高二数学苏教版选修2-2教学案第1章1导数的概念(1)
苏教版高中数学选修2-2《简单复合函数的导数》教学教案1
1.2.3 简单复合函数的导数学习目标1．掌握简单复合函数的导数的推导2．简单复合函数的导数的应用学习重点:掌握简单复合函数的导数的推导学习难点:简单复合函数的导数的应用学习过程【基础知识梳理】1、根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示2、运算法则法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：[()()]()().f x g x f x g x '''±=±法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中. 3、复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ϕ= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量.【问题探究】问题1：求函数2(32)y x =-的导数 .问题2：考察函数sin 2y x =的导数.【建构数学】一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u ),u =ax +b ，则'''x u x y y u =⋅，''x u y y a =⋅即： •对于一般的复合函数，结论也成立 . •复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =⋅【数学运用】例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31y x y x y y x x =-=+==-- 练习：试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：22(1)(2);(2)sin ;(3)cos();(4)ln sin(31).4y x y x y x y x =-==-=π － 例2 写出由下列函数复合而成的函数，并求它们的导数.（1）cos y u =,21u x =+ ; （2）ln y u =,ln u x =.例3 求y =(2x +1)5在x =1处的切线方程.【课堂练习】1.求下列函数的导数： 2321(1)(23);(2)(13);(3);(4)lnx y x y x y e y x=+=-==. 2.求曲线y =sin2x 在点P (π，0）处的切线方程.【回顾小结】（1）复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；（2）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.。
高中数学苏教版选修2-2第1章《导数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学苏教版选修2-2第1章《导数》优质课公开课教案教师
资格证面试试讲教案
1教学目标
(一)知识与技能:
1.探索函数的单调性与导数的关系;
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.
(二)过程与方法:
1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法;
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力,渗透数形结合思想、转化思想.
(三) 情感、态度与价值观:
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯.
2学情分析
对于函数单调性与导数,学生的认知困难主要体现在:用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系,这种由“数”到“形”的翻译,从直观到抽象的转变,对学生是比较困难的.可以让学生回忆高一学习过的函数单调性的定义,并结合生活中的爬山时人的视线与山的关系,抽象出曲线在点处的切线,加深理解函数导数的几何意义与曲线在点处切线的斜率的关系,采用多媒体课件等辅助手段以加深学生对函数图象的认识,通过数形结合,使抽象的知识直观化、形象化,以促进学生的理解.
3重点难点
重点:会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间
难点:探索函数的单调性与导数的关系
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】教学过程
(一)问题情境:。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.2.1 常见函数的导数》
常见函数的导数教学目标：1、能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式；2、熟记常见函数的导数；3、掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数，会求函数图象的的切线的方程。
教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式教学过程：一、引入新课1导数的相关知识设函数＝f在区间a，b上有定义，，假设△无限趋近于零时，，那么称f在＝处可导，并称该常数A为函数f在＝处的导数，记作．2如何求切线的斜率。
二、探究新知对于函数，如何求它的导数呢？本节课我们将学习常见函数的导数首先我们来求下面几个函数的导数〔1〕=b ; 〔2〕=2 ; 〔3〕=问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？三、知识建构1几种常见函数的导数:问题引入1：110 0通过以上运算我们能得到什么结论公式一: C为常数，问题引入2：1通过以上运算我们能得到什么结论公式二:除此以外：公式三:公式四:公式五：对数函数的导数:公式六：指数函数的导数:四、新知运用例1 利用求导公式，求以下函数的导数：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕练：以下式子中正确式子个数为：①②③④例2 〔1〕求函数的图象在点处的切线方程。
〔2〕假设直线为函数图象的切线，求及切点坐标。
思考：求函数的图象过点的切线的方程。
五、稳固训练1〔1〕，那么，〔2〕函数的导数2〔1〕求函数的图象在点处的切线的方程。
〔2〕直线能作为以下函数图象的切线吗？假设能，求出切点坐标；假设不能，简述理由。
①②③④3、求函数的图象过点的切线的方程。
苏教版高二数学选修2-2 导数的计算 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 导数的计算 教案考点一 导数的运算多维探究角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3) f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋e xx＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3) f ′(x )＝a ·1x ＋1·（x ＋1）－（x －1）·1（x ＋1）2＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋2（a ＋1）x ＋ax （x ＋1）2. 角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·南昌联考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝( )A.－eB.2C.－2D.e解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________.(2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x . (2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4考点二 导数的几何意义 多维探究角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·郑州月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x，∴曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x(x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x(x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1).答案 (1)A (2)(1，1) 角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·东北三省四校联考)已知曲线f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x.因为x ＞0，所以2－1x＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).(2)f ′(x )＝1－a x2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2018·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅲ卷)曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________． 解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2. 当x 0＝1时，f (x 0)＝－1， 当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).(2)y ′＝(ax ＋1＋a )e x ，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x|x＝0＝1＋a ＝－2，所以a ＝－3.答案 (1)D (2) －3[思维升华]1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. [易错防范]1.求导常见易错点：①公式(x n)′＝nx n －1与(a x )′＝a xln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x)′＝3xln 3 B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误.答案 C2.(2018·日照质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2B.eC.ln 22D.ln 2解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案 B3.