线性规划
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用z表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或者不等式，这些等式或者不等式称为约束条件。
3. 变量：线性规划中的变量是决策问题中需要确定的值，可以是实数或者非负实数。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将不等式约束转化为等式约束来转化为标准形式，标准形式的线性规划问题如下：最小化：z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；aᵢₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ...,bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为变量。
四、解法线性规划问题的解法主要有下列两种方法：1. 图形法：适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到可行域和最优解。
2. 单纯形法：适合于多维的线性规划问题，通过迭代计算，找到最优解。
单纯形法是一种高效的算法，广泛应用于实际问题中。
五、常见应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最佳的生产方案，以最大化利润或者最小化成本。
2. 运输问题：确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定最佳的资源分配方案，以最大化效益或者最小化浪费。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。
二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量，通常用符号x表示。
决策变量的取值会影响目标函数的值。
2. 目标函数目标函数是需要优化的函数，通常用符号f(x)表示。
线性规划中的目标函数是线性的，可以是最大化或最小化。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，通常用不等式或等式表示。
线性规划中的约束条件也是线性的。
三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，从初始可行解出发，逐步靠近最优解。
3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法，通过在可行域内不断搜索，逐步趋近最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以满足生产需求并最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，确定各个供应点到需求点的最优运输方案，以最小化总运输成本。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，确定不同资产的投资比例，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理，确定员工的最优分配方案，以满足工作需求并最小化成本。
五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不符合实际情况。
2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解，而在某些问题中可能存在多个最优解。
线性规划
矿物质（g）
维生素(mg）
0.1
0.05
0.05
0.1
0.02
0.02
0.2
0.2
0.05
0.08
希望建立数学模型，既能满足动物需要，又使总成 本最低的饲料配方
模型
饲料 符号 A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 x4 A5 x5
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
线性规划问题的数学模型的一般形式
（ 1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
线性规划问题的标准形式
{
max y=cTx s.t. Ax=b x≥0
求解方法： （1）单纯形法 （2）软件求解:Lindo， Lingo, matlab，sas
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它可以帮助我们在资源有限的情况下，找到最佳的解决方案。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用领域。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
例如，最大化利润或最小化成本。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一系列线性约束条件，用于限制变量的取值范围。
例如，生产数量不能超过资源限制。
3. 变量：线性规划问题中的变量是我们要优化的决策变量。
例如，生产的数量或分配的资源。
4. 非负约束：线性规划的变量通常需要满足非负约束，即变量的取值必须大于等于零。
