第十二章 富里埃级数

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函数概念的产生及其背景

函数概念的产生及其背景

后来,人们又给出了这样的定义:如果一个量依赖 着另一个量,当后一量变化时前一量也随着变化, 那么第一个量称为第二个量的函数。“这个定义 虽然还没有道出函数的本质,但却把变化、运动 注入到函数定义中去,是可喜的进步。”
在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影 响最大,富里埃深刻地揭示了函数的本质,主张 函数不必局限于解析表达式。1822年,他在名著 《热的解析理论》中说,“通常,函数表示相接 的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意 的……,我们不假定这些纵坐标服从一个共同的 规律;他们以任何方式一个挨一个。”
化。函数值可以由解析式给出,也可以由 一个条件给出,这个条件提供了一种寻求 全部对应值的方法。函数的这种依赖关系 可以存在,但仍然是未知的。”这个定义 建立了变量与函数之间的对应关系,是对 函数概念的一个重大发展,因为“对应” 是函数概念的一种本质属性与核心部分。
1837年,德国数学家狄里克莱(Dirichlet)
几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表 达式也是一个问题。但是不管其能否用表达
式表示,在狄里克莱的定义下,这个f(x)
仍是一个函数。
狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数 定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全 清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至 此,我们已可以说,函数概念、函数的本质 定义已经形成,这就是人们常说的经典函数 定义。
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然 只相差几个字,但却是概念上的重大发展, 是数学发展道路上的重大转折,近代的泛 函分析可以作为这种转折的标志,它研究 的是一般集合上的函数关系。
函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形 成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了。 不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形 式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十 年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概 念——“关系”。

一般项级数

一般项级数

u3v3
L
L
L
L
L
L
L
L
L
对L 角线顺序L
L
u1v1 u1v2 u2v1 u1v3 u2v2 u3v1 L . (15)
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
定理12.14(柯西定理)
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
若级数un,vn都绝对收敛,则对(13)中 uiv j
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§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
由此可以立刻推广到收敛级数 un 与有限项和的乘
n1
积,即
m
(a1 a2 L am ) un
akun ,
n1
n1 k 1
那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?
设有收敛级数
un u1 u2 L un L A,
S2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) L (u2m1 u2m ). 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的,
从而数列S2 m 1是递减的,而数列S2 m 是递增的.
又由条件(ii)知道
0 S2m1 S2m u2m 0 (m ), 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套. 由区间套定理, 存
u1 u2 L un L
(6)
收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数.
定理12.12
绝对收敛的级数是收敛的.
数学分析 第十二章 数项级数
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§3 一般项级数
交错级数
绝对收级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法

01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法

01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法

又由于bn收敛, 依柯西准则,对任意正数 , 存在
正数N, 使当 n >N 时,对任一正整数 p,都有
n p
bk .
kn
n p
(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到 akbk 3M .
这就说明级数 anbn 收敛.
kn
数学分析 第十二章 数项级数
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§3 一般项级数
数学分析 第十二章 数项级数
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复习思考题
1. 假设级数 un 绝对收敛, 级数 vn条件收敛, 问
级数 (un vn )是绝对收敛还是条件收敛?
2.对于一般项级数
un与
vn ,
从 lim un v n
n
l
0, 能
否得出 un与 vn 同敛散?
3. 总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.
k (k 1,2,, n), 整理后就得到所要证的公式(18).
数学分析 第十二章 数项级数
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§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
推论(阿贝尔引理)
若 (i) 1 , 2 ,, n 是单调数组,记 max{ k }; k
(ii) 对任一正整数 k(1 k n) 有 k A, 则有
设 i ,vi (i 1,2,, n), 两组实数, 若令 k v1 v2 vk (k 1,2,, n),
则有如下分部求和公式成立:
n
ivi (1 2 )1 (2 3 ) 2 (n1 n ) n1 n n . (18)
i1
证 以 v1 1 ,vk k k1(k 2, 3,, n) 分别乘以
2

函数的傅里叶级数展开

函数的傅里叶级数展开

和函数图象为
u
u
Em
Em
o
t
o
t
Em
Em
例 3 在[0,2 ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
解:
1 2
2
bn
0
x sin nxdx n
1
a0
2
xdx 2 ,
0
1 2
an 0 x cos xdx 0
f ( x) ~ 2[sin x 1 sin 2x 1 sin kx ]
(2)按公式算出a n ,bn ,写出Fourier级数
a0
2
(an
n 1
cos nx
bn
sin nx)
(3)根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况
例 1 在[ , ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
例 2 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t ) EEmm, ,
0 t t 0
2 sin
2
0
u
2 sin
u2
du =
1 n ( + cos ku)du
2 0 k =1
=1
2
1
sn(f(x)) - s=
sin 2n+1 u
(f (x u)+f ( x - u)-2s)
0
2 u
du
2sin
2
记(u)=f (x+u)+f (x-u)-2s
则f(x)的傅里叶级数在x点收敛的问题归结为
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 2, 2
a0
1
f ( x)dx

