21.1.1二次函数 (2)
沪科版九年级上第21章21.1二次函数的概念典型例题及练习(无答案)
二次函数一、知识点复习1.二次函数的定义：形如c+y+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
axbx注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.2.二次函数的一般形式：任何一个二次函数的关系式都可以化成c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）y+bxax的形式，我们把c=2（c b a,,为常数，且0≠a）叫做二次函数的一般形式，+bxaxy+其中c,2分别是二次项、一次项、常数项，b a,分别是二次项系数和一次项系数。
ax,bx3.二次函数两个变量的值:（1）函数值：求函数的值就是求代数式的值。
当给定自变量x的一个值后，就有唯一的y的值与之对应，这时y的值就是函数值。
（2）自变量的值：已知函数值求自变量的值实质就是解关于自变量的一元二次方程。
当给定一个y的值，对应x的值有1个或2个或没有值与之对应。
3.列二次函数的表达式（1）列函数表达式:在实际问题中，表示两个变量的关系，需要找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，在按要求化成用含一个变量的代数式表示另一个变量的形式。
（2）实际问题列表达式的步骤：①确定自变量与因变量的实际意义①找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式；①将方程或等式整理成二次函数的一般形式。
（3）自变量的取值范围：①一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数；②但实际问题中的自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
二．考点讲解知识点1.二次函数的定义：形如c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
y+bxax注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.考点1：利用二次函数的定义识别二次函数例题1：下列函数哪些是二次函数？①25x y -=；①112-=x y ；①)31(2x x y -=；④22)1(x x y +-=；⑤p nx mx y ++=2（p n m ,,均为常数）变式练习（2019奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（ ）A.)1(2-=x yB.22)1(x x y --=C.2)1(-=x a yD.122-=x y考点2：二次函数的一般形式中的系数问题例题2：二次函数)3(2-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A.2B.-2C.-1D.-4变式练习 二次函数3)2(212--=x y 中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
21.1.1一元二次方程第1节ppt(共36张)
课内练习
1.下列(xiàliè)方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x= 2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
第31页，共36页。
把一元二次方程（x-√5 ）（x+√5 ）+（2x-1）2 =0 化为一般形式(xíngshì)，正确的是（A ）
③未知数的最高次数是2。
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
第5页，共36页。
例1：判断(pànduàn)下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
第36页，共36页。
第17页，共36页。
3 4x x 2 25 43x 2 x 1 8x 3
3 4xx 2 25
一般(yībān) 式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
第18页，共36页。
第16页，共36页。
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中(qízhōng)的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般 形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
21.1二次函数 (每日一练)
21.1二次函数（每日一练）1．（2019•鼓楼区校级模拟）下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．半圆面积S与半径R之间的关系2．（2019•嘉定区一模）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝1﹣x2D．y4．（2019•曲靖一模）若y＝（m+2）x mx+1是关于自变量x的二次函数，则m＝．5．（2018•常德二模）有下列函数：①y＝1﹣x2；②y；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c；⑤y＝2x+1．其中，是二次函数的有（填序号）6．（2017秋•正定县校级月考）下列函数y x﹣1，y＝3x2，y x2﹣4x+1，y＝x（x﹣2），y＝（x﹣1）2﹣x2中，其中是二次函数的有个．7．（2018秋•通州区期末）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收8．（2019•兴庆区校级三模）已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中9．（2018秋•徐闻县期中）如图，用长为20cm的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设10．（2017春•筠连县校级期中）用总长为60m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S（m2）与一边长l11．（2017秋•芜湖月考）某市园丁居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．如图所示，若设花园BC边的边长为x（m），花园的面挑战题1．（2019•南平一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（）45152．（2018秋•工业园区期中）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，答案解析21.1二次函数（每日一练）1．【答案】解：A、y＝kx+b，是一次函数，错误；B、t，是反比例函数，错误；C、C＝3a，是正比例函数，错误；D、S．是二次函数，正确；故选：D．