.【详解】由题意得，则.故选：A解析：A【分析】由()1,1-得出1i z =-+，再由复数的四则运算求解即可.【详解】由题意得1i z =-+，则1i 1i i 111i 1i i i 1z z -----+==⋅==-++-. 故选：A 10．B【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数，由得，所以，解得，因为时，不能满足，舍去；故，所以，其对应的解析：B【分析】先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为31x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故31x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以z i =+，其对应的点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限， 故选：B.11．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【详解】由，得，，则的虚部是1．故选：．解析：B【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求．【详解】由(12)43i z i +=+， 得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i i z i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+， 则z 的虚部是1．故选：B ．12．C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】解：故选：C解析：C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】 解：22(1)1i i-+- ()()()()2211211i i i i i +=-++-+ 12i i =+-1i =-故选：C13．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 14．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】由已知(1)(1)(1)(1)i iz ii i--==-+-，222z i i+=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.15．B【分析】利用复数除法运算求得，再求得.【详解】依题意，所以.故选：B解析：B【分析】利用复数除法运算求得z，再求得z.【详解】依题意()()()12221 121212555i ii iz ii i i-+====+ ++-，所以z==故选：B二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解. 【详解】因为复数，所以z的虚部为1，，故AC错误，BD正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.18．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 19．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.20．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.21．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.22．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.23．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.25．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.26．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．27．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围28．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题． 29．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
山东省高三数学 各地市最新模拟试题精品分类汇编 专题01 集合 理(教师版)
一、选择题1. (山东省济南市2013年1月高三上学期期末理1)设全集U R =，集合2{|230}M x x x =+-≤，{|14}N x x =-≤≤，则MN 等于A ．{|14}x x ≤≤B ．}31|{≤≤-x xC ．{|34}x x -≤≤D ．{|11}x x -≤≤2．(山东省德州市2013年1月高三上学期期末校际联考理1)已知全集U={l ，2，3，4，5，6}，集合A={l ，2．4：6}，集合B={l ，3，5}，则UA B （ ）A ．{l,2,3,4,5,6}B ．{1，2,4,6}C ．{2,4,6}D ．{2,3,4,5,6}3．(山东省淄博市2013届高三上学期期末理1)全集U=R ，集合{}02|2≥+=x x x A ，则[U A= A ．[]0,2-B ．()0,2-C ．(][)+∞⋃-∞-,02,D ．[]2,04. (山东省烟台市2013年1月高三上学期期末理1)设集合}{}{{}20,1,2,3,4,5,1,2,540,U A B x Z x x ===∈-+＜则()U C A B ⋃A.｛0,1,2,3,｝B.｛5｝C.｛1,2,4｝D.{0,4,5}5.（山东省青岛一中2013届高三1月调研理）设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M N N =成立的a 的值是A ．1B ．0C ．－1D ．1或－16.（山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理）设全集()()2,{|21},{|ln1}x xU R A x B x y x-==<==-，则右图中阴影部分表示的集合为（）A．{|1}x x≥ B．{|12}x x≤<C．{|01}x x<≤ D．{|1}x x≤7.（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理）设集合P={1，2，3，4}，集合Q={3，4，5} ，全集U=R，则集合RP QA. {1，2}B. {3，4}C. {1}D. {-2，-1，0，1，2}8.（山东省诸城市2013届高三12月月考理）设非空集合A，B满足A⊆B，则A．ox∃∈A，使得x o∈B B．x∀∈A,有 x∈BC．ox∃∈B，使得x o∉A D．x∀∈B,有x∈A【答案】B【解析】根据集合关系的定义可知选B.9．（山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考理）集合{x xyRyA,lg=∈=＞U}{}2,1,1,2,1--=B 则下列结论正确的是A.{}1,2--=⋂B AB.()()0,∞-=⋃B A C RC.()+∞=⋃,0B AD.(){}1,2--=⋂B A C R10．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理）已知函数()()lg 1f x x =-的定义域为M ，函数1y x=的定义域为N ，则M N = A. {}10x x x <≠且 B . {}10x x x ≤≠且 C. {}1x x > D. {}1x x ≤11．（山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 理）已知全集U R =，集合{0A x =＜2x ＜}1，{3log B x x =＞}0，则()U A C B ⋂=A.{x x ＞}1B.{x x ＞}0C.{0x ＜x ＜}1D.{x x ＜}012.（山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考理）设集合}31|{},23|{≤<-∈=<<-∈=n N n B m Z m A ，则=⋂B AA.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}13.(山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理)全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4,4,5U M N ===，则()U C M N ⋃等于A.{}1,3,5B.{}2,4,6C.{}1,5D.{}1,614.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理)设}{}2,1{2a N M ==，，则”“1=a 是”“M N ⊆的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件15.(山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理)已知全集U R =，集合{}{}()3021,log 0,x U A x B x x A C B =<<=>⋂=则A.{}1x x >B.{}0x x >C.{}01x x <<D.{}0xx <16.(山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试理)设全集{}N x x x x Q ∈≤-=,052|2，且Q P ⊆，则满足条件的集合P 的个数是A.3B.4C.7D.817.(山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理)若全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A ->则=( )A ．1(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．1[0,][1,)2+∞ D ．1(,][1,)2-∞+∞【答案】D【解析】121{|log (21)0}{0211}{1}2x x x x xx ->=<-<=<<,所以1{1}2RA x x x =≥≤或，即1(,][1,)2RA =-∞+∞，选D.18.