利用极坐标计算二重积分
高等数学：第三讲 极坐标系下二重积分的计算
解：画出积分区域，极点 在区域 D 的外部 区域 D可表示为
D {(r, ) | 2 r 3, 0 2 }
因此Biblioteka ex2y2dxdy 2d
3 er2 rdr
D
0
2
y
2 r 3
4 x2 y2 9
O
x
0 2
例2
2 0
[
1 2
er2
] |32
d
2 ( 1 e9 1 e4 )d
D
o
i1 i
i
r ri1 r ri
x
极坐标系下计算二重积分
再由直角坐标与极坐标的关系
x r cos , y r sin
可得
D f ( x, y)dxdy D f ( x, y)d D f (r cos , r sin )rdrd
D
o
i1
i
r
ri 1
i
r ri
x
极坐标系下计算二重积分
因此
O
x
x2 y2dxdy
d
2sin
r rdr
D
0
0
例3
0
[
1 3
r
3
]
|2sin
0
d
8 sin3 d
30
32 9
y
x2 y2 2y
2 sin
•
0
O
x
谢谢
此时
D f (r cos , r sin )rdrd
r ( )
= d 0 f (r cos , r sin )rdr
r r( )
D
o x
例1
计算
D1
1 x2
二重积分的计算法2
D
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. 2. ( x 2 y 2 )d 其中 D 是由直线
D
y x , y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域. 3. R2 x 2 y 2 d ,其中 D 是由圆周
D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域. 2 2 2 2 4. , 其中 D : x y 3. x y 2 d
三、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r 2 上一段
弧( 0 )与直线 所围成,它的面密度为 2 2
( x , y ) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
四、 计算以 xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为底， 而以曲面 z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积.
D1
(1 x y )
R
D1
(1 r )
r 2 1 (1 R ) 1 d d r 2 1 0 (1 r ) 0
I lim I ( R) lim
R
2 1 (1 R ) R 1
2
, 当 1 1 1 当 1 ,
d e r rdr
2
2 0
a
a x
0
D
2
0
1 r2 a ( e ) 0 d 2
2
0
1 a2 a2 (1 e )d (1 e ). 2
通常当积分区域的边界由圆弧、射线组成且被积函数 y 含有x y ， 等形式时，用极坐标计算较为简单. x
2 2
例 2 计算 ( x 2 y 2 )dxdy，其 D 为由圆 x 2 y 2 2 y ，
利用极坐标系计算二重积分
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
用极坐标计算二重积分
D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x
D1
(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2
( x 2 y 2 4)dxdy
3
0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2
2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2
作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv
2
例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1
a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.
利用极坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分二重积分可以用极坐标系来计算。
极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，其中点的位置由距离原点的距离和与正x轴的夹角表示。
极坐标与直角坐标系之间的转换关系如下：x = r * cosθy = r * sinθ其中，x和y是直角坐标系下的坐标，r是点到原点的距离，θ是点与正x轴的夹角。
对于二重积分∬f(x, y)dA，在极坐标下可以表示为∬g(r,θ)rdrdθ，其中，g(r, θ)是将f(x, y)用极坐标来表示。
下面我们将详细介绍如何利用极坐标系计算二重积分。
首先，将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
具体来说，我们将x和y替换为r和θ，然后利用极坐标与直角坐标的转换关系，将f(x,y)表示为g(r,θ)。
这个转换过程需要根据具体的被积函数进行分析和计算。
接下来，我们需要确定积分区域。
在极坐标系下，积分区域可以用极坐标表示。
通常情况下，我们将极坐标的范围确定为r的区间[a,b]和θ的区间[α,β]，其中a、b、α和β都是常数。
这样，二重积分就变成了在确定的极坐标区域上的积分。