【点睛】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．2．【答案】解：A、y＝2x+1，是一次函数，故此选项错误；B、y＝（x﹣1）2﹣x2，是一次函数，故此选项错误；C、y＝1﹣x2，是二次函数，符合题意；D、y，是反比例函数，不合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．3．【答案】解：根据题意可得：，解得：a＝1，故答案为：1【点睛】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．4．【答案】解：根据二次函数的定义，得：m2﹣2＝2，解得m＝2或m＝﹣2，又∵m+2≠0，∴m≠﹣2，∴当m＝2时，这个函数是二次函数．故答案是：2．【点睛】本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零．5．【答案】解：①y＝1﹣x2；②y，y与x2是反比例函数关系；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c，需要添加a≠0；⑤y＝2x+1，是一次函数．其中，是二次函数的有：①y＝1﹣x2；③y＝x（x﹣3）．故答案为：①③．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．6．【答案】解：二次函数的有y＝3x2，y x2﹣4x+1，y＝x（x﹣2），故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．7．【答案】解：设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2019年年人均收入为：300（x+1）2，y与x的函数关系式是为：y＝300（x+1）2．故答案为y＝300（x+1）2．【点睛】考查了根据实际问题列二次函数关系式，对于平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．8．【答案】解：∵矩形ABCD的周长为18，AB＝x，∴BC18﹣x＝9﹣x，∵E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，∴y x（9﹣x）x2x，故答案为：y x2x；【点睛】本题考查了中点四边形，矩形的性质，熟知中点四边形EFGH的面积等于矩形ABCD的面积的一半是本题的关键．9．【答案】解：由题意可得：y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x．故答案为：y＝﹣2x2+20x．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出花圃的长是解题关键．10．【答案】解：长方形一边长为l（m），则另一边长为（30﹣l）m，所以长方形的面积＝l（30﹣l），即S＝﹣l2﹣30l，l的范围为0m＜l＜30m．故答案为S＝﹣l2﹣30l，0m＜l＜30m．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式：根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．11．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵BC＝xm，AB+BC+CD＝40m，∴AB，∴花园的面积为：S＝x•x2+20x（0＜x≤15）；∴S与x之间的函数关系式为：S x2+20x（0＜x≤15）；故答案为：S＝20x（0＜x≤15）【点睛】此题考查了二次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，然后根据二次函数的性质求解．挑战题1．【答案】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE AH，∵BD＝DE＝y，∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，∵x＝6AH÷2＝3AH，∴y2＝（5﹣y）2，∴y x2，故选：A．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，关键是根据等腰三角形的性质进行分析，难度适中．2．【答案】解：设y＝a（x﹣20）2+16，因为抛物线过（0，0），所以代入得：400a+16＝0，解得a，故此抛物线的函数关系式为：y（x﹣20）2+16．故答案为：y（x﹣20）2+16．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法以及二次函数的应用，根据已知得出图象上点的坐标是解题关键．。
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
人教版九年级数学上册21.1《一元二次方程》课件(共23张PPT)
（1）3x(x+2)=4(x-1)+7
（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
【解题过程】
解：（1）原方程整理得：3x2+2x-3=0，所以是一元二次方程； 二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-3. （2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程. 【思路点拨】将方程化成一般形式，再根据其一般形式确定它的 二次项系数、一次项系数和常数项.
ax2 bx 0a 0
ax2 c 0a 0
ax2 0a 0
当b=0,c=0时，
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究一：一元二次方程的概念和一般形式 活动5
问题1：一元一次方程的根是什么？
使一元一次方程成立的未知数的值叫做一元一次 方程的解（或根）.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
活动2
一元二次方程的一般形式的应用
21.1 一元二次方程
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究一：一元二次方程的概念和一般形式 活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切 去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖长方体盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为 3600cm² ,那么铁皮各角应切去边长为多少cm的正方形? 请大家根据题目设未知数、列出方程. 设铁皮各角应切去边长为x cm的正方形，由题意知
问题2：类比一元一次方程的根的定义，说一说 一元二次方程的根的概念是什么？
沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数21
(2)若这个函数是二次函数， 则 m2－m≠0，即 m≠1 且 m≠0.