(山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试理)已知集合m A B A mx x B A 则且,},1|{},1,1{===-= 的值为 （ ）A ．1或－1或0B ．－1C ．1或－1D ．019.(山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理)设2{|1,},{|2,}x P y y x x Q y y x ==-+∈==∈R R ，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆20.(山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理)已知全集R U =，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()UA B ⋂=A.()()+∞⋃∞-,53,B.(]()+∞⋃∞-,53,C.(][)+∞⋃∞-,53,D.()[)+∞⋃∞-,53,21.(山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试理科)设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5},B={2,5},则A ∩(C U B)等于（ ）A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3}22.(山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考理)已知全集R U =，集合11{20},{2}4x A x x B x -=-≤<=<，则）（）（=⋂B A C RA.),1[)2,(+∞-⋃--∞B.),1(]2,(+∞-⋃--∞C.),(+∞-∞D. ),2(+∞-二、解答题：23.(山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理)(本小题满分12分) 已知二次函数2()f x ax x =+，若对任意12,x x R ∈，恒有12122()()()2x x f f x f x +≤+成立，不等式()0f x <的解集为A(Ⅰ)求集合A ；(Ⅱ)设集合{}4,B x x a =+<，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围24.(山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考理）（本小题满分12分）已知集合}032|{)},(0)1(|{2≤--=∈<--=x x x N R a a x x x M ，若N N M =⋃，求实数a 的取值范围.25.(山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理)（本小题满分12分）已知集合A 为函数()()()lg 1lg 1f x x x =+--的定义域，集合{}22120B x a ax x =---≥.（I ）若112A B xx ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，求a 的值； （II ）求证2a ≥是A B φ⋂=的充分不必要条件. 【解析】26.(山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测理17）已知全集U=R ，非空集合{23x A xx -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0. （1）当12a =时，求()U C B A ⋂；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围. 【解析】27.(山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考理17）（12分）已知{}{}m x x S x x x P ≤-=≤--=1,02082（1）若P S P ⊆⋃，求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得“P x ∈”是“S x ∈”的充要条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】。
山东省13市2021届高三最新考试数学文试题分类汇编_复数与推理 全国通用 Word版含答案
山东省13市2021届高三最||新考试数学文试题分类汇编复数与推理 3一、复数1、 (滨州市2021届高三上期末 )假设复数421i z i -=+ (为虚数单位 ) ,那么z = ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．102、 (德州市2021届高三第|一次模拟考试 )212z i i =++ ,那么复数5z +的实部与虚部的和为 ( )A ．10B ．10-C ．D ．5-3、 (菏泽市2021年 (高|考 )一模 )假设复数z 满足：z +2i = (i 为虚数单位 ) ,那么|z |等于 ( )A ．B ．3C ．5D ．4、 (济宁市2021届高三第|一次模拟 (3月 ) )复数满足(32)43i z i -=+ (为虚数单位 ) ,那么复数在复平面内对应的点位于 ( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、 (聊城市2021届高三上期末 )为虚数单位 ,复数满足(1)z i i += ,那么z = ( )A ．1i +B ．1i -C ．1122i +D ．1122i - 6、 (临沂市2021届高三2月份教学质量检测 (一模 ) )i 为虚数单位 ,那么复数11z i =-在复平面内对应的点位于(A )第|一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限7、 (青岛市2021年高三统一质量检测 )是的共轭复数 ,假设1i z =+ (是虚数单位 ) ,那么2z= A. 1i - B. 1i + C.i 1-+ D. i 1--8、 (日照市2021届高三下学期第|一次模拟 )复数()3bi z b R i-=∈的实部和虚部相等 ,那么z =(A) (B) (C) 22 (D) 329、 (泰安市2021届高三第|一轮复习质量检测 (一模 ) )复数z 满足2z i i ⋅=-(i 为虚数单位) ,那么z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10、 (潍坊市2021届高三下学期第|一次模拟 )复数z 满足(1－i )z =i ,那么复数在复平面内的对应点位于A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11、 (烟台市2021届高三3月 (高|考 )诊断性测试 (一模 ) )复数37i z i +=的实部与虚局部别为 ( )A ．7,3-B ．7,3i -C ．7,3-D ．7,3i -12、 (枣庄市2021届高三下学期第|一次模拟考试 )假设复数z 满足11i z i -=+ (i 为虚数单位) ,那么=zA ．21B ．1C ．2D ．213、 (淄博市2021届高三3月模拟考试 )11x yi i=-+ ,其中,x y 是实数 ,是虚数单位 ,那么x yi +的共轭复数为 ( ).A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -参考答案1、D2、C3、A4、A5、D6、B7、B 8、D 9、C 10、C 11、A 12、B13、B二、推理1、 (德州市2021届高三第|一次模拟考试 )观察以下各式：1a b += ,223a b += ,334a b += ,447a b += ,… ,那么1010a b += ．2、 (菏泽市2021年 (高|考 )一模 )a 1 = ‘a 2 = (1﹣a 1 ) =；a 3 = (1﹣a 1﹣a 2 ) =；a 4 = (1﹣a 1﹣a 2﹣a 3 ) =； …照此规律 ,当n ∈N*时 ,a n =．3、 (济宁市2021届高三第|一次模拟 (3月 ) )0i a > (1i = ,2,3 ,… , ) ,观察以下不等式：122a a +≥1233a a a ++≥；12344a a a a +++≥ ……照此规律 ,当*n N ∈ (2n ≥ )时 ,12n a a a n +++≥… ．4、 (日照市2021届高三下学期第|一次模拟 )有以下各式：111113111111122323722315++>+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，， 那么按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：_______________ 5、 (泰安市2021届高三第|一轮复习质量检测 (一模 ) )观察以下等式：3211= ,332333233332123,1236,123410+=++=+++= ,…… ,根据上述规律 ,第n 个等式为 ▲ ．6、 (烟台市2021届高三3月 (高|考 )诊断性测试 (一模 ) )假设定义域为R 的函数()y f x = ,其图象是连续不断的 ,且存在常数λ (R λ∈ ) ,使得()()0f x f x λλ++=对任意实数都成立 ,那么称()f x 是一个 "λ-伴随函数〞 ,给出以下四个关于 "λ-伴随函数〞的命题：①()0f x =是常数函数中唯一一个 "λ-伴随函数〞；② ()1f x x =+是 "λ-伴随函数〞；③ ()2x f x = 是 "λ-伴随函数〞；④当0λ>时 , "λ-伴随函数〞 ()f x 在(0,)λ内至||少有一个零点 ,所有真命题的序号为 ．7、 (淄博市2021届高三3月模拟考试 )在研究函数()f x =的性质时 ,某同学受两点间距离公式启发 ,将()f x 变形为()f x =并给出关于函数()f x 以下五个描述： ①函数()f x 的图像是中|心对称图形；②函数()f x 的图像是轴对称图形；③函数()f x 在0,6]上使增函数；④函数()f x 没有最||大值也没有最||小值；⑤无论m 为何实数 ,关于的方程()0f x m -=都有实数根.其中描述正确的选项是 .参考答案1、1232、【解答】解：a 1 =；a 2 = (1﹣a 1 ) =；a 3 = (1﹣a 1﹣a 2 ) =；a 4 = (1﹣a 1﹣a 2﹣a 3 ) =； …照此规律 ,当n ∈N*时 ,a n =(1﹣a 1﹣a 2﹣…﹣a n ﹣1 ) = , 故答案为．3、12n n a a a …4、答案111111()23212n n n ++++++>∈-N ．解析：观察各式左边为1n的和的形式 ,项数分别为：3,7,15 ,故可猜想第个式子中应有121+-n 项 ,不等式右侧分别写成234,,222故猜想第个式子中应为12+n ,按此规律可猜想此类不等式的一般形式为： 111111()23212n n n ++++++>∈-N ． 5、6、③7、①③④.。
