八年级数学上册小专题训练(六) 角的平分线与线段的垂直平分线

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线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(学生版)--初中数学

线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D是等边△ABC外一点，∠BDC=120°，DB=DC，点E，F分别在AB，AC上，连接AD、DE、DF、EF．(1)求证：AD是BC的垂直平分线；(2)若ED平分∠BEF，BC=5，求△AEF的周长．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AE=10，DE=4，求AB的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD,BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A= 78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM+ON的值不变B.∠PNM=∠POBC.MN的长不变D.四边形PMON的面积不变二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB=16，AC=6，DE=5．则△ADF的面积为．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．(1)如图1，求∠BGC的度数；(2)如图2，求证：EG=FG；(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．10(2023春·全国·八年级专题练习)【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP，BP，若∠APM=∠BPN，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在(1)的条件下，若∠A=70°，AB=AC，点Q是射线EF上一点，且点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出∠BQC的度数；(3)【拓展提升】如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB=60°时，OP+BP的值为．。

八年级数学角平分线和线段垂直平分线PPT优秀课件

MD
G
F N
B
C
E
例1.已知:△ABC中，D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E, EF⊥AB于F, EG⊥AC交AC的延长线于 G.求证:BF=CG.
A
FD B
C
G
E
1.已知:△ABC中，AD是它的角平分线, D为BC的中点,DE⊥AB于E, DF⊥AC于 F,.求证:BE=CF.
求证:BE=EF=CF. A
O
B
CEFຫໍສະໝຸດ 4.如图,有一内地城市A和两个沿海城市B 和C,现决定在三个城市间建一个机场,使得机场到A和B两城市的距离相等,而且使 C市到机场的距离最近,试确定机场的位置.
A．
B．
．C
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演讲人: XXX
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A
E
F
BD C
2.如图,已知∠AOB=300,P是∠AOB的平分线上的一点,过点P作PC∥OB交OA于C,作 OD⊥OB于D,已知OC=4厘米,求PD的长.
A
C O
P DB
3.已知:在等边△ABC中， ∠B 、∠C的平分线交于O点, OB的垂直平分线交BC于E, OC的垂直平分线交BC于F.
BDC
(二)线段垂直平分线的性质定理: 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
求证:三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知:△ABC中，DE、FG、MN分别是三
边的垂直平分线. A 求证:DE、FG、MN交于一点.
27.2角的平分线与线段的垂直平分线
(一)角平分线的性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

八年级上学期数学期末专题：点段垂直平分线与角平分线综合(原题和解析)

