5-概率与概率分布
第五章概率与正态分布
正态分布曲线的特点
• 钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均数
。
• 正态分布曲线的位置和形状分别由平均数
和标准差 决定。
• 平均数大小决定图形向左移或右移。 • 标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大
值。
y
0 1
5 1
x
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
图5.3 平均数不等，标准差相等的正态分布示意图
标准正态分布表中各变量的含义
表 5.4 标准正态分布表中各变量的说明
Z 横轴坐标
原始变量（Xi）取值转换后的标准
分数（Zi）
Y 纵轴高度
某一点取值（Zi）所对应的概率密
度（相对频次，Yi）
P （0，Zi）两点间 取值界于区间（0，Zi）的概率
曲线下的面积
• 已知下列Z值，查表求P值。
– （1）Z＝-1与Z＝1之间的概率 – （2）Z＝-2与Z＝2之间的概率 – （3）Z＝-3与Z＝3之间的概率 – （4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率 – （5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率
• 经验概率 对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分 析，获得事件发生的相对频率，作为对此事件 发生概率的一个估计。
P(A) a,N NFra bibliotek事件的概率
• 先验概率 • 当试验满足:试验中各种可能结果（基本事件）是
有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时， 则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件 数除以试验中可能发生的基本事件总件数之商。 • 设N代表可能发生的基本事件总数，K代表事件A 包含的基本事件数，则A事件发生的概率为：
– 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为 随机变量Y
概率分布经验
概率分布是描述随机事件发生的可能性大小的数学工具。
在现实生活中，许多事件的发生都是随机的，而概率分布就是用来描述这种随机性的数学模型。
本文将从经验的角度出发，探讨概率分布的相关知识。
首先，我们要明确什么是概率分布。
简单来说，概率分布描述了一个随机试验所有可能结果及其对应的概率。
例如，投掷一枚硬币有正面和反面两种可能的结果，每面出现的概率是0.5。
这就是一个简单的概率分布。
其次，概率分布有多种类型。
最常见的有离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布描述的是可数的事件，如抛硬币、抽奖等。
连续概率分布则描述的是连续的事件，如人的身高、体重等。
在实践中，我们常常使用经验概率分布来描述随机试验的结果。
经验概率分布是基于大量重复试验的结果来估计的。
例如，我们可以多次抛硬币，记录正面和反面的出现次数，然后根据这些数据估计硬币正面和反面的真实概率。
此外，概率分布还有着广泛的应用。
在统计学中，概率分布是描述数据分布特性的重要工具。
在决策分析中，概率分布可以帮助我们评估不同方案的风险和不确定性。
在经济学中，概率分布用于描述市场行为、供需关系等经济现象的不确定性。
总之，概率分布作为数学中的一个概念，在描述随机事件、分析不确定性等方面具有广泛的应用价值。
通过深入了解概率分布的相关知识，我们可以更好地理解和分析现实生活中的各种现象，为我们的决策提供有力的支持。
第5章概率与概率分布
第5章 概率与概率分布一、思考题、频率与概率有什么关系 、独立性与互斥性有什么关系、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。
、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。
二、练习题、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录某班一次统计学测试的平均分数。
（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是31，A 发生且B 不发生的概率是91，求B 发现的概率。
、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=31，P(A ｜B)= 61，求P(A ｜B ) 、有甲、乙两批种子，发芽率分别是和。
在两批种子中各随机取一粒，试求： （1）两粒都发芽的概率。
（2）至少有一粒发芽的概率。
（3）恰有一粒发芽的概率。
、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为43，用到10000小时未坏的概率为21。
现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。
从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。
已知这四个车间产品的次品率分别为，，和，从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，且这件产品是由A ，B 车间生产的分布。
概率分布函数与概率密度函数
概率分布函数与概率密度函数概率分布函数和概率密度函数是统计学中常见的两个重要概念，它们在描述随机变量分布特征时起着至关重要的作用。
下面我们将分别介绍概率分布函数和概率密度函数的概念、特点和应用。
一、概率分布函数概率分布函数又称为累积分布函数，是描述随机变量取值的概率分布规律的函数。
对于任意一个实数t，概率分布函数F(t)定义为随机变量X的取值小于等于t的概率，即F(t)=P(X≤t)。
