3用函数观点看一元二次方程(二)

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26.2用函数观点看一元二次方程_(2课时)

●请你把这节课你学到了东西告诉你的同请你把这节课你学到了东西告诉你的同讨论然后告诉老师？桌，然后告诉老师？
这节课应有以下内容：节课应有以下内容：
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值当二次函数中的值确定，的值时，确定，求x的值时，二次函数就变的值时为一元二次方程。即当y取定值时取定值时，为一元二次方程。即当取定值时，二次函数就为一元二次方程。二次函数就为一元二次方程。
y
y = x2 + x − 2
O
y = x2 − 6x + 9
y
(a)
O
(b)
(c)
对应二次函数(1)-(3)得到图象(a)-(c)。
x
O
x y
y = x2 − x + 1
x
y
O
y = x + x−2
2
y = x2 − 6 x + 9
y y
O O
y = x2 − x + 1
y = x 2 + x − 2 的函数图象与轴的公共点的横坐标是和1，的函数图象与x轴的公共点的横坐标是轴的公共点的横坐标是-2和，（1））
两个交点
轴的交点
交一个交点点没有交点的交点的
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 一元二次方程的
二次函数与x 二次函数与
x
练习:看谁算的又快又准。练习看谁算的又快又准。看谁算的又快又准 1.不与轴相交的抛物线是 D ) 不与x轴相交的抛物线是不与轴相交的抛物线是( A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 D y=-2(x+1)2 - 3 C y= - x2 – 2x 2.如果关于的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实如果关于x的一元二次方程如果关于有两个相等的实 1 数根,则＿＿＿＿,此时抛物线轴有＿数根则m=＿＿此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿个与轴有 1 交点. 交点 16 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上则c=＿＿＿＿已知抛物线轴上,则＿＿＿＿＿＿＿＿. 的顶点在轴上 (0,2) 4.抛物线抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿与x轴交轴交于点＿＿＿＿抛物线轴交于点＿＿＿＿,与轴交 (1,0) 于点＿＿＿于点＿＿＿ (2,0) . ＿

九年级数学： 22.2用函数观点看一元二次方程(二)说课稿

22.2用函数观点看一元二次方程（二）大家好，今天我说课的题目是《用函数观点看一元二次方程》一、教材分析1、地位和作用本节课是新人教版九年级下册第22章二次函数的第二节，是学生在学习和掌握了二次函数的图象和性质以及一元二次方程的基础上来研究二次函数与一元二次方程的关系。

本节课和八年级上册第十一章一次函数中的第三节：用函数观点看方程（组）与不等式比较类似，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生。

通过本节课的学习，学生可以进一步加深对二次函数的图象和性质的理解，是后面学习二次函数与实际问题的基础，同时让学生进一步体会数形结合思想，也是以后高中学习一元二次不等式的基础。

2、教材内容在这节课中，首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系，然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系，最后通过例题介绍用函数的图象求一元二次方程的根的方法。

二、学情分析根据学生现状，在八年级时已接触过用函数观点看方程（组）与不等式，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生，且二次函数和一元二次方程是初中数学的难点问题。

因此，在教学中，我抓住这些特点，从学生已学的知识入手，引导学生在充分理解函数和一元二次方程关系的基础上，体会数形结合的思想。

三、教学目标四、教学重点难点知识技建立一元二次方程与二次函数的关系，通过图象，体会数与形的完美结合．五、教学设计说明二次函数为一元二次方程的求解提供了一个强有力的工具，寻找一元二次方程与二次函数的关系，是解二次方程的关键．本节课从实际问题出发，利用二次函数及图象特征探讨一元二次方程根的问题．这样设计，既激发了学生学习热情，同时使学生积极主动地投入到探究活动中．在探究一元二次方程与二次函数的关系中，教师引导学生，帮助学生建立数与形的结合，体会数形结合的思想．通过例题巩固用函数图象判断方程根的情况，提高学生的解题能力，激发他们对问题的探索精神，并且体会函数在方程中的应用．最后师生共同总结归纳，加深对二次函数与一元二次方程的理解与应用，提高应用数学的能力．以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。

用函数观点看一元二次方程

用函数的观点看一元二次方程一、教材分析：二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。

从八年级上册“一次函数”，下册的“反比例函数”学生对函数的概念，描点法画函数的图像有了一定的了解。

学生在一次函数中已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系。

本节课通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展现了函数与方程的联系。

这样安排既可以深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。

本节课与实际生活相联系，对于以后的学习具有举足轻重的作用。

因此，本节课具有承上启下的地位。

二、教学目标知识技能：1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生应用数学的意识。

数学思想：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

过程与方法：经历利用二次函数解决实际问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受到数学的应用问题。

情感态度与价值观：体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。

认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。

重点难点：重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。

难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．教学过程：一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。

本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、创设问题情境、探究新知1、出示问题：如图，以40m每秒的速度将小球沿与地面成30度角的方向出击时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系: h=20t-5t2考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m? 如能，需要多少飞行时间？（3））球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？（4）球从飞出到落地需要多少时间？2、合作交流：学生分组讨论（设计目的：提高学习兴趣、培养学生合作意识和分析问题、解决问题的能力）（1）选出学生代表分析问题。

用函数的观点看一元二次方程教学设计及反思

《用函数的观点看一元二次方程》教学设计新林三中尹春霞一、教材分析：《用函数的观点看一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（人教版）九年级上册，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。

这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。

这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。

本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

数学思考：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．3．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。

解决问题：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

2．通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。

情感态度：1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。

2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。

三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。

2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

用函数观点看一元二次方程

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B.k≥－且 k≠0;
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C.k≥－ ;D.k>－且 k≠0
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3、找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是（）. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是（）. (3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是（）.
7、如图 2，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点 B(8， 9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到 0.1 m).
y B A O x
图2
8、若抛物线 y=x2－(2k+1)x+k2+2，与 x 轴有两个交点，则整数 k 的最小值是______.
1 2 11 4
)
1 2 11 4
B.(－， )
1 2
5 4
C.( ， )
D.( ，－
1 2
11 ) 4
13、某乡镇企业现在年产值是 15 万元，如果每增加 100 元投资，一年增加 250 元产值，那么总产值 y(万元)与新增加的投资额 x(万元)之间函数关系为( A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 )
B
图4
图5
6、如图 6 所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC 分别在两直角边上，设 AB=x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为( ) A.