函数y ＝x 3的图像在原点处的切线方程为( ) A.y ＝x B.x ＝0 C.y ＝0D.不存在解析 函数y ＝x 3的导数为y ′＝3x 2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y －0＝0(x －0)，即y ＝0. 答案 C4．(2019·达州测验)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图像如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．a <f ′(2)<f ′(4)B ．f ′(2)<a <f ′(4)C ．f ′(4)<f ′(2)<aD ．f ′(2)<f ′(4)<a解析 由图像可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以(2，f (2))，(4，f (4))两点连续的斜率f （4）－f （2）4－2的大小，在点(2，f (2))处的切线斜率f ′(2)与点(4，f (4))的切线斜率f ′(4)之间，∴f ′(2)<a <f ′(4)．答案 B5.(2019·合肥一模)函数f (x )＝x －g (x )的图像在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( )A.7B.4C.0D.－4解析 ∵f (x )＝x －g (x )，∴f ′(x )＝1－g ′(x )，又由题意知f (2)＝－3，f ′(2)＝－1，∴g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7. 答案 A6.已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.e －1eB.2e －1eC.e －12eD.2e －12e解析 ∵y ′＝a e x＋1，∴在点(1，a e ＋1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行，∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1e .答案 B7.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )解析 由y ＝f ′(x )的图像知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A ，C ；又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 答案 D8.(2019·咸阳调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )A.ln 2B.1C.1－ln 2D.1＋ln 2解析 由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)(x 0>0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0，则ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1.答案 D 二、填空题9.已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________. 解析 由题意得f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2， ∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2，9). 答案 (－2，9)10.已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图像在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________.解析 f (1)＝a ，切点为(1，a ).f ′(x )＝a －1x，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. 答案 111.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________.解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， 所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.答案 －9412.已知函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________. 解析 由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7， ∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0. 答案 6x －y －5＝0能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2018·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1B.0C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a2，故切线方程是y－a －1a－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a，故ab＝－2. 答案 D14.(2019·西安一模)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′. 定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数.已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________.解析 因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，因为f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞15.函数g (x )＝ln x 图像上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________.解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22.答案2216.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x－a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)。
选修2-2第一章1.1.2导数的概念-教案
第1页共3页1.1 导数1.1.2 导数的概念【提出问题】质点M 的运动方程为2()s t t =，求1t =时的瞬时速度。
解：因为22(1)(1)(1)1(2)s s t s t t t ∆=+∆-=+∆-=+∆∆ 所以2s t t∆=+∆∆ 当t ∆趋近于0时，s t ∆∆趋近于2 所以1t =时的瞬时速度为2那么，对于一般函数()f x 的瞬时变化率怎么定义呢？【抽象概括】设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应的改变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ， 那么常数l 称为函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率．事实上，运动的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )的瞬时变化率．“当Δx 趋近于0时，平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时， f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l ” 通常也记作000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆ 【获得新知】函数()f x 在x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0处的导数，通常记作f ′(x 0)，第2页共3页即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为导数．【概念领悟】1．对导数概念的理解(1)Δx →0是指Δx 可以从0的左右两侧趋向于0，可以任意小的间隔，但始终不会为0.(2)如果lim Δx →0Δy Δx存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导． (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x )－f (x 0)x －x 0，与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx意义相同． （4）这里研究的是两个变量,y x ∆∆比值变化的性质与状态，尽管,y x ∆∆在变化过程中都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数。
苏教版高中数学选修2-2 导数的概念及运算 学案
年级 高二学数学版本苏教版（理）课程标题 选修2-2第1章第1-2节 导数的概念及运算一、学习目标：1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。
2. 熟记常函数C ，幂函数x n （n 为有理数），三角函数sinx ，cosx ，指数函数e x ，a x ，对数函数lnx ，log a x 的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；3. 掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
二、重点、难点重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数。
难点：导数的概念、复合函数的导数。
三、考点分析：1. 导数既是研究函数性态的有力工具，又是进行理性思维训练的良好素材。
导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一。
2. 考纲要求：理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。