概率分布函数的性质有以下几个特点：1. F(t)是一个单调非减的函数，即对于任意s和t（s≤t），有F(s)≤F(t)。
2. F(t)在整个实数轴上取值范围为[0,1]。
3. 当t趋近于负无穷时，F(t)趋近于0；当t趋近于正无穷时，F(t)趋近于1。
4. 概率分布函数是一种分步函数，具有不连续点。
在不连续点上，概率分布函数的值对应着概率的跳跃。
概率分布函数在统计学中有着广泛的应用，可以帮助研究者了解随机变量的分布情况，进而进行参数估计、假设检验、置信区间估计等统计分析工作。
二、概率密度函数概率密度函数是描述随机变量取值的密度分布的函数，通常用f(t)表示。
对于连续型随机变量X，如果存在一个函数f(t)，对于任意实数区间[a,b]，有P(a≤X≤b)= ∫[a,b] f(t)dt。
概率密度函数的性质如下：1. 概率密度函数在整个定义域上非负，即f(t)≥0。
2. 概率密度函数的积分在整个定义域上等于1，即∫(-∞,+∞) f(t)dt=1。
3. 概率密度函数f(t)与概率分布函数F(t)之间存在积分关系，即F(t)=∫(-∞,t) f(u)du。
4. 概率密度函数的图形代表了随机变量在不同取值上的密度大小，可以直观地表示随机变量的分布情况。
概率密度函数在连续型随机变量的分布描述中占据重要地位，例如正态分布、指数分布、均匀分布等常见的概率分布都可以通过概率密度函数来描述其分布规律。
综上所述，概率分布函数和概率密度函数是统计学中两个重要的概念，它们分别适用于离散型随机变量和连续型随机变量的分布描述。
如何理解概率分布函数和概率密度函数
如何理解概率分布函数和概率密度函数概率分布函数和概率密度函数都是统计学和概率论中常用的概念，用于描述随机变量在不同取值上的概率分布。
虽然两者的表达方式不同，但其含义和作用相似。
概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）是一种函数，描述了随机变量X的概率分布情况。
对于连续型随机变量，概率分布函数定义为随机变量X小于或等于一些给定取值x的概率。
它通常用F(x)来表示，即F(x) = P(X <= x)。
概率分布函数具有以下性质：1.对于所有的x，F(x)的取值在0到1之间。
2.当x趋于负无穷时，F(x)趋近于0。
3.当x趋于正无穷时，F(x)趋近于14.F(x)是一个非降函数，即对于任意的a<b，有F(a)<=F(b)。
概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是一种函数，描述了连续型随机变量取一些特定值的概率密度。
概率密度函数通常用f(x)来表示，即对于连续型随机变量X，f(x)表示其在一些取值x处的密度。
概率密度函数具有以下性质：1.对于任意的x，概率密度函数的值大于等于0，即f(x)>=0。
2. 整个样本空间上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1、这表示随机变量取任意值的概率之和为13. 概率密度函数与概率分布函数之间的关系为：概率密度函数为概率分布函数的导数。
即f(x) = dF(x)/dx。
概率分布函数和概率密度函数的关系可以通过求导和积分互相转化。
对于连续型随机变量X，其概率分布函数可以通过概率密度函数进行计算，即F(x) = ∫f(t)dt，其中t的取值范围为(-∞, x)。
反过来，概率密度函数可以通过概率分布函数求导得到，即f(x) = dF(x)/dx。
理解概率分布函数和概率密度函数的重要性在于可以通过它们来描述和分析随机变量的概率分布特征。
概率分布函数可以用于计算随机变量取不同取值的概率，以及计算概率的分布情况，例如均值、方差和偏度等。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
概率论与数理统计各种分布总结
概率论与数理统计各种分布总结概率论与数理统计中有许多不同的概率分布，每个分布都具有不同的特征和应用。
下面是一些常见的概率分布的总结：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：在一个区间内的所有取值都具有相等的概率。
它可以是离散的（离散均匀分布）或连续的（连续均匀分布）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：描述了在一系列独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
每个试验只有两个可能结果（成功和失败），并且成功的概率保持不变。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：用于描述在给定时间或空间单位内发生某事件的次数的概率分布。
它通常用于模拟稀有事件的发生情况。
4. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一。
它具有钟形曲线的形状，对称且具有明确的均值和标准差。
许多自然现象和测量数据都可以近似地用正态分布来描述。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：描述了连续随机事件之间的时间间隔的概率分布。
它通常用于模拟无记忆性事件的发生情况，如设备故障、到达时间等。
6. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：由正态分布的平方和构成的概率分布。
它在统计推断中广泛应用，特别是在假设检验和信赖区间的计算中。
7. t分布（Student's t-Distribution）：用于小样本量情况下参数估计和假设检验。
与正态分布相比，t分布具有更宽的尾部，因此更适用于小样本数据。
8. F分布（F-Distribution）：用于比较两个或多个样本方差是否显著不同的概率分布。
它经常用于方差分析和回归分析中。
这只是一些常见的概率分布的总结，还有其他许多分布，每个都在不同的领域和应用中起着重要的作用。
统计(05)第5章__概率与概率分布