从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(解析版)

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式【知识点梳理】知识点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．知识点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．知识点三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设24b ac ∆=-，它的解按照0∆>，0∆=，0∆<可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数 2y ax bx c=++（0a >）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根122bx x a ==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20(0)ax bx c a ++<>的解集{}12x xx x <<∅ ∅（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集．知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤（1）选取合适的字母表示题中的未知数；（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；（3）求解所列出的不等式（组）；（4）结合题目的实际意义确定答案．知识点六：一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立20(0)ax bx c a ++<≠00.a <⎧⇔⎨∆<⎩（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．知识点七：简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【题型归纳目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇题型三：含有参数的一元二次不等式的解法题型四：一次分式不等式的解法题型五：实际问题中的一元二次不等式问题题型六：不等式的恒成立问题【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式()273x x +≥-的解集为（）A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】()273x x +≥-可变形为22730x x ++≥，令22730x x ++=，得13x =-，212x =-，所以3x ≤-或21x ≥-，即不等式的解集为(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.【方法技巧与总结】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．（2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．（3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．（4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．（5）根据图象写出不等式的解集．例2．（多选题）（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥ D ．220x x +->【答案】ABC【解析】因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D. 220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或2x <-，与已知不符. 故选：ABC例3．（2022·全国·高一课时练习）解下列不等式： (1)262318x x x -≤-<；(2)1232x x +≥-； (3)2320x x -+>.【解析】（1）原不等式等价于22623318x x x x x ⎧-≤-⎨-<⎩，即22603180x x x x ⎧--≥⎨--<⎩，即()()()()320630x x x x ⎧-+≥⎪⎨-+<⎪⎩，所以2336x x x ≤-≥⎧⎨-<<⎩或，所以32x -<≤-或36x <≤，所以原不等式的解集{32x x -<≤-或}36x ≤<；（2）由1232x x +≥-，可得155203232x x x x +-+-=≥--，所以()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得213x <≤，所以原不等式的解集为213x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）原不等式等价于23200x x x ⎧-+>⎨≥⎩或23200x x x ⎧-+>⎨<⎩，分别解这两个不等式组，得01x ≤<或2x >或10x -<<或2x <-，故原不等式的解集为{2x x <-或11x -<<或}2x >.题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇例4．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则a b +=（） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D【解析】不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则方程220ax bx +-=根为2-、1，则21221ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩，解得1,1a b ==，2a b ∴+=，故选：D【方法技巧与总结】三个“二次”之间的关系（1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：例5．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式2260ax x a -+>的解集为{|1}x m x <<,则=a ______，m =______．【答案】 3- 3-【解析】由题意知，0a <，且1,x x m ==是关于x 的方程2260ax x a -+=的两个根，∴61m a m a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,解得33a m =-⎧⎨=-⎩或22a m =⎧⎨=⎩, 又因为0a <，∴33a m =-⎧⎨=-⎩. 故答案为：-3，-3.例6．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+>的解集是（）A ．{}03x x <<B ．{0x x <或}3x >C ．{}13x x <<D ．{}13x x -<<【答案】A【解析】由()()2112a x b x c ax ++-+>，整理得()()220ax b a x a c b +-++-> ①．又不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<，所以0a <，且(1)2(1)2b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即12b ac a⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩②．将①两边同除以a 得：2210b c b x x a a a ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③．将②代入③得：230x x -<，解得03x <<．故选：A例7．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则20cx bx a ++>的解集为（） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,,23∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】∵不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3， ∴2和3是方程20ax bx c ++=的两个根.∴02323a ba ca⎧⎪<⎪⎪-=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩，可得5,6b a c a =-=. 20cx bx a ++>可化为2650ax ax a -+>，即26510x x -+<，即()()31210x x --<,解得1132x <<.故选:A.例8．（2022·全国·高一专题练习）设集合{}|1A x x =≥，{}2|0B x x mx =-≤，若{}|14A B x x ⋂=≤≤，则m 的值为_________.【答案】4【解析】当0m =时，{}{}2|00B x x =≤=，显然A B =∅，不符合题意；当0m >时，{}2|0[0,]B x x mx m =-≤=，因为{}|14A B x x ⋂=≤≤，所以必有4m =；当0m <时，{}2|0[,0]B x x mx m =-≤=，显然A B =∅，不符合题意.故答案为：4m =.例9．（2022·江苏·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________.【答案】11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|}0x x αβα<<>（），可知：α，β是一元二次方程20ax bx c ++=的实数根，且0a <；由根与系数的关系可得：b a αβ+=-，caαβ⋅= ，所以不等式20cx bx a ++>化为 210c bx x a a++<，即：()210x x αβαβ-++<；化为()()110x x αβ--<；又,0αβα，110αβ∴>>；∴不等式20cx bx a ++<的解集为：{x |11x βα<<}，故答案为：11βα⎛⎫⎪⎝⎭，例10．（2022·全国·高一单元测试）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________.【答案】{13x x >-或}1x <-【解析】因为关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，所以0a >，且方程20ax bx c ++=得解为121,3x x ==，则4,3b ca a-==，所以4,3b a c a =-=，则不等式20cx bx a -+>，即为2340ax ax a ++>，即23410x x ++>，解得13x >-或1x <-，所以20cx bx a -+>的解集是{13x x >-或}1x <-.故答案为：{13x x >-或}1x <-.题型三：含有参数的一元二次不等式的解法例11．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a的取值范围是（） A ．{2|a a <-或2}a ≥ B ．{}22a a -<< C ．{}22a a -<≤ D ．{}2a a <【答案】C【解析】因为不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，所以不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ．当20a -=，即2a =时，40-<，符合题意．当20a -<，即2a <时，()()2224420a a ⎡⎤∆=-+⨯⨯-<⎣⎦，解得22a -<<．综上，实数a 的取值范围是{}22a a -<≤．故选：C【方法技巧与总结】解含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．（3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．例12．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知不等式220ax bx -+>的解集为{}12x x x 或．(1)求实数a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式()20x ac b x bx -++>（其中c 为实数）．【解析】（1）由题意，121,2x x ==为一元二次方程220ax bx -+=，由韦达定理，可得12212b aa ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1），不等式()20x ac b x bx -++>，可得()2330x c x x -++>，整理可得：()0x x c ->，当0c 时，不等式的解集为{}0x x ≠；当0c >时，不等式的解集为{}0x x x c 或；当0c <时，不等式的解集为{}0x x c x 或．例13．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0，当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅，③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅，当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．例14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>．【解析】方程220x x a ++=中()4441a a =-=-， ①当10a -<即1a >时，不等式的解集是R ，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ， ③当10a ->即1a <时，由220x x a ++=解得：121111x a x a =--=--，1a ∴<时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，综上，1a >时，不等式的解集是R ， 1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，1a <时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，例15．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式2110x a x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．【解析】原不等式可化为：()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ ，令1a a = 可得：1a =±∴当1a <-或01a <<时，1a a <， 1aa x ∴<< ；当1a =或1a =-时，1a a=，不等式无解；当10a -<<或1a > 时，1a a>，1x a a ∴<<综上所述，当1a =或1a =-时，不等式解集为∅；当1a <-或01a <<时，不等式的解集为1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当10a -<<或1a >时，不等式解集为1|x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．