13.5互逆命题与互逆定理
第13章 13.5 1.互逆命题与互逆定理
5．关于互逆定理的说法中，正确的是( A ) A．任何一个定理都有逆命题 B．任何一个定理都有逆定理 C．任何一个定理的逆命题都是真命题 D．两个真命题互为逆定理
6．下列说法正确的个数有( A )
①每一个命题都有逆命题；②每一个定理都有逆定理；③原命题不正确，
它的逆命题一定不正确；④互逆命题是互逆定理．
互逆定理． 【例 2】下面命题互为定理吗？说明理由． (1)“在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”与“如果三角 形的一条边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”； (2)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”． 【思路分析】一个定理一定有逆命题，但不一定有逆定理．
【规范解答】(1)互逆定理；(2)不是，命题“相等的角是对顶角”是假命题．
(4)同角的补角相等 真．
14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为点 E、F. (1)求证：DE＝DF； (2)下面是(1)的一个逆命题，请判断其是真命题还 是假命题？若是真命题，请给出证明；若是假命 题，请举出反例． 如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，E、F 分别在 AB、AC 上， 若 DE＝DF，则 DE⊥AB，DF⊥AC.
13．写出下列命题的逆命题，并指出它们的真假性． (1)如果 x＝5，那么 x2－5x＝0； (2)全等三角形的面积相等； (3)如果△ABC 是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，△ABC 的三个外角中有两个钝角； (4)相等的角是同角的补角． 解：(1)如果 x2－5x＝0，那么 x＝5 假； (2)面积相等的三角形全等 假； (3)如果当每个内角取一个对应外角时，△ABC 的三个外角中有两个钝角， 那么△ABC 是直角三角形 假；
华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》说课稿
华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》说课稿一. 教材分析华师大版数学八年级上册13.5《逆命题与逆定理》是本节课的主题。
这部分内容是在学生已经掌握了命题与定理的基础上进行学习的，是进一步引导学生深入理解数学概念，培养学生逻辑思维能力的重要内容。
逆命题与逆定理是数学中的基本概念，理解这两个概念有助于学生更好地理解命题与定理的本质。
通过学习逆命题与逆定理，学生能够更深入地理解数学的逻辑结构，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的数学基础，对命题与定理有一定的了解。
但是，对于逆命题与逆定理的理解可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例来理解逆命题与逆定理的概念，并通过练习来巩固所学知识。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解逆命题与逆定理的概念，能够运用逆命题与逆定理来解决问题，提高学生的逻辑思维能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是逆命题与逆定理的理解和运用。
学生需要通过实例来理解逆命题与逆定理的概念，并通过练习来掌握运用逆命题与逆定理的方法。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲解法、示例法、练习法等教学方法。
通过讲解法，我来向学生解释逆命题与逆定理的概念；通过示例法，我来引导学生通过实例来理解逆命题与逆定理；通过练习法，我来让学生通过练习来巩固所学知识。
六. 说教学过程1.导入：我会通过一个简单的实例来导入本节课的内容，让学生初步感受逆命题与逆定理的概念。
2.讲解：我会详细讲解逆命题与逆定理的概念，并通过示例来让学生更好地理解这两个概念。
3.练习：我会给出一些练习题，让学生通过练习来巩固所学知识。
4.总结：我会对本节课的内容进行总结，让学生加深对逆命题与逆定理的理解。
七. 说板书设计板书设计如下：逆命题与逆定理逆命题：将一个命题的条件和结论互换得到的命题。
逆定理：如果一个命题的条件是另一个命题的结论，另一个命题的条件是这个命题的结论，那么这两个命题叫做逆定理。
互逆命题与互逆定理-华东师大版八年级数学上册教案
互逆命题与互逆定理-华东师大版八年级数学上册教案一、引入在初中数学中，我们学习了很多命题，比如“若a=b，那么a2=b2”，又比如“对于任意的正整数a，a^2>a”等等。
其中，有一种特殊的命题，叫做“逆命题”。
逆命题指的是，对于一个给定的命题P，将其假设的条件和结论交换位置，并取反形式而得到的命题，比如“若a=b，那么a2=b2”的逆命题是“若a2=b2，那么a=b 或a=-b”。
那么，如果一个命题的逆命题也成立，我们就称这两个命题互为“逆命题”，其中比较重要的是“互为逆命题的命题是等价命题”。
但是，在实际情况下，有一些命题和它的逆命题虽然都是真命题，但它们并不等价。
此时我们就需要引入“互逆定理”，来判断它们的关系。
二、教学内容1. 规律感知首先，让学生自己尝试找出一些互逆命题。
比如，“若x>5，那么x2>25”和“若x2>25，那么x>5或x<-5”就是互逆命题。
在找到互逆命题后，让学生自己分析它们之间的关系。
2. 探索任务接下来，设计一个小组探究任务，让学生自己去探索什么样的条件下能得到互逆命题，以及互逆命题之间的关系。
具体实施时，可以分配几个小组，要求每个小组找出两个互逆命题，并将它们的条件和结论进行比较。
然后，让学生自己汇总每组的成果，分析条件的相同点和不同点，以及结论的相同点和不同点。