山东高三高中数学高考模拟带答案解析
山东高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．-14.已知的取值如图所示，且线性回归方程为，则（）yA． B． C． D．5.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（）A．84B．78C．81D．966.已知是两个不同的平面，是三条不同的直线，则下列条件中，是的充分条件的个数为（）①；②且；③；④且.A．2B．0C．3D．17.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．8.函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（）A．B．C．D．10.定义在上的可导函数，当时，恒成立，，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知等差数列中，，那么．2.在如下程序框图中，若任意输入的，那么输出的的取值范围是．3.已知，观察下列各式：…类比得：，则．4.已知关于的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数的值为．5.抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则．三、解答题1.在中，角所对的边分别为，满足.（1）求角；（2）求的取值范围.2.如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期去图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.（1）如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果，从学习次数大于8的学生中等可能地选2名同学，求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.3.如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面为等边三角形，分别是的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面.4.在等差数列中，，数列的前项和．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.5.已知椭圆，其右焦点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围.6.已知函数（为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的值.山东高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】集合可化为,则.故选D.【考点】集合的并集运算.2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】 ,则共轭复数为,在复平面内对应的点为,在第四象限,故本题选D.【考点】1.复数的代数运算；2.共轭复数；3.复数的几何意义.【学法建议】本题主要考查复数的代数运算,共轭复数的概论及复数的几何意义.难度较易.高考中对复数的考察难度较小.常见的运算,概念,性质,掌握即可.对于复数的加法,减法,乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数,即把分母实数化,注意要把的幂写成最简形式,另外还要注意的幂的性质,区分与.3.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．-1【答案】A【解析】，又,所以,又,那么.故本题选A．【考点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.4.已知的取值如图所示，且线性回归方程为，则（）234yA． B． C． D．【答案】D【解析】由表格可知,则样本中心点为,样本中心点满足线性回归方程,代入可得.故本题选D.【考点】线性回归方程.5.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（）A．84B．78C．81D．96【答案】B【解析】设高三人数为 ,由可得，分层抽样为按比例抽样则样本中的高三学生人数为.故本题选B.【考点】分层抽样．6.已知是两个不同的平面，是三条不同的直线，则下列条件中，是的充分条件的个数为（）①；②且；③；④且.A．2B．0C．3D．1【答案】A【解析】对于①，可能出现在平面内的情况,不是的充分条件；对于②，由平行的传递性,可推出.是的充分条件；对于③，由据线面平行的性质可得,,可理得,再由平行传递性得.是的充分条件；对于④，当,异面垂直时,可能不平行,故不是的充分条件.【考点】线线,线面,面面之间的位置关系的判定与性质．7.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．【答案】D【解析】根据指数型函数图象过定点可知,又点在直线上则可得,那么,又则.故本题选D.【考点】1.指数函数性质；2.基本不等式.8.函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】由函数图象可知,且,即 ,则 ,又函数图象过点 ,代入由可得,则函数为,向右平移可得.故本题选B.【考点】函数的性质.9.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题知两直线互相垂直,可得斜率积为,则, 又圆上两点关于直径对称即直线过圆心点,可得.故本题选A.【考点】1.两直线间的位置关系；2.直线与圆的位置关系,3.圆的性质.【规律点睛】本题主要考查两直线间的位置关系,直线与圆的位置关系,圆的性质及数形结合的数学思想方法.与圆有关的题型一般两种方法:代数法和几何法.代数法运算较为繁琐,多利用数形结合运用几何法.几何法求圆的方程或相关题目中,要根据图形的几何意义确定圆心和半径,此法用到初中有关圆的性质.如①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时,切点与两圆圆心三点共圆.10.定义在上的可导函数，当时，恒成立，，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】构造函数，当时，，即函数单调递增，则,同理,由,可知.故本题选A．【考点】函数的单调性与导数的关系．【方法点晴】本题主要考查函数的单调性与导数的关系.抽象函数比较大小有关题目的关键在于利用所给关系式构造出合适的函数,且判断出单调性.一般由两种变化而来.前都可得为增函数,后者可得为减函数.利用导数研究函数单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导；(3)求单调区间(证单调性),只需在函数的定义域内解(或证明)不等式；若与参数有关需转化为不等式恒成立问题.二、填空题1.已知等差数列中，，那么．【答案】【解析】由等差数列知,故 ,所以.故答案应填.【考点】1.等差数列的性质；2.特殊角的三角函数值.2.在如下程序框图中，若任意输入的，那么输出的的取值范围是．【答案】【解析】由程序框图当,由得,当时, ,由二次函数可知,那么输出的范围为.故答案应填.【考点】1.程序框图；2.二次函数的性质.3.已知，观察下列各式：…类比得：，则．【答案】【解析】本题由算术—几何均值不等式.改编而来.观察两式可知即为被分成部分的分母乘积,才可约去.观察知被分成项 ,乘积可得故答案应该填.【考点】合情推理．4.已知关于的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数的值为．【答案】【解析】满足不等式组的点的可行域大致如图.要构成封闭的图形,则或,而直线与直线的交点为,可知平面区域的面积,解得.故答案应该填.【考点】线性规划．【思路点晴】本题主要考查线性规划及数形结合的理解.能够做出可行域,准确理解直线过定点是本题的关键.利用数形结合的数学思想找出围成封闭区间时的的取值范围.再结合平面区域的面积可得值. 本题需注意变式题,将过定点的直线改为斜率已知,截距为的直线,思路与原题相同.5.抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则．【答案】【解析】试题分析:抛物线的准线方程为,设两点的纵坐标为,由双曲线方程可知,焦点到准线的距离为.由等边三角形的特征可知,即,可得.故答案应填.【考点】1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【思路点晴】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,双曲性的标准方程与几何性质.本题的关键是找出关于的方程.将抛物线的准线与双曲线结合,又转化为直线与双曲线的位置关系的问题. (对于直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系.常用到设而不求的数学思想方法,即假设直线与双曲线(圆锥曲线)的交点坐标,利用韦达定理,弦长公式来构造等式).再运用数形结合,利用等边三角形的牲征得出关于的方程.三、解答题1.在中，角所对的边分别为，满足.（1）求角；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理将原式化为关于的式子,可得,再由余弦定理得值,可得；(2)根据,结合正弦定理将转化为关于的三角函数形式,再根据角的范围求出结果.试题解析：解:（1），化简得：，所以，.（2），因为，，所以.故的取值范围是.【考点】1.正余弦定理；2.正弦型函数的性质.【思路点晴】本题主要考查正余弦定理和正弦型函数性质.正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据题目合理选用,有时还需要交替使用.