统计学
概率的加法法则
(例题分析)
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率
某钢铁公司所属企业职工人数 工厂 男职工 女职工 合计
炼铁厂 炼钢厂 轧钢厂 合计
4400 3200 900 8500
P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
统计学
5.2.3 条件概率、乘法公式与独立事件
统计学 条件概率 (conditional probability)
• 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概 率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生 的条件概率，记为
统计学
事件的独立性
(例题分析)
【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内 机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机 床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
二. 条件概率、乘法公式与独立事件 三. 全概率公式和贝叶斯公式
统计学
5.2.1 概率的性质
统计学
1. 非负性
–) 1
2. 规范性
– 必然事件的概率为1；丌可能事件的概率为0。 即P ( ) = 1； P ( ) = 0
若A不B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
概率论-5分布函数、连续型
dF ( x ) (2) 若x是f(x)的连续点 则 的连续点, 是 的连续点 = f ( x) dx
因为: 因为
(4) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X ≤ b ) = P (a ≤ X < b)
= P ( a < X < b ) = F (b) F (a ) = ∫ f ( x )dx
并不反映X取 值的概率.但这个值 ★密度函数值f(a)并不反映 取a值的概率 但这个值 越大,X取 附近值的概率就越大.也可以说 也可以说,在某点密 越大 取a附近值的概率就越大 也可以说 在某点密 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 1 证明 f ( x ) = 1 / 2e 证
a
b p{a < X ≤ b} = ?
请看下节! 请看下节!
总结
一,定义 二,举例
若离散型随机变量X的分布律为
P ( X = x k ) = p k , k = 1, 2 ,
则其分布函数为
F ( x ) = P{ X ≤ x } =
xi ≤ x
∑p
i
作业: 作业:P33
10,11,12. , ,
P( X = C ) = 1
则称这个分布为单点分布或退化分布, 则称这个分布为单点分布或退化分布,它的 分布函数为 0 x < c F ( x) = 1 x ≥ c
向平面上半径为1的圆 内任意投掷一个质点, 的圆D内任意投掷一个质点 例2 向平面上半径为 的圆 内任意投掷一个质点 表示该质点到圆心的距离. 以X表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在 中 表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在D中 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比 试求X的分布函数 的分布函数. 试求 的分布函数 解 当 x<0时, {X ≤ x} = φ 时 当0≤x≤1, 可得
练习题答案05
第五章 概率、概率分布与临床决策练 习 题一、最佳选择题1．若事件A 和事件B 互不相容，则一定有（ ）。
A. P (A +B )=P (A )+P (B )B. P (A +B )=P (AB )C. P (AB )= P (A ) P (B )D. P (A │B )= P (A )E. P (B │A )= P (B )2．若人群中某疾病发生的阳性数X 服从二项分布，则从该人群随机抽取n 个人，阳性数X 不小于k 人的概率为( )。
A. P (k )+ P (k +1)+…+ P (n )B. P (k +1)+ P (k +2)+…+ P (n )C. P (0)+ P (1)+…+ P (k )D. P (0)+ P (1)+…+ P (k -1)E. P (1)+ P (2)+…+ P (k -1)3．Poisson 分布的标准差σ和平均数λ的关系是( )。
A.λ=σ B. λ<σ C. λ=σ2 D. λ= E. λ>σ4．当n 很大，二项分布在下列条件下可用Poisson 分布近似（ ）。
A. λπ≈nB. λ≈n X /C. λππ≈-)1(nD. λππ≈-)1(E. λππ≈-n /)1(5．对于任何两个随机变量X1和X2，一定有( )。
A. E (X 1+X 2)＝E (X 1)+E (X 2)B. V (X 1+X 2)＝V (X 1)+ V (X 2)C. E (X 1+X 2)＝E (X 1)·E (X 2)D. V (X 1+X 2)＝V (X 1)·V (X 2)E. E (X 1+X 2)＝E (X 1X 2)二、问答题1．简述概率的统计定义。
2．举例说明医学观察结果中的离散型随机变量和连续型随机变量。
3．举例说明医学现象中的先验概率和后验概率。
4．简述二项分布的应用条件。
5．简述Poisson 分布的性质特征。
6．简述概率和概率分布在临床决策中的运用。
05-概率分布-正态分布
而后根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，根
据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，常用 95%。 .