自主学习
基Hale Waihona Puke 夯实整合运用思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
14．如图，一块草地是长 80 m，宽 60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相 垂直的宽为 x m 的小路，这时草坪的面积为 y m2.求 y 与 x 的函数表达式， 并写出自变量 x 的取值范围．
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
解：(1)S＝12πr2＋8r(r＞0)．
(2)当 r＝2，π＝3.14 时， S＝12×3.14×22＋8×2 ＝22.28 ≈22.3(m2)．
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
（A ）
C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
6．已知正方形的周长是 x cm，面积为 y cm2，则 y 与 x 之间的函数表达
式为_y_＝y＝116x2(x＞x02)(x＞0)__．
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
（C ）
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
九年级 数学 上册 沪科版
9．下列关系中，是二次函数关系的是
（C ）
A．当距离 s 一定时，汽车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系
B．在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体的质量 x 之间的关系
C．圆的面积 S 与圆的半径 r 之间的关系
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质和图像，以及会运用二次函数解决实际问题。
二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考的热点，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对于函数的概念和图像是有一定的了解的。
但是二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生有良好的数学思维能力和抽象思维能力。
同时，学生对于实际问题的解决能力也需要加强。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质和图像；2.学会运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质；2.二次函数图像的特点；3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的定义和性质；2.使用多媒体展示二次函数的图像，帮助学生直观理解二次函数的特点；3.通过实际例题，让学生运用二次函数解决实际问题；4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.二次函数的PPT；3.实际问题的例题；4.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线射击、最大利润等问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数的定义、性质和图像，让学生直观地了解二次函数的特点。
同时，教师进行讲解，让学生理解二次函数的概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固二次函数的知识。
教师选取一些题目进行讲解，纠正学生的错误。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些拓展问题，如二次函数在实际生活中的应用等。
沪科版九年级数学上册《二次函数》课件
分的面积是多少？
感悟新知
知1－讲
导引：(1)根据图形及题意可得出重叠部分是等腰直角三角形， 从而根据MA的长度可得出y与x之间的函数表达式；
(2)将x＝1代入函数表达式可得出重叠部分的面积．
感悟新知
解： (1)由题意知，开始时点A与点M重合，
然后让△ABC向右移动，
两图形重叠部分为等腰直角三角形，
感悟新知
例1
知1－讲
下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函
数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；
(2)y＝－5x2；
(3)y＝3a3＋2a2； (5)y＝3(x－2)(x－5)；
(4)y＝x－2＋x；
(6)y＝x2＋
1 x2
.
感悟新知
知1－讲
导引：判断一个函数是否是二次函数，要紧扣定义并将 其化简再判断．(1)是一次函数；(2)是二次函数，二次项 系数为－5，一次项系数和常数项为0；(3)中自变量的最 高次数是3，所以不是二次函数；(4)中x－2不是整式，所 以不是二次函数；把(5)整理得到y＝3x2－21x＋30，是二 次函数，二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为
课堂小结
二次函数的定义要理解三点： (1)函数关系式必须是整式，自变量的取值是全体
实数；而在实际应用中，自变量的取值必须符 合实际意义． (2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函 数关系式化为一般形式． (3)二次项系数不为0.