然后，我们将二重积分∬f(x, y)dA 转换为极坐标下的二重积分∬g(r, θ)rdrdθ。
这个过程需要用到雅可比行列式的公式，即 dA = r dr dθ。
最后，我们按照以下步骤来计算极坐标下的二重积分：1.确定极坐标的范围[a,b]和[α,β]。
2.将被积函数f(x,y)转换为极坐标形式g(r,θ)。
3. 利用雅可比行列式的公式，将二重积分∬f(x, y)dA 转换为∬g(r, θ)rdrdθ。
4.根据极坐标下的积分区域，确定积分范围。
5.将极坐标下的二重积分分解成两个单重积分，先对θ进行积分，再对r进行积分。
6.依次进行积分计算，最后得到结果。
需要注意的是，在进行计算时，要注意被积函数的连续性和积分区域的对称性，以便简化计算。
综上所述，利用极坐标系计算二重积分的步骤包括确定被积函数的极坐标形式、确定积分区域、转换为极坐标下的二重积分、分解为两个单重积分、依次进行积分计算。
二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分知识讲解
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2
x1
x(u
h,
v)
x(u,
v)
x u
(u, v)
h
o(
)
x4 x1 同理得 y2 y1
x(u,v k)
y u
(u,
)r
d
O
r
0
D
x
(iv) 若区域 D 可表示为
2(r) r r2
D : 1(r) 2(r), r1 r r2,
f (r cos , r sin )r d r d r r1
D
O
r1 r d r 2(r) f (r cos , r sin )d
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin
r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
x y
xy e x y dxdy
e
u v
1
dudv
1
1
dv
u v
e v du
D
D
2
20
v
1 2
u
1 0
(ve
v
)
|vv
dv
1 2
1 v(e - e1 )dv
在极坐标系下计算二重积分
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
o
A
D
f
(x,
y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D
2d 2r2dr
0
2
0
r3
(
3
)
|2
d
2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy
D
1 1x2 y2
dxdy
2
2d
0
1r 0 1r2 dr
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式
极坐标系是一种曲面积分的特殊形式，也就是在极坐标系中求解二重积分。
极坐标系由一个极轴和一个极角组成，极轴表示离极点距离，极角表示极轴和x轴之间的夹角。
在极坐标系中，求二重积分就是求解沿极角方向极轴上离极点的距离，以及沿极轴方向极角夹角上离极点的距离之间的关系。
二、极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分的公式是：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =f(ρcosθ,sinθ)ρdρdθ
其中，ρ是极轴，θ是极角，f(ρ,θ)表示由极坐标系决定的被积函数，ρdρdθ表示极坐标系下的元素。
三、求二重积分的过程
（1）设定极坐标系中的被积函数f(ρ,θ)：
f(ρ,θ)=ρ^2sin^2θ
（2）根据极坐标求二重积分公式，求解二重积分：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =∫ρ2sin2θρdρdθ
=∫ρ3sin2θdρdθ
（3）确定积分的边界：
ρ的上下限分别为ρ1，ρ2；θ的上下限分别为θ1，θ2。
（4）求解二重积分：
∫∫ρ3sin2θdρdθ=ρ2[-cos2θ]ρ2ρ1dθ= -1/2∫(ρ
2^2-ρ1^2)cos2θdθ
= 1/4(ρ2^2-ρ1^2)[sin2θ2-sin2θ1]
四、总结
极坐标求二重积分公式是一种将曲面积分表示成在极坐标系中求解二重积分的方法。
求解时，首先设定被积函数，然后使用极坐标求二重积分公式，最后确定积分的边界，从而求解出结果。
极坐标求二重积分公式可以求解不同类型的曲面积分，是一项重要的数学解题方法。
二重积分在极坐标下的计算法
S
14
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
S
e d 又
(x2 y2 )
S
从而 ( 1 eR 2 )
4
( 1 e2R 2 )
4
令R ,则 ( 1 eR 2 ) , ( 1 e2R 2 ) .
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有
用的广义积分——Possion积分.
e x2 dx .
0
2
12
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) . e x2 dx .
x2 y2 a2
0
2
解 记 I ex2 dx ,则 0
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
1 2
er2
)
a 0
(1 ea2 ) . 11
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) .