最后，让学生自己总结出什么样的条件可以得到互逆命题，以及互逆命题之间的关系。
3. 展示交流在小组任务完成后，组织学生进行展示和交流。
让学生自己介绍自己小组的成果，以及自己对互逆命题和互逆定理的理解。
同时，其他学生可以对其进行提问和补充，以加深理解。
4. 拓展延伸为了让学生更加深入理解互逆命题和互逆定理，可以提供一些案例让学生进行分析。
比如，“若a2+b2=0，那么a=b=0”和“若a=b=0，那么a2+b2=0”就是互逆命题。
通过这些案例的分析，可以帮助学生更好地掌握互逆命题和互逆定理的应用。
第13章 13.5 13.5. 1 互逆命题与互逆定理
证明：过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于
点N，∵BD、CE分别是△ ABC的中线，∴S△ BEC＝S△ BDC，
∴
1 2
BC·EM＝
1 2
BC·DN，∴EM＝DN，在Rt△ EMC和
Rt△ DNB中，CE＝BD，EM＝DN，
∴Rt△ EMC≌Rt△ DNB，∴∠ECM＝∠DBC，在△ EBC
6.在△ ABC 中，∠A 的相邻外角是 110°，要使△ ABC 是等腰三角形，则∠B＝ 55°或 70°或 40° ．
7. 命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题 是 两边上的中线相等的三角形是等腰三角形 ，这个命 题是 真 命题．(填“真”或“假”)
【解析】逆命题：两边上的中线相等的三角形是等 腰三角形．已知：如图，在△ ABC中，BD、CE分别是 边AC和AB上的中线，且CE＝BD，求证：△ ABC是等腰 三角形．
知识点 互逆定理 4. 下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来． (1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等； (2)内错角相等，两直线平行； (3)等边三角形的三个内角都等于60°.
解：(1)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角 是直角，它是一个假命题，故(1)没有逆定理．
(2)逆命题是：两直线平行，内错角相等，它是一个 真命题，故(2)的逆命题就是它的逆定理．
如图，△ ABC 是等边三角形． (1)若 AD＝BE＝CF，求证：△ DEF 是等边三角形； (2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不 成立，请用反例说明．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， AB＝AC＝BC， 又∵AD＝BE＝CF， ∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF， 即 BD＝CE＝AF. ∴△ADF≌△BED≌△CFE.
华东师大版八年级上册数学课件13.5逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理
A )
B．等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形的两个底角相等 D．三边对应相等的两个三角形全等
3．命题“如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除” 5整除，那么这个数也一定能被10整除 的 逆 命 题 是如果一个数能被 _____________________________________________ ，
＝90°，∴△ABC是直角三角形．
易错点：考虑问题不全面导致对命题的判断出错
11．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2>na2，则m>n； ③不相等的角不是对顶角；④两直线平行 ，内错角相等．其中原
命题与逆命题均为真命题的个数是(
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
)
B
12．判断下列命题，其中逆命题正确的有(
10 ． 请写出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题．这个
逆命题正确吗？若正确， 请你画出图形， 写出“已知”“求证”， 再进行“证明”；若不正确，请举反例说明．
解：两个锐角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题正确．
已知：如图，△ABC中，∠A＋∠B＝90°.求证：△ABC是直角三 角形．
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C
14．已知下列命题： 1 1 ①若 a>0，b>0，则 a＋b>0；②若 a≠b，则 a ≠b ；③若aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb，
2 2
则 a＝b；④任何有理数都有倒数． 其中原命题与逆命题均为真命题的有( A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
A
)
15．写出下列命题的逆命题，并指出它们的真假性．
(1)如果x＝4，那么x2＝16；
八年级数学上第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理授课课华东师大
知2－讲
总结
判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为 命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正 确， 如果不正确，举一个反例即可，如果是真命题，加 以证 明即可判断原定理有逆定理.