例16．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．【解析】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>，当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a -<<-，当0a >时，1()(1)0x x a++>，若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a<-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a >-，所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-；当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a<-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-．例17．（2022·全国·高一专题练习）若关于x 的不等式2220x m x m -++<（）的解集中恰有4个正整数，求实数m 的取值范围. 【解析】原不等式可化为(2)()0x x m --<,若2m <，则不等式的解是2m x <<；若2m =，则不等式无解；即不等式的解集中均不可能有4个正整数，所以2m >；此时不等式的解是2x m <<；所以不等式的解集中4个正整数分别是3456，，，；则m 的取值范围是{|67}m m <≤．例18．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．【解析】(1)因为()()230a b x a b <++-，所以()32a b x b a +<-，因为不等式的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，所以0a b +<，且3234b a a b -=-+，解得3a b =． (2)由（1）得30a b =<则不等式()()()222120a b x a b x a -+--+->等价为()()242320bx b x b +-+->，即222430x x b b +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭⎝⎭-<，即()2130x x b ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭+<．因为231b -+<-，所以不等式的解为231x b-+<<-．即所求不等式的解集为231x x b ⎧⎫-+<<-⎨⎬⎩⎭．（说明：解集也可以用a 表示）题型四：一次分式不等式的解法例19．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1)∪(1，3]D ．[－1，1)∪(1，2]【答案】D【解析】由()()232101x x x x -++≤-可得，()()()12101x x x x --+≤-，∴()()21010x x x ⎧-+≤⎨-≠⎩，解得12x -≤≤且1x ≠，故原不等式的解集为[1,1)(1,2]-. 故选：D.【方法技巧与总结】分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？（1）()()00cx dax b cx d ax b+>⇔++>+ （2）()()00cx dax b cx d ax b+<⇔++<+ （3）()()00cx dax b cx d ax b+≥⇔++>+且0ax b +≠ （4）()()00cx dax b cx d ax b+≤⇔++≤+且0ax b +≠ 例20．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知不等式210ax bx ++>的解集为1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求不等式30ax x b +≤-的解集. 【解析】依题意，12-和13是方程210ax bx ++=的两根，法1：由韦达定理，11111,2323b a a ∴-+=--⨯=，解得6,1a b =-=-，法2：直接代入方程得，22111022111033a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得6,1a b =-=-， ∴不等式30ax x b +≤-为6301x x -+≤+，即：()()631010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：1x <-或12x ≥， ∴不等式30ax x b +≤-的解集为{1xx <-∣或1}2x ≥.例21．（2022·陕西·长安一中高一期末）不等式22301x x x +-≥+的解集为__________．【答案】[3,1)[1,)--+∞【解析】原不等式等价于223010x x x ⎧+-≥⎨+>⎩或223010x x x ⎧+-≤⎨+<⎩，解得1≥x 或31x -≤<- ，故答案为：[3,1)[1,)--+∞例22．（2022·全国·高一课时练习）不等式301x x +>-的解集为______________．【答案】{3x x <-或1}x > 【解析】由301x x +>-，得(1)(3)0x x -+>，所以3x <-或1x >，故不等式得解集为{3x x <-或1}x >．故答案为：{3x x <-或1}x >．例23．（2022·宁夏·灵武市第一中学高一期末）不等式201xx->+的解集为___________. 【答案】(1,2)- 【解析】20(2)(1)01xx x x->⇔-+<+，解得12x -<<，故解集为(1,2)-，故答案为(1,2)-.例24．（2022·全国·高一课时练习）不等式21131x x ->+的解集是____________. 【答案】1{2}3xx -<<-∣ 【解析】21131x x ->+可化为211031x x -->+， 2031x x +<+，等价于()()2310x x ++<，解得123x -<<-，所以不等式21131x x ->+的解集是1{2}3x x -<<-∣，故答案为：1{2}3xx -<<-∣. 例25．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >，(1)求关于x 的不等式220x bx a +-<的解集 (2)求关于x 的不等式11x ax b->-的解集．【解析】（1）不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或3}x >，所以0513a ab >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩，解得5a =，3b =-；所以不等式220x bx a +-<化为23100x x --<，解得25x -<<；所求不等式的解集为{|25}x x -<<；（2）1153x x ->+化为11053x x -->+即44053x x -->+，()()1530x x ∴++< 所求不等式的解集为31,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭．题型五：实际问题中的一元二次不等式问题例26．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：m 3）与天数()*n n N ∈的关系是5000()(10)n S n n t n =+≤，水库原有水量为80000m 3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m 3；水库水量差最大容量23000m 3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求t 的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【解析】(1)由题意得： 1280008000050001(1)23000t --⨯+，即24t =(2)由（1）得5000(24)(10)n S n n n =+≤设第n 天发生危险，由题意得 5000(24)400012800080000n n n +>-，即2242560n n +->，得8n >．所以汛期的第9天会有危险【方法技巧与总结】利用不等式解决实际问题需注意以下四点（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．（3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．（4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．例27．（2022·全国·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元（x 为正整数），则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？【解析】设该旅店某晚的收入为y 元，则 *(5010)(20010),y x x x N =+-∈由题意12600y >，则(5010)(20010)12600x x +-> 即210000150010012600x x +->，即215260x x -+<，解得：213x <<，且*x ∈N所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）例28．（2022·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 分别有如下关系式：210.10.01s v v =+，220.050.005s v v =+．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？【解析】因为甲种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：210.10.01s v v =+，所以由题意可得：2210.10.0112101200030s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或40v <-舍去，即30v >，当40v =时，10.1400.0116002012s =⨯+⨯=>，显然甲种车型没有超速现象；因为乙种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：220.050.005s v v =+，所以由题意可得：2220.050.005102000040s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或50v <-舍去，即40v >，因此乙种车型有超速现象.例29．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【解析】(1)设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为200平方米，得200y x=，因为矩形草坪的长比宽至少多10米，所以20010x x≥+，又0x >，所以2102000x x +-≤，解得010x <≤，所以宽的最大值为10米；(2)记整个绿化面积为S 平方米，由题意得，200150(26)(4)(26)442484246S x y x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭56x =时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为(424806)+平方米题型六：不等式的恒成立问题例30．（2022·全国·高一单元测试）对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是（） A ．()0,24 B ．(]24,0-C ．(]0,24D ．[)24,∞+【答案】B【解析】由题意，对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，当0k =时，不等式即为30-<，不等式恒成立；当0k ≠时，若不等式2230kx kx +-<恒成立，则满足2Δ240k k k <⎧⎨=+<⎩，解得240k -<<，综上，实数k 的取值范围为(24,0]-．故选：B ．【方法技巧与总结】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数．例31．（2022·全国·高一课时练习）若0a >，且关于x 的不等式22334ax ax a -+-<在R 上有解，求实数a 的取值范围．【解析】方法一（判别式法）关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为22370ax ax a -+-<,由题可得()()223470a a a ∆=--->，解得744a -<<,又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4；方法二（分离变量法）因为0a >，所以关于x 的不等式22334ax ax a -+-<可变形为2273a x x a--<，因为223993244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，所以2974a a--<，解得744a -<<，又0a >，所以实数a 的取值范围为()0,4．例32．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________．【答案】315a -<≤【解析】根据题意，当210a -≠时，可得()()222Δ141010a a a ⎧=-+-<⎪⎨-<⎪⎩，解得315a -<<，当1a =时，不等式()()221110a x a x ----<显然成立. 综上可得，315a -<≤，故答案为：315a -<≤.例33．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知命题p ：x R ∃∈，210x ax -+<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为_________．【答案】[]22-,【解析】若命题p 是假命题，则210x ax -+≥恒成立，则2Δ40a =-≤，解得22a -≤≤.故答案为：[]22-,. 例34．（2022·全国·高一专题练习）不等式 2(2)4(2)120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}|12a a -≤<B ．{}|12a a -<≤C ．{}|12a a -<<D ．{}|12a a -≤≤【答案】B【解析】当2a =时，原不等式为120-<满足解集为R ；当a ≠2时，根据题意得20a -<，且216(2)4(2)(12)0a a ∆=---⨯-<，解得1a 2-<<．综上，a 的取值范围为{}|12a a -<≤．故选：B ．例35．