函数的起源

函数的起源
一、函数的起源(产生)十六、十七世纪,欧洲资本主义国家先后兴起,为了争夺霸权,迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业,就需要确定船只在大海中的位置,在地球上的经纬度;要打仗,也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题, 这就促使了人们对各种“运动”的研究,对各种运动中的数量关十七世纪中叶,笛卡儿(Descartes)引入变数(变量)的概念,制定了解析几何学,从而打破了局限于方程的未知数的理解;后来,牛顿( Newton)、莱布尼兹(Leibniz)分别独立的建立了微分学说。这期间,随着数学内容的丰富,各种具体的函数已大量出现,但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后,一直用“流量”( fluent)一词来表示变量间的关系。1673年,莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”( fluent)这一名词,他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。(定义1)这可以说是函数的第一个“定义”。例如,切线,弦,法线等长度和横、纵坐标,后来,又用这个名词表示幂,即表示 x , x2, x3,…。显然,“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。人们是不会满足于这样不准确的概念,数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念在 1718年,瑞士科学家,莱布尼兹的学生约翰·贝奴里(Bernoulli,Johann)给出了函数的明确定义:变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。(定义2)并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。十八世纪中叶,著名的数学家达朗贝尔 (D’Alembert)和欧拉( Euler)在研究弦振动时,感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式,在 1748年欧拉的定义是:函数是随意画出的一条曲线。(定义 3)在此之前的 1734年,欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。实际上,这两种定义(定义 1和定义 2)就是现在通用的函数的两种表示方法:解析法和图像法。后来,由于富里埃级数的出现,沟通了解析式与曲线间的联系,但是用解析式来定义函数,显然是片面的,因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。1775年,欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义:如果某些变量,以这样一种方式依赖与另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之而变化,则将前面的变量称为后面变量的函数。(定义 4)这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素,体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系,因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征,只是科学的定义函数概念的“雏形”。函数是从研究物体运动而引出的一个概念,因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系,如自由落体运动下降的路程,单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显,只从运动中变量“变化”观点来理解函数,对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 ,不好解释。十九世纪初,拉克若斯( Lacroix)正式提出只要有一个变量依赖另一个变量,前者就是后者的函数。 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基(Лобачевский)进一步提出函数的定义: x的函数是这样的一个数,它对于每一个 x都有确定的值,并且随着 x一起变化,函数值可以由解析式给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法,函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的。(定义 5)这实际是“列表定义”,好像有一个“表格”,其中一栏是 x值,另一栏是与它相对应的 y值。这个定义指出了对应关系(条件)的必要性,把函数的“对应”思想表现出来,而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。十九世纪法国数学家柯西( Cauchy)更明确的给出定义:有两个互相联系的变量,一个变量的数值可以在某一范围内任意变化,这样的变量叫做自变量,另一个变量的数值随着自变量的数值而变化,这个变量称为因变量,并且称因变量为自变量的函数。(定义 6)1829年 ,狄利克雷( Dirichlet)给出了所谓狄利克雷函数: y=1 当 x为有理数时; y=0 当 x为无理数时。这个函数并不复杂,但不能用解析式来表示,

函数产生的历史背景和发展过程

函数产生的历史背景和发展过程

函数产生的历史背景和发展过程历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用.(一)马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究.由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽.自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索:既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源.(二)早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等.1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义.1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为yx.当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”.18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法.在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”.现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延.(三)函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾.例如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立.1833年至1834年,高斯开始把注意力转向物理学.他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中,做了许多关于磁的实验工作,提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论,使得函数作为数学的一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究.后来,人们又给出了这样的定义:如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也随着变化,那么第一个量称为第二个量的函数.“这个定义虽然还没有道出函数的本质,但却把变化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步.”在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影响最大,富里埃深刻地揭示了函数的本质,主张函数不必局限于解析表达式.1822年,他在名著《热的解析理论》中说,“通常,函数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的……,我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律;他们以任何方式一个挨一个.”在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数.更确切地说就是,任意一个以2π为周期函数,在〔-π,π〕区间内,可以由表示出,其中富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想,在当时的数学界引起了很大的震动.原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了,那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍.通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义.1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义:“x的函数是这样的一个数,它对于每个x都有确定的值,并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的.”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分.1837年,德国数学家狄里克莱(Dirichlet)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,所以他的定义是:“如果对于x的每一值,y总有完全确定的值与之对应,则y是x的函数.”根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数(狄里克莱函数):f(x)= 1(x为有理数),0(x为无理数).在这个函数中,如果x由0逐渐增大地取值,则f(x)忽0忽1.在无论怎样小的区间里,f(x)无限止地忽0忽1.因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式也是一个问题.但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下,这个f(x)仍是一个函数.狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义.(四)生产实践和科学实验的进一步发展,又引起函数概念新的尖锐矛盾,本世纪20年代,人类开始研究微观物理现象.1930年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数,即ρ(x)=0,x≠0,∞,x=0.且δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论.按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数.另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的.然而,δ-函数确实是实际模型的抽象.例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力.从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是P(0)=压力/接触面=1/0=∞.其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即P(x)=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义:若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变元,元素y称为因变元.函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系.函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了.不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”.设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y}.积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若(x,y)∈R,则称x与y有关系R,记为xRy.若(x,y)R,则称x与y无关系.现设f是X与Y的关系,即fX×Y,如果(x,y),(x,z)∈f,必有y=z,那么称f为X到Y 的函数.在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了.从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要.。

