3力矩 平面力偶系(三)
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工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
第三章 力偶与平面力偶理论)
M 0 F F h
力对点之矩（力矩）是一个代数量，它的绝 对值等于力的大小与力臂的乘积；
它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 常用单位为 N· m 或 kN· m。 注意：力矩在下列几种情况下等于零 （1）力的大小等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零；
（3） 互成平衡的二力对同一点之矩为零。
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例3-2 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
M1 F1 d M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶 彼此等效。 推论： 任一力偶可在它的作用面内任意转移，而不改变它对刚体 的作用。因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无 关。 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
工程力学第3章
第3章 力矩和平面力偶系 图3-4
第3章 力矩和平面力偶系
这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移 动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的 乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F′), 或简写为M，
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M Mi M1 M2 M3
13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系 图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系 (2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
根据合力矩定理，力F对A点之矩
M A (F ) M A (F1 ) M A (F2 ) F1l1 F2l2 F (l1 cos150 l2 sin150 ) 3970N cm 39.7N m
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 图3-3
设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力 F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
主矩： Mo=m1+m2+···+mn
第三章_力对点的矩_平面力偶系
4
平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系的合成
平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。 平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。
=
FR = F1 + F2 + Fn
=
=
′ FR = F1′ + F2′ + Fn′
平面力偶系合成的结果是一个合力偶， 平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 中各力偶矩的代数和。 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。
力对点的矩
F
h
O
M 0 ( F ) = ± Fh
力对点的矩是一个代数量，它的绝对值 绝对值等于力的大小 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定， 正负可按下法确定 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定，力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 量度
A α M1
OBBiblioteka M2DB 解： 因为杆AB为二力杆，故其反力F 和F 只 因为杆AB为二力杆 故其反力FAB 为二力杆， BA A
α
M1 M2
D
能沿A 能沿A，B的连线方向。 的连线方向。 分别取杆OA和DB为研究对象 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能 为研究对象。 与力偶平衡，所以支座O 与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只 的约束力F ∴ 能分别平行于F 能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。 且与其方向相反。 B 写出杆OA和DB的平衡方程 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0 的平衡方程：
力对点的矩
力矩 力偶系
M （ F） rAO F x O
i
j y
k z
Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx ) k
结论：力矩矢在坐标轴上的投影 M 0 (F ) x M x (F ) M 0 (F ) y M y (F ) M 0 (F ) z M z (F )
§ 3-2 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 一、力偶( F , F)
由大小相等,方向相反而不共线 的两个平行力组成的力系。
F d
B A
F= - F
F´
力偶只能使物体发生转动， 不引起移动。
二、力偶矩
F
1、平面力系：
d
A
B
m = ±Fd
正负号的规定： 力偶使物体逆时针转为 + 力偶使物体顺时针转为– 2、空间力系：力偶矩是一个矢量
m
F´
M
A F
M rBA F
rBA
F´
B
三、力偶的性质
1、力偶不能与一个力等效，因此力偶没有合力，也不能
用一个力来平衡。力偶只能与力偶等效,也只能与力 偶平衡。
2、力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和（代数和） 等于该力偶矩 ,而与矩心的选择无关。
m mo(F) +mo(F´) = rB0×F + rA0× F´ = rBA×F
d
a
Fxy b
z
结论:
F
B
(a) 当力的作用线与轴平行或相交，
A
即力与轴位于同一平面时力对轴
之矩等于零；
o
(b) 当力沿其作用线移动时力 矩不变。
工程力学03-力矩 平面力偶系
力偶只能与力偶平衡！
例 题 1
FA
M1 M3 M2
