2018年高三数学(理)一轮复习课件 解三角形
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件新人教A版(理)
A. 3
π
1
+ = 3,cos
4
π
- =
4 2
√3
,则
3
等于( C )
√3
5√3
B.- 3
C.
1
(2)已知 cos - 2 =-9,sin
2
√6
D.- 9
9
2
π
π
- = 3,且2 <α<π,0<β<2 ,则
239
cos(α+β)=
-729
.
思考已知一个角或两个角的三角函数值,求另一角的三角函数值
-sin αcos -
cos α-cos +
π
1
6
2
π
6
π
3
+
π
π
3
2
sin α
- =sin = ,
故选 A.
(2)(方法一)因为角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,根据三角函数
1
定义可得 sin β=sin α= ,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+sin
π
4
+tan
7
= .
5
(方法二)∵tan 7
π
4
7
∴tan α= 5,答案为5.
=
tan -tan
π
4
1+tan ·tan
π
4
=
tan -1
1+tan
1
= ,
6
-14考点1
考点2
考点3
考点 2
三角函数公式的逆用及变用
2018年高考数学(理)一轮复习文档第三章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．1．辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45D 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．由已知，θ在第三象限， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－（－45）2＝－35.－355.教材习题改编 已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1D.1625(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2【解析】 (1)法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. (2)因为sin α＋2cos α＝3， 所以(sin α＋2cos α)2＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， 所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3， 所以2tan 2α－22tan α＋1＝0，所以tan α＝22. 【答案】 (1)A (2)A同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．角度一 知弦求弦1．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13C (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.角度二 知弦求切2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34B 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.角度三 知切求弦3．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________． 因为sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. ±64诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．(2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．(2017·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225C ．－1225D ．－2425D 由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．sin(－1 071°)si n 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________． 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin (3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填0.3．已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.——方程思想求解三角函数值已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．【解析】 法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.又sin θcos θ＝－60169<0，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.法二：同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2 θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.【答案】 －125(1)本题利用方程思想法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．(2)所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25 B.25C.25或－25D ．－15A 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcosα＝－25，故选A.1．tan(－233π)的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33A A tan(－233π)＝tan(－8π＋π3)＝tan π3＝ 3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.3．(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α＋π2)＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79C.89D ．－89A 法一：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(±223)2－(－13)2＝79，故选A.法二：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79，故选A.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B 因为f (2 016)＝5.所以a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D 由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________． 原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 08．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________． 因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，于是1＋tan 2A ＝1＋29＝119＝1cos 2A ，cos 2A ＝911，cos A ＝31111，sin A ＝tan A cos A ＝2211. 2211 9．sin 43π·cos 56π·tan(－43π)的值是________． 原式＝sin(π＋π3)·cos(π－π6)·tan(－π－π3) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·(－tan π3) ＝(－32)×(－32)×(－3)＝－334. －33410．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________． cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α， 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. －2311．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．(1)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＝925.又π2<θ<π，所以cos θ＝－35.所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.13．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为() A ．－32 B.32C ．－34 D.34B 因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， 所以cos α－sin α＝32. 14．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°si n 50°－sin 40° ＝1.115．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．(1)因为sin A ＋cos A ＝15，① 所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， 所以sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，② 所以由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43. 16．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值． (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案 解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是 答案 解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个
负数 ，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝
π
.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的 弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理
基础诊断 考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断 考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断 考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断 考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B， 则这个三角形的形状为________． 解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B， 即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形
高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
25.
5
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
-11-
自测点评
1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中
α≠
π 2
+kπ,k∈Z.
2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要
根据角α的范围确定.
3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角
函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
(2)若 α∈R,则 tan α=csoins������������恒成立. (
)
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( )
(4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)×
关闭
答案
-7-
知识梳理 双基自测
12345
什(1)么1 ? (2) 3
答案
考点1
考点2
考点3
-25-
解析: (1)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°
=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-
cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=
-
4 5
,
cos������
=
3 5
,
于是 1
cos ������-sin ������
=
1 35- -45
= 57.
