高中数学2-1-3空间中直线与平面之间的位置关系课件新人教A版必修
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人教版高中数学必修2 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 课件
线AB和平面的位置关系一定是( C) (A)平行 (B)相交 (C)平行或相交 (D)AB
6.已知m,n为异面直线,m∥平面,n∥ 平面b,∩b=l,则l ( C) (A)与m,n都相交 (B)与m,n中至少一条相交 (C)与m,n都不相交 (D)与m,n中一条相交
课堂小结
直线与平面的位置关系有且只有三种:
直线与平面的位置关系有且只有三种:
(1)直线在平面内-----有无数个公共点
a 如图:
a
a (2)直线在平面外:
a
.A
①直线a和面α相交 :
a A 如图:
②直线a和面α平行 :
a
a // 如图:
小试牛刀
✘ ✘ ✘
1.判断下列命题的正确
(1)若 直 线 l上有无数个点不在平面 内,则
l // .( )
(2)若直线 l 与平面 平行,则l 与平面 内
的任意一条直线都平行.(
)
(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平
行,那么另一条也与这个平面平行.( )
(4)若直线 l 与平面 平行,则l 与平面 内
的任意一条直线都没有公共点.( )
✔
2、若直线a不平行平面 ,且
则下列结论成立的是( )
B
a
(A) 内所有直线与a异面
(B) 内不存在与a平行的直线
(C) 内存在唯一的直线与a平行
(D) 内的直线与a都相交
问题探究
问题1、平行于同一平面的两条直线一定是两条平行直线吗?
问题2、两条平行线中的一条平行一个平面,则另一条也一 定平行于这个平面吗?
问题3、无公共点的两条D直′ 线一定是C平′ 行直线吗?
人教A版 必修2
高中数学人教A版必修第二册空间点、直线、平面之间的位置关系优秀课件
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点
这样,空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行 的意义是一致的,即首先这两条直线在同一平面内,其次是它们不 相交.
三、空间中直线与直线、平面的位置关系 高中数学人教A版( 必修20第19二)册必空修间(点第、二直册线)、第平八面章之8间.4的.2位空置间关点系优、秀直p线pt、课平件面之间的位置关系课件(共11张PPT)
A'
直线AB与一个公共点B,它们是相交直线.
直线AB与CC'不同在任何一个平面内. A
C'
B'
C B
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
1.空间直线与直线的位置关系(三种):
共面直线
相交直线:在同一平面内,有且只有一个公共点 平行直线:在同一平面内,没有公共点
一般地,直线a
下图中平面ABCD与平面A'B'C'D' 在平面α内,应把直
有没有公共点? 没有公共点
线a画在表示平面a的
下图中平面ABCD与平面BCC'B'有 平行四边形内;直线a
没有公共直线?有一条公共直线BC 在平面α外,应把直
再结合生活实例, D'
C' 线a或它的一部分画
我们就可以得出两个 A'
棱所在的直线,6个面对应6个面所在的平面,观察下图所示的长方体
ABCD-A'B'C'D',你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗?
观察你所在的教室,你能找到上述位置关系的一些实例吗?你
能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗?
1.空间点与直线的位置关系(两种):
人教版高中数学必修2 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 课件(共21张PPT)
误区警示解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定 义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.
即时训练1-1:下列说法中,正确的个数是( ) ①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条也和 这个平面相交 ②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一 条直线的任何平面平行 ③若直线a在平面α外,则a∥α. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
一条直线和一个平面有且只有一个公 共点,叫做直线与平面相交,这个公共点 叫做直线与平面的交点.
一条直线与一个平面没有公共点, 叫做直线与平面平行.
4. 如何用图形、符号语言表示直线
和平面的位置关系?
l
相交
α
P
l P
l
平行
β
l //
5. 过平面外一点可作多少条直线和这 个平面平行?相交?
课堂探究
题型一 直线与平面的位置关系 【思考】 直线在平面外,包括几种情况?
提示:两种,平行与相交.
典例剖析·举一反三
【例1】 如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,试判定BC1与六个面的 位置关系.
解:因为B∈面BCC1B1,C1∈面BCC1B1,所以BC1⊂面BCC1B1. 又因为BC1与面ADD1A1无公共点,所以BC1∥面ADD1A1. 因为C1∈面CDD1C1,B∉面CDD1C1,所以BC1与面CDD1C1相交, 同理BC1与面ABB1A相交, BC1与面ABCD相交,BC1与面A1B1C1D1相交.
6. 过直线外一点可作多少个平面 和这条直线平行?相交?
7. 若l // ,则直线 l与平面α内的直
线的位置关系如何?
l
a
b
人教新课标A版必修2 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系(共13张PPT)
其中正确命题的个数是(A)
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
知识识记
直线与平面的位置关系
(2).已知a,b是直线,β是平面.若a∥ β ,b∥ β ,则直线a,b的位置关系
①平行;②垂直不相交;③垂直相交; ④相交;⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 ( D)
(A)2个 (B)3个
(C)4个
知识识记
直线与平面的位置关系
3.如图,直线a∥平面α,a⊂β,α∩β=b,求证:a∥b.