二、模型构建线性规划问题的模型构建包括确定目标函数、约束条件和变量的定义。
下面以一个简单的生产问题为例进行说明。
假设某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，产品B的利润为15元。
工厂拥有两台机器，每台机器每天的工作时间为8小时。
生产一单位产品A需要2小时，生产一单位产品B需要3小时。
工厂希望确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
目标函数：最大化总利润，即10A + 15B。
约束条件：工作时间约束，即2A + 3B ≤ 16。
非负约束：A ≥ 0，B ≥ 0。
三、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法通过迭代的方式逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
单纯形法的基本步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束。
2. 选择一个初始可行解，通常为原点（0,0）。
3. 计算目标函数的值，并确定是否达到最优解。
4. 如果未达到最优解，则选择一个进入变量和一个离开变量，通过调整这两个变量的值来改善目标函数的值。
5. 重复步骤3和步骤4，直到达到最优解。
四、应用领域线性规划在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以帮助企业确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
线性规划
线性规划是一类最简单的优化问题，同时也是 具有普遍实际意义的一类优化问题。
线性规划模型的一般形式为：
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
约束条件 每套钢架所需的三种长度的元钢数目是相 同的，而100套钢架需要三种长度的元钢都是 100根，因此有
长度为2.9m的元钢数： x1 2 x2 x4 x6 100 长度为2.1m的元钢数：2 x3 2 x4 x5 x6 3 x7 100 长度为1.5m的元钢数：3 x1 x2 2 x3 3 x5 x6 4 x8 100
车床B上的加工台时限制: x1 2 x2 8
车床C上的加工台时限制: 4 x1
车床D上的加工台时限制:
16
4 x2 12
非负条件：x1 , x2 0
第三步——明确目标函数 利润最大： max : z 2 x1 3 x2 该问题的数学模型为：
返回
结束
线性规划
目标函数：
max z 2 x2 3 x2
该问题所涉及的因素以及之间的数量关系可 以用表1-1表示
返回 结束
线性规划
产品 单位产品所需资源 资源
A1 A2 An
可供应的资源量
B1 B2 Bm
单位产品所得利润
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2j 1
第4章线性规划
f ( X ) 5 x1 4 x 2 4 x1 x 2 60 x1 x 2 24 x1 0 x2 0
(1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
例题21： • 首先由(4)，(5)二式（x1≥ 0、x2 ≥ 0）知， 其解
在第一象限所在的范围，所以在画图时将第二、
产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源总量
设 备（台时）
原料A（公斤） 原料B（公斤）
1
4 0
2
0 4
8
16 12
利 润（百元）
2
3
线性规划范例
• 例B. 任务分配问题
表2
产品
1 23
2 21
3 19
4 17
某公司拟生产4种产品， 可分配给下属的3个工厂 生产，由于工厂的地理位 置和设备不同，每个工厂 生产每种产品的成本不相 同，加工能力也不相同。 有关数据分别由表2和表3 给出。公司应如何给下属 各工厂分配任务，才能在 保证完成每种产品的任务 的条件下，使得公司所花 费的成本最少？
例 : x2 0 y 0, y x2
对于无限制变量的处理：同时引进两个非负变量， 然后用它们的差代替无限制变量。
例 : x2无限制 x2 y1 y2 y1 , y2 0
例题20： 将下述线性规划问题化为标准形
m i n s .t . f ( X ) x1 2 x 2 3 x 3 2 x1 x 2 x 3 9 3 x1 x 2 2 x 3 4 3 x1 2 x 2 3 x 3 6 x1 0, x 2 0, x 3无限制
含量限制 原 A B C 加工费（元/kg） 料 纱线1 ≥60% 无 ≤20% 1.5 纱线2 ≥15% ≥10% ≤60% 1.2 纱线3 无 无 50% 0.9 （元/kg） 6 4.5 3 （kg/月） 2000 2500 1200 原料成本 原料限量
第一章 线性规划
线性规划
【开篇案例】
一、人力资源分配的问题
某旅行社为了迎接旅 游黄金周的到来，对一日 游导游人员的需求经过统 计分析如表所示。为了保 证导游充分休息，导游每 周工作 5天，休息两天， 并要求休息的两天是连续 的。问应该如何安排导游 人员的作息，既满足工作 需要，又使配备的导游人
下午5时14分
什么是规划？
• 以上问题无一例外都属于规划问题，涉及到求解最大值 和最小值
• 人们经常谈规划，比如国家有5年规划、10年规划、城市 有城市规划，个人有自己的人生规划.
