2015-2016学年福建省福州市文博中学高二下学期期中数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年福建省福州市文博中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：1．若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i2．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．2 B．1 C．D．03．已知命题p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．B．￢p：∀x∈R，2x＜0C．D．￢p：∀x∈R，2x≤04．（1+cosx）dx等于（）A．πB．2 C．π﹣2 D．π+25．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a5=﹣2，a8=16，等S6等于（）A．B．﹣C．D．﹣6．曲线f（x）=xlnx在点x=1处的切线方程为（）A．y=2x+2 B．y=2x﹣2 C．y=x﹣1 D．y=x+17．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若，则x+y的值是（）A．﹣3或1 B．3或1 C．﹣3 D．1=，则边BC的长为（）8．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积S△ABCA．B．3 C．D．79．若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）10．△ABC内有任意三点不共线的2016个点，加上A，B，C三个顶点，共2019个点，把这2019个点连线形成互不重叠（即任意两个三角形之间互不覆盖）的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）A．4033 B．4035 C．4037 D．403911．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A．B．C．D．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；正确的有（）A．①②③ B．①②C．①③D．②③二、填空题13．=______．14．函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为______．15．如图：在底面为平行四边形的棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．则向量可用=，=，=表示为______．16．函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的减区间是______．三、解答题17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=5，S15=225．数列{b n}是等比数列，b3=a2+a3，b2b5=128（其中n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列c n前n项和T n．18．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值．20．已知函数（1）当a=0时，求f（x）的极值．（2）当a≠0时，若f（x）是减函数，求a的取值范围；21．已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）已知点A（0，1）和直线l：y=x+m，线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值．22．已知函数f（x）=﹣kx且f（x）在区间（2，+∞）上为增函数．（1）求k的取值范围；（2）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．2015-2016学年福建省福州市文博中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z==，运算求得结果．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故选A．2．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．2 B．1 C．D．0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在点P处的切线的斜率就是函数y=f（x）在该点的导数值，因此可求得f′（5）．【解答】解：根据图象知，函数y=f（x）的图象与在点P处的切线交于点P，f（5）=﹣5+8=3，f′（5）为函数y=f（x）的图象在点P处的切线的斜率，∴f′（5）=﹣1；∴f（5）+f′（5）=2．故选：A．3．已知命题p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．B．￢p：∀x∈R，2x＜0C．D．￢p：∀x∈R，2x≤0【考点】命题的否定．【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈R，2x＞0，的否定是：．故选：C．4．（1+cosx）dx等于（）A．πB．2 C．π﹣2 D．π+2【考点】定积分．【分析】由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b 公式即可求出值．【解答】解：∵（x+sinx）′=1+cosx，∴（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin﹣=π+2．故选D5．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a5=﹣2，a8=16，等S6等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】等比数列的前n项和．【分析】先根据a5=﹣2，a8=16求得q，a1，进而根据等比数列的求和公式，求得答案．【解答】解：q3==﹣8∴q=﹣2 a1=﹣∴S6==故选A．6．曲线f（x）=xlnx在点x=1处的切线方程为（）A．y=2x+2 B．y=2x﹣2 C．y=x﹣1 D．y=x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．【解答】解：求导函数，可得y′=lnx+1x=1时，y′=1，y=0∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x﹣1即y=x﹣1．故选：C．7．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若，则x+y的值是（）A．﹣3或1 B．3或1 C．﹣3 D．1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两个向量的数量积公式可得4+4y+2x=0，由向量的模的求法可得=6，解出x和y的值，即得x+y的值．【解答】解：由题意可得=4+4y+2x=0，且=6，∴x=4，或x=﹣4，当x=4时，y=﹣3，当x=﹣4时，y=1，∴x+y=1，或x+y=﹣3，故选A．=，则边BC的长为（）8．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积S△ABCA．B．3 C．D．7【考点】三角形中的几何计算．【分析】由△ABC的面积，求出AC=1，由余弦定理可得BC=，计算可得答案．【解答】解：∵=sin60°=，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故选A．9．若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求函数f（x）=ax3+lnx的导函数f′（x），再将“线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线”转化为f′（x）=0有正解问题，最后利用数形结合或分离参数法求出参数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=3ax2+（x＞0）∵曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，∴f′（x）=3ax2+=0有正解即a=﹣有正解，∵﹣＜0，∴a＜0故选：D．10．△ABC内有任意三点不共线的2016个点，加上A，B，C三个顶点，共2019个点，把这2019个点连线形成互不重叠（即任意两个三角形之间互不覆盖）的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）A．4033 B．4035 C．4037 D．4039【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先得到所有三角形的内角和，再根据三角形的内角和为180°可得三角形的个数．【解答】解：∵三角形的内角和为180°，又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角，是360°，则2016个点的角的总和S=2016×360°，加上三角形原来的内角和180°，∴所有三角形的内角总和S′=180°+2016×360°=180°×（1+2016×2），∴三角形的个数为：1+2016×2=4033．故选：A．11．