（2022·全国·高一课时练习）已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1515∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1515-+⎝⎭【答案】D【解析】对任意[]1,3m ∈，不等式215mx mx m --<-+恒成立，即对任意[]1,3m ∈，()216m x x -+<恒成立，所以对任意[]1,3m ∈，261x x m-+<恒成立，所以对任意[]1,3m ∈，2min12x x m ⎛-+<= ⎝，所以212x x -+<1515x -+<<故实数x 的取值范围是1515-+⎝⎭．故选：D ．例36．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【解析】（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<，即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)．（2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．例37．（2022·全国·高一课时练习）在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】若选条件①，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立．因为12{|}x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤，所以1a ≤．由命题q 为真，则方程2220x x a ++-=有解．所以()4420a ∆=--≥，所以1a ≥．又因为,p q 都为真命题，所以11a a ≤⎧⎨≥⎩，所以1a =．所以实数a 的值为1．若选条件②，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立．因为{}12x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤．所以1a ≤．由命题q 为真，可得4a ≥或32a ≤，因为非空集合{|3}B x a x a =<<，所以必有0a >，所以203a <≤或4a ≥，又因为,p q 都为真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，解得203a <≤．所以实数a 的取值范围是2|03a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．【同步练习】一、单选题 1．（2022·全国·高一课时练习）不等式23180x x -++<的解集为（） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<<【答案】A【解析】23180x x -++<可化为23180x x -->，即()()630x x -+>，即6x >或3x <-．所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-.故选：A2．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥【答案】A【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（） A ．9 B ．8 C ．6 D ．4【答案】D【解析】∵函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0， ∴2404b a -=，∴24a b =， ∴函数222224a y x ax b x ax x a ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭，其图像的对称轴为2a x =-．∵不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+， ∴方程2204a c x ax ++-=的根为m ，4m +，∴4m m a ++=-，解得42a m --=，22am ∴+=-，又∵2204a m am c ++-=，∴222442a a c m am m ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭．故A ，B ，C 错误.故选：D ．4．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（） A ．{}1a a >- B ．{}1a a ≥-C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-【答案】B【解析】因为不等式10x -≤的解集为{}1x x ≤，由题意得不等式()2220x a x a +++≤的解集是{}1x x ≤的子集，不等式()2220x a x a +++≤，即()()20x x a ++≤，①当2a =时，不等式的解集为{}2-，满足{}{}21x x -⊆≤； ②当2a <时，不等式的解集为{}2x x a -≤≤-，若{}{}21x x a x x -≤≤-⊆≤，则1a -≤，所以12a -≤<；③当2a >时，不等式的解集为{}2x a x -≤≤-，满足{}{}21x a x x x -≤≤-⊆≤；综上所述，实数a 的取值范围为{}1a a ≥-．故选：B ．5．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()2022y x m x n n m =--+<，且(),αβαβ<是方程0y =的两实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<<【答案】C【解析】∵α，β为方程0y =的两实数根，∴α，β为函数()()2022y x m x n =--+的图像与x 轴交点的横坐标，令()()1y x m x n =--，∴m ，n 为函数()()1y x m x n =--的图像与x 轴交点的横坐标，易知函数()()2022y x m x n =--+的图像可由()()1y x m x n =--的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m n αβ<<<. 故选:C.6．（2022·湖南·长沙一中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（） A ．2275a -<<B ．25a > C ．27a <-D ．2011a -<< 【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D7．（2022·全国·高一单元测试）已知 0,0x y >>且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ． 1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<<【答案】D【解析】∵0,0x y >>，且141x y+=，∴1444()()5259y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥⋅=，当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<，故选：D.8．（2022·全国·高一课时练习）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-.若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}02a a <<C ．{}11a a -<<D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由()()1x a x a -⊗+<，得()()11x a x a ---<，即221a a x x --<-，令2t x x =-，此时只需2min 1a a t --<，又221124t x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以2114a a --<-，即24430a a --<，解得1322a -<<.故选：A. 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥【答案】ACD【解析】22x bx c x b ++≥+可整理为()220x b x c b +-+-≥，则()()2224440b c b b c ∆=---=-+≤，故A 正确．当1b =，2c =时，满足0∆≤，即原不等式成立．B 错误；由0∆≤，得214b c ≥+，所以1c ≥．C 正确；2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭．D 正确．故选：ACD ．10．（2022·江苏·高一）已知关于x 的一元二次不等式()22120ax a x --->，其中0a <，则该不等式的解集可能是（） A ．∅ B ．12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】不等式变形为(2)(1)0x ax -+>，又0a <，所以1(2)()0x x a-+<，12a =-时，不等式解集为空集；12a <-，12x a -<<，102a -<<时，12x a <<-，因此解集可能为ABD ．故选：ABD ．11．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭ D ．0a b c ++>【答案】AD【解析】对于A ，由不等式的解集可知：0a >且3473412bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，7b a ∴=-，12c a =，A 正确；对于B ，7120bx c ax a +=-+>，又0a >，127x ∴<，B 错误；对于C ，221270cx bx a ax ax a -+=++<，即212710x x ++<，解得：1134x -<<-，C 错误；对于D ，71260a b c a a a a ++=-+=>，D 正确. 故选：AD.12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（） A ．5- B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=-（1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤；（2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数，则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<；所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-. 故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为__________. 【答案】1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则根据对应方程的韦达定理得到：112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.14．（2022·陕西·千阳县中学高一开学考试）不等式517x ≥--的解集为__________. 【答案】{|7x x >或2}x ≤ 【解析】因为517x ≥--，所以5107x +≥-，即207x x -≥-，等价于(2)(7)070x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得7x >或2x ≤，所以不等式的解集为{|7x x >或2}x ≤. 故答案为：{|7x x >或2}x ≤15．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)(]1,02,3-⋃【解析】由()210x a x a -++<得()()10x x a --< ，若1a =，则不等式无解；若1a >，则不等式的解为1x a <<，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为2x =，则23a <≤；若1a <，则不等式的解为1<<a x ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为0x =，则10a -≤<．综上，满足条件的a 的取值范围是[)(]1,02,3-⋃．故答案为：[)(]1,02,3-⋃.16．（2022·全国·高一课时练习）知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4(,)m m，其中0m <，则44b a b+的最小值为______．【答案】2【解析】∵2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴0a >,且方程2240ax bx ++=的两根为m ，4m， ∴42bm m a +=-,44m m a ⋅=，∴1a =，∵0m <，∴424b m m=-+≥-，即2b ≥，当且仅当2m =-时取“=”． ∴44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， ∴44b a b+的最小值为2．故答案为：2 四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式： (1)22530x x +->； (2)220x x +-≤； (3)4220x x --≥； (4)21x x >．【解析】（1）由22530x x +->，得()()3210x x +->，解得3x <-或12x >，所以不等式的解集为{3x x <-或12x ⎫>⎬⎭.（2）由220x x +-≤，得220x x --≥，()()120x x +-≥，解得1x ≤-或2x ≥，所以不等式的解集为{1x x ≤-或}2x ≥.（3）由4220x x --≥，得()()22120x x +-≥，解得21x ≤-（舍去）或22x ≥，得2x ≤-2x ≥，所以不等式的解集为{2x x ≤-}2x ≥. （4）由21x x ，得2210xx >，1x >12x -（舍去），所以1x >，所以不等式的解集为{}1x x >.18．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈.(1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->，当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >；当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 19．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数） (1)220x x a ++< (2)102ax x ->-. 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=， Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-- 所以220x x a ++<的解为：1111a x a --<--。

