配套K122018高中数学必修三练习：2.4线性回归方程(一) Word版含答案
苏教版高中数学必修三同步练测：2.4线性回归方程.docx
2.4 线性回归方程同步练测一、填空题（本题共8小题，每小题8分，共64分） 1.观察下列各图形：其中两个变量x 、y 具有相关关系的图是 . 2.下列变量之间的关系是函数关系的是 .①已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中，a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－；②光照时间和果树亩产量； ③降雪量和交通事故发生率； ④每亩施用肥料量和粮食亩产量.3.已知回归方程y ˆ＝1.5－15，则下列说法正确的是 .①y ＝1.5x －15; ②是回归系数； ③是回归系数;④＝10时，＝0.4.以下是两个变量x 和y 的一组数据：x 1 2 3 4 5 6 78y 1 4 9 16 25 36 49 64则这两个变量间的线性回归方程为 . 5.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ＋bx 中，回归系数b . ①可以小于0； ②大于0； ③能等于0； ④只能小于0. 6.给出下列关系：①正方形的边长与面积之间的关系；②某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系； ③人的身高与视力之间的关系；④雾天的能见度与交通事故的发生率之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系．其中具有相关关系的是________．7.已知回归方程y ^＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 的增长速度之比约为________．8.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5由其散点图知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则＝________.二、解答题（本题共2小题，共36分）9.(本小题满分16分)2009年12月某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，应选男、女生各多少人.建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分(2)随机抽取8位，若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：绩x 之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y 与x 的线性回归方程(系数精确到0.01)．如果不具有线性相关性，请说明理由． 参考公式：回归直线的方程是：y ^＝bx ＋a ，其中b ＝∑i ＝1n(x i －x)(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2，a ＝y －b x ，y ^i 是与x i 对应的回归估计值．参考数据：x ＝77.5，y ＝84.875，∑i ＝18(x i －x )2≈1050，∑i ＝18(x i －x)(y i －y )=687.5.10.(本小题满分20分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：如果与是线性相关的，求回归直线方程.2.4 线性回归方程同步练测答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4．5． 6． 7． 8. 二、解答题 9.解：（1） （2） 10.解：2.4 线性回归方程同步练测答案一、填空题1.③④ 解析：相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关．①②是不相关的,而③④是相关的．2.① 解析：由函数关系和相关关系的定义可知，①中＝b 2－4，因为是已知常数，b 为自变量，所以给定一个的值，就有唯一确定的与之对应，所以与之间是一种确定的关系，是函数关系．②③④中两个变量之间的关系都是随机的、不确定的，所以不是函数关系．3.① 解析：回归直线方程为yˆ＝＋，其中是回归系数.对回归方程y ˆ＝＋有＝y －x ，即y ＝x ＋. 4.y ^＝9x －15 解析：根据数据可得x ＝4.5，y ＝25.5，∑i ＝1n x 2i ＝204，∑i ＝1nx i y i ＝1 296.b ＝1221ni ii nii x ynx y xnx==--∑∑＝1 296－8×4.5×25.5204－8×4.52＝9，a ＝y －b x ＝25.5－9×4.5＝－15.∴ y ^＝9x －15.5.① 解析：当b ＝0时，r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0.6.②④ 解析：①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系； ③人的身高与视力之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系； ④能见度与交通事故的发生率之间具有相关关系； ⑤学生与其学号之间的关系是一种确定的对应关系．综合以上可知，②④具有相关关系，而①是函数关系，⑤是确定的对应关系．③中的两者之间没有因果关系 7.522 解析：x 与y 的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数14.4＝1044＝522. 8.5.25 解析：x ＝2.5，y ＝3.5，∴a ＝y －b x ＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25. 二、解答题9.解：(1)选男生15×840＝3(人)，选女生25×840＝5(人)． (2)以数学成绩x 为横坐标，物理成绩y 为纵坐标作散点图如图．从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩具有正相关性．设y 与x 的线性回归方程是y ^＝bx ＋a ，根据所给的数据，可以计算出b ＝≈0.65，a ≈84.875－0.65×77.5＝34.5，所以y 与x 的线性回归方程是y ^＝0.65x ＋34.5. 10.解：列出下表：x y ＝∑∑==--101221011010i ii iix xyx yx ＝25510385007.91551055950⨯-⨯⨯-≈0.668. ＝y －x ≈91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回归直线方程为yˆ＝0.668＋54.96.。
最新苏教版高中数学必修三《线性回归方程》课时同步练习及解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修三2.4 线性回归方程课时目标 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程．1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是确定性的关系．2．能用直线方程________近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫______，给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ a ＝.上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ ，a ＝ .一、填空题1．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的为______．(填序号) ①匀速行驶车辆的行驶距离与时间； ②圆半径与圆的面积；③正n 边形的边数与内角度数之和； ④人的年龄与身高．2．下列有关线性回归的说法，不正确的是________．①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x 、y 之间的关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为 ＝60＋90x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1千元时，工资为50元； ②劳动生产率提高1千元时，工资提高150元；③劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元；④劳动生产率为1千元时，工资90元．4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)在实际生活中的回归方程可能是________．①＝－10x＋200；②＝10x＋200；③＝－10x－200；④＝10x－200.5．给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且线性回归方程：y＝a＋bx，经计算知：b＝－1.4，则a＝________.x 45678y 121098 66.线性回归方程表示的直线＝a＋bx必经过点____________．7．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．8．设有一个回归方程＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位．9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的线性回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分．二、解答题10．下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：平均气温(℃)－1410131826数量(百个)202434385064若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求回归方程．11．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程．能力提升12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：温度x(℃)010205070溶解度y 66.776.085.0112.3128.0则由此得到回归直线的斜率约为________．13．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：x(0.01% )104181917714713415191204121y(min)10202118515513517205235125若由数据知y对x呈线性相关关系．(1)求线性回归方程．(2)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？1．线性回归方程＝bx＋a中的系数a，b的计算公式为：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1 (x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2a ＝y －b x其中：b 是回归方程的斜率，a 是截距． 2．回归方程的求解过程 计算x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i ⇓计算b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x⇓3．在回归方程 ＝bx ＋a 中，当回归系数b >0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时y 就增加b 个单位；当b <0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时，y 就减少b 个单位．2．4 线性回归方程知识梳理2. ＝bx ＋a 线性回归方程 n ∑ni ＝1x i y i －(∑ni ＝1x i )(∑ni ＝1y i )n ∑ni ＝1x 2i －(∑ni ＝1x i )2y －b x∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2y －b x作业设计 1．④解析 人的年龄与身高具有相关关系． 2．④解析 只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到回归直线． 3．③解析 因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为 ＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时， 2－ 1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90. 4．①解析 ∵在实际生活中，当销售价格提高时，商品销售量一般要降低，∴排除②、④，又∵③中x>0时 <0不合题意，∴③错． 5．17.4 解析x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ＝y －b x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4. 6．(x ，y )解析 由a ＝y －b x 得y ＝b x ＋a ， 即点(x ，y )适合方程 ＝a ＋bx. 7．87.5%解析 设该地区人均工资收入为y ， 则y ＝0.7x ＋2.1，当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 8．减少2.5解析′＝3－2.5(x＋1)＝3－2.5x－2.5＝－2.5，因此，y的值平均减少2.5个单位．9．20解析令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，所以| 1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.10．解x＝706＝353，y＝2306＝1153，∑6i＝1x2i＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，∑6i＝1x i y i＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b＝∑6i＝1x i y i－6x y∑6 i＝1x2i－6x2＝3 474－6×353×11531 286－6×(353)2≈1.68，a＝y－b x≈18.73，即所求的回归方程为＝1.68x＋18.73.11．解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．列表，计算i 1 2 3 4 5x i80 75 70 65 60y i70 66 68 64 62x i y i 56004950476041603720x2i 64005625490042253600x＝70，y＝66，∑5i＝1x2i＝24 750，∑5i＝1x i y i＝23 190设所求回归方程为＝bx＋a，则由上表可得b＝∑5i＝1x i y i－5x y∑5 i＝1x2i－5x2＝90250＝0.36，a ＝y －b x ＝40.8.∴所求回归方程为 ＝0.36x ＋40.8. 12．0.880 9 解析x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x 2i ＝7 900，∑5i ＝1x i y i ＝17 035，所以回归直线的斜率b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.13．解 (1)列出下表，并用科学计算器进行计算： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y i 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 x i y i10400360003990032745227851809025500391554794015 125x ＝159.8，y ＝172，∑10i ＝1x 2i ＝265 448，∑10i ＝1y 2i ＝312 350，∑10i ＝1x i y i ＝287 640 设所求线性回归方程为 ＝bx ＋a ，b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x2≈1.27，a ＝y －b x ≈－30.95.即所求的线性回归方程为 ＝1.27x －30.95.(2)当x ＝160时， ＝1.27×160－30.95≈172(min )，即大约冶炼172 min .。