15二重积分计算(极坐标与换元法)
二、利用极坐标计算二重积分 1.公式: 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
y
k k
k
k (k 1, 2,
, n)
o
r rk
k
x
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
2 2 1 k 1 ( r r ) r k k 2 k 2 k k
dxdy
sin r 4 d rdr 4 0 1 r
2
2018年5月16日星期三
9
高等数学（下）主讲杨益民
例 12 求曲线 ( x y ) 2a ( x y ) 和 x 2 y 2 a 2
2 2 2 2 2 2
所围成的图形的面积。
解： 根据对称性有 D 4 D1
x r cos 解: 在极坐标系下 y r sin
所以圆方程为 r 1,
x2 y2 1
1 直线方程为 r , sin cos
x y 1
f ( x, y )dxdy
D
2018年5月16日星期三
2
0
d
1
1 sin cos
解：D : 0 r 2 a cos , 0 由对称性可知
2
x2 y2 z 2 4 a2
V 4
D
4 a 2 r 2 r d r d
x2 y2 2 a x z 0
2018年5月16日星期三
7
高等数学（下）主讲杨益民
例 10 计算
D
o
d
0
2018年5月16日星期三
极坐标系下的二重积分计算
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2, , n)
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
rk
2
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
前页 后页 返回
例 5 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
例7. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
2
z
由对称性可知
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
2 acos 0
4a2 r2 rdr
2a
x
32 a3( 2 )
3 23
前页 后页 返回
设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
r 2 ( )
D
f (r cos , r sin )r d r d
D
d
2 ( )
二重积分极坐标计算公式
二重积分极坐标计算公式
极坐标系，又称径向直角坐标系或极坐标直角坐标系，是它以极点作为坐标原点，以极轴为坐标轴的坐标系统，常用来表示圆周上的点?；〔?。
一般记为极坐标系（Ｒ，θ），其中Ｒ表示点到极点的线段的长度，而θ表示该线段与正x轴的夹角。
二重积分极坐标计算公式是指通过极坐标系计算二维图形的解
析积分公式。
以极坐标的形式表示边界上的函数，可以将复杂的二维积分问题转换为一元积分，从而计算出数值解。
一般而言，在极坐标系中，二重积分极坐标计算公式可以表示为：∫∫F(x,y)dxdy=∫∫f(ρ,θ)ρdρdθ
其中，F(x,y)为原函数，ρ = x2 + y2，f(ρ,θ) = F(x,y)。
以上表示的是由F(x,y)表示的函数f(ρ,θ)在极坐标系中的二
重积分计算公式。
它表明，在计算二维函数积分时，可以把复杂的函数积分表示为在极坐标系中的一维函数积分，从而求解出二维图形的数值解。
极坐标计算公式是有效的高效算法，在数学和计算机科学等领域有广泛的应用。
在计算复杂的多维函数时，极坐标计算公式可以大大减少计算的复杂性，提高计算的运行效率。
此外，极坐标计算公式还可用于解决多维空间中的各种物理问题，如爆炸波在多维空间内的传播特性，电磁场中电压场和力场的表示，以及气动力学问题中流体动量守恒方程的求解等等。
总之，极坐标计算公式是一种非常有用的计算方式，它的应用既
可以减少计算的复杂性，又可以解决多维空间中的各种物理问题。
二重积分在极坐标系下的计算
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然 D1 ⊂ S ⊂ D2
因为 e
所以
− x2 − y2
> 0,
− x2 − y2
∫∫ e D
1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
− x2 − y2
dxdy .
又因为 I = ∫∫ e
S
R
− x2 − y2
d xd y
R − y2
计算方法——化为二次积分 化为二次积分 计算方法
D : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β
其中ρ1 (θ ), ρ 2 (θ ) ∈ C [α , β ], 0 ≤ ρ1 (θ ) ≤ ρ 2 (θ ), 0 ≤ β − α ≤ 2 π.
ρ = ρ2(θ)
D
ρ = ρ1(θ) β α
所围成的图形的面积 .
解
根据对称性 S D = 4 S D1 . ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ
x2 + y2 = a2 ⇒ ρ = a
D1
ρ = a 2 cos 2θ π 得交点 (a , ). 6 ρ = a
S = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdy
θ + dθ
ρdθ
dρ
θ
∆σ ≈ ρdρdθ
ρ ρ + dρ
ρ
dxdy = ρdρdθ
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
θ + dθ
二重积分的变量从直角 坐标到极坐标的变换公式
高等数学9-2'利用极坐标系计算二重积分
二重积分的性质
总结词
二重积分具有可加性、可交换性、可分解性和可积性等性质。
详细描述
二重积分具有可加性，即如果两个平面区域的边界曲线可以相加或相减，那么它们的二重积分也可以相加或相减。 二重积分还具有可交换性，即积分区域和被积函数的顺序可以交换，不影响二重积分的值。此外，二重积分还具 有可分解性和可积性等重要性质，这些性质在计算二重积分时非常有用。
ERA
二重积分的定义与几何意义
总结词