人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》教学设计

人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册26.2.1《用函数观点看一元二次方程》这部分内容，是在学生已经掌握了一元二次方程的解法的基础上进行教学的。

这部分内容主要是让学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程，培养学生运用函数观点解决问题的能力。

教材通过引入函数的概念，让学生理解一元二次方程和函数之间的关系，从而提高学生解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，包括一元二次方程的解法。

但是，对于如何从函数的角度来理解和认识一元二次方程，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。

2.培养学生运用函数观点解决问题的能力。

3.提高学生分析问题和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解一元二次方程和函数之间的关系。

2.难点：如何引导学生从函数的角度来理解和认识一元二次方程。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程，通过师生互动，帮助学生建立函数与一元二次方程之间的联系。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。

2.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。

2.呈现（10分钟）展示一元二次方程的解法，引导学生从函数的角度来观察和分析一元二次方程。

让学生理解一元二次方程和函数之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些与一元二次方程相关的问题，引导学生运用函数观点解决问题。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高学生运用函数观点解决问题的能力。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了用函数观点看待一元二次方程，还可以用其他方法来理解和解决问题吗？激发学生的思维，培养学生的创新能力。

用函数观点看一元二次方程2

（1）设y=0得x2+x-2=0 y x1=1，x2=-2 ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共 -x+1 点，公共点的横坐标分别是1和-2， Y=x² 当x取公共的的横坐标的值时，函 Y=x² +x-2 数的值为0. （-2、0）（2）设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 ∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐标的值时，函数的值为0. （3）设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=（-1）2-4*1*1=-3＜0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
Y
△＜0 △=0
△＞0
O
X
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，象
用函数观点看
一元二次方程
复习
一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用. 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
y=x² -6x+9

26.2用函数观点看一元二次方程(二)

26.2用函数观点看一元二次方程（二）九年级下册编号10【学习目标】1. 能根据图象判断二次函数c b a 、、的符号；2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。

【学习过程】一、知识链接：根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表：（02=++c bx ax 的实数根记为21x x 、）（1）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点⇔ac b 42- 0；（2）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点⇔ac b 42- 0；（3）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点⇔ac b 42- 0.二、自主学习：1.抛物线2242y x x =-+和抛物线223y x x =-+-与y 轴的交点坐标分别是和。

抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标分别是 . 2.抛物线c bx ax y ++=2① 开口向上，所以可以判断a 。

高效课堂《用函数观点看一元二次方程》公开课教案

本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。

在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。

但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。

对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。

对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。

而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。

本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。

教学时间课题22.2用函数的观点看一元二次方程（1）课型新授课教学目标知识和能力通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

过程和方法使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。

情感态度价值观进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

教学重点使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题教学难点进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想课堂教学程序设计设计意图一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。

本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。

连喷头在内，柱高为0.8m。

水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋45。

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋45最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；2．学生解答，教师巡视指导；3．让一两位同学板演，教师讲评。

从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式

从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式从函数的角度来看，一元二次方程和一元二次不等式都是关于一个未知数的二次函数。

一元二次不等式是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式。

而一元二次方程则是有两相异实根或有两相等实根的二次函数。

对于一元二次方程，判别式Δ＝b²－4ac可以判断其有无实根以及实根的情况。

当Δ＞0时，方程有两相异实根x1和x2；当Δ＝0时，方程有两相等实根x1＝x2；当Δ＜0时，方程没有实数根。

而对于一元二次不等式，其解集可以通过判别式2Δ的符号来确定。

当2Δ＞0时，解集为{x|x＞x2或x＜x1}；当2Δ＝0时，解集为{x|x＝x1或x＝x2}；当2Δ＜0时，解集为{x|x1＜x＜x2}。

此外，对于分式不等式和整式不等式，我们可以通过乘上一个不等式来确定其符号。

具体而言，对于f(x)/g(x)>0(0(<0)；对于f(x)/g(x)≥0(≤0)，我们则需要同时满足f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.在解不等式时，我们需要注意绝对值不等式的解集，以及当a＝0时的特殊情况。

同时，要结合函数图象来确定___成立的条件。

针对一些疑误辨析，我们可以判断：(1)错误，解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，并不能确定方程的两个根；(2)正确，解集为(x1，x2)时，a必须大于0；(3)错误，解集为x≤a时，其实为(-∞，a]。

4.已知函数$f(x)=-x+ax+b-b+1(a\in R,b\in R)$，对任意实数$x$都有$f(1-x)=f(1+x)$成立，当$x\in[-1,1]$时，$f(x)>0$恒成立，则$b$的取值范围是()解析：由$f(1-x)=f(1+x)$可得$-1+a+b-b+1=1+a-b-b+1$，即$a=0$，代入$f(x)>0$恒成立的条件，可得$b\in(-1,0)\cup(2,+\infty)$，故选项为$\textbf{(C)}$。