苏教版数学高一必修三 作业 2.4线性回归方程
一、填空题 1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；[]④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是________． 解析：②⑤为确定关系不是相关关系． 答案：①③④2．已知x ，y 之间的一组数据为：x 0 1 2 3 y1357则回归直线y ^＝bx ＋a 必过点________．解析：x ＝32，y ＝4，∴y ^＝bx ＋a 必过点(32，4)．答案：(32，4)3．已知某工厂在2011年每月产品的总成本y (万元)与月产量x (万件)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝1.215x ＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加________万元．解析：由y ^1＝1.215x 1＋0.974， y ^2＝1.215(x 1＋4)＋0.974， 得y ^2－y ^1＝1.215×4＝4.86(万元)． 答案：4.864．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用(千元) 1 4 6 10 14 销售额(千元)1944405253销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元． 解析：x ＝7，y ＝41.6，则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)． 答案：155．(2011·广东汕头模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：×103 kJ)几组对应的数据：x 3 4 5 6 y2.5t44.5y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________．解析：由y ＝0.7x ＋0.35，得2.5＋t ＋4＋4.54＝0.7×3＋4＋5＋64＋0.35，故11＋t 4＝3.5，即t ＝3.答案：3 二、解答题6．下表是某地降雨量与年平均气温．判断两者是否具有相关关系，求线性回归方程是否有意义. 年平均气温(℃) 12.51 12.71 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 年降雨量(mm)748750507813574701432解：以x 表示年平均气温，y 表示年降雨量，可得如下图所示的散点图．因为上图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合，所以即使用公式求得线性回归方程也是没有意义的． 7．某人今年1月份加盟了一个食品连锁店，下表为近5个月的营业额：月 份 2 3 45 6 营业额(万元)1012131416解：x ＝4，y ＝13，∑i ＝15x i y i ＝274，∑i ＝15x 2i ＝90.∴b ＝∑i ＝15x i y i －5 x y∑i ＝15x 2i －5 x 2＝274－5×4×1390－5×42＝75，∴a ＝y －b x ＝13－75×4＝7.4，∴y ^＝1.4x ＋7.4. 当x ＝7时，y ^＝17.2.即今年7月份的营业额约17.2万元．8．一台机器由于使用时间较长，但还可以用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果.转速x /(rad/s)16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y /件11985(1)画出散点图；(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 解：(1)画出散点图，如图．(2)x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6，a ＝y －b x ≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 所以线性回归方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. (3)要使y ^≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10， x ≤14.901 9.所以机器的转速应控制在15 rad/s 以下．。
2018-2019苏教版高中数学苏教版必修三学案：第二单元 2.4 线性回归方程 -含答案
学习目标 1. 了解相关关系、线性相关的概念；2.会根据散点图判断数据是否具有相关关系；3.会求线性回归方程，并能根据线性回归方程做出合理判断．知识点一相关关系思考数学成绩y与学习数学所用时间t之间的关系，能否用函数关系刻画？梳理相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种变量之间__________的联系，但不是__________的关系．知识点二散点图1．散点图：将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．2．利用散点图可以大致确定两个变量是不是有相关关系，以及相关性强弱．知识点三最小平方法及线性回归方程思考1若散点大致分布在一条直线附近，如何确定这条直线比较合理？思考2任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？梳理线性回归方程：能用直线方程________________近似表示的相关关系叫做____________关系，该方程叫________________．最小平方法是一种求回归直线的方法，用这种方法求得的回归直线能使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，用最小平方法求得线性回归方程的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ ，a ＝ .上式还可以表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝＝ ，a ＝ .类型一 变量之间相关关系的判断例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ (1)正方形边长与面积之间的关系； (2)作文水平与课外阅读量之间的关系； (3)人的身高与年龄之间的关系； (4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．反思与感悟 如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么． 跟踪训练1 有下列关系：①老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是________．(填序号) 类型二 散点图及应用例2 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：画出散点图，分析年龄与人体脂肪含量的关系．反思与感悟画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或过小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．相关关系的散点图不一定分布在一条直线附近，也可能是曲线．跟踪训练2下表为我国在公元1000年到2000年间的人口数量．(1)试画出散点图；(2)年份与人口是相关关系吗？如果是，是正相关还是负相关？你觉得用什么函数模型模拟效果比较好？反思与感悟函数关系与相关关系之间有密切联系，可以用函数关系来模拟相关关系，也可借助散点图来发现两变量之间的函数关系，在一定条件下，两种关系还可相互转化．类型三线性回归方程的求法及应用例3下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系．如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．反思与感悟对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，若。
数学必修3自主练习 ：2.4线性回归方程 含解析 精品
自主广场我夯基 我达标1．相关关系与函数关系的区别是_________.思路解析:考查函数关系和相关关系的含义.答案:函数关系是两个变量之间有完全确定的关系，而相关关系是两个变量之间并没有严格的确定关系，当一个变量变化时，另一变量的取值有一定的随机性 2．线性回归方程y=bx+a 过定点__________.思路解析:考查线性回归方程的意义，及点与直线的位置关系的判断.由线性回归直线方程的推导过程不难发现直线恒过定点（x ，y ）.答案:（x ，y ）3．工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ˆ=50+80x ，下列判断正确的是( ) A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，工资大约提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，工资提高大约130元D ．当月工资250元时，劳动生产率为2 000元思路解析:考查了直线斜率的实际意义，即k=．x x y y xy1212∆∆==--横坐标的增量纵坐标的增量答案: B4．设有一个直线回归方程为yˆ=2-1．5x ，则变量x 增加一个单位( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位思路解析:考查了直线斜率的实际意义，即k=．x x y y xy1212∆∆==--横坐标的增量纵坐标的增量答案: C5．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )A ．角度和它的余弦值B ．正方形边长和面积C ．正n 边形的边数和它的内角和D ．人的年龄和身高思路解析:本题主要考查相关关系的概念.由函数的定义可知A 、B 、C 三项中的两个变量间的关系均为函数关系，故答案为D.答案: D 6．已知样本容量为11，计算得∑=111i ix=510，∑=111i iy=214，∑=1112i ix=36 750，∑=1112i iy=5422,∑=111i ii yx =13 910，则y 对x 的回归方程为__________.思路解析:考查线性回归方程的求法.在回归方程中b=． x b ，x x n y x y x n ni i n i i ni i n i i n i i i -=--∑∑∑∑∑=====y a )())((2112111答案:y=5.34+0.3x7．部分国家13岁学生数学测验平均分数见下表.试作出该数据的散点图,并由图判断是否存在回归直线.若有，试求出直线方程.思路解析:考查了用回归直线方程进行拟合的一般步骤.用回归直线方程进行拟合的一般步骤为:作出散点图;判断散点是不是在一条直线的附近；若散点在一条直线的附近，利用公式求出回归直线方程.答案:(图略)存在回归直线方程,回归直线方程是y=0.313 3x+0.900 1.我综合 我发展8．一个工厂在某年每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间的一组数据如下:试作出该数据的散点图，并求总成本y 与月产量x 之间的回归直线方程. 思路解析:考查了回归直线方程的求法. 答案:(图略)回归直线方程是y ˆ=1.215x +0.974.9．对于线性相关系数r ，叙述正确的是( )A ．|r|∈(0,+∞)，|r|越大，相关程度越大；反之，相关程度越小B ．r ∈(-∞,+∞)，r 越大，相关程度越大；反之，相关程度越小C ．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小D ．以上说法都不对思路解析:考查了线性相关程度的判断方法.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小.答案: C我创新 我超越10．改革开放以来，我国高等教育事业有了迅速发展.这里我们得到了某省从1990～2000年18～24岁的青年人每年考入大学的百分比，我们把农村、乡镇和城市分开统计.为了便于计算，把1990年编号为0，1991年编号为1，…,2000年编号为10．如果把每年考入大学的百分比作为因变量，把年份从0到10作为自变量进行回归分析，可得到下面三条回归直线:城市yˆ=9.50+2.84x,乡镇yˆ=6.76+2.32x,农村yˆ=1.80+0.42x.(1)在同一坐标系内作出三条回归直线.(2)对于农村青年来讲，系数等于0.42意味着什么?(3)在这一阶段，三个组哪一个的大学入学率年增长最快?(4)请查阅我国人口分布的有关资料，选择一个在高等教育发展上有代表性的省，以这个省的大学入学率作为样本，说明我国在1991～2000年10年间大学入学率的总体发展情况.思路解析:考查了直线方程的画法，直线斜率的实际意义及解决问题和分析问题的能力.答案:(1)图略.(2)对于农村青年来讲，系数等于0.42意味着考入大学的百分比增长较慢.(3)城市组.(4)略.。
高一数学 (人教版必修3)：第四章 线性回归方程 Word版含解析.doc
