高二数学教案：直线的参数方程学案-学习文档
高中数学必修4《直线的参数方程》导学案
§2．3 直线的参数方程1,了解直线参数方程的条件及参数的意义2,能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 3,通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【重点、难点】\教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 二、学习过程 【情景创设】1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参 【导入新课】1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是030，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）三 、典例分析 1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ）A ．6π或65πB ．4π或43πC ．3π或32πD ．6π-或65π-2、(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．【变式拓展】(2009天津理)设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______四、总结反思1,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数 （2） 三角法：利用三角恒等式消去参数（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
直线的参数方程及其应用学案
直线的参数方程及其应用学案一、直线的参数方程定义：直线是平面上的一种图形，可以用直线上的一个点和方向来唯一确定。
通过参数方程，可以将直线的方程转化为参数的形式。
x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)为直线上的一个点，a和b为直线的方向向量。
二、直线参数方程的应用：1.直线的点线距离：直线的一般方程为Ax+By+C=0，点(x0,y0)到直线的距离为：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)利用直线的参数方程，可以将点线距离公式转化为参数的形式：d=，(a,b)×(x0-x,y0-y)，/√(a^2+b^2)其中，(a,b)为直线的方向向量，(x,y)为直线上的点坐标。
2.直线的夹角：直线的夹角是指两条直线之间的夹角，可以通过直线的方向向量来求解。
直线的方向向量为(a,b)和(c,d)，夹角θ的余弦公式为：cosθ = (a * c + b * d) / (√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2))3.直线的平行与垂直关系：两条直线平行或垂直的条件为，它们的方向向量成比例或互相垂直。
假设直线的方向向量分别为(a,b)和(c,d)，则有以下判断条件：-平行关系：a*d-b*c=0；-垂直关系：a*c+b*d=0。
4.直线的位置关系：两条直线的位置关系可以通过它们的方向向量和一个公共点来判断。
-相交关系：两条直线的方向向量不成比例，且它们通过一个公共点；-重合关系：两条直线的方向向量成比例，且它们通过无穷多个公共点；-平行关系：两条直线的方向向量成比例，且它们不通过任何公共点。
三、直线参数方程的解题步骤：1.根据已知条件确定直线的方向向量(a,b)；2.根据直线上的一个点(x0,y0)和方向向量(a,b)，写出直线的参数方程；3.根据具体的问题要求，进行参数的取值范围限制；4.根据参数方程求解具体的点坐标，或利用参数方程进行相关计算。
四、直线参数方程的例题分析：例题1：已知直线L1的一个点为A(2,3)，方向向量为(1,-2)，求直线L1与直线L2：x=3t+1,y=2t-1的夹角。
直线参数方程教案
直线参数方程教案教案标题：直线参数方程教案教学目标：1. 理解直线的参数方程表示方法；2. 掌握求解直线参数方程的方法；3. 能够应用直线参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、计算器等；2. 学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入直线方程的概念，提醒学生之前学习过的直线方程形式；2. 引导学生思考，直线是否可以用参数方程来表示。
二、讲解直线参数方程的概念（10分钟）1. 教师通过示意图，引导学生理解参数方程的概念；2. 解释直线参数方程的定义和意义；3. 提供直线参数方程的一般形式：x = x₁ + at, y = y₁ + bt，并解释各个参数的含义。
三、求解直线参数方程的步骤（15分钟）1. 教师通过示例，详细讲解求解直线参数方程的步骤；2. 强调确定直线上的一点和直线的方向向量的重要性；3. 指导学生如何通过已知条件确定直线上的一点和直线的方向向量。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生个人或小组完成练习题，求解给定直线的参数方程；2. 学生互相讨论解题思路和答案，教师进行指导和纠正。
五、应用实例（10分钟）1. 教师提供一个实际问题，引导学生将其转化为直线参数方程的求解；2. 学生个人或小组完成实际问题的求解，并展示解题过程和答案。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调直线参数方程的重要性和应用；2. 引导学生思考，直线参数方程在其他数学领域的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固直线参数方程的求解方法；2. 鼓励学生自主拓展，寻找更多直线参数方程的应用实例。
教学反思：教案中通过导入、讲解、练习、应用等环节，全面引导学生理解和掌握直线参数方程的概念、求解方法和应用实例。
通过练习和应用实例的训练，能够提高学生对直线参数方程的理解和运用能力。
同时，鼓励学生自主拓展，培养学生对数学知识的独立思考和应用能力。
《2-3 直线的参数方程》教案
选修4-4 2-3直线的参数方程（第二课时）一、教学目标：知识与技能：掌握直线的参数方程。
过程与方法：.通过直线参数方程的应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化等数学思想。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：对直线的参数方程的考查。
教学难点：直线的参数方程中参数t 的几何意义。
三、教学方法：自主学习与合作交流.四、教学过程（一）复习引入：（1）经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）。
【师生活动】教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； ②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．（2）直线 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，对应的参数分别为12,t t 。
（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？12121M M t t =-（）， 1222t t t +=（） 【设计意图】复习直线的参数方程，体会参数的几何意义。
（二）基础练习1．直线 的倾斜角为________________。
2．已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，求B 点坐标 ________。
2.2.3直线的参数方程(教学设计)