用函数观点看一元二次方程讲解

用函数观点看一元二次方程撰稿：庄永春责编：张晓新一、目标认知学习目标1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.重点1．体会方程与函数之间的联系.2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.难点1．探索方程与函数之间关系的过程.2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.二、知识要点梳理知识点一、二次函数与一元二次方程的关系1．函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.2．函数与直线的公共点情况方程的根的情况.函数与直线的公共点情况方程的根的情况.知识点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程的步骤：1．作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数2．由二次函数图象与的交点位置，确定交点的横坐标的取值范围；3．利用计算器计算方程的近似根.三、规律方法指导求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根：(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根。

从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式课件

分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.
（2）分式不等式的解法
对于比较简单的分式不等式，可直接等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.当分式不等式中含有
等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意.
【知识拓展】分式不等式等价转化为整式不等式

>0

≥0 f（x）·g（x）≥0，且g（x）≠0；（4）
如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴标根法（亦称“穿针引线
法”）求解，具体步骤如下：
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
【注意】
（1）不等式若带“＝”，点画为实心，解集边界处
应有等号（闭区间）；
（2）在画数轴时，一般应标上表示0的点，在画线
时，一定要考虑是否穿过它.
【点拨】
四、一元二次不等式及解法
1.一元二次不等式
（1）定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次
不等式.
（2）形式：一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（其中a，b，c均为常数，a≠0）.
【思考】
2
（1）不等式x2+>0是一元二次不等式吗？
穿针引线法的发现归功于从简单到复杂、从具体到
一般的观察，发现问题，提出问题，进而解决问题.
这就是逻辑推理素养中的归纳.
高中数学
必修第一册
示例解不等式
【解】
−1
+1
配套江苏版教材
−1
+1
>0.

人教版九年级数学下册《用函数观点看一元二次方程》教案

26.2 用函数观点看一元二次方程教学目标知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点和难点重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

教学过程设计（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2。

考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2。

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。

解：（1）解方程15＝20t—5t2。

t2—4t＋3=0。

t1＝1,t2＝3。

当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。

（2）解方程20＝20t－5t2。

t2－4t＋4＝0。

t1＝t2＝2。

当球飞行2s时，它的高度为20m。

（3）解方程20.5＝20t－5t2。

t2－4t＋4.1＝0。

因为（－4）2－4×4.1<0。

所以方程无解。

球的飞行高度达不到20.5m。

用函数的观点看一元二次方程教学设计

《用函数的观点看一元二次方程》教学设计一、内容及内容解析二次函数是描述现实世界变量之间数量变化规律的重要数学模型，这一章是初中阶段有关函数知识的重点内容之一，是对八年级的所学函数知识的深入与延伸。

学生学习了一次函数和反比例函数后，近一步学习二次函数，是函数知识螺旋发展的重要环节，也是今后继续学习其他初等函数的基础。

因此，这部分内容对学生学习函数知识有着承上启下的作用。

《用函数的观点看一元二次方程》是继学生学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组的联系以及二次函数初步知识后的一节内容，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。

这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数是有关问题。

这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。

这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。

这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。

二、目标及目标分析知识技能：1．了解一元二次方程的根的几何意义（抛物线于x轴的公共点的横坐标）2．掌握抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况。

3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

数学思考：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．3．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。

解决问题：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

从函数的观念看一元二次方程与一元二次不等式(原卷版)

【考点梳理】考点一：一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax 2＋bx ＋c >0，ax 2＋bx ＋c <0，ax 2＋bx ＋c ≥0，ax 2＋bx ＋c ≤0，其中a ≠0，a ，b ，c 均为常数考点二：一元二次函数的零点二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．考点三：二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅【题型归纳】题型一：一元二次不等式的解法1．（2023·高一）不等式()273x x +≥-的解集为（） A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡--⎤⎢⎥⎣⎦2．（2023秋·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式： (1)2450x x -++<(2)20252x x ≤-+(3)2690x x -+≤(4)290x -≤3．（2023·江苏·高一专题练习）重新考查不等式2510 4.80x x -+<.这个不等式的左边可分解因式为( 1.2)(54)x x --.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组（1） 1.20540x x -<⎧⎨->⎩和（2） 1.20540x x ->⎧⎨-<⎩的两个解集的并集不等式组（1）的解为0.8x 1.2<<，不等式组（2）无解，从而不等式2510 4.80x x -+<的解集为{|0.8 1.2}x x <<. 试用上述方法解下面的不等式：(1)(23)(1)0x x -+>；(2)(1)(2)0x x -+≥；(3)103x x -<+；(4)1204xx -≤+.题型二：由一元二次不等式来确定参数的范围4．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则a b +=（） A ．3B ．5C ．1-D ．3-5．（2023·江苏·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．(,43⎤-∞⎦B ．(),43∞-C ．[)13,+∞D ．(),13-∞6．（2023·江苏·高一专题练习）已知不等式210ax bx +->的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（）A ．{3|x x ≤-或2}x -≥B ．{|32}x x --≤≤C ．{|23}x x ≤≤D ．{|2x x ≤或3}x ≥题型三：一元二次不等式恒成立问题7．（2023·全国·高一专题练习）设集合}{210A x ax ax =++≥满足R A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(]0,48．（2023·全国·高一专题练习）若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(2,2)-B ．(10,2]-C ．(,2)[2,)-∞-+∞D ．(,2)-∞-9．（2023秋·江苏淮安·高一江苏省淮安中学校考期末）“10k -<<”是“关于x 的不等式22(2)0kx kx k +-+<恒成立”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型四：一元二次不等式在某个区间成立问题10．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意[]1,1x ∈-，使得不等式212x x m -+≥m 取值范围是（） A ．14m ≥B ．14m ≤C ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2m ≤11．（2023·江苏·高一专题练习）命题“[1,2],20ax x x∀∈+≥”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．1a ≥-B ．2a ≥-C ．3a ≥-D ．4a ≥-12．（2022秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）对任意的[1,1]x ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+-<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．3a ≥B ．3a >C ．3a ≤D ．3a <题型五：一元二次不等式在某个区间有解问题13．（2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）若命题“0(0,)x ∀∈+∞，使得20030x ax a +++≥”为假命题，则实数a 的取值范围是（）)(1,)+∞41)(,)3+∞15．（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）设a 为实数，若关于x 的不等式270x ax -+≥在区间()2,7)7题型六：一元二次不等式的实际应用问题16．（2023·江苏·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（）A ．20≤x ≤30B ．20≤x ≤45C ．15≤x ≤30D ．15≤x ≤4517．（2021秋·江苏苏州·高一江苏省黄埭中学校考阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是（）A ．1530x ≤≤B ．1225x ≤≤C ．1030x ≤≤D ．2030x ≤≤保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是（）A ．{}|3t t ≥B ．{}5|3t t ≤≤C ．{|35}t t <<D ．{}|5t t ≤题型七：含参数的一元二次不等式的解法19．（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）解关于x 的不等式：210ax x a -+-≤（其中0a ≤）. 20．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数2(,R)y x bx c b c =++∈，且0y ≤的解集为[]1,2-. (1)求,b c ；(2)解关于x 的不等式2(2)2(1)(0)m x x x m m -->--≥21．（2023·江苏·高一假期作业）（1）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<；（2）已知关于x 的不等式()()22454130m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【双基达标】一、单选题25．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）当0x m ≤≤时，函数223y x x =-+有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．12m ≤≤C ．02m ≤≤D ．2m ≤26．（2023·江苏·高一专题）“31m -<<”是“不等式()()21110m x m x -+--<对任意的x ∈R 恒成立”的（）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),12,-∞-+∞，则不等式20bx ax c +-≤的解集是（）A ．[]1,2-B ．][(),12,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．][(),21,∞∞--⋃+【高分突破】一、单选题30．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知一元二次方程210x mx -+=的两根都在(0,2)内，则实数m 的取值A ．13t -≤≤B ．31t -≤≤C ．1t ≤-或3t ≥D ．3t或1t ≥32．（2022秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）设m 为实数，2(1)1y m x mx m =+-+-，若不等式0y >的的取值范围为（）34．（2022秋·高一单元测试）已知二次函数24y x x =-，一次函数y kx =，点()1,A a y 为二次函数图象上的动点，点二、多选题35．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为36．（2022秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法正确的是（）A ．0a >37．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设m 为实数，已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=，则下列说法正确的是（）A ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <38．（2022秋·江苏扬州·高一校考期中）已知0b >,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式32330ax x abx b +--≤恒成立.则（）三、填空题四、解答题44．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）已知关于x 的不等式2220ax x a --<的解集为。