重点列表：重点 名称重要指数 重点1 相关关系的判断 ★★★★ 重点2 线性回归方程有关概念 ★★★ 重点3散点图★★★★重点详解：1．变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________．(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________.※ (3)相关系数r ＝∑∑∑===----nj jn i ini iiy yx x y y x x 12121)()())((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝∑=--ni i ix y12)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，.(2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,)())((ˆ1221121x b y axn xy x n yx x x y y x x b ni ini ii n i i ni i i【答案】1．相关关系 非确定性2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法重点1：相关关系的判断 【要点解读】在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系【例题】下列变量之间的关系不是．．相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量解：由函数关系和相关关系的定义可知，A中Δ＝b2－4ac，因为a，c是已知常数，b为自变量，所以给定一个b的值，就有唯一确定的Δ与之对应，所以Δ与b之间是一种确定的关系，是函数关系．B，C，D中两个变量之间的关系都是相关关系．故选A.【评析】要注意函数关系与相关关系的区别：函数关系是确定性关系，而相关关系是随机的、不确定的．重点2：线性回归方程有关概念【要点解读】样本中心点一定在回归直线上【考向1】样本中心点【例题】为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得到的试验数据中，变量x的平均值都等于s，变量y的平均值都等于t，那么下列说法正确的是( ) A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．必有直线l1∥l2D．直线l1和l2必定重合【评析】回归方程一定通过样本点的中心(，y)；中心相同的样本点的回归方程不一定相同．【考向2】线性回归直线的理解【例题】由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到回归直线方程ax byˆˆˆ+=，那么下面说法错误．．的是( )A．直线ax byˆˆˆ+=必经过点(，y)B．直线ax byˆˆˆ+=至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点C．直线ax byˆˆˆ+=的斜率＝∑∑==--niiniiix nxy x nyx1221D ．直线a x b y ˆˆˆ+=和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑=+-ni ii a x b y 12)]ˆˆ([是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的重点3：散点图 【要点解读】根据散点图可以直观判断正负相关以及数据所对应的函数模型 【考向1】正相关与负相关【例题】(1)对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )图1图2A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，故选C.【评析】点分布在从左下角到右上角的区域时，两个变量的相关关系为正相关；点分布在从左上角到右下角的区域时，两个变量的相关关系为负相关．(2)下面是一块田的水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：kg)： 施化肥量15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (Ⅰ)将上述数据制成散点图；(Ⅱ)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 解：(Ⅰ)散点图如下：(Ⅱ)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长，不会一直随化肥施用量的增加而增长．【评析】任何一组数据(二元数据)都可以作出散点图，散点图可以直观地观察两个变量间的关系．【考向2】散点图的画法及相关关系识别【例题】(1)从左至右，观察下列三个散点图，变量x与y的关系依次为________(正相关记作①；负相关记作②；不相关记作③)．(2)科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据(单位分别是mm，℃)，并作了统计：年平均气温12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05年降748 542 507 813 574 701 432雨量(Ⅰ)试画出散点图；(Ⅱ)判断两个变量是否具有线性相关关系．解：(Ⅰ)作出散点图如图所示．(Ⅱ)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量不具有线性相关关系．难点列表：求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；(2)求系数b ^：公式有两种形式，b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2＝∑n i ＝1x i y i －nx － y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，根据题目具体情况灵活选用；(3)求a ^：a ^＝y －－b ^x －； (4)写出回归直线方程．说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求b ^.难点1：求回归方程及用回归方程进行估计 【要点解读】(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．(2)根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值．(3)用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量大，计算时应仔细小心，分层进行(最好列出表格)，避免因计算而产生错误． 【考向1】求线性回归方程【例题】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)散点图如下：(2)由系数公式可知，＝4.5，y＝3.5，＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以线性回归方程为yˆ＝0.7x＋0.35.(3)x＝100时，yˆ＝0.7x＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．【评析】牢记求线性回归方程的步骤：(1)列表；(2)计算，y，∑=niiiyx1，∑=niix12;(3)代入公式求，再利用xbyaˆˆ-=求，（4）写出回归方程.【考向2】利用线性回归方程进行预测【例题】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得∑=101iix=80, ∑=101iiy=20,∑=101iiiyx=184,∑=1012iix=720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝∑∑==--niiniiix nxy x nyx1221，xbya-=，其中，y为样本平均值，线性回归方程也可写为y^＝b^x＋a^.解：(1)由题意知n＝10，＝1n ∑=ni ix 1＝8010＝8， y ＝1n ∑=ni i y 1＝2010＝2，又∑=ni ix12- n 2 =720 -10×82=80，∑=ni ii y x 1-n y x ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝2480＝0.3，a ＝y －b ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 难点2：非线性相关转化为线性相关 【要点解读】通过观察散点图，分析其函数模型，然后转化成线性相关 【考向1】非线性相关转化为线性相关【例题】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋β u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝解题指导] 切入点：回归分析中对散点图的理解，回归方程的求法和应用；关键点：通过换元把非线性回归方程转化为线性回归方程求解．解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．c ^＝y －d^ w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．【趁热打铁】1．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( ) A ．点分布在从左下角到右上角的区域B ．散点图在某方形区域内C ．散点图在某圆形区域内D ．点分布在从左上角到右下角的区域2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线通过近似表示两者关系来估计总体的均值C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系 3．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线把非确定性问题转化为确定性问题进行研究． 其中正确的命题为( )A ．①③④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 35．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x 10 20 30 40 50 加工时间y (min)62&758189A ．67B ．68C ．69D ．706．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 17．某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，得到售价x (元)和销售量y (件)之间的一组数据如下表：yˆ＝－3.2x ＋a ，则a ＝______．8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.9．假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料：已知∑=512i ix=90，∑=51i ii y x ＝112.3.(1)求，y ；(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求出线性回归方程； (3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？10．某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，应选男女生各多少人； (2)随机抽取8位同学的数学、物理分数对应如表：性相关性，求出线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由．第四章1解：正确的只有D选项．故选D.2解：任两个变量均可作出散点图，从散点图上看有相关关系的才具有分析的价值，无相关关系的则作不出什么结论．故选C.4解：由相关系数定义及散点图所表达含义可知r2<r4<0<r3<r1，故选A.5解：＝15×(10＋20＋30＋40＋50)＝30，由于y^＝0.67x＋54.9必过点(，y)，∴y＝0.67×30＋54.9＝75，因此图表中的模糊数据为75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.故选B.6解：对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，故r2＜0＜r1.故选C.7解：价格的平均数＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数y＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由yˆ＝－3.2x＋a知b＝－3.2，所以a＝y－b＝8＋3.2×10＝40.故填40.8解：根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的身高的对应数据可列表如下：父亲的身高(x) 173 170 176儿子的身高(y) 170 176 182＝173，y＝176，∴＝∑∑==---3121)())((iiiiixxyyxx＝3×6（－3）2＋32＝1，＝y－＝176－173＝3.∴回归直线方程为yˆ＝x＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．故填185.10解：(1)按性别比例分层抽样，应选男生15×840＝3(人)，选女生25×840＝5(人)．(2)以数学成绩x 为横坐标，物理成绩y 为纵坐标作散点图如图所示．从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩线性正相关．设y 与x 的线性回归方程是yˆ＝bx ＋a ，根据所给的数据，可以计算出≈0.65，≈34.5， 所以y 与x 的回归方程是yˆ＝0.65x ＋34.5.。
数学必修3知识导引 2.4线性回归方程 含解析 精品
