对若干有关圆和球的求质心的方法

方法四：
令半圆绕其直径旋转一周，形成一球， 球的体积等于半圆的面积成一支新绕 过的周长，即：
πr
4πr ⋅ 2πXc = 2 3 4r Xc = 3π
2
2
方法五：
半圆的质心在两四分之一圆的质心连线上，而四分之一圆 的质心在两八分之一圆的质心连线上，以此类推，我们令 二分之一圆的质心到圆心的距离为Xc1,,四分之一圆的质心 到圆心的距离为Xc2,……这样我们从图中可以看出：
X n = X n +1 × cos
π
4
π
2
π
16
n +1
π π π π X 1 = X n × cos × cos × cos × L × cos n 4 8 16 2
所以可以得到：
= Xn ×
cos
× cos
π
8
× cos
× L × cos
π
2
× sin n
π
2n
sin sin
3 Xc = 8
接下来我们来解决和圆有关的平面求质 心的问题，同样以半圆为例，用不同的 方法求其质心，用这些方法，我们还可 以解决求任意角的扇形，圆弧，弓形， 圆环一部分的质心等问题
方法一：
将半圆分成一条条的极窄的细条，则有；
dm = dx ⋅ 2 y y = r 2 − x2
∫ Xc =
= = =
y r 2 − x2 sin θ = = r r 2r Xc =
π
所以半圆可以看成是有这些半圆环的质心组成的 非均匀小棒。
dm = 2πrλ ⋅ dr
∫ Xc =
x= 2r
r
0
x ⋅ dm M
∫ =
r
0
x ⋅ 2πrλ ⋅ dr M
π
4r Xc = 3π
方法三
将半圆看左右圆心角很小的扇形拼成，而 圆心角很小的扇形又可以看成三角形，质 心在2r/3处，而所有的止呕心又组成了半 径为2r/3的圆环，圆环的知心就是原半圆 的质心，所以： Xc= 2r/3×2/π=4r/3π
对若干有关圆和球的求质心的方 对若干有关圆和球的求质心的方 法
制作人：0910264 粟波
有关球的求质心的问题
在这个问题中，我将以半球为例，用 多种方法求质心。从这些方法中我们 还能学到求薄球壳的质心，有一定厚 度的球壳的质心，求被平面截得的物 体的之心等。
方法一
建立如图的直角坐标系，我们可以将半圆看成 是由一层层的薄圆片堆积而成，根据对称性， 我们知道，质心应该在对称轴上，所以我们只 考虑X方向。
θ
r 1 Xc′ = ∫ x ⋅ dm M′ 0 M ' = 2πλr 2 2πyxλ ⋅ dx X dm − sin θ y sin θ = r
d x
∴ dm = 2πλrx ⋅ dx r ∴ Xc' = 2
这样， 这样，我们就可以将半球等小城长度为 X/2的 的 细棒， 处的线密度等于 处的线密度等于σ 细棒，X处的线密度等于
1 Q Xc = M
∫ x ⋅ dm
0
r
dm = πy 2 ρdx = πρ (r 2 − x 2 )dx 2 M = πρr 3 3 r 3πρ (r 2 x − x 3 )dx ∴ Xc = 2πρr 3 ∫ 0 = 3r 8
方法二
θ
同样， 同样，我们可以将半球看成有一层层的薄球壳 叠放而成。 叠放而成。然后将薄球壳的质量全部等效到其 质心处， 质心处，然后将一个个质心看成是连续的密度 不均匀的小棒。 不均匀的小棒。 首先，我们来考虑球壳问题： 首先，我们来考虑球壳问题：
r
0
x ⋅ dm M x ⋅ 2 r 2 − x 2 ⋅ dx M r 2 − x 2 ⋅ dx 2 M
∫ ∫
3π
方法二：
将半圆看成由一个个半圆环套在一起形成，我们先计算半圆环的质 心： θ
2dx ⋅ σ dm = sin θ Xc = ∫ x ⋅ dm
0 r
θ
=∫
r
0
2dx ⋅ σ x⋅ sin θ
1 Q Xc = M
∫ x ⋅ dm
0
r
dm = 2πr λ
2
Q λ = ρ ⋅ dr ∴ dm = M '
= 2πρr dr 2 3 Q M = πρr 3 3 ∴ Xc = 8
2
方法三
我们还可以将半圆看成由一个个小锥体组 成，锥体的中西在 3r/4 处，而锥体的质心 又构成了一个半径为 3r/4 的球壳，其质心 在半径的 ½ 处（刚才已证明）。所以
π
2n
π
2
= Xn ×
2 n −1 × sin
π
2n
趋向无穷时， 当n趋向无穷时，扇形可看成三角形，Xc=2r/3. 趋向无穷时 扇形可看成三角形， 又有： 1n = 1n sin
2 2
所以： 所以：
X1 = X n × 2 3r = 4π sin
n −1
π
2
× sin
π
2
n