证明:∵直线a∥平面α, ∴直线a与平面α没有公共点. ∵α∩β=b,∴b⊂α,b⊂β. ∴直线a与b没有公共点. ∵a⊂β,∴a∥b.
课堂小结
总结本节课的学习内容.
课时小结: (师生互动,共同归纳)
(1)本节课我们学习了哪些知识内容? (2)三个公理的内容及作用是什么?
A.l∥α
B.l⊥α
C.l与α相交但不垂直
D.l∥α或l⊂α
[解析] l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等;
l⊂α时,直线l上所有的点到α的距离都是0;
l⊥α时,直线l上有两个点到α距离相等;
l与α斜与平面的位置关系
1.判断下列四个命题的对错.
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内, 则l∥α. (×) (2)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条 (×)
解:由直线a与平面α平行,直线b⊂α知a与b没有公共点, 所以a与b平行或异面.
新课讲授
直线与平面的位置关系
直线在平面α内 直线与平面α相交 直线与平面α平行
有无数个公共点
a α
有且只有一个交点 a A
α
无交点 a
α
典例精讲
高中数学 2.1.3-2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系课件 新人教
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按是否在平面内分类
直线在平面内 直线在平面外直直线线和和平平面面相平交行 2.两个平面位置关系的画法 (1)两个平行平面的画法. 画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成 对应边平行,如图a.
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10
(2)两个相交平面的画法. ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图b; ②再画出表示两个平面交线的线段,如图c;③过图c中线段的 端点分别引线段,使它们平行于图c中表示交线的线段,如图 d;④画出图b中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住 的线,可以画成虚线,也可以不画),如图e.
①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a
在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;④
如果直线a∥b,b⊂平面α,那么直线a就平行于平面α内的无数
条直线.
A.1
B.2
C.3
D.4
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16
【解析】 对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平 行,但l有可能在平面α内(若改为平面α外的直线l与α内无数条 直线都平行,则必有l∥α),∴①是假命题.对于②,∵直线a 在平面α外,包括两种情况a∥α和a与α相交,∴a与α不一定平 行,∴②为假命题.对于③,∵a∥b,b⊂α,只能说明a与b无 公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于平面α,∴③也 是假命题.对于④,∵a∥b,b⊂α.那么a⊂α,或a∥α.∴a可以 与平面α内的无数条直线平行,∴④是真命题.综上,真命题 的个数为1.
重复以上过程,另取P′点,会产生P′M′,故这样的直 线有无数条.故选D.
答案 D
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29
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5
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人教新课标A版高一数学《必修2》2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
1、了解空间中直线与平面的三种位置关系; 2、会用符号表示出直线和平面的三种位置 关系; 3、能准确地进行文字语言、图形语言和符 号语言的相互转化;
典例精析
直线与平面的位置关系
D
A
C
B
D
C
A B
典例精析
直线与平面的位置关系 )
例2 已知直线a在平面α外,则 ( (A)a∥α (C)aα=A
(B)直线a与平面α至少有一个公共点 (D)直线a与平面α至多有一个公共点
解析 准确理解直线在平面外的定义是解答本题的关键. 空间中的
直线a
与平面α探究点1 直线与平面源自位置关系DAC
B
D
C
A
面的位置关系
有哪些?
B
课堂探究
探究点1 直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种: a a a
α 直线在平面α内
有无数个交点 a⊂α 直线在平面内
α
A
α
直线与平面α相交
有且只有一个交点 直线与平面α平行 无交点 a∥α a ∩ α= A
直线与平面相交,记作a∩α=A(一个公共点)
直线与平面平行,记作a//α(没有公共点)
答案 D
知识识记
课堂达标训练
A
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
知识识记
课堂达标训练
D
C
知识识记
课堂达标训练 ( C)
(4).已知m,n为异面直线,m∥平面a,n∥平面b,a∩b=l,则l (A)与m,n都相交 (B)与m,n中至少一条相交 (C)与m,n都不相交 (D)与m,n中一条相交
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
1、了解空间中直线与平面的三种位置关系; 2、会用符号表示出直线和平面的三种位置 关系; 3、能准确地进行文字语言、图形语言和符 号语言的相互转化;
典例精析
直线与平面的位置关系
D
A
C
B
D
C
A B
典例精析
直线与平面的位置关系 )
例2 已知直线a在平面α外,则 ( (A)a∥α (C)aα=A
(B)直线a与平面α至少有一个公共点 (D)直线a与平面α至多有一个公共点
解析 准确理解直线在平面外的定义是解答本题的关键. 空间中的
直线a
与平面α探究点1 直线与平面源自位置关系DAC
B
D
C
A
面的位置关系
有哪些?