《数学分析》(欧阳光中)教学大纲

《数学分析》(欧阳光中)教学大纲

《数学分析》课程教学大纲Mathmatical analysis一、课程基本信息1、课程类别:专业基础课2、课程学时:总学时300,3、学分:184、适用专业:5、大纲执笔者:6、修订时间:2013年4月25日二、课程教学目的三、课程教学的基本要求第一章变量与函数了解:常量与变量,无理数与有理数及其基本性质,三角不等式,双曲函数的概念及其性质。

理解:区间与邻域的定义,函数的几何特性(单调性、有界性、奇偶性,周期性)反函数的定义与性质,初等函数。

掌握:函数的定义,复合函数的定义与性质,基本初等函数的概念及其基本性质。

第二章一元函数的极限与连续了解:数列的变化趋势,函数值趋于无穷大的情形。

理解:无穷大(小)量,有界数列和单调数列的概念,无穷小量的性质与运算,单侧极限的定义,无穷小量和无穷大量的阶;单侧连续与区间连续的概念,函数间断点及其分类,基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。

掌握:数列极限定义、性质和运算;函数极限定义、性质和运算;海涅定理,重要极限;连续函数的定义、性质和运算;一致连续的定义,闭区间上连续函数的性质。

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明了解:聚点定义与聚点定理,函数极限存在的柯西收敛准则。

理解:子列的定义及其基本性质,确界的定义,覆盖的定义。

掌握:实数的基本定理(确界定理,单调有界必有极限定理,闭区间套定理,致密性定理,有限覆盖定理,柯西收敛准则等)。

闭区间上连函数性质的证明。

第四章 导数与微分了解:了解: 速度与切线等实际问题的瞬时变化率。

理解:单侧导数与区间可导的定义,导函数及其几何意义,反函数的导数,微分的运算法则,不可导之例,高阶微分。

掌握:导数的定义,基本初等函数的导数,求导法则(四则运算,复合运算),微分的定义,隐函数与参数方程表示函数的求导法,高阶导数及其莱布尼兹公式。

第五章 微分基本定理及导数的应用了解:利普希茨条件,指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式,平面曲线的曲率及计算,方程的近似解(切线法)。

数学分析考试大纲

数学分析考试大纲

《数学分析》考试大纲一、课程性质和目的《数学分析》是数学系的一门重要基础课,其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和极限论、单元和多元微积分、级数论、反常积分等方面的系统知识。

它一方面为后继课程(如《微分方程》、《实变函数》、《概率论与数理统计》及有关的《泛函分析》、《微分几何》等限选课程及《普通物理学》等)提供一些所需的基础理论和知识,另一方面还对提高学生思维能力,开发学生智能加强“三基”(基础知识、基本理论、基本技能)及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。

通过本课程教学的主要环节(讲授与讨论、习题课、作业、辅导等),使学生对极限思想和方法有较深的认识和理解,从而有助于培养学生辩证唯物主义基本观点及正确理解《数学分析》的基本概念和论证方法及分析问题和解决问题的能力。

整个课程注重培养学生的数学逻辑及思想方法,训练学生举一反三的能力,在单元函数和多元函数相平行的内容以单元函数为主,引导学生通过独立思考得到多元函数的相应结论。

二、课程内容充分条件,必要条件,充要条件,绝对值,不等式,函数,单调函数,周期函数,奇偶函数,复合函数,反函数,初等函数,数列极限,数列极限的性质,单调有界数列,子数列,函数极限,函数极限的性质,函数极限与数列极限的关系,两个重要极限,无穷小量与无穷大量,闭区间套定理,上确界与下确界,确界存在定理,有限覆盖定理,致密性定理,柯西收敛准则,连续,左连续,右连续,间断点,函数在一点连续的性质,中间值定理,有界性定理,最大值与最小值定理,反函数的连续性定理,一致连续性定理,初等函数的连续性,导数,求导法则,微分,微分与导数的关系,高阶导数,高阶微分,参数方程求高阶导数,费尔马定理,洛尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,洛必达法则,泰勒公式,单调性判别法,极值,凹凸性,拐点,曲线的渐近线,函数作图,不定积分,换元法,分部积分法,有理函数积分法,三角函数有理式积分,无理函数的积分,平面图形的面积,立体的体积,平面曲线的弧长,曲线的曲率,上极限,下极限,数项级数,正项级数,任意项级数,绝对收敛,条件收敛,无穷乘积,无穷积分,瑕积分,反常积分的收敛与发散,反常积分的计算,柯西主值,函数列,函数项级数,一致收敛,非一致收敛,一致收敛级数的性质,幂级数的收敛域,幂级数的性质,幂级数的展开,富里埃级数,富里埃级数的展开,平面点集,多元函数的极限,多元函数的连续性,偏导数,全微分,方向导数,复合函数的偏导数,一阶全微分形式的不变性,高阶偏导数,高阶全微分,泰勒公式,多元函数的极值,隐函数存在定理,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,条件极值,含参变量的定积分,含参变量反常积分的一致收敛,含参变量反常积分的分析性质,欧拉积分,二重积分,三重积分,第一型曲线积分,第二型曲线积分,格林公式,平面曲线积分与路径无关的条件,第一型曲面积分,第二型曲面积分,奥高公式,斯托克斯公式。