1 下列定理中，没有逆定理的是( ) A．两直线平行，同旁内角互补 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两内角相等的三角形是等腰三角形
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我们，还在路上……
题就
知1－讲
例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命 题的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a＞b，那么a2＞b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0. 导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命 题的条件和结论部分互换，写出原命题的逆命 题，最后判断逆命题的真假．
知2－练
1.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件 改成结论，并将结论改成条件，就可以得到原命 题的 逆命题．但原命题的真假与逆命题是否为真命题 没有 丝毫关系． 2．每个定理都有逆命题，但每个定理不一定都有 逆定理，只有当定理的逆命题经过证明是正确的， 才
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
华师版数学八年级上册教案-第13章 全等三角形-13.5 逆命题与逆定理(3课时)
13.5逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理(第1课时)一、基本目标1．理解逆命题与逆定理的意义，会写出一个命题的逆命题．2．会判断定理的逆命题的真假．二、重难点目标【教学重点】会写出一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假．【教学难点】写出一个命题的逆命题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P92～P93的内容，完成下面练习．【3 min反馈】一、互逆命题1．命题“两直线平行，内错角相等”的条件是两直线平行，结论是内错角相等．2．命题“内错角相等，两直线平行”的条件是内错角相等，结论是两直线平行．3．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．二、互逆定理1．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是内错角相等，两直线平行．2．“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角．3．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．【互动探索】(引发学生思考)什么是逆命题？怎样举反例？【解答】(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．是真命题．(2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线．是真命题．(3)逆命题：内错角相等．是假命题．反例：如图，∠1与∠2是内错角，但不相等．(4)逆命题：等边三角形有一个角是60°.是真命题．【互动总结】(学生总结，老师点评)说明命题为假命题的反例即为符合该命题条件而不符合该命题结论的例子，如(3)小题中的例子．活动2巩固练习(学生独学)1．下列命题的逆命题是真命题的是(C)A．全等三角形的周长相等B．对顶角相等C．等边三角形的三个角都是60°D．全等三角形的对应角相等2．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形全等．3．写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．解：逆命题：直角三角形的两锐角互余．已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，即∠A与∠B互余．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！2线段垂直平分线(第2课时)一、基本目标1．掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】线段垂直平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P94～P95的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？解：AA′、BB′、CC′与直线MN垂直平分．2．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB5．三角形的三条垂直平分线交于一点．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC 于点D.若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)已知AB、AC的长和△DBC的周长，要求BC的长，先求什么？再求什么？【解答】∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD.∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，∴BC＋AD＋CD＝35 cm.∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 (cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质定理，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，从而找出AD 与EF 的关系．【解答】AD 垂直平分EF .证明如下： ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF ，∠AED ＝∠AFD ＝90°.在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段的垂直平分线可以用定义法，也可用线段垂直平分线的判定定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．三角形中，到三个顶点距离相等的点是( D ) A ．三条高线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．三边垂直平分线的交点2．如图，△ABC 的两边AC 和BC 的垂直平分线分别交AB 于D 、E 两点，若AB 边的长为10 cm ，则△CDE 的周长为( A )A ．10 cmB ．20 cmC ．5 cmD ．不能确定3．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段P A ＝5，则线段PB的长度为(B)A．6 B．5C．4 D．34．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE，从而证得结论；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．【证明】(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是线段垂直平分线与全等三角形的综合应用，证得△ADE≌△FCE是解题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！3角平分线(第3课时)一、基本目标1．掌握角平分线的性质定理和判定定理．2．能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．二、重难点目标【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理．【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P96～P98的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．角平分线上的点到角两边的距离相等．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．3．三角形的三条角平分线交于一点，这个交点一定在三角形内部，它到三角形三边距离相等．4．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为30°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC ＝3 cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据“角平分线上的点到角两边距离相等”可得DE＝CE，从而可知AE 、AC 、DE 之间的数量关系．