1. 导数的概念：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x∆时，函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，xy∆∆趋于常数A ，称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把A 叫做)(x f 在0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='2. 导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0x f '。
相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-。
3. 导数的运算：（1）基本函数的导数公式：()0C '=；1()mm x mx-'=；(sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-；1(ln )x x '=；1(log )log a a x e x'=；()'x x e e =；()'ln x xa a a =。
苏教版高中数学选修2-2 导数的概念及其几何意义 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 导数的概念及其几何意义 教案[例1] 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数．[思路点拨] 由所给函数解析式求Δy ＝f (Δx ＋x 0)－f (x 0)；计算Δy Δx ；求lim Δx →0 ΔyΔx . [精解详析] ∵f (x )＝4x2，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝42＋Δx2－1＝－4Δx －Δx 22＋Δx 2，∴Δy Δx ＝－4－Δx 2＋Δx2， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －4－Δx 2＋Δx2＝－1，∴f ′(2)＝－1. [一点通] 由导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的方法： ①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx；③取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2＋Δx C ．2D ．1解析：选C y ＝x 2在x ＝1处的导数为：f ′(1)＝lim Δx →01＋Δx2－1Δx＝2.2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)＝________. 解析：函数f (x )＝ax ＋b 在x ＝1处的导数为f ′(1)＝li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0[a1＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx＝lim Δx →0 a ΔxΔx ＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，有a ＋b ＝2，于是b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.答案：43．求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2， 从而f ′(1)＝2.求曲线的切线方程[例2] 已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上的点A (1,2)处的切线斜率及切线方程． [思路点拨] 利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程． [精解详析] 因为 Δy Δx＝31＋Δx 2－1＋Δx －3×12－1Δx＝5＋3Δx ，当Δx 趋于0时，5＋3Δx 趋于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 所以切线方程为y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.[一点通] 过曲线上一点求切线方程的三个步骤4．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选A f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 1＋Δx 2－1Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. 则曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.因为y ＝2x －1与坐标轴的交点为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以所求三角形的面积为S ＝12×1×12＝14.5．求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解：∵点(－2，－1)在曲线y ＝2x上，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y ＝2x在x ＝－2处的导数．∴k ＝f ′(－2)＝lim Δx →0f －2＋Δx －f －2Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx －2－2Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.导数几何意义的综合应用[例3] (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [精解详析] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 趋于零时，ΔyΔx 趋于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴切线的斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．[一点通] 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．6．已知曲线y ＝x 3＋3x 在点P 处的切线与直线y ＝15x ＋3平行，则P 点坐标为( ) A ．(2,14) B ．(－2，－14) C ．(2,14)或(－2，－14) D ．以上都不对解析：选C 由题意可得 y ′＝li mΔx →0 x ＋Δx3＋3x ＋Δx －x 3－3x Δx＝3x 2＋3，又由题意得3x 2＋3＝15，所以x ＝±2. 当x ＝2时，y ＝23＋6＝14， 当x ＝－2时，y ＝(－2)3－6＝－14. 所以点P 的坐标为(2,14)或(－2，－14)．7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义，易得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：38．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x ＝x 0＝li mΔ x →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx＝lim Δx →0 －ΔxΔx ·x 0＋Δx ·x 0 ＝lim Δx →0－1x 0x 0＋Δx ＝－1x 20.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线y＝1x上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1， 所以直线方程为x ＋y －2＝0.求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．1．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选A 因为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x －y ＋1＝0的斜率为2，所以f ′(x 0)>0.2．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选A f ′(2)＝lim Δx →0 142＋Δx 2－14×4Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为y －1＝1·(x －2)， 即x －y －1＝0.故选A.3.已知y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( ) A.13 B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →02Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)． 答案：(3,30)6.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝________.解析：由导数的概念和几何意义知，lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－27．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 处的切线方程． 解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x ，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x .∴f ′(2)＝lim Δx →0f 2＋Δx －f 2Δx＝lim Δx →011－2＋Δx －11－2Δx ＝lim Δx →011＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1. (2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝x ＋Δx 2＋1－x 2－1Δx ＝2x ＋Δx ，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝li mΔx →0 (2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)， 即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
苏教版数学高二-数学选修2-2导学案 1.1导数