【期末压轴题】专题04：线段的垂直平分线与角平分线综合（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分△ABC ，交CD 于点E ，BC =6，DE =3，则△BCE 的面积是（）A ．9B ．7C ．10D ．18 2．如图，△ABC 中，△A ＝△ACB ，CP 平分△ACB ，BD ，CD 分别是△ABC 的两外角的平分线，下列结论中：△CP △CD △△P ＝12A ∠△BC ＝CD △01902D A ∠=-∠△PD //AC ，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，ABC 中，CAB ∠和CBA ∠的角平分线交于点P ，连接P A 、PB 、PC ，若PAB △、PBC 、PAC △的面积分别为1S 、2S 、3S ，则（）A ．123S S S <+B ．123S S S =+C ．123S S S >+D ．无法确定1S 与()23S S +的大小4．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，26ABC S =△，4DE =，7AB =，则AC 长是（）A ．5B ．6C ．7D ．85．如图，ΔABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为20，30，40，其三条角平分线将ΔABC 分为三个三角形，则S ΔABO △S ΔBCO △S ΔAOC 等于（）A ．1△1△1B ．2△3△4C ．1△2△3D ．3△4△5 6．在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（）A ．两直线平行，同旁内角互补；B ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等；C ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等；D ．两个相等的角是对顶角．7．如图，已知AF AB =，60FAB ∠=︒，AE AC =，60EAC ∠=︒，CF 和BE 交于O 点，则下列结论：：△CF BE =；△120COB ∠=︒；△OA 平分FOE ∠；△OF OA OB =+．其中正确的有（）A ．△△B ．△△△C ．△△△△D ．△△△ 8．如图，点A ，B ，C 在一条直线上，ABD △，BCE 均为等边三角形，连接AE 和CD ，AE 分别交CD 、BD 于点M 、P ，CD 交BE 于点Q ，连接PQ ，BM ．下列结论：△ABE DBC ≌；△60DMA ∠=︒；△BPQ 为等边三角形；△MB 平分AMC ∠．其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△BAC ＝46°，△BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，连接EF ．将△C 沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合时，则△OEC 的度数（）A ．90°B ．92°C ．95°D ．98°10．如图，在△ABC 中，△BAC 和△ABC 的平分线AE ，BF 相交于点O ，AE 交BC 于E ，BF 交AC 于F ，过点O 作OD △BC 于D ，下列三个结论：△△AOB =90°+△C ；△当△C =60°时，AF +BE=AB ；△若OD=a ，AB +BC +CA =2b ，则S △ABC =ab ．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 11．如图，正ABC 和正CDE △中，B 、C 、D 共线，且3BC CD =，连接AD 和BE 相交于点F ，以下结论中正确的有（）个△60AFB ∠=︒ △连接FC ，则CF 平分BFD ∠ △3BF DF = △BF AF FC =+A ．4B ．3C ．2D ．112．如图，在ABC 中，BC AC =，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线于F ，垂足为E ．则下列结论不正确的是（）A ．AD BF =B ．CF CD =C ．AC CD AB +=D ．BE CF =二、填空题 13．如图，△ABC 的外角△DBC 、△ECB 的角平分线交于点M ，△ACB 的角平分线与BM 的反向延长线交于点N ，若在△CMN 中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则△A 的度数为 _______14．已知：△ABC 是三边都不相等的三角形，点P 是三个内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点，当P 、O 同时在不等边△ABC 的内部时，那么△BOC 和△BPC 的数量关系是___．15．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AC =，6BC =，DBC △面积为18，AB的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB PQ +的最小值为______．16．如图，AB 为等腰直角ABC 的斜边，E 为AB 的中点，F 为AC 延长线上的一个动点（F 与点C 不重合），线段FB 的垂直平分线交线段CE 于点O ，D 垂足．当F 点运动时，给出下列四个结论．其中一定正确的结论有______（请填写正确序号）．△点O 到ABF 三个顶点的距离相等；△⊥OF OB ；FC AB +=；△AEC BOF S S <△△ 17．如图，反比例函数k y x=的图象经过点（－1，-，点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP ．在点A 运动过程中，当BP 平分△ABC时，点A 的坐标是____________．18．如图，在ABC 中，△ACB ＝45°，AD △BC ，BE △AC ，AD 与BE 相交于点F ，连接并延长CF 交AB 于点G ，△AEB 的平分线交CG 的延长线于点H ，连接AH ，则下列结论：△△EBD ＝45°；△AH ＝HF ；△ABD △CFD ；△CH ＝AB +AH ；△BD ＝CD ﹣AF ．其中正确的是 ___．（只填写序号）19．如图，在ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E 两点，并且相交于点F ，且70DFE ∠=︒，则DAE ∠的度数是______．20．如图，AP ，BP 分别平分△ABC 内角△CAB 和外角△CBD ，连接CP ，若△ACP ＝130°，则△APB ＝___．三、解答题21．已知，如图1，射线PE 分别与直线AB 、CD 相交于E 、F 两点，△PFD 的平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设△PFM =α，△EMF =β，且2(35)αβα-+-0=．（1）α=____ °，β=______ °；直线AB 与CD 的位置关系是_______ ；（2）如图2，若点G 是射线MA 上任意一点，且△MGH=△PNF ，试找出△FMN 与△GHF 之间存在的数量关系，并证明你的结论：（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图3），分别与AB 、CD 相交于点M 和点N ，时，作△PMB 的角平分线MQ 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中1FPN Q∠∠的值变不变?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 22．如图1，将线段AB 平移至CD ，使A 与D 对应，B 与C 对应，连AD 、BC ．（1）填空：AB 与CD 的关系为__________，B 与D ∠的大小关系为__________．（2）如图2，若60B ∠=︒，F 、E 为BC 的延长线上的点，∠=∠EFD EDF ，DG 平分CDE ∠交BE 于G ，求FDG ∠．（3）在（2）中，若B α∠=，其它条件不变，则FDG ∠=__________．23．如图1所示，已知点E 在直线AB 上，点F ，G 在直线CD 上，且EFG FEG ∠=∠，EF 平分AEG ∠．（1）判断直线AB 与直线CD 是否平行，并说明理由．（2）如图2所示，H 是AB 上点E 右侧一动点，EGH ∠的平分线GQ 交FE 的延长线于点Q ，设Q α∠=，EHG β∠=．△若40HEG ∠=︒，20QGH ∠=︒，求Q ∠的度数．△判断：点H 在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由．24．如图，已知△ABC 和△CDE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连结OC 、FG ，（1）求证：BD =AE ，并求出△DOE 的度数；（2）判断△CFG的形状并说明理由；（3）求证：OA+OC=OB；（4）判断下列两个结论是否正确，若正确请说明理由：△OC平分△FOG；△CO平分△FCG．25．在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（b，0），其中a，b满足：（x＋b）（x ＋2）＝x2＋ax＋6（a，b为常数）．（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且△ABC＝△ADC＝90°，AO＝DO，DB平分△ADC．过点C作CE△DB于点E，求证：DE＝OB；（3）如图2，P为y轴正半轴上一动点，连接BP，过点B在x轴下方作BQ△BP，且BQ＝BP，连接PC，PQ，QC．在（2）的条件下，设P（0，p），求△PCQ的面积（用含p的式子表示）．26．在△ABC中，AB＝CD△AB于点D，CD．（1）如图1，当点D是线段AB中点时，△AC的长为；△延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系为，△BCE与△A 的数量关系为．（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画△BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使△BCE＝2△A，CE＝CB，连接AE．△按要求补全图形；△求AE的长．27．如图1，已知线段AC△y轴，点B在第一象限，且AO平分△BAC，AB交y轴于点D，连接OB，OC．（1）可以判断AOD的形状为三角形（直接写答案）；（2）若OE平分△AOB且△B＝2△BAO，证明：AO＝BE+OB；（3）如图2，若点B，C关于y轴对称，AO△BO，点M为OA上一点，且△ACM＝45°，点B的坐标为(3，1)，求点M的坐标．28．如图，已知点B（-2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且△ABD=△ACD．（1）求证：△BDC=△BAC；（2）求证：DA平分△CDM；（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，△BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出△BAC的度数？【期末压轴题】专题04：线段的垂直平分线与角平分线综合（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分△ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积是（）A．9B．7C．10D．