B
课堂探究
探究点1 直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种: a a a
α 直线在平面α内
有无数个交点 a⊂α 直线在平面内
α
A
α
直线与平面α相交
有且只有一个交点 直线与平面α平行 无交点 a∥α a ∩ α= A
直线与平面相交,记作a∩α=A(一个公共点)
直线与平面平行,记作a//α(没有公共点)
答案 D
知识识记
课堂达标训练
A
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
知识识记
课堂达标训练
D
C
知识识记
课堂达标训练 ( C)
(4).已知m,n为异面直线,m∥平面a,n∥平面b,a∩b=l,则l (A)与m,n都相交 (B)与m,n中至少一条相交 (C)与m,n都不相交 (D)与m,n中一条相交
高中数学必修二2-1-3-4《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》课件
行
符号表 示 α⊂α
a∩α=A
a∥α
3.直线a在平面α外,是指直线a和平面α 相交 或
平行 .
4.两平面平行的定义: 如果两个平面没有公共点,
那么这两个平面平行
;
5.两平面的位置关系
位置 关系
图示
公共点情况
符号 表示
相交
无数个公共点在同 一条直线上,即交
线
α∩β =a
平行
无公共点
α∥β
二、回答下列问题 1.过平面α外一点P可作________条直线与平面α平行; [答案] 无数条
下列命题中,a、b、l表示直线,α表示平面.
①若a∥α,b∥α,则a∥b;
②若a∥b,b∥α,则a∥α;
③若a⊂α,b⊄α,且a,b不相交,则a∥b;
④若a⊂α,b⊂α,a∩b=A,l⊄α,且l和a,b均不相交,
则l∥α.
其中正确的命题有
()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
[答案] A [解析] 两直线a,b都平行于平面α时,这两条直线可 能相交,也可能平行或异面,故①错;如图(1)满足a∥b, b∥α,但a在平面α内,故②错;如图(2)满足a⊂α,b⊄α,a 与b不相交,但a与b不平行,故③错;如图(3)满足a⊂α, b⊂α,a∩b=A,l⊄α,且l与a、b均不相交,但l与α相交, 故④错,因此选A.
求证:两条平行线中的一条与一个平面相交,则另一 条也与该平面相交.
[解析] 已知:直线a∥b,a∩平面α=P,如右图, 求证:直线b与平面α相交. 分析:a与b平行,可知a、b确定一个平面,设为β.平 面α和平面β有公共点P,因此必有一条交线l.b与l有公共点, 因此b与平面α也有公共点.
符号表 示 α⊂α
a∩α=A
a∥α
3.直线a在平面α外,是指直线a和平面α 相交 或
平行 .
4.两平面平行的定义: 如果两个平面没有公共点,
那么这两个平面平行
;
5.两平面的位置关系
位置 关系
图示
公共点情况
符号 表示
相交
无数个公共点在同 一条直线上,即交
线
α∩β =a
平行
无公共点
α∥β
二、回答下列问题 1.过平面α外一点P可作________条直线与平面α平行; [答案] 无数条
下列命题中,a、b、l表示直线,α表示平面.
①若a∥α,b∥α,则a∥b;
②若a∥b,b∥α,则a∥α;
③若a⊂α,b⊄α,且a,b不相交,则a∥b;
④若a⊂α,b⊂α,a∩b=A,l⊄α,且l和a,b均不相交,
则l∥α.
其中正确的命题有
()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
[答案] A [解析] 两直线a,b都平行于平面α时,这两条直线可 能相交,也可能平行或异面,故①错;如图(1)满足a∥b, b∥α,但a在平面α内,故②错;如图(2)满足a⊂α,b⊄α,a 与b不相交,但a与b不平行,故③错;如图(3)满足a⊂α, b⊂α,a∩b=A,l⊄α,且l与a、b均不相交,但l与α相交, 故④错,因此选A.
求证:两条平行线中的一条与一个平面相交,则另一 条也与该平面相交.
[解析] 已知:直线a∥b,a∩平面α=P,如右图, 求证:直线b与平面α相交. 分析:a与b平行,可知a、b确定一个平面,设为β.平 面α和平面β有公共点P,因此必有一条交线l.b与l有公共点, 因此b与平面α也有公共点.
高中数学 第1部分 2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系课件 新人教A版
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[导入新知] 直线与平面的位置关系
直线a在平面α外
位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α 直线a与平面α
相交
平行
公共点 _无__数__个__公共点 __一__个__公共点 __没__有__公共点
符号表示
a⊂α
a∩α=A
a∥α
图形表示
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7
[化解疑难] 1.利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关 系. (1)当直线与平面无公共点时,直线与平面平行. (2)当直线与平面有一个公共点时,直线与平面相交. (3)当直线与平面有两个公共点时,它们就有无数个公 共点,这时直线在平面内. 2.直线在平面外包括两种情形:a∥α与a∩α=A.
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18
[活学活用] 2.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,
则共有________组互相平行的面.与其中一个侧面相交的 面共有________个. 解析:六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相 对的侧面平行,故共有4组互相平行的面.六棱柱共有8个 面围成,在其余的7个面中,与某个侧面平行的面有1个, 其余6个面与该侧面均为相交的关系. 答案:4 6
[答案] B
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13
[类题通法] 空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、 直线与平面相交、直线与平面平行. 在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考 虑到,避免疏忽或遗漏.另外,我们可以借助空间几何图 形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形 中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.