1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.1.函数的变化率2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.引言那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一平均变化率的概念问题1气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？(1)0≤t≤0.5，(2)1≤t≤2.问题3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？问题4平均变化率也可以用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ΔyΔx有什么几何意义？例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.跟踪1 (1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为 ①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？探究点二 函数在某点处的导数问题1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？问题3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数.跟踪2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数.例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8).计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.跟踪3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.【达标检测】1.在导数的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A.Δx <0B.Δx >0C.Δx ＝0D.Δx ≠0 2.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f x 0＋h－fx 0h( )A.与x 0、h 都有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与x 0无关D.与x 0、h 均无关3.已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A.4B.4xC.4＋2ΔxD.4＋2(Δx )24.已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 【课堂小结】利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝fx 0＋Δx －fx 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx简记为一差，二比，三趋近.1.1.1 函数的平均变化率 1.1.2 瞬时速度与导数 练习题一、基础过关1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0B ．1C ．2D ．Δx 3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3) 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．48 5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．12B ．6C ．3D ．26. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定7．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________．8．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.9．函数f (x )＝1x 2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.二、能力提升10．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．。
江苏省海门中学高二数学(苏教版)教学案 选修2-2 第一章 第一节 导数的概念与几何意义
导数的概念与几何意义教学案课题平均变化率班级姓名第小组教学目标：（一）知识目标1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
2．理解平均变化率的意义，为建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
(二）能力目标体会平均变化率的思想及内涵（三）情感态度与价值观使学生拥有豁达的科学态度,互相合作的风格,勇于探究,积极思考的学习精神教学重点：平均变化率的实际意义与数学意义教学难点：对生活现象作出数学解释教学过程：一、情境引入(1）情境某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：（2)问题1：“从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少?”问题2:“AB 段与BC 段哪一段速度较快?”一．师生活动（1）速度快慢是生活用语，怎样将它数学化？（2)曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？（3）由点B 上升到C 点必须考察C B y y -的大小，但仅注意到C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？(4）在考察C B y y -的同时必须考察C Bx x -，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言。
二．建构数学(1）通过比较位移在区间[]1,32上的平均变化率0.5与位移在区间[]32,34上的平均变化率7.4，感知曲线陡峭程度的量化。
(2）一般地，给出函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率()()2121f x f x x x -- （3）回到位移曲线图中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构（4）用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的",但应注意当21x x -很小时，这种量化便由“粗糙"逼迫“精确"。
三、例题讲评例1．P58页例1、例2,并注意小结（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（/kg 月）？（2）例1中两个不同的平均变化率的实际意义是什么?（3）例2中()0.15t V t e -=是一个随时间变化而变化的量，0.316-(3/cm s )是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积V 减少的速度？例2．P57页例3、例4，并注意小结（1） 例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例2的深化（2） 例3中四个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？（3） 例4讲完后应让学生当堂回答课本中的思考。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 常见函数的导数 教案
1.2.1《常见函数的导数》教案一、教学目标：掌握初等函数的求导公式；二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式．三、教学过程【复习准备】1.导数的相关知识①导数的定义；②导数的几何意义；③导函数的定义；④求函数的导数的流程图.（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 2.如何求切线的斜率?(0)PQ x k P ∆→当时，无限趋近于点处切线的斜率3.导数：函数在某点处的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若△x 无限趋近于零时，比值 00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆.无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f /(x 0)．4.由定义求导数（三步法）①求函数的增量：=∆y 00()();y f x x f x ∆=+∆-②算比值（平均变化率）：=∆∆x y 00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ ③取极限，得导数：0x x y ='=0.0x x y y x x=∆'=∆→∆在时 【情境引入】本节课我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数.（1）y =x ; （2）y =x 2 ; （3）y =x 3问题：1-=x y ，2-=xy ，3-=x y 呢？问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 【数学建构】1.几种常见函数的导数:问题引入1：(1)(23)x '-+=2- (4)x '=1(2)(2)x '-=2- (5)(5)x '+=1(3)3'=0 (6)(4)'-=0通过以上运算我们能得到什么结论?公式一: 0C '= (C 为常数) (kx +b )/=k问题引入2：(1)x '=1 2(2)()x '=2x 2(3)(3)x '=6x 1(4)()x '=21x- 通过以上运算我们能得到什么结论?公式二:'1()x x ααα-= ()α是常数【知识应用】例1 求下列函数的导数：（1）()'3x （2）'21x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）'解：（1）()'3x 31233x x -==（2）'21x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()'2x -=212x --=-32x -=-32x =-（3）'1'2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭11212x -=1212x -==例2 求下列函数的导数：4(1)y x = 3(2)y x -= 1(3)y x =(4)y ==0(5)sin 45y =(6)cos u v解：44131(1)()44y x x x n -''===3314(2)()33y x x x ----''==-=-1112211(3)()()1x x x x x ----''==-=-=-12(4)y x x ==111221()2y x x -''∴===(5)(sin 45)0o y '''=== (6)(cos )sin u v v ''==-例3（1）已知3y x =，求(2)f '. （2）已知21y x=，求(3)f '. 解：3312()33y x x x -''=== 2213()22y x x x ----''==-=- 2(2)3(2)12f '∴=⨯= 312(3)2(3)22727f -'∴=-⨯=-⨯=- 拓展【例题讲解】1.求过曲线y =cos x 上点P (1,32π) 的切线的直线方程. ()cos ,()sin ,()sin 332f x x f x x f ππ'=∴=-'∴=-=-解： 1(,)32P π故曲线在点处的切线斜率为 1(),2233210.3y x y ππ∴-=--+--=所求的直线方程为2:若直线y =4x +b 是函数y =x 2图象的切线,求b 以及切点坐标. 0022000:(,)()()224,2,24(2,4),4442,4P x y f x x xx x y y x b b b ''====∴===+∴=⋅+=-解设切点即切点坐标由题意得此点也在直线上【归纳总结】切线相关问题的处理方法设出切点坐标（如果没有交待切点坐标）求出切点处的导数得切线的斜率切点在切线上，代入切线方程切点在曲线上，代入曲线方程【拓展研究】若直线y =3x +1是曲线y =ax 3的切线,试求a 的值.解:设直线y =3x +1与曲线y =ax 3相切于点P (x 0,y 0),则有:y 0=3x 0+1 ①, y 0=ax 03 ②, 3ax 02=3. ③ 由①,②得3x 0+1=ax 03, 由③得ax 02=1,代入上式可得: 3x 0+1=x 0, x 0=-1/2.所以a •(-1/2)2=1，,a =4.【课堂小结】0()C C '=为常数1()x x αααα-=为常数(sin )cos x x '=【课堂练习】见学案。