2.2.3直线的参数方程（教学设计）(2课时)教学目标：知识与技能：1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系．教学过程：一、复习回顾：1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．2.直线的方向向量的概念．3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．5.如何建立直线的参数方程？二、师生互动，新课讲解1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：=；②当OM与OA方向一致①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OM tOAt>；时（即OM的方向与数轴正方向一致时），0t<；当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），0t=；当M与O重合时，0③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备． 2.类比分析，异曲同工问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上(l 的倾斜角不为0时)或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备． 3. 选好参数，柳暗花明问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程． 【设计意图】明确参数．问题（2）：如何确定直线l 的单位方向向量e ？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定．当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想． 4. 等价转化，深入探究问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、，怎样用参数t 表示,x y ？ 教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下： 因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--，0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=， 即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．教师提出如下问题让学生加强认识： ①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ ②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； ②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义． 三、运用知识，培养能力012012121212cos (sin ().||.||.||||.|||1 ||| 直线为参数）上有参数分别为和对应的两点和，则，两点的距离为 例x x t t t t A B A B y y t a A t t B t t C t t D t t α=+⎧⎨=+⎩+-+-010cos ()sin ()2 在参数方程为参数所表示的直线上有，两点，它们对应的参数值分别为、 例则线段的中点对应的参数值是x x t t B C t y y t BC M θθ=+⎧⎨=+⎩例4 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin 20°＋3，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( ) A ．20° B ．70° C ．110° D ．160°例5(课本P36例1) 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由210x y y x +-=⎧⎨=⎩，得210(*)x x +-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-⋅=-，．AB ∴===由（*）解得121122x x -+-==12y y ∴==．所以A B ，．则MA MB⋅=2===．()()0121201212121212000121212cos ()0.sin (1)||||(2)23,=0 直线(为参数)与曲线，交于，两点，对应的参数分别为，曲线的弦的长是多少？线段的中点对应的参数的值是多少？若定点恰是线段的中点，则？t 小结：x x t t f x y M M t t y y t M M M M t t M M M tt t t P x y M M t tt αα=+⎧=⎨=+⎩=-+=++=()()()1321 2113 2把下列参数方程与直角方程互化：为例参数x t t x y t ⎧=-+⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解法二、因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为34π，所以它的参数方程是31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），即1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）．把它代入抛物线的方程，得220t -=，解得1t =，2t =由参数t的几何意义得：12AB t t =-=122MA MB t t ⋅==．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．例6(课本P37例2)、经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于A,B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．分析：引导学生以M 作为直线l 上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B 两点对应的参数分别为12,t t ，则由120t t +=求出直线l 的斜率．教师板书，过程如下：解：设过点(2,1)M 的直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入椭圆方程，整理得22(3sin 1)4(cos 2sin )80t ααα+++-=．因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B 两点对应的参数分别为12,t t ，则1224(cos 2sin )3sin 1t t ααα++=-+． 因为点M 为线段AB 的中点，所以1202t t+=，即cos 2sin 0αα+=．于是直线l 的斜率1tan 2k α==-．因此，直线l 的方程是11(2)2y x -=--，即240x y +-=．教师引导学生课下用其他方法解决．思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？由学生课下解决．【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．例7（课本P37例3）.当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300Km 处生成,并以40km/h 的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250k m 以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?思考：在例3中，海滨城市O 受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250KM ，并以10KM/h 的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？[来源:Z|xx|]例8（课本P38例4）如图所示，AB ，CD 是中心为点O 的椭圆的两条相交弦，交点为P ，两弦AB ，CD 与椭圆长轴的夹角分别为1,2∠∠，且12∠=∠，求证：｜PA ｜*｜PB ｜＝｜PC ｜*｜PD ｜探究：如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？三、课堂小结，巩固反思： （1）直线参数方程求法； （2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。