18【标准答案】A【思路点拨】作EH△BC于点H，根据角平分线的性质得出EH=DE，最后根据三角形的面积公式进行求解．【精准解析】如图，作EH△BC于点H，△BE平分△ABC，CD是AB边上的高，EH△BC，△EH=DE=3，△1163922BCES BC EH=⋅=⨯⨯=△．故选A．【名师指导】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．如图，△ABC中，△A＝△ACB，CP平分△ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：△CP△CD△△P＝12A∠△BC＝CD△01902D A∠=-∠△PD//AC，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【标准答案】D【思路点拨】根据邻补角平分线性质可判断△；根据三角形外角与角平分线定义列出等式2△PBG=△A+2△PCB，△PBG=△P+△PCB，可判断△，根据外角性质与角平分线定义，结合三角形内角和△BCD+△CBD=12BCF∠+12CBE∠=1902A︒+∠可判断△，利用等腰三角形性质与外角性质，可得△DBC=△A，可得△D=90°12DBC-∠，得出2△D+△DBC=180°，当△A=60°时，△D=△DBC=60°成立，可判断△，根据△DBC=△A=△ACB，利用平行线判定定理可判断△．【精准解析】解：△△BCA+△BCF=180°，CP平分△ACB，CD平分△FCB，△△PCB=12BCA∠，△DCB=12BCF∠，△△PCD=△PCB+△DCB =12BCA∠+()11118090 222BCF BCA BCF∠=∠+∠=⨯︒=︒，△CP△CD；故△正确；延长CB到G，△BD平分△CBE，△△EBD=△DBC，△△EBD=△PBA，△CBD=△PBG，△△PBA =△PBG，△△ABG=2△GBP，△△ABG=△A+△ACB，即2△PBG=△A+2△PCB，△PBG=△P+△PCB，△△PBG=12△A+△PCB，△△P=12△A，△CD 平分△BCF ，△△BCD =12BCF ∠， △DBC =12CBE ∠， △△BCD +△CBD =12BCF ∠+12CBE ∠， =()()1122A ABC A ACB ∠+∠+∠+∠， =()1122A ABC ACB A ∠+∠+∠+∠， =1902A ︒+∠， △△D=180°-（△BCD +△CBD ）=180°-11909022A A ︒-∠=︒-∠，故△正确；△AB =BC ，△△BAC =△ACB ，△2△DBC =△EBC =△A +△ACB =2△A ，△△DBC =△A ，△△D =90°12DBC -∠， △2△D +△DBC =180°，当△A =60°时，△D =△DBC =60°，△BC =CD ，故△不正确，△△DBC =△A =△ACB ，△PD△AC ，故正确的结论有4个．故选D ．【名师指导】本题考查三角形内角与外角平分线，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判定，掌握三角形内角与外角平分线定义，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判定是解题关键．3．如图，ABC 中，CAB ∠和CBA ∠的角平分线交于点P ，连接PA 、PB 、PC ，若PAB △、PBC 、PAC △的面积分别为1S 、2S 、3S ，则（）A ．123S S S <+B ．123S S S =+C ．123S S S >+D ．无法确定1S 与()23S S +的大小【标准答案】A【思路点拨】过点P 分别作PD △AB ，PE △BC ，PF △AC ，垂足分别为D ，E ，F ，运用三角形面积公式，三角形三边关系定理判断即可．【精准解析】过点P 分别作PD △AB ，PE △BC ，PF △AC ，垂足分别为D ，E ，F ，△CAB ∠和CBA ∠的角平分线交于点P ，△PD =PE =PF =h ，△1S =1h 2AB ，2S =1h 2BC ，3S =1h 2AC ，△23()S S +=1h 2BC +1h 2AC =1()h 2AC BC +， △AC +BC ＞AB ，△23()S S +＞1S ，△123S S S <+，△A 符合题意，B ，C ，D 都不符合题意，故选A ．【名师指导】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形的面积公式，三角形的三边关系定理，灵活运用角的平分线的性质和三角形三边关系定理是解题的关键．4．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，26ABC S =△，4DE =，7AB =，则AC 长是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【标准答案】B【思路点拨】作DF △AC 于F ，如图，根据角平分线定理得到DE =DF =4，再利用三角形面积公式和S △ADB +S △ADC =S △ABC 得到12×4×7+12×4×AC =26，然后解一次方程即可．【精准解析】解：作DF △AC 于F ，如图，△AD 是△ABC 中△BAC 的角平分线，DE △AB ，DF △AC ，△DE =DF =4，△S △ADB +S △ADC =S △ABC ， △12×4×7+12×4×AC =26，△AC =6，故选：B ．【名师指导】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题． 5．如图，ΔABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为20，30，40，其三条角平分线将ΔABC 分为三个三角形，则S ΔABO △S ΔBCO △S ΔAOC 等于（）A．1△1△1B．2△3△4C．1△2△3D．3△4△5【标准答案】B【思路点拨】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【精准解析】解：过点O作OD△AC于D，OE△AB于E，OF△BC于F，△点O是内心，△OE=OF=OD，△S△ABO：S△BCO：S△CAO=12•AB•OE：12•BC•OF：12•AC•OD=AB：BC：AC=2：3：4，故选：B．【名师指导】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．6．在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补；B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等；C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等；D．两个相等的角是对顶角．【标准答案】C【思路点拨】先写出逆命题，再根据相关性质，定义判断即可．【精准解析】解：A逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，△A不符合题意；B 逆命题是如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等，是真命题，△B 不符合题意；C 逆命题是如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，是假命题，△C 符合题意；D 逆命题是如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是真命题，△D 不符合题意；故选C ．【名师指导】本题考查了命题，互逆命题，命题的真假，熟练确定逆命题，灵活运用相关知识判断是解题的关键．7．如图，已知AF AB =，60FAB ∠=︒，AE AC =，60EAC ∠=︒，CF 和BE 交于O 点，则下列结论：：△CF BE =；△120COB ∠=︒；△OA 平分FOE ∠；△OF OA OB =+．其中正确的有（）A ．△△B ．△△△C ．△△△△D ．△△△【标准答案】C【思路点拨】证明ABE AFC ∆≅∆，由全等三角形的性质得到BE CF =，可得AEB ACF ∠=∠，则60CON CAE MOB ∠=∠=︒=∠，得出180120BOC CON ∠=︒-∠=︒；ABE AFC S S ∆∆=，得到AP AQ =，利用角平分线的判定定理得AO 平分EOF ∠，在OF 上截取OD OB =，根据SAS 可证明FBD ABO ∆≅∆，得出DF OA =，由此可以解决问题．【精准解析】解：△AB AF =，AC AE =，60FAB EAC ∠=∠=︒，FAB BAC EAC BAC ∴∠+∠=∠+∠，即FAC BAE ∠=∠，在ABE ∆与AFC ∆中，AB AF BAE FAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE AFC SAS ∴∆≅∆，BE FC ∴=，AEB ACF ∠=∠，故△正确，180EAN ANE AEB ∠+∠+∠=︒，180CON CNO ACF ∠+∠+∠=︒，ANE CNO ∠=∠，60CON CAE MOB ∴∠=∠=︒=∠，180120BOC CON ∴∠=︒-∠=︒，故△正确，连接AO ，过A 分别作AP CF ⊥与P ，AM BE ⊥于Q ，如图1，ABE AFC ∆≅∆，ABE AFC S S ∆∆∴=， ∴1122CF AP BE AQ =，而CF BE =， ∴=AP AQ ，OA ∴平分FOE ∠，所以△正确，在OF 上截取OD OB =，60BOF ∠=︒，OBD ∴∆是等边三角形，BD BO ∴=，60DBO ∠=︒，FBD ABO ∴∠=∠，BF AB =，()FBD ABO SAS ∴∆≅∆，DF OA ∴=，OF DF OD OA OB ∴=+=+；故△正确；故选：C ．【名师指导】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键．8．如图，点A ，B ，C 在一条直线上，ABD △，BCE 均为等边三角形，连接AE 和CD ，AE 分别交CD 、BD 于点M 、P ，CD 交BE 于点Q ，连接PQ ，BM ．下列结论：△ABE DBC ≌；△60DMA ∠=︒；△BPQ 为等边三角形；△MB 平分AMC ∠．其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【标准答案】D【思路点拨】由等边三角形的性质得出AB =DB ，△ABD =△CBE =60°，BE =BC ，得出△ABE =△DBC ，由SAS 即可证出△ABE △△DBC ；由△ABE △△DBC ，得出△BAE =△BDC ，根据三角形外角的性质得出△DMA =60°；由ASA 证明△ABP △△DBQ ，得出对应边相等BP =BQ ，即可得出△BPQ 为等边三角形；由△ABE △△DBC 得到△ABE 和△DBC 面积等，且AE =CD ，从而证得点B 到AE 、CD 的距离相等，利用角平分线判定定理得到点B 在角平分线上．【精准解析】解：△△ABD 、△BCE 为等边三角形，△AB =DB ，△ABD =△CBE =60°，BE =BC ，△△ABE =△DBC ，△PBQ =60°，在△ABE 和△DBC 中，AB DB ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABE △△DBC （SAS ），△△正确；△△ABE △△DBC ，△△BAE =△BDC ，△△BDC +△BCD =180°-60°-60°=60°，△△DMA =△BAE +△BCD =△BDC +△BCD =60°，△△正确；在△ABP 和△DBQ 中，60BAP BDQ AB DB ABP DBQ ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩△△ABP △△DBQ （ASA ），△BP =BQ ，△△BPQ 为等边三角形，△△正确；△△ABE △△DBC△AE =CD ，S △ABE =S △DBC ，△点B 到AE 、CD 的距离相等，△B 点在△AMC 的平分线上，即MB 平分△AMC ；△△正确；故选：D ．