高考一轮复习解三角形最新高考真题完整版.doc
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
高考一轮复习解三角形高考真题
高考一轮复习解三角形高考真题People need independence to be free. October 2, 2022解三角形1.2016·新课标全国Ⅰ,4△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a ＝错误!,c ＝2,cos A ＝错误!,则b ＝A.错误!B.错误!C.2D.32.2016·山东,8△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知b ＝c ,a 2＝2b 21－sinA ,则A ＝A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!3.2016·湖南四校联考在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a 2＋b 2－c 2tan C ＝ab ,则角C 为A.错误!或错误!B.错误!或错误!C.错误!D.错误!4.2016·河南三市调研△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c 2＝a －b 2＋6,C ＝错误!,则△ABC 的面积为A.3B.错误!C.错误!D.3错误!5.2016·济南一中检测在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别为a ,b ,c ,A 为锐角, lg b ＋lg ）（c1＝lg sin A ＝－lg 错误!,则△ABC 为 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形6.2015·山东省实验中学三诊在△ABC 中,若a 2＋b 2·sin A －B ＝a 2－b 2sin C ,则△ABC 是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7.2015·湖南十二校联考在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若tan A＝7tan B,错误!＝3,则c＝A.4B.3C.7D.68．2018·陕西宝鸡一模在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA＋B ＝错误!,a＝3,c＝4,则sinA＝A.错误!B.错误!C.错误!D.错误! 9．2018·铜川一模在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知a＝2,c＝2错误!,且C＝错误!,则△ABC的面积为A.错误!＋1B.错误!－1 C．4 D．210．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S＝a＋b2－c2,则tan C等于A.错误!B.错误! C．－错误!D．－错误!11.2016·新课标全国Ⅱ,15△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A＝错误!,cos C＝错误!,a＝1,则b＝________.12.2016·北京,13在△ABC中,∠A＝错误!,a＝错误!c,则错误!＝________.13.2015·重庆,13设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a＝2,cos C＝－错误!,3sin A＝2sin B,则c＝________.14.2015·安徽,12在△ABC中,AB＝错误!,∠A＝75°,∠B＝45°,则AC＝________.15.2014·湖北,13在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A＝错误!,a ＝1,b＝错误!,则B＝________.16.2014·福建,14在△ABC中,A＝60°,AC＝2,BC＝错误!,则AB等于________．17.2016·浙江,16在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b＋c＝2a cos B.1证明：A＝2B； 2若cos B＝错误!,求cos C的值.18.2015·天津,16在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知△ABC 的面积为3错误!,b －c ＝2,cos A ＝－错误!.1求a 和sin C 的值； 2求cos )62(π+A 的值．19.2015·浙江在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知tan ）π（A +4＝2.1求错误!的值； 2若B ＝错误!,a ＝3,求△ABC 的面积．20.2018·天津卷15在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知sin cos()6b A a B π=-. I 求角B 的大小；II 设a =2,c =3,求b 和sin(2)A B -的值. 21.2014·重庆,18在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a ＋b ＋c ＝8. 1若a ＝2,b ＝错误!,求cos C 的值；2若sin A cos 2错误!＋sin B cos 2错误!＝2sin C ,且△ABC 的面积S ＝错误!sin C ,求a 和b 的值．22.2017·山东设函数)(x f ＝)2sin(6sin π）π（-+-x x ωω,其中0＜ω＜3,已知)6(πf ＝0. 1求ω；2将函数y ＝fx 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变,再将得到的图象向左平移错误!个单位,得到函数y ＝gx 的图象,试讨论gx 在错误!上的单调区间及最值．23．2018·江西南昌三校联考已知A,B,C 是△ABC 的内角,a,b,c 分别是其对边长,向量m ＝错误!,cosA ＋1,n ＝sinA,－1,m ⊥n.1求角A 的大小；2若a ＝2,cosB ＝错误!,求b 的值．24．2018·江西新余一中调研在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且btanA,ctanB,btanB 成等差数列．提示：等差中项1求角A ；2若a ＝2,试判断当bc 取最大值时△ABC 的形状,并说明理由．25．2018·河北廊坊模拟已知函数fx ＝2cosx·cos ）π（3-x －错误!. 1求fx 的最小正周期；2在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若fC ＝错误!,c ＝2错误!,且△ABC 的面积为2错误!,求△ABC 的周长．26.2017全国卷1理科△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为23sin a A 1求sin B sin C ； 2若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长.27.2018·江苏卷16已知,αβ为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+= 1求cos2α的值； 2求tan()αβ-的值．。
2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形 第4练 二倍角公式及应用(解析版)
B． cos A cos B
C． sin 2A sin 2B
D． cos 2A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
D． 5 或
5
5
）
D． 24 25
7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A． f x cos2 x sin x cos x
B． f x 1 cos 2 x
2sin x cos x
C．
f
x
cos
x
π 3
cos
x
π 3
D．
f
x
sin
D
不
正确，
故选：BC.
10．AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称
性、换元法逐一判断即可.
【详解】 f (x) sin x cos x 1 sin 2x, g(x) sin x cos x 2 sin(x π ) ，
2
4
当
x
0,
π 4
时，
3 5 8
2
5 1 5 1．
16
4
故选：D．
2．B 【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
sin
π 6
cos
3 sin 1 cos cos 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 3 ，
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题知识点及练习题含答案(1)
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题知识点及练习题含答案(1)一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ）A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.2．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 4442c c BAD c c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠，所以(0,)2BAD π∠∈，又3cos 2BAD ∠≥，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.3．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.【详解】因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ，所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+， 令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =，设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 6f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；6．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤，此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．7．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】 由条件可得13f π⎛⎫=±⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确. 选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，如图 当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.8．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是π B ．()f x 的图像可由函数()222g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到 C ．4x π=是()f x 的一条对称轴D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AB 【分析】首先化简函数()2224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项. 【详解】()1sin 2cos 212224f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，A.函数的最小正周期22T ππ==，故A 正确；B.根据图象的平移变换规律，可知函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到()222284f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；C.当4x π=时，32444πππ⨯+=，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8x π=-时，2084ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.9．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin =333f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.。
解三角形图形类问题(十大题型)(原卷版)-2025数学一轮复习(含2024年高考真题+回归教材)
重难点突破02解三角形图形类问题目录01方法技巧与总结 (2)02题型归纳与总结 (2)题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法） (2)题型二：两角使用余弦定理建立等量关系 (4)题型三：张角定理与等面积法 (5)题型四：角平分线问题 (6)题型五：中线问题 (7)题型六：高问题 (9)题型七：重心性质及其应用 (10)题型八：外心及外接圆问题 (12)题型九：两边夹问题 (13)题型十：内心及内切圆问题 (14)03过关测试 (15)解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）【典例1-1】（2024·河南·三模）已知P 是ABC 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ∠∠∠θ====.(1)若π,24BC θ=，求AC ；(2)若π3θ=，求tan BAP ∠.【典例1-2】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠平分线，::2:c AD b =(1)求A ∠；(2)AD 上有点,90M BMC ∠= ，求tan ABM ∠.【变式1-1】如图，在平面四边形ABCD 中，90ACB ADC ∠=∠=︒，AC =30BAC ∠=︒．(1)若CD =BD ；(2)若30CBD ∠=︒，求tan BDC ∠．【变式1-2】（2024·广东广州·二模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos b A a B b c -=-.(1)求A ；(2)若点D 在BC 边上，且2CD BD =，cos 3B =，求tan BAD ∠.【变式1-3】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )A c B b C a +=.(1)求角A ；(2)若O 是ABC 内一点，120AOB ∠=︒，150AOC ∠=︒，1b =，3c =，求tan ABO ∠．题型二：两角使用余弦定理建立等量关系【典例2-1】如图，四边形ABCD 中，1cos 3BAD ∠=，3AC AB AD ==．(1)求sin ABD ∠；(2)若90BCD ∠=︒，求tan CBD ∠．【典例2-2】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD ==(1)求证：sin C A =；(2)若2C A =，2AB CD =，求梯形ABCD 的面积．【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2232cos 235cos22C C π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求角C ；(2)若点D 在AB 上，2BD AD =，BD CD =，求AC BC的值.【变式2-2】平面四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，πABC ADC ∠+∠=，π3BCD ∠=．(1)求BD ；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围；(3)若E 为边BD 上一点，且满足CE BE =，2BCE CDE S S =△△，求BCD △的面积．题型三：张角定理与等面积法【典例3-1】（2024·吉林·模拟预测）ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a c C a b --=+，(1)求角B 的大小；(2)若3b =，D 为AC 边上一点，2BD =，且BD 为B ∠的平分线，求ABC 的面积．【典例3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4b =，2cos sin cos tan b B A A c C=+.(1)求角B 的大小;(2)已知直线BD 为ABC ∠的平分线，且与AC 交于点D ，若3BD =，求ABC 的周长.【变式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin sin a B C b c A C-=+-．(1)求B ；(2)若bB 的平分线交AC 于点D ，1BD =，求ABC 的面积．【变式3-2】（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在ABC 中，4AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上.（1）若3π4ADC ∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD sin sin BAD CAD ∠∠的值.题型四：角平分线问题【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且6,60a A =∠=︒．(1)若AD 为BC 边上的高线，求AD 的最大值；(2)已知AM 为BC 上的中线，BAC ∠的平分线AN 交BC 于点N ，且sin tan 2cos A B A=-，求△AMN 的面积．【典例4-2】如图所示，在ABC 中，3AB AC =，AD 平分BAC ∠，且AD kAC =.(1)若2DC =，求BC 的长度；(2)求k 的取值范围；(3)若1ABC S =△，求k 为何值时，BC 最短.【变式4-1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2π3A =，22cos c b ac C -=.(1)求tan C ；(2)作角A 的平分线，交边BC 于点D ，若AD =AC 的长度；(3)在（2）的条件下，求ABC 的面积.【变式4-2】已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积为S ，且()()sin sin sin 6a b c a A B C S+-++=(1)求角A 的大小；(2)若3,a BA AC A ∠=⋅=-的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.题型五：中线问题【典例5-1】如图，在ABC 中，已知2AB =，AC =，45BAC ∠=︒，BC 边上的中点为M ，点N 是边AC 上的动点（不含端点），AM ，BN 相交于点P ．(1)求BAM ∠的正弦值；(2)当点N 为AC 中点时，求MPN ∠的余弦值．(3)当NA NB ⋅ 取得最小值时，设BP BN λ= ，求λ的值．【典例5-2】（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos BAD ∠=(1)求b 边的长度；(2)求ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的16，求AG EF 的取值范围．【变式5-1】阿波罗尼奥斯（Apollonius ）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD 是ABC 中BC 边上的中线，则222222BC AB AC AD ⎡⎤⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(1)若在ABC 中，5AB =，3AC =，π3BAC ∠=，求此三角形BC 边上的中线长；(2)请证明题干中的定理；(3)如图ABC 中，若AB AC >，D 为BC 中点，3BD DC ==，()sin 3sin 3sin a A b B b A C +=-，2ABC S =△，求cos DAC ∠的值.【变式5-2】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，30B ︒=.(1)已知b =cos cos 2b A a B +=（i ）求C ；（ii ）若a b <，D 为AB 边上的中点，求CD 的长.(2)若ABC 为锐角三角形，求证：3a c <【变式5-3】（2024·江苏南通·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，2c BA BC =⋅- ，其中S 为ABC 的面积.(1)求角A 的大小；(2)设D 是边BC 的中点，若AB AD ⊥，求AD 的长.题型六：高问题【典例6-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3C =且7a b +=，ABC (1)求ABC 的面积；(2)求ABC 边AB 上的高h .【典例6-2】（2024·四川·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos B b A B b ++=.(1)求角C 的大小；(2)若8a =，ABC 的面积为AB 边上的高.【变式6-1】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,8a c ==.(1)若4sin 7C =，求角A 的大小；(2)若5b =，求AC 边上的高.【变式6-2】（2024·山东枣庄·一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin tan 22a C A c =．(1)求C ；(2)若8,5,ab CH ==是边AB 上的高，且CH mCA nCB =+ ，求m n ．题型七：重心性质及其应用【典例7-1】（2024·四川内江·一模）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sin sin 2B C b a B +=．(1)求角A 的大小；(2)M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =ABC 的面积．【典例7-2】（2024·江西景德镇·一模）如图，已知△ABD 的重心为C ，△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .且2cos 22A b c c+=(1)求∠ACB 的大小；(2)若π6CAB ∠=，求sin CDA ∠的大小.