用函数观点看一元二次方程—知识讲解(提高)

用函数看法看一元二次方程—知识解说（提升）【学习目标】1. 会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2. 会求抛物线与 x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3. 经历研究考证二次函数y ax 2 bx c(a 0) 与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的看法去看方程和用数形联合的思想去解决问题．【重点梳理】重点一、二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数图象与 x 轴的交点状况决定一元二次方程根的状况求二次函数 y ax 2bx c (a ≠0) 的图象与 x 轴的交点坐标，就是令y ＝ 0，求 ax 2 bxc0 中x 的值的问题．此时二次函数就转变成一元二次方程，所以一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x 轴的交点的个数，它们的关系以下表：鉴别式一元二次方程△ b 24ac二次函数 y ax 2bx c(a0)2bx c 0(a0)ax图象与 x 轴的交点坐标根的状况a抛物线 yax 2 bx c(a0) 与 x 一元二次方程轴交于( x 1,0) ， (x 2 ,0) ( x 1 x 2 ) 两 ax 2bx c0(a0)△＞ 0有两个不相等的实数根a点，且 x 1,2bb 2 4ac ， x1,2bb 2 4ac2a2a此时称抛物线与 x 轴订交aax 2 bx c(a 0) 与 x一元二次方程抛物线 yax 2bx c 0(a 0)△＝ 0轴交切于b ,0 这一点，此时称有两个相等的实数根a2ax 1b抛物线与 x 轴相切x 22aa 0一元二次方程抛物线y ax 2bx c(a0) 与 xax 2 bx c 0(a 0)△＜ 0轴无交点，此时称抛物线与 x 轴相离在实数范围内无解（或称 a 0无实数根）重点解说：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确立的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根 .2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题本质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延长到求抛物线y ax2bx c (a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数y kx b1(k 0)的交点问题．抛物线 y ax2bx c (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．抛物线 y ax2bx c (a≠0)与一次函数y kx b1 ,y kx b (k≠0)的交点个数由方程组1y ax2bx c的解的个数决定．当方程组有两组不一样的解时两函数图象有两个交点；当方程组有两组同样的解时两函数图象只有一个交点；当方程组无解时两函数图象没有交点．总之，研究直线与抛物线的交点的问题，最后是议论方程( 组 ) 的解的问题．重点解说：求两函数图象交点的问题主要运用转变思想，马上函数的交点问题转变成求方程组解的问题或许将求方程组的解的问题转变成求抛物线与直线的交点问题．重点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程的步骤：1. 作二次函数的图象，由图象确立交点个数，即方程解的个数；2. 确立一元二次方程的根的取值范围．即确立抛物线与 x 轴交点的横坐标的大概范围；3.在(2) 确立的范围内，用计算器进行研究 . 即在 (2) 确立的范围内，从大到小或从小到大挨次取值，用表格的形式求出相应的 y 值．4. 确立一元二次方程的近似根．在(3)中最靠近0 的 y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．重点解说：求一元二次方程(1) 直接作出函数的近似解的方法（图象法）：的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2) 先将方程变成再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；(3) 将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根 .重点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞ 0 时，设抛物线 y ax 2bx c 与 x 轴的两个交点为 A( x 1 ，0) ，B( x 2 ，0) ，则 x 1 、 x 2 是一元二次方程 ax2bx c=0 的两个根．由根与系数的关系得 x 1x 2b， x 1x 2 c ．aa2c b24ac b 2 4ac ∴ | AB | | x 2x 1 |(x 2 x 1 ) 2(x 1 x 2 )2 4x 1 x 2b 4aaa 2| a |即 |AB|△（△＞ 0）．| a |重点四、抛物线与不等式的关系二次函数 y ax 2bx c (a ≠ 0) 与一元二次不等式 ax 2 bx c0 (a ≠ 0) 及 ax 2 bx c 0 (a ≠0) 之间的关系以下 ( x 1x 2 ) ：a鉴别式抛物线 yax 2 bx c 与2不等式ax 2bx c0 的解bxc0 的解集不等式 axx 轴的交点集△＞ 0x x 1 或 x x 2 x 1 x x 2△＝ 0x x 1 （或 x x 2 ）无解△＜ 0全体实数无解注： a ＜ 0 的状况请同学们自己达成．重点解说：抛物线yax 2 bx c 在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的全部值就是不等式ax 2bx c0 的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的 x 的全部值就是不等式ax 2bxc 0 的解集．不等式中假如带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】种类一、二次函数图象与坐标轴交点1. 已知抛物线 y 2(k 1)x 24kx 2k 3 ．求： (1)k 为什么值时，抛物线与 x 轴有两个交点；(2)k 为什么值时，抛物线与x 轴有独一交点； (3)k 为什么值时，抛物线与x 轴没有交点．【答案与分析】b 24ac (4k) 24 2(k 1)(2k 3)16k 2 8(2k 2 k 3) 8k24 ．