最新高三教案-第一讲集合与函数(1) 精品

第一讲 集合与函数● 高考风向标本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算，含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法，逻辑关联词，四种命题，充要条件．映射的概念，函数的概念，函数的单调性，反函数的概念，分数指数幂的概念和性质，指数函数的图象和性质，对数的定义和运算性质，对数函数的图象与性质，函数的一些应用． ● 典型题选讲例１ 在ABC ∆中，“B A <”是“B A sin sin <”的什么条件？讲解 在ABC ∆中，角A 、B 的对边分别是,a b R 是ABC ∆的外接圆的半径． 一方面，因为 A<B ，所以a<b , 即B R A R sin 2sin 2< ，亦即 B A sin sin < ，从而ABC ∆中A<B ⇒B A sin sin <。

另一方面，因为B A sin sin <，所以B R A R sin 2sin 2< ，即 b a < ，得A<B ，从而ABC ∆中，B A sin sin <⇒A<B 。

故ABC ∆中，“B A <”是“B A sin sin <” 的充要条件．点评 试问：在ABC ∆中，“B A <”是“22cos cos A B >”的什么条件？例２ 试构造一个函数(),f x x D ∈，使得对一切x D ∈有|()||()|f x f x -=恒成立，但是()f x 既不是奇函数又不是偶函数，则()f x 可以是 .讲解 ()f x 的图像部分关于原点对称，部分关于y 轴对称，如2 ||1() ||1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．点评 本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试． 例３ 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．（１） 用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n (n ∈N ＋)与得到的细胞个数y 之间的关系；（３）写出得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式，试用计算器算算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．讲解 （１） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下（２）细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式是y ＝2n ，n ∈N ＋．利用计算器可以算得215＝32768，220＝1048576．故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和1048576个．点评 细胞分裂是一种很有趣的数学问题，我们也可以思考下面的类似的问题：一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 ______ 分钟，该病毒占据64MB 内存（1MB=102KB ）.例４ 已知函数13)(-=x x f 的反函数)(1x f y -=，)13(log )(9+=x x g （１）若)()(1x g x f ≤-，求x 的取值范围D ； （２）设函数)(21)()(1x f x g x H --=，当D x ∈时，求)(x H 的值域． 讲解 ∵ 13)(-=x x f ， ∴ )1(log )(31+=-x x f ．（１）∵)()(1x g x f ≤- 即)13(log )1(log 93+≤+x x ． ∴)13(log )1(log 929+≤+x x ，∴2(1)31,10.x x x ⎧+≤+⎨+>⎩解之得 10≤≤x ，∴[]1,0=∈D x ． （２） ∵ )(21)()(1x f x g x H --= )1(log 21)13(log 39+-+=x x)1(log )13(log 99+-+=x x113log 9++=x x ． []1,0∈x令123113+-=++=x x x t ，显然在[0，1]递增，则有 21≤≤t ．∴2log )(09≤≤x H ，即)(x H 的值域为}2log 0{9≤≤y y ．例５ 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=),(32),1(961N x c x N x c x x P （其中c 为小于96的正常数） 注：次品率生产量次品数=P ，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解 （1）当x c >时，23P =，所以，每天的盈利额120332AT xA x =-⋅=;当1x c ≤≤时，196P x =-，所以，每日生产的合格仪器约有1196x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭件，次品约有196x x ⎛⎫⎪-⎝⎭件．故，每天的盈利额()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 12960, xx A x cT x x c⎧⎡⎤-≤≤⎪⎢⎥=-⎨⎣⎦⎪>⎩ （2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0．当1x c ≤≤时，()3296xT x A x ⎛⎫=- ⎪⎪-⎝⎭． 令96x t -=，则09695c t <-≤≤．故()3961144114796979702222t T t A t A A A t t ⎛-⎛⎫⎛⎫=--=--≤-=> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝．当且仅当144t t=，即()1288t x ==即时，等号成立．