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11
直线与平面的位置关系
[例 1] 下列说法:
①若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α;②若直线 a∥b,直线
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系课件 新人教A版必修2
[证明]
[例1]
在正方体A1B1C1D1 -ABCD中,与AB 异面的棱有哪些?
从图中擦去与AB相交或平行的所有 棱后剩余棱即是. [解析] 与AB异面的棱有A1D1、DD1、CC1、 C1B1.
[分析]
已知m、n为异面直线,m⊂平面α,n⊂平
面β,α∩β=l,则l ( ) A.与m、n都相交 B.与m、n中至少一条相交 C.与m、n都不相交 D.与m、n中的一条直线相交
[答案]
B [解析] 若m、n都不与l相交, ∵m⊂α,n⊂β,∴m∥l、n∥l, ∴m∥n∥l,这与m、n为异面直线矛盾, 故l与m、n中至少一条相交.
[例2]
如图,E、F分别是长方体A1B1C1D1 -ABCD的棱A1A,C1C的中点,求证:四 边形B1EDF是平行四边形.
已知A、B、C、D四点不共面,求证A、B、
C、D中任意三点不共线. [证明] 不妨假设A、B、C三点共线,那 么直线ABC与其外一点D可以确定一个平 面,即四点A、B、C、D共面,这与已知 条件矛盾,因此,A、B、C、D中任何三 点不能在同一条直线上.
[例6]
a、b、c是三条不同直线,若a与b 异面,b与c异面,则a与c的位臵关系是 ( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.都有可能 [ 错 解 ] 同 平 行 线 的 传 递 性 a∥b , b∥c⇒a∥c一样,∵a与b异面,b与c异面, ∴a与c必异面,故选A.
平行公理说明平行具有传递性.是论证两直
线平行的主要依据,解决了直线在空间的平 移问题,利用平行公理证明a∥c,关键是找 到一条直线b,满足b∥a且b∥c.
4.准确理解异面直线的概念 (1)异面直线具有既不相交也不平行的特点,
[例1]
在正方体A1B1C1D1 -ABCD中,与AB 异面的棱有哪些?
从图中擦去与AB相交或平行的所有 棱后剩余棱即是. [解析] 与AB异面的棱有A1D1、DD1、CC1、 C1B1.
[分析]
已知m、n为异面直线,m⊂平面α,n⊂平
面β,α∩β=l,则l ( ) A.与m、n都相交 B.与m、n中至少一条相交 C.与m、n都不相交 D.与m、n中的一条直线相交
[答案]
B [解析] 若m、n都不与l相交, ∵m⊂α,n⊂β,∴m∥l、n∥l, ∴m∥n∥l,这与m、n为异面直线矛盾, 故l与m、n中至少一条相交.
[例2]
如图,E、F分别是长方体A1B1C1D1 -ABCD的棱A1A,C1C的中点,求证:四 边形B1EDF是平行四边形.
已知A、B、C、D四点不共面,求证A、B、
C、D中任意三点不共线. [证明] 不妨假设A、B、C三点共线,那 么直线ABC与其外一点D可以确定一个平 面,即四点A、B、C、D共面,这与已知 条件矛盾,因此,A、B、C、D中任何三 点不能在同一条直线上.
[例6]
a、b、c是三条不同直线,若a与b 异面,b与c异面,则a与c的位臵关系是 ( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.都有可能 [ 错 解 ] 同 平 行 线 的 传 递 性 a∥b , b∥c⇒a∥c一样,∵a与b异面,b与c异面, ∴a与c必异面,故选A.
平行公理说明平行具有传递性.是论证两直
线平行的主要依据,解决了直线在空间的平 移问题,利用平行公理证明a∥c,关键是找 到一条直线b,满足b∥a且b∥c.
4.准确理解异面直线的概念 (1)异面直线具有既不相交也不平行的特点,
人教版高中数学必修2(A版) 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 PPT课件
变式训练: a∩b=A,P∈b,PQ∥a, 已知a α,b α, 求证:PQ α.
证明:∵PQ∥a,∴PQ、a确定一个平面, 设为β. ∴P∈β,a β,P a .又P∈α,a α, P a, 由推论1:过P、a有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQ α.
小结:
空间中直线与平面之间的位置关系有几种?
A′ D′ D A B′
C′
C
B
讨论:若直线l上有两个点到平面α的距离相等, 讨论直线l与平面α的位置关系. 直线l与平面α的位置关系有两种情况(如图 3),直线与平面平行或直线与平面相交.
例2 已知直线a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B, l∩c=C. 求证:l与a、b、c共面.
• 证明:如图,∵a∥b, ∴a、b确定一个平面,设为α. ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α. 又∵A∈l,B∈l,∴ABα,即l α. 同理b、c确定一个平面β,l β, ∴平面α与β都过两相交直线b与l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α与β重合.故l与a、b、c共面.
直线与平面的位置关系有且只有三种:
(1)直线在平面内-----有无数个公共点
a
如图:
a
a
(2)直线在平面外:
a
①直线a和面α 相交 :
.