(1) 当 b 2 4ac 8k 24 0 ，且 2( k 1) 0 ，即当 k ＞ -3 且 k ≠ -1 时，抛物线与 x 轴有两个交点． (2)当 b 24ac 8k24 0 ，且 2(k+1) ≠ 0．即当 k ＝ -3 时，抛物线与 x 轴有独一交点．(3) 当 b 2-4ac ＝ 8k+24＜ 0，且 2(k+1) ≠ 0．即当 k ＜ -3 时，抛物线与 x 轴不订交．【总结升华】依据抛物线与 x 轴的交点个数可确立字母系数的取值范围，其方法是依据抛物线与交点个数，推出△值的性质，即列出对于字母系数的方程 ( 或不等式 ) ，经过方程解．2(k+1)x 轴的(或不等式 )求贯通融会：【变式】（ 2014 秋 ?越秀区期末）二次函数 y=ax 2+bx+c （ a ≠0）的图象以下图，依据图象解答以下问题：2（ 1）写出方程 ax +bx+c=0 的两个根；（ 2）写出不等式 ax 2+bx+c ＞ 0 的解集；（ 3）求 y 的取值范围．【答案】解：（1）以下图：方程ax 2+bx+c=0 的两个根为：﹣ 5和1；2（ 2）以下图：不等式ax +bx+c ＞ 0 的解集为：﹣ 5＜ x ＜ 1；（ 3）∵抛物线与坐标轴分别交于点 A （﹣ 5， 0）， B （ 1， 0），C （ 0，5），设抛物线分析式为： y=a （ x+5 ）（ x ﹣ 1）， ∵抛物线过点 C （ 0，5），∴ 5=a ×5×（﹣ 1），解得： a=﹣ 1，∴抛物线分析式为： y=﹣（ x+5 ）（ x ﹣ 1）=﹣ x 2﹣ 4x+5，∵ a=﹣1＜ 0，∴当 x=﹣=﹣ 2 时，y 最大 =﹣（﹣ 2+5 ）（﹣ 2﹣ 1） =9， ∴ y 的取值范围为： y ≤ 9．种类二、利用图象法求一元二次方程的解2. 利用函数的图象，求方程组的解 .【答案与分析】在同向来角坐标系中画出函数和的图象，如图，获得它们的交点坐标(-2，0) ，(3 ，15) ，则方程组的解为.【总结升华】能够经过画出函数和的图象，获得它们的交点，从而获得方程组的解 .种类三、二次函数与一元二次方程的综合运用3.已知对于 x 的二次函数y x2(2 m 1)x m23m 4 ．(1)研究 m知足什么条件时，二次函数y 的图象与 x 轴的交点的个数为2， 1，0．(2)设二次函数 y 的图象与 x 轴的交点为 A( x1，0)， B( x2， 0) ，且x2x25与y轴的交点为C，12它的极点为M，求直线CM的分析式．【答案与分析】(1) 令 y＝ 0，得：x2(2 m 1)x m23x 40 ，△＝ [ (2m1)]24(m23m 4) 16m 15 ，当△＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根，即16m 15 0，∴m 15．16此时， y 的图象与x 轴有两个交点．15当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根，即16m 15 0 ，∴m．16此时， y 的图象与x 轴只有一个交点．当△＜ 0 时，方程没有实数根，即16 m15 0，∴m 15．16此时， y 的图象与 x 轴没有交点．∴当 m 152；时， y 的图象与 x 轴的交点的个数为16151；当 m时， y 的图象与 x 轴的交点的个数为16150．当 m时， y 的图象与 x 轴的交点的个数为16(2) 由根与系数的关系得x1x2 2m 1， x1x2m23m4．x2x2(x x) 22x x2(2m1) 22(m23m4)2m210m 7 ．12121∵x12x225，∴2m210m7 5 ，∴m25m60，解得： m 6 ， m 1 ．12∵m 15，∴ m ＝ -1 ．∴y x23x 2 ．16令 x ＝ 0，得 y2 ，∴ 二次函数 y 的图象与 y 轴的交点 C 的坐标为 (0 ， 2) ．3 21，∴ 31 ．又 y x 2 3x2x极点 M 的坐标为,2 42 4设过 C(0，2) 与 M3 , 1 的直线分析式为 y kx b ，2 42b,解得 k3 ,则13 k b, 2b 2.42∴ 直线 CM 的分析式为 y3 x 2 ．2【总结升华】依据二次函数与一元二次方程的关系，将函数转变成一元二次方程，再利用鉴别式，议论二次函数的图象与 x 轴的交点个数，利用根与系数关系成立对于 m 的方程，求出 m 值，得二次函数分析式，分别求出 C 点、 M 点坐标，从而求出直线方程．贯通融会：【变式】已知抛物线 y mx 24mx 4m 2( m 是常数 ) ．（ 2）若1m 5 ，且抛物线与 x 轴交于整数点，求此抛物线的分析式．5【答案】（ 1）依题意，得 m0 ，∴ xb4m2，2a2m4ac b 24m (4m 2)( 4m )216 m28m 16m 2y4m4m24a∴抛物线的极点坐标为(2 , 2) ．（ 2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴ mx 2 4mx 4m 2 0 的根是整数．∴ x4m16m 2 4m(4 m2)2 2m ．2m22m∵ m0 ，∴ x22是整数．∴ 2是完整平方数．mm∵1m 5 ， ∴22 10 ，∴ 2取 1，4，9，55mm4m16m 2 4m(4m 2)2 2mx2m2．2m当21 时， m2；当24 时， m1 ；mm2当29 时， m2．∴ m的值为2或 1 或 2．m929∴抛物线的分析式为y 2x28 61222810或y x 2x 或 y x x．x29994.（ 2015?中山模拟）如图，二次函数的图象与x 轴交于 A （﹣ 3， 0）和 B（ 1， 0）两点，交 y 轴于点 C（ 0，3），点 C、 D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点（ 1）求二次函数的分析式；（ 2）依据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；B、D．（ 3）若直线与y 轴的交点为E，连接 AD 、 AE ，求△ADE 的面积．【答案与分析】2解：（1）设二次函数的分析式为y=ax +bx+c （ a≠0， a、 b、 c 常数），依据题意得，解得：，所以二次函数的分析式为：y= ﹣x2﹣2x+3 ；（ 2）如图，一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是：x＜﹣ 2 或x＞ 1．（ 3）∵对称轴： x= ﹣ 1．∴ D（﹣ 2， 3）；设直线 BD ： y=mx+n代入B（1，0），D（﹣2，3）：，解得：，故直线 BD 的分析式为：y=﹣ x+1 ，把 x=0 代入求得 E（ 0， 1）∴ OE=1 ，又∵ AB=4∴S△ADE= ×4×3﹣×4×1=4．【总结升华】本题主要考察了待定系数法求一次函数和二次函数分析式，利用数形联合得出是解题重点．。