【解答】AE ＋DE ＝AC ＝3 cm.理由如下： ∵∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝CE ，由图可知，AC ＝AE ＋CE ， 所以AC ＝AE ＋DE ＝3 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，熟记性质是解题的关键．【例2】如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF ＝PG ，DF ＝EG .求证：OC 是∠AOB 的平分线．【互动探索】(引发学生思考)要证OC 是∠AOB 的平分线，需证PD ＝PE ，而通过证Rt △PFD ≌Rt △PGE 即可得PD ＝PE .【证明】∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDF ＝∠PEG ＝90°.在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PG ，DF ＝EC ，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE (H.L.)， ∴PD ＝PE .∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴OC 是∠AOB 的平分线．【互动总结】(学生总结，老师点评)根据三角形全等得到PD ＝PE ，这样就把已知条件和角平分线的判定定理联系起来了．活动2巩固练习(学生独学)1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝9，则点D到AB的距离是(D)A．10 B．9C．8 D．72．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．一处B．二处C．三处D．四处3．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠DAB；(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．(1)证明：过点M 作ME ⊥AD 于点E . ∵DM 平分∠ADC ，∠C ＝90°，ME ⊥AD ， ∴MC ＝ME . ∵M 是BC 的中点， ∴BM ＝MC ＝ME .又∵∠B ＝90°，ME ⊥AD ， ∴AM 平分∠DAB .(2)解：AM ⊥DM .证明如下： ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴AB ∥DC ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵AM 平分∠DAB ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MAD ＝12∠BAD ，∠MDA ＝12∠ADC ，∴∠MAD ＋∠MDA ＝90°， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥DM .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。
互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理
在逻辑推理和数学证明中，互逆命题和互逆定理是两个重要的
概念。
它们在推理过程中起着至关重要的作用，帮助我们理清思绪，找到正确的答案。
首先，让我们来了解一下什么是互逆命题。
互逆命题是指两个
命题，它们的否定分别是对方。
换句话说，如果一个命题为真，则
另一个命题必为假，反之亦然。
例如，命题A，“今天是晴天”，
其互逆命题为命题B，“今天不是晴天”。
这两个命题互为对立命题，其真假情况完全相反。
接下来，我们来看一下互逆定理。
互逆定理是指在数学或逻辑
推理中，如果一个定理成立，那么它的互逆定理也必然成立。
互逆
定理通常用于证明或推导过程中，帮助我们简化问题，找到解决方案。
例如，在数学中，如果一个定理表明“如果A成立，则B成立”，那么它的互逆定理表明“如果B不成立，则A不成立”。
互逆命题和互逆定理在逻辑推理和数学证明中都具有重要的意义。
它们帮助我们理清思路，找到正确的答案，同时也提醒我们在
推理过程中要注意对立命题和定理的关系。
通过理解和运用互逆命
题和互逆定理，我们可以更好地进行逻辑推理和数学证明，提高解决问题的能力和效率。
总之，互逆命题和互逆定理是逻辑推理和数学证明中不可或缺的概念，它们帮助我们理清思路，简化问题，找到正确的答案。
通过深入理解和灵活运用这两个概念，我们可以更好地进行推理和证明，提高解决问题的能力，为学习和研究打下坚实的基础。
13.5.1.互逆命题与互逆定理
13.5.1.互逆命题与互逆定理学习目标：1、了解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道原命题成立，它的逆命题不一定成立；了解互逆定理。
2、体会数学结论在实际中的应用。
3、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。
学习重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立学习难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明导入链接1、什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？如何说明一个命题是假命题？如何说明命题是真命题？探究点1：1、逆命题在两个命题中，如果第一个命题的_______是第二个命题的__________，而第一个命题的_______是第二个命题的_______，那么这两个命题叫做_ 。
如果把其中一个命题叫做_，那么另一个命题叫做它的_。
2、互逆命题的关系原命题第一个命题题设（条件）结论逆命题第二个命题题设（条件）结论就例题来说，如果说“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等,两直线平行”为___________。
我们说两个命题叫做_________。
2练习：请学生分别写出的下列命题的逆命题并判断它是真命题、假命题。
两直线平行，同位角相等如果a b，那么22a b对顶角相等问：每个命题都有它的逆命题；但每个真命题的逆命题不一定是真命题，也说明定理的逆命题不一定是真命题；3、逆定理如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.试说出我们学过的那些定理互为逆定理探究点2：１．说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：⑴既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。
⑵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形⑶磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。
２.思考：判断下列说法是否正确？请说明理由（1）假命题没有逆命题；（2）真命题没有逆命题；（3）每个命题都有逆命题；（4）真命题的逆命题是真命题探究点3：。
13.5.1互逆命题和互逆定理
B
C
D
∴△BCE≌△ACD ∴BE=AD（全等三角形对应边相等）
例:如图,在△ABC中,AB＝AC,点P为BC上任意一点，PF⊥AB于 F,PE⊥AC于E,若AC边上的高BD等于a (1)试说明PE+PF=a; (2)若点P在BC的延长线上，其他条件不变，上述结论还成立吗？如 果成立说明理由，如果不成立，请给出一个关系式，并尝试说明理由。
指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题。 (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
(2)等边三角形的每个角都等于60°。
解： (1)如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. (2)如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三 角形.
互逆定理
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成 题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确。 例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就 是假命题．
注意：（1）逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理， 一定是真命题； （2）不是所有的定理都有逆定理.