求三角形一个内角的取值范围或者一个内角的正弦,余弦的取值范围要注意两个内容:①应用三角形的内角和定理；大边对大角,小边对小角；②已知条件中的范围限制要留意,如本题中.本题的难点在于(2),要能够将边的比转化为正弦型函数,就将边的比的范围转化成角的正弦值的取值范围,再结合三角形中角的范围可求出结果.2.如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期去图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.（1）如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果，从学习次数大于8的学生中等可能地选2名同学，求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)由茎叶图读出数据根据平均数与方差的计算公式可求；(2)若,则两组中去图书馆学习次数大于的各有人,共人.任选两人,由组合数可知,每组各选一个的话由乘法原理可知有,其中和大于的有种, 由古典概型可得所求概率. 可用列举法写出所有可能再进行计算.试题解析：解:（1）当时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习的次数是：7,8,9,12，所以平均数为，方差为.（2）记甲组3名同学分别以，他们去图书馆学习次数依次为9,12,11；乙组4名同学分别以，他们去图书馆学习次数依次为9，8,9,12，从学习次数大于8的学生中选2名同学，所有可能的结果有15种，它们是：，，，，，，用表示：“选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，其中的结果有5种，它们是：，故选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习次数和大于20的概率为.【考点】1.茎叶图；2平均值与方差；3古典概型.3.如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面为等边三角形，分别是的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)由中位线定理可知,再由线线平面可证线面平行；(2)由直三棱柱可得平面,由线面垂直到线线垂直可得,正三角形中,由线线垂直可得线面垂直,则平面,再由线面垂直得面面垂直.试题解析：（1）因为分别为的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面，所以.又因为为正三角形，为的中点，所以.又，所以平面.又平面平面.【考点】1.线线，线面平行的性质与判定；2.线线，线面，面面垂直的性质与判定.4.在等差数列中，，数列的前项和．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由条件结合等差数列的通项公式,可得关于方程组,解后可得等差数列的通项公式，由数列的前项和公式,据,可求得数列通项公式；(2)对于形式的数列,用裂项相消法求和,由通项公式可知,先求,再求时,由易得.试题解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，则，∴，∴，∴数列的前项和.当时，，当时，，对不成立，所以，数列的通项公式为.（2）时，，时，，所以，仍然适合上式，综上，.【考点】1.等差数列的通项公式；2.裂项相消法求数列的和.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,裂项相消法求数列的和.利用裂项相消法求和时,应该注意抵消后并一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项后面剩两项,而且有时需要调整前面的系数使裂开的两项之差和系数之积相等.常见的裂项公式有，，，.5.已知椭圆，其右焦点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围.【答案】（1）；(2) 或.【解析】（1）由焦点坐标得,再由离心率得,据可得,求得标准方程；(2)先设两点坐标,再将直线方程与椭圆方程联立,将直线方程代入消去,化简得关于的一元二次方程,方程组有解由可得范围,另由韦达定理可得,再结合直线方程可得进一步求得线段的中点坐标,中点不在圆内,可得关于的不等式,解得范围,与求得的范围求交集可得的取值范围.试题解析：（1）由题可知，，又，故，所以椭圆的标准方程为.（2）联立方程，消去整理得：，则，解得，设，则，，即的中点为，又的中点不在圆内，所以.解得：或，综上可知，或.【考点】1.椭圆的标准方程与性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.点与圆的位置关系；4.解不等式.6.已知函数（为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的值.【答案】（1）；(2).【解析】（1）对函数求导,由解出将定义域分成两部分,分析两部分的单调性,可得出函数的最小值；(2)若对任意的恒成立可转化为函数恒成立,由(1)得,构造关于的函数,由函数值大于等于,可求得实数.试题解析：（1）由题意，，由得，当时，；当时，.∴在单调递减，在单调递增，即在处取得极小值，且为最小值，其最小值为.（2）对任意的恒成立，即在上，，由（1），设，所以，由，得，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴在处取得极大值，，因此的解为，∴.【考点】1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数研究函数的极值；3.不等式的恒成立．。
山东省济宁实验中学高三数学复数测试题百度文库
一、复数选择题1．i =（ ）A ．i -B ．iC i -D i 2．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15- D ．15i -3．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 4．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．3i +D ．3i - 5．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知复数z 满足22z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ）A ．恒在实轴上B ．恒在虚轴上C ．恒在直线y x =上D ．恒在直线y x=-上7．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2 C ．10 D 8．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．复数2i i-的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ．3510．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --11．（ ）A ．i -B ．iC ．iD ．i -12．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i13．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -14．已知i 是虚数单位，设复数22i a bi i -+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．75 B ．75- C ．15 D ．15- 15．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BCD ．3二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=18．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 19．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -20．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 21．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i -22．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点 23．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 24．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限25．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限 26．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z27．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根28．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于129．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 30．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】.故选：B.解析：B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】()21i i i+==-. 故选：B. 2．A【分析】先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部.【详解】因为，所以其虚部是.故选：A.解析：A【分析】 先由复数的除法运算化简复数23i i-+，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】因为22(3)26133(3)(3)1055i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 故选：A.3．