4第三章运输问题

即除第i个和第( m + j )个分量为1外，其它分量全等于0。
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运输问题的特点: 运输问题的特点:
(1) 约束条件系数矩阵的元素等于0或1； (2) 约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，对应于 每一个变量在前 m 个约束方程中出现一次,在后 n 个约束方 程中也出现一次。 如果是产销平衡运输问题,还有以下特点： （3）所有结构约束条件都是等式约束； （4）各产地产量之和等于各销地销量之和。 例1 某种物品先存放在两个仓库A1和A2中，再运往三个 使用地B1，B2，B3，其间的运距（或单位运价）如表3-2小方 格中的数据所示，试建立使总运输量（或总运费）最小的运 输问题数学模型。
min z = ∑∑ cij xij
i =1 j =1 m n
总运输费用 产量约束 销量约束 非负约束
n ∑ xij = ai ; i = 1,2,..., m = jm1 ∑ xij = b j ; j = 1,2,..., n i =1 xij ≥ 0 ; i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n
二、解的最优性检验
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1.最小元素法
解题思想：为了减少运费,应优先考虑单位运价最小(或运 解题思想 距最短)的供销业务,最大限度地满足其供销量。 解题步骤： 解题步骤
(1) 对 有i 和 j ,找 ci0 j0 = m cij ),并 xi0 j0 = m ai0 , bj0 ) 所 出 in( 将 in( 的 品 由A0 供 给Bj0 . 物 量 i 应 (2) 若xi0 j0 = ai0 ,则A0 的 供 品 用 ， 后 再 虑 可 物 已 完 以 不 考 i 这 产 ， Bj0 的 求 bj0 减 为 j0 − ai0 . 个 地 且 需 量 少 b (3) 如 xi0 j0 = bj0 ,则 地Bj0 的 求 全 得 满 ， 后 果 销 需 已 部 到 足 以 不 考 这 销 ， A0 的 供 由 i0 减 为ai0 −bj0 . 再 虑 个 地 且 i 可 量 a 少
由某一产地运往各 个销地的物品数量 之和等于该产地的 产量 由各个产地运往某 一销地的物品数量 之和等一该销地的 销量 非负条件
这是一个线性规划问题，可以用单纯形法求解。 但是，由于它所含变量多，求解极不方便。即使求解一个 m＝3，n＝4的简单运输问题，变量数目也将达到19个之多。 因此，必须寻找更简便的求解方法。
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2.运输问题约束条件的系数矩阵
x11 x12 ⋯ x1n 1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 ⋱ 1 1 1 ⋱ 1 1 1 ⋱ 1 ⋱ 1 1 ⋱ 1 1 ⋯ 1 x21 x22 ⋯ x2n ⋯ xm1 xm2 ⋯ xmn
m行
n行
系数列向量的结构：
第i个 第(m+j)个
T
A = (0,⋯0,10,⋯0,10,⋯0) , , , , , ij
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表3-1 运价表
销地 产地 A1 x11 x21 ┇ xm 1 b1 B1 c11 c21 … cm1 x12 x22 ┇ xm 2 B2 c12 c22 … cm2 b2 ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ … … … … x1n x2n Bm c1n c2n … cmn bn 产量 a1
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10 14 0 14 5 5
3. 沃格尔法
该运输问题的可行解为： x13=12 ,x14=4 ,x21=8 ,x24=2 , x32=14 ,x34=8 ,其他变量等 于0。 总运输费 z＝244
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确定初始可行解的三种方法比较 最小元素法：z＝246 西北角法：z＝372 沃格尔法：z＝244 沃格尔法解出的目标函数值最小，最小元素法次 之，西北角法最大；一般说来，沃格尔法得出的解 质量最好，在运输问题中，常用来作最优解的近似 解。
第三章
运输问题
讲四节： 第一节 第二节 第三节 第四节
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运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题 运输问题的进一步讨论 应用问题举例
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§3-1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型 设某物品有m个产地A1, A2 ,…, Am；各产地的产量 分别是a1,a2,…,am；有n个销地B1, B2,…, Bn。各销地 的销量分别是b1,b2,…,bn ；假如从产地Ai(i=1,2,…,m) 向销地Bj( j= 1,2,…,n) B 1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij；问怎 c 样调运这些物品才能使总运费最小？ 这个问题是一个多产地多销地的单品种物品运输 问题。把这个问题整理成为一个表,称之为运价表。 （见下页）
B2 12
B3 4 12 3 2 11 0 12 1 1 1 1 8 4
B4 11 9 6 0 4 6 14 3 3 2 2 2
行罚数 产量 1 2 3 4 16 4 0 0 2 10 22 0 8 48 0 0 1 1 1 2 0 1 7 6
5 0 0
A1 A2 A3 销量 1 列 2 罚 3 数 4 5
16-10=6 6-6=0 16
A1 A2 A3 销量
6 2 5
10 10-8=2 2-2=0 22 8-8=0 22-14=8 48
4 1 3 6 该运输问题一个初始可行解为： x13=10, x14=6, x21=8, x23=2, x32=14, x34=8.