数学分析教学大纲

数学分析教学大纲

《数学分析》教学大纲学时数:256一、课程性质和目的本课程是数学与应用数学专业的一门重要基础课。

本课程的教学目的是使学生较系统地掌握数学分析的基础理论和基础知识,能熟练地进行基本运算,具有较强的分析论证能力、能深入理解和分析处理,中学教学教材,具备一定解决实际问题的能力,培养创新意识,为学习后续课程打下基础。

二、课程教学内容与基本要求第一学期(78学时)第一章变量与函数(讲授3课时,习作1课时,共4学时)掌握变量与函数(包括复合函数、反函数、基本初等函数)的概念及基本性质。

作业量:§1的1/4;§2, §3,的1/2。

重点:各类函数定义及性质。

(难点:严格单调函数的反函数也严格单调定理)第二章极限与连续(讲授26课时,习作14课时,共40学时)掌握数列极限定义及性质、无穷大(小)量概念极其运算;掌握函数极限定义及性质;掌握连续函数的定义、性质及函数间断点的分类。

作业量:课后习题的3/4。

重点:“ε—N”,“ε—δ”定义的掌握与应用(难点:“ε—N”,“ε—δ”定义的理解与应用)阶段考试(2学时):笔试。

第四章导数与微分(讲授6学时,习作4学时,共10学时)理解导数与微分的意义,掌握导数与微分的定义及基本公式、运算法则;掌握高阶导数与高阶微分及不可导之例。

掌握反函数、复合函数、隐函数及参数方程表示函数的求导法及微分法。

作业量:课后习题之4/5重点:求导数、求微分(难点:分段函数分段点处的到数,高阶导数)第五章微分基本定理及其应用(讲授16学时,习作8学时,共24学时)掌握微分基本定理及其证明,掌握该定理的各种应用,掌握用导数研究函数用解决实际问题的方法,掌握各种不定型极限求值。

作业量:§1的全部,§2的2/3,§3的3/4,§4的1/2,§5的全部重点:各种应用(难点:证明)期末考试笔试:(统一安排)第二学期(92学时)第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明(讲授16学时,习作8学时,共24学时)掌握子例定义,上(下)界定义,新闻实数的基本定理(确界定理,单调有界必有极限定理,闭区间套定理,致密性定理,有限覆盖定理,柯西准则等)。

函数的起源

函数的起源

一、函数的起源(产生)十六、十七世纪,欧洲资本主义国家先后兴起,为了争夺霸权,迫切需要发展航海和军火工业。

为了发展航海事业,就需要确定船只在大海中的位置,在地球上的经纬度;要打仗,也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题,这就促使了人们对各种“运动”的研究,对各种运动中的数量关系进行研究,这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。

十七世纪中叶,笛卡儿(Descartes)引入变数(变量)的概念,制定了解析几何学,从而打破了局限于方程的未知数的理解;后来,牛顿(Newton)、莱布尼兹(Leibniz)分别独立的建立了微分学说。

这期间,随着数学内容的丰富,各种具体的函数已大量出现,但函数还未被给出一个一般的定义。

牛顿于1665年开始研究微积分之后,一直用“流量”(fluent)一词来表示变量间的关系。

1673年,莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”(fluent)这一名词,他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。

(定义1)这可以说是函数的第一个“定义”。

例如,切线,弦,法线等长度和横、纵坐标,后来,又用这个名词表示幂,即表示x , x2, x3,…。

显然,“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。

人们是不会满足于这样不准确的概念,数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。

二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念在1718年,瑞士科学家,莱布尼兹的学生约翰·贝奴里(Bernoulli,Johann)给出了函数的明确定义:变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。

