微分中值定理
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
微分中值定理
证 x1, x2 [a,b]，且 x1 x2
则 y f (x)在 x1, x2 上连续，在( x1, x2 )内可导，
由拉格朗日中值定理的条件，
至少存在一个 ( x1, x2 )
使 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( )( x1 x2 ) f ( ) 0. f (x1) f (x2) 0
件 f (a) f (b).
F(x) 0
结 论
f ( ) 0
f ( ) f (b) f (a)
ba
f ( ) f (b) f (a) . F( ) F(b) F(a)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
21
2.三个中值定理之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F(x) x Cauchy
(a
x
b)
则曲线上点(X，Y )
(F(a), f (a))A o F(a)
F ( )
D
X F (b)
处的切线的斜率为：dY f ( x) ， dX F ( x)
而弦 AB的斜率为 f (b) f (a) ，假定点C 对应于 F(b) F(a)
参数x ， 那么点C 处的切线平行于弦AB，
则有 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0, 使 f (x1) 0.
f (x) 在 x0, x1之间满足罗尔定理的条件
则至少存在一个 （在x0, x1 之间）使得 f () 0.
微积分：微分中值定理
根的存在定理判断方程f x 0有根；
罗尔定理判断方程f x 0有根.
例 证明 f (x) x(x 1)(x 1)(x 2)
的导函数f x 有三个实根。
证 显然 f (2) f (1) f (0) f (1) 0,
f x在 2, 1,1, 0,0,1上均满足
Rolle定理
有一条切线平行 A
N
D
o a 1 x
2 b
x
于连接曲线端点的弦.
证明： 变形 f (b) f (a) f ( ) 0
ba
构造函数 ( x) f (b) f (a) x f ( x),
ba
则易证： ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，
(a) (b) af (b) bf (a) ,
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 难点: 用中值定理证题
罗尔定理判断方程f x 0有根.
用拉格朗日定理证明等式或不等式
作 业：
看书，并完成作业：P122: 3; 5; 6;7;8； 9;10;11.(1);12.(1);14.
3.5 洛必达(L’Hospital)法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
ba
在(a, b)内至少有一点，
使得 （） f (b) f (a) f ( ) 0,
ba
故 f (b) f (a) f ( )。
ba
拉格朗日中值定理的另几种形式：
(1) f b f a f ' b a
称为拉格朗日公式。
2 f x x f x f ' x
x, x x
一、罗尔（Rolle）定理
若函数 y f(x)满足：
(1)在闭区间a, b上连续，
微分的中值定理
微分的中值定理
微分的中值定理是微积分中的一个重要定理，它是研究函数变化的基础。
在微分学中，中值定理有三种形式：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
罗尔定理是指，如果一个函数在区间的两个端点处取同样的值，那么在这个区间内至少存在一个点，使得该点的导数为0。
这个定理常常被用于证明函数在某个区间内存在极值点。
拉格朗日中值定理是指，如果一个函数在区间内是可导的，那么在这个区间内至少存在一个点，使得该点的导数等于区间两个端点的函数值之差除以区间长度。
这个定理常被用于证明某些函数的性质，如可凸性和上凸性等。
柯西中值定理是指，如果两个函数在某个区间内是可导的且其中一个函数在某个点的导数不为0，那么在这个区间内至少存在一个点，使得两个函数在该点的导数之比等于两个函数在该点的函数值之比。
这个定理常被用于证明函数的单调性。
这些中值定理不仅仅是微积分理论的重要基础，也是许多实际问题的解决方法。
在物理、经济学和工程学等领域中，中值定理经常被用于分析和解决实际问题。
- 1 -。
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。
其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。
一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。
希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。
意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。
1.费马定理法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。