• 规划是在现有的人力、物力水平下，使得目标达到最优 的全面、理性的计划
下午5时14分
线性规划
• 线性规划简介： • 运筹学中最成熟的一个分支 • 静态规划：单周期决策
第一节 下午5时14分 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
1. 模型隐含假定
作为严密的数学模型，线性规划蕴含着以下假定： （1）线性化假定
函数关系式f(x)= c1x1+c2x2+… +cnxn，称线性函数。 经济学中大多数函数都是非线性，通过偏导求最优。但在企业
运营决策中，经常考虑比较短时间内的计划安排，通过线性化 更便于应用。
乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
线性规划
x12 x13
线性规划的典型实例
运输问题
数学模型
10x11 min f s.t. x11 x12 x 21 x 22 x11 x 21 x12 x13 x ij x 22 x 23 0 (i 1, 2; j 12x12 9x13 x13 35 x 23 55 26 38 26 1, 2, 3) 8x 21 11x 22 13x 23
基本解不是线性规划问题的解，而是仅满足约束方程组的解
线性规划问题中解的概念
可行解、可行域
上面的分析仅考虑了约束方程组Ax=b，下面进一步考虑线性规划问题的非负 约束。我们称既满足约束方程组Ax=b，又满足非负约束x≥0的解为线性规划 问题的可行解，即可行解满足线性规划问题的所有约束。可行解的集合称为可 行域，记作：
下面将分步骤详细分析如何获得这个线性规划问题的解，同时介绍在这类问题 中的几个概念
线性规划问题中解的概念
基本解
如果线性规划问题的解存在，则它必定是满足Ax=b的有限多个“基本解”中 选出的，那么我们的第一个任务就是找出满足方程Ax=b的基本解 假设独立方程的个数为m个，故Ax=b的系数矩阵A的秩为m，于是A中必有m 个列向量是线性无关的，不妨假设A中的前m个列向量线性无关，则这m个列 向量可以构成矩阵A的m阶非奇异子矩阵，用矩阵B表示：
D x | Ax b, x 0
基本可行解
特别的，若线性规划问题的基本解能够满足线性规划问题中的非负约束，即：
xB B 1b 0
则称该解xB为基本可行解，简称基可行解，称B为可行基。基可行解的数量不 m 会超过 C n 个。显然，基本可行解一定是可行解，基可行解是可行域中一种特 殊的解
最优解
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。
线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。
决策变量的取值决定了目标函数的值。
3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。
4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。
三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。
2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。
单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。
3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
线性规划知识点
线性规划知识点一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如经济学、工程学、管理学等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用领域等知识点。
二、基本概念1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、...、xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标，通常是最大化或最小化某个线性函数。
3. 约束条件：对决策变量的限制条件，通常是一组线性不等式或等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的解。
5. 最优解：在所有可行解中使目标函数达到最大或最小值的解。
三、模型建立1. 目标函数的建立：根据实际问题确定最大化或最小化的目标函数。
2. 约束条件的建立：根据实际问题确定决策变量的限制条件。
3. 可行域的确定：将约束条件表示为几何图形，确定可行域的范围。
四、求解方法1. 图形法：通过画出可行域的几何图形，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划法：对决策变量引入整数要求，求解整数线性规划问题。
4. 网络流方法：将线性规划问题转化为网络流问题，利用网络流算法求解。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或产量最大化。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决物流运输中的最优路径问题，使得运输成本最小化。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，使得资源利用率最高。
4. 投资组合：线性规划可以用于确定最佳的投资组合，使得收益最大化或风险最小化。
5. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的各个环节，实现供应链的高效运作。
六、总结线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于各个领域中。
