理论力学 第三章讲解

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三、空间汇交力系的平衡 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
FR Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
Fx 0 Fy 0
Fz 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
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例3-1 已知： Fn , , ,求：力 Fn在三个坐标轴上的投影.
MO(F) r F
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r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
i jk M O (F ) r F x y z ( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
Fx Fy Fz [MO (F )]x i [MO (F )]y j [MO (F )]z k
力对点 O的矩在三个坐标轴上的投影为
MO (F )x yFz zFy
MO (F ) y zFx xFz
MO (F )z xFy yFx
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二、力对轴的矩
定义： M z (F ) M O (Fxy ) Fxy d 它是代数量，方向规定 + –
力与轴相交或与轴平行（力与轴共面时）,力对该轴之矩为零. 力对轴的矩其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影
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例3-3
已知：P=1000N ,各杆重不计.
求：三根杆所受力.
解： 各杆均为二力杆，取球铰O，画受
力图。
Fx 0
FO B sin 4 5 FO C sin 4 5 0
Fy 0
FOB c os45 FOC c os45 FOA c os45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
对于这个平面与该轴的交点的矩.
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三.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
FOA 1414 N FOB FOC 707 N（拉）
§3-2 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示-----力矩矢 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。
mO (F ) Fd 2AOB面积
r 表示A点的矢径
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三要素： (1）大小:力 F与 力臂的乘积 （2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
F
F
F
Fy
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二、空间汇交力系的合成：
1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多 边形方法求合力。
FR F1 F2 F3 Fn
F
i
即：合力等于各分力的矢量和 2、解析法：
由于 Fi Fx i i Fyi j Fzi k 代入上式
合力：FR Fxii Fyi j Fzik
由图可知：
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos g
3、二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向夹角不易
确定时，先将 F 投影到xy面上，
然后再投影到x、y轴上，
即
Fx Fxy cos F sin g cos F cos cos
Fy Fxy sin F sin g sin F cos sin
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工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
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第三章 空间力系 §3–1 空间汇交力系 §3–2 力对点的矩与力对轴的矩 §3–3 空间力偶系 §3–4 空间一般力系向一点的简化 §3–5 空间一般力系的平衡方程 §3–6 重心
MO (F)x yFz zFy M x (F) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F)z xFy yFx M z (F)
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定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力 对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。
Fy 0 : F A sin 3 0 F1 co s 4 5 co s 3 0 F2 co s 4 5 co s 3 0 0
Fz 0 : F1 co s 4 5 sin 3 0 F2 co s 4 5 sin 3 0 F A co s 3 0 P 0
F1 F2 3.54 kN FA 8.66 kN
所以：
FR x Fxi
FR y Fyi
FR z Fzi
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3、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴
上投影的代数和。
大小: FR
FR
2 x
FR
2 y
FR
2 z
(
Fx )2 (
Fy )2 (
Fz )2
方向：cos FRx , cos FRy , cosg FRz
解： Fz Fn sin Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn co s sin
F y Fxy c os Fn c os c os
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例3-2 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 3 0 0
求：杆受力及绳拉力
解： 1)画受力图
2)列平衡方程
Fx 0 : F1 sin 4 5 F2 sin 4 5 0
习题课
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§3-1 空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系.
一、力在空间轴上的投影与分解：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
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2、一次投影法（直接投影法）
Fz F cosg F sin
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4、力沿坐标轴分解：
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿直角
坐标轴的正交分量，则：
而：F Fx Fy Fz
Fz
Fx Fxi , Fy Fy j, Fz Fz k
Fx
所以：
F Fxi Fy j Fz k
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx ,cos Fy ,cosg Fz