6.4线性回归方程案例探究在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢？分析：凭我们的学习经验可知，物理成绩确实与数学成绩有一定的关系，但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素.例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等.在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.例如，圆的面积S与半径r 之间就是确定性函数关系，可以用函数S=πr2表示.一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.例如，人的体重与身高有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.自学导引1．在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性关系，另一类是相关关系.2．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.3．请你说出确定性关系与相关关系的相同点和不同点.答案：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：相关关系是一种非确定的关系.确定性关系是自变量与函数值之间的关系，可以用一个函数表示.这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.这种关系不能用一个确定的函数来表示.4．你是否还能举出一些现实生活中存在的相关关系的问题？答案：例如，商品销售收入与广告支出经费之间的关系；粮食产量与施肥量之间的关系；人体的脂肪含量与年龄之间的关系，等等.5．将n个数据点（x i,y i）（i=1,2,…,n）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.6．（1）当两个变量成正相关时，散点图有什么特点？（2）当两个变量成负相关时，散点图又有什么特点？答案：（1）散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域.（2）散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.7．对于散点图可以作出如下判断：（1）当所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系；（2）当所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间具有相关关系；（3）当所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间具有线性相关关系.8．回归直线是怎样定义的？答案：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.疑难剖析【例1】 下表是某地年降雨量与年平均气温的统计数据，判断两变量有相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？思路分析：用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为： （1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，以公式求出a, b ，并写出线性回归方程.解：以x 轴为年平均气温，y 轴为年降雨量可得相应的散点图：因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没有必要用回归直线进行拟合，用公式求得的回归方程也是没有意义的.思维启示：要判断两个变量是否具有线性相关关系，可先作出散点图，再观察散点是否在一条直线附近，如果是，则二者具有线性相关关系；否则，二者不具有线性相关关系. 思维陷阱：解此题的第（2）小问时不要盲目地去求回归方程.观察两相关变量得如下数据：求两变量间的回归方程.错解:求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表x i ,y i ,x i y i ； 第二步：计算x ,y，∑=ni ix12，∑=ni iy12，∑=ni ii yx 1；第三步：代入公式计算b, a 的值； 第四步：写出回归直线方程.列表：计算得：x =0, y =0∑=1012i ix=110,∑=1012i iy=310,∑=101i ii yx =110∴b=1010110010110)(101021012101=*-*-=--∑∑==x x yx yx i i i iia=y -b x =0-1*0=0故所求回归直线方程为yˆ=x. 正解：作两个变量的散点图（图略），从散点图中看出，点不在某条直线附近，分散得很开.因此，变量x 和y 不具有线性相关关系，也就不存在线性回归方程.【例2】 某班学生每周用于数学学习的时间x （单位：h ）与数学成绩y （单位：分）之间有如下数据：某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该生数学成绩. 思路分析：首先应该利用表中数据通过计算去判断数学学习的时间x 与数学成绩y 是否具有线性相关关系.若有，则可求出回归方程；然后在方程中令x=18，可求出该生数学成绩.解：因为学习时间与学习成绩之间具有线性相关关系.利用科学计算器计算到如下表所示的数据：于是可得b=53.34.1544.545)(101021012101≈=--∑∑==x xyx yx i ii iia=y -b x =74.9-3．53×17.4≈13.5 故所求回归直线方程为y=3.53x+13.5当x=18时，yˆ=3.53×18+13.5=77.04≈77 故该同学预计可得77分左右.思维启示：两个有线性相关关系的变量间的关系可以用线性回归方程来表示，而对总体的预测可依据回归直线方程进行.【例3】 一般说，一个人的身高越高，他的手就越大.为了调查这一问题，对10名高三男生的身高与右手一揸长测量得如下数据：（单位：cm ）（1）依据上述数据制作散点图，发现两者有何相关关系吗？ （2）如果近似成线性关系，求线性回归方程.（3）如果一个学生身高185 cm ，估计他的右手一揸长.思路分析：首先作出散点图；利用散点图去判断两变量是否具有线性关系；若具有线性关系，再利用公式求出方程；最后利用方程去解答第三小问.解：（1）散点图如下：可见，身高与右手一揸长之间的总体趋势成一条直线，即他们线性相关.（2）设线性回归方程为yˆ=bx+a 由上述数据计算可得x =174.8, y =21.7∑=1012i ix=305 730,∑=101i ii yx =37 986∴b=21012101)(1010x xyx yx i ii ii--∑∑===303.08.174107303057.218.17410986372≈⨯-⨯⨯- a=y -b x =-31.264∴方程为yˆ=0.303x-31.264. （3）当x=185时, yˆ=24.79. 思维启示:先作出散点图，若两变量具有线性关系，再利用公式求出方程.拓展迁移【拓展点1】 如果你想作一个反对抽烟的电视公益广告的播放次数与看电视的中学生戒烟率的数据散点图，作为x 轴的变量为__________. 答案：播放次数【拓展点2】 有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第一列表示此种食品所含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价.（1）求出回归直线方程；（2）关于两个变量之间的关系，得出的结论是什么？答案：（1） yˆ=1.565x+37.827 （2）由回归方程知道，食品所含热量越大，口味记录越好，反之亦然.【拓展点3】 某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克/升）与消光系数如下表：（1）作出散点图；（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归方程；（3）估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数.答案：（1）散点图略.（2）由散点图可知y与x线性相关.设回归方程为yˆ=bx+A．计算可得回归方程为yˆ=36.95x-11.3．（3）当x=9时，yˆ=36.95×9-11.3=321.25≈321。
2019-2020学年度最新高中数学必修三练习：2-4线性回归方程(一) Word版含答案
2019-2020学年度最新高中数学必修三练习：2-4线性回归方程（一） Word 版含答案 【新知导读】1.下列两个变量之间的关系中，哪个不是函数关系 ( ) A ．角度和它的余弦值 B ．正方形边长和面积 C ．正n 边形的边数和其内角和 D ．人的年龄和身高2．回归直线方程y bx a ∧=+中的y ∧是预测值，与实际中的y 关系为 ( ) A ．y y ∧-越小，说明回归偏差越小 B ．y y ∧-越大，说明回归偏差越小 C ．y y ∧-越小，说明回归偏差越小D ．y y ∧-越小，说明回归偏差越小3．回归直线方程的系数a ，b 的最小二乘法估计中，使函数(,)Q a b 最小，Q 函数指( )A ．21()niii y a bx =--∑ B ．1niii y a bx=--∑C ．2()i i y a bx -- D ．i i y a bx --【范例点睛】例1．以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋的大小x 的数据：(3)计算此时(,)Q a b 和(2,0.2)Q 的值，并作比较． 【课外链接】1．假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的．若10个学生初一()x 和初二()y 数学分数如下：【随堂演练】1．下列说法错误的是（ ）A ．如果变量η和ξ之间存在线性相关关系，那么根据它们的一组数据得到一列点(,)i i x y (1,2,3,...,i n =)将散步在某一直线的附近B ．如果变量η和ξ之间不存在线性相关关系，那么根据它们的一组数据(,)i i x y (1,2,3,...,i n =)不能写出一个线性方程C ．设x ，y 是具有线性相关关系的两个变量，且x 关于y 的线性回归方程为y bx a ∧=+，其中,a b 叫做回归系数D ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性的关系，则因变量不能由自变量唯一确定 2．三点(3,10)，（7,20），（11,24）的线性回归方程是 ( ) A ． 5.75 1.75y x ∧=- B ． 1.75 5.75y x ∧=+ C ． 1.75 5.75y x ∧=- D ． 5.75 1.75y x ∧=+ 3．已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过 ( )A ．(2,2)点B ．(1.5,0)点C ．(1,2)点D ．(1.5,4)点4．设有一个回归方程为32y x ∧=+，变量x 增加一个单位时，则y 平均增加______个单位．5．已知线性回归方程为0.500.81y x ∧=-，则25x =时，y 的估计值为_____________． 6．某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病人数的线性回归分析如下表表示：如不加控制，仍按这个趋势发展下去，请预测从2006年初到2009年底的四年时间里，该地区这种病的新发病总人数为_______________．7．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型1：64y x =+；模型2：64y x δ=++． (1) 如果3x =，1δ=，分别求两个模型中的y 值； (2) 分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机性模型．8．在10年期间，某城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系如下表所示：(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线附近，求y与x间的线性回归方程．9．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元)，有如下统计资料：设y 对x 呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程y bx a ∧=+的回归系数a ，b ； (2)估计使用年限为10年，维修费用是多少？10．在钢线含量对于电阻的效应的研究中，得到以下的数据：(1)画出散点图(2)求线性回归方程．2.4线性回归方程（一） 【新知导读】 1．D 2．C 3．A 【范例点睛】 例1．(1)(2)5n =，51545ii x==∑，109x =，51116i i y ==∑，23.2y =，55160952i i x ==∑，5112592i i i x y ==∑，25129525451160.1962560952545b ⨯-⨯=≈⨯-，23.20.1962109 1.8166a =-⨯≈， ∴线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+；(3)(1.8166,0.1962) 5.1771Q ≈，(2,0.2)7.0Q ≈，由此可知，求得的 1.8166a =，0.1962b =是使函数(,)Q a b 取最小值的a ，b 值． 【课外链接】 解：71x =,52150520ii x==∑,72.3y =,10151467i ii x y==∑,所以210514677107231.21821050520710b ⨯-⨯=≈⨯-，72.3 1.21827114.912a =-⨯=-，所以回归直线方程为1.218214.192y x ∧=-．【随堂演练】1. B2. D3.B4. 35. 11.696.139497.解：(1)模型1：6464318y x =+=+⨯=；模型2：64643119y x δ=++=+⨯+=． (2)模型1中相同的x 值一定得到相同的y 值，所以是确定性模型；模型2中相同的x 值，因δ的不同，所得y 值不一定相同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型． 8. 解：(1)(2)由题意：37.97x =，39.1y =；102114633.67ii x==∑，10115202.9i ii x y==∑，于是1011022211015202.91037.9739.11.44714663.671037.9710i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，39.1 1.447a y bx =-=-⨯37.9715.843≈-．所以所求线性回归方程为 1.44715.843y bx a x ∧=+=-．9．解：(1)4x =,5y =，52190i i x ==∑，51112.3i i i x y ==∑，于是回归系数2112.35459054b -⨯⨯=-⨯ 1.23=，5 1.2340.08a y bx =-=-⨯=；(2)线性回归方程是 1.230.08y x ∧=+，当10x =年时，1.23100.0812.38y ∧=⨯+=(万)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．10．解：(1)(2)可求得13.958412.5503y x ∧=+。
高中数学知识点：线性回归方程(K12教育文档)
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高中数学知识点：线性回归方程1.回归直线方程（1)回归直线：观察散点图的特征，发现各个大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
求出的回归直线方程简称回归方程。
2．回归直线方程的求法设与n 个观测点(,i i x y ）()1,2,,i n =⋅⋅⋅最接近的直线方程为,y bx a =+,其中a 、b 是待定系数。
则,(1,2,,)i i y bx a i n =+= .于是得到各个偏差(),(1,2,,)i i i i y y y bx a i n -=-+=. 显见，偏差i i y y -的符号有正有负,若将它们相加会造成相互抵消,所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和。