费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。
当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。
2.罗尔定理（引理）法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有一个实根”。
这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。
现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。
微分中值定理
定理证明
总结词
柯西中值定理的证明涉及到了微分学中的一 些基本概念和性质，如导数的定义、导数的 几何意义等。
Hale Waihona Puke 详细描述证明柯西中值定理，首先需要理解导数的定 义和性质，然后利用拉格朗日中值定理，再 结合闭区间上连续函数的性质，逐步推导， 最终得出结论。
定理应用
总结词
柯西中值定理在微分学中有广泛的应用，它可以用于研 究函数的单调性、极值等问题，还可以用于求解一些复 杂的微分方程。
详细描述
柯西中值定理的应用主要体现在两个方面，一是利用该 定理研究函数的单调性和极值问题，二是利用该定理求 解一些复杂的微分方程。通过柯西中值定理的应用，我 们可以更好地理解函数的性质，并且能够求解一些复杂 的数学问题。
06
罗尔中值定理
定理内容
总结词
罗尔中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如 果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且 在区间的两端取值相等，那么在这个区间内至少存在 一点，使得函数在该点的导数为零。
定理应用
01
洛必达法则可以用于求极限，特别是当极限的形式为0/0或 者∞/∞时，可以通过洛必达法则求得极限值。
02
洛必达法则还可以用于判断函数的单调性，如果函数在某区间 的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则
函数在此区间单调递减。
03
此外，洛必达法则还可以用于求函数极值，如果函数在某 点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
定理应用
总结词
罗尔中值定理在微分学中有广泛的应 用，它可以用于证明其他中值定理、 研究函数的单调性、解决一些微分方 程问题等。
2. 研究函数的单调性
通过罗尔中值定理可以推导出一些关 于函数单调性的结论，例如如果函数 在区间上单调增加或减少，那么其导 数在该区间上非负或非正。
第四章微分中值定理
第四章微分中值定理4.1 微分中值定理微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它建立了函数与导数之间的联系，提供了导数应用的基础理论依据，本节介绍罗尔（Rolle）定理以及拉格朗日（Lagrange）中值定理。
一、罗尔定理我们已经知道，有界闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值，但是最大值与最小值不一定是极值，例如当最大值和最小值仅在区间端点处取得时就不是极值，而如果最大值或最小值在区间内部取得时，则一定为极值，因此，如果有界闭区间上的连续函数在两个端点处的函数值相等，那么它的最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而一定是极值，如果函数可导的话，相应的极值点一定是驻点，即该点处导数为0，这样，我们自然得到下面的罗尔定理。
定理4.1（罗尔定理）设函数f（x）满足：（1）在闭区间[a、b]上连续；（2）在开区间（a、b）内可导；（3）f（a）=f（b）,则至少存在一点罗尔定理也有十分明显的几何意义，设曲线弧（如图4.1所示）的方程为y=f（x）（a≤x≤b），罗尔定理的条件在几何上表示：是一条连续的曲线弧，除了端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两个端点A 和B的纵坐标相同。
定理结论表述了这样的几何事实：曲线弧上至少有一点C，在这点处曲线的切线是水平的，即罗尔定理的几何意义是：当曲线弧在[a、b]上为连续弧段，在（a、b）的曲线弧上每一点均有不垂直于x轴的切线，并且曲线弧两个端点的纵坐标相同，那么曲线弧上至少有一点的切线平行于x轴（如图4.1所示）有必要指出，罗尔定理中的三个条件缺一不可，条件（1）保证了函数f（x）的最大值与最小值的存在性；条件（3）保证了最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而是极值；条件（2）保证了该极值点处函数的可导性，因此，如果缺少这三个条件中的任何一个定理都将不成立，读者不妨自己举些反例加以验证。
例1 在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（）[答疑编号10040101：针对该题提问]解：因为在x=0处没定义，所以不连续，故在区间[-1，1]上不满足罗尔定理的条件。
微分中值定理
x0为唯一的小于 1的正实根 .