直线参数方程课时优秀教案
直线参数方程（第一课时）学案目标点击：1．掌握直线参数方程地标准形式和一般形式，理解参数地几何意义； 2．熟悉直线地参数方程与普通方程之间地互化；基础知识点击：1、直线参数方程地标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α地直线l 地参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 地几何意义：t 表示有向线段0p p u u u u r 地数量，P(y x ,) 为直线上任意一点.则0p p u u u u r=t ∣0p p u u u u r∣=∣t ∣(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应地参数分别为t 1、t 2，则1p p u u u r =t 2－t 1∣1p p u u u r∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上地点，所对应地参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3地参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2地中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程地一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =地直线地参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数） 一、直线地参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α地直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，直线L 地正方向）过点P 作y 轴地平行线，过P 0轴地平行线，两条直线相交于Q 点.1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝ Q P ＝0y y -∴0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 求地直线l 地参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)P在点P 0地上方；2.当t ＝0时，点P 与点P 0重合；3.当t<0时，点P 在点P 0地下方；x l特别地，若直线l 地倾斜角α＝0时，直线l⎧+=0tx x ① 当t>0时，点P 在点P 0地右侧； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0地左侧； 问题2：直线l 上地点与对应地参数t 是不是一对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上地方向为正方向，以定点P 0原坐标系地单位长为单位长，这样参数t 数轴上地点P 建立了 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t ∣问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2地中点，1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？根据直线l P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2∴|P 1P |＝|P 2P | P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2地中点则t 3＝221t t +（∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t ∴P 1P 3= t 3－t 1,P 2P 3=t 3－t 2,∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）基础知识点拨：1、参数方程与普通方程地互化例1：化直线1l 地普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数地几何意 义,说明∣t ∣地几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33设倾斜角为α，tg α=－33,α=π65, cos α =－23, sin α=211l 地参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 （t 为参数） t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应地点M(y x ,)地有向线段M M 0地数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1) 231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应地点M(y x ,)地有向线段MM 0地长.点拨：求直线地参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数地几何意义.例2：化直线2l 地参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，x x说明∣t ∣地几何意义.解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t31(1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ， 得)3(31+=-x y (点斜式)可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π普通方程为 01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应地点M(y x ,)地有向线段M M 0地长地一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t 地几何意义是不同地，直线1l 地参数方程 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程地标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 地几何意义是有向线段M M 0地数量.直线2l 地参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t 313y tx 是非标准地形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 地几何意义是有向线段M M 0地数量地一半.你会区分直线参数方程地标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t 331y tx （t 为参数）是否为直线l 地参数方程？如果是直线l 地参数方程，指出方程中地参数t 是否具有标准形式中参数t 地几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 地地普通方程 0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 地参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0地数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述地几何意义.