【变式7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是ABC的重心，且0AG BG ⋅= ．(1)若π6GAB ∠=，①直接写出AG CG=______；②设CAG α∠=，求tan α的值(2)求cos ACB ∠的取值范围．【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）ABC 的角,,A B C 对应边是a ，b ，c ，三角形的重心是O .已知3,4,5OA OB OC ===.(1)求a 的长.(2)求ABC 的面积.题型八：外心及外接圆问题【典例8-1】（2024·广东深圳·二模）已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,2,1a b c a b c ===.(1)求角A 的余弦值；(2)设点O 为ABC 的外心（外接圆的圆心），求,AO AB AO AC ⋅⋅ 的值.【典例8-2】已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,3,22cos a b c a c b a B =-=．(1)求A ；(2)M 为ABC 外心，AM 的延长线交BC 于点D ，且2MD =，求ABC 的面积．【变式8-1】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,,20,a b c c b AB AC ABC >⋅= 的面积为(1)求A ∠；(2)设O 点为ABC 外心，且满足496OB OC ⋅=- ，求a .【变式8-2】（2024·河南·模拟预测）已知ABC 的外心为O ，点,M N 分别在线段,AB AC 上，且O 恰为MN 的中点．(1)若1BC OA ==，求ABC 面积的最大值；(2)证明：AM MB AN NC ⋅=⋅．【变式8-3】（2024·安徽黄山·三模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知c =(1cos )sin b C B +=.(1)求角C 的大小和边b 的取值范围；(2)如图，若O 是ABC 的外心，求OC AB CA CB ⋅+⋅ 的最大值.题型九：两边夹问题【典例9-1】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos sin 0sin cos A A B B +-=+，则a b c +的值是（）A ．2BC D ．1【典例9-2】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长.若2cos sin 0cos sin A A B B +-=+，则a b c+的值是（）.A ．1B CD ．2【变式9-1】在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则tan A =_________________【变式9-2】（2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若22252cos 3cos 2sin sin sin sin --=+B C A B C A ，则tan A =_____．【变式9-3】在ABC ∆中，已知边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a =，2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则ABC ∆的面积S =______.【变式9-4】在ABC 中，若(cos sin )(cos sin )2A A B B ++=，则角C =__．题型十：内心及内切圆问题【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2a B b c +=，5a =．(1)求ABC 的周长的取值范围；(2)若ABC 的内切圆半径6r =，求ABC 的面积S .【典例10-2】（2024·湖南永州·一模）在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos c A a C a b -=+．(1)求角C ；(2)若5,c ABC = 的内切圆半径4r =，求ABC 的面积．【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin cos c A C -=．(1)求角A 的大小；(2)若7a =，ABC 外接圆的半径为R ，内切圆半径为r ，求R r的最小值．【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22sin 2sin 2sin sin 4A B A B ⋅⋅=．(1)求C ；(2)若2c =，求ABC 内切圆半径取值范围．【变式10-3】（2024·广西南宁·一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，且sin sin sin A B b c C b a+-=-．(1)求ABC 的外接圆半径R ；(2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围．【变式10-4】（2024·吉林·二模）已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的外接圆半径为222sin sin sin sin sin B C B C A +-=.(1)求a ;(2)求ABC 的内切圆半径r 的取值范围1．如图所示，在ABC 中，设,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知3b c a +=，()4b c a =-．(1)求角C ；(2)若7c =，过B 作AC 的垂线并延长到点D ，使,,,A B C D 四点共圆，AC 与BD 交于点E ，求四边形ABCD 的面积．2．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠= ．(1)若3AC =，求ACD 周长的最大值；(2)若2CD AB =，45BCD ∠= ，求tan DAC ∠的值．3．（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，已知sin()sin sin BAC B B C ∠-∠=+．(1)求BAC ∠．(2)若2AC AB =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，求cos ADB ∠．4．（2024·四川成都·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin sin 2B C a B +=，边BC 上有一动点D .(1)当D 为边BC 中点时，若2AD b ==，求c的长度；(2)当AD 为BAC ∠的平分线时，若4a =，求AD 的最大值.5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数()π2π1sin sin 332f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，角A 为△ABC 的内角，且()0f A =．(1)求角A 的大小；(2)如图，若角A 为锐角，3AB =，且△ABC 的面积S E 、F 为边AB 上的三等分点，点D 为边AC 的中点，连接DF 和EC 交于点M ，求线段AM 的长．6．（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S ，()2sin 213sin A B S b B ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦．(1)求角A ．(2)若ABC 的面积为a =，D 为边BC 的中点，求AD 的长．7．（2024·四川成都·三模）在ABC 中，15,6,cos 8BC AC B ===．(1)求AB 的长；(2)求AC 边上的高．8．（2024·江苏南通·三模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=．(1)求A ；(2)若ABCBC 边上的高为1，求ABC 的周长．9．（2024·高三·河南·开学考试）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()()()10sin sin sin sin 2sin 2sin 3a b c A B C a B c A b c C ++++=+++．(1)求cos C ；(2)若AB 边上的高为2,c =,a b ．10．（2024·高三·山东济南·开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()cos 2cos b A a B =-.(1)求c a；(2)若2π3B =，且AC ABC 的周长.11．在ABC 中，设a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对边．设BC 边上的高为h ，且2a h =．(1)把b cc b +表示为sin cos x A y A +（x ，R y ∈）的形式，并判断b c c b+能否等于(2)已知B ，C 均不是直角，设G 是ABC 的重心，BG CG ⊥，c b >，求tan B 的值．12．（2024·江苏苏州·二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin a b C B c A B+-=-．(1)求角A ；(2)若6a =，点M 为ABC 的重心，且AM =ABC 的面积．13．（2024·河南开封·模拟预测）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知sin cos cos ,B a C c A b G -==为ABC 的重心．(1)若2a =，求c 的长；(2)若AG =ABC 的面积．14．（2024·辽宁抚顺·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin sin a b A B c C B +-=-．(1)求角A ；(2)若6a =，点M 为ABC的重心，且AM =ABC 的面积．15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 是公差为2的等差数列.(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积.(2)是否存在正整数b ，使得ABC 的外心在ABC 的外部?若存在，求b 的取值集合；若不存在，请说明理由.16．（2024·湖北·模拟预测）已知ABC 的外心为O ，,M N 为线段,AB AC 上的两点，且O 恰为MN 中点.(1)证明：||||||||AM MB AN NC ⋅=⋅(2)若||AO ||1OM =，求AMN ABCS S V V 的最大值.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足3cos 5c a B b =+.(1)求cos A 的值；(2)当BC 与BC 边上的中线长均为2时，求ABC 的周长；(3)当ABC 内切圆半径为1时，求ABC 面积的最小值.18．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos b c a C C +=+.(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 内切圆周长的最大值.19．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知ABC 的周长为20，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (1)若π4C =，7c =，求ABC 的面积；(2)若ABC 7a =，求tan A 的值．20．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23A π=，10b =，6c =，ABC 的内切圆I 的面积为S .(1)求S 的值；(2)若点D 在AC 上，且,,B I D 三点共线，求BD BC ⋅ 的值.21．（2024·贵州·模拟预测）在ABC 中，AB =2AC =，π6C ∠=，N 为AB 的中点，A ∠的角平分线AM 交CN 于点O .(1)求CN 的长；(2)求AOC 的面积.22．（2024·广东梅州·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，ccos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ⊥，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC 的面积ABC S ．23．（2024·甘肃陇南·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知cos cos 3c A a C +=.(1)求b ；(2)D 为边AC 上一点，π26AD DC,DBC ,AB BD =∠=⊥，求BD 的长度和ADB ∠的大小.24．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，2AB CD ==tan2A =，1cos 3ADB ∠=．(1)求cos BDC(2)求BC的长．。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)附解析
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)附解析一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为πC ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ABCD 【分析】先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立 所以()12f x f x π=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()12f x f x ππ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以()()()11f x f x f x ππ=-=+-+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于选项A:()2sin 2sin 2sin 2sin 0666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：函数()g x 周期为221T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2Tπ=，故选项B正确；对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，故选项C 正确； 对于选项D ：当63x ππ≤≤，066x ππ≤-≤，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.2．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，M ，2(3N ， ∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径6r ==，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.3．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2BAD π∠∈，又cos BAD ∠≥BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.4．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.5．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若sin sin a bB A=，则ABC 为等腰三角形B ．若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=【答案】ACD 【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断； 对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角形；对于C ：利用三角函数化简得tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断； 对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =， ∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=， ∴若cos cos a bB A=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=∴ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 对于C ：∵A+B+C=π，∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，， ∴tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C++ sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A CA B C ++sin sin =cos cos cos C CA B C+11=sin cos cos cos C A B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭sin sin sin =cos cos cos A B CA B C.∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>> ∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，∴ABC 为钝角三角形. 故C 正确；对于D ：∵sin cos a b C c B =+，∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C = ∵()0,C π∈∴4C π.故D 正确. 故选：ACD 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．6．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.【详解】因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+， 令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.7．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．8．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.9．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确； 对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．已知函数)2()lg 11( 2.7)x x f x x x e e e -=++-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ） A ．1B 2C ．3D ．4【答案】CD【分析】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可.【详解】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+， ()g x 的定义域为R ，))()()lg lg x x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=， 所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lg y x =单调递增， x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lg x x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lgx x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lg x x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-， 所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f转化为函数恒成立问题.。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第4章 必刷大题9 解三角形
(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsin B，求S.
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由 S＝6bsin B，根据面积公式得 6bsin B＝12acsin B＝3asin B， 所以a＝2b. 由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝12， 整理得a2＋b2－ab＝36，即3b2＝36， 所以 b＝2 3，a＝4 3. 所以△ABC 的面积 S＝12absin C＝12×4 3×2 3sin π3＝6 3.
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(2)若△ABC是锐角三角形，且AB＝4 km，求养殖区△ABC面积(单位： km2)的取值范围.
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因为AB＝4，∠BAC＝60°， 所以△ABC 的面积 S＝12AB·ACsin∠BAC＝ 3AC. 在△ABC 中，由正弦定理可得sin∠ABACB＝sin∠ACABC， 则 AC＝ABsisni∠n∠ACABBC＝4sin1si2n0∠°－AC∠BACB＝tan∠ 2 A3CB＋2. 因为△ABC 是锐角三角形，所以00°°<<∠ 12A0°C－B<∠9A0°C，B<90°，
1－2
5
52＝
55，
sin∠ADC＝sin∠ACB－4π
＝ 22(sin∠ACB－cos∠ACB)＝ 22×255－ 55＝ 1100，
在△ACD 中，由正弦定理得sin∠CDDAC＝sinπ－A∠D ACB＝sin∠ACADC，
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即CD2 ＝ A1C0＝2105＝5 5，解得 CD＝5 210，AC＝522， 2 10 5
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2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，4 5 a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C).