2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度.记21()n i i i Q y bx a ==--∑.上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值.即1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑， ∑==n i i x n x 11,∑==n i i y n y 11 相应的直线叫做回归直线,对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析上述求回归直线的方法是使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。
苏教版高中数学必修三：2.4《线性回归方程》测试.docx
高中苏教数学③2.4线性回归方程测试题一、选择题1．下列关系属于线性负相关的是（ ） Ａ．父母的身高与子女身高的关系 Ｂ．身高与手长Ｃ．吸烟与健康的关系Ｄ．数学成绩与物理成绩的关系答案：Ｃ2．由一组数据1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，得到的回归直线方程$y bx a =+，那么下面说法不正确的是（ ）Ａ．直线$y bx a =+必经过点()x y ， Ｂ．直线$y bx a =+至少经过点1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，中的一个点Ｃ．直线$y bx a =+a 的斜率为1221ni ii nii x ynx yxnx==--∑∑ Ｄ．直线$y bx a =+和各点1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，的总离差平方和21[()]ni i i y bx a =-+∑是该坐标平面上所有直线与这些点的离差平方和中最小的直线答案：Ｂ3．实验测得四组()x y ，的值为(12)(23)(34)(45)，，，，，，，，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ） Ａ．$1y x =+ Ｂ．$2y x =+ Ｃ．$21y x =+Ｄ．$1y x =-答案：Ａ4．为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别是s t ，，那么下列说法正确的是（ ） Ａ．直线1l 和2l 一定有公共点()s t ，Ｂ．直线1l 和2l 相交，但交点不一定是()s t ， Ｃ．必有直线12l l ∥ Ｄ．1l 和2l 必定重合答案：Ａ二、填空题5．有下列关系：（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系 （2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系 （3）苹果的产量与气候之间的关系（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系 （5）学生与他（她）的学号之间的关系 其中，具有相关关系的是 ．答案：（1）（3）（4）6．对具有相关关系的两个变量进行的方法叫做回归分析．用直角坐标系中的坐标分别表示具有 的两个变量，将数据表中的各对数据在直角坐标系中描点得到的表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做 ．答案：统计分析；相关关系；散点图7．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数、方差分别为2x s ，，则新数据的平均数是 ，方差是 ，标准差是 ．答案： 3.1x -；2s ；s8．已知回归直线方程为$4.4838.19y x =+，则可估计x 与y 增长速度之比约为 ．答案：522三、解答题9．某商店统计了近6个月某商品的进价x 与售价y （单位：元）的对应数据如下：x 3 5 2 8 9 12y4 6 3 9 12 14求y 对x 的回归直线方程． 解：3528912 6.56x +++++==∵，4639121486y +++++==，621327ii x==∑，61396i i i x y ==∑，6162216 1.1436i ii ii x yxy b xx==-=≈-∑∑∴，0.571a y bx =-=，∴回归直线方程为$1.1430.571y x =+．10．已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：x 45 42 4648 42 y6.53 6.30 9.257.580 6.99 x35 58 40 39 50 y5.909.496.206.557.72x （血球体积，ml ），y （红血球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出y 对x 的回归直线方程并且画出图形 ． 解：（1）见下图（2）1(45424648423558403950)44.510x =+++++++++=， 1(6.53 6.309.257.50 6.99 5.909.49 6.20 6.557.72)7.24310y =+++++++++= 102120183ii x==∑，1013283.9i i i x y ==∑，设回归直线方程为$y bx a =+， 则12210.1597ni ii nii x ynx y b xnx==-=≈-∑∑，0.1364a y bx =-=．图形如下：11．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克/升）与消光系数如下表： 尿汞含量x ：2 4 6 8 10 消光系数:y 64 134 205 285 360（1）画出散点图；（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）估计尿汞含量为9毫克/升时的消光系数． 解： （1）（2）由散点图可知y 与x 线性相关，设回归直线方程为$y bx a =+．列表： i1 2 3 4 5 i x 2 4 6 8 10 i y 64 134 205 285 360 i i x y1285361230228036006x = 209.6y =521220ii x==∑ 517774i i i x y ==∑2777456209.637.1522056b -⨯⨯==-⨯∴，209.637.15613.3a =-⨯=-∴．∴回归直线方程为$37.1513.3y x =-． （3）当9x =时，$37.15913.3321.05y =⨯-=．。
新高中数学苏教版必修三同步练习：2.4 线性回归方程(含答案解析)
数学·必修3(苏教版)第二章统计 2．4 线性回归方程基础巩固1．下列关系中，是相关关系的有( ) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④解析：根据变量相关关系的定义，可知学生学习态度与学习成绩之间是相关关系．教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系．而身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．答案：A2．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0C.12D ．1答案：D3．观察下列变量x ，y 的散点图：如图所示的两个变量具有相关关系的是( ) A ．(2)(3) B ．(1)(2) C ．(2)(4)D ．(3)(4)解析：(1)不具有相关关系；(2)具有线性相关关系；(3)是函数表示；(4)是非线性相关关系，选C.答案：C4．在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求的回归方程作出解释；②收集数据(x i ，y i )(i ＝1， 2，…，n)；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x ，y 具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是( )A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①解析：根据线性回归分析的思想，可以对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回复方程作出解释，因此选D.答案：D5．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．由表中数据，得回归直线方程y ＝b x ＋a ，若b ＝－2，则a ＝________． 解析：∵x －＝18＋13＋10－14＝10，y －＝24＋34＋38＋644＝40，∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. 答案：606．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y^＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是________．①直线y^＝bx ＋a 必经过点(x ，y)；②直线y^＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；③直线y^＝bx ＋a的斜率为Σni ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x 2i －nx 2；④直线y^＝bx ＋a 与各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的总偏差Σn i ＝1[y i －(bx i ＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．解析：回归直线一定过点(x ，y)，但不一定要过样本点． 答案：②7．某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：(1)(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归线直线方程； (3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数． 解析：(1)见下图．(2)由散点图可知y 与x 线性相关．设回归直线方程y^＝bx ＋a ，列表：∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝1 47840＝36.95.∴a ＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴回归方程为y^＝36.95x －11.3.(3)当x ＝9时，y^＝36.95×9－11.3＝321.25≈321. 即估计原汞含量为9毫克/升时消光系数约为321. 能力升级8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：儿子和父亲的身高列表如下：设回归直线方程y ^＝a ＋bx ，由表中的三组数据可求得b ＝1，故a ＝y －bx ＝176－173＝3，故回归直线方程为y ^＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：1859．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：解析：∵a ＝y －－b x －，而由表中数据可求得x －＝11，y －＝22，∴a ＝22－11b. 答案：22－11b10．炼钢是一个氧化降碳的一个过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测的炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据如下表所示：(2)若x 与y 线性相关，求回归直线方程：(3)预测当钢水含碳量为160(0.01%)时，应冶炼多少分钟？解析：(1)以x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作数点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即x 与y 线性相关．(2)设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a.∵x －＝159.8，y －＝172，x i y i =287 640.x i 2=265 448, ∵b=≈1.267，a ＝y －－b x －≈－30.47.故所求的回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47.(3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.47＝172.25≈173.即大约要冶炼173分钟． 11．1971年至1980年，某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如下表：求y 对x 解析：b ＝Σi ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x i 2－nx 2＝15 202.9－10×37.97×39.114 663.67－10×37.972≈1.447.a ＝y －bx ＝39.1－1.447×37.97≈－15.842 6. 所以y 对x 的回归直线方程为：y^＝1.45x －15.84. 12．某5名学生的数学和化学成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程． 解析：(1)散点图为：(2)b ＝Σn i ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x i 2－nx 2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.624 869，a ＝y －bx ＝67.8－0.624 869×73.2≈22.059 6. 所以y 对x 的回归直线方程为y^＝0.62x ＋22.06.13．某城市预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ； (3)据此估计2015年该城市人口的总数．(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30) 解析：(1)据表画出数据的散点图如下图所示．(2)由表可知x －＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2， y －＝15(5＋7＋8＋11＋19)＝10.∴b ＝a=y －-b x －=3614．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对应的一组数据：(2)试求腐蚀深度y 与时间t 的回归直线方程． 解析：（1）如下图,(2)经计算可得t ≈46.36，y ≈19.45，＝36 750，＝13 910.b ＝Σ11i ＝1t i y i －11×t yΣ11i ＝1t i 2－11×t 2＝13 910－11×46.36×19.4536 750－11×46.362≈0.3.a＝y－bt＝19.45－0.3×46.36≈5.542.故所求的回归直线方程为y^＝0.3t＋5.542.。
