高一数学集合教学案

高一数学集合集合的基本概念：⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

集合的组成和名称：集合包括元素，以及使元素组成集合的规定的性质，通常我们用小写拉丁字母a,b,c…表示元素；而通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示集合，这里{ }表示符合规定性质的一切元素都被这个集合所包含了；而大写字母A,B,C表示集合的名称，读作集合A，集合B,集合C这里要注意：元素的范围是非常广泛的，可以是数，字母，或者事物的名称常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；.关于集合的元素的特征1.确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。

2.互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}3.无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

4.集合相等：构成两个集合的元素完全一样.练习：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸某校20XX级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点元素同集合的关系：元素同集合的关系有有“属于∈”及“不属于∉两种)1若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；2若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如我们开头的例子当中，前面三个图形就属于{正方形}例．用“∈”或“∉”符号填空：（1）8 N；（2）0 N；（3）-3 Z；（4）；集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。

当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......例1．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3) 从51到100的所有整数的集合；(4) 小于10的所有自然数组成的集合；(5) 方程2x x =的所有实数根组成的集合；⒉描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：{}()x A p x ∈如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，{x|直角三角形}，…；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y=x 2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。

写法{实数集}，{R}也是错误的。

用符号描述法表示集合时应注意：１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

例2．用描述法表示下列集合：(1)由适合x 2-x-2>0的所有解组成的集合;(2) 到定点距离等于定长的点的集合;(3) 方程220x -=的所有实数根组成的集合(4)由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

三、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：集合的分类观察下列三个集合的元素个数1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};2. {x ∈R ∣0<x<3};3. {x ∈R ∣x 2+1=0}由此可以得到集合的分类:::()empty set ⎧⎪⎨⎪∅-⎩有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合 基础练习：⑴考察下列对象是否能形成一个集合？①身材高大的人 ②所有的一元二次方程③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体⑤比2大的几个数 ⑥2的近似值的全体⑵给出下面四个关系:3∈R,0.7∉Q,0∈{0},0∈N,其中正确的个数是:( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(3)把集合｛-3≤x ≤3,x ∈N ｝用列举法表示，正确的是( )A.｛3,2,1｝B.｛3,2,1,0｝C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝（4)下列说法正确的是( )A.｛0｝是空集B. ｛x ∈Q ∣x6∈Z ｝是有限集 C.｛x ∈Q ∣x 2+x+2=0｝是空集 D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合二、填空题 用符号“∈”或“∉”填空(1)0______N , 3-______Z , 5______Q , R ,π RA3,9,27（2）集合A ＝{x|43x -∈Z ，x ∈N}，则它的元素是 。

（3）已知集合A ＝{x|-3<x<3，x ∈Z}，B ＝{(x,y)|y ＝x 2+1，x ∈A}，则集合B 用列举法表示是三、解答题.已知集合A ＝｛a,2b-1,a+2b ｝B=｛x ∣x 3-11x 2+30x=0｝,若A=B ，求a,b 的值。

1.1.2 集合间的基本关系比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；（2）{}C =北京一中高一一班全体女生，{}D =北京一中高一一班全体学生；（3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形观察可得：⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：()A B B A ⊆⊇或 读作：A 包含于B ，或B 包含当集合A 不包含于集合B 时，记作A ⊈B(或B ⊉A)用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。

如：A={x|x=2m+1，m ∈Z}，B={x|x=2n-1，n ∈Z}，此时有A=B 。

⒊真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。

记作：φ用适当的符号填空：φ {}0； 0 φ ； φ {φ}； {}0 {φ}5.几个重要的结论：（1） 空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ⊆A 。

（2） 空集是任何非空集合的真子集；（3）任何一个集合是它本身的子集；（4）对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。

说明：⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；表示：A B ⊆⑴ 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

例题：写出{1,2,3}，φ ，{φ}所有的子集和真子集结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，子集包括该集合本身，而真子集不包括。

特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

这里还要注意的是{φ}不是空集，因为它里面有元素φ。

基础练习：1、判断下列集合的关系.(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;(5) A={x| (x-1)2=0}，B={y|y 2-3y+2=0}; (6) A={1,3}，B={x|x 2-3x+2=0};(7).写出集合{,}a b 的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

2、 已知集合M 满足｛2,3｝⊆M ⊆｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M3、已知集合A ＝｛x|x 2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝若B A ，则实数a 的值构成的集合是（ ）A.｛-1,0,31｝B.｛-1,0｝C.｛-1,31｝D.｛31,0｝ 解答题：1.已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围。

2.已知三个元素集合A ＝｛x,xy,x-y ｝,B=｛0,∣x ∣,y ｝且A=B ，求x 与y 的值。

6. 已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ⊆，求实数m 的取值范围。

1.1.3 集合间的基本运算考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},1,2,3,4,5,6B C ==；（2）{}A x x =是有理数，{}{},B x x C x x ==是无理数是实数；1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B的并集，即A 与B 的所有部分，记作A ∪B ， 即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。

Venn 图表示：说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪B B ∪AA ∪B ＝A ⇒ , A ∪B ＝B ⇒ .巩固练习（口答）：①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ;③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。