【名师指导】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△BAC ＝46°，△BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，连接EF ．将△C 沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合时，则△OEC 的度数（）A ．90°B ．92°C ．95°D ．98°【标准答案】B【思路点拨】仔细分析题意，可连接BO ，CO ，根据角平分线性质和中垂线性质不难得到△OAB =△OBA ；然后结合三角形内角和定理以及等边对等角可得△ABC 的度数；接下来根据全等三角形的判定易得△ABO △△ACO ，进而结合全等三角形的性质可得△OCB 的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO =EC ，由等边对等角以及三角形内角和定理的知识即可求出△OEC 的度数．【精准解析】解：连接BO ，CO ，△△BAC=46°，△BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，△△OAB=△OAC=23°，△OD是AB的垂直平分线，△OA=OB，△OA=OB，△OAB=23°，△△OAB=△ABO=23°，△AB=AC，△△ABC=△ACB=67°，△△OBC=△ABC-△ABO=67°-23°=44°，△AB=AC，△OAB=△OAC，AO=AO，△△ABO△△ACO（SAS），△BO=CO，△△OBC=△OCB=44°，△点C沿EF折叠后与点O重合，△EO=EC，△△EOC=△OCE=44°，△△OEC=180°-△EOC-△OCE=180°-2×44°=92°，故选：B．【名师指导】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．10．如图，在△ABC中，△BAC和△ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD△BC于D，下列三个结论：△△AOB=90°+△C；△当△C=60°时，AF+BE=AB；△若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【标准答案】B【思路点拨】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解△AOB 与△C 的关系，进而判定△；在AB 上取一点H ，使BH ＝BE ，证得△HBO △△EBO ，得到△BOH ＝△BOE ＝60°，再证得△HAO △△F AO ，得到AF ＝AH ，进而判定△正确；作OH △AC 于H ，OM △AB 于M ，根据三角形的面积可证得△正确．【精准解析】解：△△BAC 和△ABC 的平分线相交于点O ，△△OBA ＝12△CBA ，△OAB ＝12△CAB ，△△AOB ＝180°−△OBA −△OAB ＝180°−12△CBA −12△CAB＝180°−12（180°−△C ）＝90°＋12△C ，△错误；△△C ＝60°，△△BAC ＋△ABC ＝120°，△AE ，BF 分别是△BAC 与ABC 的平分线，△△OAB ＋△OBA ＝12（△BAC ＋△ABC ）＝60°，△△AOB ＝120°，△△AOF ＝60°，△△BOE ＝60°，如图，在AB 上取一点H ，使BH ＝BE ，△BF 是△ABC 的角平分线，△△HBO ＝△EBO ，在△HBO 和△EBO 中，BH BE HBO EBO BO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△HBO △△EBO （SAS ），△△BOH ＝△BOE ＝60°，△△AOH ＝180°−60°−60°＝60°，△△AOH ＝△AOF ，在△HAO 和△F AO 中，HAO FAO AO AO AOH AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△HAO △△F AO （ASA ），△AF ＝AH ，△AB ＝BH ＋AH ＝BE ＋AF ，故△正确；作OH △AC 于H ，OM △AB 于M ，△△BAC 和△ABC 的平分线相交于点O ，△点O 在△C 的平分线上，△OH ＝OM ＝OD ＝a ，△AB ＋AC ＋BC ＝2b△S △ABC ＝12×AB ×OM ＋12×AC ×OH ＋12×BC ×OD ＝12（AB ＋AC ＋BC ）•a ＝ab ，△正确．故选：B ．【名师指导】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO △△EBO ，得到△BOH ＝△BOE ＝60°，是解决问题的关键．11．如图，正ABC 和正CDE △中，B 、C 、D 共线，且3BC CD =，连接AD 和BE 相交于点F ，以下结论中正确的有（）个△60AFB ∠=︒ △连接FC ，则CF 平分BFD ∠ △3BF DF = △BF AF FC =+A ．4B ．3C ．2D ．1【标准答案】A【思路点拨】根据“手拉手”模型证明BCE ACD ≌，从而得到CBE CAD ∠=∠，再结合三角形的外角性质即可求解60AFB ACB ∠=∠=︒，即可证明△；作CM BE ⊥于M 点，CN AD ⊥于N 点，证明CEM CDN ≌，结合角平分线的判定定理即可证明△；利用面积法表示BCF △和DCF 的面积，然后利用比值即可证明△；利用“截长补短”的思想，在AD 上取点Q ，使得FC FQ =，首先判断出FCQ 为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出BCF ACQ ≌即可证明△．【精准解析】解：△△ABC 和CDE △均为等边三角形，△60ACB ECD ∠=∠=︒，AC BC =，EC DC =，△ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠，△BCE ACD ∠=∠，在BCE 和ACD △中， BC AC BCE ACD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BCE ACD SAS ≌，△CBE CAD ∠=∠，△AFB CBE CDA ∠=∠+∠，ACB CDA CAD ∠=∠+∠，△60AFB ACB ∠=∠=︒，故△正确；△如图所示，作CM BE ⊥于M 点，CN AD ⊥于N 点，则90CME CND ∠=∠=︒，△BCE ACD ≌，△CEM CDN ∠=∠，在CEM 和CDN △中，CME CND CEM CDN CE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()CEM CDN AAS ≌，△CM CN =，△CF 平分BFD ∠，故△正确；△如图所示，作FP BD ⊥于P 点， △1122BCF S BF CM BC FP ==，1122DCF S DF CN CD FP ==， △11221122BCFDCF BF CM BC FP S S DF CN CD FP ==， △CM CN =，△整理得：BF BC DF CD=， △3BC CD =，△33BF CD DF CD==， △3BF DF =，故△正确；△如图所示，在AD 上取点Q ，使得FC FQ =，△60AFB ACB ∠=∠=︒，CF 平分BFD ∠，△120BFD ∠=︒，1602CFD BFD ∠=∠=︒， △FCQ 为等边三角形，△60FCQ ∠=︒，CF CQ =，△60ACB ∠=︒，△ACB ACF FCQ ACF ∠+∠=∠+∠，△BCF ACQ ∠=∠，在BCF △和ACQ 中，BC AC BCF ACQ CF CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BCF ACQ SAS ≌，△BF AQ =，△AQ AF FQ =+，FQ FC =，△BF AF FC =+，故△正确；综上，△△△△均正确；故选：A ．【名师指导】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．12．如图，在ABC 中，BC AC =，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线于F ，垂足为E ．则下列结论不正确的是（）A ．AD BF =B ．CF CD =C ．AC CD AB +=D ．BE CF =【标准答案】D【思路点拨】 A.根据BC AC =，90ACB ∠=︒可知45CAB ABC ∠=∠=︒，再由AD 平分BAC ∠可知22.5BAE EAF ∠=∠=︒，在Rt ACD ∆与Rt BFC ∆中，90EAF F ∠+∠=︒，90FBC F ∠+∠=︒，可求出EAF FBC ∠=∠，由BC AC =可求出Rt ADC Rt BFC ∆≅∆，故可求出AD BF =；B.由选项Ａ中Rt ADC Rt BFC ∆≅∆可直接得出结论；C.由选项Ａ中Rt ADC Rt BFC ∆≅∆可知，CF CD =，故AC CD AC CF AF +=+=，22.5CBF EAF ∠=∠=︒，在Rt AEF ∆中，9067.5F EAF ∠=︒-∠=︒，根据45CAB ∠=︒可知，18067.5ABF EAF CAB ∠=︒-∠-∠=︒，即可求出AF AB =，即AC CD AB +=；D.由选项Ｃ可知，ABF ∆是等腰三角形，由于BE AD ⊥，故12BE BF =，在Rt BCF ∆中，若BE CF =，则30CBF ∠=︒，与选项Ｂ中22.5CBF ∠=︒相矛盾，故BE CF ≠；【精准解析】解：A.BC AC =，90ACB ∠=︒，45CAB ABC ∴∠=∠=︒， AD 平分BAC ∠，22.5BAE EAF ∴∠=∠=︒，在Rt ACD ∆与Rt BFC ∆中，90EAF F ∠+∠=︒，90FBC F ∠+∠=︒，EAF FBC ∴∠=∠，BC AC =，EAF FBC ∠=∠，BCF AEF ∠=∠，Rt ADC Rt BFC ∴∆≅∆，AD BF ∴=；故选项A 正确； B.选项A 中Rt ADC Rt BFC ∆≅∆，CF CD ∴=，故选项B 正确； C.选项A 中Rt ADC Rt BFC ∆≅∆，CF CD ∴=，AC CD AC CF AF +=+=，22.5CBF EAF ∠=∠=︒，∴在Rt AEF ∆中，9067.5F EAF ∠=︒-∠=︒，45CAB ∠=︒，18018067.54567.5ABF F CAB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，AF AB ∴=，即AC CD AB +=，故C 正确；D.由选项C 可知，ABF ∆是等腰三角形，BE AD ⊥，12BE BF ∴=，在Rt BCF ∆中，若BE CF =，则30CBF ∠=︒，与选项B 中22.5CBF ∠=︒相矛盾，故BE CF ≠，故选项D 错误；故选：D ．【名师指导】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键．二、填空题13．