二重积分是定积分的一种扩展，用于计算二维曲面的面积。
详细描述
二重积分是高等数学中的重要概念，它表示一个函数在平面区域上的累积效果。通过二 重积分，我们可以计算平面曲线的长度、平面图形的面积以及立体的体积等。二重积分
的几何意义是二维曲面的面积，即由函数z=f(x,y)所确定的曲面的面积。
05
总结与思考
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
本章内容的总结
极坐标系的基本概念 极坐标系是二维平面上的一个坐标系，其中每个点由一个距离和一个角度确定。
极坐标系中的基本元素包括极点、极轴、极径和极角。
本章内容的总结
二重积分的极坐标形式
二重积分在极பைடு நூலகம்标系中的表示形式与直角坐标系 有所不同。
极坐标系中的二重积分可以表示为对面积的积分， 其中面积由极径和角度确定。
本章内容的总结
极坐标系中的面积元素
1
2
在极坐标系中，面积元素是极径和角度的函数。
3
掌握面积元素的计算对于理解和计算二重积分至 关重要。
本章内容的总结
二重积分的计算方法
利用极坐标系计算二重积分的基本步骤包括：选择合适的积分次序、将直角坐标 转换为极坐标、选择适当的面积元素进行积分。
利用极坐标系计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，其中每个点由其到原点的距离和与正半轴的夹角来确定。
在极坐标系中，二重积分的计算可以通过转换为极坐标下的积分来简化问题。
假设我们要计算的二重积分为∬Df(x,y)dA，其中D是平面上的一个闭区域，f(x,y)是定义在D上的函数。
首先，我们需要将函数f(x,y)在极坐标下进行表示。
对于任意点(x,y)，其对应的极坐标为(r,θ)，其中r是该点到原点的距离，θ是该点与正半轴的夹角。
根据坐标转换公式，我们可以得到以下关系：x = rcosθy = rsinθ通过对x和y的偏导数运算，我们可以计算出dA在极坐标下的表示：dA = dxdy = rdrdθ将dA代入原积分式，我们可以得到对应的极坐标下的积分：∬D f(x, y) dA = ∬D f(rcosθ, rsinθ) rdrdθ注意到极坐标下的积分中，积分区域D的范围可以通过对r和θ进行适当的取值来表示。
例如，可以通过限定r的范围和θ的范围来确定D的边界。
对于给定的函数f(rcosθ, rsinθ)，我们可以将其在极坐标下展开为级数的形式。
例如，可以将f(rcosθ, rsinθ)展开为幂级数或三角级数的形式，然后通过对级数进行逐项积分来计算二重积分的结果。
在具体计算二重积分时，可以先对θ进行积分，然后再对r进行积分。
具体步骤如下：1.确定积分区域D的边界，即确定r和θ的取值范围。
2. 对θ进行积分，计算出∫f(rcosθ, rsinθ) dr。
3. 对r进行积分，计算出∫∫f(rcosθ, rsinθ) rdrdθ。
4. 根据具体函数f(rcosθ, rsinθ)的形式，可能需要进行级数展开或其他数学方法来计算积分结果。
需要注意的是，在进行极坐标下的二重积分计算时，需要根据具体问题的要求来选择合适的数值计算方法，例如数值积分、级数展开、积分换序等。
总结起来，利用极坐标系计算二重积分的步骤包括确定积分区域D的边界、将函数表示为极坐标下的形式、对θ进行积分、对r进行积分，最后根据具体函数形式计算积分结果。
极坐标系下二重积分的计算
的三种情形
r 1( )
r 2( )
1、区域特征如图
D
,
D：
1( ) r 2( ).
f ( x, y)dxdy
D
o r 1( )
A
DD r 2( )
f (r cos , r sin )rdrd
D
o
A
d 2( )
1( )
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
2、区域特征如图
2
2
d
15(
4
3 8
).
r 4sin
r 2sin
3
6
例 5 求广义积分 ex2dx. 0
解： D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
极坐标系下二重积分的计算
一、极坐标系下二重积分的一般公式
1、面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
r ri ri r ri
2、一般公式
f ( x, y)dxdy
o
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
i i
i D
i A
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
D
2 2
d
4 cos
0
f (r cos ,
r sin ) r
dr.
r 4cos
2
2
o
2A
例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy 的极坐标二次积分形式，
D
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
0
D
0
ax
4
a3
π
2 (1 sin3 θ )dθ
30
2a 3
3
4 9
.
﹡三、二重积分的换元法
f设( x被, y积)d函 数 f (fx[,xy()u在,v区),y域(uD,上v)连]| J续|d, udv
若D变换 x x(u,vD), y y(u,v)满足如下条件: (1) 将uOv平面上的区域D的点一对一地变为
x2 y2 z2 a2
o
x 2 y 2 ax
y
ax
z
z a2 r2
1
y
o
D
z=0
r a cos
ax
在极坐标下， Dxy: r a cos
V 4 a2 x2 y2dxdy
D
y
4 a2 r2 rdrd
r =a cos
D
π
4 2 dθ a cosθ a 2 r 2 rdr
二、利用极坐标计算二重积分
d 1 (r dr)2 d 1 r 2 d
2
2
r r dr
1 (2r dr)dr d
rr
2
d rdr d
D
极坐标系中的面积元素
O
二重积分在极坐标下的表达式为
d
d
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
1 (u, v )
(x, y)
例7 计算
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy,
其中D为椭圆
x2 a2
y2 b2
1所围成的闭区域.