考点1
考点2
考点3
高三数学一轮复习课件：第四章 三角函数 解三角形 4-1
解法二：扇形周长 C＝2R＋L，面积 S＝12LR＝12R(C－2R)＝ －R2＋12CR＝－R－C4 2＋1C620<R<C2 ，
仅当 R＝C4，即 C＝4R 时，扇形的面积 S 最大， 此时 C＝4R＝2R＋L，L＝2R，由 L＝2R 得 α＝2， 即 α＝2 时，扇形面积有最大值1C62.
涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧 度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用 前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S ＝12|α|R2＝12LR.在公式的选择上以简单、计算量小为原则，如本例 中解法二比解法一计算量小．
[跟踪演练]
已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周
扇形有最大面积？ [思路引导] (1)利用弧长公式求． (2)寻求周长、半径 R 及圆心角 α 的关系，用其中两个量表示
扇形面积．
[解] (1)设弧长为 l，则 α＝60°＝3π，R＝10，l＝π3×10＝130π(cm)． (2)解法一：扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝2＋C α，
∴S 扇＝12α·R2＝12α·2＋C α2 ＝C22α·4＋41α＋α2＝C22·4＋α1＋α4≤C162.当且仅当 α2＝4，即 α＝2 时，扇形面积有最大值C162.
第
四
三角函数 解三角形
章
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
高考概览 1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角 度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．角的概念 (1)角的形成 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转 到另 一个位置所成的图形．
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
第八页，共45页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
第二十页，共45页。
冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形考前增分微课2解三角形的综合应用课件理新人教A版
“＝”，故cosC的最小值是
6－ 4
2。
答案
6－ 2 4
2．求边的最值 【例4】 (2019·石家庄市一模)如图，四边形ABCD的对角线交点位于 四边形的内部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，BD的 最大值为________。
解析 设∠ACB＝θ0<θ<2π，则∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋π2，由余 弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即AC＝DC＝
考前增分微课(二) 三角函数与三角形中的最值问题
纵观近几年的高考试题和高考模拟试题，不难发现在三角函数和三角 形中求最值问题成为其中一个亮点，本文从求三角函数的最值、三角形中 的最值两个方面举例说明，希望对高考备考有所帮助。
类型一 三角函数的最值 1.可化为“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题 【例1】 (2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋ 3sinxcosx。 (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值。
化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围 对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低 点的取值来确定函数的最值。
【变式训练】 函数f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π]的值域为 ________。
解析 f(x)＝3sinx＋4cosx＝5 35sinx＋45cosx ＝5sin(x＋φ)，其中cosφ＝ 35，sinφ＝45 ，0<φ<π2 。因为0≤x≤π，所以φ≤x＋φ≤π＋φ。所以当x＋φ＝ π2 时，f(x)max＝5；当x＋φ＝π＋φ时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4。所 以f(x)的值域为[－4,5]。
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换课件
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4
高三数学(理)一轮复习(课件)第三章 三角函数、解三角形3-5
微提醒：①横坐标伸缩与ω的关系不清；②搞不清f(x)在x＝
π 2
处取最
值；③确定不了解析式中φ的值。
5．函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2
倍得到的图象对应的函数解析式是________。
解析 根据函数图象变换法则可得。 答案 y＝sin12x
6．若函数f(x)＝sinωx(0<ω<2)在区间 0，π3 上单调递增，在区间 π3，2π 上单调递减，则ω＝________。
4．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos ________。
3x＋π6
在[0，π]的零点个数为
解析 因为0≤x≤π，所以π6≤3x＋π6≤169π，由题可知3x＋π6＝2π，或3x ＋π6＝32π，或3x＋π6＝52π。解得x＝9π或49π或79π。故有3个零点。
答案 3
三、走出误区
(A＞0，ω＞0)，x∈ [0，＋∞)表示一个振 A 动量时
T＝2ωπ f ＝T1＝2ωπ
相位 ωx＋φ
初相 φ
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”。
2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移
φ ω
个单位长
度而非φ个单位长度。
【变式训练】 (2018·天津高考)将函数y＝sin 2x＋π5 的图象向右平移
1π0个A单．位在长区度间，3所4π得，5图4π象上对单应调的递函增数(
)
B．在区间34π，π上单调递减
C．在区间54π，32π上单调递增
D．在区间32π，2π上单调递减
一、走进教材
1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 2x－π3 的图象，可以将函 数y＝2sin2x的图象( )
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 4三角函数的图象与性质课件
( ×)
（2）常数函数 = 是周期函数，它没有最小正周期.