D【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵，，∴，，∴，，∴，故选：D.解析：D【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--，)()51711+=--+=-，∴))55121-+=--， 故选：D.4．C【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出.【详解】，故.故选：C.解析：C【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z .【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.5．B【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】 本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.6．A【分析】先由题意得到，然后分别计算和，再根据得到关于，的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数在复平面内对应的点为得，则，，根据得，得，.所以复数在复平面内对应的点恒在实轴上，故解析：A【分析】先由题意得到z x yi =+，然后分别计算2z 和2z ，再根据22z z =得到关于x ，y 的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数z 在复平面内对应的点为(),x y 得z x yi =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+， 根据22z z =得222220x y x y xy ⎧-=+⎨=⎩，得0y =，x ∈R . 所以复数z 在复平面内对应的点(),x y 恒在实轴上，故选：A ．7．D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为，所以，，所以，故选:D.解析：D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为1z i =+， 所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-==故选:D.8．C【分析】由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】由题意，，∴，对应点，在第三象限．故选：C ．解析：C 【分析】由复数的乘方与除法运算求得z ，得z 后可得其对应点的坐标，得出结论． 【详解】由题意2021(2)i z i i -==，(2)12122(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+，∴1255z i =--，对应点12(,)55--，在第三象限． 故选：C ． 9．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .10．A【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -．11．B【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果. 【详解】复数.故选：B解析：B【分析】首先3i i=-，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】3133i ii+====.故选：B12．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【详解】由，得，，则的虚部是1．故选：．解析：B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z，则答案可求．【详解】由(12)43i z i+=+，得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i iz ii i i++--====-++-，∴2z i=+，则z的虚部是1．故选：B．13．D【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.∴，故选：D解析：D【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z .【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+ ∴43z i =-，故选：D14．D【分析】先化简，求出的值即得解.【详解】，所以.故选：D解析：D【分析】 先化简345i a bi -+=，求出,a b 的值即得解. 【详解】 22(2)342(2)(2)5i i i a bi i i i ---+===++-， 所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D 15．C【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选：C.解析：C【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可.【详解】 据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.故选：C.二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD18．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 19．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.20．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.21．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 22．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.23．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.24．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.25．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.26．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 27．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 28．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 29．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 30．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题. 故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.。
山东省高考数学真题分类汇编复数
1（一）选择题1.（ 08山东卷2）设z 的共轭复数是z ，或z +z =4, z（D ） ± i 2 i2 i ,故选C.同乘以分母的 共轭复数，把分母变为实数，将 a 2i4、 （2010山东）（2）已知 b i a,b R ，其中i 为虚数单位，则 a b i■A. 1B. 1C. 2D. 3a+2i【解析】由a -2i =b+i 得a+2i=bi-1 ,所以由复数 相等的意义知a=-1,b=2 ,所以a+b=1,故选B.i【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基 本运算，属保分题。
5、（ 201 1山东2）复数z=乙」（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为2 iA .第一象限B .第二象限C .第三象限 D.第四象限答案：D 6、（201 2山东卷）若复数z 满足z （2答案：A 7. （2013山东（理））1.若复数z 满足（z 3）（2 i ） 8、（2013山东数学文）（1）、复数z ― （i 为虚数单位），则|z |i(A)25 (B) .41 (C)5 (D) .5答案：C复数(A)3+5i (B)3 — 5i (C) — 3+5i (D) — 3 —5i(A) 2 i (B) 答案：1 . D2 i (C) 5 i (D) 5 iz = 8,则z 等于z (A ) 1 (B ) -i (C) ± 1 答案：D3 2.（2009山东卷）复数 1 i 等于（i ).A. 1 2iB.12i C. 2 i D. 【解析】： 3 i (3 i)(1 i) 3 2i i 2 4 2i1 i (1 i)(1 i) 1 i2 2 【命题立意】 :本题考查复数的除法运算，分子、 分母需要除法转变为乘 法进行运算. i ） 11 7i（i 为虚5 （ i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为。
山东高三高中数学高考模拟带答案解析