题型二:求满足定理条件的 值
例7 求 f ( x ) arctan x 在 [0,1] 上满足Lagrange
中值定理的 值
题型三:用Lagrange中值定理证明不等式
x 例8 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x f (b) f (a) 证 设 f ( x) ln x, 凑成 形式 ba
如图3此时弦AB的斜率为
f ( ) dY |x g ( ) dX
f (b) f (a) g (b) g (a)
柯西(Cauchy)中值定理
如果 f(x),g(x)满足
(1) ( 2) ( 3)
在闭区间 在开区间
[a, b]上连续,
( a , b ) 内可导,
g( x) 0, x (a, b )
则 (a, b ), 使等式
f ' ( ) f (b ) f (a ) 成立. ' g ( ) g (b ) g (a )
f (b ) f (a ) g( x ) f ( x ) 证: 作辅助函数 ( x ) g(b) g(a ) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b ) g (a ) f (a ) g (b ) (a ) (b) g(b) g(a ) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 一定相同 g(b) g(a ) g( )(b a ), (a , b)
微分中值定理公式
微分中值定理公式
微分中值定理：
1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2、应用：
（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。
（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。
（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。
（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。
3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)
4、优势：
（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；
（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；
（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；
（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。
微分中值定理
22此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，
弦线的方程为 y f (a) f (b) f (a) (x a) . ba
作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
即可. ( x) 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线
弧两端点连线对应的纵坐标之差.
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
第一节 微分中值定理
一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 . 证 若对x0的某邻域内的任何x,恒有f(x)≤f(x0).
还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必 要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定 理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.
例如 f (x) (x 1)2 在[0,3]上不满足罗尔定理的条
件( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3) ，使 f (1) 0 .
三、拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
微积分 第四章 第一节 中值定理
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是f (x)
的一个零点. f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间
(1, 2)及(2, 3)内.
思考：f (x)的零点呢？
11
二、将拉罗格尔朗定日理(条La件gra中ng去e)掉中值f (定a) 理 f (b), 得到
如果函数f (x)满足：(1)在闭区间[a, b]上连续，
f
(b)
f
(a)
(x a)，
ba
或
F(x) f (x)(b a) [ f (b) f (a)]x
容易验证, F( x) 满足罗尔定理的条件,
于是 (a,b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
13
例8 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件, f ( x) 1 ， x
f (e) f (1) 1 ， e1 e1
e 1 (1,e)， 使 f ( ) f (e) f (1) .
e1
14
f ( ) f (b) f (a)
拉格朗日中值公式另外的表达方式：
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)， 介于a和b之间
或 f (b) f (a) f [a (b a)](b a) ,0 1 ,
(
x)
sin
1 x
,
x0
0 , x 0
（B）
g(
x)
x
sin
1 x
,
x
0
0 , x 0
（
C
）
h(
微分中值定理
即
1
cos
ln
1
分析:
例7. 试证至少存在一点
使
法2 令 f (x) sin ln x sin1 ln x
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件,
因此存在
使
f (x) 1 cosln x sin1 1
x
x
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
f (b) f (a)
例3. 证明方程 正实根 .
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
令
则
y f (x0 x)x (0 1)
推论1: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 格朗日中值公式 , 得
0
由
f ( ) f (b)
的任意性知,b
f a
(a) 在
, I
上为 常(a,数b)
.