A
a A 如图:
②直线a和面α 平行 :
a //
a
如图:
尝
则 l//
试
练
习
例1、判断下列命题的正确
(1)若直线 l 上有无数个点不在平面 内, (2)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的任 意一条直线都平行。( ) (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行,那么另一条也与这个平面平行。( ) (4)若直线l与平面 平行,则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。( )
高中数学2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系课件新人教A版必修2.pptx
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前面我们已经研究了空间两条直线的位置关系, 今天我们开始研究空间直线和平面的位置关系.直 线和平面的位置关系有几种呢?我们来观察:黑板 上的一条直线在黑板面内;两墙面的相交线和地面 只相交于一点;墙面和天花板的相交线和地面没有 公共点,等等.如果把这些实物作出抽象,如把 “墙面”、“天花板”等想象成“水平的平面”, 把“相交线”等想象成“水平的直线”,那么上面 这些关系其实就是直线和平面的位置关系,有几种, 分别是什么?
课后作业
课本习题2.1 第4、5、6题
直线和平面的位置关系有三种: 直线在平面内; 直线和平面相交; 直线和平面平行.
例1.空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另 外两边的平面. 已知:空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的 中点. 求证:EF∥平面BCD.
证明:连结BD.
性,这三个条件是证明直线和平面平行的条件,缺一不可.
课堂练习
1、若直线∥平面α,则下列命题中,正确的是() A平行于α内的所有直线 B平行于过的平面与α的交线 C平行于α内的任一直线 D平行于α内的唯一面内,过P作平面α,使 三角形ABC的三个顶点到α的距离相等,这样的平面α共 有() A1个B2个 C3个D4个
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前面我们已经研究了空间两条直线的位置关系, 今天我们开始研究空间直线和平面的位置关系.直 线和平面的位置关系有几种呢?我们来观察:黑板 上的一条直线在黑板面内;两墙面的相交线和地面 只相交于一点;墙面和天花板的相交线和地面没有 公共点,等等.如果把这些实物作出抽象,如把 “墙面”、“天花板”等想象成“水平的平面”, 把“相交线”等想象成“水平的直线”,那么上面 这些关系其实就是直线和平面的位置关系,有几种, 分别是什么?
课后作业
课本习题2.1 第4、5、6题
直线和平面的位置关系有三种: 直线在平面内; 直线和平面相交; 直线和平面平行.
例1.空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另 外两边的平面. 已知:空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的 中点. 求证:EF∥平面BCD.
证明:连结BD.
性,这三个条件是证明直线和平面平行的条件,缺一不可.
课堂练习
1、若直线∥平面α,则下列命题中,正确的是() A平行于α内的所有直线 B平行于过的平面与α的交线 C平行于α内的任一直线 D平行于α内的唯一面内,过P作平面α,使 三角形ABC的三个顶点到α的距离相等,这样的平面α共 有() A1个B2个 C3个D4个
高中数学 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系课件 新人教A版必修2
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没
有公共点;(√ )
三、随堂练习
a
1、若直线a不平行于平面α ,且a α, α
b c
则下列结论成立的是( B ):
(A)α内的所有直线与a异面;
(B)α内不存在与a平行的直线;
(C)α内存在唯一的直线与a平行; (D)α内的直线与a都相交;
a
2、判断题:
或相交 。 平行
3、直线与平面的位置关系按三种分为 相或交 或平行
。 直线在平面内
按两种分为
直线在平或面内
。 直线在平面外
(二)判断正误。
1、直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;( ) ×
2、若直线a在平面α外,则a ∥α;
()
3、若直线a ∥b,直线b α,则a ∥α;
()
4、若直线a ∥b,b α,那么直线a就平行于平面α
(1)a∥α,b α,则a∥b;(
α
)×
b
(2)a α,则a∥α或a和α 相交;( ) √
(3)a∩α=A, a α; ( ) √
(4)若a α,b α,则a、b无公共点。 ( ) ×
b
αa
四、小结:
1、空间中直线与平面的三种位置关系:
直线在平面内——有无数个公共点(交点);
相交——有且只有一个公共点; 直线在平面外
(2) A´B所在的直线与平面A´A D D´有 一 个公共点; A´B所在的直线与平面ABCD有 一 个公共点; A´B所在的直线与平面B´B C C´有 一 个公共点; A´B所在的直线与平面A´B´C´D´有 一 个公共点;
(3)A´在的直线与平面C´CDD´有 零 个公共点;
课件人教A版数学必修二空间中直线与平面之间的位置关系ppt_精选
②直线a在平面α外,是指直线a和平面α___相__交__或 ___平__行___。
③直线与平面的位置关系按三种分为平__行___或 __相__交____或 ___直__线__在__平__面__外___。
按两种分为__直__线__在__平__面__内___或直__线__在__平__面__外__。
• 思考:过平面外一点可作多少条直 判断直线与平面的位置关系关键在于—判断直线与平面的交点个数。
探究平面与平面之间的位置关系
a a 思考:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行?若直线l平行于平面α,则直线l与平面α内的直线的位置关系如何?