高考一轮复习解三角形最新高考真题
解三角形1. (2016新课标全国I, 4)△ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知a = ,5, c = 2, cos A = 3，贝V b =( )A. ,2B. ,3C.2D.32. (2016 山东，8)A ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知 b = c , a = 2b (1 — sinA),贝U A =( )3 n nn nA.B. C ： D.2 43462 2 23. （2016湖南四校联考）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若（a + b — c ）tan C = ab,则角 C 为（）n ［、. 5 nA ・6或石4. （2016河南三市调研）A ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为nC = n ，则A ABC 的面积为（ ）A.3B.9^C 弩D.3 ,35. （2016济南一中检测）在 △ABC 中，内角A , B , C 对边的边长分别为a , b , c , A 为锐角，1Ig b + lg （-） = lg sin A =— Ig 2,则 A ABC 为（）cA.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2 2 2 26. （2015山东省实验中学三诊 ）在A ABC 中，若（a + b ） sin （A — B ） = （a — b ）sin C ,则A ABC 是 （ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7. （2015湖南十二校联考）在MBC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,a2— b 2 若 tan A = 7tan B , = 3,贝U c =（）cA.4B.3C.7D.6& （2018陕西宝鸡一模）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若sin （A + B ） 1=3, a = 3, c = 4，贝U si nA =( )2 13 1 ATB.1C.4%9. （2018铜川一模）在厶ABC 中，内角 A , B , C 对应的边分别为 a , b , c ,已知a = 2, c = 2 2, 且C =；则^ ABC 的面积为（）A. ,3 + 1B. 3 — 1C .4D.210.在△ ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为 a , b , 6若厶ABC 的面积为 S ,且2S = （a+ b)2— c 2, 则tan C 等于（ )3443a ,b ,c ,若 c 2= (a — b)2+ 6,7tAG B.4C. —3D. —4411. (2016新课标全国n, 15)A ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b, c,若cos A= ? cos5C= 13，a = 1，贝V b = ______ .2冗 b12. （2016 北京，13）在△ABC中，/ A=石，a=£c,则-=______________ .3 C1 13. （2015重庆，13）设A ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a = 2, cos C=- 4,3sin A= 2sin B,贝V c= _________ .14. （2015 安徽，12）在A ABC 中，AB = ^6,Z A= 75 ° / B= 45 ° 贝U AC= _________ .n15. （2014湖北，13）在A ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知A= g, a= 1,b=萌，贝y B = _________ .16. （2014 福建，14）在A ABC 中，A = 60° AC = 2, BC = J3,贝U AB 等于__________ .17. （2016浙江，16）在A ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知b + c= 2acos B.2（1）证明：A = 2B; （2）若cos B = 3,求cos C 的值.18. （2015天津，16）在A ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a,b, c.已知A ABC的面积1为3屮5, b —c= 2, cos A =- 4.(1)求a和sin C的值;n⑵求cos（2A ）的值.19.(2015浙江)在A ABC中，内角A, B, C所对的边分别为na, b, c.已知tan（A）= 2.4,、sin 2A（1）求 sin 2A + coV A 的值;n⑵若B = 4, a= 3，求A ABC的面积.20. ( 2018 •天津卷15)在△ ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知bsin A = acos(B )6(I)求角B的大小；(II)设a=2, c=3,求b 和sin(2A - B)的值.21.(2014重庆，18)在A ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且a+ b + c= 8. 5(1)若a = 2, b= ，求cos C 的值；⑵若sin Acos2B + sin Bcos2A = 2sin C, 且A ABC 的面积S= 9sin C，求a 和b 的值.22.(2017 山东)设函数f(x) = sinC x -n) sin(-n)，其中0< «< 3，已知f(n) = 0.6 2 6(1) 求3；(2) 将函数y= f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数y=g(x)的图象，试讨论g(x)在［-n型上的单调区间及最值.23. (2018江西南昌三校联考)已知A , B , C是厶ABC的内角，a, b, c分别是其对边长, 向量m = ( ,3, cosA + 1), n= (sinA , —1), m丄n.(1)求角A的大小；⑵若a= 2, cosB = ^3，求b的值.24. (2018 •西新余一中调研)在厶ABC中，角A , B, C所对的边分别为a, b, c,且btanA , ctanB, btanB成等差数列.(提示：等差中项)(1)求角A ;⑵若a= 2,试判断当bc取最大值时△ ABC的形状，并说明理由.n 125. (2018河北廊坊模拟)已知函数f(x) = 2cosx cos(x ) —2.3 2(1)求f(x)的最小正周期；⑵在△ ABC中，角A , B , C所对的边分别为a, b, c,若f(C)=舟,c= 2 3,且厶ABC的面积为2_3，求△ ABC的周长.26. (2017全国卷1理科)△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知△ ABC的面2积为一3sin A(1 )求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1, a=3，求△ ABC 的周长.tan- =4 , cos(:亠■ ) 527. (2018 •江苏卷16)已知a P为锐角,3 5(1) 求cos2用的值; (2 )求tan的值.。
(完整版)解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
2024年高考数学复习大题全题型专练：专题07 解三角形(解析版)
专题7解三角形一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A ．(1)证明：2222a b c ；(2)若255,cos 31a A ，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c ，即可得解.(1)证明：因为 sin sin sin sin C A B B C A ，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C ，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab，即22222222222a c b a b c b c a ，所以2222a b c ；(2)解：因为255,cos 31a A，由（1）得2250b c ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A ，则50502531bc ，所以312bc，故 2222503181b c b c bc ，所以9b c ，所以ABC 的周长为14a b c .2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B．(1)若23C ，求B ；(2)求222a b c 的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos 2A B A B 化成 cos sin A B B ，再结合π02B ，即可求出；（2）由（1）知，π2C B ，π22A B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c 化成2224cos 5cos B B ，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ，即 1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC ，而π02B ，所以π6B ；(2)由（1）知，sin cos 0BC ，所以πππ,022C B ，而πsin cos sin 2B C C，所以π2C B ，即有π22A B ．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B BB ．当且仅当22cos 2B 时取等号，所以222a b c的最小值为5．3．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ．(1)求sin A 的值；(2)若11b ，求ABC 的面积．【答案】(2)22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab以及4a 可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C 求出面积．(1)由于3cos 5C ，0πC ，则4sin 5C．因为4a ，由正弦定理知4sin A C，则sin 45A C ．(2)因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a ，即26550a a ，解得5a ，而4sin 5C ，11b ，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ．4．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 2C C．(1)求C ；(2)若6b ，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】(1)6 (2)6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.(1)解：因为 0,C ，则sin 0C2sin cos C C C ，可得cos 2C ，因此，6C .(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a，解得a .由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C ，c所以，ABC 的周长为6a b c .5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C，求b ．【答案】(2)12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由123S S S2222a c b ，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b ac B A C，即可求解.(1)由题意得22221231,,2S a S S，则222123S S S a b c 即2222a c b ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac ，整理得cos 1ac B ，则cos 0B ，又1sin 3B ，则22cos 3B ，1cos 4ac B ，则12sin 28ABC S ac B ；(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C，则229sin sin sin sin sin 423b a c ac B A C A C ，则3sin 2b B ，31sin 22b B .6．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sin sin sin sin C A B B C A ．(1)若2A B ，求C ；(2)证明：2222a b c 【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得， sin sin C C A ，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由2A B ， sin sin sin sin C A B B C A 可得， sin sin sin sin C B B C A ，而π02B ，所以 sin 0,1B ，即有 sin sin 0C C A ，而0π,0πC C A ，显然C C A ，所以，πC C A ，而2A B ，πA B C ，所以5π8C．(2)由 sin sin sin sin C A B B C A 可得，sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C ，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222a cb bc a b c a a b c ，化简得：2222a b c ，故原等式成立．7．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB m ，15AD m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20 ，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14【解析】【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD ，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值.(1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD 则AE EH ，所以直角ADE 与直角HED △全等所以20ADE HDE在直角HED △中，tan 2015tan 20EH DH90250HDF ADE在直角FHD △中，tan 5015tan 50HF ADsin 20sin 5015tan 20tan 5015cos 20cos50EF EH HFsin 2050sin 20cos50cos 20sin 501515cos 20cos50cos 20cos50sin 70151523.3cos 20cos50cos50(2)设ADE ,902HDF ，则15tan AE ，15tan 902FH 115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFD S EF DHV 11515tan 22ADE S AD AE V 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADE DEF S S S22512253tan 4tan 42当且当13tan tan ，即tan 时取得等号，此时15tan 158.73AE即当tan 3 时，梯形AEFD 的面积取得最小值2则此时梯形FEBC 的面积有最大值1530255.142所以当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.148．（2022·全国·模拟预测）在 ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且 sin sin sin 6b a b c A B C S .(1)求角B 的大小；(2)若1a b ，2c b ，求cos A ，cos C 的值.【答案】(1)3(2)17，1114【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;（2）由余弦定理计算即可.(1)由in 12s S ab C ，又 sin sin sin 3sin b a b c A B C ab C ，由0b ，则 sin sin sin 3sin a b c A B C a C .由正弦定理得 3a b c a b c ac ，所以222a c b ac .由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac ，因为0B ，所以3B .(2)因为222a c b ac ，1a b ，2c b ，所以 2221212b b b b b ，解得7b ，所以8a ，5c .所以2222227581cos 2707b c a A bc ，22222287511cos 211214a b c C ab .9．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A B C ，，的对边长分别为a b c ，，，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan S a B ab A B．(1)求角B 的大小；(2)若322AB BC ，，点D 在边AC 上，______，求BD 的长．请在①AD DC ；②DBC DBA ；③BD AC 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3B (2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据面积公式可得2cos cos cos c B a B b A ，利用正弦定理以及和角关系可得1cos 2B ，进而可求.（2）根据余弦定理可求出AC ，然后在ABD △和在DBC △中分别用余弦定理即可求①.根据面积公式即可求解②③.(1)因为24cos cos tan S a B ab A B ，所以214sin 2cos cos sin cos ac B a B ab A B B，所以22cos cos cos ac B a B ab A ，即2cos cos cos c B a B b A ．由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos C B A B B A ，所以 2sin cos sin sin C B A B C ．因为 0,πC ，所以sin 0C ，所以1cos 2B．又 0,πB ，所以π3B．(2)若选①．法一：在ABC 中，由余弦定理，得2222233π132cos 222cos 2234AC AB BC AB BC B ，所以ACAD DC 在ABD △中，由余弦定理，得2222cos AB BD DA BD DA ADB ，即2134cos 16BD BD ADB ．在DBC △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC CDB ，即2913cos 416BD CDB ．又πADB CDB ，所以cos cos 0ADB CDB ．所以29134248BD ，所以374BD ．法二：因为AD DC ，所以D 为AC 的中点，所以 12BD BA BC ，所以222124BD BA BC BA BC 19337422cos6044216．所以BD BD 若选②．在ABC 中，ABC ABD CBD S S S ，即1π1π1πsin sin sin 232626BA BC BA BD BD BC ，即1311131222222222BD BD ，解得BD 若选③．在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B2233π13222cos 2234 ，所以AC ．因为1sin 2ABC S BA BC B △12ABC S BD AC △，BD 10．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C A B C ，a b ．(1)求角B ；(2)若3a ，7b ，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．【答案】(1)23B (2)1538【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合两角和差的正余弦公式化简即可（2）由余弦定理可得5c ，再根据BCD △的面积为ABC 面积的一半，结合三角形的面积公式求解即可(1)由cos 2cos tan sin C A B C，有tan sin cos 2cos B C C A ，两边同乘cos B 得sin sin cos cos 2cos cos B C B C A B ，故 cos 2cos cos B C A B ，即cos 2cos cos A A B ．因为a b ，所以A 为锐角，cos 0A ，所以1cos 2B ．又因为 0,B ，所以23B ．(2)在ABC 中，由余弦定理2221cos 22a c b B ac ，即2949162c c ，故23400c c ，解得5c 或8c 舍）．故11235sin 223BCD ABC S S △△11．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a C ．