例4. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
(2) 若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值
不等，不妨设
则至少存在一点
使
则
y
y f (x)
f ( ) lim f ( x) f ( )
x 0
x
O a
微分中值定理概述
微分中值定理概述微分中值定理是微积分中的基本定理之一，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）在19世纪初提出的。
这个定理的核心思想是在一定条件下，对于一个连续、可微的函数来说，它在一个区间内的平均变化率一定等于在该区间内某个点的瞬时变化率。
这个定理对于我们理解函数变化的行为以及求解方程等问题都有重要作用。
首先，我们来看一下微分中值定理的数学表述。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么存在一个ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
可以看出，这个定理简洁明了地描述了函数在区间内平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
微分中值定理的证明可以使用罗尔定理（Rolle's theorem）作为基础。
罗尔定理是微分中值定理的一个特殊情况，它要求函数在区间的两个端点的函数值相等。
根据罗尔定理，我们可以得出存在一个ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 0。
然后，通过引入辅助函数g(x) = f(x) - kx，其中k = (f(b) - f(a))/(b - a)，再次利用罗尔定理，我们可以获得f'(ξ) = 0。
微分中值定理的几何意义十分直观。
它告诉我们，在一个区间内，如果函数连续且可微，那么在某个点上，函数的斜率等于该区间上直线的斜率。
这个点被称为函数在该区间内的切点，也就是说函数在切点的瞬时变化率等于其平均变化率。
这个直观的解释使得微分中值定理在实际问题中的应用非常广泛。
微分中值定理不仅可以用于理论证明，也可以应用于实际问题的求解中。
例如，在经济学中，我们可以利用微分中值定理来解释市场供给和需求的关系。
在物理学中，它可以帮助我们描述物体的运动过程。
在工程学中，它可以用于分析系统的稳定性。
总之，微分中值定理是微积分中的一个重要工具，它为我们研究和解决实际问题提供了方便有效的方法。
微分中值定理
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几何解释:
在曲线弧AB上至少有 一点C,在该点处的切 线平行于弦AB.
物理解释:
y
C
yf(x)
M
B
A
N
D
o a 1 x
2 b
x
拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到 t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在 某一时刻达到它的平均速度.
究竟等于什么数, 只要知道 存在即可.
9
例 证明方x5程 5x10有且仅有一1个 的正实 . 根
证 (1) 存在性
设 f(x )x 5 5 x 1 ,则f(x)在 [0,1]连,续 且f(0)1, f(1)3. 零点定理 x0(0,1),使f(x0)0.
即为方程的小于1的正实根.
(2)|f(x)|M . ? |f( x ) f( x 0 ) | M |x x 0 |.
(3 )f(x ) 0( 0 ). ?
f(x)()
还有什么？
21
推论 1 若 f ( x ) 0 , x I , 则 f ( x ) C , x I .
推论 2
18
例 证明不等式
arx c 2 t aarn x c 1 tx 2 a x 1 n ,(x1 x2).
如果f(x)在某区间上可导,要分析函数 在该区间上任意两点的函数值有何关系, 通常就想到微分中值定理.
证 记 f(x)arctax,n在[x1,x2]上,
利用微分中值定理, 得
1
arcx2 t a an rcx1 t a 1 n 2(x2x1)
20
由拉格朗日 以中 得值 出定 其理 它 ？ 可 的
微分中值定理
三、洛尔（Rolle）定理
若函数f (x)满足: 1.在闭区间[a, b]上连续; 2.在开区间(a, b)内可导; 3. f (a) f (b);
则在(a,b)内至少有一点 (a b)使得f ( ) 0
分析: 由 1 f (x)在[a,b]内有最大值M和最小值m 由 3 M m中至少有一个不等于f (a),不妨设m f (a), 则 (a,b),使得f ( ) m
f (x) f (x0 ) x x0
0
由 1 f (x0 ) A
由
2
在x0左侧附近 在x0右侧附近
f(x)-f(x x x0
f(x)-f(x x x0
0 0
) )
0 0
f
( x0 )
0
y
C
l
f (a)
A
B
0
a
b
x
三、洛尔（Rolle）定理
若函数f (x)满足: 1.在闭区间[a, b]上连续; 2.在开区间(a, b)内可导; 3. f (a) f (b);
ba
分析：构造函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a) ba
由 1 2 可知：F(x)满足Rolle定理
(a,b),使得F( ) 0即：f ( ) f (b) f (a)
ba
五、三个重要结论
1.有限增量公式
y f (x x)x (0 1)
x [a,b], f (x) f () m
综上述,结合 2 由Fermat引理可得：f ( ) 0
y
C
l
f (a)
A
B
0
§2.5微分中值定理
o a
b
x
Rolle 定理的几何意义是：如果连续曲线y f ( x ) 除
端点外处处都有不垂直于 x 轴 的切线，且两端点处的纵 坐标相等，那么其上至少有一条平行于 x 轴 的切线。
例 1．不求函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说 明方程 f ( x ) 0 有几个根，并指出它们所在的区间。
()x 且 g[ (x )g x( ))] 0, f1 ( f 使 2x x 0 ，
( x1 , x 2 ), Rolle 定理知，至少存在一点 由 f ( x ) f ( x ) 的函数 故构造其导数含有
( ) e x [ f ( ) f ( )] 0, 从 而f () f (). 使gg ( x ) e f ( x )
②微分中值公式的另一种形式为
f (b) f (a ) f (a (b a ))(b a )(0 1).