( √ )
（3） = sin 是偶函数. ( √ )
（4）已知 = sin + 1， ∈ ，则的最大值为 + 1.
（5） = tan 的对称中心是 π, 0 ∈ .
所以函数的定义域为[−4, −π] ∪ [0, π].故选D.
)
D.[−4, −π] ∪ [0, π]
√
（2）【多选题】下列函数中，最大值满足 ≥ 1的是(
A. = 2sin 2 − 1
√
)
B. = 2sin − cos
√
C. = −sin2 + 4sin − 3
D. = cos tan
（3）若是函数 的一个周期，则( ∈ 且 ≠ 0)也是 的周期.
（4）周期函数的定义域是无限集.
2.关于奇偶性的常用结论
π
2
（1） = sin + ≠ 0 ,则 为偶函数⇔ = + π ∈ .
（2） = sin + ≠ 0 ,则 为奇函数⇔ = π ∈ .
该函数的最小正周期为 =
2π
2
.
=π .
（3）由图象变换规则，知 = sin −
1
2
π
3
周期的一半，即 = × 2π = π .
π
3
的最小正周期是 = sin −
π
3
的最小正
【点拨】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义.②利用公式
= sin + 和 = cos + 的最小正周期为
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第5节 三角恒等变换教学案(含解析)理-人教版高三全册
第五节 三角恒等变换[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)t a n(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)t a n 2α＝2tan α1－tan 2α. [常用结论]1．公式T (α±β)的变形：(1)t a n α＋t a n β＝t a n(α＋β)(1－t a n αt a n β)； (2)t a n α－t a n β＝t a n(α－β)(1＋t a n αt a n β)． 2．公式C 2α的变形： (1)sin 2α＝12(1－cos 2α)；(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．3．公式逆用：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α；(3)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3∓α.4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中t a n α＝b a)，特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π6. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定．( ) (3)公式t a n(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为t a n α＋t a n β＝t a n(α＋β)(1－t a n αt a n β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值为7. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12 D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]3．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A.210 B ．－210C.7210 D ．－7210A [由cos α＝－35，α是第三象限角知sin α＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210.故选A.] 4．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.725 [由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，则 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝725.]5．(教材改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.33 [11－tan 15°－11＋tan 15°＝1＋tan 15°－1－tan 15°1－tan 15°1＋tan 15° ＝2tan 15°1－tan 215°＝t a n 30°＝33. ]三角函数式的化简1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋α，则t a n α＝( )A ．－1B ．0C.12D ．1A [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以t a n α＝sin αcos α＝－1，故选A.]2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12B.12C.32 D ．－32B [sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.]3．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( ) A.23B.43C.34D.32D [由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.]4．已知0＜θ＜π，则1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________.－cos θ [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0.所以原式＝－cos θ.][规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．三角函数式的求值►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C ．－79D ．－89(2)(2019·某某模拟)已知角α是锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A.26＋16 B.3－28 C.3＋28D.23－16(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则t a n(α－β)＝________.(1)B (2)A (3)－73 [(1)cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×132＝79.故选B.(2)由0＜α＜π2得－π6＜α－π6＜π3又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A. (3)因为sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcosβ－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝34，因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，所以0＜α＜β＜π2.所以－π2＜α－β＜0.所以sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74. 所以t a n(α－β)＝sin α－βcos α－β＝－73.]►考法2 给角求值【例2】 (1)t a n 20°＋t a n 40°＋3t a n 20°t a n 40°＝________. (2)sin 50°(1＋3t a n 10°)＝________.(1)3(2)1[(1)由t a n(20°＋40°)＝tan 20°＋t an 40°1－tan 20°tan 40°＝3得t a n 20°＋t a n 40°＝3(1－t a n 20°t a n 40°)∴原式＝3(1－t a n 20°t a n 40°)＋3t a n 20°t a n 40°＝ 3. (2)sin 50°(1＋3t a n 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]►考法3 给值求角 【例3】 (1)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且t a n(α－β)＝12，t a n β＝－17，则2α－β的值为________．(1)A (2)－3π4[(1)∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.又sin 2α＝55＞0，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. 