双侧临界值：标准正态分布双侧尾部面积之和等于α 时所 对应的正侧变量值，记作Zα /2。
单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于α 时所对应 的正侧变量值，记作Zα 。
以不同的方法计算参考值范围：
3. 求上、下界值
下界： x 1.96s 117.4 1.9610.2 97.41( g / l ) 上界： x 1.96s 117.4 1.9610.2 137.39( g / l )
所以，该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围是 （97.41,137.39）g/l。
体重频率密度
图5-1 体重频率密度图
图5-2 概率密度曲线示意图
故对连续性随机变量而言：
变量某区间取值的概率 = 正态曲线该变量区间的面 积
推 断：
测得一个孕妇体重在54-68kg的概率有多大？ 孕妇体重在哪个范围内算是正常的呢？
一、正态分布的概念和 密度函数
正态分布( normal distribution)：是描述连续型
X 1.64S X 1.96S
X 2.58S
X－1.28S
X 1.28S X 1.64S
X 2.33S
X－1.64S X－2.33S
举例1：调查某地120名健康女性血红蛋白，直方图显 示其分布近似正态，试估计该地健康女性血红蛋白 的95%参考值范围。 解析： 1. 分布近似正态 2. 过高过低均为异常 正态分布法求参考值范围 设定双侧界值
3. 标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99%
2.左半侧Z 值对应面积的查法：标准正态分布是以 0 为中 心左右对称，所以该表只计算曲线下一半的面积即可 。
第五章 概率及概率分布
P A B P ( A) P ( B)
16
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
17
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
18
第一节 概率的一般概念
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
31
第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
8
第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@
1
第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布
概率论 第二章 随机变量与概率分布
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类 通常分为两类：
所有取值可以逐 个一一列举
离散型随机变量
随 机 变 量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量 非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx
概率分布函数与概率密度函数
概率分布函数与概率密度函数概率分布函数与概率密度函数是概率论中两个重要的概念，用于描述和分析随机变量的概率分布特征。
本文将介绍概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）和概率密度函数（Probability Density Function，简称CDF）的定义与性质，并通过实例说明它们的应用。
一、概率分布函数（Probability Distribution Function）概率分布函数是描述随机变量取某个特定值的概率的函数。
其定义为随机变量X的分布函数，记作F(x)，即F(x) = P(X ≤ x)。
其中，P(X ≤ x)表示随机变量X小于等于x的概率。
概率分布函数具有以下性质：1. 对于任意的实数x，0 ≤ F(x) ≤ 1，即概率分布函数的取值范围在[0,1]之间。
2. F(x)是非降函数，即当x1 < x2时，有F(x1) ≤ F(x2)。
3. F(x)是右连续函数，即当x→x0+时，有F(x)→F(x0)。
概率分布函数的图像是一个递增且不断向上逼近1的曲线。
通过概率分布函数，可以计算出随机变量X在某个区间内的概率。
例如，对于连续型随机变量X，可以使用积分来求得区间概率，即P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)。
二、概率密度函数（Probability Density Function）概率密度函数是描述连续型随机变量概率分布的函数。
其定义为随机变量X在一点x附近单位长度上的概率，记作f(x)。
即在微小的区间(dx)内，随机变量X取值在x附近的概率为f(x)dx。