掌握线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用领域，对于解决实际问题具有重要意义。
希望本文所介绍的知识点能够对您有所帮助。
如有任何疑问，请随时向我们提问。
线性规划的定义解析
线性规划的定义解析线性规划是数学和计算机科学领域中的一种优化方法，用于解决线性约束条件下的最大化或最小化问题。
它的应用非常广泛，包括生产计划、物流管理、金融投资、资源分配等多个领域。
本文将对线性规划进行详细解析，介绍其基本概念、数学模型和求解方法。
一、基本概念线性规划是在一定的约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值的过程。
为了方便分析，我们首先引入以下几个基本概念：1.决策变量：线性规划中需要决策的量，通常用$x_1, x_2, ...,x_n$表示，它们代表了问题的不同方面或要求。
2.目标函数：线性规划的目标函数是一个线性表达式，用于衡量问题的目标，可以是最大化或最小化一个指标。
常用的形式为$Z =c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n$。
3.约束条件：线性规划中的约束条件是一组限制性条件，限制了决策变量的取值范围。
常见的约束条件形式为$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \leq b_1$，$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \leq b_2$，...，$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \leq b_m$。
二、数学模型线性规划问题可以通过建立数学模型来描述。
其标准形式可以表示为：最大化：$Z = c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n$约束条件：$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \leq b_1$$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \leq b_2$...$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \leq b_m$$x_1, x_2, ..., x_n \geq 0$其中，$Z$表示目标函数的值，$c_1, c_2, ..., c_n$为目标函数的系数，$a_{ij}$为约束条件的系数，$b_1, b_2, ..., b_m$为约束条件的常数项。
线性规划知识点
线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的相关知识点。
一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。
目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。
1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。
1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。
二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。
2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。
2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。
三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。
对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。
3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。
4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。
4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。
五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。
对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。
线性规划
线性规划在 实际生活中 的应用案例
投资决策
投资目标：最大化收益或最小化风险 投资策略：选择投资项目、分配投资资金、设定投资期限等
投资风险：市场风险、利率风险、汇率风险等 投资评估：使用线性规划模型评估投资方案，比较不同方案的优劣
B
题转化为几何问题，从而找到最
优解。
C
图解法的基本步骤包括：确定可 行域、找出最优解、验证最优解。
图解法适用于求解线性规划问题
D
的特殊情况，如线性规划问题的
约束条件为线性等式或不等式。
单纯形法
基本思想： 通过迭代求 解线性规划 问题的最优
解
步骤：确定初 始基，计算目 标函数值，更 新基，重复以 上步骤直到找
线性规划的优缺点
优点： 缺点：
适用于解决线性 问题
计算速度快，易 于实现
结果精确，易于 解释
只能解决线性问 题，不适用于非
线性问题
计算复杂度高， 对于大规模问题
可能难以求解
结果可能不唯一， 需要进一步分析 才能得到最优解
图解法
A
图解法是一种直观、形象的求解 线性规划问题的方法。
图解法通过画图，将线性规划问
划问题
迭代求解：通过 迭代公式，更新
当前点
重复步骤b-d， 直到找到最优解
生产计划
线性规划在生产计划中 的应用
线性规划可以帮助确定 最优的生产方案
线性规划可以优化生产 成本和生产效率