(1)求角A ；(2)若M 为BC 的中点，AM ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3A 【解析】【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；解法二：利用余弦定理将cos C 用边表示再化简即可；（2）解法一：根据基底向量的方法得1()2AM AB AC ，两边平方化简后可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；解法二：设BM MC m ，再分别在ABM ，ACM △和ABC 中用余弦定理，结合cos cos 0AMB AMC 可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可(1)解法一：因为22cos c b a C ，由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C ，所以sin 2sin()2sin cos C A C A C 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin A C A C A C A C ，因为sin 0C ，所以12cos 1,cos 2A A，为0πA ，所以π3A ．解法二：因为22cos c b a C ，由余弦定理得：222222a b c c b a ab，整理得222bc b c a ，即222a b c bc ，又由余弦定理得2222cos a b c bc A所以12cos 1,cos 2A A，因为0πA ，所以π3A ．(2)解法一：因为M 为BC 的中点，所以1()2AM AB AC ，所以222124AM AB AB AC AC ，即22132cos 43c b bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc 即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立所以ABC 的面积为113sin 4222ABC S bc A △即ABC 解法二：设BM MC m ，在ABM 中，由余弦定理得2232cos c m AMB ，①在ACM △中，由余弦定理得2232cos b m AMC ，②因为πAMB AMC ，所以cos cos 0AMB AMC 所以①+②式得22262b c m ．③在ABC 中，由余弦定理得22242cos m b c bc A ，而π3A ，所以2224m b c bc ，④联立③④得：22222212b c b c bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc ，即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立．所以ABC 的面积为11sin 4222ABC S bc A △ABC 12．（2022·北京市第十二中学三模）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin a B A .(1)求角B 的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC 的面积.条件①：3a ；条件②：b ；条件③：2cos 3C ；条件④：2c .【答案】(1)6B(2)答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得出tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）选①②，利用余弦定理可判断ABC 不唯一；选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断ABC 唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断ABC 的面积；选①④，直接判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积；选②④，利用余弦定理可判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.(1)解：由cos sin a B A 及正弦定理可得sin cos sin A B A B ，A ∵、 0,B ，则sin 0A ，cos 0 B B ，tanB 6B .(2)解：若选①②，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，即210c ，解得 c ，此时，ABC 不唯一；若选①③，已知3a ，6B，21cos 32C ，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A C B C C由正弦定理sin sin b a B A 可得 92sin sin 11a B b A，所以， 9211sin 32211ABC S ab C △；若选①④，已知3a ，6B，2c ，此时ABC 唯一，1322sin ABC S ac B；若选②③，已知b 6B ，21cos 32C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A CBC C 由正弦定理sin sin b c B C 可得sin 410sin 3b C c B ，所以，120385sin 29ABC S bc A △；若选②④，已知b 6B，2c ，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，可得240a ，0a ∵，解得a ABC 唯一，1sin2ABC S ac B △若选③④，已知6B ，2c ，231cos 322C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，5sin 3C， 152sin sin sin cos cos sin 666A CBC C ，由正弦定理sin sin b c B C 可得sin sin 5c B b C ，1sin 210ABC S bc A △.13．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos (cos )sin .232B BC C (1)当π3B，求sin sin C A 的值(2)求B 的最大值.【答案】(1)sin C +sin A =1(2)2π3【解析】【分析】（1）代入π3B ，解得313sin cos 223C C ，对sin sin C A 变形得到1sin sin sin cos 12C A C C ，求出答案；（2）对题干条件两边同乘以2cos2B ，变形得到sin sin sin C A B ，利用正弦定理得到a c ，利用余弦定理和基本不等式求出B 的最大值.(1)由题意得：ππsin coscos )sin 66C C ，1cos 2C C则π31sin sin sin sin sin cos sin cos 1322C A C C C C C C(2)sin cos cos )sin 22B B C C ，两边同乘以2cos 2B 得：22sin cos cos )2sin cos 222B B B C C ，即 sin 1cos cos )sin C B C B ，整理得：sin sin sin C A B ，由正弦定理得：3a cb ，由余弦定理得： 2222222cos 1226ac b ac a c b b B ac ac ac，因为 22143a c acb ，当且仅当ac 时等号成立，此时21cos 162b B ac ，由于 0,πB ，而cos y x 在 0,π上单调递减，故B 的最大值为2π314．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222ab a b c ．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积534S ，且c △ABC 的周长．【答案】(1)π3(2)6【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos C 的值，进而求得角C 的值；（2）依据题给条件得到关于a b ，的方程组，求得+a b 的值，进而求得△ABC 的周长．(1)因为222ab a b c ，由余弦定理，得到2221cos 22a b c C ab ，又0πC ，所以π3C ；(2)因为△ABC 的面积4S ，且c π3C所以有221sin 212S ab C ab a b ，联立22526ab a b ，则6a b ，所以△ABC 的周长为6a b c 15．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C ．(1)求角A 的大小；(2)若2B D D C ，2AD ，且AD 平分BAC ，求ABC 的面积．【答案】(1)60A (2)332【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式化简后求解（2）由AD 是角平分线得到2c b ，再利用面积公式求解(1)tan tantan tan tan tan 0tan()1tan tan B C B C B C B C B C故tan A 60A ；(2)设BC 边的高为h ，所以11sin 22ABD S AB AD BAD BD h ，11sin 22ABC S AC AD DAC CD h 又AD 是角平分线，所以BAD DAC所以AB BD AC DC，即2c b ，又ABC ABD ACD S S S ，则111sin 602sin 302sin 30222bc c b ，解得b c ，133sin 6022ABC S bc △．16．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3a ，2b ，sin A m ．(1)若ABC 唯一确定，求m 的值；(2)设I 是ABC 的内切圆圆心，r 是ABC 内切圆半径，证明：当21c r 时，IC IA IB ．【答案】(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）若01m ，根据sin A m ，b a ，可知A 可以为锐角，也可以为钝角，ABC 有两种情况，若1m ，则三角形为直角三角形，ABC 有唯一解.（2）由21c r 可推导出ABC 为直角三角形，故可计算出,,IC IA IB 的值，即得证.(1)设AB 边上的高为c h ，则sin 20c h b A m ．当1m 时，由勾股定理，若A 为锐角，则c A 为钝角，则c ABC 存在两种情况，不能被唯一确定．当1m 时，ABC 为直角三角形，其中A 为直角顶点，c 可以唯一确定，即ABC 唯一确定，故m 的值为1．(2)当21c r 时，由余弦定理，22223cos 23a b c r r C ab ，故由同角三角函数的关系可得sin C所以ABC 的面积1sin 2S ab C另一方面， 132S a b c r r r3r r ，两边平方可得 213r r r r ，解得r ，21c r ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．因此有222112922IC，IC22211322IA 2IA ；22211322IB ，IB 所以有IC IA IB 成立．17．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形ABC 中，2a b ，三角形的面积12S ．(1)若4b ，求 tan A B ；(2)若3sin 5C ，求sin sin A B ，．【答案】(1)(2)25sin 5A ，sin B 或6205sin 205A ，sin B 【解析】【分析】（1）根据面积公式及4b ，得到3sin 4C ，分C 为锐角和C 为钝角时，求出cos C ，进而求出tan C ，求出 tan A B ；（2）由面积公式求出b a ，分C 为锐角和C 为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案.(1)∵2113sin 2sin 16sin 12sin 224S ab C b C C C 而sin tan()tan(π)tan cos CA B C C C分情况讨论，当C 为锐角时，cos 0cos C C∴tan()A B当C 为钝角时，cos 0cos C Ctan()A B (2)22113sin 2sin 12225S ab C b C b ,因为0b ，所以b a分情况讨论，当C 为锐角时，4cos 0cos 5C C由余弦定理，222cos 366c a b ab C c由正弦定理，10sin sin sin sin sin sin 5a b c A A B C A B ，sin 5B当C 为钝角时，4cos 0cos 5C C ，由余弦定理，222cos 164c a b ab C c由正弦定理，sin sin sin sin a b c A A B C，sin B 18．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c，已知cos sin B b C ．(1)求C 的大小；(2)若ABC为锐角三角形且c 22a b 的取值范围．【答案】(1)3C(2)(5,6]【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再分析求解即可；（2）22224sin 4sin 3a b A A，再利用三角函数求值域即可.(1)cos sin B b C及正弦定理可得sin sin sin )B C B C A B Ccos sin B C B C ，所以sin sin cos B C B C ，因为B 、(0,)C ，则sin 0Bsin 0C C，则tan C 3C．(2)依题意，ABC为锐角三角形且c2sin sin sin a b c A B C ，所以2sin a A ，2sin 2sin()2sin 3b B A C A，所以222221cos 21cos 234sin 4sin 44322A A a b A A142cos 2222cos 222c 2cos 2222os 23A A A A A2c 42co os 242sin 246s 2cos 2sin 2A A A A A A，由于23A B ，所以022032A A，解得62A ，所以23A ，52666A ，所以푠� 2�∈12,1，所以2sin 2(1,2]6A ，所以2sin 24(5,6]6A．所以22a b 的取值范围是(5,6]．19．（2022·辽宁实验中学模拟预测）在① sin sin sin sin A C a b c B C ，② 2222cos 2a b c a c B a，③ sin cos 6a B C B b这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．(1)求B(2)若b ABC 的平分线交AC 于点D ，且5BD，求ABC 的面积．【答案】(1)=3B【解析】【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为 ，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S △△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可(1)选择条件①：根据正弦定理，可得：a c abc b c 可得：222a c b ac 根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac 0,,=3B B 选择条件②：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2abC a c B b C a根据正弦定理，可得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A可得：1cos 2B 0,,=3B B选择条件③：易知：A B C可得：sin cos()6a A B b根据正弦定理，可得：sin sin cos(sin 6A A B B可得：1sin cos()sin 62B B B B整理可得：tan B 0,,=3B B(2)根据题意，可得：ABC ABD BCDS S S △△△可得：1143143sin sin sin 23256256ac a 整理可得：54a c ac 根据余弦定理，可得：2222cosb ac ac ABC可得：2213=a c ac ，即2()313a c ac 可得：225()482080ac ac 解得：4ac 或5225ac （舍）故1=sin 23ABC S ac △20．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos 2B C B C A ．(1)求角A 的大小；(2)若a 2bc 的最大值．【答案】(1)3A (2)【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于cos A 的方程，结合1cos 1A 可求得cos A 的值，再结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出 2b c B ，结合正弦型函数的有界性可求得2b c 的最大值.(1)解：由已知可得 cos 25cos cos sin sin cos 25cos A B C B C A B C 2cos 25cos 2cos 5cos 13A A A A ，即22cos 5cos 20A A ，0A ∵，则1cos 1A ，解得1cos 2A ，因此，3A .(2)解：由正弦定理可得2sin sin sin b c aBC A，所以， 24sin 2sin 4sin 2sin 4sin 2sin 3b c B C B B A B B 4sin sin 5sin B B B B B B，其中 为锐角，且tan，因为3A ，则203B ，23B ，所以，当2B 时，即当2B 时，2b c 取得最大值。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题含答案
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】由条件可得13f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确.选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，如图当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.3．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.4．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．()f x 的最小正周期为4C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利用最高点42,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确.【详解】由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω=-，0612262T x AB ϕπωω-==⋅==，解得6πϕ=-，A 错误； 选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==，得013x =，故1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭， 最小正周期414433T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，B 正确； 选项C 中，由24T πω==，得2πω=，结合最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，知43A =，即()4sin 326f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间，C 正确；选项D 中，53x =-时()5454sin sin 0332363f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.5．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin 33f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.6．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.8．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确.故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a < 【答案】AC【分析】 由不等关系式，构造11()212x f x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可.【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212x x x f x --=-=-++， ∴12()()102121x x x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数， ∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误； 当{}n a 为等比数列，201820202a a q =，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.10．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB【分析】 化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到答案.【详解】()()112232n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；123n n a +=-，C 错误；2124323412nn n S n n +-=-=---，故D 错误. 故选：AB .【点睛】 本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.。
高考数学一轮复习——解三角形(面积问题)