③不论 a b 或 b a ，都有 f ( b ) f ( a ) f ( )( b a ).
（ 介于 a 与 b 之间.）
④ x, x x(a, b) ，有
§2.5
微分学基本定理
微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。 微分中值定理是微分学的基本定理和理论基础，它揭示了函 数与导数之间的内在联系，利用它们可以得到微分学与积分 学的一系列的重要结果。
2.5.1 费马( Fermat )引理
若（1）函数 f ( x ) 在N ( x , ) 内有定义，且在N ( x , ) 内恒有 f ( x ) f ( x ) (或 f ( x ) f ( x )) ， （2）函数 f ( x ) 在点 x 可导， 则
3-1微分中值定理
则在开区间 ( a , b )内至少存在一点 ξ ,使得
f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a)
注 结论亦可写成
f (b) − f (a) = f ′(ξ ). b−a
的正实根 .
证 (1) 存在性
设 f ( x ) = x 5 − 5 x + 1, 则 f ( x )在[0,1]连续,
且 f (0) = 1, f (1) = −3.f ( x0 ) = 0.
即为方程的小于1的正实根 即为方程的小于 的正实根. 的正实根
证明方程 x 5 − 5 x + 1 = 0 有且仅有一个小于 1 的正实根 .
y y y
O
1
x
−1
O
1 x
O
x, 0 ≤ x < 1 f ( x) =| x |, x ∈[−1,1] f ( x) = 0, x = 1
1
x
f ( x ) = x , x ∈ [0 , 1]
罗尔定理 若函数 f ( x )满足 : (1) 在闭区间[a , b]上连续; (2) 在开区间(a , b )内可导; (3) f (a ) = f (b ),则在开区间 (a , b )内至少存在一点 ξ , 使得 f ′(ξ ) = 0. 定理条件只是充分的.本定理可推广为: 注 (2) 定理条件只是充分的.本定理可推广为: 内可导, 内可导 设 f ( x ) 在( a , b )内可导,且 lim f ( x) = lim f ( x)
x < ln(1 + x ) < x . 例 证明当 x > 0时, 1+ x 证 设 f ( x) = ln(1 + x), [0, x] 关键
微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用
微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表述了连续函数在某些情况下一定存在某一点的导数等于函数在另外一点的斜率。
常见的微分中值定理包括：
1. 罗尔定理：如果连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上满足$f(a) = f(b)$，并且在$(a,b)$内可导，那么存在一个$c \\in (a,b)$，使得$f'(c) = 0$。
2. 拉格朗日中值定理：如果连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，那么存在一个$c \\in (a,b)$，使得$\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$。
3. 柯西中值定理：如果连续函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上可导，并且$g'(x) \
eq 0$，那么存在一个$c \\in (a,b)$，使得$\\frac{f(b)-
f(a)}{g(b)-g(a)} = \\frac{f'(c)}{g'(c)}$。
微分中值定理的应用非常广泛，它可以用于证明其他定理、求解极值问题、证明函数的单调性、确定函数的凸凹性等。
比如，可以用拉格朗日中值定理证明介值定理，用柯西中值定理证明洛必达法则，用罗尔定理证明泰勒定理。
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由罗尔定理，知 (a , b), 使得 ( ) 0.