(定义2)并在此给出了函数的记号φx。

这一定义使得函数第一次有了解析意义。

十八世纪中叶,著名的数学家达朗贝尔(D’Alembert)和欧拉(Euler)在研究弦振动时,感到有必要给出函数的一般定义。

达朗贝尔认为函数是指任意的解析式,在1748年欧拉的定义是:函数是随意画出的一条曲线。

(定义3)在此之前的1734年,欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。

杭州师范大学2022年《722数学分析》考研专业课考试大纲

杭州师范大学2022年《722数学分析》考研专业课考试大纲
第十八章、含参变量的广义积分
第十九章、积分(二重、三重积分,第一类曲线、曲面积分)的定义和性质
第二十章、重积分的计算及应用(广义重积分不考)
第二十一章、曲线积分和曲面积分的计算
第二十二章、各种积分间的关系和场论初步(场论初步不考)
试卷内容结构
1、极限、各种积分、导数等(计算题)
2、函数的连续性、广义积分的敛散性、级数的敛散性等(讨论题)
评分标准和要求
按解答步骤计分
备注
一级学科硕士点召集人签名:(学院盖章)学院分管院长签名:
2022年硕士研究生入学考试科目《数学分析》考试大纲
参考书
数学分析(复旦大学陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中等编,第三版)
考试内容
第一章、变量与函数(本章不考)
第二章、极限与连续
第三章、关于实数的基本定理
第四章、导数与微分
第五章、微分中值定理及其应用(方程的近似解不考)
第六章、不定积分
第七章、定积分(椭圆积分不考)
第八章、定积分的应用和近似计算(定积分的近似计算不考)
第九章、数项级数(无穷乘积不考)
第十章、广义积分
第十一章、函数项级数、幂级数
第十二章、富里埃级数和富里埃变换
第十三章、多元函数的极限与连续
第十四章、偏导数和全微分
第十五章、极值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ条件极值
第十六章、隐函数存在定理、函数相关性(本章不考)
第十七章、含参变量的积分
3、其他(证明题)
4、其他(解答题)
5、其他(综合题)
试卷难易结构
较容易题占80分(53%)左右
稍难一点的题占40分(27%)左右
较难一点的题占30分(20%)左右
试卷题型结构

12第十二讲 绝对收敛级数的性质-级数的重排

12第十二讲 绝对收敛级数的性质-级数的重排

数学分析第十二章数项级数级数的重排第十二讲数学分析第十二章数项级数相应地称级数()1k n n u ∞=∑为级数(5)的重12.(7)n v v v ++++ 记作:()f n k n →称为正整数列的重排, →()(){}:{}n n k n k n u F u u u 按映射所得到的数列称为我们把正整数列{1,2,…,n , …}到它自身的一一映射1.级数的重排相应地对于数列原数列的重排..排(),n k n v u =为叙述上的方便,记()1k n n u ∞=∑即将级数12(5)n u u u ++++数学分析第十二章数项级数定理12.13第一步设级数(5)是正项级数, 部分和. =+++12m mv v v σ 表示级数(7)的第m 个部分和. ≤≤(1)k v k m ki u 的重排, 所以每一应等于某一(1).k m ≤≤记12max{,,,},m n i i i = *证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的.所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S .设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S , 则任意重排后用S n 表示它的第n 个用因为级数(7)为级数(5)数学分析第十二章数项级数即级数(7)收敛, 且其和≤.S σ由于级数(5)也可看作级数(7)的重排,所以也有S σ,≤.S σ=从而得到这就证明了对正项级数定理成立. 第二步证明(7)绝对收敛.且绝对收敛,∑nv收敛, 则对于任何,m .m n n S σ≤都存在,使,lim S S n n =∞→由于,,m m S σ≤所以对任何正整数都有设级数(5)是一般项级数则由级数(6)收敛第一步结论, 可得即级数(7)是绝对收敛的.数学分析第十二章数项级数0,0,0;n n n n u p u q ≥=≥=当时0,0,0.n n n n n u p q u u 当时从而<===-≥要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S .一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 根据第所以先为此令,2n nn u u p +=. (8)2n n n u u q -=0,n n p u ≤≤0, (9)n n q u ≤≤,n n n p q u +=. (10)n n n p q u -=∑∑,n n p q 知都是收敛的正项级数. 因此由级数(5)绝对收敛, 及(9)式,数学分析第十二章数项级数==-∑∑∑.n n n S u p q 对于级数(5)重排后所得到的级数(7), ''=-∑∑∑,nnnv p q ''∑∑∑∑,,nnnnp q p q 显然分别是正项级数的重排,办法, 把它表示为两个收敛的正项级数之差其和不变, 从而有''=-=-=∑∑∑∑∑.nnnnnv p q p qS 也可按(8)式的数学分析第十二章数项级数注定理12.13只对绝对收敛级数成立. 数重排后得到的新级数不一定收敛,不一定收敛于原来的和.当重排后, 既可以得到发散级数,设其和为A , 即+-=-+-+-+-+=∑111111111(1)1.2345678n A n 1,2乘以常数后有例如级数()1111n n n ∞+=-∑条件收敛,条件收敛级即使收敛, 也更进一步, 条件收敛级数适也可以收敛于任何事先指定的数.数学分析第十二章数项级数+-=-+-+=∑1111111(1).224682n A n +-++-+=1111131.325742A 将上述两个级数相加, 得到的是(2)的重排:我们也可以重排(2)使其发散(可参考《数学分析学习指导书(下册)》).。

第十二章 富里埃级数

第十二章 富里埃级数

第十二章 富里埃级数§1 富里埃级数一 富里埃(Fourier )级数的引进1 定义:设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数,且()f x 在[,]ππ-上绝对可积,称形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数(()f x 的 Fourier 展开式),其中01()a f x dx πππ-=⎰,1()cos ,1,2,n a f x nxdx n πππ-==⎰, 1()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ-==⎰称为()f x 的 Fourier 系数,记为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑2 说明1)在未讨论收敛性,证明01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑一致收敛到()f x 之前,不能将“~”改为“=”;此处“~”也不包含“等价”之意,而仅仅表示01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑是()f x 的 Fourier级数,或者说()f x 的 Fourier 级数是01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑。