点拨：直线地参数方程不唯一，对于给定地参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 地几何意义解决有关问题.问题5：直线地参数方程⎩⎨⎧+=+= t 331y tx 能否化为标准形式？是可以地，只需作参数t 地代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t 331yt x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l参数方程地标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t '地几何意义是有向线段M M 0地数量.2、直线非标准参数方程地标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程地一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00（t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 地几何意义是有向线段M M 0地数量. (2)当22b a +≠1时，则t 不具有上述地几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a by y t b a a x x 220220 t '地几何意义是有向线段M M 0地数量. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π地直线l 地标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2地点地坐标.解：直线l 地标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222（t 为参数）（1） 设直线l 上与已知点M 0相距为2地点为M 点，且M 点对应地参数为t,则|M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 地值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点地上方，其坐标为（－2－2，3＋2）； 当t=-2时，M 点在 M 0点地下方，其坐标为（－2＋2，3－2）.点拨：若使用直线地普通方程利用两点间地距离公式求M 点地坐标较麻烦， 而使用直线地参数方程，充分利用参数t 地几何意义求M 点地坐标较容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=οο20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）地倾斜角 . 解法1：消参数t,地34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式：⎩⎨⎧-+=-+=οο110sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数）∴此直线地倾斜角为110°。
直线的参数方程 教案
直线的参数方程教案教案标题：直线的参数方程教案目标：1. 理解直线的参数方程的定义和概念；2. 掌握求解直线的参数方程的方法；3. 能够应用直线的参数方程解决实际问题。
教学重点：1. 直线的参数方程的定义和概念；2. 求解直线的参数方程的方法。
教学难点：1. 运用直线的参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、黑板、彩色粉笔、教案、课件；2. 学生准备：课本、笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线的概念，复习直线的一般方程和斜率截距方程。
二、知识讲解（15分钟）1. 介绍直线的参数方程的概念和定义；2. 讲解直线的参数方程的一般形式和求解方法；3. 通过示例演示如何将直线的一般方程或斜率截距方程转化为参数方程。
三、示范演练（15分钟）1. 给出一些直线的一般方程或斜率截距方程，要求学生转化为参数方程；2. 学生跟随教师的指导进行演练。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直线的参数方程解决；2. 学生独立或小组合作完成拓展应用题。
五、讲评与总结（10分钟）1. 教师对学生的演练和拓展应用进行讲评；2. 总结直线的参数方程的求解方法和应用。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业：完成课后习题中与直线的参数方程相关的题目。
教学反思：本节课通过引入直线的概念，再结合直线的一般方程和斜率截距方程，引出了直线的参数方程的概念和定义。
通过示例演示和学生的跟随指导进行演练，加深了学生对直线的参数方程求解方法的理解和掌握。
通过拓展应用，培养了学生运用直线的参数方程解决实际问题的能力。
在讲评与总结环节，对学生的答案进行了讲评，巩固了学生的学习成果。
最后，布置了课后作业，巩固学生的学习效果。
整节课教学内容紧凑，学生参与度高，达到了预期的教学目标。
《直线的参数方程》教案
《直线的参数方程》教案（第1课时）一、【教学目标】1、知识与技能：能根据直线的几何条件，选择参数写出直线的参数方程；能比较深刻的理解直线参数方程中参数t的几何意义并初步应用;2、过程与方法：启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用3、情感态度价值观：在探求直线参数方程中注重锻炼学生的发散式思维，在探究活动中培养学生思考问题的严密性和概括能力.二、【教学重点、难点】重点：联系向量知识写出直线的参数方程,并理解参数的几何意义；难点：从直线的几何条件联想到向量；参数t的几何意义及简单应用的探究.三、【教学方法与手段】启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用四、【教学过程】（一）复习引入1、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2、根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？3、根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样选择参数？（二） 任务一：探求直线的参数方程1.我们知道过定点000(,)M x y ，且倾斜角为α（2πα≠）的直线l 可以唯一确定，其普通方程是00tan ()y y x x α-=-.2.其参数方程如何建立呢？引导学生思考：倾斜角可以刻画直线的方向，那么能否换一个量来刻画直线的方向呢？从而引进直线l 的单位方向向量(c o s ,s i n ),[e αααπ=∈.又000(,)M M x x y y =--，0//M M e ，由向量共线定理的坐标表示易知存在实数t R ∈，使得00(,)(cos ,sin ),x x y y t αα--=化简得直线的参数方程为（三）梳理归纳（1）直线的参数方程中的变量和常量；（2）直线参数方程的形式；(3) 参数t 的取值范围是什么?（4) 参数t 的意义是什么? （问而不答，通过探究表让学生自己探究，见附页）{00cos ,(t )sin ,x x t y y t αα=+=+为参数随堂检测：（四） 探究参数的几何意义及简单应用梳理归纳：参数t 的意义主要体现在2个方面：①t 的大小（即绝对值）等于0M M 的长度（即0M 与M 的距离）； ②t 的正负决定了0M M 的方向.（五）、任务二：例题讲解通过例题数学生对直线参数方程以及参数t 的几何意义理解更清楚，如下例。
《直线的参数方程》教学案3