解三角形（面积问题）1．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2(cos )b a C -=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值．2．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos()6b A a B π=-．（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC ∆面积的最大值．3．如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上的一点，24DE AE ==，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠．（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE ∆的面积S 为BC ．4．已知平面四边形ABCD 内接于圆O ，3AB BC ==，60ABC ∠=︒．（1）若CD ，求ABD ∠所对的圆弧AD 的长； （2）求四边形ABCD 面积的最大值．5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对应边，已知cos cos a C b c A =+． （1）求A ；（2）若sin()B A -=，c =ABC ∆的面积．6．（1）如图，在直径为10cm 的轮子上有一长为6cm 的弦，P 是弦的中点，轮子以4弧度/秒的速度旋转，求点P 经过5s 所转过的弧长． （2）在ABC ∆中，已知1tan 2A =，1tan 3B =且最长边为1，求ABC ∆的面积．7．如图，半圆O 的直径为2cm ，A 为直径延长线上的-点，2OA cm =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．设AOB α∠=． （1）当3πα=时，求四边形OACB 的周长；（2）点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？最大值为多少？8．已知ABC ∆sin cos A BC B ⋅=⋅． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）已知3C π=，AB =，若D 、E 是边BC 上的点，使6DAE π∠=，求当ADE ∆面积的最小时，BAD ∠的大小．1．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c aC C b--． （1）求角B 的大小；（2）若6C π=，2a =，F 为边AC 上一点，且CF =，求ABF ∆的面积．2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若cos (2)cos 0b C a c B ++=． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若ABC ∆，求b ．3．已知在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2sin )2A B A π+=+，其中(0,)2B π∈．（Ⅰ）若a =c =b ；（Ⅱ）若2a =，8CB AB ⋅=，求ABC ∆的面积．4．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin()cos 2A a AB c ⋅+=⋅． （1）求A ；（2）已知1b =，3c =，且边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S ∆∆=，求AD ．5．如图所示，在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0b A B a B +=，1a =，2c =（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，BD CD =ABD ∆的面积．6．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2)cos cos a c B b C -=． （1）求B 的大小；（2）如图，AB AC =，在直线AC 的右侧取点D ，使得24AD CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值．解三角形（周长问题）1．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=． （1）求B ；（2）若3b =，当ABC ∆的周长最大时，求它的面积．2．在ABC ∆中，已知3a =，2b c =． （1）若23A π=，求ABC S ∆． （2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．3．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足51sin()sin()664A A ππ-+=-． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，1a =，求ABC ∆周长的取值范围．4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 为ABC ∆的面积，且230S AB AC ⋅=． （1）求A 的大小；（2）若a =1b =，D 为直线BC 上一点，且AD AB ⊥，求ABD ∆的周长．5．已知函数2()sin()sin()2cos 662xf x x x ππ=++--，x R ∈．（1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2a =且f （A ）0=，ABC ∆ABC ∆的周长．6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin )sin (1cos cos )c A C c A C -=-．（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）在①ABC S ∆=，②4A π=，③2a c =这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b =，_______，求ABC ∆的周长．7．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =，cos CBD ∠=． （1）求BDC ∠； （2）若3A π∠=，求ABD ∆周长的最大值．解三角形（中线、角平分线、高线问题）1．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 2A a C c ⋅=⋅． （1）求A ；（2）已知1b =，3c =，求BC 边上的中线AD 的长．2．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c A -． （1）求A ；（2）若2c =，且BC b ．3．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B +=． （1）求角A 的大小；（2）若4a =，D 为BC 的中点，ABC ∆，求AD 的长．4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin b B c C a A b C +=-． （1）求A ；（2）若点D 在BC 上，满足AD 为BAC ∠的平分线，1AC =且sin C =，求AD 的长．5．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+． （1）求角C ；（2）若角C 的角平分线交AB 于点D ，13ACD ABC S S ∆∆=，3AB =，求AC 和CD 的长度．6．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的一条对称轴为6x π=，且f （A ）12=． （1）求A 的值；（2）若2a =，求BC 边上的高的最大值．7．在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．解三角形（取值范围、最值问题1）1．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2(cos cos )cos 0a C c A C b ++=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅰ）求22sin sin A B +的取值范围．2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C -=． （1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围．3．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin 4cos 0cos sin a A b B c Cc A A B--+=．（1）求A ； （2）若a c >，求a bc+的取值范围．4．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且223(cos cos )()222C A a c a c b ac ++-=．（1）求角B 的大小；（2）若(0)b c x x ==>，当ABC ∆仅有一解时，写出x 的范围，并求a c -的取值范围．5．已知函数4411()cos sin cos sin 22f x x x x x =--．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调减区间；（Ⅰ）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2A f =，BC 边上的中线AD ，求22b c +的最大值．6．锐角ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知22cos b a c A -=⋅． （1）求角C ；（2）若4a b +=，求边c 的取值范围．解三角形（取值范围、最值问题2）1．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin()62a bc A π++=． （1）求C ；（2）若ABC ∆，求c 的最小值．2．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c cos sin B b C =+． （1）求角C 的大小；（2）如图，设P 为ABC ∆内一点，1PA =，2PB =，且APB ACB π∠+∠=，求AC BC +的最大值．3．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin 2A Bb c B +=． （1）求C ；（2）若1c =，求12a b -的取值范围．4．在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+．（1）求角C ；（2）若2c =，求a b +的取值范围．5．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2B B +=，cos cosB c b c +． （1）求角B 的大小和边长b 的值； （2）求ABC ∆面积的取值范围．6．在Ⅰsin sin sin sinb A a B A B +=，Ⅰ2sin cos cos cos b C A C C =，Ⅰ()sin sin sin a b A b B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知锐角ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，2c =，_____． （1）求角C ；（2）求a b +的取值范围．解三角形（求值问题1）1．已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，6BDC π∠=，2AD =，4DC =．（1）若cos ABD ∠=，求BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠．2．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．3．如图，在ABC ∆中，9AB =，2cos 3B =，点D 在BC 边上，7AD =，ADB ∠为锐角． （Ⅰ）求BD ；（Ⅰ）若BAD DAC ∠=∠，求sin C 的值及CD 的长．4．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）若[0x ∈，]2π，求函数()f x 的值域；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若a b =且()2Af 求边c 的值．5．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2cos )(2cos cos )a C c B A -=+． （Ⅰ）求cos C ；（Ⅰ）若ABC ∆的面积ABC S ∆=，sin()sin()2sin 2A B A B B ++-=，求c ．6．ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若sin sin()02c A C π+=，6c ==，且点M 满足13AM AB =． （Ⅰ）求角C ； （Ⅰ）求CM 的长．。
全国版2024高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形试题1理含解析
第四章 三角函数、解三角形第四讲 正、余弦定理及解三角形练好题·考点自测1.[2024全国卷Ⅲ,7,5分][理]在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A.19 B.13 C.12 D.232.[2024 山东,9, 5分][理]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满意sin B (1+2cosC )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A.a =2bB.b =2aC.A =2BD.B =2A3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形( ) A.无解 B.有一解 C.有两解D.解的个数不确定4.下列说法正确的是(△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c )( ) ①在△ABC 中,若A >B ,则必有sin A >sin B ; ②在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则△ABC 为锐角三角形;③在△ABC 中,若A =60°,a =4√3,b =4√2,则B =45°或B =135°;④若满意条件C =60°,AB =√3,BC =a 的△ABC 有两个,则实数a 的取值范围是(√3,2); ⑤在△ABC 中,若a cos B =b cos A ,则△ABC 是等腰三角形. A.①③④⑤ B.①②③④ C.①④⑤D.①③⑤5.[2024全国卷Ⅱ,15,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为 .6.[2024浙江,14,6分]在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上.若∠BDC =45°,则BD = ,cos∠ABD = .7.[2024全国卷Ⅱ,13,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = .8.[2024深圳市高三统一测试]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a +b )(sin A -sin B )= (a -c )sin C ,b =2,则△ABC 的外接圆面积为 .9.[湖北高考,5分][理]如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,到A 处时测得马路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD = m .图4-4-1 拓展变式1.(1)[2024江淮十校联考]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2a sin A -b sin B =2c sin C ,cos A =14,则sinB sinC=( ) A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形ABC 中,b =2,a +c =√7(a >c ),且满意2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,则a -c = . 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , (1)若cb <cos A ,则△ABC 的形态为 .(2)若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形态为 .3.[2024河南洛阳4月模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若△ABC 的面积S 满意4√3S +c 2=a 2+b 2,c =√7,a =4,且b >c ,求b 的值; (2)若a =√3,A =π3,且△ABC 为锐角三角形,求△ABC 周长的取值范围.4.[2024全国卷Ⅰ,17,12分][理]在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =5. (1)求cos∠ADB ; (2)若DC =2√2,求BC.5.(1)[解三角形与数列、基本不等式综合]设△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,且满意sin(A -C )-sin B =-√32,BC 延长线上有一点D ,满意BD =2,则△ACD 面积的最大值为( ) A .1 B .√34C .√32D .√63(2)[新课标全国Ⅰ,5分][理]在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是 . 6.[2024山东,15,5分]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC =35,BH ∥DG ,EF =12 cm ,DE =2 cm ,A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ,圆孔半径为1 cm ,则图中阴影部分的面积为 cm 2.图4-4-6答 案第四讲 正、余弦定理及解三角形1.A 由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ×BC ×cos C =16+9-2×4×3×23=9,AB =3,所以cos B =9+9-162×9=19,故选A .2.A 由题意可知sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin(A +C ),即2sin B cos C =sin A cos C ,又cos C ≠0,故2sin B =sin A ,由正弦定理可知a =2b.故选A.3.C ∵b sin A =12√2<a <b ,∴三角形有两解.4.C 对于①,在△ABC 中,若A >B ,则a >b ,a 2R >b2R (R 为△ABC 的外接圆的半径),即sin A >sin B ,①正确;对于②,在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则A 是锐角,但△ABC 不肯定是锐角三角形,②错误;对于③,由a sinA =b sinB 得sin B =ba sinA √24√3×√32=√22,因为a >b ,所以B <A ,所以B =45°,③错误;对于④,由条件可得BC sin C <AB <BC ,即√32a <√3<a ,解得√3<a <2,④正确;对于⑤,由a cos B =b cos A 得sinA cosB =sin B cos A ,即sin(A -B )=0,又A ,B 为三角形的内角,所以A =B ,故△ABC 是等腰三角形,⑤正确.故选C .5.6√3 因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =2 √3,所以a =4√3,所以△ABC 的面积S =12ac sin B =12×4 √3×2√3×sin π3=6√3.6.12√257√210 在Rt△ABC 中,易得AC =5,sin C =AB AC =45.在△BCD 中,由正弦定理得BD =BC sin∠BDC ×sin∠BCD =√2245=12√25,sin∠DBC =sin[180°-(∠BCD +∠BDC )]=sin(∠BCD +∠BDC )=sin∠BCD cos∠BDC +cos∠BCD sin∠BDC =45×√22+35×√22=7√210.又∠ABD +∠DBC =90°,所以cos∠ABD =sin∠DBC =7√210.7.2113解法一 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365.由正弦定理a sinA =b sinB ,得b =asinB sinA =2113. 解法二 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而cos B =-cos(A +C )=-cos A cos C +sin A sin C =-45×513+35×1213=1665.由正弦定理a sinA =c sinC ,得c =asinC sinA =2013. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b =2113.解法三 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213, 由正弦定理a sinA=c sinC,得c =asinC sinA=2013.从而b =a cos C +c cos A =2113.8.43π 利用正弦定理将已知等式转化为(a +b )(a -b )=(a -c )c ,即a 2+c 2-b 2=ac ,所以由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=12,因为0°<B <180°,所以B =60°.设△ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理知,2R =b sinB=√3,R =√3,所以△ABC 的外接圆面积S =πR 2=43π.9.100√6 由题意,得∠BAC =30°,∠ABC =105°.