线性规划可以帮助解决 生产过程中的约束问题
资源分配
线性规划在 资源分配中
的应用
线性规划的 目标函数和
约束条件
线性规划的 求解方法和
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是数学规划的一种重要方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的基本思想是在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或者最小值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用字母 Z 表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一组线性不等式或者等式，称为约束条件。
通常用字母 Ai 表示。
3. 变量：线性规划的问题中，需要确定的变量称为决策变量。
通常用字母 Xi表示。
三、标准形式线性规划问题通常可以转化为标准形式，以便于求解。
标准形式的线性规划问题包括以下要素：1. 目标函数：目标函数是一个线性函数，需要最大化或者最小化。
2. 约束条件：约束条件是一组线性不等式或者等式。
3. 变量的非负性：变量需要满足非负性约束，即变量的取值不能为负数。
四、线性规划求解方法线性规划问题可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的位置。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题相对于线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
五、线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：1. 生产计划：线性规划可以匡助确定最优的生产计划，使得生产成本最低或者产量最高。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径问题，以降低运输成本。
3. 金融投资：线性规划可以用于确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
4. 资源分配：线性规划可以匡助确定资源的最优分配方案，以满足需求并最大化效益。
5. 排产问题：线性规划可以用于解决生产设备的排产问题，以最大化生产效率。
六、线性规划的局限性尽管线性规划具有广泛的应用领域，但它也有一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往往存在非线性关系。
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影子价格测算 影子价格就是对偶最优解，它可以从单 纯形最优表中读到，即松弛变量所对应 的检验数的绝对值。
线性规划引例1
派公司是一个生产高尔夫器材的大型公司，公司决 定生产高中价位的高尔夫袋。分销商对新产品十分 感兴趣，并且同意买进派公司下3个月内的全部产品。 在对整个高尔夫袋生产步骤进行了详细的调查以后， 管理阶层明确了高尔夫袋的生产过程：
n
AT m
≤ C
n
§4.2 对偶问题的性质
1、对偶的对偶就是原始问题
min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0
对偶的定义
max y=bTW s.t. ATW≤C W ≥0
max z’=-CTX
s.t. -AX≤-b X ≥0
对偶的定义
min y=-bTW s.t. -ATW≥-C W ≥0
某约束条件右端项每增加一个单位而产生的目标函
数最优值的增加，成为相应于此约束条件的影子价 格。（也称对偶变量）
对偶变量的经济解释
对偶变量yi在经济上表示原问题第i种资源的边际贡 献,即当第i种资源增加一个单位时,相应的目标值z的 增量 对偶问题的最优解yi*是原问题第i种资源的影子价格 应用:1.出租资源或设备时,租金价格的设定(至少高于 该资源在企业内的影子价格) 2.企业内资源I的存量设定(当资源I的影子价格>= 市场价格时,可买进该资源;否则卖出) 3.调整资源的分配量以增加利润
问题成型或称问题建模，是将语言文字上的 问题转化为数学问题。可以说，这是一项艺 术创造，只有通过不断的练习才能熟练掌握。 虽然，实际生活中的每个问题都有独特之处， 但其中大部分还是有共性的。所以，我们可 以学习一些具有普遍适用性的方法来帮助我 们建立数学模型，这些方法对初学者尤其有 效。下面我们以派公司为例讲解一下建立数 学模型的方法。
(e)可行域无界 目标函数无界
(f)可行域为空集 无可行解
§2.3 LP问题的基本性质
几个基本概念： 基：矩阵A的任一非退化的m阶子阵B称之。 基变量：B所在列所对应的变量称之。 非基变量：除基变量以外的其他变量称之。 基本解：令非基变量为0求出的AX=b的解称 为对应于基B的基本解。 基本可行解：基本解同时又是可行解称之。 基本最优解：基本可行解同时是最优解。
2、其他形式问题的对偶 min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0
min z=CTX s.t. AX=b X ≥0 min z=CTX s.t. AX≤b X ≥0
max y=bTW s.t. ATW≤C W ≥0 max y=bTW s.t. ATW≤C W ：unr max y=bTW s.t. ATW≤C W ≤0
min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0
引进松弛变量
对偶
max y=bTW s.t. ATW≤C W≥0
引进松弛变量
min z=CTX s.t. AX-XS=b X, XS≥0
最优解
max y=bTW s.t. ATW+WS=C W, WS≥0
W，Ws 最优解