……
已知:如图，点B、C、D在一条直线上，△ABC和△CDE都是等 边三角形，连结思考： BE、AD。 求证：BE=AD 在△BCE≌△ A 证明: ∵△ABC和△CDE 都是等边三角形 ACD全 ∠1=∠2=60゜ 等的基础上你还能发现别 ∴BC=AC CE=CD E （等边三角形各边相等，各角也相等） 的全等三角形吗？聪明的 （等式的性质） ∴∠1+∠3=∠2+∠3 M N 你找到它，再继续探究， 即∠BCE=∠ACD 你还会有更多的发现！ 2 1
13.5逆命题与逆定理互逆命题与互逆定理专题练习题含答案
华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形 13.5 逆命题与逆定理互逆命题与互逆定理专题练习题1．已知命题：全等三角形的面积相等，则其逆命题是( )A．不全等三角形的面积不相等 B．面积不相等的两个三角形不全等C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积相等2．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．对顶角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2C．四边形是多边形 D．两直线平行，同旁内角互补3．下列命题的逆命题不正确的是( )A．若a＋b>0，则a>0，b>0B．两直线平行，内错角相等C．直角三角形的两个锐角互余D．对顶角相等4．命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是__________________________________，是________命题．(填“真”或“假”)5．命题：“平行于同一直线的两直线互相平行”的逆命题是_____________________________，是________命题．(填“真”或“假”)6．写出下列命题的逆命题，这些逆命题都成立吗？(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果实数a＝b，那么|a|＝|b|；(3)两个锐角的和是钝角；(4)直角都相等．7．下列定理中，有逆定理的是( )A．相反数的绝对值相等 B．两个全等三角形的对应角相等C．直角三角形的两个锐角互余 D．末位数是2的整数被2整除8．下列定理中，逆定理不存在的是( )A．等边三角形的三个内角都等于60°B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等C．同位角相等，两直线平行D．同角的余角相等9．写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理．10．下列命题与逆命题都正确的是( )A．自然数是整数 B．若a>b，则|a|>|b|C．互补的角为邻补角 D．三个角相等的三角形是等边三角形11．下列说法正确的是( )A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题12．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2>na2，则m>n；③两直线平行，内错角相等；④若a－b>0，则|a|>|b|.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．写出你熟悉的一个定理：_______________________________，写出这个定理的逆定理：_________________________________.14．举例说明下列命题的逆命题是假命题．(1)0和1的立方根等于它本身；(2)如果两个角是直角，那么这两个角互补；(3)如果三角形有一个内角是钝角，那么其余的两个角都是锐角．15．写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．16．写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是真命题．答案：1---3 CDD4. 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等真5. 两平行直线中，有一条直线与第三条直线平行，则另一直线也与第三条直线平行真6. (1)逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，是真命题(2)逆命题为：如果实数|a|＝|b|，那么a＝b，不成立，是假命题(3)逆命题为：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角，不成立，是假命题(4)逆命题为：如果两个角相等，那么它们都为直角，不成立，是假命题7. C8. D9. 有两个角相等的三角形是等腰三角形10. D11. B12. B13. 两直线平行，同位角相等同位角相等，两直线平行14. (1)－1的立方根是－1(2)锐角α＝60°，钝角β＝120°，则α＋β＝180°(3)△ABC 中，∠A ＝40°，∠B ＝80°，则∠C ＝60°15. 逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角三角形.已知，如图，△ABC 中，BE 是∠ABC 的角平分线，交AC 于E ，AD 是∠CAB 的角平分线，交BC 于D ，BE 和AD 相交于O 点，且∠EOA ＝45°.求证：△ABC 是直角三角形.证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线，AD 是∠CAB 的角平分线，∴∠OAB ＝12∠CAB ，∠OBA ＝12∠CBA ，∴∠OAB ＋∠OBA ＝12(∠CAB ＋∠CBA)，∴180°－∠AOB ＝12(180°－∠C)，∴∠AOE ＝90°－12∠C ，又∵∠EOA ＝45°，∴∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形 16. 逆命题是：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形，已知：如图，△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，且BD ＝CE ，求证：△ABC 是等腰三角形.证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB.∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°，又∵BD ＝CE ，BC ＝CB ，∴Rt △BCD ≌Rt △CBE(H .L .)，∴∠BCD ＝∠CBE ，∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形。
华师大版八年级数学上第13章全等三角形13
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【名师支招】判断逆命题的真假性，易出现只判断原命题的真假，也就 是审题不认真.
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知识点 1：互逆命题
1.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若 a＞1 且 b＞1，则 a
＋b＞2；③全等三角形的对应角相等；④直角三角形的两锐角互余.其中
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12.写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假： （1）如果 a＋b＞0，那么 a＞0习
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解：（1）逆命题：如果 a＞ 0，b＞ 0， 那么 a＋b＞ 0， 原命题为假命题，逆命题为真命题.
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【自主解答】 A.其逆命题是：两个相等的角是对顶角，故是假命题；B.其逆命题是： 同位角相等，两直线平行，故是真命题；C.其逆命题是：对应角相等的 两个三角形是全等三角形.大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等 但不全等，故是假命题；D.其逆命题是：四个角都相等的四边形是正方 形，故是假命题； 故选：B.
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14.如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，连接 AE，BE，给出下列五个关 系式：①AD∥BC；②DE＝CE；③∠1＝∠2；④∠3＝∠4；⑤AD＋BC＝AB. 将其中的三个关系式作为条件，另两个作为结论，构成一个命题.