概率密度函数具有以下性质：1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值非负。
2. 随机变量X在整个样本空间的概率等于1，即∫f(x)dx = 1。
概率密度函数描述了连续型随机变量的概率分布情况，其图像是一个连续的曲线。
通过概率密度函数，可以计算出随机变量X在某个特定取值处的概率密度。
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
第六章概率与概率分布-社会统计学
第六章概率与概率分布-社会统计学第六章概率与概率分布第⼀节概率论随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对⽴事件、互相独⽴事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法第⼆节概率的数学性质概率的数学性质（⾮负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运⽤概率⽅法进⾏统计推断的前提第三节概率分布、期望值与变异数概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数⼀、填空1．⽤古典法求算概率．在应⽤上有两个缺点：①它只适⽤于有限样本点的情况；②它假设（）。
2．分布函数)(x F 和)(x P 或)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系⼀样。
所不同的是，)(x F 累计的是（）。
3．如果A 和B （），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。
4．（）和（）为抽样推断提供了主要理论依据。
5．抽样推断中，判断⼀个样本估计量是否优良的标准是（）、（）、（）。
6．抽样设计的主要标准有（）和（）。
7．在抽样中，遵守（）是计算抽样误差的先决条件。
8．抽样平均误差和总体标志变动的⼤⼩成（），与样本容量的平⽅根成（）。
如果其他条件不变，抽样平均误差要减⼩到原来的1/4，则样本容量应（）。
9．若事件A 和事件B 不能同时发⽣，则称A 和B 是（）事件。
10．在⼀副扑克牌中单独抽取⼀次，抽到⼀张红桃或爱司的概率是（）；在⼀副扑克牌中单独抽取⼀次，抽到⼀张红桃且爱司的概率是（）。
⼆、单项选择1．古典概率的特点应为（）。
A 基本事件是有限个，并且是等可能的；B 基本事件是⽆限个，并且是等可能的；C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；D 基本事件是⽆限的，但可以是具有不同的可能性。
2．随机试验所有可能出现的结果，称为（）。
A 基本事件；B 样本；C 全部事件；D 样本空间。
教育统计学第5讲 概率与概率分布
（二）确定能力分组或等级评定的人数
例： 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其分成5 个等距的等级，问各等级应有的人数。
例10 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其 分成5个等距的等级，问各等级应有的人数。
解:
6σ÷5=1.2σ，每个等级应占1.2个标准差的距离，确定各等
级的Z值界限，然后查表，计算下表:
第三节 二项分布
一、二项试验与二项分布
二项试验: 在同一条件下，将一种试验重复进行n次，如果： ①在每次试验中，所有可能出现的事件只有两个，即A与 A ， 记 P A p, P A ，且 q p与q在各次试验中保持不变；②各 次试验相互独立。
（一）确定录取分数线
某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75 ，σ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班 ”重点培养，假定测验成绩 近似正态分布，问多少分以 上才能被选到“尖子班”学习？
（二）确定能力分组或等级评定的人数
如果学生知识能力的水平呈正态分布，欲将他们分成等距 的几个等级或几个组，在确定各等级人数时，可把正态分布中 Z=-3至Z=3之间6个标准差的距离分成相等的几份(因为正态分 布在X=±3之间的面积为0.9973，几乎包括了全体)，即将6个 标准差除以分组或等级的数目，作到Z分数等距，然后查正态 分布表求出各组Z分数之间的面积，将各组的概率乘以总人数， 则可得到各等级或分组应有的人数。
教育统计学 05讲 概率与概率分布
引言
描述统计（统计图表，集中量数，离异量数，相关） 推论统计：从具体的研究资料出发推论一般的方法。从 样本出发来推断总体分布的过程就叫统计推断。如：
根据某学生几次考试情况，推论他真实学习成绩如何 ；