苏教版高中数学必修三：2.4《线性回归方程》测试1.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中苏教数学③2.4线性回归方程测试题一、选择题1．下列关系中，是相关关系的是（）①学生的学习态度与学习成绩之间的关系②教师的教学水平与学生学习成绩之间的关系③学生的身高与学生学习成绩之间的关系④家庭经济条件与学生学习成绩之间的关系Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②③Ｄ．②④答案：Ａ2．变量y与x之间的回归方程表示（）Ａ．y与x之间的函数关系Ｂ．y与x之间的确定性关系Ｃ．y与x之间的真实关系Ｄ．y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合答案：Ｄ3．若x，y具有相关关系，且得到的一组散点大致分布在一条直线的附近，则下列有关线性回归的说法中，不正确的是（）Ａ．具有相关关系的两个变量不是因果关系Ｂ．散点图能直观地反映数据的相关程度Ｃ．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系Ｄ．任一组数据的回归方程都有意义答案：Ｄ4．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为8050y x =+，下列判断正确的是（ ）Ａ．劳动生产率为1000元时，月工资为130元 Ｂ．劳动生产率提高1000元，则月工资提高80元 Ｃ．劳动生产率提高1000元，则月工资提高130元 Ｄ．当月工资为210元时，劳动生产率为2000元 答案：Ｂ5．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（ ） Ａ．都可以分析出两个变量的关系Ｂ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 Ｃ．都可以用确定的表达式表示两者的关系 Ｄ．都可以作出散点图答案：Ｄ6．三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是（ ） Ａ．0.80.1y x =+Ｂ． 1.75 5.75y x =+ Ｃ． 1.75 5.75y x =-+ Ｄ． 1.75 5.75y x =--答案：Ｂ二、填空题7．两变量之间的相关关系是一种 关系． 答案：非确定性8．回归直线方程的意义是 ． 答案：反映了样本整体的变化趋势9．某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合0.80.1y x =+（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为15亿元，则年支出估计是 ．答案：12.1亿元10．由一组观测数据11221010()()()x y x y x y ，，，，，，得174.8x =，21.7y =，1021305730i i x ==∑，10137986i ii x y==∑，则回归直线方程是 ．答案：0.30331.264y x =-三、解答题11．一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下一组对应数据：x1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68y2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.923.03判断它们是否有相关关系．解：x 轴代表该月产量，y 轴代表该月总成本；可得如下散点图：由散点图可见，两者之间具有相关关系．12．一个机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下：(/)1614128()11985x y 转速转秒每小时生产有缺损的零件数件如果y 与x 线性相关，求回归直线方程． 解：设回归方程为y bx a =+，由 i 1 2 3 4 i x 16 14 12 8i y 11 9 8 5 i i x y 176 126 96 4012.5x =，8.25y =，421660i i x ==∑，41438i i i x y ==∑．2438412.58.250.73660412.5b -⨯⨯=≈-⨯∴，8.250.7312.50.875a =-⨯=-．13．以下是在某地的旧房屋的销售价格Y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积（2m ）11511080135105销售价格（万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中画出回归直线； （3）据（2）的结果估计当房屋面积为1502m 时的销售价格． 解：（1）数据对应的散点图如图所示：（2）5111095i i x x ===∑，521()1570i i x x =-=∑，23.2y =，51()()308i i i x x y y =--=∑．设所求回归直线方程为y bx a =+，则51521()()3080.19621570()ii i ii xx y y b xx ==--==≈-∑∑， 23.21090.1962 1.8142a y bx =-=-⨯=，故所求回归直线方程为0.1962 1.8142y x =+， 回归直线如图．（3）据（2），当2150m x =时，销售价格的估计值为：0.1962150 1.814231.2442y =⨯+=（万元）．。
高一数学(必修3)：第四章线性回归方程Word版含解析
重点列表：重点详解：1．变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________．(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________.※ (3)相关系数r ＝∑∑∑===----nj jn i ini iiy yx x y y x x 12121)()())((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝∑=--ni i ix y12)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，.(2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,)())((ˆ1221121x b y axn xy x n yx x x y y x x b ni ini ii n i i ni i i【答案】1．相关关系 非确定性2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法重点1：相关关系的判断 【要点解读】在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系【例题】下列变量之间的关系不是．．相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量解：由函数关系和相关关系的定义可知，A 中Δ＝b 2－4ac ，因为a ，c 是已知常数，b 为自变量，所以给定一个b 的值，就有唯一确定的Δ与之对应，所以Δ与b 之间是一种确定的关系，是函数关系．B ，C ，D 中两个变量之间的关系都是相关关系．故选A .【评析】要注意函数关系与相关关系的区别：函数关系是确定性关系，而相关关系是随机的、不确定的．重点2：线性回归方程有关概念 【要点解读】样本中心点一定在回归直线上 【考向1】样本中心点【例题】为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1，l 2，已知两人得到的试验数据中，变量x 的平均值都等于s ，变量y 的平均值都等于t ，那么下列说法正确的是( ) A ．直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t ) B ．直线l 1和l 2相交，但交点不一定是(s ，t ) C ．必有直线l 1∥l 2 D ．直线l 1和l 2必定重合【评析】回归方程一定通过样本点的中心(，y )；中心相同的样本点的回归方程不一定相同．【考向2】线性回归直线的理解【例题】由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到回归直线方程a x b yˆˆˆ+=，那么下面说法错误．．的是( ) A ．直线a x b yˆˆˆ+=必经过点(，y ) B ．直线a x b yˆˆˆ+=至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点 C ．直线a x b yˆˆˆ+=的斜率＝∑∑==--ni ini ii xn xy x n yx 1221D ．直线a x b y ˆˆˆ+=和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑=+-ni ii a x b y 12)]ˆˆ([是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的重点3：散点图 【要点解读】根据散点图可以直观判断正负相关以及数据所对应的函数模型 【考向1】正相关与负相关【例题】(1)对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )图1图2A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，故选C.【评析】点分布在从左下角到右上角的区域时，两个变量的相关关系为正相关；点分布在从左上角到右下角的区域时，两个变量的相关关系为负相关．(2)下面是一块田的水稻产量与施化肥量的一组观测数据(单位：kg)： 施化肥量15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (Ⅰ)将上述数据制成散点图；(Ⅱ)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 解：(Ⅰ)散点图如下：(Ⅱ)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长，不会一直随化肥施用量的增加而增长．【评析】任何一组数据(二元数据)都可以作出散点图，散点图可以直观地观察两个变量间的关系．【考向2】散点图的画法及相关关系识别【例题】(1)从左至右，观察下列三个散点图，变量x与y的关系依次为________(正相关记作①；负相关记作②；不相关记作③)．(2)科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据(单位分别是mm，℃)，并作了统计：(Ⅰ)试画出散点图；(Ⅱ)判断两个变量是否具有线性相关关系．解：(Ⅰ)作出散点图如图所示．(Ⅱ)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量不具有线性相关关系．难点列表：求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；(2)求系数b ^：公式有两种形式，b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2＝∑n i ＝1x i y i －nx － y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，根据题目具体情况灵活选用；(3)求a ^：a ^＝y －－b ^x －； (4)写出回归直线方程．说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求b ^.难点1：求回归方程及用回归方程进行估计 【要点解读】(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．(2)根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值．(3)用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量大，计算时应仔细小心，分层进行(最好列出表格)，避免因计算而产生错误． 【考向1】求线性回归方程【例题】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)散点图如下：(2)由系数公式可知，＝4.5，y ＝3.5， ＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以线性回归方程为yˆ＝0.7x ＋0.35. (3)x ＝100时，yˆ＝0.7x ＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．【评析】牢记求线性回归方程的步骤：(1)列表；(2)计算，y ，∑=ni i i y x 1，∑=ni i x 12;(3)代入公式求，再利用x b y aˆˆ-=求，（4）写出回归方程. 【考向2】利用线性回归方程进行预测【例题】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，算得∑=101i ix=80,∑=101i iy=20,∑=101i ii y x =184,∑=1012i ix=720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑∑==--ni ini ii xn xy x n yx 1221，x b y a -=，其中，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^.解：(1)由题意知n ＝10，＝1n ∑=ni ix 1＝8010＝8， y ＝1n ∑=ni i y 1＝2010＝2，又∑=ni ix12- n 2 =720 -10×82=80，∑=ni ii y x 1-n y x ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝2480＝0.3，a ＝y －b ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 难点2：非线性相关转化为线性相关 【要点解读】通过观察散点图，分析其函数模型，然后转化成线性相关 【考向1】非线性相关转化为线性相关【例题】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋β u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝解题指导] 切入点：回归分析中对散点图的理解，回归方程的求法和应用；关键点：通过换元把非线性回归方程转化为线性回归方程求解．解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．