X，Xs
XTWS=0 WTXS=0
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
第一章 线性规划问题及其数学 模型
线性规划（LP）的历史与发展 线性规划问题及其数学模型
§1.1 线性规划问题的历史与发展
1939年，苏联康托罗维奇教授发表了著 名的论文《组织和计划中的数学方法》 1948年，丹齐格（Dantzig）提出单纯 形法 1975年，康托罗维奇教授和柯普曼教授 （解决运输问题）共同获得了诺贝尔经 济学奖
*
-5 x2 0 1* 2 5 0 1 0 0
0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0 0 1 -2 -5
0 x5 0 0 1 0 0 0 1 0
x3 x4 x5 0 x3 0 -5 x2 x5 0 -15 x3 0 -5 x2 x1 2 -19
1 0
0 0
0 0
-2 -1
1 -2
表2-1 生产每个高尔夫袋所需要的时间
生产耗时 部门 标准袋 高档袋
切割印染 缝合 完成 检查包装
7/10 1/2 1 1/10
1 5/6 2/3 1/4
派公司的生产还受各个部门生产能力的限制。经过 对整个生产部门工作量的研究。生产制定者分析得 出，3个月内每个部门的最大生产时间分别是：切割 印染630小时，缝合600小时，成型708小时，检查包 装135小时。 会计部门经过对生产数据、各种生产成本的分析得 出了以下的结论，生产一个标准袋的利润是10美元， 生产一个高级袋的利润是9美元。我们现在可以为派 公司建立数学模型，用来决定高级袋和标准袋各应 生产多少才可以使公司获得最大的利润。
§2.3 LP问题的基本性质
SLP解的性质： R为凸集。 x0为R的极点x0为（SLP）的基本可行解。 SLP基本定理：
如果SLP有可行解SLP必有基本可行解； 如果SLP有最优解SLP必有基本最优解。
第三章 单纯形法
对SLP，我们假定：
1. b≥0 2. r(A)=m
(m ＜ n)
§3.1 单纯形法的基本思路
单纯形法的基本思路：
先设法找一可行基，然后判断其对应的基可行解
是否为最优解，如是则停止，否则，通过迭代找 到另一个可行基，它对应的基可行解要比前一个 “好”，再判断，如此做下去，直到找到最优解 为止。
§3.2 单纯形法
例： Max f=2x1+5x2 x1 ≤4 x2 ≤ 3 x1+ 2x2 ≤ 8 x1≥0, x2 ≥0
§4.3 原始对偶关系
关于对偶问题的若干结论：
对偶问题（L）和（D）的解只可能有下列三种 情形发生：
（L）和（D）均无可行解；
（L）和（D）有可行解，则它们均有最优解，且
它们的最优值相等； 有一个有可行解，另一个无可行解，则有可行解 的问题一定无最优解。
§4.4 原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系
生产制定者详细分析生产过程的每一步，得出以下结论，生 产一个标准的高尔夫袋需要用：7/10小时完成切割和印染， 有1/2小时完成缝合，用1小时完成成型，用1/10小时检查和 包装。生产高级一点的袋则需要：用1小时完成切割和印染， 用5/6小时完成缝合，用2/3小时完成成型，用1/4小时检查和 包装。生产信息列于下表 ：
§1.2 线性规划问题及其数学模型
Min c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn≥b1
s.t.
a21x1+a22x2+…+a2nxn≥b2
……
am1x1+am2x2+…+amnxn≥bm
x1≥0，x2≥0，…，xn≥0
第二章 线性规划问题解的性质
LP问题的标准形式 两个变量LP问题的图解法 LP问题的基本性质
第一部分 线性规划
线性规划引例1
派公司是一个生产高尔夫器材的大型公司，公司决 定生产高中价位的高尔夫袋。分销商对新产品十分 感兴趣，并且同意买进派公司下3个月内的全部产品。 在对整个高尔夫袋生产步骤进行了详细的调查以后， 管理阶层明确了高尔夫袋的生产过程：
切割并印染原材料。 缝合 成型（插入支撑架、球棒分离装置等）。 检查和包装。
切割并印染原材料。 缝合 成型（插入支撑架、球棒分离装置等）。 检查和包装。
生产制定者详细分析生产过程的每一步，得出以下结论，生 产一个标准的高尔夫袋需要用：7/10小时完成切割和印染， 有1/2小时完成缝合，用1小时完成成型，用1/10小时检查和 包装。生产高级一点的袋则需要：用1小时完成切割和印染， 用5/6小时完成缝合，用2/3小时完成成型，用1/4小时检查和 包装。生产信息列于下表 ：
§2.1 LP问题的标准形式
Min CTX AX=b （ b≥ 0） （SLP） X≥0
§2.1 LP问题的标准形式
几个基本概念： 可行解：满足所有约束条件的X。 可行集R：可行解集合。 最优解：是目标函数值达到最 大（或最小）的可行解。 最优值：最优解对应的目标函 数值。
§2.2 两个变量LP问题的图解法
例： max f (x1,x2)=-x1+x2 -2x1+x2≤2 x1-2x2≤2 x1+x2≤5 x1≥0，x2≥0
§2.2 两个变量LP问题的图解法
x2
R
x1+x2≤5
x1
LP模型解的可能情形
(a)可行域有界 唯一最优解
(b)可行域有界 多个最优解
(c)可行域无界 唯一最优解
(d)可行域无界 多个最优解
影子价格的作用：决定企业的经营策略
影子价格真实地反映了资源在经济结构中最优决策下对 总收益的影响和贡献大小。影子价格越高，表明该种资源的 贡பைடு நூலகம்越大。影子价格为正数（非零），该资源约束的松弛变 量取值为零（没有松弛变量），因此表明了该资源在最优决 策下已充分利用耗尽，并成为进一步增加总收益的紧缺资源。 影子价格越高，表明该种资源越紧缺。影子价格为零，表明 该资源在最优决策下尚有剩余。
线性规划引例2
某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30