高中数学选修2-2教案 第一章 导数及其应用(教案)
第一章 导数及其应用（教案）§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?hto1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么?yy =f (x )f (x 2)直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章 1.2 1.2.1 常见函数的导数
_1.2导数的运算1.2.1 常见函数的导数已知函数(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2， (4)f (x )＝1x，(5)f (x )＝x .问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？ 提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，即x ′＝1.问题2：函数f (x )＝1x 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx －1xΔx＝x －(x ＋Δx )x (x ＋Δx )Δx ＝－1x 2＋x ·Δx，∴当Δx →0时，Δy Δx →－1x 2，即⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2.1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2)′＝2x ； 5．(x 3)′＝3x 2； 6.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； 7．(x )′＝12x.1．(x α)′＝αx α－1(α为常数)；2．(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4．(e x )′＝e x ； 5．(ln x )′＝1x ；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a ，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x与f (x )＝e x .[对应学生用书P7][例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x 3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x 4； (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 的导数是________． 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝⎛⎭⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x，正确；④正确． 答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. 解：(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .[例2] 求函数f (x )＝16x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值．[精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －56′＝⎝⎛⎭⎫－56x －116， ∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝1nx 且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.[例3] (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程； (2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨] (1)点A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B 点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析] (1)y ′＝2x ，当x ＝1时，y ′＝2，故过点A (1,1)的切线方程为y －1＝2(x－1)，即2x －y －1＝0.(2)∵B (3,5)不在曲线y ＝x 2上，∴可设过B (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线与曲线的切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝2x ，∴当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.故切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 又∵直线过B (3,5)点， ∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)． 即x 20－6x 0＋5＝0. 解得x 0＝1或x 0＝5.故切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. [一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上；②求过点P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定在曲线上． (2)求曲线上某点(x 0，y 0)处的切线方程的步骤： ①求出f ′(x 0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程．(3)求过点P 与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x 0，y 0)；②写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； ③代入点P 的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4， 所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)． 故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n 的理解：(1)y ＝x n 中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．(2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1x log a e 和(a x )′＝a x lna 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．[对应课时跟踪训练(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________． 解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4. 答案：42．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，2或P ⎝⎛⎭⎫－12，－2. 答案：⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a＝－1.∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2； (2)y ＝2x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2x ln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0. 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2. 又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫12，0. ∴所求面积S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。
江苏省泰兴中学高二数学苏教版选修2-2教学案：第1章1导数的概念(1)