第21章 二次函数与反比例函数
第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
学习目标
1 课时讲解 二次函数的定义
用二次函数的表达式表示实际问题
2 课时流程
21.1二次函数(2)
小结： 本节课你有什么收获？ 布置作业： 必做题：书本第5页第5、6题 选做题：
已知一个二次函数，当自变量x的值为1时，函数y 的值为6，试写出一个符合条件的二次函数。
+kx+1 (x≠0)是一次
3 5 或 2
3或1或2 函数,则k的值一定是______
例题2：
例题3： 已知y与x2成正比例，且当x=2时，y=8。 （1）求y与x之间的函数关系式，并判断y是 否为x的 二次函数； （2）当x=-2时，求y的值。
解：（1）依题意设y=kx2 因为x=2时，y=8， 所以4k=8，所以k=2 所以，y=2x2是的二次函数。 （2）当x=2时，y=2×(-2)2=8
(10)y=(k2+1)x2+kx+2 (k为实数)
例题1： 如果函数y=
x
k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函数,
0或 3 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3)
x
k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函数,
0 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3) x
k 2 - 3k+ 2
21.1二次函数的基本概念 （2）
一、复习
1、什么叫二次函数？二次函数成立的条件是什么？
2、下列函数是否为二次函数，若是，分别说出二次项系数，一 次项系数及常数项a,b,c。 (1)y=π x2(2)y= 2x(3)y Nhomakorabea1-3x2
(4)y=20x2+40x+20 (5)y= 6x2+2x－1 (6)y=－x2+3x+2 (8)y=x(x+1）-x2 (7)y=2x(x－3) (9)y=ax2+2x+5 (a为实数)
数学沪科版九年级(上册)21.1.1二次函数的概念
知识巩固
1.下列函数中，哪些是二次函数?
(1) y x2
是
1 (2) y x2
不是
(3) y x(1 x)
是
(4) y (x 1)2 x2 不是
先化简后判断
知识巩固
2. 把下列函数化成二次函数的一般式,并分别说出二次项系数,一次项系数, 常数项.
(1)y=(x-2)(x-3);
解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; 1,-5,6
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2.
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6; -1,4,-6 (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18. -2,-12,-18
例题分析
例1 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函数,求m的值.
九年级数学沪科版·上册
第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
学习目标 1.知道什么叫函数，什么是二次函数，掌握二次函数的定义，理解二次函 数的条件. （重点）
2.会列式解决实际应用问题，并抽象出二次函数表达式.（难点）
复习导入
1. 什么是一次函数？正比例函数？ 一般地,形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.
（2）某商品每件成本40元,以单价55元试销,每天可售出100件。根据市场预 测,定价每减少1元,销售量可增加10件. 求每天销售该商品获利金额y(元)与定 价x(元)之间的函数关系.
课堂小结
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数, a≠0 )
当b=0 时,一次函数y=kx就叫做正比例函数. y=2x+3
21.1 一元二次方程(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
21.1 一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.1一元二次方程，内容包括：一元二次方程的概念及其一般式。
2.内容解析一元二次方程的概念，与得出一元一次方程的概念过程类似，教材先给出计算满足条件的正方形面积、计算满足条件的参赛队数等实际问题，用方程的思想建立数学模型，通过观察方程的特点，归纳、总结得到一元二次方程的概念。
根据一元二次方程的概念，教材给出其一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：a、b、c，需注意二次项系数不能为0的原因及系数前的符号问题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过一元一次方程的概念，类比得出一元二次方程的概念。
二、目标和目标解析1.目标1）通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力；2）掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。
2.目标解析通过7年级上册的学习，我们已经掌握了一元一次方程的概念，一元一次方程的特点为：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1(次)，且方程两边都是等式。
本节课我们根据实际问题列方程，用方程的思想建立数学模型，观察化简后的方程与一元一次方程的结构有相似的地方，它们都只含有一个未知数（元），且方程两边都是等式，但未知数的次数是2(次)。
由此学生通过观察，根据一元一次方程的概念尝试类比，归纳总结得出一元二次方程的概念。
在探索的过程中，提高学生类比、归纳、总结的能力。