专题15-逆命题及逆定理(知识点串讲)(解析版)
专题15 逆命题及逆定理知识框架重难突破一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.备注：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.备注：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．备注：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.备注：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.例1．（2019·四川南充市·八年级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ）A ．对顶角相等B ．等边三角形是锐角三角形C ．正方形的对角线互相垂直D ．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】解：A 、逆命题为相等的角是对顶角，不成立；B 、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；C 、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立；D 、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，故选：D ．练习1．（2019·山东德州市·）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my 【答案】C解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．练习2．（2020·山西临汾市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若22a b >，则a b >B ．两个全等三角形的对应角相等C ．若0a =，0b =，则0ab =D ．全等三角形的对应边相等解:A ：逆命题：若a b >，则22a b >，当a=1，b=-2时，错误；B ：逆命题：对应角相等的两个三角形全等，错误；C ：逆命题：若0ab =，则0a =，0b =，也可能a=0，b≠0，错误；D ：逆命题：对应边相等的两个三角形全等，根据SSS 可以判定，正确，故选D.例2．（2020·四川巴中市·八年级期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.练习1．（2018·富顺县赵化中学校八年级期末）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题（填“真”或“假”）.【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 真【解析】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．详解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．它是真命题.故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真.例3．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．∠A 、∠B 两内角的平分线的交点处B ．AC 、AB 两边高线的交点处C ．AC 、AB 两边中线的交点处D ．AC 、AB 两边垂直平分线的交点处解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．练习1．（2019·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】8 5【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=175，∴CD=BC﹣DB=5﹣175=85，故答案为85． 例4．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，在ABC 中，已知AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB .（1）若70ABC ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）若8AB cm =，MBC △的周长是14cm .①求BC 的长度；②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出PBC 周长的最小值.【答案】（1）50︒；（2）①6；②14 cm ．解：解：（1）如图，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∴△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，∵AB=8，∴AC=8，∵△MBC 的周长是14，∴BC=14-8=6；②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】（1）100°；（2）20°，推导见解析；（3）20解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．练习2．（2020·四川成都市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．（1）如图所示：（2）如图所示：点P 即为所求．例5．（2020·四川泸州市·）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，若BC 10cm =，:3:2BD CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm【答案】C过点D 作DE ⊥AB ，∵90C ∠=︒，∴DC ⊥AC,∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC,∵BC 10cm =，:3:2BD CD =，∴DE=DC=4cm ，故选：C.练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，在边AB 、AC 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点M ，作射线AM 交BC 边于点F ．若2FB =，则点F 到AC 的距离为______．【答案】2根据作图过程可知：AF 平分∠BAC ，过点F 作FG ⊥AC ，∵∠B ＝90°，∴FB ⊥AB ，∴FG ＝FB ＝2．∴点F 到AC 的距离为2．故答案为：2．练习2．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，连接AB ，得到以下结论：（1）PA =PB ；（2）OA =OB ；（3）OP 与AB 互相垂直平分；（4）OP 平分∠APB ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∵OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴P A =PB ，故（1）正确；在Rt △APO 和Rt △BPO 中，OP OP PA PB =⎧⎨=⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APO =∠BPO ，OA =OB ，故（2）正确，∴PO 平分∠APB ，故（4）正确，OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故（3）错误，故选：C ．例6．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若1BD =，3BC =，则AC 的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A解：延长BD,与AC 交于点F,∵BD CD ⊥∴∠BDC ＝∠FDC=90°∵CD 平分ACB ∠，∴∠BCD ＝∠FCD在△BDC 和△FDC 中90BDC FDC BCD FCDCD CD ∠∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ∴△BDC ≌△FDC∴BD=FD =1 BC=FC=3∵A ABD ∠=∠∴AF=BF∵1BD =，3BC =，∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5故选：A例7．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，DE 是ABC 中AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分BAC ∠，若30B ∠=︒．求C ∠的度数．【答案】∠C 的度数为90°．∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B=30°，∴AE= BE ，∴∠BAE=∠B=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠BAE=30°，即∠BAC=60°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．∴∠C 的度数为90°．练习1．（2018·四川南充市·）如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝6，AC ＝3，则BE ＝_______．【答案】32解：如图所示，连接CD 、BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中CD BDDF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △BDE∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=6，AC=3，∴BE=32．故答案为：32练习2．（2020·四川眉山市·八年级期末）已知120MAN ∠=︒，AC 平分MAN ∠，点,B D 分别在,AN AM 上．（1）如图1，若CD AM ⊥于点D ，CB AN ⊥于点B ．①利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可得,AC AD 的数量关系为________． ②请问：AC 是否等于AB AD +呢？如果是，请予以证明．（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①12AD AC =（或2AC AD =），理由见解析；②AD AB AC +=，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析解：（1）①12AD AC =（或2AC AD =） AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAD ∴∠=︒，又90ADC ∠=︒，30ACD ∴∠=︒利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可知12AD AC = ②AD AB AC += 证明：由①知，12AD AC = 同理，AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAB ∴∠=︒，又90ABC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒,12AB AC = AD AB AC ∴+=（2）仍成立证明：过点C 分别作,AM AN 的垂线，垂足分别为,E FAC 平分,MAN ∠CE CF ∴=，180,180ABC ADC ADC CDE ∠+∠=︒∠+∠=︒ CDE ABC ∴∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒()CED CFB AAS ∴∆≅∆ED FB ∴=AD AB AE ED AF FB AE AF ∴+=-++=+ 由（1）中②知AE AF AC +=AD AB AC ∴+=．。