c ^＝y －d^ w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．【趁热打铁】1．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( ) A ．点分布在从左下角到右上角的区域B ．散点图在某方形区域内C ．散点图在某圆形区域内D ．点分布在从左上角到右下角的区域2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线通过近似表示两者关系来估计总体的均值C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系 3．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线把非确定性问题转化为确定性问题进行研究． 其中正确的命题为( )A ．①③④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 35．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.A ．67B ．68C ．69D ．706．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 17．某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，得到售价x (元)和销售量y (件)之间的一组数据如下表：yˆ＝－3.2x ＋a ，则a ＝______．8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.9．假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料：已知∑=512i ix=90，∑=51i ii y x ＝112.3.(1)求，y ；(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求出线性回归方程； (3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？10．某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，应选男女生各多少人； (2)随机抽取8位同学的数学、物理分数对应如表：性相关性，求出线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由．第四章1解：正确的只有D 选项．故选D.2解：任两个变量均可作出散点图，从散点图上看有相关关系的才具有分析的价值，无相关关系的则作不出什么结论．故选C.4解：由相关系数定义及散点图所表达含义可知r 2<r 4<0<r 3<r 1，故选A.5解：＝15×(10＋20＋30＋40＋50)＝30，由于y ^＝0.67x ＋54.9必过点(，y )，∴y ＝0.67×30＋54.9＝75，因此图表中的模糊数据为75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.故选B. 6解：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，故r 2＜0＜r 1.故选C.7解：价格的平均数＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数y ＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由yˆ＝－3.2x ＋a 知b ＝－3.2，所以a ＝y －b ＝8＋3.2×10＝40.故填40. 8解：根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的身高的对应数据可列表如下：＝173，y ＝176，∴＝∑∑==---3121)())((i ii i ix xy y x x＝3×6（－3）2＋32＝1，＝y －＝176－173＝3. ∴回归直线方程为yˆ＝x ＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．故填185.10解：(1)按性别比例分层抽样，应选男生15×840＝3(人)，选女生25×840＝5(人)．(2)以数学成绩x 为横坐标，物理成绩y 为纵坐标作散点图如图所示．从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩线性正相关．设y 与x 的线性回归方程是yˆ＝bx ＋a ，根据所给的数据，可以计算出≈0.65，≈34.5， 所以y 与x 的回归方程是yˆ＝0.65x ＋34.5.。
高一数学苏教版必修3同步练习：2.4 线性回归方程
2.4 线性回归方程1、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元2、某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查,y 与x 具有相关关系,回归方程为0.66.52ˆ16yx =+,若某城市居民人均消费水平为7.675千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A.83%B.72%C.67%D.66%3、变量X 与Y 相对应的一组数据为()()()()()10,1,11.3,2,11.8,3,12.5,4,13,5,变量U 与V 相对应的一组数据为()()()()()10,5,11.3,4,11.8,3,12.5,2,13,1.1r 表示变量X 与Y 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则( ) A.210r r <<B.210r r <<C.210r r <<D.21r r =4、四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y 与x 负相关且 2.34.4ˆ7623yx =-; ②y 与x 负相关且 3.476 5.6ˆ48yx =-+; ③y 与x 正相关且 5.43.4ˆ7893yx =+; ④y 与x 正相关且 4.326 4.5ˆ78yx =--. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④5、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A. 0.4.3ˆ2yx =+ B. 2 2.4ˆyx =- C. 9ˆ2.5yx =-+ D. 0.3 4.4ˆyx =-+ 6、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调査了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:根据上表可得回归直线方程y bx a =+,其中0.76,b a y bx ==-，据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元7、为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为1l 和2l ,已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等,都是s ,对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等,都是t ,那么下列说法正确的是( ) A.直线1l 和2l 有交点(),s tB.直线1l 和2l 相交,但是交点未必是(),s tC.直线1l 和2l 由于斜率相等,所以必定平行D.直线1l 和2l 必定重合 8、根据如下样本数据y4.0 2.5 0.5- 0.5 2.0- 3.0-得到的回归方程为ˆybx a =+,则( ) A. 0a >,0b < B. 0a >,0b > C. 0a <,0b < D. 0a <,0b >9、某校金融专业的学生学习《统计学》的时间x 与考试成绩y 之间可建立线性回归方程ˆya bx =+,经计算,方程为200.8ˆy x =-,则该方程参数中( ) A. a 值错误 B.b 值错误 C. a 、b 值都错误 D. a 、b 值都正确10、如图,有5组数据,为使剩下的4组数据的线,性相关性最大,则应去掉( ).A.(1,2)B.(3,5)C.(4,10)D.(5,10)11、调查了某地若干户家庭的年收入x (单位:万元)和年饮食支出y (单位:万元),调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程:0.25402ˆ.31yx =+,由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加__________万元.12、某数学老师身高176cm ,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm ,170cm 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm .13、在一组样本数据11(,)x y ,22(,)x y ,…(),n n x y ,(2n ≥,12,,,n x x x ⋅⋅⋅不全相等)的散点图中,若所有样本点(,)i i x y ()1,2,,i n =⋅⋅⋅都在直线112y x =+上,则这组样本数据的样本相关系数为__________. 14已知与之间的几组数据如下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为.若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为则以下结论正确的是①;②;③;④15、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)908483807568(1)求回归直线方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆ20b =-,ˆˆa y bx =-; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从题(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：由表可计算4235742x +++==， 49263954424y +++==，∵点7,422⎛⎫ ⎪⎝⎭在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，且ˆb 为9.4，所以7429.4ˆ2a =⨯+， 解得ˆ9.1a=， 故回归方程为9.4.1ˆ9y x =+， 令6x =，得ˆ65.5y=。
2018学年高中数学必修三练习：第2章 2.4 课时训练16 线性回归方程 含解析
课时训练16线性回归方程基础夯实1.下列关系,其中不具有相关关系的是()A.炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系B.曲线上的点与该点的坐标之间的关系C.柑橘的产量与气温之间的关系D.森林的同一种树木,其横断面直径与高度之间的关系解析:A炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程,除了与冶炼时间有关外,还要受冶炼温度等其他因素的影响,故具有相关关系.B曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的,即是一种确定性关系.C柑橘的产量除了受气温影响以外,还要受施肥量以及水分等因素的影响,故具有相关关系.D森林的同一种树木,其横断面直径随高度的增加而增加,但是还受树木的疏松及光照等因素的影响,故具有相关关系.答案:B2.工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程为错误！未找到引用源。
=80x+50,下列四个说法中正确的是()A.劳动生产率为1千元时,月工资为130元B.劳动生产率提高1千元,则月工资平均提高80元C.劳动生产率提高1千元,则月工资提高130元D.当月工资为210元时,劳动生产率为2千元解析:根据回归方程的概念可知A,C,D错误.答案:B3.对于一条线性回归直线错误！未找到引用源。
=a+bx,如果x=3时,对应的y的估计值是17,当x=8时,对应的y的估计值是22,那么,可以估计出回归直线方程是,根据回归直线方程判断当x=时,y的估计值是38.解析:首先把两组值代入回归直线方程,得所以回归直线方程是错误！未找到引用源。
=x+14.令x+14=38,可得x=24.答案:错误！未找到引用源。
=x+14244.如图所示,有5组(x,y)数据,去掉数据后,剩下的4组数据的线性相关性最大.解析:去掉D(3,10),A,B,C,E大致在一条直线上,线性相关关系较强.答案:D(3,10)5.导学号51810121调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元).调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:错误！未找到引用源。
2018版高中数学24线性回归方程试题苏教版必修3 精品
