导数概念 教案

导数的概念

（教案•讲稿•PPT）

一、教案

【教学目标】

(1)、知识与技能目标

1.了解导数的历史背景,体会导数定义的探索过程

2.掌握导数的内容，初步会用它进行有关的计算求解．

3.使学生深刻理解导数的概念，理解导数在几何、物理上的意义，能够根据导数的定义求函数在区间上的导数．

(2)、过程与方法目标

1. 在导数定义的过程中,用形象直观的两个实际例子作为引例，培养学生的观察能力、抽象思维能力.体会数形结合的思想.

2．通过探究导数定义的过程，体验数学思维的严谨性。

(3)、情感、态度与价值观目标

1. 了解导数发现的历史，感受数学知识所蕴含的数学文化，培养学生学习数学，探究数学的兴趣与本领。

2. 在探究活动中，体验用极限方法解决平均变化率逼近某点处的变化率的思想，培养学生的探究精神。

【教学重点】导数的概念.

【教学难点】如何引出导数的概念，并根据导数的定义计算导数.

【教学方法】形象直观式教学法、问题探究式教学法.

【背景知识】自由落体物体的瞬时速度问题，曲线切线的斜率问题等.

【特色和创新之处】

用通俗易懂的语言，通过文、理结合的方式，最后以口诀的形式结尾，讲解抽象的内容，体现数学的草根本色。

【教学进程概要】

用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义，由例题1和例题2，来讲述在一点上求导的方法；接着由例题2，引出函数左、右导数的概念；用例题3引出在开区间上的导数，即导函数的定义，在此基础上给出求导函数的例子，例题4；最后以口诀的形式结尾。

【板书内容】

导数的概念

00000

()()()lim lim t t s t t s t s

v t t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆ 0000

()()lim lim MT

x x f x x f x y

k x x

∆→∆→+∆-∆==∆∆ 对一般函数：

()y f x =

0000

0()()|lim lim x x x x f x x f x y

y x x

=∆→∆→+∆-∆'==∆∆ x

x f x x f x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)

()(lim

lim

00

二、讲稿

（一）、引言

在前面，我们学习了函数的极限，利用极限讨论了函数的一种性质，叫连续，即：0

lim 0x y ∆→∆=，今天我们来研究函数的另外一种性质。下面我们通过两个实际的

问题引出这种性质的概念描述。

（二）、问题的实际背景

首先是一个物理问题，自由落体运动（让粉笔落下）。 1、自由落体运动的瞬时速度

英国物理学家牛顿在研究质点运动时，发现导数问题。设想有一钢球做自由落体运动，自由落体运动的高度和时间容易

测量，他发现距离和时间的关系是：2

12

s gt =。这不是一个

匀速运动，速度每时每刻都在变化着。那么钢球在时刻0t 的瞬时速度如何来求？

牛顿的办法如下：用短时间段t ∆内的平均速度近似瞬时速度。他考虑0t 时刻之后经过一个极短的瞬间t ∆到达t 时刻，即0t t t =+∆，在这一瞬间钢球所走的路

程为：00()()s s t t s t ∆=

+∆-。

这样，在这一时间段内的平均速度应该是：

000()()1

2

s t t s t s gt g t t t +∆-∆==+∆∆∆ t ∆越小，平均速度就越接近于瞬时速度，当0t ∆→时，平均速度的极限就是

瞬时速度。

000000

()()()lim lim t t s t t s t s v t gt t t

∆→∆→+∆-∆===∆∆

这里讨论的是一个物理问题，它体现的是平均变化率接近瞬时变化率的思想。下面来看一个几何上的问题。

2、几何曲线的切线斜率问题

德国数学家莱布尼茨在研究曲线切线的斜率的时候也碰到了类似的问题。给定一曲线

()f x ，求过),(00y x M 点的切线的斜率k 。

什么是切线呢？和闭曲线只有一个交点的直线称为切线（见下图2和图3），这种定义对于圆和椭圆等曲线是可行的，但对于一般的曲线就不行了。因此要有更为普遍可行的切线定义。

什么是切线，如何来定义切线呢？莱布尼茨是这么来考虑的：考虑曲线上的一个动点),(y x N ，其中

)(x f y =，x x x

∆+=0。MN 为曲线的一割线，当

N 沿着曲线向M 无限接近的时候，割线的极限位置为MT ，称MT 为切线。根据

定斜式知道确定一点处的切线就是确定斜率。

当M N 沿曲线

→时，则有：割线→切线，从而有MN

MT

k k

→，其中MN k 为割线的

斜率，MT k 为切线的斜率。割线斜率MN k 为：

00()()

tan MN f x x f x y k x x

α+∆-∆==

=

∆∆ 所以切线斜率MT k ：

000

00()()lim lim

lim

MT MN x x x f x x f x y

k k x x

∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 这里体现的也是函数平均变化率逼近某点处的变化率问题。从上述两个例题中，我们发现：虽然它们是两个不同范畴的实际问题，但它们的数学形式是一样的：

00000

()()()lim lim t t s t t s t s

v t t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆ 0000

()()lim lim MT

x x f x x f x y

k x x

∆→∆→+∆-∆==∆∆ 都是对某点处函数增量与自变量增量之比取极限。类似的问题还很多，如电流强度，经济学中的边际等等…，所以对两个增量之比取极限，这个东西并不是突然从天上掉下来的，硬要说是天上掉下来的，也是天上掉下个“林妹妹”。这个“林妹妹”就是“定义1”（板书）。

（三）、导数的定义

1、定义 定义1：设函数()y

f x =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量

x ∆时，相应的函数y 取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

若极限

000

()()lim lim x x f x x f x y

x x

∆→∆→+∆-∆=∆∆ （1） 存在，则称函数

()y f x =在点0x 处可导（这就是我们今天要讲的函数的另一性质：

可导性），并称该极限为函数在点0x 处的导数（言下之意 ，导数就是按增量之比取

极限这一规则导出的数）。记为：0,x x y =' 或者00

()x x x x dy

df

f x dx

dx

=='，，。