概率分布公式大全离散与连续分布函数详解
概率分布公式大全离散与连续分布函数详解概率分布公式大全-离散与连续分布函数详解概率分布是概率论和统计学中的重要概念，用于描述随机变量的可能取值及其相应的概率。
根据随机变量的性质，概率分布可以分为离散分布和连续分布。
本文将详细介绍概率分布的概念、离散分布函数和连续分布函数的定义，并列举常见的概率分布公式作为参考。
一、概率分布的基本概念1. 随机变量在概率论中，随机变量是指能够随机地产生不同数值的变量。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
2. 概率分布概率分布是随机变量的每个可能取值与其相应的概率之间的关系。
通过概率分布，我们可以了解随机变量取值的可能性以及各个取值的概率大小。
二、离散分布函数离散分布函数用于描述离散型随机变量的概率分布情况。
下面是几种常见的离散分布函数：1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布描述了独立重复实验的结果，每次实验只有两个可能的结果，成功或失败。
二项分布的概率分布函数如下：P(X=k) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为实验次数，k为成功次数，p为每次实验的成功概率，(nCk) 表示组合数。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，常用于描述稀有事件的概率分布。
泊松分布的概率分布函数如下：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ为单位时间（或单位空间）内随机事件的平均发生率，e为自然对数的底。
3. 几何分布（Geometric Distribution）几何分布描述了在一系列独立实验中，首次成功需要进行的实验次数的概率分布。
几何分布的概率分布函数如下：P(X=k) = p * (1-p)^(k-1)，其中p为每次实验的成功概率。
三、连续分布函数连续分布函数用于描述连续型随机变量的概率分布情况。
下面是几种常见的连续分布函数：1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布（或高斯分布）是最常见的连续概率分布之一，常用于描述自然界和社会科学中的许多现象。
概率分布应用实例
K
式中：V—标准离差率；δ —标准离差； K —期望报酬。
假设上例A，B项目报酬的标准离差仍为31.62%和12.65%，但 A项目的期望报酬率为40%，B项目的期望报酬率为15%，那么究 竟是哪个项目的风险更大呢？这不能用标准离差作为判断标准而 要使用标准离差率。
31.62% VA 40% 100% 79%
经济数学
应用实例
1．确定概率分布
一个企业有70%盈利的机会，有30%亏损的机会，如果把所有 可能的事件或结果都列示出来，每一事件都给以一种概率把它们列 示在一起便构成了概率分布，如表5-5所示。
可能出现的结果 i 盈利 亏损 合计
表5-5
概率 pi 70% 30% 100%
通过表5-5可以看出概率分布有如下特点：
经济情况
繁荣 一般 衰退
该经济情况 发生的概率 pi
0.2 0.6 0.2
ki
A 项目
B 项目
70%
40%
20%
20%
-30%
0%
表5-6
下面分别计算A，B项目的期望报酬率：
E(A) k1p1 k2 p2 k3 p3 70% 0.2 20% 0.6 (30%) 0.2 20% ，
② 通过查表可求出0.632 5个标准差对应的置信概率为23.57% （该值为正态分布曲线的面积）。
③ 因为正态分布图是以期望报酬率为对称轴的钟形分布图，所以 从期望报酬率20%～ ∞ 的部分占总面积的一半，因此
P（A 盈利） 50% 23.57% 73.57%
P（A 亏损） 50% 23.57% 26.43%
标准差愈小，说明离散程度愈小，风险也就愈低。根据这 种测量方法，A项目的风险大于B项目。
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A B
A- B
事件的关系和运算
（事件的性质）
设A、B、C为三个事件，则有 1. 交换律：A∪B=B∪A A∩B=B∩A 2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C A(BC) =(AB) C 3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
事件的概率
事件的概念
1. 2. 3. 事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
– – – 例如：掷一枚骰子出现的点数为3 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示
4.