所以（i ）当88c ≥时，max 1472T A =（等号当且仅当88x =时成立）． （ii ） 当188c ≤<时，由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤，易证函数()144g t t t=+在(12,)t ∈+∞上单调递增（证明过程略）．所以，()()96g t g c ≥-．所以，()2114411441441892979796022961922c c T t A c A A t c c ⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=--≤---=>⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即2max14418921922c c T A c ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭．（等号当且仅当x c =时取得） 综上，若8896c ≤<，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若188c ≤<，则当日产量为c 时，可获得最大利润．点评 分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．例６ 设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，已知不论α，β为何实数，恒有.0)cos 2(0)(sin ≤+≥βαf f 和（1）求证：;1-=+c b（2）求证：;3≥c（3）若函数)(sin αf 的最大值为8，求b ，c 的值．讲解 （1）由),()(2R c b c bx x x f ∈++=产生b+c ，只要消除差异x ，这可令.1=x.0)1(,0)(sin 1sin 1≥∴≥≤≤-f f 恒成立且αα.0)1(,0)c o s 2(3c o s 21≤∴≤+≤+≤f f 恒成立且ββ从而知 .1.01.0)1(-=+=++∴=c b c b f 即 （2）由.039,0)3(,0)cos 2(≤++∴≤≤+c b f f 知β又因为.3.1≥∴-=+c c b（3）,)21()21(sin sin )1(sin )(sin 222c c c c c f +-++-=+--+=αααα 当.8)](sin [,1sin max =-=ααf 时 由⎩⎨⎧=++=+-.01,81c b c b 解得 .3,4=-=c b点评 注意：b a ≥且b a b a =⇒≤, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视.例７ 设f(x)=lg nn a n xx x ⋅+-++)1(21 ,a ∈R, n ∈N 且n ≥2.若f(x)当x ∈(-∞,1)有意义，求a 的取值范围．讲解 f(x)当x ∈(-∞,1)有意义，当且仅当1＋2x＋…＋(n-1)x＋an x>0 对x ∈(-∞,1)恒成立．即函数g(x)=xn)1(＋xn)2(＋…＋xnn )1(-＋a>0 对于任意的x ∈(-∞,1)恒成立．因为g(x)在(-∞,1)上是减函数，其最小值为g(1)= n 1＋n 2＋…＋n n 1-＋a=21(n －1)＋a ，所以g(x) >0对x ∈(-∞,1)恒成立的充要条件是21-n ＋a>0，即a>21n-． 故所求实数a 的范围为（21n-，+∞）． 点评 构造函数是应用函数思想解题的基础，怎么构造，构造怎样的函数完全因题而定．请读者注意，恒成立问题在高考中多次出现，其解题方法，很值得探究．例８ 函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分． （１）及，的值，并归纳出的表达式;（２）直线，，x 轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值．讲解 （１）为了求，只需在条件中，令0x =，即有，得．由及，得．同理，．归纳得．（２）时,.故是首项为，公比为的等比数列,所以 .的定义域为1，当时取得最小值.点评 本题是２００４年北京高考数学第１８题，将函数与数列综合在一起，体现了数学知识交汇性，是一道既知识、又考能力的活题． 针对性演练１．合{} ,16,9,4,1=P ，若P a ∈，P b ∈，则P b a ∈⊕，则运算⊕可能是 （ ）(A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法２．已知集合{1,2,3}A =，{1,0,1}B =-，则满足条件(3)(1)(2)f f f =+的映射:f A B→的个数是 ( )（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）7３．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 ( )(A ) (B) (C) (D)４．定义两种运算：a b ⊕=a b ⊗=则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数 （D ）非奇函数且非偶函数５．偶函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上单调递增，则(1)f a +与(2)f b +的大小关系是 ( )（A ）(1)(2)f a f b +≥+（B ）(1)(2)f a f b +<+（C ）(1)(2)f a f b +≤+ （D ）(1)(2)f a f b +>+６．已知函数,),(D x x f y ∈=+∈R y ，且正数C 为常数．对于任意的D x ∈1，存在一个D x ∈2，使()()C x f x f =21，则称函数)(x f y =在D 上的均值为C. 试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：________________.7. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。