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α( )
a ②直线与平面相交---有且只有一个公共点;
②直线与平面相交---有且只有一个公共点;
α
α
α
a
a∩=A
(3)空间中直线与平面的位置关系有哪些?靠什么来划分呢? ②直线与平面相交---有且只有一个公共点; (2)在长方体ABCD-A‘B’C‘D’中,线段A‘B长方体的六个面所在的平面各是什么位置关系? ①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α( )
思 考
(1)一支笔所在的直线与一个作业本所在 的平面,可能有哪几种位置关系?
直线在平面外 (3)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
②直线与平面相交---有且只有一个公共点;
按两种分为_______________或____________。 空间中直线与平面的三种位置关系:
平行——没有公共点
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α( )
①直线在平面内---有无数个公共点;
按两种分为_______________或____________。 ④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点( ) ②直线与平面相交---有且只有一个公共点;
③直线与平面的位置关系按三种分为平__行___或 __相__交____或 ___直__线__在__平__面__外___。
按两种分为__直__线__在__平__面__内___或直__线__在__平__面__外__。
• 思考:过平面外一点可作多少条直 判断直线与平面的位置关系关键在于—判断直线与平面的交点个数。
探究平面与平面之间的位置关系
a a 思考:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行?若直线l平行于平面α,则直线l与平面α内的直线的位置关系如何?
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α( )
a ②直线与平面相交---有且只有一个公共点;
②直线与平面相交---有且只有一个公共点;
α
α
α
a
a∩=A
(3)空间中直线与平面的位置关系有哪些?靠什么来划分呢? ②直线与平面相交---有且只有一个公共点; (2)在长方体ABCD-A‘B’C‘D’中,线段A‘B长方体的六个面所在的平面各是什么位置关系? ①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α( )
思 考
(1)一支笔所在的直线与一个作业本所在 的平面,可能有哪几种位置关系?
直线在平面外 (3)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
②直线与平面相交---有且只有一个公共点;
按两种分为_______________或____________。 空间中直线与平面的三种位置关系:
平行——没有公共点
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α( )
①直线在平面内---有无数个公共点;
按两种分为_______________或____________。 ④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点( ) ②直线与平面相交---有且只有一个公共点;
【数学】2.1.3《空间中直线与平面之间的位置关系》课件(新人教A版必修2).pptx
4.过平面外一点与这平面平行的直线有多 少条?
——直线与平面相交
A
α
记作:a∩α=A
3直线与平面没有公共点
——直线与平面平行
记作:aα
记作:a∥α
α
a a
a
1.下列命题中正确的个数是()
①若直线l上有无数个点不在平面内,则// l ②若直线与l 平面平行,则与平l 面内的任意
一条直线都平行。
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,
那么另一条也与这个平面平行。 D1
C1
④若直线与l 平面平行, A1
则与l 平面内的任意一条
D
直线都没有公共点。
B2 C
A
B
练习:
2. 若直线不a 平行于平面,且,则a下列结论成立
的是()
B
(A)内 的所有直线与异面a
(B)内 不存在与平行a的直线
(C)内 存在唯一的直线与平行a
(D)内的直线与都相a 交
a
A α
3.平行于同一平面的两条直线是否平行?
思考1:一支笔所在直线与桌面所在平面,
可以有几种位置关系?
思考2:线段A1B所在直线与长方体
ABCD-A1B1C1D1的六个面所在平面
有几种位置关系?D1 NhomakorabeaC1
A1
B2
D C
A
B
∩ ∩
直线与平面的位置关系
1 直线与平面有无数多个公共点
——直线在平面内
记作:aα
α
直线不在平面内
2直线与平面只有一个公共点
——直线与平面相交
A
α
记作:a∩α=A
3直线与平面没有公共点
——直线与平面平行
记作:aα
记作:a∥α
α
a a
a
1.下列命题中正确的个数是()
①若直线l上有无数个点不在平面内,则// l ②若直线与l 平面平行,则与平l 面内的任意
一条直线都平行。
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,
那么另一条也与这个平面平行。 D1
C1
④若直线与l 平面平行, A1
则与l 平面内的任意一条
D
直线都没有公共点。
B2 C
A
B
练习:
2. 若直线不a 平行于平面,且,则a下列结论成立
的是()
B
(A)内 的所有直线与异面a
(B)内 不存在与平行a的直线
(C)内 存在唯一的直线与平行a
(D)内的直线与都相a 交
a
A α
3.平行于同一平面的两条直线是否平行?
思考1:一支笔所在直线与桌面所在平面,
可以有几种位置关系?
思考2:线段A1B所在直线与长方体
ABCD-A1B1C1D1的六个面所在平面
有几种位置关系?D1 NhomakorabeaC1
A1
B2
D C
A
B
∩ ∩
直线与平面的位置关系
1 直线与平面有无数多个公共点
——直线在平面内
记作:aα
α
直线不在平面内
2直线与平面只有一个公共点
课件--人教A版高中数学必修二空间直线与平面的位置关系PPT课件_优秀版
B (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直?