即
f (b) f (a ) f ( ) F ( ) 0. 命题得证. F (b) F (a )
注
1 当 F ( x ) x 时, F (b) F (a ) b a, F ( x ) 1,
f (b) f (a ) ( x ) [ f ( x ) f (a )] [ F ( x ) F (a )]. F (b) F (a )
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) F ( x ) F (b) F (a )
( x )在[a , b]上连续，在(a , b)内可导
使得
同理， 至少存在一点
至少存在一点 由于 使得
使得
是三次函数， 方程 f ( x ) 0 是
的三次代数方程， 所以它最多有三个实根.
综上， 方程 f ( x ) 0 恰有三个实根， 分别在
区间(1,1), (1,2), ( 2,3)内.
例2 设a0 , a1 ,, an为满足
a1 an a0 0 2 n1
AB 上有哪些点的
切线可能与x轴平行？ AB 易看出， 上有两点： 最高点C 和最底点D. 从函数的观点看，就是
f ( x )在[a , b]上取得
最值的点 1 和 2 .
这个结论是否具有一般性？
（
（
费马（Fermat）引理
如果函数 的某邻域
在点
内有
处可导， 且在
（或
则 证 以 为例证之.
)
极限的 保号性
导数为零的点称为驻点
证 由于 f (x) 在闭区间[ a, b ]连续，故在[ a, b ]
上取得最大值 M 和最小值 m . (1) 若 M = m ， 则在闭区间[ a, b ] 上 f ( x ) M , 因此 (2) 若 M > m , f (a ) f (b)
最大值M与最小值m不可能同时在端点取得.
不妨设 M f (a ) , 则至少存在一点 (a , b) , 使得 f ( ) M , .
注 1º 定理条件不全具备， 结论不一定成立. 条件不满足，结论不成立的例子： y y y
O
1
x
O
1 2
1 x
O
1 x
2º定理条件只是充分的，并非必要条件. y f ( x ) sgn x 1 ( ,0) (0, ) x O -1 f ( ) 0.
即 f (b) f (a ) f ( ) 0 ba
亦即命题成立.
注 1° R f (a ) f (b) L 2° b a , (1.2)也成立. 3° (1.2)的其他形式：
(1) (a , b), 使
f (b) f (a ) f ( )(b a )
注
推论中的闭区间 a , b]可换成： [
(a , b ), (a , ), [a , b ), ( , )
例3 证明等式 证 设 f ( x ) arcsin x arccos x ,
f ( x )
则 f (x)在[-1, 1] 上连续，在(-1, 1)内可导，且
0
第二讲 微分中值定理
一、 微分中值定理
1、问题的提出
两个现象： ⁀ (1) 曲线弧 AB 上 至少有一点处的切线 是水平的，即
f ( ) 0.
(2) 变速直线运动 在折返点处的瞬时 速度为0, 即
s( ) 0.
不同背景的两个现象，从数学的观点看，有
一个共同点: 结论： (a , b)，使
使得
(1.3)
几何解释: A( F (a ), f (a )) B( F (b), f (b))
AB弦的斜率： f (b ) f (a ) k F (b ) F (a )
AB 上对应于x 的点C的切线斜率：
（
dY dX
x
dY dx dX dx
x
在曲线弧 AB上至少有一 ( ) f点C(F( ), f ( ) ), 在该点 ( ) F处的切线平行于弦AB
(0 , 1) , 使得
a1 an f (0) 0 f (1) a0 2 n1
证
a1 2 an n 1 令f ( x ) a0 x x x , 2 n1
且
a1 an f ( 0 ) 0 a0 f (1), 2 n1
(0, 1), 使
f ( ) f (1) f (0) f ( ) f (1) f (0) 2 F (1) F (0) F ( ) 1 0
即 f ( ) 2 [ f (1) f (0)].