2.4 线性回归方程双基达标 限时15分钟一．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是________．(填序号) 解析 其中②⑤为确定性关系，不是相关关系． 答案 ①③④ 2．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为________．解析 两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．答案 ③④⑤ 3．由一组数据(x一，y 一)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y ^＝bx ＋a ，那么下面说法正确的是________．①直线y ^＝bx ＋a 必经过点(x ，y )；②直线y ^＝bx ＋a 至少经过点(x 一，y 一)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；③直线y ^＝bx ＋a 的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx i 2－n x 2；④直线y ^＝bx ＋a 和各点(x 一，y 一)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的总离差平方和∑i ＝1n[y i －(bx i＋a )]2是该坐标平面上所有直线与这些点的离差平方和中最小的直线．解析 ②错误；线性回归方程不一定经过(x 一，y 一)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的某一个点，它只是该坐标平面上所有直线中与这些点的离差平方和最小的直线．答案 ①③④4．实验测得四组(x ，y )的值为(一,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为________．解析 由题意可知，这四个点都在直线y ＝x ＋一上，此直线与所有点的离差平方和最小(为0)，故y 与x 之间的回归直线方程为y ^＝x ＋一.答案 y ^＝x ＋一5．工人工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为一 000元时，工资为一30元； ②劳动生产率提高一 000元时，工资提高80元； ③劳动生产率提高一 000元时，工资提高一30元； ④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元．解析 回归直线斜率为80，∴x 每增加一，y ^增加80，即劳动生产率提高一千元时，工资提高80元．答案 ②6．(一)如图是两个变量统计数据的散点图，判断这两个变量之间是否具有相关关系；(2)对一名男孩的年龄与身高的统计数据如下：解 (一)不具有相关关系．从图可以看出，散点图中各散点零散的分布在坐标平面内，不呈线形．(2)作出散点图如下：由图可知，这名男孩的年龄与身高具有相关关系．综合提高 限时30分钟7．如图所示的五组数据(x ，y )中，去掉________后，剩下的4组数据相关性增强．解析 去除(4,一0)后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强． 答案 (4,一0)8．在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，有下列步骤： ①对所求出的回归直线方程作出解释； ②收集数据(x i ，y i )，i ＝一,2，…，n ； ③求线性回归方程； ④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可行性要求能够得出变量x ，y 具有线性相关的结论，则正确的操作顺序是________．解析 按照做回归分析的步骤可知顺序应为②⑤④③① 答案 ②⑤④③①9．一般来说，一个人脚越长，他的身高就越高．现对一0名成年人的脚长x (单位：cm)与身高y (单位：cm)进行测量，得如下数据：作出散点图后，发现散点在一条直线附近．经计算得到一些数据：x ＝24.5，y ＝一7一.5，∑i ＝110(x i －x )(y i －y )＝577.5，∑i ＝110(x i －x )2＝82.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长26.5 cm ，请你估计案发嫌疑人的身高为________cm.解析 由已知得b ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x 2＝7，a ＝y －b x ＝0，故y ^＝7x .当x＝26.5时，y ＝一85.5.答案 一85.5一0．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝一,2,3，…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为y ^＝一0.47－一.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析 只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ^≥0，所以一0.47－一.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案 8一一．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：(一)画出散点图．(2)求成本y 与产量x 之间的线性回归方程．(结果保留两位小数) 解 (一)散点图如图：(2)设y 与产量x 的线性回归方程为 y ^＝bx ＋a ，x ＝2＋3＋5＋64＝4， y ＝7＋8＋9＋124＝9， b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx i 2－n x 2＝一.一0a ＝y －b x ＝9－一.一0×4＝4.60∴所求的线性回归方程为： y ^＝一.一0x ＋4.60.一2．某校高一(一)班的5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如下表所示：(一)(2)求数学成绩y 关于总成绩x 的线性回归方程．解 (一)散点图如图所示：(2)列表：∴x ＝2 0125，y ＝3395，∑i ＝15x i 2＝8一9 794，∑i ＝15x i y i ＝一37 760.b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x i 2－5x2＝137 760－5×2 0125×3395819 794－5×⎝ ⎛⎭⎪⎫2 01252≈0.一32 452，a ＝y －b x ＝3395－0.一32 452×2 0125≈一4.50一 3一5.∴回归方程为y ＝0.一32 452x ＋一4.50一 3一5.一3．(创新拓展)一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样试验结果：(一)如果(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为一0个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？解 (一)x ＝一2.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x i 2＝660，则b ＝∑i ＝14x i y i －4x·y∑i ＝14x i 2－4x2≈0.728 6，a ＝y －b x ＝－0.857 5.∴回归直线方程为y ＝0.728 6x －0.857 5.(2)要使y ≤一0，则0.728 6x －0.857 5≤一0，∴x ≤一4.90一 9.因此，机器的转速应该控制在一5转/s 以下．。
2017-2018学年高二数学苏教版必修3：第1部分 第2章 2.4 线性回归方程
2．用最小平方法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可用 散点图判断)．否则求出的线性回归方程是无意义的．
解析：x＝32，y＝4，∴^y＝bx＋a
3 必过点(2，4)．
3 答案：(2，4) 2．对某台机器购置后的运营年限 x(x＝1,2,3…)与当年利润 y 的统计分析知具备线性相
关关系，回归方程为 y＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算．
解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即 y≥0，所以
所以 ＝0.73x－0.88.
7．某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：
月份
123456
产量(千件)
234345
单位成本(元/件) 73 72 71 73 69 68
(1)试确定回归直线方程；
(2)指出产量每增加 1 000 件时，单位成本下降多少？
(3)假定产量为 6 000 件时，单位成本是多少？单位成本为 70 元时，产量应为多少件？
4．某单位为了了解用电量 y 度与气温 x ℃之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与
当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18 13 10 －1
用电量(度) 24 34 38 64
^y 由表中数据得线性回归方程 ＝bx＋a 中 b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度 数约为________． 解析：x＝10，y＝40，回归方程过点(x，y)， ∴40＝－2×10＋a，∴a＝60. ∴y＝－2x＋60.
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2.4线性回归方程（一）
【新知导读】
1.下列两个变量之间的关系中，哪个不是函数关系 ( ) A ．角度和它的余弦值 B ．正方形边长和面积 C ．正n 边形的边数和其内角和 D ．人的年龄和身高
2．回归直线方程y bx a ∧=+中的y ∧
是预测值，与实际中的y 关系为 ( ) A ．y y ∧
-越小，说明回归偏差越小 B ．y y ∧
-越大，说明回归偏差越小 C ．y y ∧
-越小，说明回归偏差越小
D ．y y ∧-越小，说明回归偏差越小
3．回归直线方程的系数a ，b 的最小二乘法估计中，使函数(,)Q a b 最小，Q 函数指( )
A ．
2
1
()
n
i
i
i y a bx =--∑ B ．
1
n
i
i
i y a bx
=--∑
C ．2
()i i y a bx -- D ．i i y a bx --
【范例点睛】
例1．以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋的大小x 的数据：
(3)计算此时(,)Q a b 和(2,0.2)Q 的值，并作比较． 【课外链接】
1．假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的．若10个学生初一()x 和初二()y 数学分数如下：
【随堂演练】
1．下列说法错误的是（ ）
A ．如果变量η和ξ之间存在线性相关关系，那么根据它们的一组数据得到一列点
(,)i i x y (1,2,3,...,i n =)将散步在某一直线的附近
B ．如果变量η和ξ之间不存在线性相关关系，那么根据它们的一组数据(,)i i x y (1,2,3,...,i n =)不能写出一个线性方程
C ．设x ，y 是具有线性相关关系的两个变量，且x 关于y 的线性回归方程为y bx a ∧
=+，其中,a b 叫做回归系数
D ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性的关系，则因变量不能由自变量唯一确定 2．三点(3,10)，（7,20），（11,24）的线性回归方程是 ( ) A ． 5.75 1.75y x ∧
=- B ． 1.75 5.75y x ∧
=+ C ． 1.75 5.75y x ∧
=- D ． 5.75 1.75y x ∧
=+ 3．已知x ，y 之间的一组数据：
则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过 ( )
A ．(2,2)点
B ．(1.5,0)点
C ．(1,2)点
D ．(1.5,4)点
4．设有一个回归方程为32y x ∧
=+，变量x 增加一个单位时，则y 平均增加______个单位．
5．已知线性回归方程为0.500.81y x ∧
=-，则25x =时，y 的估计值为_____________． 6．某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病人数的线性回归分析如下表表示：
如不加控制，仍按这个趋势发展下去，请预测从2006年初到2009年底的四年时间里，该地区这种病的新发病总人数为_______________．
7．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型1：64y x =+；模型2：64y x δ=++． (1) 如果3x =，1δ=，分别求两个模型中的y 值； (2) 分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机性模型．
8．在10年期间，某城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系如下表所示：
(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线附近，求y与x间的线性回归方程．
9．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元)，有如下统计资料：
设y 对x 呈线性相关关系．
试求：(1)线性回归方程y bx a ∧
=+的回归系数a ，b ； (2)估计使用年限为10年，维修费用是多少？
10．在钢线含量对于电阻的效应的研究中，得到以下的数据：
(1)画出散点图(2)求线性回归方程．
2.4线性回归方程（一） 【新知导读】 1．D 2．C 3．A 【范例点睛】 例1．(1)
(2)5n =，
5
1
545i
i x
==∑，109x =，51
116i i y ==∑，23.2y =，5
51
60952i i x ==∑，
5
1
12592i i i x y ==∑，2
512952545116
0.1962560952545
b ⨯-⨯=
≈⨯-，23.20.1962109 1.8166a =-⨯≈， ∴线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+；(3)(1.8166,0.1962) 5.1771Q ≈，(2,0.2)7.0Q ≈，
由此可知，求得的 1.8166a =，0.1962b =是使函数(,)Q a b 取最小值的a ，b 值． 【课外链接】 解
：
71
x =,
5
2
1
50520
i
i x
==∑,
72.3
y =,
10
1
51467
i i
i x y
==∑,所以
2
1051467710723
1.21821050520710
b ⨯-⨯=
≈⨯-，72.3 1.21827114.912a =-⨯=-，所以回归直线方程为1.218214.192y x ∧
=-．
【随堂演练】
1. B
2. D
3.B
4. 3
5. 11.69
6.13949
7.解：(1)模型1：6464318y x =+=+⨯=；模型2：64643119y x δ=++=+⨯+=． (2)模型1中相同的x 值一定得到相同的y 值，所以是确定性模型；模型2中相同的x 值，因δ的不同，所得y 值不一定相同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型． 8. 解：(1)
(2)由题意：37.97x =，39.1y =；
10
2
1
14633.67i
i x
==∑，
10
1
15202.9i i
i x y
==∑，于是
10
110
2
2
21
1015202.91037.9739.1
1.44714663.671037.9710i i
i i i x y x y
b x x
==--⨯⨯=
=
≈-⨯-∑∑，39.1 1.447a y bx =-=-⨯
37.9715.843≈-．所以所求线性回归方程为 1.44715.843y bx a x ∧
=+=-．
9．解：(1)4x =,5y =，
52
1
90i i x ==∑，5
1
112.3i i i x y ==∑，于是回归系数2
112.3545
9054
b -⨯⨯=
-⨯ 1.23=，5 1.2340.08a y bx =-=-⨯=；
(2)线性回归方程是 1.230.08y x ∧
=+，当10x =年时，1.23100.0812.38y ∧
=⨯+=(万)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．
10．解：(1)
(2)可求得13.958412.5503y x ∧
=+。