又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4. ∵sin(β－α)＝1010＞0， ∴cos(β－α)＝－31010且β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. ∵2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴α＋β∈[]π，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.(2)因为t a n α＝t a n[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0，所以0＜α＜π2，又因为t a n 2α＝2tan α1－tan 2α＝＝34＞0，所以0＜2α＜π2， 所以t a n(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.因为t a n β＝－17＜0，所以π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.][规律方法] 三角函数求值的三种情况1“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.2“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.3“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X 围，最后确定角.(1)若0＜α＜π，－π＜β＜0，cos ⎛⎪⎫π＋α＝1，cos ⎛⎪⎫π－β＝3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.539B ．－69C.33D ．－33(2)1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝________.(3)(2019·某某模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β值是________．(1)A (2)22 (3)π4 [(1)由0＜α＜π2得π4＜π4＋α＜3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，由－π2＜β＜0得π4＜π4－β2＜π2.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos π4＋αcos π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.(2)原式＝sin 210°cos 80°2sin 210°＝sin 210°2sin 210°＝22. (3)∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.]三角恒等变换的综合应用【例4】 (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知得f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵－π3≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π6≤π3，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，f (x )有最小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，当2x －π6＝π3，即x ＝π4时，f (x )有最大值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. [规律方法] 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用,解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin ωx ＋φ＋t 或余弦型函数y ＝A cos ωx ＋φ＋t 的形式，再利用三角函数的图象与性质求解.(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．[解] (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12， ∴函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)若－π2＜α＜0， 则2α＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫－5π6，π6， ∴f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋12＝56， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13， ∴2α＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝223， ∴sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6sin π6＝13×32－223×12＝3－226.1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65B ．1 C.35 D.15A [法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65. 故选A.法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )m ax ＝65，故选A.] 2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15C ．－15D ．－725 D [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.] 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15 B.55 C.255 D ．1B[由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝23，所以cos α＝56，sin α＝±16，得|t a n α|＝55.由题意知|t a n α|＝a－b1－2，所以|a－b|＝55.] 4．(2018·全国卷Ⅱ)已知t a nα－5π4＝15，则t a n α＝________.32[法一：因为t a n α－5π4＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得t a n α＝32.法二：因为t a nα－5π4＝15，所以t a n α＝t a nα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.]5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．5[f(x)＝2cos x＋sin x＝5⎝⎛⎭⎪⎫255cos x＋55sin x，设sin α＝255，cos α＝55，则f(x)＝5sin(x＋α)，∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为 5.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
(全国版)高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.5.1两角和、差及倍角公式课件理
【典例3】(2015·随州模拟)在△ABC中,C=120°,
tanA+tanB=
,则tanAtanB的值为 ( )
23 3
A. 1
B. 1
C. 1
D. 5
4
3
2
第二十页，共35页。
【解题导引】根据(gēnjù)A+B=180°-C=60°,先求出 tan(A+B)的值,再求tanAtanB. 【规范解答】选B.tan(A+B)=tan(180°-120°)=
通过诱导公式建立联系.
42
第十八页，共35页。
【规范(guīfàn)解答因】为选sDin.( ) 1 ,cos( 2) 4 32
sin 2 cos( 2) cos 2( )
2
4
[1 2sin2( )] 4
2sin2( )1 7 .
4
9
第十九页，共35页。
命题方向(fāngxiàng)2:三角恒等变换的变“形”问题
( ,0) 4
2
第十页，共35页。
(2)f(x)=-(-1+2cos2x)sin2x=-cos2xsin2x=
-所12以sin4x,因为(yfīn( 4w) èi)52，
所以
f
(
4
)
1 2
sin
2，故sin 5
4，又 5
(
，)， 2
cos 3，sin( ) 4 1 ( 3 ) 3 4 3 3 .