解 作广义极坐标变换
x a cos
y
b
sin
其中 a 0, b 0, 0, 0 2
在这变换下
D D {(r, )0 1 , 0 2 }
y
r 1, 直线方程为
y
1
x2 y2 1
D
r
1
,
cos sin
O
1
x
x y1
1
f
( x,
y)dxdy
2 0
d
1
f (r cos , r sin )rdr .
D
sin cos
例2 计算 ex2 y2dxdy, 其中D是由中心在原点,
D
半径为a的圆周所围成的闭区域.
y
解 在极坐标系下
D : 0 2 , 0 r a.
y
的 x2 y2 4 在积分域内变号. 故 D1 : x2 y2 4
D2
D1
o 24 x
D2 : 4 x2 y2 16
解 I (4 x2 y2 )d ( x2 y2 4)d
D1
D2
2
d
2
(4
r
2 )rdr
2
d
4
(r
2
4)rdr
0
0
0
2
80
例4 计算 ( x2 y2 )dxdy,其中D为由圆
1 ( )
2. 极点在区域D 的边界上(曲边扇形)
D : , 0 r ( ).
r ( )
r ( )
D
D
O
AO
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
( )
d 0 f (r cos , r sin )rdr.
3. 极点在区域D 的内部
D : 0 2 , 0 r ( ).
D上的点;
(2) x(u,v), y(u,v)在D 上有连续的一阶偏导数, 且雅可比行列式
x x
J
(x, y) (u, v )
u y
v y
0
u v
注要
1．作什么变换主要取决于积分区域 D 的形状,
同时也兼顾被积函数 f ( x, y)的形式．
基本要求变换后定限简便, 求积容易．
2.
J的性质
J
(x, y) (u, v )
D
x2 y2 2 y, x2 y2 4 y及直线 x 3y 0,
y 解y
3x 0所围成的平面闭区域.
y
3x
0
2
3
x
3y 0
1
6
x2 y2 4 y r 4sin
O x2 y2 2 yx r 2sin
( x2 y2 )dxdy
D
3
d
6
4sin r 2 rdr 15
2sin
2
3 .
例5 将积分化为极坐标形式
I
R
1 R2 dx
Rx f y dy
0
0 x
解y
R
R dx
1 R2
0
R2 x2
f y dy x
arctan R
R
I = dθ f (tanθ )rdr
y R2 x2
arctan R
f (tanθ )dθ
R
rdr
r =R
O
ax
ex2 y2dxdy
2
d
a er2 rdr (1 ea2 ).
0
0
D
注
D
x 2dxdy
1 2
( x2
D
y2 )dxdy
xdxdy ?
1
2
d
a r 2rdr a4 .
20
0
4
D
例3 计算 I | x2 y2 4 | d D : x2 y2 16
D
分析 因被积函数 x2 dxdy f [x(u,v), y(u,v)]J dudv
D
D
x x
J ( x, y) ab
( , ) y y
x a cos
y
b
sin
J 在 D内仅当 r 0 处为零,故换元公式仍成立,
D
x2 y2
1
a2
b2 dxdy
D
1 2ab dd
1. 若被积函数形如 f ( x2 y2 ) ;
2. 积分区域D 是由圆弧、或圆弧与直线所围成. 常用极坐标计算.
例1 写出积分 f ( x, y)dxdy 的极坐标二次积分
D
形式, 其中积分区域
D {( x, y) 1 x y 1 x2 ,0 x 1}
解 在极坐标系下, 圆方程为
f (r cos ,r sin )rdrd
D
r ( )
D
θ
o
A
2
( )
0 d 0 f (r cos , r sin )rdr.
极坐标系下区域的面积 rdrd .
D
直角坐标与极坐标的关系为
x r cos ,
y
r
sin
.
0 r , 0 2 .
在极坐标下 x2 y2 r2. 因此
D1 D D2
arctanR
R
arctan R
f (tanθ )dθ
0
R
Rx
R
例6 求 球 面x2 y2 z2 a2 与 圆 柱 面x2 y2 ax(a 0) 所 围 立 体 的 体 积.(指 含 在 柱 体 内 部 分)
z
解由对称性,考虑上半部分
x2 y2 z2 a2
y
o
x
z
D
D
注 在极坐标系下,一般化成 先对r再对 积分
1.极点在区域D 的外面 D : , 1( ) r 2( ).
r 1( )
r 2( )
D
r 1( )
D
r 2( )
θ
θ
O
A
O
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.