M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l=200 mm 。求两个光滑螺 柱所受的水平力。
A
解：选工件为研究对象，因为力偶只能与
力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力 偶，故FA= FB 。列写平衡方程 FB
B
由∑M = 0， F l M M M 0 A 1 2 3
A FA M B
FB
例 题 2
A l D
M B A
FA
M B
45
FB
列平衡方程：
M 0,
M FA l cos 45 0
M 2M 解得： FA FB l cos 45 l
例 题 3 如图所示的铰接四连杆机构，杆重不计，已知
OA=r，DB=2r，α=30°，试求平衡时力偶M1和M2 关系。
§3-2 力偶与力偶矩
2. 平面力偶的性质 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基 本力学量。
力和力偶是静力学的两个基本要素
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶
矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体 的效应用力偶矩度量。
力偶矩的三个要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用平面
A F
M Mi
平衡条件：
d
B
Mi 0
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成
的代数和。
M Mi
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
平面力偶系的平衡条件
于零。
Mi 0
理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）
理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。
2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。
3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。
h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。
⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。
（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。
⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。
（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。
F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。
建筑力学 第三章 力矩与平衡力偶系
• 以公式记为：Mo(F)=±Fd • O点称为力矩中心，简称为矩心。 • 矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂。 • 在平面力系中，其正负号表示力使刚体绕矩心转动 的方向。通常规定，力使刚体逆时针方向转动时力矩 为正，反之为负。力矩的单位是：牛顿· 米（N· m）
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任意一点之矩等于所有各力对于该点之矩的代只要保持力偶矩大小和转向力偶可以在其作用面内任不变可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短而不改变它对刚体的作用效应
力矩与平面力偶
一、力对点之矩与合力矩定理 二、力偶及其性质 三、平面力偶系的合成和平衡
力的效应
力对物体效应可以产生： 运动效应；变形效应
力对物体的运动效应可以产生：
移动效应--取决于力的大小、方向；一个是如 果力的作用线通过刚体的质心，将使刚体在力作 用的方向上平移。 转动效应--取决于力矩的大小、方向；如果力 的作用线不通过刚体的质心，则刚体将在力的作 用下边移动边转动，是力对刚体的转动效应。
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
M = M1 + M3 + · · ·+Mn M i
结论：平面力偶系合成的结果是一个力偶，它的矩等于原 来各力偶的矩的代数和。 合力偶矩正负号：使物体逆时针方向转动为正
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
平面力偶系平衡条件
在上面讨论中，若Fd1+ Fd2=Fd3 ，则其合力 F=0，从而有 M 1 + M 2 +M 3 = 0 推广到由任意个力偶组成的平面力偶系,有
M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任意一点之矩等于所有各力对于该点之矩的代只要保持力偶矩大小和转向力偶可以在其作用面内任不变可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短而不改变它对刚体的作用效应
力矩与平面力偶
一、力对点之矩与合力矩定理 二、力偶及其性质 三、平面力偶系的合成和平衡
力的效应
力对物体效应可以产生： 运动效应；变形效应
力对物体的运动效应可以产生：
移动效应--取决于力的大小、方向；一个是如 果力的作用线通过刚体的质心，将使刚体在力作 用的方向上平移。 转动效应--取决于力矩的大小、方向；如果力 的作用线不通过刚体的质心，则刚体将在力的作 用下边移动边转动，是力对刚体的转动效应。
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
M = M1 + M3 + · · ·+Mn M i
结论：平面力偶系合成的结果是一个力偶，它的矩等于原 来各力偶的矩的代数和。 合力偶矩正负号：使物体逆时针方向转动为正
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
平面力偶系平衡条件
在上面讨论中，若Fd1+ Fd2=Fd3 ，则其合力 F=0，从而有 M 1 + M 2 +M 3 = 0 推广到由任意个力偶组成的平面力偶系,有
M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
03--第三章 力矩与平面力偶系(修订)
例3-5 ：
已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30; 1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
M 0 M1 FA r sin 0
解得 FO FA 8kN
取杆BC，画受力图.
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得 M2 8kNm
F 'd Fd
力矩的符号 M F 力偶矩的符号 M O
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变.