1. 最小元素法：
总运费＝ 4×10＋11 ×6＋2 ×8＋3×2＋5 ×14＋6 ×8 ＝ 246 2011-10-25 10
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二、解的最优性检验
得到了初始可行解后，应对其进行判别是否是最优解, 得到了初始可行解后，应对其进行判别是否是最优解,常用 方法有：闭回路法和对偶变量法。 方法有：闭回路法和对偶变量法。 1.闭回路法 解题思想： 对运输表中的解的各非基变量即某空格( 解题思想 ： 对运输表中的解的各非基变量即某空格 (Ai,Bj) 进行检验; 存在检验数为负，说明将x 变为基变量后， 进行检验;若存在检验数为负，说明将xij变为基变量后，将使运 费减少； 当前解不是最优解； 所有检验数为正， 费减少；故当前解不是最优解；若所有检验数为正，则无论怎 样变换解均不能使运输费降低， 当前解是最优解。 样变换解均不能使运输费降低，即当前解是最优解。 解题步骤： 以某空格( 为顶点， 解题步骤 ： 以某空格 (Ai,Bj) 为顶点 ， 由填有数字的其它格 为其它顶点，通过水平线段和竖直线段组成封闭多边形。 为其它顶点，通过水平线段和竖直线段组成封闭多边形。可以 是简单的多边形，也可以是复杂的多边形。 是简单的多边形，也可以是复杂的多边形。然后顺时针或逆时 针转， 为第一顶点格，奇格为正，偶格为负， 针转 ， 以 (Ai,Bj) 为第一顶点格 ， 奇格为正 ， 偶格为负 ， 将单位 所有σ 运价之代数和作为该空格的检验数σ 运价之代数和作为该空格的检验数σij ：若所有σij≥0，则是最优 存在σ 则不是最优解。 解 ：若存在σij＜0，则不是最优解。 2011-10-25 17
用西北角法确定运输问题的初始可行解
销地 产地
B1 4 8 2 6 8 8-8=0 8 8
B2 12 10 4 5 8
B3 4 3 11 14
B4 11 9 6 14
产量 16 16-8=8 8-8=0 10 4-4=0 10-6=4 22 22-8=14 48 2 4 6
A1 A2 A3 销量
14－8=6 12-4=8 6－6=0 8-8=0 14 12
解题思路： （1）假设变量 （2）分析约束 （3）明确目标 （4）建立模型 （5）求解变量 （6）分析方案 （7）得出决论
x11 + x12 + x13 = 10 x + x + x = 4 21 22 23 x11 + x21 = 3 x12 + x22 = 5 x13 + x23 = 6 2011-10-25 x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 ≥ 0
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表3-2 销地 产地 A1 A2
B1 3 x11 3 3 x21 0 x22 4 1 x12
B2 4 6 13 x 5 x0 23
B3 2 3
产量
10-6=4 10 4-3=1 1-1=0
4-4=0 4
4-4=0 3-3=0 5-1=4 6-6=0 3 5 6 销量 min z = 3 x11 + 4 x12 + 2 x13 + 3 x21 + 5 x22 + 3 x23
显然 x11=3,x12=1,x13=6,x22=4, x21=0,x23=0 是 该 运 输 问 题的一个可行解。 题的一个可行解。 目标函数值z 目标函数值 = 45
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§3-2 用表上作业法求解运输问题
它是求解运输问题的一种简便而有效的方法,其求解过程 在运输表上进行,它是一种迭代法,其步骤为： 1. 先按某种规划找出一个初始解(初始调运方案）； 2. 对现行解作最优性判别； 3. 若不是最优解,就在表上对它进行调整改进,得出一个 新解； 4. 再判别,再改进,直到得到运输问题的最优解为止； ※在迭代过程中,得出的所有解都要求是运输问题的基可 行解。 例2 某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产 的产品由4个销售地出售，各工厂的生产量，各销售地的销 售量（假定单位均为吨）以及各工厂到各销售地的单位运价 （元/吨）示于表3-4中，要求研究产品如何调运才能使总运 费最小？
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二、运输问题的数学模型的特点
1.运输问题有有限最优解 对运输问题的数学模型，若令变量 ai b j xij = , i = 1,2,⋯, m; j = 1,2,⋯, n Q 其中： Q = ∑ ai = ∑ b j