如图，△ABC 的外角△DBC 、△ECB 的角平分线交于点M ，△ACB 的角平分线与BM 的反向延长线交于点N ，若在△CMN 中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则△A 的度数为 _______【标准答案】60︒或90︒或120︒【思路点拨】根据ECB ∠，DBC ∠的角平分线交于点M ，可求得1902M A ∠=︒-∠，延长 CB 至F ，根据BM 为ABC ∆的外角DBC ∠的角平分线，可得 BN 是ABC ∆的外角ABF ∠的平分线，根据CN 平分 ACB ∠，得到2ACB NCB ∠=∠，则有NBF NCB N ∠=∠+∠，可得 2ABF ACB N ∠=∠+∠，可求得12N A ∠=∠；再根据NCM NCF BCM ∠=∠+∠1122ACB BCE =∠+∠90=︒，分四种情况：△290MCN N ∠=∠=︒；△ 290MCN M ∠=∠=︒；△2M N ∠=∠；△2N M ∠=∠，分别讨论求解即可．【精准解析】解：外角ECB ∠，DBC ∠的角平分线交于点 M ，()12MCB MBC ECB DBC ∴∠+∠=∠+∠ ()11801802ACB ABC =︒-∠+︒-∠ ()13602ACB ABC =︒-∠-∠ ()13601802A =︒-︒+∠⎡⎤⎣⎦ ()11802A =︒+∠ 1902A =+∠︒△()11180180909022M MCB MBC A A ⎛⎫∠=︒-∠+∠=︒-︒+∠=︒-∠ ⎪⎝⎭；如图示，延长CB 至F ，BM 为ABC ∆的外角DBC ∠的角平分线，BN ∴是ABC ∆的外角ABF ∠的平分线，2ABF NBF ∴∠=∠， CN 平分ACB ∠，2ACB NCB ∴∠=∠，NBF NCB N ∠=∠+∠，222NBF NCB N ∴∠=∠+∠，即2ABF ACB N ∠=∠+∠，又ABF ACB A ∠=∠+∠，△2ACB N ACB A ∠+∠=∠+∠2A N ∴∠=∠，即12N A ∠=∠； NCM NCF BCM ∠=∠+∠1122ACB BCE =∠+∠ 11802=⨯︒ 90=︒;如果CMN ∆中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：△290MCN N ∠=∠=︒，则45N ∠=︒， 290A N ∠=∠=︒；△290MCN M ∠=∠=︒，则45M ∠=︒， 45N ∠=︒，290A N ∠=∠=︒；△2M N ∠=∠，则1190222A A ︒-∠=⨯∠，解得 60A ∠=︒；△2N M ∠=∠，则1129022A A ⎛⎫∠=︒-∠ ⎪⎝⎭，解得 120A ∠=︒．综上所述，A ∠的度数是60︒或90︒或120︒．【名师指导】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．14．已知：△ABC 是三边都不相等的三角形，点P 是三个内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点，当P 、O 同时在不等边△ABC 的内部时，那么△BOC 和△BPC 的数量关系是___．【标准答案】4360BPC ∠-︒【思路点拨】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2180BAC BPC ∠=∠-︒；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2BOC BAC ∠=∠，进而得出BOC ∠和BPC ∠的数量关系．【精准解析】解：BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠180(=︒-11)22ABC ACB ∠+∠ 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠ 1180(180)2BAC =︒-︒-∠ 1902BAC =︒+∠，即2180BAC BPC ∠=∠-︒；如图，连接AO ．点O 是这个三角形三边垂直平分线的交点，OA OB OC ∴==，OAB OBA ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，1802AOB OAB ∴∠=︒-∠，1802AOC OAC ∠=︒-∠，360()BOC AOB AOC ∴∠=︒-∠+∠360(18021802)OAB OAC =︒-︒-∠+︒-∠，22OAB OAC =∠+∠2BAC =∠2(2180)BPC =∠-︒4360BPC =∠-︒，故答案为：4360BPC ∠-︒．【名师指导】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．15．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AC =，6BC =，DBC △面积为18，AB 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB PQ +的最小值为______．【标准答案】6【思路点拨】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥于H ．利用三角形的面积公式求出DH ，由题意得： PB PQ AP PQ AQ +=+≥，求出AQ 的最小值，AQ 最小值是与DH 相等，也就是AQ BC ⊥时，根据面积公式求出DH 的长度即可得到结论．【精准解析】解：连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥于H ．△DBC △面积为18，BC =6， △1182BC DH =， △6DH =，△MN 垂直平分线段AB ，△PA PB =，△PB PQ AP PQ AQ +=+≥，△当AQ 的值最小时，PB PQ +的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ BC ⊥时，AQ 的值最小，△//AD BC ，△AQ =DH =6，△PB PQ +的最小值为6．故答案为：6．【名师指导】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，把最短问题转化为垂线段最短是解题关键．16．如图，AB 为等腰直角ABC 的斜边，E 为AB 的中点，F 为AC 延长线上的一个动点（F 与点C 不重合），线段FB 的垂直平分线交线段CE 于点O ，D 垂足．当F 点运动时，给出下列四个结论．其中一定正确的结论有______（请填写正确序号）．△点O 到ABF 三个顶点的距离相等；△⊥OF OB ；FC AB +=；△AEC BOF S S <△△【标准答案】△△△【思路点拨】如图，连接AO ，根据等腰三角形的性质得到CE △AB ，求得OA ＝OB ，根据线段垂直平分线的性质得到OF ＝OB ，得到点O 到△ABF 三个顶点的距离相等，故△正确；设BC 交OF 于J ，根据全等三角形的性质得到△CAO ＝△CBO ，求得△CAO ＝△CFJ ，得到△JOB ＝△JCF ＝90°，根据垂直的定义得到OF △OB ，故△CE ＝AC ，AC ＋CF ＝AF ，显然AF不一定等于AB 、故△错误；根据等腰直角三角形的性质得到AE ＝CE ＝BE ＝12AB ，CE △AB ，求得△ACE 面积为12AE •CE ＝12BE 2，得到△BOF 面积为12OF •OB ＝12OB 2，于是得到S △AEC ＜S △BOF ，故△正确．【精准解析】解：如图，连接AO ，△CA ＝CB ，AE ＝EB ，△CE △AB ，△OA ＝OB ，△OD 垂直平分线段BF ，△OF ＝OB ，△OA ＝OF ＝OB ，△点O 到△ABF 三个顶点的距离相等，故△正确；设BC 交OF 于J ，在△ACO 与△BCO 中，AC BC CO CO AO BO =⎧⎪=⎨⎪=⎩, △△ACO △△BCO （SSS ），△△CAO ＝△CBO ，△OA ＝OF ，△△CAO ＝△CFJ ，△△CFJ ＝△OBJ ，△△CJF ＝△OJB ，△△JOB ＝△JCF ＝90°，△OF △OB ，故△正确；CE ＝AC ，AC ＋CF ＝AF ，显然AF 不一定等于AB 、故△错误；△△ABC 为等腰直角三角形，E 为AB 中点，△AE ＝CE ＝BE ＝12AB ，CE △AB ，△△ACE 面积为12AE •CE ＝12BE 2，△OF △OB ，OF ＝OB ，△△BOF 面积为12OF •OB ＝12OB 2，在Rt △OBE 中，OB 为斜边，BE 为直角边，△OB ＞BE ， △12BE 2＜12OB 2，△S △AEC ＜S △BOF ，故△正确．故答案为：△△△．【名师指导】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，正确的识别图形是解题的关键．17．如图，反比例函数k y x =的图象经过点（－1，-），点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP ．在点A 运动过程中，当BP 平分△ABC 时，点A 的坐标是____________．【标准答案】)2 【思路点拨】把点（－1，-）代入反比例函数k y x=，求出k . 连接OC ，过点A 作AE △x 轴于E ，过点C 作CF △x 轴于F ，则有△AOE △△OCF ，进而可得出AE ＝OF 、OE ＝CF ，根据角平分线的性质及三角形面积可得出AP CP =，易证APE CPF ,利用三角形性质可得出CF AE =即OE AE =A 的坐标为（a （a ＞0），由OE AE =可求出a 值，进而得到点A 的坐标．【精准解析】解：把点（－1，-k y x=得： k＝−1×（-△y = 连接OC ，过点A 作AE △x 轴于E ，过点C 作CF △x 轴于F ，如图所示．△△ABC 为等腰直角三角形，△OA ＝OC ，OC △AB ，△△AOE ＋△COF ＝90°．△△COF ＋△OCF ＝90°，△△AOE ＝△OCF ．在△AOE 和△OCF 中，90AEO OFC AOE OCF OA OC ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， △△AOE △△OCF （AAS ），△AE ＝OF ，OE ＝CF ．设点P 到AB 的距离为h ，△BP 平分△ABC ，△h PC =，△1·21·2ABP CBP h AB S AP AB CP S BC PC BC ==== △,APE CPF AEP CFP ∠=∠∠=∠，△APECPF ， △CF CP AE AP ==， △OE AE =．设点A的坐标为（a ，解得：a或a ＝（舍去），2=， △点A的坐标为)2，故答案为：)2．【名师指导】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解题的关键．18．如图，在ABC 中，△ACB ＝45°，AD △BC ，BE △AC ，AD 与BE 相交于点F ，连接并延长CF 交AB 于点G ，△AEB 的平分线交CG 的延长线于点H ，连接AH ，则下列结论：△△EBD ＝45°；△AH ＝HF ；△ABD △CFD ；△CH ＝AB +AH ；△BD ＝CD ﹣AF ．其中正确的是 ___．（只填写序号）【标准答案】△△△△△【思路点拨】△根据45ACB ∠=︒，BE AC ⊥，即可得解；△先证明EH 是AF 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得结论；△根据“边角边”即可证明ABD CFD ≌；△根据ABD CFD ≌可得AB CF =，再结合CH CF FH =+进而可以判断CH AB AH =+； △由DF AD AF =-结合△即可得结论．【精准解析】解：△△BE AC ⊥，90BEA BEC ∴∠=∠=︒，45ACB =︒∠，9045EBD ACB ∴∠=︒-∠=︒，故△正确；△EH 是AEB ∠的角平分线，1452HEB HEA AEB ∴∠=∠=∠=︒， 45HEB EBC ∴∠=∠=︒，//EH BC ∴，AD BC ⊥，AD EH ∴⊥，90AOE FOE ∴∠=∠=︒，9045OAE HEA ∴∠=︒-∠=︒，9045OFE HEB ∠=︒-∠=︒，45OAE OFE ∴∠=∠=︒，AE FE ∴=，又EH 平分AEB ∠，EH ∴是AF 的垂直平分线，AH HF ∴=，故△正确；。