=
=
=
ABC ABD
ABC？ABD
M FR，Fi R FRd1 2ABD
M
F,
Fi
Fd
2ABC
=
=
=
=
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
得 h 2l 3
例3-4
已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
M F d
MO1 F
F,
d
F
x1
MO1 F M
工程力学第三章力矩力偶系
M ( F ) r F sin O
定理：如果力系存在合力,则合力对某一点的矩等于力 系中各分力对同一点的矩的矢量和。
即：若作用在刚体上 { F , F , , F } { F } 1 2 n R
则：
M ( F ) M ( F O R O i)
i 1
n
例 水平梁 AB 受按三角形分布的载荷作用。载荷的最 大值为 q ，梁长为 l 。试求合力作用线的位置。
0
将 Q 和 q(x) 的数值代入可得
xC
2 l 3
§3-2 力偶理论
一.力偶和力偶矩
1、力偶 · 力偶的作用 效果 ·力偶的第一性质
力偶的定义：由大小相等，方 向相反且不共线的两个平行力 所组成的力系，称为力偶。记 之为： ( F, F ' )
F
hபைடு நூலகம்
F
'
h——力偶臂
力与力偶的作用效果比较：
FA
第三章 力矩 力偶系理论
§3-1 力对点之矩（力矩） 力对刚体的移动效应用力矢量来度量 力对刚体的转动效应用力矩来度量 一、力对点之矩
B F O
定义：
r
h
A
M r F oF
矢量积形式
M r F oF
二、 合力矩定理
大小： r F F h 2 OAB 方向： 由右手定则判定
25 N 0.4 m
M=10 Nm
25 N
§3-3 力偶系的合成与平衡
力偶系合成的结果为一合力偶
{ M , M , , M } { M } 1 2 n R
n
即：
M R Mi
i 1
力偶平衡的充分必要条件:
第三章 平面力偶系
FA
AM
D
解: 1）分析BD杆
C
450 E
M = 0, M1 - FE ·a = 0 FB = FE = M1 / a
M1
B FB FB B
D
E FE
M1
2）分析整体 FA = FB = M1 / a M = 0, M1 - M = 0 M = M1
27
作业：习题 P54 3—1
3—4 3—7(F ) Fd A 225N m M C (F ) Fd C
F AD F CD
sin 30 sin 30
B
75 N m
2）由合力矩定理 M B (F ) Fx AB Fy AD
求对B点的矩 F cos 30 AB F sin 30 AD
144N
FB FA 144N
(2)取CD杆
M 0, M 0 FC CD cos 0
cos
0.24
0.182 0.242
FC
5M 0 4 0.32m
5 40N m 4 0.32m
156N
FE FD FD FC 156N
FNB可知由力偶概念可知FNA FNB
F’NA
Fy 0, FT W
24
课上练习3
B M C
l
已知：结构中AB为r的圆弧，l=2r，M已知。 求：A和C处的反力。
解：1）分析AB：
可知是二力构件，受力如图
A
F'B
FB
r
M
2）分析BC：受力如图
FA
M 0, M FBd 0
(3)平面力偶系讲解
Fy
A
O x y
F
q
M O ( F ) xF sin q yF cos q xFy yFx
Fx x
已知F＝1400 N, r＝60 mm, a＝20°，求力Fn对O点的矩。
例1
Ft Fn Fn
Fr
MO (F ) F h Fr cos 78.93 N m
以后常用 合力矩定理
2.3 平面力对点之矩的概念及计算
2.3.1 力对点之矩（力矩）
B MO(F) r O h F A
力 F 与点 O 位于同一平面内， 点 O 称为 矩心 ，点 O 到力的作用 线的垂直距离h称为力臂。
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转 动时为正，反之为负。
M1
C
M2
60o D B
RA = RC = R, AC = a Mi = 0
C
RC M1 (1)
A
a R - M1 = 0
M1 = a R
RA
B
取杆CD为研究对象。因C点约束方位已定 , 则D点约束反力方位亦可确定，画受力图。
A 60o
M1
C
M2
60o D
RD = RC = R
B
Mi = 0
二. 力偶与力偶矩的性质
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变.