山东高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，且，则集合可能是（）A．B．C．D．2.已知为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.传承传统文化再掀热潮，在刚刚过去的新春假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，下面的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（）A．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的中位数大于乙的中位数C．甲的方差大于乙的方差D．甲的平均数等于乙的中位数4.已知命题；命题，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．5.已知是奇函数，当时，，设，则（）A．B．C．D．6.若函数为偶函数，则（）A．的最小正周期为，且在上为增函数B．的最小正周期为，且在上为增函数C．的最小正周期为，且在上为减函数D．的最小正周期为，且在上为减函数7.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8.在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）A．B．C．D．9.下列四个图象可能是函数的图象的是（）A．B．C．D．10.如图，已知以双曲线的右顶点为圆心作一个圆，该圆与其渐近线交于点，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知是第二象限角，，则__________．2.已知向量与满足，若，则与的夹角是__________．3.某程序框图如图所示，若运行程序后输出为__________．4.已知正数满足的最小值是__________．5.已知函数在上单调递减，且方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．三、解答题1.某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中的值和频率分布直方图中的值；（2）如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取人，再从人中选人，求这人成绩在的概率.2.在锐角中, 内角、、所对的边分别为、、且.（1）求；（2）若的外接圆半径为，求面积的最大值.3.已知数列的前项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.4.如图，在直角梯形中，平面.（1）若是的中点，求证: 平面平面；（2）若是的中点，求证: 平面.5.已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点, 点为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点,求的取值范围.6.已知函数，.（1）若直线与函数的图象相切，求的值；（2）设，对于，都有，求实数的取值范围.山东高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.若集合，且，则集合可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为若，故应选答案A。
山东高三高中数学高考模拟带答案解析
山东高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数（其中为虚数单位）的虚部等于（）A．B．C．D．2.已知集合，则（）A．B．C．D．或3.如果等差数列中，，那么( )A．14B．21C．28D．354.函数的定义域为( )A．(0，+∞)B．(1，+∞)C．(0，1)D．(0，1)(1，+)5.若实数x，y满足不等式组：则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A．3B．C．2D．6.设sin（）=，sin2=（）A. B. D. D.7.若直线与圆有公共点，则实数a取值范围是（）A．[－3，－1]B．[－1，3]C．[－3,l ]D．（－∞，－3] [1．+∞）8.已知、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出以下命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的序号是（）A．②④B．②③C．③④D．①③9.下图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是（）A．B．C．8D．1610.已知函数是R上的奇函数，若对于，都有，时，的值为（）A．B．C．1D．211.函数y＝e sin x(－π≤x≤π)的大致图象为()．12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是（）A．若a与b共线，则a⊙b =0B．a⊙b =b⊙aC．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2二、填空题1.执行如图的程序框图，那么输出的值是．2.已知抛物线的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为 .3.某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16,0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为4.观察下列等式：，，，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈，；三、解答题1.在中，边、、分别是角、、的对边，且满足.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求边，的值.2.在如图所示的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE.3.某市芙蓉社区为了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2013年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）.(Ⅰ)分别求出频率分布表中a、b的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率；(Ⅱ）设是月用水量为[0，2)的家庭代表.是月用水量为[2，4]的家庭代表.若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表至少有一人被选中的概率.4.已知等比数列的所有项均为正数，首项＝1，且成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列{}的前项和为，若＝，求实数的值.5.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为3. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设直线过定点，与椭圆交于两个不同的点，且满足．求直线的方程.6.已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．山东高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.复数（其中为虚数单位）的虚部等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于复数，故可知复数的虚部为-1，故答案为B.【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的运算，属于基础题。
山东高三高中数学高考模拟带答案解析
山东高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知复数满足，那么复数的虚部为A．1B．C．D．2.已知集合，，，，，则A．P=M B．Q=S C．S=T D．Q=M3.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率的分布表如下：则在所取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为A．40B．20C．30D．604.若：，，则A．：，B．：，C．：，D．：，5.如图所示，已知向量，，，，则下列等式中成立的是A．B．C．D．6.如图，若程序框图输出的S是254，则判断框①处应为A．B．C．D．7.在△ABC中角A，B，C的对边分别为，已知，且，，则△ABC 的面积为A．B．C．D．8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，为常数)，则函数的大致图象为9.箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是A．B．C．D．10.设O为坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点满足不等式组，则使取得最大值的点N有A．1个B．2个C．3个D．无数个11.若P是双曲线：和圆：的一个交点且，其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．312.已知函数，若存在正实数，使得方程在区间（2，+）上有两个根，其中，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.设，则曲线在点处的切线的斜率为__________.2.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为_______．3.的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系数为_______．4.设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，若直线与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围是__________.三、解答题1.已知函数．(1)求的最小正周期及其单调增区间：(2)当时，求的值域．2.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形，O为BD的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=．(1)当时，求证：AO⊥平面BCD；(2)当二面角的大小为时，求二面角的正切值．3.某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：日销售量(吨)11．52(2)若以频率为概率，且每天的销售量相互独立．①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1．5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2万元，X表示该种商品两天销售利润的和，求X的分布列和数学期望．4.已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列的第2项、第3项、第4项．(1)求数列、的通项公式；(2)设数列对任意的，均有成立，求．5.