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直?
∴EFGH是一个平行四边形 (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直?
F
C
A1B和B1C所成的角为60°
2.1.2空间中直线与直线 D1C1、C1C、CD、
平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用. 平行直线:同一平面内,没有公共点;
BG=BE= a,, EG = a (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直? 空间两条直线的位置关系有且只有三种:
之间的位置关系 (3)哪些棱所在的直线与直线EA垂直?
立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的
一种方法。 变式:如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH
是什么图形?
A
BCDຫໍສະໝຸດ EFAB//D E,BC//EF A B C D E F
定理:空间中如果两个角的两边分别平 行,那么这两个角相等或互补.
A
B
C
D
F
E
AB//D E,BC//EF互补
夹角
(3)哪些棱所在的直线与直线EA垂直? 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ∵ EH是△ABD的中位线
a ∴EFGH是一个平行四边形
a 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB ,CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对?
取CC1的中点G,连BG.
则∠EBG即为所求角. 在△EBG 中
BG=BE= 5 a,, EG = 6 a
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直?
∴EFGH是一个平行四边形 (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直?
F
C
A1B和B1C所成的角为60°
2.1.2空间中直线与直线 D1C1、C1C、CD、
平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用. 平行直线:同一平面内,没有公共点;
BG=BE= a,, EG = a (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直? 空间两条直线的位置关系有且只有三种:
之间的位置关系 (3)哪些棱所在的直线与直线EA垂直?
立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的
一种方法。 变式:如果再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH
是什么图形?
A
BCDຫໍສະໝຸດ EFAB//D E,BC//EF A B C D E F
定理:空间中如果两个角的两边分别平 行,那么这两个角相等或互补.
A
B
C
D
F
E
AB//D E,BC//EF互补
夹角
(3)哪些棱所在的直线与直线EA垂直? 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ∵ EH是△ABD的中位线
a ∴EFGH是一个平行四边形
a 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB ,CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对?
取CC1的中点G,连BG.
则∠EBG即为所求角. 在△EBG 中
BG=BE= 5 a,, EG = 6 a
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应边平行,如图(a).
(2)两个相交平面的画法 ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(b). ②再画出表示两个平面交线的线段,如图(c). ③过图(c)中线段的端点分别引线段,使它们平行于图(c)中表 示交线的线段,如图(d).
④画出图(d)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住 的线,可以画成虚线,也可以不画),如图(e).
α.
求证:直线a与平面α相交.
证明:如下图所示,
假设直线a与平面α不相交. 即a∥α或a α.
若a∥α,这与已知a∩α=A相矛盾.
若aα,这与B∈a,B α相矛盾 .
∴假设不成立. ∴直线a与平面α相交.
易错探究 例4:如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(P B1D1),过P点在平面A1C1上作一直线l,使l与直线BD成α
③a∥α,bα,则a∥b;
④若a、b异面,且a∥β,则b与β相交; ⑤若a、b异面,则至多有一条直线与a、b都垂直.
其中真命题的个数为( A.1B.2 C.3D.4 解析:仅②为真命题. 答案:A
)
12.(2008· 辽宁)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱 AA1、CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都 相交的直线( )
对于④,∵a∥b,bα.那么aα,或a∥α.∴a可以与平面α
内的无数条直线平行,∴④是真命题.综上,真命题的个数为 1.
规律技巧:解答本题关键在于两点:(1)弄清概念;(2)要有一定 的空间想象能力.
变式训练2:过平面外两点作该平面的平行平面,可以作( A.0个 B.1个
)
C.0个或1个 D.1个或2个 解析:当这两点的连线不与平面平行时,过这两点不存在与已 知平面平行的平面.当这两点的连线与已知平面平行时,能 作一个平面与已知平面平行,故选C. 答案:C
题型三 直线与平面相交的判定
例3:求证:两条平行线中的一条与已知平面相交,则另一条也 与该平面相交. 已知:直线a∥b,a∩α=P,
求证:直线b与平面α相交.
证明:如上图所示, ∵a∥b, ∴a与b确定一个平面,设为β.
∵a∩α=P.
∴平面α和平面β相交于过点P的一条直线l. ∵在平面β内l与两条平行线a,b中一条直线a相交. ∴l必与b相交于Q,即b∩l=Q, 又∵
)
6.如果直线a平行于平面α,则(
)
A.平面α内有且只有一条直线与a平行 B.平面α内有无数条直线与a平行 C.平面α内不存在与a平行的直线 D.平面α内的任意直线与直线a都平行 答案:B
7.已知m\,n为异面直线,m平面α,n平面β,α∩β=l.则l( A.与m\,n都相交 B.与m\,n中至少一条相交 C.与m\,n都不相交 D.至多与m,n中的一条相交 答案:B
A.不存在B.有且只有两条
C.有且只有三条D.有无数条
解析:过直线A1D1可做无数个平面与直线EF、CD相交,则其 交点的连线必与直线A1D1相交,故可以有无数条直线与三 条直线同时相交. 答案:D
)
8.简述结论,并画图说明. 直线a在平面α内,直线b与直线a相交,则直线b与平面α的位置 关系如何?
