2020版高考数学大二轮复习课时作业8三角变换与解三角形理

课时作业 8 三角变换与解三角形

1．[2019·河南开封定位考试]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－13，则cos 2α的值为( ) A ．－79 B.7

9

C ．－223 D.13

解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－13，所以sin α＝13，则cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫132

＝7

9

.故选B. 答案：B

2．[2019·河北省级示范性高中联合体联考]已知tan α＝2，且sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝m tan 2α，

则m ＝( )

A ．－49

B ．－9

4

C.49

D.94

解析：依题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α－π4＝

2

2(sin α＋cos α)2

2

(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1

tan α－1＝3，tan 2α＝2tan α1－tan 2

α＝－43，所以3＝－43m ，解得m ＝－9

4

.故选B. 答案：B

3．[2019·山东青岛一中月考]在△ABC 中，若sin 2

A ＋sin 2

B ＜sin 2

C ，则△ABC 的形状是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定

解析：∵sin 2

A ＋sin 2

B ＜sin 2

C ，∴a 2

＋b 2

＜c 2

，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

＜0，又0°＜C ＜180°，

∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形，故选C.

答案：C

4．[2019·黑龙江牡丹江一中月考]满足条件a ＝4，b ＝32，A ＝45°的三角形的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．无数个

D ．不存在 解析：由正弦定理得sin B ＝

b sin A a ＝34，∵22＜34＜3

2

，∴45°＜B ＜60°或120°＜B ＜135°，均满足A ＋B ＜180°，∴B 有两解，满足条件的三角形的个数是2，故选B.

答案：B

5．[2019·宁夏银川月考]已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－3

5，则

sin β的值为( )

A.255

B.5

5 C.

2525 D.525

解析：∵α是锐角，β是锐角，cos α＝255，sin(α－β)＝－35，∴sin α＝55，cos(α

－β)＝45，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝55×45－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝25

5

.故选A.

答案：A

6．[2019·广西两校第一次联考]已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝1

3

，则log

5

⎝ ⎛⎭

⎪⎫tan β

tan α12＝( ) A ．－1 B ．－2 C.1

2

D ．2 解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝1

2，

sin αcos β－cos αsin β＝13，则sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan β

tan α＝

1

5

，于是log 5

⎝ ⎛⎭⎪⎫tan βtan α12＝log 5⎝ ⎛⎭

⎪⎫1512＝log 55－1＝－1.故选A. 答案：A

7．[2019·云南曲靖月考]一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )

A ．102海里

B ．103海里

C ．203海里

D ．202海里

解析：画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB

sin 45°

，解得BC ＝102(海里)．故选A.

答案：A

8．[2019·河北省级示范性高中联合体联考]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

c ，若3sin A ＝2sin C ，b ＝5，cos C ＝－13

，则a ＝( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．8

解析：因为3sin A ＝2sin C ，由正弦定理得3a ＝2c ，设a ＝2k (k ＞0)，则c ＝3k .由余弦

定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25－5k 220k ＝－13，解得k ＝3或k ＝－5

3

(舍去)，从而a ＝6.故选C.

答案：C

9．[2019·广东仲元中学期中]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若

a 2＋

b 2＝2

c 2，则cos C 的最小值为( )

A.

32 B.2

2

C.12 D ．－12

解析：∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12

，当且仅当a ＝b 时

取等号，∴cos C 的最小值为1

2

，故选C.

答案：C

10．[2019·河北五校第二次联考]已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的

值为( )

A ．－255

B ．－5

5