《直线的参数方程》教学案3教学目标1. 了解直线参数方程的条件及参数的意义.2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义.3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识.教学重点直线参数方程的定义及方法教学难点选择适当的参数写出曲线的参数方程.教学用具PPT 课件 多媒体教学过程直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M →|.课堂互动1．若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？ 【提示】 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.(t 为参数)2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上； ②当t ＜0时，M 0M →的方向向下；例题讲解已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【思路探究】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【自主解答】 (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝(cos π6，sin π6)＝(32，12)． ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4(32，12)＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．规律方法1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数)．变式训练设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 56π＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 56π＝3＋t 2.(t 为参数)(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4(－3－32t )2＋(3＋12t )2－16＝0. 即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0.由t 的几何意义，知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.课堂作业1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45° D．135°【解析】 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B. 【答案】 B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)【解析】 直线表示过点(1，－2)的直线． 【答案】 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1C.22 D ．－22【解析】 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. 【答案】 B4．(2013·濮阳模拟)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直． ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×(－32)＝－1，∴k ＝－6.【答案】 －6课后作业(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1－2t (t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C.【答案】 C2．(2013·许昌模拟)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t y ＝2＋t(t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x 2＋y 2＝x ，即(x －12)2＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线．【答案】 D3．原点到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t y ＝－32＋3t (t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 消去t ，得3x －4y －15＝0， ∴原点到直线3x －4y －15＝0的距离 d ＝|3×0－4×0－15|32＋－42＝3. 【答案】 C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t ，(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)【解析】 将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得(1＋t 2)2＋(－33＋32t )2＝16，∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6， 因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 36．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 曲线C 1和C 2的普通方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5x －y ＝1(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．【答案】 (2,1)三、解答题(每小题10分，共30分)7．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t，(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．【解】 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故k ＝3＝tan α，即α＝π3.因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2，∴|t |＝x ＋32＋y －122.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．8．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t ，(t 为参数)求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．【解】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.∴直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t .(t 为参数)化为普通方程为x －y －1＝0. 曲线C 的圆心(2,0)到直线l 的距离为12＝22，所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为24－12＝14. 9．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，(12，－1)．教后反思。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案一、教学目标1.理解直线的参数方程的概念和基本思想；2.掌握直线的参数方程的求解方法；3.能够应用直线的参数方程解决相关问题。
二、教学内容1.直线的参数方程的定义和思想；2.直线的参数方程的求解方法；3.直线参数方程的应用。
三、教学重难点1.直线参数方程的概念和思想；2.直线参数方程的求解方法。
四、教学过程1. 引入教师可以通过一个生活中的例子引入直线的参数方程，如一辆汽车在直线道路上的行驶。
引导学生思考，如何用一个参数来描述汽车在直线上的位置。
2. 知识讲解2.1 直线的参数方程的定义直线的参数方程是指用参数的形式来表示直线上的点的坐标。