一元二次方程的一般形式有两个易错点：1）忽略二次项系数≠02）判断二次项系数、一次项系数、常数项需考虑符号问题。
当二次项系数a≠0时，方程为ax2+bx+c=0（一元二次方程）。
当二次项系数 a=0时，方程为bx+c=0（一元一次方程）。
达成目标（1）的标志是：能正确判断一元二次方程。
第21章 21.1 二次函数
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 12:29:57 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
解：(1)m＝－2 (2)①m－2＝0，即m＝2时y＝x－1 ②m2－2＝1即m＝ ± 3时是一次函数 ③若x≠0，m2－2＝0，m＝± 2时是一次函数．
9．函数y＝(m2＋m)x2＋x(m为常数)是二次函数，则m满足( D )
A．m≠0
B．m≠－1
C．m≠0或m≠－1
D．m≠0且m≠－1
10．下列函数：①y＝ 3x2；②y＝(m－2)x2(m为常数)；③y＝(x－x1)2；④x2
A．0
B．3
(A )
C．0或3
D．1或2
6．如果函数y＝(k－3)xk2－3k＋2＋kx＋1是二次函数，那么k的值一定是
( A)
A．0
B．3
C．0或3
D．1或2
7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，
如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x
【方法归纳】 涉及实际问题时，应根据问题的实际背景列出函数表达 式，并注意自变量的取值范围；涉及几何图形问题，常根据其周长或面积 公式列出函数表达式.
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第二十二章二次函数
22.1 二次函数的图象及性质
22.1.1 二次函数
1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
阅读教材第28至29页，理解二次函数的概念及意义.
自学反馈学生独立完成后集体订正
①一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c.
②现在我们已学过的函数有一次函数、反比例函数、二次函数，它们的表达式分别是
y=ax+b(a、b为常数，且a≠0)、y=k
x
(k为常数，且k≠0)、y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a
≠0).
③下列函数中，不是二次函数的是(D)
2 B.y=(x-1)2-1 C.y=1
2
(x+1)(x-1) D.y=(x-2)2-x2
④二次函数y=x2+4x中，二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0.
⑤一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
解：S表=4πr2
⑥n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.
解：m=1
2
n2-
1
2
n
判断二次函数关系要紧扣定义.
活动1 小组讨论
例1若y=(b-1)x2+3是二次函数，则b≠1.
二次项系数不为0.
例2 一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x+1)cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm2.
①写出y与x之间的关系表达式，并指出y是x的什么函数？
②当小长方形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是什么？
解:①y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144. ∴y是x的二次函数；
②当x=2和4时，相应的y的值分别为132和104.
几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如果函数y=(k+2)x22
k 是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
解：k=2
不要忽视k+2≠0.
2.设y=y 1-y 2，若y 1与x 2成正比例，y 2与1x
成反比例，则y 与x 的函数关系是( C ) A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.反比例函数
3.有一个人患流感，经过两轮传染后共有y 人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x 人，则y 与x 之间的函数关系式为y=x 2+2x+1.
4.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y(m 2)与x(m)的函数关系式为y=-
12x 2+15x(不要求写出自变量
x 的取值范围).
5.已知，函数y=(m+1)x 232m m --+(m-1)x(m 是常数).
①m 为何值时，它是二次函数？
②m 为何值时，它是一次函数？
注意②要分情况讨论.
解：①m=4 ②m=-1或m=32m=32
. 6.如图，在矩形ABCD 中，AB=2 cm ，BC=4 cm ，P 是BC 上的一动点， 动点Q 仅在PC 或其延长线上，且BP=PQ ，以PQ 为一边作正方形PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动，设BP=x cm ，正方形PQRS 与矩形ABCD 重叠部分面积为y cm 2,试分别写出0≤x ≤2和2≤x ≤4时，y 与x 之间的函数关系式.
解：y=x 2(0≤x ≤2)， y=-2x+8(2≤x ≤4).
注意按自变量的取值范围写函数关系式.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。