2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier级数,只须求出Fourier 系数。

二 富里埃级数收敛性的判别1. Riemann (黎曼)引理 设()f x 在(有界或无界)区间[],a b 上绝对可积,则()cos 0baf x pxdx →⎰,()s i n 0baf x p x d x →⎰()p →∞.推论 在[0,]T 上绝对可积函数()f x 的Fourier 系数022()cos 0,()T n n a f x xdx n T T π=→→∞⎰;022()sin 0,()T n n b f x xdx n T Tπ=→→∞⎰2. Fourier 级数收敛的充要条件定理1 l i m()0,()(0,n n T x s εδδεπ→∞=⇔∀>∃=∈和()N N ε=, 使得当()n N ε≥时成立1sin()2(),n u u du uδϕε+<⎰其中()()()2u f x u f x u ϕδ=++--. 3. Fourier 级数收敛的Dini 判别法推论: 设()f x 在[0,2]π上除去有限点外存在有界导数,则()f x 的Fourier 级数点点收敛,且001(()()),(0,2)2(cos sin )12((0)(2)),022n n n f x f x x a a nx b nx f f x πππ∞=⎧++-∈⎪⎪++=⎨⎪++-=⎪⎩∑或特别地, (0,2)x π∈是()f x 的连续点时,1(()())()2f x f x f x ++-=,即 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑例: 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩,判定()f x 的Fourier级数的收敛性.例:设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,判定()f x 的 Fourier 级数的收敛性例:(),axf x e = ()x ππ-≤< (0)a ≠4. Jordan 判别法设()f x 在[0,2]π上单调(或有界变差),则001(()()),(0,2)2(cos sin )12((0)(2)),022n n n f x f x x a a nx b nx f f x πππ∞=⎧++-∈⎪⎪++=⎨⎪++-=⎪⎩∑或。

函数概念发展的历史过程作文

函数概念发展的历史过程作文

函数概念发展的历史过程作文关于函数一、函数的起源(产生)十六、十七世纪,欧洲资本主义国家先后兴起,为了争夺霸权,迫切需要发展航海和军火工业。

为了发展航海事业,就需要确定船只在大海中的位置,在地球上的经纬度;要打仗,也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题,这就促使了人们对各种“运动”的研究,对各种运动中的数量关系进行研究,这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。

十七世纪中叶,笛卡儿(Descartes)引入变数(变量)的概念,制定了解析几何学,从而打破了局限于方程的未知数的理解;后来,牛顿(Newton)、莱布尼兹(Leibniz)分别独立的建立了微分学说。

这期间,随着数学内容的丰富,各种具体的函数已大量出现,但函数还未被给出一个一般的定义。

牛顿于1665年开始研究微积分之后,一直用“流量”( fluent)一词来表示变量间的关系。

1673年,莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”(fluent)这一名词,他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。

(定义1)这可以说是函数的第一个“定义”。

例如,切线,弦,法线等长度和横、纵坐标,后来,又用这个名词表示幂,即表示x , x2, x3,…。

显然,“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。

人们是不会满足于这样不准确的概念,数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。

二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念在1718年,瑞士科学家,莱布尼兹的学生约翰·贝奴里(Bernoulli,Johann)给出了函数的明确定义:变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。

(定义2)并在此给出了函数的记号φx。

这一定义使得函数第一次有了解析意义。

十八世纪中叶,著名的数学家达朗贝尔(D’Alembert)和欧拉(Euler)在研究弦振动时,感到有必要给出函数的一般定义。

达朗贝尔认为函数是指任意的解析式,在1748年欧拉的定义是:函数是随意画出的一条曲线。

用mathematica解傅里叶级数

用mathematica解傅里叶级数

用mathematica解傅里叶级数一、前言:法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示,后世称为傅里叶级数。

一种特殊的三角级数。

法国数学家傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。

从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。

傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。

在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

二、问题描述:设f ( x) 是周期为2π的周期函数, 它在[ - π,π) 上的表达式为将f ( x) 展开成傅里叶级数。

三、问题分析:我们学过的《数学分析》书中,关于函数的傅里叶级数展开式主要有下面两个基本定理。

定理1 :若以2 l 为周期的函数f 在[-L,L] 上按段光滑,则f 的傅里叶级数在每一点x 处收敛于1/2[f(x-0)+f(x+0)]定理2 :若以2L为周期的函数f 在[-L,L] 内至多有有限多个第一类间断点和至多只有有限个极值点,则对每一点x ∈( - ∞, + ∞) , f ( x) 的傅里叶级数收敛于1/2[f(x-0)+f(x+0)]。