沪科版八年级上册数学15.2线段的垂直平分线专题训练及答案

15.2 线段的垂直平分线专题一线段垂直平分线知识的应用1.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且DE ⊥DF ，求证：BE +CF ＞EF ．2.△ABC 中，∠A =90°,AB =AC ,D 、E 、F 分别在AB ，AC ，BC 上，且AD =AE ，CD 为EF 的中垂线，求证BF =2AD .3.已知，如图所示，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE =DF ．求证：AD 垂直平分EF ．合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下：学生甲：因为DE =DF ，所以点D 在线段EF 的垂直平分线上（•到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），所以AD 垂直平分EF ．学生乙：因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，DE =DF ，AD =AD ，•所以Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）,所以AE =AF （全等三角形的对应边相等），所以A 点在线段EF 的垂直平分线上，又因为DE =DF ，所以点D 在线段EF 的垂直平分线上，所以AD 垂直平分EF ．分析两位同学的证明过程，指出谁对谁错，并说明错误的原因．M专题二作图与实际问题4.如图，A 、B 、C 三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站,要求变电站到三镇的距离相等,请你作出变电站的位置（用P 点表示），并说明你的理由.5.A 、B 两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A 的坐标是（2，2），点B 的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C ，使C 点到A 、B 两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P ，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P 的位置，并求出它的坐标．6.如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 分别是位于公路AB 两侧的村庄．（1）设汽车行驶到公路AB 上点P 的位置时，距离村庄M 最近，行驶到点Q 的位置时，•距离村庄N 最近，请在公路AB 上分别画出P ，Q 的位置（保留作图痕迹）．（2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段上距离M ，N 两村都越来越近？在哪一段上距村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远（分别用文字表述你的结果，•不必证明）？（3）在公路AB 上是否存在这样一点H ，使汽车行驶到该点时，与村庄M ，N •的距离相等？如果存在，请在图中AB 上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，•请简要说明理由．【知识要点】1.垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.2.线段的垂直平分线上的点与线段两端点距离相等,与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.3.线段的垂直平分线可以看作到线段的两个端点距离相等的所有点的集合.【温馨提示】1.某条线段的垂直平分线是直线,不是线段或射线.2.注意区分线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.·A·B ·C【方法技巧】1.在证明某条直线是一条线段的垂直平分线时,可证明该直线垂直且平分这条线段,即根据定义证明,也可以证明直线上有不同的两点到这条线段的两个端点距离相等.2.解与线段的垂直平分线有关的问题时,常先利用线段垂直平分线的性质将条件转化,再结合其他知识解决问题.参考答案1.证明:延长ED 至M 点,使DM =ED ，连接MC ，MF ，则F 在线段EM 的垂直平分线上, ∴EF =FM ，又∵BD =CD ,DE =DM ,∠BDE =∠CDM ,∴△BDE •≌△CDM （SAS ），∴BE =CM ，在△CFM 中,∵CF +CM >MF ，∴BE +CF >EF .2.证明:连DE ，DF ，作DG ⊥BC 于G .∵DC 为EF 的中垂线,∴DE =DF ,CE =CF .DC ⊥EF ,∴∠1=∠2.又∵∠A =90°,∴DA ⊥AC ，DG ⊥BC ,∴DA =DG .又∵DE =DF ,∴Rt △ADE ≌Rt △GDF （HL ）,∴GF =AE .又∵AE =AD ,∴AD =DG =GF .∠A =90°,AB =AC ,∴∠B =45°.在△BDG 中∠B =45°, ∵∠DGB =90°,∴∠BDG =45°.∴DG =BG ,∴DG =BG =GF ,∴DG =21BF ,AD =21BF ,即BF =2AD. 3.学生乙的证明过程正确；学生甲的证明有错误．学生甲在解题过程中，过点D 的直线有无数条，它们不都是EF 的垂直平分线，所以在上述解题过程中，仅仅由D 在EF 的垂直平分线上就推得AD 垂直平分EF 是不正确的．产生错误的原因是对垂直平分线的判定定理理解不透，而实际上要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线解决问题．4.解:连接AB 、AC ,作AB 和AC 的垂直平分线,交点即为P 点.理由:连结P A 、PB 、PC ,∵P 点是边AB 、AC 的垂直平分线, ∴P A =PB ,PB =PC ,∴P A =PB =PC .5.（1）存在满足条件的点C ,如图所示．（2）作点A 关于x 轴对称的点A ′（2，－2），连接A′B ，与x轴的交点即为所求的点P ．设A′B 所在直线的解析式为：y =kx +b ，把（2，－2）和（7，3）代入得：错误！未找到引用源。

八年级数学上册《第二章线段的垂直平分线》练习题-含答案(湘教版)

八年级数学上册《第二章线段的垂直平分线》练习题-含答案(湘教版)一、选择题1.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误．．的是( ) A.① B.② C.③ D.④2.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°3.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，适当长度(大于BC长的一半)为半径作圆弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AB＝9，AC＝4，则△ACD的周长是( )A.12B.13C.17D.184.如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( )A.8B.10C.11D.135.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AD＝AC，∠A＝80°则∠ACB的度数为( )A.65°B.70°C.75°D.80°6.如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC＝BC，若∠A＝70°，则∠C＝( )A.100°B.110°C.115°D.120°7.如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则( )A.BC＞PC＋APB.BC＜PC＋APC.BC＝PC＋APD.BC≥PC＋AP8.如图，已知在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D 恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，则∠OED的度数为( )A.10°B.20°C.30°D.35°二、填空题9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则△BEC的周长为 .10.如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝18cm，AB＝10cm，则△ABD的周长为 .11.如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC＋BC＝ cm.12.小军做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是 .13.如图，在△ABC中，∠C＝35°，AB＝AD，DE是AC的垂直平分线，则∠BAD＝度.14.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2.连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，则△PMN的周长为.三、作图题15.尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：已知线段a和∠AOB，点M在OB上(如图所示).(1)在OA边上作点P，使OP＝2a；(2)作∠AOB的平分线；(3)过点M作OB的垂线.四、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，且∠CAD∶∠CAB＝1∶3，求∠B的度数.17.在△ABC中，AB＞BC，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E. (1)若∠ABE＝38°，求∠EBC的度数；(2)若△ABC的周长为36cm，一边为13cm，求△BCE的周长.18.如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，∠BAD＝29°，求∠B的度数.19.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.求证：∠B＝∠CAF.20.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M.(1)若∠B＝70°，则∠NMA的度数是________.(2)连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P 的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.参考答案1.C．2.B.3.B.4.A.5.C.6.D.7.C8.B.9.答案为：14.10.答案为：28cm.11.答案为：7.12.答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上.13.答案为：40.14.答案为：6.15.解：(1)点P为所求作；(2)OC为所求作；(3)MD为所求作；16.解：设∠CAD＝x°则∠CAB＝3x°，∠BAD＝2x°.∵DE是AB的垂直平分线∴DA＝DB∴∠B＝∠BAD＝2x°.∵∠C＝90°∴∠CAB＋∠B＝90°即3x＋2x＝90，解得x＝18∴∠B＝2×18°＝36°.17.解：∵DE是AB的垂直平分线∴AE＝BE∴∠A＝∠ABE＝38°∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C＝71°∴∠EBC＝∠ABC-∠ABE＝71°-38°＝33°由△ABC的周长为36cmAB＞BC，AB＝AC可知AB＝AC＝13cm BC＝10cm△BCE的周长＝BE＋CE＋BC＝AC＋BC＝13＋10＝23(cm) 18.解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAE∵∠BAD＝29°∴∠DAE＝29°∴∠BAC＝58°∵DE垂直平分AC∴AD＝DC∴∠DAE＝∠DCA＝29°∵∠BAC＋∠DCA＋∠B＝180°∴∠B＝93°.19.证明：∵EF垂直平分AD∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠DAF＝∠CAF＋∠CAD又∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∴∠B＝∠CAF.20.解：(1)50°(2)猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°.理由：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∴∠A＝180°﹣2∠B又∵MN垂直平分AB∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣(180°﹣2∠B)＝2∠B﹣90°. 如图：①∵MN垂直平分AB.∴MB＝MA又∵△MBC的周长是14cm∴AC＋BC＝14cm∴BC＝6cm.②当点P与点M重合时，PB＋CP的值最小，最小值是8cm.。

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。

北师大版八年级数学线段的垂直平分线,角平分线

线段的垂直平分线，角平分线课前测试【题目】课前测试如图，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数是度．【答案】44【解析】由DE垂直平分AC可得∠DAC=∠DCA；∠ADB是△ACD的外角，故∠DAC+∠DCA=∠ADB又因为∠B=70°⇒∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BAD，由此可求得角度数．解：设∠BAD为x，则∠BAC=3x，∵DE是AC的垂直平分线，∴∠C=∠DAC=3x﹣x=2x，根据题意得：180°﹣（x+70°）=2x+2x，解得x=22°，∴∠C=∠DAC=22°×2=44°．故填44°．本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．考生需要注意的是角的比例关系的设法，应用列方程求解是正确解答本题的关键．【难度】3【题目】课前测试如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为．【答案】20cm．【解析】过点D作DM⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM．解：如图，过点D作DM⊥AB于D，∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，∴DM=CM=20cm，即M到AB的距离为20cm．故答案为：20cm．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【难度】2知识定位适用范围：北师大版，八年级知识点概述：本章重点部分是线段的垂直平分线和角平分线。

了解，掌握线段的垂直平分线的做法和性质以及角平分线的定义，性质。

能熟练的利用线段的垂直平分线和角平分线来做题适用对象：成绩中等偏下的学生注意事项：熟练掌握线段的垂直平分线以及角平分线的性质重点选讲：①线段的垂直平分线性质的几何应用②角平分线性质的几何应用③线段的垂直平分线和角平分线性质的解答题应用知识梳理知识梳理1：线段的垂直平分线线段的垂直平分线：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段上的两个端点的距离相等。