解:直线b与平面α的位置关系有两种:b
α,b∩α=A.
能力提升
9.如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,D1B所在直 线与各个面所在平面的关系.
解:B1C所在直线与各面所在平面的关系是: B1C在平面BB1C1C内,B1C∥平面AA1D1D.与平面ABB1A1、 平面CDD1C1,平面ABCD,平面A1B1C1D1都相交.直线D1B
变式训练1:完成下列作图. (1)在图中画出两个平行平面;
答案:
(2)在图中画出两个相交平面;
答案:
(3)在图中画出三个平行平面;
答案:
(4)在图中画出一个平面与两个平行平面相交;
答案:
(5)在图中分别画出三个两两相交的平面.
答案:
例2:下列命题中正确命题的个数为(
)
①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α; ②若直线a在平面α外,则a∥α; ③若直线a∥b,直线bα,则a∥α; ④若直线a∥b,b平面α,那么直线a就平行于平面α内的无数 条直线.
A.1
C.3 答案:A
B.2
D.4
解析:对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能 在平面α内(若改为平面α外的直线l与α内无数条直线都平 行,则必有l∥α),∴①是假命题.对于②,∵直线a在平面α外, 包括两种情况a∥α和a与α相交,∴a与α不一定平行,∴②为 假命题.对于③,∵a∥b,bα,只能说明a与b无公共点,但a 可能在平面α内,∴a不一定平行于平面α,∴③也是假命题.
b ,l .
∴b与平面α相交.
规律技巧:证明直线与平面相交的方法有:(1)反证法,即否定 直线在平面内,否定直线与平面平行,然后一一推出矛盾.(2) 证明直线与平面只有一个公共点.
变式训练3:如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的 一点,则此直线和平面相交. 已知:a∩α=A,B∈a,B
与各个面都相交.
10.求证:过平面内一点,作平面内一直线的平行线必在此平面 内. 证明:设点A∈平面α,a平面α, ∵A
a,∴过点A存在直线b∥a.
设a,b确定的平面为β,则A∈β,且a∈β.∴平面α、β都是由点A
和直线a确定的平面. ∴α与β重合,∴b
α,故结论成立.
11.(湖北高考)已知a,b,c是直线,α、β是平面,给出下列命题: ①若a⊥b,b⊥c,则a∥c; ②若a∥b,b⊥c,则a⊥c;
3.特别提醒 (1)在解答直线与平面的有关问题时,要想像所有可能情况,思 考要全面.
(2)平行平面具有传递性,即α∥β,β∥γ
α∥ γ.
(3)本节内容可以以长方体为模型,抽象出直线与平面,平面与 平面的位置关系.
例1:分别按下列条件画出直观图. (1)a∩b=P,a∥平面α,b∩平面α=A; (2)平面α∩平面β=l,a∩平面β=A,a∥平面α. 解:根据题设及平面图形直观图的画法,得直观图如下图所示.
角,这样的直线l有(
A.1条 B.2条
)
C.1条或2条 D.无数条
错解:因为BD∥B1D1,所以l与B1D1所成的角α,就是l与BD所 成的角.在平面A1C1内以P为顶点,底边在B1D1上作一个等 腰三角形,使底角为α,则两腰所在直线就与B1D1成等角,所 以这样的直线有两条.应选B.
答案:B
错因分析:错解中受定势思维的影响,只考虑了 (0, ) 2 时的一般情况,而忽略了特殊情况.当 0或 时, 这样的 2 直线只有一条. 正解:(1)
)
3.若两个平面平行,则分别在这两个平行平面内的直线( A.平行 C.相交 答案:D B.异面 D.平行或异面
)
4.已知直线a∥平面β,直线bβ,则a与b的关系是( A.相交 C.异面 答案:D B.平行 D.平行或异面
)
5.过平面外一点,可作这个平面的平行线的条数是( A.1条B.2条 C.无数条D.很多但有限 答案:C
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置 关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
1.了解直线与平面的位置关系,并学会用符号和图形表示它 们. 2.了解两个平面有相交和平行两种位置关系,会用图形表示它
们.
1.直线和平面的位置关系(完成下表
a∩α=A
2.两个平面的位置关系(完成下表)
α∥ β 无公共点
1.空间中直线与平面位置关系的分类 直线与平面的位置关系有且只有三种: 按公共点个数分类
直线和平面平行,
直线和平面不平行 直线和平面相交. 直线在平面内.
按是否在平面内分类 直线在平面
2.两个平面位置关系的画法 (1)两个平行平面的画法 画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成对
当 (0, )时,这样的直线l有两条; 2 (2)当 0或 时,这样的直线l只有1条. 2
答案:C
技 能 演 练(学生用书P31)
基础强化 1.a∥b,且a与平面α相交,那么直线b与平面α的位置关系是 ( ) B.有可能平行
A.必相交
C.相交或平行
答案:A
D.相交或在平面内
2.若三个平面两两相交,则它们交线的条数是( A.1 C.3 答案:D B.2 D.1或3