华东师大版八年级上册数学教学设计《互逆命题与互逆定理》
华东师大版八年级上册数学教学设计《互逆命题与互逆定理》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学《互逆命题与互逆定理》一课，是在学生学习了命题与定理的基础上进行的。
本节课的主要内容是让学生理解互逆命题的概念，掌握互逆定理的证明过程，并能运用互逆定理解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习，引导学生探索互逆命题和互逆定理的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了命题与定理的基本概念，具备了一定的逻辑思维能力。
但是，对于互逆命题和互逆定理的理解和应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况，采取适当的教学策略，帮助学生理解和掌握互逆命题和互逆定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解互逆命题的概念，掌握互逆定理的证明过程，能运用互逆定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探索互逆命题和互逆定理的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：互逆命题的概念，互逆定理的证明过程。
2.难点：互逆定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生主动探索互逆命题和互逆定理的规律。
2.小组合作学习：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作精神。
3.案例教学法：通过分析实际案例，帮助学生理解互逆定理的应用。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含互逆命题和互逆定理的定义、证明过程和应用实例的PPT。
2.教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生运用互逆定理解决。
3.学习材料：为学生准备相关的学习材料，以便学生在课堂上进行自主学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何利用已学的命题和定理来解决这些问题。
通过问题的讨论，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——互逆命题与互逆定理。
初中数学知识点精讲精析 逆命题与逆定理
13.5 逆命题与逆定理学习目标1. 理解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道原命题成立，它的逆命题不一定成立；了解互逆定理。
2. 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理。
3. 掌握角平分线性质定理及逆定理。
知识详解1. 互逆命题与互逆定理一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题。
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题，但是原命题正确，它的逆命题未必正确。
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
2. 线段垂直平分线线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”。
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三边的垂直平分线交于一点。
3. 角平分线角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”。
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点。
【典型例题】例1：如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点【答案】A【解析】△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．例2：如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CDB．∠DAC=∠BC．∠C＞2∠BD．∠B+∠ADE=90°【答案】D【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．例3：如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B 的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°【答案】B【解析】在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分线∴∠B=∠BAD ∵∠CAD：∠DAB=2：1 ∴4∠B=90°∴∠B=22.5°【误区警示】易错点1：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】∵BC的中垂线交斜边AB于D，CD=BD，CE=BE，∴∠B=∠BCD，又∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°∴∠A=∠ACD，∴AD=CD ∴AD=BD 共4组．易错点2：线段的垂直平分线的性质2. 线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C【解析】∵CA=CB，DA=DB，∴CD垂直平分AB且垂足为M．∵∠ADB=80°，∠CAD=10°，∴∠ACM=50°，∴∠ACB=100°．【综合提升】针对训练1. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上．A．ABB．ACC．BCD．不能确定2. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD=CD，AB=7.8，AC=3.9，DE⊥BC于E，则图中有（）个60°的角．A．2B．3C．4D．53. 下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1.【答案】B【解析】∵BC=BD+AD=BD+CD ∴AD=CD ∴点D在AC的垂直平分线上2.【答案】D【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7.8，AC=3.9 ∴∠B=30°∵BD=CD ∴∠DCB=∠B=30°又DE⊥BC于E ∴∠BDE=∠CDE=60 ∴∠ACD=90°﹣30°=60°∴△ACD为等边三角形∴∠ADC=∠DAC=∠ACD=∠CDE=∠BDE=60°3.【答案】C【解析】①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合逆定理，是正确的；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合逆定理，是错误的。
《13.51互逆命题与互逆定理》作业设计方案-初中数学华东师大版12八年级上册
《互逆命题与互逆定理》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过实践操作和理论学习相结合的方式，使学生能够：1. 理解互逆命题与互逆定理的基本概念；2. 学会判断一个命题的逆命题及其真假性；3. 初步掌握互逆定理在解题中的应用。
二、作业内容1. 理论知识学习：学生需仔细阅读教材中关于互逆命题与互逆定理的章节，掌握相关概念及定理，理解其内涵与外延。
2. 练习判断：设计一系列关于互逆命题的判断题，要求学生根据所学知识判断每个命题的逆命题是否成立，并说明理由。
3. 案例分析：选取几个典型的互逆定理应用题目，让学生分析解题思路，理解互逆定理在解题中的具体应用。
4. 小组合作：学生需以小组形式，探讨并解决一个与互逆命题与互逆定理相关的实际问题，如“如何通过已知条件推导出相关结论”。
5. 拓展延伸：鼓励学生查阅相关资料，了解互逆命题与互逆定理在数学及其他学科中的应用，拓宽知识面。
三、作业要求1. 理论知识学习：要求学生认真阅读教材，做好笔记，理解并掌握互逆命题与互逆定理的基本概念。
2. 练习判断：学生需独立完成判断题，并记录下自己的思考过程和答案。
3. 案例分析：学生需认真分析每个案例的解题思路，并尝试自己动手解答，记录下解题过程和答案。
4. 小组合作：小组内成员需分工合作，共同完成实际问题，并记录下讨论过程和结果。
5. 拓展延伸：学生需查阅相关资料，并做好笔记，准备在下节课进行分享。
四、作业评价1. 教师根据学生完成情况，对理论知识学习、练习判断、案例分析等部分进行评分。
2. 教师根据小组合作的实际情况，对小组合作部分进行评分。
3. 教师将学生的拓展延伸内容进行整理，挑选出优秀的内容在下节课进行分享，并给予相应加分。
五、作业反馈1. 教师将作业中普遍存在的问题进行汇总，并在下节课进行讲解。
2. 对表现优秀的学生进行表扬，鼓励其他学生向其学习。
3. 根据学生的作业情况，调整后续教学计划，确保学生能够更好地掌握互逆命题与互逆定理的相关知识。
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一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可 以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假 命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命 题，且是定理． 注意2： 逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题 注意3： 不是所有的定理都有逆定理
例题3 下列定理有没有逆定理？为什么？
对顶角相等.