人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》例题与讲解

12.3角的平分线的性质1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如图所示，∵点 P 在∠ AOB的角平分线上，PD⊥ OA， PE⊥ OB，∴PD＝ PE.谈重点角平分线的性质的理解和应用(1) 使用角的平分线的性质有两个条件：①点在角的平分线上；②过这一点作角的两边的垂线段．结论是：这点到角的两边的距离相等，即两条垂线段相等．(2)角的平分线的性质是证明两线段相等的方法之一，而且不用再证明两个三角形全等．(3)如果已知一个点在角的平分线上，常作出该点到角两边的垂线段，运用性质得到两线段相等．【例 1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D. 若CD＝ 2 cm，则点D 到直线 AB的距离是__________ cm.解析：因为点 D在∠ ABC的角平分线上，所以点离，即点D到直线 AB的距离等于CD的长．答案： 22．角的平分线的判定D 到直线AB的距离等于点D到直线BC的距(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如图所示，∵PD⊥ OA， PE⊥ OB， PD＝ PE，∴点 P 在∠ AOB的角平分线上．(3)作用运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线．警误区角的平分线的性质和判定适用的条件在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一线段当作“距离”，主要原因是不能正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的．．平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件．【例 2】如图所示，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分∠ BAC.证明：∵ BF⊥ AC， AB⊥ CE，∴∠ DEB＝∠ DFC＝90°.在△ BDE和△ CDF中，∠DEB＝∠ DFC，∵∠BDE＝∠CDF，BE＝ CF，∴△ BDE≌△ CDF(AAS)．∴DE＝ DF.又∵ BF⊥ AC， AB⊥ CE，∴ AD平分∠ BAC(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上) ．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型( 角的平分线 ) ．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．【例3】如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是 3 000 m ．根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．( 比例尺为 1∶100 000)解：如图．作法： (1) 以点C为圆心，以任意长为半径画弧，交两河岸于，两点，分别以，B为圆A B A1心，以大于2AB长为半径画弧，两弧交于点O，过 C， O作射线CO.(2 ) 按比例尺计算得古塔与P 的图上距离为 3 cm，以古塔为圆心，以 3 cm 长为半径画弧交CO于点 P，则点 P 即为所求．【例 4】如图所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街两侧以及过街天桥AB的距离相等的点 P 处．此时，这位民警发现有一可疑分子从天桥A处走向 B 处，请问民警在注视可疑分子从 A 处走到 B 处时，他的视线转过了多大角度？解：连接 PA， PB.∵点 P 到 BE， AF， AB的距离相等，11∴ PA， PB分别是∠FAB，∠ EBA的角平分线，即∠PBA＝2∠ EBA，∠ PAB＝2∠ FAB.∵ BE∥ AF，∴∠ EBA＋∠ FAB＝180°.1∴∠ PBA＋∠ PAB＝2(∠ EBA＋∠ FAB)＝90°.∴∠ APB＝180°－(∠PBA＋∠ PAB)＝180°－90°＝90°，即民警的视线转过的角度为90°.【例 5】如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们相交于点P，PD⊥BM于点 D， PF⊥ BN于点 F，求证： BP为∠ MBN的平分线．分析：要证BP 为∠的平分线，只需证＝，而，为外角平分线，故可过点P MBN PD PF AP CP作PE⊥ AC于点 E，根据角平分线的性质有PD＝ PE， PF＝ PE，所以 PF＝ PD.因此 BP为∠ MBN的平分线．证明：过点 P 作 PE⊥ AC于点 E.∵AP， CP分别是∠ MAC与∠ NCA的平分线， PD⊥ BM于点 D， PF⊥ BN于点 F，∴ PD＝ PE， PF＝ PE(角平分线上的点到角两边的距离相等) ．∴PD＝PF.又∵ PD⊥ BM于点D， PF⊥ BN于点F，∴点P 在∠ MBN的平分线上( 角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上) ．∴ BP为∠ MBN的平分线．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置 ( 如建货物中转站、建集市、建水库等) 的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．4【例 6】如下图所示，三条公路l1，l超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，2，l 3 两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ ABC 的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路 l 1，l 2， l 3的距离相等；同理还有∠角平分线的交点，因此满足条件的点共有BAC，∠ BCA的外角平分线的交点；∠4 个．BAC，∠ CBA的外作法： (1) 如右图所示，作出△ABC两内角∠ BAC，∠ ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ ACB，∠ ABC的外角平分线的交点 O2，∠ BAC，∠ BCA的外角平分线的交点 O3，∠BAC，∠ CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1， O2， O3， O4处．。

2020秋上海教育版数学八年级上册19.2线段的垂直平分线与角的平分线练习题3

19.6 轨迹一、课本巩固练习1．到点O的距离等于3cm的点的轨迹是。

2．和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是。

3．到已知角的两边距离相等的点的轨迹是。

4．半径为2cm，且与已知直线l相切的圆的圆心的轨迹是。

5．和两条已知直线l1和l2 相切的圆的圆心轨迹是。

6．如图，在直角坐标系平面内，线段AB的两端点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，AB=8cm，求线段AB中点M的轨迹。

7．如图，A、B、C三点表示三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）8．如图，已知：线段r和∠ACB求作一圆O，使它与∠ACB的两边相切，且圆的半径等于r。

要求用直尺和圆规作图）9、．如图，已知线段a、b、∠α，求作：平行四边形ABCD，使BD=a，AC= b，BD、AC 的夹角为α。

（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）10．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB 两侧的村庄。

（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近。

请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置。

（保留作图痕迹）。

（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）。

（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N 的距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由。

二、基础过关1.斜边为AB的直角三角形ABC的顶点C的轨迹是。

2.AB是半径为R的⊙O中的一条弦，若AB 沿点A旋转30°角，那么，AB中点P随之运动所经过路程为（）A 112πR B12R C16πR D13πR3.如图,已知△ABC,求作△ABC的外接圆.4.如图,已知∠AOB和边OB上一点E,求作:一点P,使P到∠AOB两边的距离相等.且OP=EP5.如图,已知:线段m和角α.求作:等腰三角形ABC,使底角∠B=α,腰AB=m.6已知线段AO（如图），（1）以定点O为圆心，定长OA为半径作⊙O；（2）作⊙O的圆内接六边形ABCDEF；（3）作正六边形ABCDEF的内切圆。

人教版八年级数学上册：角平分线和线段垂直平分线期末复习专题(无答案)

1 / 2EDC AB G NCF B D E A 角平分线和线段垂直平分线期末复习【要点梳理】知识点1. 角的平分线的性质及判定定理： 1．如图∵OP 平分∠AOB ，点P 在射线OP上，PC ⊥OA 于C ，PD⊥OB 于D ∴ ( )2．∵PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，PC = PD ，∴ ( ) 知识点 2. 线段的垂直平分线的性质及判定定理：1．线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的．2．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点的点，在这条线段的垂直平分线上． 3．线段的垂直平分线是到这条线段两端点距离相等的点的集合．知识点 3. 角的平分线和线段的垂直平分线的应用：1．三角形的三条交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

2．三角形的交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。

3.如图，321l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（） A 、一处 B 、二处 C 、三处 D 、四处4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .下列推理中正确的个数是 .①AD 上任意一点到点C ，B 的距离相等； ②AD 上任意一点到AC ，AB 的距离相等； ③BD =CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE =∠CDF【例题选析】例4 如图4，AB=AD ，BC=CD ，AC 、BD 相交于点E ．由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中三个正确结论（不要添加字母和辅助线，不要求证明）．例2.如图，∠A =∠B =90°，M 是AB 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：CM 平分∠BCDMDB CA例3．如图，BE 和CD 是△ABC 的两条高，在BE 上截取BF =CA ，延长CD •至点H ，使HC =AB ．求证：①AF =AH ；②AF ⊥AH 。

八年级数学《线段垂直平分线角平分线》练习题(K12教育文档)

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八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》练习题班级姓名一、选择题1．如图1,在△ABC中，BC＝8cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm2。

如图，AC=AD，BC=BD，则（）A。

CD垂直平分AD B.AB垂直平分CDC。

CD平分∠ACB D.以上结论均不对3.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么,这个三角形是（）A。

直角三角形B。

锐角三角形 C。

钝角三角形 D.等边三角形4.下列命题中正确的命题有（ )①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线;⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线。

A。

1个 B.2个 C.3个 D。

4个5。

△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm,BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6 cmB.7 cm C。

8 cm D.9 cm二．填空题1、如图，（1)、AB=AC=14cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=(2）、AB=AC=14cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是（3）、AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28°，那么∠EBC是2.在△ABC中,AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线．．．．．相交所成锐角为50°,△ABC的底角∠B的大小为_______________。