因此用数学方法解得:四、问题求解:用mathematica编写程序如下a0 = 1/Pi*(Integrate[x, {x, 0, Pi}]) (*计算a0*)an = 1/Pi*(Integrate[x*Cos[n*x], {x, 0, Pi}])(*计算an*)bn = 1/Pi*(Integrate[x*Sin[n*x], {x, 0, Pi}])(*计算bn*)f[x_] := Which[-3 Pi <= x < -2 Pi, 0, -2 Pi <= x < -Pi,x + 2 Pi, -Pi <= x < 0, 0, 0 <= x < Pi, x, Pi <= x < 2 Pi, 0, 2 Pi <= x <= 3 Pi, x - 2 Pi];(*分段函数*)For[i = 1, i < 40, i += 5, fu[x_] := a0/2 +Sum[an*Cos[n*x] + bn*Sin[n*x], {n, 1, i}]](*8个不同级富里埃级数*)程序及运行结果如下截图:用作图显示富里埃级数逼近f(x)的图形,则用Plot作图法输入:Plot[{f[x], fu[x]}, {x, -3 Pi, 3 Pi}, PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, PlotRange -> {-0.1, 3.2}]运行程序及截图:。

《数学分析》(欧阳光中)教学大纲

《数学分析》(欧阳光中)教学大纲

《数学分析》课程教学大纲Mathmatical analysis一、课程基本信息1、课程类别:专业基础课2、课程学时:总学时300,3、学分:184、适用专业:5、大纲执笔者:6、修订时间:2013年4月25日二、课程教学目的三、课程教学的基本要求第一章变量与函数了解:常量与变量,无理数与有理数及其基本性质,三角不等式,双曲函数的概念及其性质。

理解:区间与邻域的定义,函数的几何特性(单调性、有界性、奇偶性,周期性)反函数的定义与性质,初等函数。

掌握:函数的定义,复合函数的定义与性质,基本初等函数的概念及其基本性质。

第二章一元函数的极限与连续了解:数列的变化趋势,函数值趋于无穷大的情形。

理解:无穷大(小)量,有界数列和单调数列的概念,无穷小量的性质与运算,单侧极限的定义,无穷小量和无穷大量的阶;单侧连续与区间连续的概念,函数间断点及其分类,基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。

掌握:数列极限定义、性质和运算;函数极限定义、性质和运算;海涅定理,重要极限;连续函数的定义、性质和运算;一致连续的定义,闭区间上连续函数的性质。

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明了解:聚点定义与聚点定理,函数极限存在的柯西收敛准则。

理解:子列的定义及其基本性质,确界的定义,覆盖的定义。

掌握:实数的基本定理(确界定理,单调有界必有极限定理,闭区间套定理,致密性定理,有限覆盖定理,柯西收敛准则等)。

闭区间上连函数性质的证明。

第四章 导数与微分了解:了解: 速度与切线等实际问题的瞬时变化率。

理解:单侧导数与区间可导的定义,导函数及其几何意义,反函数的导数,微分的运算法则,不可导之例,高阶微分。

掌握:导数的定义,基本初等函数的导数,求导法则(四则运算,复合运算),微分的定义,隐函数与参数方程表示函数的求导法,高阶导数及其莱布尼兹公式。

第五章 微分基本定理及导数的应用了解:利普希茨条件,指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式,平面曲线的曲率及计算,方程的近似解(切线法)。

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第十二章 富里埃级数教学目的:(1)熟练掌握函数的Fourier 级数展开;(2)综合分析Fourier 级数的敛散性;(3)理解并利用Fourier 级数的分析性质;(4)初步了解Fourier 变换及其性质。

教学重点: Fourier 级数的来历;Dirichlet 积分的定义及应用;Riemann 引理及其推论及应用;Dini 判别法及其推论,Dirichlet-Jordan 判别法; Fourier 级数的分析性质:逐项积分和逐项微分定理。

Fourier 变换及其逆变换的形式及应用。

教学难点:周期为2π的函数的Fourier 展开;将函数展开为正弦级数与余弦级数;任意周期的函数的Fourier 展开。

§1 富里埃级数一 富里埃(Fourier )级数的引进1 定义:设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数,且()f x 在[,]ππ-上绝对可积,称形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数(()f x 的 Fourier 展开式),其中01()a f x dx πππ-=⎰,1()cos ,1,2,n a f x nxdx n πππ-==⎰, 1()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ-==⎰称为()f x 的 Fourier 系数,记为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 2 说明1)在未讨论收敛性,证明01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑一致收敛到()f x 之前,不能将“~”改为“=”;此处“~”也不包含“等价”之意,而仅仅表示01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑是()f x 的 Fourier 级数,或者说()f x 的 Fourier 级数是01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑。