M O1 F , F M O1 F M O1 F F d x1 F x1 Fd
M O2 F , F F d x2 F x2 F 'd Fd
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教
执教者 课 题 时 间 教学目标 教学重点 教学难点 学情分析 科 目 3 力矩 平面力偶系（三）
案
工程力学 课 型 地 点 班 级 讲授 教室
1． 理解平面力偶系的合成和平衡条件； 2． 掌握平面力偶系平衡条件的实际应用。 平面力偶系的合成和平衡条件 平面力偶系平衡条件的实际应用 学生已学习了平面汇交力系的合成与平衡条件，而且也学习了力偶的 性质和等效性质已有一定的基础。因此在教学中只需进一步分析比较，再 通过实例讲析应让学生很好地接受。 教学环节 教 学 内 容 师生双边活动
一、平面力偶系的合成
作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。 设在刚体的同一平面内作用三个力偶 ( F1 ,F1 ′ ) 新 授 ( F2 ,F2′) 和( F3 ,F3′)，如图 3-12 所示。各力偶矩分别 为：M1＝F1•d1， M2＝F2•d2， M3＝－F3•d3。 讲授
在力偶作用面内任取一线段 AB＝d，按力偶等效条 件，将这三个力偶都等效地改为以为 d 力偶臂的力偶 ( P1 ,P1′) ( P2 ,P2′) 和( P3 ,P3′)。如图 3－12 所示。 由等效条件可知
举例
例 3-5：图示结构，求 A、B 处反力。
图示 （a）
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（b）
江苏省惠山中等专业学校 解： （1）取研究对象：杆 AB （2）受力分析：力偶系 新 授 图演
（a） （3）平衡条件
（b）
分析
（a）∑M = 0，即 P ·2a－FA ·l=0 讲解
（b）∑M = 0， 即
P· 2a－FB ·cos系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若 合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平
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江苏省惠山中等专业学校 衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的 必要与充分条件： 平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代 新 授 数和等于零。 即 Σ m＝0 （3－6） 讲授
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江苏省惠山中等专业学校 P1•d=F 1•d1 ， P2•d＝F2•d2 ， －P3•d ＝－F3•d3 则等效变换后的三个力偶的力的大小可求出。 新 授 分析
比较
图 3-12
然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与 AB 重合，则 原平面力偶系变换为作用于点 A、B 的两个共线力系（图 3－12b） 。将这两个共线力系分别合成，得 FR＝P1＋P2－p3 FR′＝P1′＋P2′－P3′ 可见， 力 FR 与 FR′等值、 反向作用线平行但不共线， 构成一新的力偶 （FR， FR′） ， 如图 3－12c 所示。 为偶 （FR， FR′）称为原来的三个力偶的合力偶。用 M 表示此合力 偶矩，则 M＝FR d＝（P1＋P2－P3）d= P1•d+P2•d－P3•d =F 1•d1+F2•d2－F3•d3 所以 M＝M1＋M2＋M3 若作用在同一平面内有个力偶，则上式可以推广为 M＝M1＋M2＋…＋Mn＝Σ M 由此可得到如下结论： 平面力偶系可以合成为一合力偶， 此合力偶的力偶矩 等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。 归纳
观察
图 3-13
分析
解：取联轴器为研究对象，作用于联轴器上的力有电 动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，受力图如图所 示。设 4 个螺栓的受力均匀，即 F1＝F2＝F3＝F4＝F，则 组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。 Σ m＝0，即 m－F×AC－F×d＝0 解得 讲解
F
m 2.5 8.33kN 2d 2 0.15
平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。 例 3-4：如图 3-13 所示，电动机轴通过联轴器与工作 轴相连，联轴器上 4 个螺栓 A、B、C、D 的孔心均匀地 分布在同一圆周上，此圆的直径 d＝150mm，电动机轴传 给联轴器的力偶矩 m＝2.5 kN•m， 试求每个螺栓所受的力 为多少？ 图示 举例
在力学中把这样一对等值、 反向而不共线的平行力称 导 入 为力偶，用符号 ( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶 中的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，(作为力 偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，用 m 或 m( F ,F′)表示，即 m(F)＝±F•d 理解 讲析 提问
3-3
平面力偶系的合成与平衡条件
练习 2：如图 3-14 所示，求 A、B、C 三处的约束 反力。 若将作用于构件 AC 上的力偶 M 平移至构件 BC 上， 求 A、B、C 三处的约束反力。 C B
图 3-14
练习
M A
讲析
1． 平面力偶系的合成和平衡条件； 小结 2．平面力偶系平衡条件的实际应用。 补充