专题训练(三) 角的平分线与线段的垂直平分线

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2821.8.2809:15:2709:15:27August 28, 2021
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14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月28日星期六上午9时15分27秒09:15:2721.8.28
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17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午9时15分27秒上午9时15分09:15:lieve in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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遵义学练考数学 8上【R】
专题训练（三）角的平分线与线段的垂直平分线
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9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.2821.8.28Saturday, August 28, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:15:2709:15:2709:158/28/2021 9:15:27 AM
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11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.2809:15:2709:15Aug-2128-Aug-21
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12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。09:15:2709:15:2709:15Saturday, August 28, 2021
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15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月上午9时15分21.8.2809:15August 28, 2021

八年级数学《线段垂直平分线角平分线》知识点全新

八年级数学《线段垂直平分线角平分线》知识点全新(总3页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.图1图2定理的数学表示：如图4，∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.图47、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.1.生活如意，事业高升。

2湘教版数学八年级上册专题训练.4 线段的垂直平分线

在∠交2.4线段的垂直平分线一、选择题1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线，过AB的中点E作AB的垂线交AC于点F，连接BF，若AB=5，CD=2，则△BFC的周长为（）A.7B.9C.12D.142.如图，△Rt ABC中，B=90°，ED是AC的垂直平分线，AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°3.如图，在△ABC△中，ADE的周长为8，DH为AB的中垂线，EF垂直平分AC，则BC的长为（）A.4B.6C.8D.164.如图，在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，且AC=8，BC=6△，则BDC的周长为（）A.20 B.22 C.10 D.145.如图，在△Rt ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AB=6，则AE的值是（）A.3B.2C.3D.26.在△Rt ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD 的度数为（）A.10°B.15°C.40°D.50°7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AC交AB于点E，若BC=6，则DE的长为（）A.6B.5C.4D.38.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4△，ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A.13B.15C.17D.199.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（）A.20°B.30°C.35°D.40°10.如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（）A.12cmB.10cmC.7cmD.5cm二、填空题11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC的中点．其中正确的命题是________（填序号）．12.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC=________．13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，边AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠BCE 等于________°．14.证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.证明：∵点P是AB边垂直平分线上的一点，∴________=________（________）．同理可得，PB=________，∴________=________（等量代换），∴________（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________），∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且________．15.线段的垂直平分线是________的点的集合．16.一条线段的垂直平分线必定经过这条线段的________点，一条线段只有________条垂直平分线．17.在等腰三角形ABC中，AB=AC=8cm，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D△，若BCD的周长为10cm，则底边BC的长为________cm．18.△在ABC中，∠C=90°，∠B=∠22.5°，DE垂直平分AB交BC于点E，BC=2+2AC=________．，则三、解答题19.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC.求证：E点在线段AC的垂直平分线上．20.如图，在△ABC中，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于点D，DE=6，BD=6求EC的长．，AE⊥BC于点E，21.已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠BAF=∠ACF．22.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．参考答案一、选择题1.B2.B3.C4.D5.B6.A7.D8.B9.C10.B二、填空题11.①②③12.1513.6014.PB PA垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等PC PA PC点P在AC的垂直16.中一17.218.2平分线上垂直平分线上P A=PB=PC15.到线段两个端点距离相等三、解答题19.证明：∵AD是高，∴AD⊥BC.又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE.又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE,∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上.20.解：如图，连接AD，∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴BD=AD.∵DE=6，BD=6，∴AD=6，∴∠ADE=45°，∴∠B=22.5°.∵∠C=60°，∴∠BAC=97.5°.∵∠ADE=∠B+∠DAB=45°，AE⊥BC，∴DE=AE=6.∵∠C=60°，∴∠CAE=90°﹣60°=30°，∴AC=2CE.在△Rt ACE中，AC2=AE2+CE2，即4CE2=62+CE2，∴CE2=12，解得EC=2．21.证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2．∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角）．∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF．22.解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，∴AD=CD，AC=2AE=2×3=6（cm），∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13（cm），∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+6=19（cm）．。

人教版八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质与判定》练习试题

13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定一、选择题（共8小题）1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A．6B．5C．4D．32．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A．A B垂直平分CD B．C D垂直平分ABC．A B与C D互相垂直平分D．C D平分∠ACB3．下列说法中错误的是（）A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等C．线段有且只有一条垂直平分线D．线段的垂直平分线是一条直线4．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（）A．100°B．105°C．115°D．120°6．如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（）A．48 B．24 C．12 D．67．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，交AB于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF的周长为（）A．16cm B．15cm C．20cm D．无法计算8．如图△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C=( )A．28°B．25°C．22.5°D．20°第1题图第2题图第5题图D第6题图第7题图第8题图二、填空题（共10小题）9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ．10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ．11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________.12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度．13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm．14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ．15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_________ ．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ．18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度．第10题图第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图三、解答题（共5小题）19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．21.如图，已知：在ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P. 求证：点P在AC的垂直平分线上.22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．23．如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于O，AC=BD．（1）求证：BC=AD；（2）求证：点O在线段AB的垂直平分线上．13.1.2 线段的垂直平分线的性质一、选择题（共8小题）1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．A 8．A二．填空题（共10小题）9. 线段AB的中垂线；10. 三边垂直平分线的交点处；11. 3；12. 50；3. 13 ；14. 6 15. 60°；16. 8 ；17. 9 ；18.35°三．解答题（共5小题）19.（1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（2）证明△ABC≌△AD C．证明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC．20. 解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．故AB=5cm、BC=3cm．21.证明：∵P在AB、BC的垂直平分线上∴AP=BP，BP=CP∴AP=CP，∴P点在AC的垂直平分线上.22.证：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分EF（三线合一）23. 证明：（1）∵∠C=∠D=90°，∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA，∴AD=BC；（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．E D C A B 13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定1.选择题:⑴在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点⑵△ABC 中，AC ＞BC ，边AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，已知AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是( )A.9B.8C.7D.6⑶平面内到不在同一条直线的三个点A 、B 、C 的距离相等的点有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2.填空题:⑴如下图，△ABC 中，AB=AC=14cm ，D 是AB 的中点，DE ⊥AB 于D 交AC 于E ，△EBC 的周长是24cm ，则BC=_________．⑵互不平行的两条线段AB 、B A ''关于直线l 对称，AB 和B A ''所在直线交于点P ，下面结论：①AB=B A ''；②点P 在直线l 上；③若点A 、A '是对称点，则l 垂直平分线段A A '；④若点B 、B '是对称点，则PB=B P '，其中正确的有 (只填序号).D C AB E DC A B 3.△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P.求证：点P 在BC 的垂直平分线上.4.如图，直线AD 是线段BC 的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD.5.如图，△ABC 中∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．6.现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑.如图⑴，⑵所示.图(1) 图(2) 图(3) 图(4)观察图⑴，图⑵中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征:①都是轴对称图形②涂黑部分都是三个小正三角形.请在图⑶，图⑷内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．参考答案1.⑴D；⑵A；⑶B.2.⑴10cm；⑵①②③④.3.证明PB=PC.4.证明△ABD≌△ACD(SSS).5.证明AE=AC，DE=DC.6.答案不唯一，只要符合要求，即可.第2课时线段的垂直平分线的有关作图1.如果O是线段AB的垂直平分线与AB的交点，那么 = .2.设MN是线段AB的垂直平分线，当点P在MN上运动时，PA，PB的长度都随之变化，但总保持 .3.如图14－27所示，OM是∠AOB的平分线，MA⊥OA，交OA于A，MB⊥OB，交OB于B，如果∠AO B=120°，则∠AMO= ，∠BMO= ，∠AMB= ，AM= ，理由是 .4.如图14－28所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB+D，交AC于E，求△BCE的周长.5.（1）下面每个网格内的两个图形（如图14－29所示）都是成轴对称的，请画出它们的对称轴；（2）如图14－30所示，以虚线为对称轴，画出图形的另一半；（3）画出如图14－31所示的图形关于直线l的对称图形.6.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图14－32所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；（2）阐述你设计的理由.7.欣赏下面对联，感悟轴对称在文学中的踪影.（1）秀山青雨青山秀，香柏古风古柏香；（2）雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天.观察上述对联，你也试一试，作出一幅类似的对联.参考答案1.OA OB2.PA=PB3.30° 30° 60° BM角的平分线上的点到角两边的距离相等4.解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB.∴BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=12+7=19.∴△BCE的周长为19.5.略6.（1）仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的平分线的交点上.（2）角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质. 7.略。

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