一般形式为：x = x0 + t * ay = y0 + t * b其中，(x0, y0)为直线上的一点，(a, b)为直线的方向向量，t为参数。
2.2 直线参数方程的求解方法求解直线的参数方程，可以根据直线上的已知点和方向向量来确定参数方程的具体形式。
步骤如下：1.确定直线上的一点(x0, y0)和方向向量(a, b)；2.应用参数方程的定义，写出直线的参数方程。
3. 实例演练教师可以选择一些具体实例，引导学生运用直线的参数方程解决问题。
例如，求直线L上距离(1, 2)最近的点。
解：已知直线L的参数方程为：x = 3 + ty = -1 + t点(1, 2)到直线L上的任意点(3 + t, -1 + t)的距离可以表示为：d = sqrt((1 - 3 - t)^2 + (2 + 1 - t)^2)为了求d最小，可以对d求导，令导数为零。
通过求导和解方程，可得t = 1。
代入参数方程，得(4, 0)。
故直线L上距离(1, 2)最近的点为(4, 0)。
4. 拓展应用教师可以引导学生思考直线参数方程在其他几何问题中的应用，如求两直线的交点、求直线与平面的交点等。
五、教学本节课我们学习了直线的参数方程的概念、基本思想和求解方法。
通过实例演练，我们掌握了如何应用直线的参数方程解决相关问题。
直线参数方程教案
直线参数方程教案一、教学目标1. 理解直线参数方程的概念及意义。
2. 学会将直线的标准参数方程和一般参数方程进行转换。
3. 能够运用直线参数方程解决实际问题。
二、教学内容1. 直线参数方程的定义及表示方法。
2. 直线参数方程与直角坐标方程的互化。
3. 直线参数方程的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：直线参数方程的概念、表示方法及应用。
2. 难点：直线参数方程与直角坐标方程的互化。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直线参数方程的概念、表示方法及应用。
2. 利用数形结合法，引导学生直观地理解直线参数方程与直角坐标方程的关系。
3. 运用实例分析法，让学生学会运用直线参数方程解决实际问题。
五、教学准备1. 投影仪或黑板。
2. 直线参数方程的相关教案、PPT等教学资源。
3. 练习题及答案。
教案一、导入（5分钟）1. 复习直线的直角坐标方程。
2. 提问：如何用参数表示直线上的一点？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解直线参数方程的概念。
参数方程：对于一条直线，设其上任意一点P的坐标为(x, y)，参数为t，则直线上的点P可以表示为(x=x0+at, y=y0+bt)，其中a、b、t为常数。
2. 讲解直线参数方程的表示方法。
标准参数方程：对于直线y=kx+b，其标准参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，其中a=1/k，b=y0-bx0。
一般参数方程：对于直线ax++c=0，其一般参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，其中a、b、t为常数，且满足at+by0+c=0。
3. 讲解直线参数方程与直角坐标方程的互化。
将直线参数方程中的t表示为x或y的函数，代入直角坐标方程中，即可得到直线参数方程与直角坐标方程的互化关系。
三、实例分析（10分钟）1. 分析直线参数方程在实际问题中的应用。
举例：一辆火车以每小时60公里的速度沿着直线轨道行驶，从原点出发，经过3小时后，离原点的距离为180公里，求火车的行驶路线方程。
直线参数方程教案
直线参数方程教案教学目标：1. 理解直线参数方程的概念和特点；2. 学会将直线参数方程转换为普通方程；3. 能够应用直线参数方程解决实际问题。
教学重点：1. 直线参数方程的概念和特点；2. 直线参数方程与普通方程的转换方法。
教学难点：1. 直线参数方程的理解和应用；2. 直线参数方程与普通方程的转换。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 直线参数方程的相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线的概念，引导学生回顾直线的普通方程；2. 提出直线参数方程的概念，引导学生思考直线参数方程的特点和应用。
二、直线参数方程的概念和特点（15分钟）1. 讲解直线参数方程的定义和形式；2. 解释直线参数方程的特点，如参数的意义和直线的截距式表示；3. 通过示例展示直线参数方程的应用，如直线的倾斜角和斜率的计算。
三、直线参数方程与普通方程的转换（20分钟）1. 讲解直线参数方程与普通方程的转换方法；2. 引导学生通过转换方法将直线参数方程转化为普通方程；3. 通过示例和练习题巩固转换方法。
四、直线参数方程的应用（15分钟）1. 讲解直线参数方程在实际问题中的应用，如物体的运动轨迹和工程中的直线测量；2. 引导学生运用直线参数方程解决实际问题；3. 通过示例和练习题巩固直线参数方程的应用。
五、总结和作业布置（5分钟）1. 总结直线参数方程的概念、特点和应用；2. 强调直线参数方程与普通方程的转换方法的重要性；3. 布置相关作业，巩固所学内容。
教学反思：在教学过程中，要注意通过示例和练习题让学生充分理解和掌握直线参数方程的概念和应用。
要引导学生思考直线参数方程的特点和与普通方程的关系，提高学生的数学思维能力。
六、直线参数方程的图形分析（15分钟）1. 使用课件或黑板展示直线参数方程的图形；2. 分析直线参数方程中参数t的变化对直线位置的影响；3. 引导学生观察直线参数方程的图形特征，如直线倾斜角的变化和截距的变化。
高中数学2.5 直线的参数方程 教案 北师大版选修4
高中数学第五课时 直线的参数方程一、教学目标：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是30，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3），那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。
带符号. （2）、经过两个定点Q11(,)y x ，P22(,)y x (其中12x x≠)的直线的参数方程为121121(1){x X y y x y λλλλλλ++++==≠-为参数，。
其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。
这里参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的数量比QMMP 。
直线的参数方程教案word文档
直线的参数方程教案word文档直线的参数方程教学目标：1.联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学手段：多媒体课件教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题：1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程2.直线的方向向量的概念3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程5.如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备二、直线参数方程探究1回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为，那么：为数轴的单位方向向量，方向与数轴的正方向一致，且；当与方向一致时（即的方向与数轴正方向一致时），；当与方向相反时（即的方向与数轴正方向相反时），；当M与O重合时，；教师用几何画板软件演示上述过程【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备2.类比分析，异曲同工问题：(1)类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？