不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
–
事件与样本空间
1. 基本事件
– 一个不可能再分的随机事件 – 例如：掷一枚骰子出现的点数
2. 样本空间
– 一个试验中所有基本事件的集合，用表示
– 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6}
– 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
事件的概率
1. 事件A的概率是对事件A在试验中出现的 可能性大小的一种度量 2. 表示事件A出现可能性大小的数值 3. 事件A的概率表示为P(A) 4. 概率的定义有：古典定义、统计定义和 主观概率定义
事件的概率
例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷 次数 n 的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右
概率的古典定义
（计算结果）
• 解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A 为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的 集合。则 全公司男性职工人数 8500 P( A) 0.68 全公司职工总人数 12500 (2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢 厂 全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则 炼钢厂职工人数 4800 P( B) 0.384 全公司职工总人数 12500
条件概率的图示
事件A 事件B 一旦事件B发生
事件 AB及其 概率P (AB)
事件B及其 概率P (B)
概率的乘法公式
1. 用来计算两事件交的概率； 2. 以条件概率的定义为基础； 设 A 、 B 为 两 个 事 件 ， 若 P(B)>0 ， 则 P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)
概率的乘法公式
（实例）
【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150 件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的 概率是多少？ 解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2) ，所求概率为P(A1A2)
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 150 149 0.0224 1000 999
概率的加法法则
法则二 对任意两个随机事件A和B，它们和的概 率为两个事件分别概率的和减去两个事 件交的概率，即
P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
概率的加法法则
（实例）
【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中 有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都 读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。 解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝ {至少读一种报纸}。则
2. 规范性
3. 可加性
– –
概率的加法法则
法则一 1. 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件 概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 2. 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
P( B) p( Ai ) P( B | Ai )
i 1
3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02 0.0345
贝叶斯公式
（逆概公式）
1. 与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立 在条件概率的基础上寻找事件发生的原因； 2. 设 n 个 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 两 两 互 斥 ， A1+A2+…+ An= (满足这两个条件的事件组称为 一个完备事件组)，且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则：
事件A所包含的基本事件个数 m P( A) ＝ 样本空间所包含的基本事件个数 n
概率的古典定义
（实例）
某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从该 公司中随机抽取1人，问： （1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率
某钢铁公司所属企业职工人数
工厂 炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂 合计 男职工 4000 3200 900 8500 女职工 1800 1600 600 4000 合计 6200 4800 1500 12500
概率的加法法则
（实例）
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率 解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一 事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事 件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事 件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为 4800 1500 P( A B) P( A) P( B) 0.504 12500 12500
A
B
A 与 B互不相容
事件的关系和运算
（事件的逆）
一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是 整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组 成的集合，记为A
A
A
事件的关系和运算
（事件的差）
事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A 与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件 B的那些样本点构成的集合，记为A-B
P( Ai | B)
P( Ai ) P( B | Ai )
正面 /试验次数
1.00
0.75 0.50
0.25
0.00 0 25 50 75 试验的次数 100 125
概率的古典定义
• 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结 果在每次试验中出现的可能性相同，则事件 A发生的概率为该事件所包含的基本事件个 数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为
地质数据处理基础5
概率与概率分布
洪金益 中南大学地学院
第五章 概率与概率分布
第一节 概率基础
第二节 随机变量及其分布
学习目标
1. 了解随机事件的概念、事件的关系和运算
2. 理解概率的定义，掌握概率的性质和运算法则 3. 理解随机变量及其分布，计算各种分布的概率 4. 计算分布的概率
第一节 概率基础
事件的独立性
（实例）
【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内 机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床 为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看 管的概率
解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事 件， A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)
概率的性质与运算法则
概率的性质
1. 非负性
– – 对任意事件A，有 0 P 1 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。 即P ( ) = 1； P ( ) = 0 若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
条件概率与独立事件
条件概率
• 在事件B已经发生的条件下，求事件A 发生的概率，称这种概率为事件B发生条 件下事件A发生的条件概率，记为 P(AB) P(A|B) = P(B)
超过用电指标天数 12 P( A) 0.4 试验的天数 30
主观概率定义
1. 对一些无法重复的试验，确定其结果的概率 只能根据以往的经验人为确定； 2. 概率是一个决策者对某事件是否发生，根据 个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断。 例如，我认为今后2－3年内中国有色金属市 场价格是一个缓慢盘升的时期。
一. 随机事件及其概率
二. 概率的性质与运算法则
随机事件的几个基本概念
试 验
1. 2. 3. 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察； 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数； 试验具有以下特点： – – – 可以在相同的条件下重复进行； 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有 可能结果在试验之前是确切知道的； 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果。
Hale Waihona Puke = 0.90.8(1-0.85)=0.108
全概公式
设事件A1 ，A2 ，…，An 两两互斥， A1+A2+…+ An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事 件组），且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则对任意事件B， 有 n
P( B) p( Ai ) P( B | Ai )