在△ABC 中,因为∠ABC +∠BAC +∠ACB =180°,所以∠ACB =45°. 因为AB =600 m,由正弦定理可得600sin45°=BCsin30°,即BC =300√2 m .在Rt△BCD 中,因为∠CBD =30°,BC =300√2 m,所以tan 30°=CDBC =300√2,所以CD =100√6 m .1.(1)D 因为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2a sin A -b sin B =2c sin C ,利用正弦定理将角化为边可得2a 2-b 2=2c 2①,由①及余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 4c =14,化简得b c =1,即sinBsinC =1,故选D .(2)√3 因为2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,所以2sin A sin B cos C +2sin C sin B cos A =√3sin B.在锐角三角形ABC 中,sin B >0,所以2sin A cos C +2sin C cos A =√3,即sin(A +C )=√32,所以sin B =√32,cos B =12.因为b 2=a 2+c 2-2ac cosB =(a +c )2-2ac -2ac cos B ,所以ac =1.因为(a -c )2=(a +c )2-4ac =7-4=3,且a >c ,所以a -c =√3.2.(1)钝角三角形 已知c b<cos A ,由正弦定理,得sinCsinB<cos A ,即sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sinB cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,即B 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形 因为c -a cos B =(2a -b )cos A ,所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sinB cos A ,又C =π-(A +B ),所以sin C =sin(A +B ),所以sin A cos B +cos A sin B -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,所以cos A (sin B -sin A )=0,所以cos A =0或sin B =sin A ,所以A =π2或B =A (B =π-A 舍去),所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为4√3S =a 2+b 2-c 2,所以4√3×12ab sin C =2ab cos C , 所以tan C =√33,又0<C <π,所以C =π6.由余弦定理及c =√7,a =4,得cos π6=16+b 2-78b,解得b =3√3或b =√3.因为b >c =√7,所以b =3√3. (2)由正弦定理及a =√3,A =π3得√3sinπ3=b sinB =csinC ,故b =2sin B ,c =2sin C =2sin(2π3-B ).则△ABC 的周长为√3+2sin B +2sin(2π3-B )=√3+√3cos B +3sin B =√3+2√3sin(B +π6).由题意可知{0<B <π2,0<2π3-B <π2,解得π6<B <π2.所以π3<B +π6<2π3,故√32<sin(B +π6)≤1,因此三角形ABC 周长的取值范围为(3+√3,3√3]. 4.(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sinA=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin∠ADB =√25. 由题设知,∠ADB <90°,所以cos∠ADB =√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC =sin∠ADB =√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8-2×5×2√2×√25=25,所以BC =5.5.(1)B 因为△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,所以B =π3,又sin(A -C )-sin B =-√32,所以A =B =C =π3,设△ABC 的边长为x ,由已知有0<x <2,则S △ACD =12x (2-x )sin 2π3=√34x (2-x )≤√34(x+2-x 2)2=√34(当且仅当x =2-x ,即x =1时取等号),故选B .(2)(√6−√2,√6+√2) 如图D 4-4-1,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB ,PC 于A ,D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =√6+√2,在△QBC 中,可求得BQ =√6−√2,所以AB 的取值范围是(√6−√2,√6+√2).图D 4-4-16.5π2+4 如图D 4-4-2,连接OA ,作AQ ⊥DE ,交ED 的延长线于Q ,AM ⊥EF 于M ,交DG 于E',交BH 于F',记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P ,设OP =3m ,则DP =5m ,不难得出AQ =7,AM =7,于是AE'=5,E'G =5,∴∠AGE'=∠AHF'=π4,△AOH 为等腰直角三角形,又AF'=5-3m ,OF'=7-5m ,AF'=OF',∴5-3m =7-5m ,得m =1,∴AF'=5-3m =2,OF'=7-5m =2,∴OA =2√2,则阴影部分的面积S =135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−π2=(5π2+4)(cm 2).。
(完整版)解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
解三角形(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向22 解三角形【2022·全国·高考真题（理）】记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．【2022·全国·高考真题】记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．解答三角高考题的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”． （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化．两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A =sin b A a b <<a b ≥a b >a b ≤解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=．1．基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式==2sin sin sinCa b c R A B = 2222cos a b c bc A =+-；2222cosB b c a ac =+-； 2222cosC c a b ab =+-．常见变形（1）2sin a R A =，2sinB b R =，2sinC c R =；（2）sin 2a A R =，sinB 2b R =，sinC 2cR =；222cosA 2b c a bc +-=； 222cosB 2c a b ac +-=； 222cosC 2a b c ab+-=．111sin sin sin 222S ABC ab C bc A ac B ∆===1()42abc S ABC a b c r R ∆==++⋅（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R ，r ．） 2．相关应用 （1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= ②大边对大角大角对大边sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<③合分比：b 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B sin a bc a b b c a c a cR A B C A B B C A C A C+++++=======+++++（2）ABC △内角和定理：A B C π++=①sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos cos c a B b A ⇔=+ 同理有：cos cos a b C c B =+，cos cos b c A a C =+． ②cos cos()cos cos sinAsinB C A B A B -=+=-； ③斜三角形中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+-=+=-⋅tan tan tanC tan tan tanC A B A B ⇔++=⋅⋅④sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+= ⑤在ABC ∆中，内角A B C ，，成等差数列2,33B AC ππ⇔=+=． 3．实际应用 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．1．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b kab +=，则△ABC 的面积为22c 时，k 的最大值是（ ）A ．2B ．5C ．4D ．252．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为______．4．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点、、A B C 处各有一个水声监测点，B C 、两点到点A 的距离分别为 20 千米和 50 千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值； （2）求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离．（结果精确到 0.01 千米）．5．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C AB C-=，a b <． （1）求角B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+． （1）求角A 的大小；（2）若23a =，6b c +=，求ABC 的面积．7．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，6AB AC ⋅=，向量()cos ,sin s A A =与向量()4,3t =-互相垂直． （1）求ABC 的面积； （2）若7b c +=，求a 的值．1．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，30,2,1B a b ===，则A 等于（ ）A ．45B ．135C ．45或135D ．1202．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））ABC 中，若5,6AB AC BC ===，点E 满足21155CE CA CB =+，直线CE 与直线AB 相交于点D ，则CD 的长（ ） A 810B 15C 10D 303．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222a b c bc -=且cos sin =b C a B ，则ABC 是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形4．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为 （ ）A ．6B ．406C ．20(13)+海里D ．40海里5．（多选题）（2022·福建·福州三中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,sin 2sin a B C ==，以下四个命题中正确的是（ ） A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．M 是BC 中点，MA MB ⋅的最大值为3D ．当2A C =时，ABC 236．（多选题）（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面圆直径为3A ，B ，C 为底面圆周上的三个不同的动点，M 为母线PC 上一点，则下列说法正确的是（ ）A ．当A ，B 为底面圆直径的两个端点时，120APB ∠=︒ B ．△P AB 3C ．当△P AB 面积最大值时，三棱锥C -P AB 62+D ．当AB 为直径且C 为弧AB 的中点时，MA MB +157．（多选题）（2022·河北·沧县中学模拟预测）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（ ） A ．222<+a b ab B ．22++>ab a b C ．224++≥a b cD ．22++≤a b c 8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，O 为其外心，220OA OB OC ++=，若2BC =，则OA =________．9．（2022·河北·高三期中）已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a b cp ++=，则ABC 的面积()()()S p p a p b p c =---，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若ABC 的周长为15，()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，则ABC 的面积为___________________．10．（2022·全国·高三专题练习（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2224a b c +=，则tan B 的最大值为______．11．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案： ①测量A ∠、AC 、BC ； ②测量A ∠、B 、BC ； ③测量C ∠、AC 、BC ； ④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD 中，已知BC ＝2，3cos 5BCD ∠=-.(1)若45CBD ∠=︒，求BD 的长； (2)若5cos ACD ∠=AB ＝4，求AC 的长.13．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)2223S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若22a b c =，求sin C ．14．（2022·上海浦东新·二模）已知函数()()sin cos f x t x x t R =-∈ (1)若函数()f x 为偶函数，求实数t 的值；(2)当3t =时，在ABC 中（,,A B C 所对的边分别为a 、b 、c ），若()223f A c ==，，且ABC 的面积为23a 的值．15．（2022·全国·高三专题练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B =++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin 3sin b A B =，求ABC 面积的最大值．17．（2022·上海金山·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2sin 30b A a -=，且B 为锐角.(1)求角B 的大小；(2)若333c a b =+，证明：ABC 是直角三角形.18．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=． (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 周长的取值范围．19．（2022·上海黄浦·二模）某公园要建造如图所示的绿地OABC ，OA 、OC 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与BC 的总长度为12米，且BAO BCO ∠=∠．设BAO α∠=（02πα<<）．(1)当4AB =，3πα=时，求AC 的长；（结果精确到0.1米）(2)当6AB =时，求OABC 面积S 的最大值及此时α的值．20．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若437AD =，337AB =，37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积； (2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1B 2C 5D ．33．（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，3AM =则AC =___________，cos MAC ∠=___________.4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．5．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________． 6．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________ 7．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，360B =︒，223a c ac +=，则b =________．8．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．9．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++． (1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．10．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．11．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为63ABC 的周长．12．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若2sin sin A C =b ．13．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+14．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）15．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 22A B C =2b =（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．17．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+； 条件③：ABC 3318．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.。
高考理科数学一轮复习专题训练：解三角形(含详细答案解析)