已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为，为椭圆C上一点，的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线，使得直线与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．6.已知函数，．(1)若，求函数的单调区间；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：．山东高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.已知复数满足，那么复数的虚部为A．1B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故虚部为，选B.【考点】复数的基本概念复数的乘除运算点评：本题考查复数的基本概念，复数的乘除运算，考查计算能力,是基础题.2.已知集合，，，，，则A．P=M B．Q=S C．S=T D．Q=M【答案】D【解析】因为,,,,所以.选D.【考点】集合的运算点评：本题考查集合的运算，解题的关键是能准确识别各集合的元素,属基础题.3.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率的分布表如下：则在所取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为A．40B．20C．30D．60【答案】B【解析】因为所抽个体的频率和为1，所以a+0.2+0.45+0.15+0.1=1，∴a=0.1，所以所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为：200×0.1=20．选B.【考点】频率分布表点评：本题考查分层抽样，频率的应用，考查计算能力.4.若：，，则A．：，B．：，C．：，D．：，【答案】A【解析】因为已知命题对任意，所以存在,使，故选A.【考点】命题的否定点评：本题考查对命题的否定，注意常见的否定词，属基础题．5.如图所示，已知向量，，，，则下列等式中成立的是A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以 .选B.【考点】向量的加减运算平面向量的基本定理点评：本题考查向量的运算，解题的核心是能寻找三角形，在三角形中进行向量的加减运算.6.如图，若程序框图输出的S是254，则判断框①处应为A．B．C．D．【答案】C【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254故①中应填n≤7, 故选C.【考点】程序框图．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7.在△ABC中角A，B，C的对边分别为，已知，且，，则△ABC 的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为,所以,所以=-,所以，所以面积.选A.【考点】余弦定理二倍角公式点评：本题考查利用余弦定理解三角形，解题的核心是先利用二倍角公式先求出8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，为常数)，则函数的大致图象为【答案】B【解析】根据奇函数的图象关于原点对称且f（0）=0可排除A、C，由f（x）=m+3x在[0，+∞）为增函数，可排除D，故选B．【考点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性．点评：本题主要考查了奇函数的图象关于原点对称性质的应用，属于基础试题.9.箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知首先做出摸一次中奖的概率，2=15种结果，从6个球中摸出2个，共有C6两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6）∴摸一次中奖的概率是，4个人摸奖．相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是,故选B.【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．点评：本题考点等可能事件的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖4次，相当于做了4次独立重复试验，利用公式做出结果．10.设O为坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点满足不等式组，则使取得最大值的点N有A．1个B．2个C．3个D．无数个【答案】D【解析】先根据约束条件画出可行域，则=（2，1）•（x，y）=2x+y，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距最大，由于直线z=2x+y与可行域边界：2x+y-12=0平行，当直线z=2x+y经过直线：2x+y-12=0上所有点时，z最大，最大为：12．则使得取得最大值时点N个数为无数个．故选D．【考点】简单的线性规划点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．11.若P是双曲线：和圆：的一个交点且，其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．3【答案】B【解析】由题意，,且，所以,,设，.选B.【考点】双曲线的应用点评：本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．12.已知函数，若存在正实数，使得方程在区间（2，+）上有两个根，其中，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，，且，又（因a, b不等所以不取等号），所以，所以，故选B.【考点】基本不等式方程的根点评：本题考查方程的根及基本不等式求最值，解题的关键是能根据已知条件求出，属难题.二、填空题1.设，则曲线在点处的切线的斜率为__________.【答案】【解析】,从而曲线的导数为，所以处的切线斜率为，故答案为：.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分．点评：本题考查定积分的计算，考查曲线的切线的斜率与导数的关系，做题时要牢记求导公式．2.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为_______．【答案】2【解析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2,故三棱锥的体积为2, 故答案为：2.【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．点评：本题考查三视图，几何体的体积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．3.的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系数为_______．【答案】961【解析】，令x=1,则，,，故项的系数为961.【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．点评：本题考查二项式定理的应用，考查赋值思想、求指定的项．属于基础题．4.设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，若直线与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围是__________.【答案】[.【解析】,∴函数的图象如上图所示：∵y=" k" x +k=k（x+1），故函数图象一定过（-1，0）点,若f（x）=kx+k有三个不同的根，则y=kx+k与y=f（x）的图象有三个交点当y=kx+k过（2，1）点时，k=当y="k" x+ k过（3，1）点时，k=故f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是[.【考点】函数的零点与方程根的关系．点评：本题考查的知识点是根据根的存在性及根的个数的判断，其中将方程的根转化为函数的零点，然后利用图象法结合数形结合的思想，分析函数图象交点与k的关系是解答本题的关键．三、解答题1.已知函数．(1)求的最小正周期及其单调增区间：(2)当时，求的值域．【答案】(1) (2) [1，3]【解析】．(1)函数的最小正周期．由正弦函数的性质知，当，即时，函数为单调增函数，所以函数的单调增区间为，．(2)因为，所以，所以，所以，所以的值域为[1，3]．【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．点评：本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的正弦函数以及性质，考查计算能力．2.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形，O为BD的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=．(1)当时，求证：AO⊥平面BCD；(2)当二面角的大小为时，求二面角的正切值．【答案】(1)先证 AO⊥CO, AO⊥BD (2)【解析】(1)根据题意知，在△AOC中，，，所以，所以AO⊥CO．因为AO是等腰直角E角形ABD的中线，所以AO⊥BD．又BD CO=O，所以AO⊥平面BCD．(2)法一由题易知，CO⊥OD．如图，以O为原点，OC、OD所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有O(0，0，0)，，，．设，则，．设平面ABD的法向量为，则即所以，令，则．所以．因为平面BCD的一个法向量为，且二面角的大小为，所以，即，整理得．因为，所以，解得，，所以，设平面ABC的法向量为，因为，，则即令，则，．所以．设二面角的平面角为，则．所以，即二面角的正切值为．法二在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO，所以∠AOC是二面角的平面角，即∠AOC=．如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H，因为BD⊥CO，BD⊥AO，且CO AO=O，所以BD⊥平面AOC．