逆命题： 如果一个三角形的每个角都等于60°， 那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等.
条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等.
逆命题： 如果两个三角形的对应角相等， 那么这两个三角形全等.
（4）如果 a=b，那么 a = b
6、到一个角的两边距离相等的点， 在这个角的平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上. 逆命题： 角平分线上一点到角两边的距离相等.
5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的 两个端点的距离相等. 题设：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题： 到一条线段的两个端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上.
如何写出原命题的逆命题？
原命题 原命题的条件 原命题的结论
逆命题
逆命题的条件
逆命题的结论
例1.写出下列各命题的逆命题.
（1）如果|a|=|b|，那么a=b
逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
（2）同位角相等
逆命题：相等的角是同位角，
练习1、写出下列命题的逆命题，并 判断其真假.
1、同旁内角互补，两直线平行. 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真 2、有两个角相等的三角形是等腰三角形. 逆命题：如果一个三角形是等腰三角形， 那么它有两个角相等. 真
在两个命题中，如果第一个命题的
题设是第二个命题的结论，而第一个
命题的结论又是第二个命题的题设， 那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题。
那么另一个命题叫做它的逆命题.
例如： “两直线平行，内错角相等”叫做原命题， 那么“内错角相等，两直线平行”叫做 上面命题的逆命题.
每一个命题都有逆命题，只要将原命题 的条件改成结论，并将结论改成条件， 便可得到原命题的逆命题． 但是原命题正确，它的逆命题未必正 确． 例如真命题“对顶角相等”的逆命题为 “相等的角是对顶角”，此命题就是假 命题．
举反例：例如一个等腰三角形的两个底角相等， 但这两个底角不可能是是直角.
如果一个定理的逆命题也是定理，那么 这两个定理叫做互逆定理。
其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。 我们已经知道命题“两直线平行，内错角相 等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平 行”都是定理，因此它们就是互逆定理．
注意1:
பைடு நூலகம்13 .5 互逆命题和互逆定理
回顾旧知
• 什么叫命题？ 判断某一件事情的句子叫做命题。
•命题由几部分组成,一般可以写成什么样的 形式?
由题设和结论两部分组成。
可以写成“如果……那么……”的形式
•命题有真命题和假命题之分.
条件 ，由已知 （1）命题中，已知事项叫做_____ 结论 事项推出的事项叫做_______. 条件 ， （2）命题中“如果”开始的部分叫做_____ 结论 “那么”开始的部分叫做_______. （3）经过逻辑推理证明是正确的命题叫做 定理 ________.
练一练
下列句子是命题的是（ D ） A.画∠AOB=45° C.连结CD B.小于直角的角是锐角吗？ D. 三角形内角和等于900°
祈使句和疑问句都不是命题
几何作法也不是命题！
观察与思考
（1）两直线平行，内错角相等.
（2）内错角相等，两直线平行.
分别说出上面两个命题的题设和结论. 思考它们之间有什么关系？
注：因为定理的逆命题不一定是真命题， 所以一个定理不一定有逆定理.
请同学们谈谈本堂课都学习了什么内容？ 互逆命题和互逆定理 题设和结论 原命题 ——————>逆命题 互换 注：（1）每个命题都有逆命题.
（2）真命题的逆命题不一定是真命题. 证明 定理—>逆命题 ———> 逆定理 为真
注：一个定理不一定有逆定理.
练习2、举例说明下列命题的逆命题是假命题. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整 数 能被5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数 的个位数字是5. 举反例：例如20能被5整除，但它的个位数是0.
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
练习2：指出下列命题的条件和结论，并 说出它们的逆命题。 1、如果一个三角形是直角三角形， 那么它 的两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题： 如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
2、等边三角形的每个角都等于60° 条件：一个三角形是等边三角形. 结论：它的每个角都等于60°