(2)把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线上的定点为原点，与直线平行且方向向上(的倾斜角不为0时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量确定直线的正方向，同时在直线上确定进行度量的单位长度，这时直线就变成了数轴于是，直线上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备3.选好参数，柳暗花明问题(1)：当点M在直线上运动时，点M满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线当成数轴后，直线上点M 运动就等价于向量变化，但无论向量怎样变化，都有因此点M在数轴上的坐标决定了点M的位置，从而可以选择作为参数来获取直线的参数方程【设计意图】明确参数问题(2)：如何确定直线的单位方向向量？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出，从而明确直线的方向向量可以由倾斜角来确定当时，所以直线的单位方向向量的方向总是向上【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想4.等价转化，深入探究问题：如果点,M的坐标分别为，怎样用参数表示？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流过程如下：因为，（），所以存在实数，使得，即于是，即，因此，经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）教师提出如下问题让学生加强认识：直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？参数的取值范围是什么？参数的几何意义是什么？总结如下：，是常量，是变量；；由于，且，得到，因此表示直线上的动点M到定点的距离当的方向与数轴（直线）正方向相同时，；当的方向与数轴（直线）正方向相反时，；当时，点M与点重合【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义三、运用知识，培养能力例1.已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点到A,B两点的距离之积先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由，得设，,由韦X定理得：由（_）解得，所以则解法二、因为直线过定点M，且的倾斜角为，所以它的参数方程是（为参数），即（为参数）把它代入抛物线的方程，得，解得，由参数的几何意义得：，在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力探究：直线（为参数）与曲线交于两点，对应的参数分别为(1)曲线的弦的长是多少？(2)线段的中点M对应的参数的值是多少？先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：，【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力例2、经过点作直线，交椭圆于A,B两点如果点M恰好为线段AB的中点，求直线的方程分析：引导学生以M作为直线上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B两点对应的参数分别为，则由求出直线的斜率教师板书，过程如下：解：设过点的直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程，整理得因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为，则因为点M为线段AB的中点，所以，即于是直线的斜率因此，直线的方程是，即教师引导学生课下用其他方法解决思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线的方程怎样求？由学生课下解决【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用四、自主解决，深入理解已知过点，斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标本题由学生独立完成，教师补充完善解：设过点的直线AB的倾斜角为，由已知可得：，所以，直线的参数方程为（为参数）代入，整理得中点M的相应参数是，所以点M的坐标是【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识五、归纳总结，提升认识先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结教师在学生总结的基础上再进行概括1知识小结本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用2思想方法小结在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力六、布置作业，巩固提高1.教材P391,3；2.思考题：若直线的参数方程为（为常数，为参数），请思考参数的意义【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间七、板书设计直线的参数方程1.直线的参数方程3.例题分析2.弦长公式教案设计说明本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标表示，因此可以选择坐标为直线参数方程中的参数从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标与坐标及倾斜角之间关系的问题这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性。
2019-2020学年高二数学《直线的参数方程》学案
2019-2020学年高二数学《直线的参数方程》学案教学目标：分析直线的几何性质，选择适当的参数，写出它的参数方程；理解参数的几何意义，并会简单应用教学重点：直线的参数方程，参数的几何意义 教学难点：直线参数方程的理解，参数几何意义的理解和应用教学过程：一、知识引入过点),(000y x M ，倾斜角为α)2(πα≠的直线l 的普通方程是： ①分析：α体现方向，直线上任一点Ｍ与0M 可以通过距离||0MM 或向量M M 0建立联系，而且发现向量M M 0的方向与α密切相关，因此可借助向量的工具建立直线的参数方程，如下：图中，在直线l 上任取一点),(y x M ，则=M M 0 ．设e是直线l 的单位方向向量（与直 l 线平行，且模长为１），则e 的坐标 可写成： )),0[(πα∈．因为e M M //0，所以存在实数R t ∈，使e t M M =0，该等式用坐标表示为： ，于是：， ，即：，因此，经过点),(000y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：②说明：仅当参数方程形如上式，α才代表直线的倾斜角．例1． 写出直线:l 01=+-y x 的一个参数方程．说明：取的定点不同，得到的参数方程会不同．例2．⎪⎩⎪⎨⎧+=-= 120sin 1120cos 2t y t x )(为参数t 是否表示直线？若是，写出它的倾斜角．练习.求出下列直线的倾斜角（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+= 60cos 160sin 2t y t x )(为参数t（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 211232)(为参数t（3）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 132)(为参数t说明：也可化为普通方程，由斜率得倾斜角二、参数的几何意义探究思考：能否由e t M M =0得到直线l 参数方程中t 的几何意义？① 可知1||=e ，则e t M M =0⇒||||||||||0t e t e t M M =⋅== ，因此，对于直线上任意一点M ，都有||||0t M M =；② 当πα<<0，0sin >α，则直线l 的单位方向向量e 的纵坐标恒正，即e 的方向总是向上的．