江苏省泰兴中学高二数学讲义（22）导数的观点（ 1）【本课目标】1、认识函数均匀变化率、刹时变化率的观点，会求函数的均匀变化率、刹时变化率；2、理解均匀变化率、刹时变化率的几何意义、物理意义，会解决实质问题.【要点难点】要点：均匀变化率的含义，切线斜率的求法难点：割线迫近切线的“无穷递近”的思想【预习导引】1、函数 y=x4-4x+3 在区间 [-2， 3]上的均匀变化率为_________.1在区间 [-2， -1]上的均匀变化率为 _________.2、函数f ( x)x3、已知函数 f(x)= x2-x 在区间 [1， t] 上的均匀变化率为2,则 t=_________.4、火箭发射时位移函数为s(t)=0.2t 3+8t 2+16t ，则第2s 末的刹时速度为 _______.【典型例题】例 1、（ 1）分别计算函数 f (x)x3在区间[1，3]、[1，2]上的均匀变化率；（2）已知函数f (x)x2x图象上A（-1，-2）及B（-1+x,-2+y ）,则y________ ；1x（3）求函数f (x)x] （ x0 0 ）的均匀变化率.在 [ x0 , x0x例 2、某婴儿从出生到第12 个月的体重如图，试分别计算从出生到第 3 个月以及第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的均匀变化率.W(kg)118.66.53.536912T(月)例 3：已知 f (x) x2，求曲线 y f (x) 在x=2处的切线斜率．例 4：设曲线y ax2在点（1，a）的切线与直线2x y 50 平行，求a的值．【学后反省】1．均匀变化率是曲线峻峭程度的“数目”化;2．由割线运动来迫近切线，割线斜率迫近切线斜率是“以直代曲”的一种数目化．3．“无穷趋近于”意指无穷凑近常数A，并且与常数 A 的距离要多小，就有多小；“△ x无限趋近于常数A”往常用符号“△x→A”表示．【稳固练习】1．①函数f (x)3x 1 在区间 [ 1,1]上的均匀变化率是________．②函数 g( x)x3在区间 [ 1,1]上的均匀变化率是________．2．抛物线y x2在点P(1,-1)处的切线的斜率是_________．江苏省泰兴中学高二数学课后作业（22）班级 :姓名 :学号：【A组题】1.在区间 [m,n] 上，以下函数的均匀变化率为定值的是A．y x2B．y x3C．y1D．y 2xx1 t2，2.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间 t 之间的函数关系为s8则木块从 2s 到 4s 的均匀速度是 ___________.3.一辆汽车按规定s3t 2 4 做直线运动，则这辆汽车在t=3s 时的刹时速度为 ______. 4．曲线y x2在 x=0 处切线的斜率为 _______,在 x1处切线的倾斜角是 _________．sin x 25．在高校数学教材中有结论“当 x0 时，x01”，利用这一结论，可得：当x时， sin 2x无穷趋近于常数是．x6. 1）求函数f (x)x22x 3在[2,9] 的均匀变化率；42）求正弦函数y sin x 在区间 [0,] 和 [,] 上的均匀变化率，并比较大小.7．如图 , l为经过曲线上点P 和 Q的割线，⑴若 P(1,2),Q(5,7)，求l的斜率；⑵当 Q沿曲线向点P 凑近时，l的斜率是变大仍是变小？8．曲线y x2的一条切线的斜率为 4 ,求切点的坐标. 9．已知 f x x ，求曲线 y f x 在x=2处的切线斜率．【B组题】1．曲线y 2x2在点 P(x0,y0)处切线平行于直线y4x1，则点P坐标为__________．1n2．在高校数学教材中有定义“当n时， 1无穷趋近的实数称为e”，利用这一n定义，可得：当ln 1x．x 0 时，无穷趋近的常数是x3.一正方形铁板在00 C 时，边长为10cm ，加热后会膨胀，当温度为t 0C 时，边长为10(1 at ) cm ， a 为常数，试求铁板面积对温度的刹时膨胀率.。
高中数学苏教版选修2-2 1.1导数的概念及几何意义 课件(12张)
课堂探究
探究二：
（1） 曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为________．
导数的概念及几何意义
学习目标
1.理解导数的概念，能利用导 数公式及导数的四则运算法则 求简单函数的导数，能求简单 的复合函数的导数。 2.理解导数的几何意义。
知识点梳理
1.导数与导函数的概念 (1)设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx 无限趋近于 0 时，比值ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处 可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数(derivative)，记作__f′__(_x0_).
(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数 也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函 数称为f(x)的导函数，记作f′(x).
答案
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝__f′__(_x_0)_. 3.基本初等函数的导数公式
2. 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，
且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是______．
3.
已知曲线
y
＝
1 ex＋1
，
2021高中数学苏教版选修2 2教学案：第1章 章末小结 知识整合与阶
2021高中数学苏教版选修2 2教学案：第1章章末小结知识整合与阶2021高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章章末小结知识整合与阶[对应学生用书P31]一、导数的概念1．导数函数y=f（x）定义在区间（a，b），x0上∈ （a，b），当δx无限接近0时，比值δyf？x0＋δx？－Fx0？如果值=无穷大接近常数a，则f（x）在点x=x0δxδ处可微。
x常数a是函数f（x）在点x=x0处的导数，并记录为f'（x0）2．导函数如果f（x）对于区间（a，b）中的任何一点都是可微的，那么f'（x）随着每个点的导数中自变量x的变化而变化，因此它也是自变量x的函数。
这个函数称为f（x）的导数。
它被记录为f'（x）二、导数的几何意义1.F'（x0）是函数y=F（x）在x0处的切线斜率，这是导数的几何意义。
2.求切线方程：有两种常见类型：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）。
二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点p(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点p(x0，y0)的切线方程．三、导数1的运算。
基本初等函数的导数(1)f(x)＝c，则f′(x)＝0(c为常数)；(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝αxα－1(α为常数)；(3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axlna；一(4)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f′(x)＝(5)f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；(6)f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx.2．导数四则运算法则（1） [f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；（2）[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；xlna?f?x??f′?x?g?x?－f?x?g′?x(3)?(g(x)≠0)．?′＝2?x?g?x?g??四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f′(x)；（2）求解不等式f'（x）>0或f'（x）<0；（3）写出单调递增或递减的间隔特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．五、用导数求函数极值的步骤：（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求方程f'（x）=0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧的f′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．如果左负右正，那么f（x）在这个根上得到最小值，否则这个根不是f（x）的极值。
苏教版选修(2-2)1.1《导数的概念》word教案
1.1.2导数的概念教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(0049)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１) =6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升． 注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。
高中数学 1.1导数的概念学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学学案
第1章导数及其运用1．1 导数的概念一、学习内容、要求及建议1．预习目标(1)本节主要通过对大量实例的分析，理解平均变化率的实际意义和数学意义，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．预习提纲(1)回顾必修2中用来量化直线倾斜程度的斜率的计算公式．(2)阅读教材，回答下列问题．1)平均变化率:怎样计算一个函数在一个给定的闭区间上的平均变化率?2)瞬时变化率的几何背景：曲线上一点处的切线的斜率①关于割线的斜率：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x ＋△x，f(x＋△x))，则割线PQ的斜率是多少?②关于点P(x，f(x))处的切线：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C 于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x)) ．用运动的观点来看，在点P处的切线可以认为是过点P 处的割线PQ的当Q无限靠近点P的极限位置，那么你能计算出切线的斜率吗?说一说求曲线y=f(x)上任一点P(x0，f(x0))处的切线斜率的基本步骤．3) 瞬时变化率的物理背景：瞬时速度与瞬时加速度①回忆物理学中对瞬时速度与瞬时加速度所下的定义．t的瞬时速度?给出速度－位移方程，如何求物②给出位移－时间方程，如何求物体在时刻t的瞬时加速度?体在时刻4)导数：从上述几何背景和物理背景中抽象出的数学概念①请表述出函数在某一点处的导数的概念．②请表述出导函数的概念，并表述导函数的具体的对应法则．③求导数的步骤是什么?④导数的几何意义是什么?⑤说一说利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤．(3)阅读课本例题，思考下列问题．第7页上例4给我们的启示：一次函数f(x)=kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率等于多少?对比第6页上例3与第9页上例1，给你怎样的启示?第13页上例3是求函数在一点处的导数，要注意表述格式的规范化．