因为AH平面AOC，所以BD⊥AH．又CO⊥AH，且CO BD=O，所以AH⊥平面BCD．过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK．因为BC⊥AH，AK AH=A，所以BC⊥平面AHK．因为HK平面AHK，所以BC⊥HK，所以∠AKH为二面角的平面角．在△AOH中，∠AOH=，，则，，所以．在R t△CHK中，∠HCK=，所以．在 R t△AHK中，，所以二面角的正切值为．【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、直线与平面所成的角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．3.某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：(2)若以频率为概率，且每天的销售量相互独立．①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1．5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2万元，X表示该种商品两天销售利润的和，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)1.55 (2) ①② 6.2【解析】(1)日平均销售量为(吨)．(2)①日销售量为1．5吨的概率．设5天中该商品有Y天的销售量为1．5吨，则，所以．②X的所有可能取值为4，5，6，7，8．又日销售量为1吨的概率为，日销售量为2吨的概率为，则；；；；．所以X的分布列为数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列点评：本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力4.已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列的第2项、第3项、第4项．(1)求数列、的通项公式；(2)设数列对任意的，均有成立，求．【答案】(1), (2).【解析】(1)由已知得，，，所以，解得或．又因为，所以．所以．又，，所以等比数列的公比，所以．(2)由①，得当时，②，①-②，得当时，，所以2)．而时，，所以．所以．所以．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．点评：本题考查了等比数列的性质，以及等差数列和等比数列的通项公式的求法，对于复杂数列的前n项和求法我们一般先求出数列的通项公式，再依据数列的特点采取具体的方法．5.已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为，为椭圆C上一点，的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线，使得直线与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1) (2) 直线存在，且所求的直线的方程为或．【解析】(1)因为椭圆C的一个焦点为，所以，则椭圆C的方程为，因为，所以，解得．故点M的坐标为(1，4)．因为M(1，4)在椭圆上，所以，得，解得或（不合题意，舍去），则．所以椭圆C的方程为．(2)假设存在符合题意的直线与椭圆C相交于，两点，其方程为（因为直线OM的斜率，由消去，化简得．进而得到，．因为直线与椭圆C相交于A，B两点，所以，化简，得，解得．因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以，所以．又，，解得．由于，所以符合题意的直线存在，且所求的直线的方程为或．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键．6.已知函数，．(1)若，求函数的单调区间；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：．【答案】(1) 函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，(2) (3)构造函数证明.【解析】(1)当时，函数，则．当时，，当时，1，则函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，．(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．设，则，令，得．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值1，因而．(3)，．因为对任意的总存在，使得成立，所以，即，即．设，其中，则，因而在区间(0，1)上单调递增，，又．所以，即．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用点评：本题是中档题，考查函数的导数的应用，不等式的综合应用，考查计算能力，转化思想的应用．。
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山东省2013届高三最新理科模拟试题精选（17套）分类汇编16：复数
一、选择题
1 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）复数
11i
i
+-(i 是虚数单位)的共轭复数的虚部为 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】A 2 ．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）已知i 是虚数单位,若纯虚数z 满
足(2)42i z ai -=+,则实数a 的值为 （ ）
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
【答案】D
3 ．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知复数z 满足()i
i z -=+11(i 为虚数单位),则z 等于
（ ）
A ．i
B ．i -
C ．i -2
D ．i +2
【答案】B
4 ．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知复数11i
z i +=
-,则2121
i z +-的共轭复数是 （ ）
A ．1
2
i -
- B ．12
i -
+ C ．
12
i - D ．
12
i + 【答案】B
5 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word 版））复数3
1i z i
=+复平面内对应的点
位于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
6 ．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若复数z 满足
12i
i z
+=(i 为虚数单位),则z 的虚部为
（ ）
A ．2i
B ．2
C ．1
D ．1-
【答案】D
7 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）复数432i
z i
+=
-的共轭复数的虚部为( )
（ ）
A ．2-
B ．2i -
C ．2
D ．2i
【答案】A
8 ．（山东省莱芜市莱芜四中2013届高三4月月考数学试题）复数z=
i 11-+i
1i +,则z 等于 （ ） A ．i
B ．-i
C ．1+i
D ． 1-i
【答案】D
9 ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）复数11i
+在复平面上对应的点的
坐标是 （ ）
A ．)1,1(
B ．)1,1(-
C ．)1,1(--
D ．)1,1(-
【答案】D
10．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）若复数3i
()12i
a z a +=
∈+R 实部与虚部相等,则a 的值等于
（ ）
A ．-1
B ．3
C ．-9
D ．9
【答案】A
11．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）设i z -=1(i 为虚数单位),则=+
z
z 2
2
（ ）
A ．i --1
B ．i +-1
C ．i +1
D ．i -1
【答案】D
12．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）复数
12i
i
+-表示复平面内的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
13．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）若复数
i
i
a 213-+(i R a ,∈为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为
（ ）
A ．2-
B ．4
C ．6-
D ．6
【答案】D
14．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））复数
1+i
4+3i
的虚部是 （ ）
A ．
1i 25
B ．
125
C ．125
-
D ．1i 25
-
【答案】【答案】B
【解析】i i i i i i i i 25
1
251251)34)(34()34)((1(341+=+=-+-+=++,所以虚部为251,选
B ．
15．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）复数
17i
i
+的共轭复数是a+bi(a,b ∈R),i 是虚数单位,则ab 的值是
（ ）
A ．-7
B ．-6
C ．7
D ．6
【答案】C
16．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）若复数12i
1i
z +=
+,则z 在复平面上对应的点在
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
17．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设i 为虚数单位,则复数
3412i
i
-++=
（ ）
A ．-1 +2i
B ．1+2i
C ．-1-2i
D ．1-2i
【答案】B。