5
3 5 2 5 2 10
第十一页，共35页。
【加固训练(xùnliàn)】
1.若tanα=3,则 sin 2 的值等于 ( )
A.2
B.3 cos2C.4
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余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C cos A= cos B=
b 2 +c 2 -a 2 2bc a 2 +c 2 -b 2
; ;
cos C=
2ac a 2 +b 2 -c 2 2ab
第四章
知识梳理 双基自测
解析
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答案
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知识梳理 双基自测
4.7
解三角形
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5.(教材习题改编P10T2)在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形 的形状为 .
关闭
由正弦定理,得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B, 所以 2A=2B 或 2A=π-2B, 即 A=B 或 A+B=2. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 等腰三角形或直角三角形
4.7
解三角形
第四章
知识梳理 双基自测
4.7
解三角形
知识梳理 核心考点
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1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
正弦定理 内 = ������������������ B = ������������������ C =2R(R 为 ������������������ A 容 △ABC 外接圆的半径) (1)a=2Rsin A,b= 常 2Rsin B,c=2Rsin C; a b c 见 (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R 变 (3)a∶b∶c=sin A∶ 形 sin B∶sin C
4.7
解三角形
知识梳理 核心考点
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正弦定理 解 决 的 问 题 (1)已知两角和任一边,求其他 两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对 角,求另一边和其他两角
余弦定理 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹 角,求第三边和其他两角
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知识梳理 双基自测
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解三角形
知识梳理 核心考点
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2.三角形中的常见结论 (1)在△ABC中,A+B+C=π. (2)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
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知识梳理 双基自测
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解三角形
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3.△ABC 的面积公式 (1)S△ABC=2a· h(h 表示 a 边上的高).
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知识梳理 双基自测
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解三角形
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(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、 西偏北60°等. 顺时针 转到目标方向线的水平角, (3)方位角:指从正北方向 如B点的方位角为α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.
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解析
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答案
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知识梳理 双基自测
4.7
解三角形
知识梳理 核心考点
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3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=√5,c=2,cos
2 A=3,则
b=(
) B.√3 C.2 D.3
A.√2
关闭
由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A,即 5=b 又 b>0,解得 b=3,故选 D.
解析
π
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答案
第四章
考点1 考点2 考点3 考点4
4.7
解三角形
知识梳理 核心考点
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考点 1
利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1(2016山东师大附中模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是
a,b,c,已知 cos 2A=- ,c=√3,sin A=√6sin C.
(1)求a的值; (2)若角A为锐角,求b的值及△ABC的面积. 思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能 用余弦定理解三角形?
1 1 1 1 1 ������������������
(2)S△ABC=2absin C=2acsin B=2bcsin A= 4������ . (3)S△ABC=2r(a+b+c)(r 为内切圆半径).
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知识梳理 双基自测
4.7
解三角形
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4.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 的角叫做仰角,目标视 线在水平视线 下方 的角叫做俯角(如图①).
关闭
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
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知识梳理 双基自测
4.7
解三角形
知识梳理 核心考点
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2.在△ABC中,化简bcos C+ccos B的结果为(
)Байду номын сангаас
1
A.a
B.b
C.c
D.2b
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由正弦定理,得bcos C+ccos B =2R(sin Bcos C+cos Bsin C)=2Rsin(B+C)=2Rsin A=a. A
D
2
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2
2
2 +4-4b× ,即 3b2-8b-3=0, 3
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解三角形
知识梳理 核心考点
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4 cos A=5,cos
4.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若
5 C= ,a=1,则 13
b=
.
关闭
因为 cos A=5,cos C=13,且 A,C 为△ABC 的内角, 所以 sin A=5,sin C=13,sin B=sin[π-(A+C)] =sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C= . 65 ������ ������ ������sin������ 21 21 又因为sin������ = sin������,所以 b= sin������ = 13. 13
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C, 能用余弦定理求边c. ( ) (2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. ( ) (3)在△ABC中,sin A>sin B的充分不必要条件是A>B. ( ) (4)在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条 件. ( ) (5)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个. ( )