作业
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教
执教者 课 题 时 间 教学目标 教学重点 教学难点 学情分析 科 目 3 力矩 平面力偶系（三）
案
工程力学 课 型 地 点 班 级 讲授 教室
1． 理解平面力偶系的合成和平衡条件； 2． 掌握平面力偶系平衡条件的实际应用。 平面力偶系的合成和平衡条件 平面力偶系平衡条件的实际应用 学生已学习了平面汇交力系的合成与平衡条件，而且也学习了力偶的 性质和等效性质已有一定的基础。因此在教学中只需进一步分析比较，再 通过实例讲析应让学生很好地接受。 教学环节 教 学 内 容 师生双边活动
一、平面力偶系的合成
作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。 设在刚体的同一平面内作用三个力偶 ( F1 ,F1 ′ ) 新 授 ( F2 ,F2′) 和( F3 ,F3′)，如图 3-12 所示。各力偶矩分别 为：M1＝F1•d1， M2＝F2•d2， M3＝－F3•d3。 讲授
在力偶作用面内任取一线段 AB＝d，按力偶等效条 件，将这三个力偶都等效地改为以为 d 力偶臂的力偶 ( P1 ,P1′) ( P2 ,P2′) 和( P3 ,P3′)。如图 3－12 所示。 由等效条件可知
举例
例 3-5：图示结构，求 A、B 处反力。
图示 （a）
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（b）
江苏省惠山中等专业学校 解： （1）取研究对象：杆 AB （2）受力分析：力偶系 新 授 图演
（a） （3）平衡条件
（b）
分析
（a）∑M = 0，即 P ·2a－FA ·l=0 讲解
（b）∑M = 0， 即
P· 2a－FB ·cos系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若 合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平
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江苏省惠山中等专业学校 衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的 必要与充分条件： 平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代 新 授 数和等于零。 即 Σ m＝0 （3－6） 讲授
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江苏省惠山中等专业学校 P1•d=F 1•d1 ， P2•d＝F2•d2 ， －P3•d ＝－F3•d3 则等效变换后的三个力偶的力的大小可求出。 新 授 分析
比较
图 3-12
然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与 AB 重合，则 原平面力偶系变换为作用于点 A、B 的两个共线力系（图 3－12b） 。将这两个共线力系分别合成，得 FR＝P1＋P2－p3 FR′＝P1′＋P2′－P3′ 可见， 力 FR 与 FR′等值、 反向作用线平行但不共线， 构成一新的力偶 （FR， FR′） ， 如图 3－12c 所示。 为偶 （FR， FR′）称为原来的三个力偶的合力偶。用 M 表示此合力 偶矩，则 M＝FR d＝（P1＋P2－P3）d= P1•d+P2•d－P3•d =F 1•d1+F2•d2－F3•d3 所以 M＝M1＋M2＋M3 若作用在同一平面内有个力偶，则上式可以推广为 M＝M1＋M2＋…＋Mn＝Σ M 由此可得到如下结论： 平面力偶系可以合成为一合力偶， 此合力偶的力偶矩 等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。 归纳
观察
图 3-13
分析
解：取联轴器为研究对象，作用于联轴器上的力有电 动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，受力图如图所 示。设 4 个螺栓的受力均匀，即 F1＝F2＝F3＝F4＝F，则 组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。 Σ m＝0，即 m－F×AC－F×d＝0 解得 讲解
F
m 2.5 8.33kN 2d 2 0.15
平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。 例 3-4：如图 3-13 所示，电动机轴通过联轴器与工作 轴相连，联轴器上 4 个螺栓 A、B、C、D 的孔心均匀地 分布在同一圆周上，此圆的直径 d＝150mm，电动机轴传 给联轴器的力偶矩 m＝2.5 kN•m， 试求每个螺栓所受的力 为多少？ 图示 举例
在力学中把这样一对等值、 反向而不共线的平行力称 导 入 为力偶，用符号 ( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶 中的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，(作为力 偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，用 m 或 m( F ,F′)表示，即 m(F)＝±F•d 理解 讲析 提问
3-3
平面力偶系的合成与平衡条件
练习 2：如图 3-14 所示，求 A、B、C 三处的约束 反力。 若将作用于构件 AC 上的力偶 M 平移至构件 BC 上， 求 A、B、C 三处的约束反力。 C B
图 3-14
练习
M A
讲析
1． 平面力偶系的合成和平衡条件； 小结 2．平面力偶系平衡条件的实际应用。 补充
作业
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