第五单元 解三角形（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，，，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 6sin12036sin sin45a B b A ⋅⨯︒===︒D ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222a b c ab +-=，则C =（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，故得到2221cos 222b ac ab C ab ab +-===， 故角π3C =，故答案为B ．3．在ABC V 中，若7a =，3b =，8c =，则其面积等于（ ） A ．63 B ．212C ．28D ．12【答案】A【解析】方法一：由余弦定理，得2222227381cos 22737a b c C ab +-+-===-⨯⨯， 所以243sin 1sin C A -，所以1143sin 736322S ab C ==⨯⨯=． 故选A ．方法二：海伦-秦九韶公式()()()S p p a p b p c =---92a b cp ++==， 所以9(97)(93)(98)=63S =⨯-⨯-⨯-，故选A ．4．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC V 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =，因为()0,πA ∈，故sin 0A >，故sin 1A =，所以π2A =，ABC V 为直角三角形， 故选B ．5．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（ ） A．B ．(3，5) C．)D．)【答案】A【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即2222140214040a a aa a ⎧+->⎪⎪⎪+-⎪>⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎪⎩A ． 6．在ABC V 中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（ ） A．2BC．D．【答案】D【解析】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C ，在ABC V 中，由正弦定理可得sin sin AB ACC B==，据此可得AB =D ．7．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，m CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为（ ）A ．302mB ．203mC ．60 mD ．20 m【答案】D【解析】15BCD ∠=︒Q ，45BDC ∠=︒，120CBD \??， 由正弦定理得302sin 45BC =，302sin 45203BC °\==， 3tan3020320AB BC 状=\=?，故选D ．8．在ABC △中，1AB =，3AC =，2BC =，D 为ABC △所在平面内一点，且2BD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则ABC △的面积为（ ） A ．23 B ．3C ．3 D ．33【答案】D【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知π6BCA ∠=，则π3BCD ∠=，则3sin BCD ∠=， 所以113si 3n 23223BCD S BC DC BCD =⨯⨯⨯∠⨯⨯==⨯△，故选D ．9．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △为（ ） A ．等边三角形B ．有一个内角为30︒的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理可知sin cos cos A B Ca b c==，又sin cos cos A B Ca b c==，所以cos sin B B =，cos sin C C =，有tan tan 1B C ==． 所以45B C ==︒．所以180454590A =︒-︒-︒=︒． 所以ABC △为等腰直角三角形．故选C ．10．在ABC △中，已知a x =，2b =，60B =︒，如果ABC △有两组解，则x 的取值范围是（ ） A ．432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．432,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．432,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．432,3⎛⎤⎥ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得4323x <<．故选A ． 11．在ABC △中，3AC =，向量AB u u u r在AC u u u r 上的投影的数量为2-，3ABC S =△，则BC =（ ）A ．5B ．27C ．29D ．42【答案】C【解析】∵向量AB u u u r 在AC u u u r 上的投影的数量为2-，∴cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABCS =△，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ，∴||sin 2AB A =u u u r ．②由①②得tan 1A =-，∵A 为ABC △的内角，∴3π4A =，∴2223πsin 4AB ==u u u r ． 在ABC △中，由余弦定理得 222223π22cos(22)322232942BC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴29BC =．故选C ． 12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，ππ02230π2202πB B B ⎧<<⎪⎪⎪∴<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，π,32πB ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos 22sin cos cos 2sin 243π342x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()sin 2π6f B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2π2π3B <<，6π5π226πB ∴<-<，所以()112f B <<．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知60B =︒，3b =，6c =A =________． 【答案】75︒ 【解析】由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 6sin 602sin c B C b ︒=== 又c b <，则C B <，45C ∴=︒，18075A B C ∴=︒--=︒， 本题正确结果75︒．14．已知ABC △的边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，若a b >且sin cos A Ca b=，则角A 的大小为_____． 【答案】π2【解析】由正弦定理得sin cos 1sin sin A C A B ==，即cos sin C B =，cos 0C ∴>，π0,2C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，又a b >，A B ∴>，π0,2B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由cos sin C B =，得πsin sin 2C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π2C B ∴-=，即2πB C +=，()ππ2A B C ∴=-+=，本题正确结果π2．15．如图，一栋建筑物AB 高()30103-m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．【答案】60【解析】由题意可知：45CAM ∠=︒，105AMC ∠=︒，由三角形内角和定理可知30ACM ∠=︒． 在ABM Rt △中，sin sin15AB ABAMB AM AM ∠=⇒=︒． 在ACM △中，由正弦定理可知：sin 45sin 45sin sin sin30sin15sin30AM CM AM AB CM ACM CAM ⋅︒⋅︒=⇒==∠∠︒︒⋅︒，在DCM Rt △中，sin 45sin sin60sin6060sin15sin30CD AB CMD CD CM CM ⋅︒∠=⇒=⋅︒=⋅︒=︒⋅︒． 16．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin (2)tan b C a b B =+，23c = 则ABC △面积的最大值为______． 【答案】3【解析】()()sin 2sin 2tan 2sin sin 2sin sin cos Bb C a b B B C A B B=+⇒=+⋅()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A B B C B B C B C B ⇒=+=++=++1cos 22π3C C ⇒==⇒-，由余弦定理可知222222cos 12c a b ab C a b ab =+-=++=， 222a b ab +≥Q ，1223ab ab ab ∴≥+=4ab ⇒≤，当且仅当a b =时取等号，max 113sin 43222S ab C ∴==⨯⨯=，本题正确结果3． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，π4B =，2b =，（1）求a 的值； （2）求sin C ．【答案】（1）85a =；（2）7210．【解析】（1）因为3cos 5A =，π4B =，2b =，所以4sin 5A =，2sin 2B =，由正弦定理可得24sin sin 252a b a A B =⇒=，85a ∴=． （2）[]sin sin π()sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ 423272525210=⋅+⋅=． 18．（12分）在中，分别是角，，的对边，且．（1）求的值； （2）若，且，求的面积．【答案】（1）52；（2）3257． 【解析】（1）由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以2cos 3B =， 又，所以25sin 1cos 3B B =-=，sin 5tan cos 2B B B ==． （2）在中，由余弦定理可得2224323b ac ac =+-=，又，所以有2967c =，所以的面积为21965325sin sin 27S ac B c B ===⨯=． 19．（12分）如图：在平面四边形ABCD 中，已知πB D ∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =．（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）π3D =；（2） 【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D =+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-．在ABC △中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -． ∴9898cos 3430cos D B -=-，∵πB D +=，∴cos cos(π)cos B D D =-=-， ∴9898cos 3430cos D D -=+，∴1cos 2D =，∴π3D =． （2）由（1）得2ππ3π3B =-=， ∴11sin sin 22ABCD ACD ABCS S S AD CD D AB BC B =+=⋅+⋅11775322=⨯⨯+⨯⨯=20．（12分）已知向量()sin ,cos x x =a ，),cosx x =b ，()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x =⋅a b 的最小正周期；（2）在ABC △中，BC sin 3sin B C =，若()1f A =，求ABC △的周长．【答案】（1）π；（2）4+【解析】（1）()211cos cos cos222f x x x x x x =+=++， ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）由题意可得1sin 22π6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以ππ13π2666A <+<，所以π5π266A +=，故π3A =． 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-， 所以2227a b c bc =+-=，又sin 3sin B C =，所以3b c =，故222793c c c =+-，解得1c =． 所以3b =，ABC △的周长为47+．21．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2(62)CD =+，22BC =，BF BC <，梯形ABCD 的高为31+，E 是CD 的中点，分别以C ，D 为圆心，CE ，DE 为半径作两条圆弧，交AB 于F ，G 两点．（1）求∠BFC 的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积． 【答案】（1）45BFC ∠=︒；（2）2(31)S Ω=． 【解析】（1）设梯形ABCD 的高为h ， 因为3162sin 22h BCD BC ++∠===，180BCD CBF ∠+∠=︒， 所以()62sin sin 180sin CBF BCD BCD +∠=︒-∠=∠= 在CBF △中，由正弦定理，得sin sin CF BCCBF BFC =∠∠622262++ 解得2sin BFC ∠=又()0,180BFC ∠∈︒︒，且CF BC >，所以45BFC ∠=︒．（2）由（1）得45ECF BFC ∠=∠=︒．在BCF △中，由余弦定理推论，得222cos 2BF FC BC BFC BF FC +-∠=⨯，即22(31)430BF BF -+，解得2BF =，23BF =（舍去）． 因为112sin 2(62)3122CBF DAG S S BF FC BFC ==⨯⨯∠=⨯⨯=△△， 所以2(31)CBF DAG S S S Ω=+=△△．22．（12分）如图，在平面四边形中，14AB =，3cos 5A =，5cos 13ABD ∠=．（1）求对角线BD 的长；（2）若四边形ABCD 是圆的内接四边形，求BCD △面积的最大值． 【答案】（1）13BD =；（2）1698． 【解析】（1）在ABD △中，56sin sin(π())sin()sin cos cos sin 65ADB A ABD A ABD A ABD A ABD ∠=-+∠=+∠=∠+∠=， 由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠，即sin 13sin AB ABD ADB⋅==∠． （2）由已知得，πC A =-，所以3cos 5C =-，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 169BC DC BC DC C BD +-⋅⋅==，则2261616955BC DC BC DC BC DC =++⋅⋅≥⋅⋅，即516916BC DC ⋅≤⨯，所以1154169sin 169221658BCD S BC CD C ⎛⎫=⋅⋅⋅≤⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，当且仅当135BC DC ==第五单元 解三角形（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC △中，若2BC =，2AC =，45B =︒，则角A 等于（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】由正弦定理可得sin sin BC AC A B ==1sin 2A =， 因BC AC <，所以45AB <=︒，故A 为锐角，所以30A =︒，故选A ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =2，b =3，c =4，则cos C =（ ） A ．14-B ．14 C ．23-D ．23【答案】A【解析】a =2，b =3，c =4，根据余弦定理得到22294161cos 2124b ac C ab +-+-===-， 故答案为A ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，4b =，120A =︒， 则△ABC 的面积为（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】D【解析】因为a =，4b =，120A =︒，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2c =，所以△ABC 的面积为1sin 2bc A =．故选D ．4．△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】△ABC 中，60B =︒，2b ac =，()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-=，故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形．故答案为D ．5．钝角△ABC 中，若1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是（ ）A ．)B ．()2,3C ．)D ．【答案】A【解析】因为钝角△ABC ，所以222cos 02a b c C ab +-=<，2140c \+-<，c >，又因为3c a b <+=，3c <<，故选A ．6．如图，在△ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，AD =6AC =，4DC =，则AB 的长为（ ）A．2 B ．36 C ．33 D ．32【答案】B【解析】由余弦定理可得22246(27)1cos 2C +-==，60C \=?，sin sin AB AC C BQ =，得到36sin 236sin 2C AC AB B ××===，故选B ． 7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度是（ ）A ．()24031m B ．()18021m C ．()3031mD ．)12031m【答案】D【解析】由题意可知：105ABC ∠=︒，45BAC ∠=︒，),2(m A ，6060120sin sin30AC C ∴===︒，由正弦定理sin sin BC ACBAC ABC =∠∠，得()sin 120sin 4560212031sin sin105AC BAC BC ABC ∠︒===∠︒，即河流的宽度)12031m ，本题正确选项D ．8．已知ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，则角A 的大小为（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．30︒ D ．150︒【答案】D【解析】cos AB AC c b A ⋅=⋅u u u r u u u r Q ，又ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，13sin cos 2S bc A b c A ∴==⋅，则3tan A =，又(0,π)A ∈，150A ∴=︒，故选D ．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC △的三个内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin 2sin a C A =，22()6a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC △的面积为（ ）A B C ．12D ．1【答案】A【解析】2sin 2sin a C A =Q ，22a c a ∴=，2ac =，因为22()6a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC △=，故选A ．10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D ，π4B =，AD =2BD =，则b =（ ）A ．BC ．3D 【答案】A【解析】因为AD =2BD =，π4B =，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，2sin sin 4BAD =∠，解得1sin 2BAD ∠=， 又由π0,2BAD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π6BAD ∠=，则π3BAC ∠=，所以ππ5ππ3412C =--=，又因为5π12ADC B BAD ∠=+∠=，所以ADC △为等腰三角形，所以b AD ==，故选A ． 11．已知在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，60A ∠=︒，2a =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．(0,6)B ．(2⎤⎦C ．(4,6]D ．2⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】根据三角形正弦定理得到sin sin sin a b c A B C ===变形得到sin ,sin ,2sin sin 3333b Bc C l B C ===++，因为2π3B C +=， 2π2sin sin π223sin 2cos 24sin 3633l B B B B B ⎛⎫⎛⎫∴=++-=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2ππ5ππ10,π,,sin ,1366662B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎤∈+∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，(]4,6l ∴∈，故答案为C ．12．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()22,62++C ．()2,62+D ．()62,62-+【答案】D 【解析】由题意，平面四边形ABCD 中，延长BA 、CD 交于点E ， ∵∠B ＝∠C ＝75°，∴△EBC 为等腰三角形，∠E ＝30°， 若点A 与点E 重合或在点E 右方，则不存在四边形ABCD ， 当点A 与点E 重合时，根据正弦定理sin sin AB BCECB BEC=∠∠，算得62AB =，∴62AB <，若点D 与点C 重合或在点C 下方，则不存在四边形ABCD ， 当点D 与点C 重合时∠ACB ＝30°， 根据正弦定理sin sin AB BCACB BAC=∠∠，算得62AB =，∴62AB >，综上所述，AB 6262AB <．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角C 等于60︒，若4,2a b ==，则c 的长为_______． 【答案】23【解析】因为角C 等于60︒，4,2a b ==，所以由余弦定理可得22212cos60164242122c a b ab =+-︒=+-⨯⨯⨯=， 所以23c =，故答案为23． 14．在ABC △中，π3A =，1b =，3a =，则ABC △的面积为______． 【答案】3 【解析】π3A =Q ，1b =，3a =， ∴由正弦定理可得31sin 3B =，解得1sin 2B =，b a <Q ，B A ∴<，π6B ∴=，可得ππ2C A B =--=， 11π3sin 31sin 222ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△，本题正确结果3． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为______．【答案】【解析】由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC =15°， 由正弦定理得(80sin1504062sin1562AC ︒==︒-，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，∴∠DBC =30°， 由正弦定理，sin sin CD BCCBD BDC=∠∠， 所以()sin 80sin15160sin1540621sin 2CD BDC BC CBD⋅∠⨯︒===︒=-∠，△ABC 中，由余弦定理，2222cos AB AC BC AC BC ACB +=∠-⋅⋅()()()()1160084316008432160062622=++-+⨯+⨯-⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯，解得805AB =， 则两目标A ，B 间的距离为，故答案为．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为_______． 【答案】3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C +=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+-，即222a b c ab +-=，所以2222()3c a b ab a b ab =+-=+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当32a b ==时取等号，所以27304ab -≤-<，所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC V 中，45,10B AC ∠=︒=25cos C =． （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长． 【答案】（1）32；（2）13．【解析】（1）(0,π)C ∈Q ，25sin 1cos C C ∴=-=， 310sin sin(π)sin cos cos sin A B C B C B C =--=⋅+⋅=， 由正弦定理可知中：sin 32sin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒==． （2）由余弦定理可知： 22252cos 10182103225AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，D 是AB 的中点， 故1BD =，在CBD △中，由余弦定理可知：2222cos 1812321132CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=． 18．（12分）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin 2sin sin B A C =． （1）若2a b ==，求cos B ；（2）若90B ∠=︒且2a =，求ABC V 的面积． 【答案】（1）14；（2）2． 【解析】2sin 2sin sin B A C =Q ，由正弦定理可得22b ac =，（1）21a b c ==∴=Q ，，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，可得1cos 4B =．（2）90B ∠=︒Q ，由勾股定理可得22222()02b a c ac a c a c =+=⇒-=⇒==，1122222ABC S ac ∴==⋅⋅=△．19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（1）求sin ABD ∠的值；（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长． 【答案】（1）6；（2）1BC =． 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠．因为60,3,6A AD BD ∠=︒==，所以36sin sin sin 606AD ABD A BD ∠=⨯∠=⨯︒=． （2）由（1）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ∠=︒，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==，所以264626BC BC =+-⨯⨯， 即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =． 又CD BC >，则1BC =．20．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC V 内角A ，B ，C 的对边．角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列．（1）求sin sin A C 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长． 【答案】（1）3sin sin 4A C?；（2）ABC V 的周长为32． 【解析】（1）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，即60B =︒，sin ,sin sin A B C Q ，成等比数列，2233sin sin sin 4A CB 骣琪\?==琪桫． （2）由（1）可知2sin sin sin A C B ?，即2ac b =， 由余弦定理可得2222cos60b a c ac =+-?， 化简得2()0a c -=，即2a c ==，2b ac ==， 32a b c \++=，因此ABC V 的周长为32．21．（12分）某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为28π3万平方米，求的值．【答案】（1）；（2）12或17． 【解析】（1）∵πcos cos ADC ABC ADC θ∠+∠=∠=-，， 在和中分别使用余弦定理得：，得1cos 7θ=， ∴43sin sin 7ADC θ∠==， ∴四边形的面积()1sin 2ABC ADC S S S BA BC DA DC θ=+=⋅+⋅△△ ()14326448327=⨯+⨯⨯=． （2）∵圆形广场的面积为28π3，∴圆形广场的半径2213R =，在中由正弦定理知：4212sin sin 3AC R θθ==， 在中由余弦定理知：，∴2421sin 4024cos θθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，化简得，解得1cos 2θ=或1cos 7θ=． 22．（12分）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π02B <<，3b ，22ac +-1sin sin tan 12A CB =． （1）求内角B 的大小；（2）求(2)(2)a c b a c b +++-的最大值．【答案】（1）π6B =（2【解析】（1）b =Q 221sin sin tan 12a c A C B +-=，222sin sin tan a c A C B b ∴+-=，即222sin sin tan a c b A C B +-=，由余弦定理得2cos sin sin tan ac B A C B =，2tan sin sin cos ac B A C B∴=，由正弦定理得222tan cos sin b BBB =，即222cos sin tan b B B B =，231cos sin 6B B ∴=，231sin 6sin B B ∴-=，即326sin sin 10B B +-=， 变形得2(2sin 1)(3sin 2sin 1)0B B B -++=，解得1sin 2B =， π02B <<Q ，∴π6B =．（2）b =Q π6B =，∴由余弦定理得22π12cos 612a c ac +-=，化简得22112a c +=，21()(212a c ac ∴+-+=，2()4a c ac +≤Q ，(2ac ∴-≥，2()(2a c ac ∴+-，112≤，2()a c ∴+，22(2)(2)()4a c b a c b a c b ∴+++-=+-≤a c =时等号成立，∴(2)(2)a c b a c b +++-。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题复习题及答案
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题复习题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +的最大值为3B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为223+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为31- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值-故可得,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭，又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得2124S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以3c =，b =，所以ABC 的周长为2+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，3c =，b =，所以ABC 的内切圆半径为1212333r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.2．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC外接圆半径为7【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC ，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<，56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．5．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误；对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；8．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤【答案】ABC【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.二、数列多选题9．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列【答案】AB【分析】 对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a = 则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．故选：AB【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.10．将()23n n ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：11a 12a 13a ……1n a21a 22a 23a ……2n a31a 32a 33a ……3n a……1n a 2n a 3n a ……nn a该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．2m =B ．767132a =⨯C ．()1212j ij a i -=+⨯D ．()()221n S n n =+- 【答案】ACD【分析】 由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D.【详解】由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或13m =-（舍去），A 正确； ()666735132a m m =+=⨯，B 错误；()()112132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确；()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++1121(12)(12)(12)121212n n n nn a a a ---=+++--- ()()()11211332(1)21212n n n n a a a n ++-⎛⎫=+++-=⨯- ⎪⎝⎭()()221n n n =+-，D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.。
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解三角形1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3C.2D.3 2.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π63.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ,则角C 为( )A.π6或5π6B.π3或2π3C.π6D.2π34.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A.3B.932 C.332D.3 3 5.(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角， lg b ＋lg ）（c1＝lg sin A ＝－lg 2，则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形6.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)·sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 7.(2015·湖南十二校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2c＝3，则c ＝( )A.4B.3C.7D.6 8．(2018·陕西宝鸡一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin(A ＋B)＝13，a ＝3，c ＝4，则sinA ＝( ) A.23 B.14 C.34 D.169．(2018·铜川一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b)2－c 2，则tan C 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－3411.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________.12.(2016·北京，13)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.13.(2015·重庆，13)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 14.(2015·安徽，12)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.15.(2014·湖北，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________. 16.(2014·福建，14)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 17.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B. (1)证明：A ＝2B ； (2)若cos B ＝23，求cos C 的值.18.(2015·天津，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos )62(π+A 的值．19.(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ）π（A +4＝2. (1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2 A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．20.（2018·天津卷15）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.21.(2014·重庆，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．22.(2017·山东)设函数)(x f ＝)2sin(6sin π）π（-+-x x ωω，其中0＜ω＜3，已知)6(πf ＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，试讨论g(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的单调区间及最值．23．(2018·江西南昌三校联考)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(3，cosA ＋1)，n ＝(sinA ，－1)，m ⊥n. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，cosB ＝33，求b 的值．24．(2018·江西新余一中调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且btanA ，ctanB ，btanB 成等差数列．（提示：等差中项） (1)求角A ；(2)若a ＝2，试判断当bc 取最大值时△ABC 的形状，并说明理由．25．(2018·河北廊坊模拟)已知函数f(x)＝2cosx·cos ）π（3-x －12. (1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(C)＝12，c ＝23，且△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．26.（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ； （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.27.（2018·江苏卷16）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．高考一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。
科学研究证实,虽然大脑的重量只占人体重量的2%-3%,但大脑消耗的能量却占食物所产生的总能量的20%,它的能量来源靠葡萄糖氧化过程产生。
据医学文献记载,一个健康的青少年学生30分钟用脑,血糖浓度在120毫克/100毫升,大脑反应快,记忆力强；90分钟用脑，血糖浓度降至80毫克/100毫升，大脑功能尚正常；连续120分钟用脑，血糖浓度降至60毫克/100毫升，大脑反应迟钝，思维能力较差。
我们中考、高考每一科考试时间都在2小时或2小时以上且用脑强度大，这样可引起低血糖并造成大脑疲劳，从而影响大脑的正常发挥，对考试成绩产生重大影响。
因此建议考生，在用脑60分钟时，开始补饮25%浓度的葡萄糖水100毫升左右，为一个高效果的考试加油。
二、考场记忆“短路”怎么办呢？对于考生来说，掌握有效的应试技巧比再做题突击更为有效。
1.草稿纸也要逐题顺序写草稿要整洁，草稿纸使用要便于检查。
不要在一大张纸上乱写乱画，东写一些，西写一些。
打草稿也要像解题一样，一题一题顺着序号往下写。
最好在草稿纸题号前注上符号，以确定检查侧重点。
为了便于做完试卷后的复查，草稿纸一般可以折成4-8块的小方格，标注题号以便核查，保留清晰的分析和计算过程。
2.答题要按先易后难顺序不要考虑考试难度与结果，可以先用5分钟熟悉试卷，合理安排考试进度，先易后难，先熟后生，排除干扰。
考试中很可能遇到一些没有见过或复习过的难题，不要蒙了。
一般中考试卷的题型难度分布基本上是从易到难排列的，或者交替排列。
3.遇到容易试题不能浮躁遇到容易题，审题要细致。
圈点关键字词，边审题边画草图，明确解题思路。
有些考生一旦遇到容易的题目，便觉得心应手、兴奋异常，往往情绪激动，甚至得意忘形。
要避免急于求成、粗枝大叶，防止受熟题答案与解题过程的定式思维影响，避免漏题，错题，丢掉不该丢的分。
4. 答题不要犹豫不决选择题做出选择时要慎重，要关注题干中的否定用词，对比筛选四个选项的差异和联系，特别注意保留计算型选择题的解答过程。
当试题出现几种疑惑不决的答案时，考生一定要有主见，有自信心，即使不能确定答案，也不能长时间犹豫，浪费时间，最终也应把认为正确程度最高的答案写到试卷上，不要在答案处留白或开天窗。
5.试卷检查要细心有序应答要准确。
一般答题时，语言表达要尽量简明扼要，填涂答题纸绝不能错位。
答完试题，如果时间允许，一般都要进行试卷答题的复查。
复查要谨慎，可以利用逆向思维，反向推理论证，联系生活实际，评估结果的合理性，选择特殊取值，多次归纳总结。
另外，对不同题型可采用不同的检查方法。
选择题可采用例证法，举出一两例来能分别证明其他选项不对便可安心。
对填空题，则一要检查审题;二要检查思路是否完整;三要检查数据代入是否正确;四要检查计算过程;五要看答案是否合题意;六要检查步骤是否齐全，符号是否规范。
还要复查一些客观题的答案有无遗漏，答案错位填涂，并复核你心存疑虑的项目。
若没有充分的理由，一般不要改变你依据第一感觉做出的选择。
6、万一记忆短路可慢呼吸考试中，有些考生因为怯场，导致无法集中精神，甚至大脑忽然一片空白，发生记忆堵塞。
此时不要紧张，不妨尝试如下方式：首先是稳定心态，保持镇静，并注意调节自己的呼吸率。
先慢吸气，当对自己说放松时缓慢呼气，再考虑你正在努力回忆的问题，如果你仍不能回想起来，就暂时搁下这道题，开始选做其他会的试题，过段时间再回过头来做这道题。