3．典型例题例1 物体做直线运动的方程为s (t )=3t 2－5t (位移单位是m ，时间单位是s )，求物体在2s 到4s 的平均速度以及2s 到3s 的平均速度． 分析： 利用公式2121()()s t s t t t --．解： 2s 到4s 的平均速度()221(3454)(3252)13/42v m s ⨯-⨯-⨯-⨯==-； 2s 到3s 的平均速度()222(3353)(3252)10/32v m s ⨯-⨯-⨯-⨯==-例2 已知函数f (x )=2x 2＋1，图象上P (1，3)及邻近上点Q (1＋x ∆，3＋y ∆)，求y x∆∆ 分析： 应用公式y x ∆∆=11()()f x x f x x+∆-∆ 解： y x∆∆=22[2(1)1](211)24x x x +∆+-⨯+=∆+∆ 例3 已知函数f (x )=x 3，证明：函数f (x )在任意区间[],(0)m m δδ+>上的平均变化率都是正数． 分析： 应用公式y x ∆∆=11()()f x x f x x+∆-∆求出平均变化率，再进行配方． 解：y x ∆∆=()()f m f m δδ+-=332222()1333()24m m m m m δδδδδδ+-=++=++ 恒为正数．例4 已知曲线C ：3y x =，求(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点? 解：(1)将x =1代入曲线C 的方程得y =1，∴ 切点P (1，1)设Q(1＋x ∆，()31+x ∆)， PQ k =32(1)1()33x x x x+∆-=∆+∆+∆， 0x ∆→时，PQ k →3，∴过P 点的切线方程为y －1=3(x －1)，即3x －y －2=0(2)由33(1)1y x y x=-+⎧⎨=⎩，可得()()2120x x x -+-=，得121,2x x ==-从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)．点评：切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点．可见，直线与曲线相切不一定只有一个公共点． 例5 已知曲线313y x =上一点P (2，83)，求(1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．分析： 先求出切线的斜率，再由点斜式写出切线方程 解：(1)设P (2，83)，Q (2＋x ∆，31(2)3x +∆)， 则割线PQ 的斜率PQ k =3218(2)13342()3x x x x +∆-=+∆+∆∆， 当0x ∆→时，PQ k →4，即点P 处的切线的斜率为4．(2)点P 处的切线方程为84(2)3y x -=-，即123160x y --=． 点评： 本题若将“点P 处”改为“过点P ”，应该如何解答呢? 例6 自由落体运动方程为212s gt =，(位移单位：m ，时间单位：s )， (1)计算t 从3秒到3．1秒、3．01秒、3．001秒各时间段内的平均速度； (2)求t =3秒时的瞬时速度． 分析： 要求平均速度，就是要求st∆∆的值，为此需要求出s ∆、t ∆．当t ∆的值无限趋向于0时，其平均速度就接近于一个定值． 解：(1)设在3，3．1内的平均速度为1v ，则 1t ∆=3．1－3=0．1s 1s ∆=s(3．1)－s(3)= 21 3.12g ⋅－2132g ⋅=0．305gm所以1110.305 3.05(/)0.1s gv g m s t ∆===∆ 同理2220.03005 3.005(/)0.01s gv g m s t ∆===∆ 3330.0030005 3.0005(/)0.001s g v g m s t ∆===∆ (2)(3)(3)1(6)2s s t s g t t t ∆+∆-==∆+∆∆ 当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近于常数3g (m/s )．例7 求函数2(21)y x =-在3x =处的导数．分析： 根据导数的定义，应先计算函数的增量y ∆，再计算yx∆∆，最后求0x ∆→时，(3)f '的值． 解：00()()y f x x f x ∆=+∆-22[2(3)1](231)x =+∆--⨯- 24(3)4(3)125x x =+∆-+∆+- 24()20,x x =∆+∆24()20420y x x x x x∆∆+∆∴==∆+∆∆ 当0x ∆→时，yx∆∆→20， (3)20f '∴=．例8 某化工厂每日产品的总成本C (单位：元)是日产量x (单位：吨)的函数：()1000200[0,1000]C x x x =++∈．求当日产量为100吨时的边际成本(边际成本就是一段时间的总成本对该段时间产量的导数)．分析： 根据边际成本的定义，本题只要求出当x ∆无限趋向于0时Cx∆∆的值即可． 解：成本的增量为(100)(100)C C x C ∆=+∆-=1000200(100)(1000200100x ++∆++⨯+2005000x =∆+∴C x∆∆=2005000x x ∆+∆10)200x =+∆ =200当0x ∆→时，225,C x∆→∆即Cx ∆∆的极限为225．故当日产量为100吨时的边际成本为225元/吨．点评：本题计算过程中注意分子有理化的技巧． 4．自我检测(1)若函数f (x )=2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，1＋Δy )，则xy ∆∆等于 ．(2)函数2()log f x x =在区间2，4上的平均变化率为 ． (3)若函数3)(x x f =，则[(2)]f '-＝ ．(4)已知函数2)(x x f =，由定义求()f x '，并求(4)f '．(5)如果函数)(x f y =在点0x 处的导数分别为：① 0()0f x '= ② 0()1f x '= ③0()1f x '=- ④ 0()3f x '= 试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角． 三、课后巩固练习A 组1．函数f (x )=－3x ＋1在区间[0，2]上的平均变化率为 ．2．设函数y =f (x )，当自变量由x 0变到x 0＋∆x 时，函数的改变量∆y 为 ．3．函数f (x )=x 2－2在区间[1，a ]的平均变化率为3，则a 的值为 ．4．在曲线y =x 2－x ＋2上取点P (1，2)及邻近上点Q(1＋∆x ，2＋∆y )，则yx∆∆= ． 5．1995年中国人口约为12亿，2005年中国人口约为13亿，则从1995年到2005年这10年中中国人口的平均变化率是 ；1995年到2005年的人口增长率是 ． 6．已知函数y =ax 2＋bx ，则yx∆∆= ． 7．某工厂8年来总产量c (万件)与时间t (年)的函数关系如图，则第一年内总产量c 的平均变化率是 ，第三年到第八年总产量的平均变化率是 ．8．函数f (x )=－x 2在点(1，－1)处的切线的斜率为 ．9．一物体运动方程是s =200＋213gt ，(g =9．8m/s 2)，则t =3时物体的瞬时速度为 ．10．若作直线运动的物体的速度(单位：m /s )与时间(单位：s )的关系为v (t )=t 2，则在前3s 内的平均加速度是 ，在t =3时的瞬时加速度是 ．11．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )，与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系式：h (t )=－4．9t 2＋6．5t ＋10．试分别计算00.5t s ≤≤及12t s ≤≤时间内的平均速度． 12．已知函数f (x )=1x，分别计算函数f (x )在区间[1，3]，[1，2]，[1，1．1]，[1，1．01]上的平均变化率．13．将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，求球体积的平均变化率．14．已知某质点按规律s =(2t 3＋2t )(米)作直线运动．求： (1)该质点在运动前3秒内的平均速度； (2)质点在2秒到3秒的平均速度； (3)质点在3秒时的瞬时速度．15．用割线逼近切线的方法，求曲线y = －x 2＋4x 在点A (4，0)和B (2，4)处的切线的斜率及切线方程．B 组16．(1)若温度T 在上升过程中关于时间t 的函数关系是T =f (t ) ，则()f t '的实际意义是 ．(2)若污染源扩散过程中污染面积S 关于时间t 的函数关系是S =f (t ) ，则()f t '的实际意义是 ．(3)若一水库在泄洪过程中水面的高度关于时间t 的函数关系是h =f (t ) ，则()f t '的实际意义是 ．17．曲线3y x =在点P 处切线的斜率为k ，当k =3时，P 点坐标为 ．18．已知曲线221y ax =+过点)，则此曲线在该点的切线方程是 ．19．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ．20．已知函数f (x )=k x 2＋d ，且(1)4f '-=，则k 的值为 ．21．已知函数1()f x m x=+，则(4f '-= ． 22．一个圆形铝盘加热时，随着温度的升高而膨胀．设该圆盘在温度t ℃时，半径为r =r 0(1＋at )(a 为常数)，求t ℃时，铝盘面积对温度t 的变化率．23．已知抛物线2(2)1y x =-+上三点P ，Q ，R 的横坐标分别为－1、－3和2． (1)求割线PQ 、PR 的斜率；(2)当Q 、R 分别沿抛物线向点P 移动，割线PQ 、PR 的斜率如何变化?24．求曲线y =9x在点M (3，3)处的切线的斜率及倾斜角． 25．用割线逼近切线的方法，求1y x=在1x =处的切线的斜率．26． 用割线逼近切线的方法，求y =12x =处的切线的斜率．27．设质点的运动方程是2321s t t =++，计算从t =2到t =2＋t ∆之间的平均速度，并计算当t ∆=0．1时的平均速度，再计算t =2时的瞬时速度．28．生产某种产品q 个单位时成本函数为205.0200)(q q C +=，求 (1)生产90个单位该产品时的平均成本；(2)生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率； (3)生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少?C 组29．已知)(0x f '存在，则当h 无限趋近于0时，下列式子各趋近于何值?(1)00(())()f x h f x h +---；(2) 00(2)()f x h f x h +-；(3)00()()f x h f x h h+--；(4) 00()(2)f x h f x h h --+．30．已知函数2()f x x =，记*12,2,2n n I n N ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦(1)求()f x 在区间n I 上的平均变化率n a ；(2)在数轴上画出数列{}n a 对应的点，并观察当n 不断增大时，有什么变化趋势?四、学习心得 五、拓展视野很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球的半径有如何变化?