2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只须求出Fourier 系数。

二 富里埃级数收敛性的判别1. Riemann (黎曼)引理 设()f x 在(有界或无界)区间[],a b 上绝对可积,则()cos 0ba f x pxdx →⎰, ()sin 0b a f x pxdx →⎰ ()p →∞.推论 在[0,]T 上绝对可积函数()f x 的Fourier 系数022()cos 0,()T n n a f x xdx n T T π=→→∞⎰;022()sin 0,()T n n b f x xdx n T Tπ=→→∞⎰ 2. Fourier 级数收敛的充要条件定理1 lim ()0,()(0,]n n T x s εδδεπ→∞=⇔∀>∃=∈和()N N ε=, 使得当()n N ε≥时成立 01sin()2(),n u u du uδϕε+<⎰ 其中()()()2u f x u f x u ϕδ=++--.3. Fourier 级数收敛的Dini 判别法推论: 设()f x 在[0,2]π上除去有限点外存在有界导数,则()f x 的Fourier 级数点点收敛,且001(()()),(0,2)2(cos sin )12((0)(2)),022n n n f x f x x a a nx b nx f f x πππ∞=⎧++-∈⎪⎪++=⎨⎪++-=⎪⎩∑或 特别地, (0,2)x π∈是()f x 的连续点时, 1(()())()2f x f x f x ++-=,即 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑ 例: 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩,判定()f x 的Fourier 级数的收敛性. 例:设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,判定()f x 的 Fourier 级数的收敛性例:(),axf x e = ()x ππ-≤< (0)a ≠ 4. Jordan 判别法设()f x 在[0,2]π上单调(或有界变差),则001(()()),(0,2)2(cos sin )12((0)(2)),022n n n f x f x x a a nx b nx f f x πππ∞=⎧++-∈⎪⎪++=⎨⎪++-=⎪⎩∑或。

例:设()f x 是以2π为周期的函数,其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩,求()f x 的 Fourier 展开式。

计算()f x 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为2π的区间来积.如2001()a f x dx ππ=⎰,201()cos ,1,2,n a f x nxdx n ππ==⎰,201()sin ,1,2,n b f x nxdx n ππ==⎰例: 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,求()f x 的 Fourier 级数.如果()f x 仅定义在长为2π的区间上,例如定义在[0,2)π上, 此时()f x 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier 级数.但可对()f x 在[0,2)π外补充定义,使其以2π为周期, 如定义~()(2)f x f x n π=-, (2,2(1))x n n ππ∈+它有下述性质: a) [0,2)x π∈时,~()()f x f x =; b) ~()f x 以2π为周期.例 : (),()xf x e x ππ=-≤< 三 正弦级数和余弦级数1 定义形如1sin n n b nx ∞=∑的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如01cos 2n n a a nx ∞=+∑的三角级数(函数项级数称为余弦级数.2 如果()f x 是以2π为周期的函数,在[,]ππ-上绝对可积, 若()f x 是奇函数,则有1()~sin n n f x b nx ∞=∑;若()f x 是偶函数,则有01()~cos 2n n a f x a nx ∞=+∑. 3设()f x 仅在[0,]π上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义()(),[,0)f x f x x π=--∈-,然后再作2π周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier 级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义()(),[,0)f x f x x π=-∈-后,再作2π周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier 级数必为余弦级数。

例: 1,0()0,x h f x h x π≤<⎧=⎨≤<⎩ (0h π<<),将()f x 展开成余弦函数。

例:将()f x x =在[]0,π上展开为余弦级数。

四 一般周期函数的Fourier 级数设()f x 是周期为T 的函数,且在[0,]T 上绝对可积, 则有0122()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x T Tππ∞=++∑, 其中002()T a f x dx T =⎰,022()cos ,1,2,T n n a f x xdx n T Tπ==⎰, 022()sin ,1,2,T n n b f x xdx n T T π==⎰例: 求(),11f x x x =-≤≤的Fourier 展开式.五 Fourier 级数的复数表示形式 设01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 则其复数表示形式为 ()~inx n f x C e +∞-∞∑,其中, 复的Fourier 系数201()22inx n n n n a ib C f x e dx C ππ---===⎰.作业:126页1,2,3,,7,8,14,15§2 富里埃变换一 富里埃变换的概念设()f x 在(),-∞+∞内绝对可积。

定义1 称()i x f x e dx ω+∞--∞⎰是()f x 的富里埃变换,并把它记为()F f 或()^f ω。

即 ()()()^i x F f f f x e dx ωω+∞--∞==⎰。

富里埃变换的性质 (i )()^f ω是(),ω∈-∞+∞内的连续函数;(ii )()^lim 0f ωω→∞=。

定义2 称()^12i x f e dx ωωπ+∞-∞⎰是()^f ω的富里埃逆变换。

又称 ()()12i x i x f x f x e dx e d ωωωπ+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 是()f x 的富里埃变换积分公式。

例: 求衰减函数(),0,0,0ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩的富里埃变换。

例: 求函数(),,20,2h x f x x ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩的富里埃变换和富里埃变换积分公式。

二 富里埃变换的一些性质富里埃变换有一些简单的性质,这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。

性质1(线性)()()()11221122F f f F f F f αααα+=+,其中12,αα是两个任意给定的常数。

性质2(平移)对任何()f x ,设()()s f x f x s τ=-,那么()()i s s F f e F f ωτ-=。

性质3(导数)设()()0f x x →→±∞,则()d F f i F f dx ω⎛⎫=⎪⎝⎭。

性质4 ()()()d F ixf x F f d ω-=。

作业:133页3。

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