此时，若0>t ，则M M 0与e 同向，即M M 0方向向上；若0<t ，则M M 0与e反向，则M M 0方向向下；若0=t ，00 ==e t M M ，点M 与0M 重合．以上两点分别从距离与方向两方面说明了ｔ的几何意义． 注意：仅当直线的参数方程形如②式，参数才有上述几何意义．三、参数几何意义的拓展、应用探究：已知过点),(000y x M ，倾斜角为α的直线l 参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x )(为参数t ，1M 、2M 为l 上两个不同的点，且对应的参数分别为1t 、2t ，回顾直线参数方程的建立过程，回答以下问题：（1）||21M M 是多少？（2）线段21M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？解：（1）1M 、2M 分别对应1t 、2t ，则e t M M 110=，e t M M 220=，=21M M -20M M e t t M M )(1210-=，则 =||21M M ||12t t -（2）知1M 、2M 的坐标可写成以下形式：αcos (101t x M +,)sin 10αt y +,αcos (202t x M +,)sin 20αt y +则)sin 2,cos 2(210210ααt t y t t x M ++++，即线段21M M 的中点M 对应的参数为221t t +． 注意：由探究过程可知仅当直线的参数方程形如②式，这两个结论才成立．例3．求直线⎩⎨⎧+-=-=t y t x 122)(为参数t 上对应0=t 、1=t 的两点1M 、2M 间的距离．小结：将方程)(00为参数t bt y y at x x ⎩⎨⎧+=+=转化为②式的形式，可换元：记22b a k t +=，则⇒⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 其中令αcos 22=+b a a，αsin 22=+b a b 即可．例4．已知直线01:=-+y x l 与抛物线2x y =交于A 、B 两点．（1）求点)2,1(-M 到A 、B 两点距离之积；（2）求线段AB 的长度；（3）求线段AB 的中点的坐标．例5．经过点)1,2(M 做直线l ，交椭圆141622=+y x 于A 、B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．例6．当前台风中心P 在某海滨城市Ox 向东300 km 处生成，并以40 km/h 的速度向西偏北 45方向移动．已知距台风中心250 km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？。
全国优质课- 直线的参数方程——学案
直线的参数方程
一．课题引入
问题1．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，求(1,2)M - 到A ，B 两点的距离之积．
二．直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）
探究1．
三．参数t 的几何意义
探究2．
探究3．参数t 的符号又有什么意义呢？
问题3．如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系起来？
四．直线参数方程的应用
例1．已知直线l 过点(1,2)M -，倾斜角为34
π，写出直线l 的参数方程．
变式1．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，写出直线l 的参数方程．
变式2．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，且与抛物线2y x =交于A ，B 两点．求线段AB 的长和点(1,2)M - 到A ，B 两点的距离之积．
变式3．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，且与抛物线2y x =交于A ，B 两点．求线段AB 中点Q 的坐标．
练习．经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆22
+1164
x y =于A ，B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．
五．本节课你有什么收获？
六．作业
教材P39习题2．3 第1，2，3，4题．。
高中数学4.4.11直线的参数方程教案新人教版选修4
第五课时 直线的参数方程一、教学目标：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程?（二）、讲解新课：1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是030，并且经过点P （2，3），如何描述直线L上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。
带符号. （2）、经过两个定点Q 11(,)y x ，P 22(,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为121121(1){x X y y x y λλλλλλ++++==≠-为参数，。
其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。
这里参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的数量比QMMP 。
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高二数学教案：直线的参数方程学案
第06课时
2、2、3 直线的参数方程
学习目标
1.了解直线参数方程的条件及参数的意义;
2. 初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。
学习过程
一、学前准备
复习：
1、若由共线，则存在实数，使得，
2、设为方向上的，则 =︱︱ ;
3、经过点，倾斜角为的直线的普通方程为。
二、新课导学
◆探究新知(预习教材P35～P39，找出疑惑之处)
1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M的坐标与点的坐标和倾斜角联系起来呢?由于倾斜角可以与方向联系，与可以用距离或线段数量的大小联系，这种方向有向线段数量大小启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。
如图，在直线上任取一点，则 = ，
而直线
的单位方向
向量
因为，所以存在实数，使得 = ，即有，因此，经过点，倾斜角为的直线的参数方程为：
2.方程中参数的几何意义是什么?
◆应用示例
例1.已知直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长和点到A ，B两点的距离之积。
(教材P36例1)
解：
例2.经过点作直线，交椭圆于两点，如果点恰好为线段的中点，求直线的方程.(教材P37例2)
解：
◆反馈练习
1.直线上两点A ，B对应的参数值为，则 =( )
A、0
B、
C、4
D、2
2.设直线经过点，倾斜角为，
(1)求直线的参数方程;
(2)求直线和直线的交点到点的距离;
(3)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积。
三、总结提升
◆本节小结
1.本节学习了哪些内容?
答：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义;
2. 初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为( )
A.很好
B.较好
C. 一般
D.较差
课后作业
1. 已知过点，斜率为的直线和抛物线相交于两点，设线段的中点为，求点的坐标。
2.经过点作直线交双曲线于两点，如果点为线段的中点，求直线的方程
3.过抛物线的焦点作倾斜角为的弦AB，求弦AB的长及弦的中点M到焦点F的距离。