从数学角度如何解释这种现象?解 气球的半径增加得越来越慢．我们知道，气球的体积V (单位：L )与半径(单位：dm )之间的函数关系是34()3V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么()r V =V 从0增加到1L 时，气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10r r dm L -≈-．类似地，当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21r r dm L -≈-．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的膨胀率逐渐变小了．1．1 导数的概念检测反馈：1． 4+2Δx ；2． 12；3． 0； 4． 解：22()2y x x x x x x x ∆+∆-==+∆∆∆，当0x ∆→时，2y x x∆→∆， 所以()2,(4)8f x x f ''==．5． （1）0α=；（1）4πα=；（1）34πα=；（1）3πα=．巩固练习：A 组1．-3 ； 2．00()()f x x f x +∆-； 3．2； 4．1x ∆+； 5．0．1，8．3%； 6．2ax a x b +∆+； 7． 3万件/年，0万件/年； 8．-2； 9．19．6m/s ； 10．223/,6/m s m s ； 11．当00.5t ≤≤时，平均速度1(0.5)(0)4.05(/)0.50h h v m s -==-；当12t ≤≤时，平均速度2(2)(1)8.2(/)21h h v m s -==--；12．1110100,,,3211101----；13．22433()3R R R R π⎡⎤+∆+∆⎣⎦； 14．（1）20米/秒；（2）40米/秒；（3）56米/秒；15．4,4160k x y =-+-=； 0,4k y ==B 组16．(1)温度上升的瞬时速度；(2)污染源扩散的瞬时速度；(3)水面高度下降的瞬时速度； 17．（-1，1）或（1，1）；18．41y x =-； 19．3； 20．-2； 21．-822．解：圆盘面积2220(1).S r r at ππ==+()()()222200201122,S r t t r t r t t t παπαπααα∆=++∆-+⎡⎤⎣⎦=++∆∆20(22),Sr t t tπααα∆=++⋅∆∆ ()20021,st r a at tπ∆∆+∆当无限趋近时，无限趋近于即为铝盘面积对温度t 的变化率.23．(1)8,3PQ PR K K =-=-,(2)PQ 逐步增大，PR 逐步减小；24．k = -1,倾斜角=1350； 25．令(1,1)p ，11,1Q x x ⎛⎫+∆ ⎪+∆⎝⎭，则1111111PQx k x x-+∆==-+∆-+∆，当0x ∆→时，1PQ k →-，从而曲线1y x=在1x =处切线斜率为1-．26．令12P ⎛ ⎝⎭，1(0)2Q x x ⎛ +∆∆≠ ⎝，则PQk ==，当0x ∆→时，3PQ k →-，故切线的斜率为3-．27．略 28．（1）12118；（2）192；（3）(90)9,(100)10C C ''==C 组29．（1）0000()()(())()f x f x h f x h f x h h--+--=-，当 h 无限趋近于0时，- h 也无限趋近于0，∴00(())()f x h f x h+---无限趋近于0()f x '；（2）0000(2)()(2)()22f x h f x f x h f x h h +-+-=⋅，当h 无限趋近于0时，2h 也无限趋近于0，∴00(2)()2f x h f x h+-无限趋近于0()f x '，∴00(2)()f x h f x h+-无限趋近于20()f x '；（3）00()()f x h f x h h+--= 0000()()()()f x h f x f x f x h h+-+--=0000()()()()f x h f x f x f x h h h +---+，当h 无限趋近于0时，00()()f x h f x h+-无限趋近于0()f x '，00()()f x f x h h--无限趋近于0()f x '，∴00()()f x h f x h h+--无限趋近于20()f x '；（4）00()(2)f x h f x h h--+=00()(2)(3)3f x h f x h h--+⋅--=当h 都无限趋近于0时，-3h 也无限地趋近于0，00()(2)f x h f x h h --+无限趋近于03()f x '-．30．（1）142n n a =+； （2）当n 不断增大时，n a 无限趋向于4（当n 无限增大时，区间长度无限趋近于0，此时的平均变化率趋近于函数在2x =时的导数）；。
江苏省海门中学高二数学(苏教版)教学案 选修2-2 第一章 常见函数的导数
常见函数的导数教学案课题 常见函数的导数（1）编制人 宋振苏班级 姓名 第 小组教学目标：把握初等函数的求导公式； 教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式． 一、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的转变量)()(x f x x f y -∆+=∆ （2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）当0→∆x 得函数的导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim本节课我们将学习常见函数的导数。
首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发觉有什么规律吗？二、新授1、基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=- ⑺'= 由⑶~⑹你能发觉什么规律?⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且⑾x x e )(e =' ⑿ x1)(lnx ='⒀cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='从上面这一组公式来看，我们只要把握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。
（1）5-=x y ( 2）xy 4= （3）x x x y =(4)x y 3log = （5）y=sin(2π+x) (6) y=sin 3π（7）y=cos(2π－x)例2.若直线y x b =-+为函数1y x=图象的切线,求b 的值和切点坐标。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 1.1.4 导数的概念 教案
1.1.4《导数的概念》教案一、教学目标(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想二、教学重点难点导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力.三、教学过程【复习引入】1.什么叫做平均变化率；函数y =f (x )的定义域为D ，x 1.x 2∈D ，f (x )从x 1到x 2平均变化率为:2121()()f x f x y x x x -∆=∆- 2.曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f (x )在区间[x A ，x B ]上的平均变化率2121()()f x f x y k x x x -∆==∆- 3.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？曲线的割线和切线【数学建构】1.导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ,则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0x x y ='.0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x=+∆-∆'===∆→∆∆当. 2.求导数的步骤：①求函数的增量：=∆y 00()();y f x x f x ∆=+∆-②算比值（平均变化率）：=∆∆x y 00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ ③取极限，得导数：0x x y ='=0.0x x y y x x=∆'=∆→∆在时 上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限.3.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.4.函数在一区间上的导数：如果函数 f (x )在开区间 (a ,b ) 内每一点都可导，就说f (x )在开区间 (a,b )内可导．这时，对于开区间 (a,b )内每一个确定的值 x 0，都对应着一个确定的导数 f '(x 0)，这样就在开区间(a,b )内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f (x ) 在开区间(a,b )内的导函数，简称为导数，记作''()()(),0y f x x f x f x y x x x∆+∆-===∆→∆∆当时的值 【数学应用】例1 求y =x 2+2在点x =1处的导数.解：222[(1)2](12)2()y x x x ∆=+∆+-+=∆+∆ 22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆ '12,0|2x y x x xy =∆∴=+∆∆→∆=当时 变式:求y =x 2+2在点x =a 处的导数.例2 若2()(1)f x x =-，求(2)((2))f f ''和.例3已知y ='y ，并求出函数在2x =处的切线方程.解：y y x x∆=∆=∆∆'0y y x x x ∆∴==∆∆==∆→当时的值。
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江苏省泰兴中学高二数学讲义（）
导数的概念（）
【本课目标】
、了解函数平均变化率、瞬时变化率的概念，会求函数的平均变化率、瞬时变化率；
、理解平均变化率、瞬时变化率的几何意义、物理意义，会解决实际问题.
【重点难点】
重点：平均变化率的含义，切线斜率的求法
难点：割线逼近切线的“无限递近”的思想
【预习导引】
、函数在区间[，]上的平均变化率为.
、函数在区间[，]上的平均变化率为.
、已知函数() 在区间[，]上的平均变化率为,则.
、火箭发射时位移函数为()，则第末的瞬时速度为.
【典型例题】
例、（）分别计算函数在区间[，]、[，]上的平均变化率；
（）已知函数图象上（，）及（）,则；
（）求函数在（）的平均变化率.
例、某婴儿从出生到第个月的体重如图，试分别计算从出生到第个月以及第个月到第个月该婴儿体重的平均变化率.
(月)
例：已知，求曲线在处的切线斜率．
例：设曲线在点（，）的切线与直线平行，求的值．。