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系 费马引理
F ( x )在[a , b]上连续，在(a , b)内可导，
且
即
f (b) f (a ) F (b) f (b) [ f (a ) (b a )] =0 ba F (a ) (b)
F (a ) 0
由罗尔定理，知 (a , b), 使得 F ( ) 0.
B 两端点处，它们的纵坐
标之差为零(相等).
f (b) f (a ) ( x a )]. 作辅助函数: F ( x ) f ( x ) [ f (a ) ba
证 作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x ) f ( x ) [ f (a ) ( x a )]. ba
3°使 f ( ) 0的点不一定是f ( x )的最值点. 4°罗尔定理未指明在(a , b)内的具体位置.
例1 方程 所在的区间.
证明 有且仅有三个实根，并指出它们
证
显然
在 [－1, 1] 上连续, 在 (－1, 1)内
可导， f (－ 1 ) = f ( 1 )，因此由罗尔定理知， 且 至少存在一点 同理， 至少存在一点 使得
(2) 在开区间 (a , b) 内可导；
在( a , b ) 内至少存在一点
f (b) f (a ) 使得 f ( ) ba
(1.2)
注 1°与罗尔定理相比，去掉了条件(3): f (a ) f (b)
2°结论(1.2)亦可写成：
f (b) f (a ) f ( )(b a )
的实数，证明方程： 2 n a0 a1 x a2 x an x 0
在(0,1)内至少有一个实根.
分析 令F ( x ) a0 a1 x an x n ,
F (0) a0 ,
F (1) a0 a1 an , F (0)F (1) ? 0,
两次运用中值定理的不一定相同·
例6 设 f ( x )在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2 [ f (1) f (0)].
f (1) f (0) f ( ) f ( x ) 分析 结论可变形为: . 2 ( x ) x 1 0 2 证 设 F ( x) x2 ,
f ( ) 0.
2、罗尔中值定理
定理1.1（罗尔中值定理） 若
满足：
(1) 在闭区间 [a , b] 上连续； (2) 在开区间 (a , b) 内可导； (3) f ( a ) = f ( b )，
在( a , b ) 内至少存在一点 , 使得
f ( ) 0 (1.1)
证明分析： 观察此图，曲线
（
分析
f ( b ) f ( a ) f ( ) (1.3) F ( b ) F ( a ) F ( )
f (b) f (a ) f ( ) F ( ) 0, F (b) F (a )
证 F ( x )在[a , b]上连续，在(a , b )内可导，
3°结论(1.2)的几何意义 A(a, f(a))， B (b, f(b))
AB弦的斜率：
f (b) f (a ) k ba
证明分析
弦AB方程为:
f (b) f (a ) y f (a ) ( x a ). ba
曲线 y = f (x)与弦AB在两个
端点 A, B 处重合. 故在 A,
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
f (b) f (a ) f ( ). ba
特例
R
f (a ) f (b)
L
特例
F ( x) x
C
2 不可对f ( x )和F ( x )在[a , b]上分别
用Lagrange中值定理，来证明 1.3). 因为 (
由罗尔定理，可知 (0 , 1) , 使得
即
a0 a1 an 0,
n
2 n
亦即方程 a0 a1 x a2 x an x 0
在(0,1)内至少有一个实根 .
3、拉格朗日中值定理
定理1.2（拉格朗日中值定理） 若
满足：
(1) 在闭区间 [a , b] 上连续；
4、柯西中值定理
定理1.3（柯西中值定理） 若
及
满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) 在开区间 ( a , b ) 内 F ( x ) 0 ; 至少存在一点
f (b ) f (a ) f ( ) F (b ) F ( a ) F ( )
特例
( 2) (0, 1), 使
a f (b) f (a ) f [a (b a )](b a )