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出AF1 的长，直角三角形AF1F2中，由边角关系得tan30°==，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值．【解答】解：把x=﹣c代入椭圆的方程可得y=，∴AF1 =，由tan30°=====，求得3e2+2e﹣3=0，解得（舍去），或，故选D．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；正确的有（）A．①②③ B．①②C．①③D．②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（3）个条件得到②正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；【解答】解：①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，正确；②取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，f（）=…=2m f（）=2m+1﹣x从而f（x）∈[0，+∞），正确③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，2x1﹣2x2=10，又∵2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在满足条件的x1，x2，所以该命题错误；综合有正确的序号是①②．故选：B．二、填空题13．=．【考点】定积分．【分析】根据微积分基本定理计算即可．【解答】解：=（2x2﹣x3）|=（18﹣9）﹣（2+）=，故答案为：．14．函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为．【考点】二项式系数的性质；分段函数的应用．【分析】分别在[﹣1，0]上、[0，]上求得函数f（x）与x轴所围成的封闭图形的面积，再把这两个值相加，即得所求．【解答】解：在[﹣1，0]上，函数f（x）=x+1与x轴所围成的封闭图形的面积为×1×1=，在[0，]上，函数f（x）=cosx与x轴所围成的封闭图形的面积为cosxdx=sinx=1，∴函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为+1=，故答案为：．15．如图：在底面为平行四边形的棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．则向量可用=，=，=表示为++．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】由=，==，代入=+，即可得出．【解答】解：∵=，===，∴=+=+=++，故答案为： ++．16．函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的减区间是（﹣1，1）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，求导f′（x）=0，求得该函数的极值点x1，x2，并判断是极大值点x1，还是极小值点x2，代入f（x1）=6，f（x2）=2，解方程组可求得a，b的值，再由f′（x）＜0即可得到．【解答】解：：令f′（x）=3x2﹣3a=0，得x=±，令f′（x）＞0得x＞或x＜﹣；令f′（x）＜0得﹣＜x＜．即x=﹣取极大，x=，取极小．∵函数f（x）=x3﹣3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，∴f（）=2，f（﹣）=6，即a﹣3a+b=2且﹣a+3a+b=6，得a=1，b=4，则f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜1．则减区间为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．三、解答题17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=5，S15=225．数列{b n}是等比数列，b3=a2+a3，b2b5=128（其中n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列c n前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（I）在数列{a n}中，把已知条件用首项a1，公差d表示，联立方程可求a1和d；在数列{b n}中，用b1和公比q把已知表示，求出b1和公比q（II）由（I）可知c n=（2n﹣1）•2n，利用错位相减求出数列的和【解答】解：（I）公差为d，则，∴故a n=2n﹣1（n=1，2，3，…）．设等比数列b n的公比为q，则，∴b3=8，q=2∴b n=b3•q n﹣3=2n（n=1，2，3，…）．（II）∵c n=（2n﹣1）•2n∵T n=2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n2T n=22+3•23+5•24+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1作差：﹣T n=2+23+24+25+…+2n+1﹣（2n﹣1）•2n+1==2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n+1=2+2n+2﹣8﹣2n+2n+2n+1=﹣6﹣2n+1（2n﹣3）∴T N=（2n﹣3）•2n+1+6（n=1，2，3，…）．18．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）根据菱形的性质得出BE⊥AB，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥BE，故而BE⊥平面PAB，于是结论得证；（II）设AC，BD交点为O，以O为原点建立坐标系，求出两个平面的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（I）证明：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°，∴△BCD是等边三角形，∵E是CD的中点，∴BE⊥CD，∵CD∥AB，∴BE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PA⊥BE，又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BE⊥平面PAB，又BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．（II）设AC∩BD=O，以OB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，以平面ABCD过O的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），D（﹣，0，0），P（0，﹣，2），E（﹣，，0），∴=（0，0，2），=（﹣，，0），=（﹣，，0），=（﹣，﹣，2）．设平面PAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PBE的法向量为=（x2，y2，z2），则，．∴∴，．令x1=得=（，1，0），令x2=1得=（1，，1）．∴cos＜，＞===．∵平面PAD和平面PBE所成二面角为锐角，∴平面PAD和平面PBE所成二面角的余弦值为．20．已知函数（1）当a=0时，求f（x）的极值．（2）当a≠0时，若f（x）是减函数，求a的取值范围；【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的定义域（0，+∞）（1）把a=0代入求导，研究函数的单调区间，根据单调性求函数的极值．（2）由题意可得f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，转化为求函数f′（x）在（0，+∞）的最大值小于（等于）0，进而求解，也可利用二次函数的图象及根的分布问题求解．【解答】解：（1）∵当a=0时，f（x）=2x﹣lnx，则∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表∴当时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．（2）由已知，得，且x＞0，则∵函数f（x）是减函数∴f'（x）≤0对x＞0恒成立，即不等式为对恒成立由二次函数的性质可得解得a≤﹣1，即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]另解：对x＞0恒成立，即对x＞0恒成立，即21．已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）已知点A（0，1）和直线l：y=x+m，线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据已知可求出椭圆中的a，b的值，再根据椭圆的焦点在x轴上，就可得到椭圆方程．（Ⅱ）根据直线AB与直线l：y=x+m垂直，可得直线AB的斜率，结合A点坐标就可求出直线AB的方程，代入椭圆方程，化简，利用韦达定理求出AB的中点坐标，代入直线l的方程，就可求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E的长轴长为4，∴a=2，离心率为．∴，c=，∴b=1∵椭圆E的焦点在x轴上，∴椭圆E的标准方程为；（Ⅱ）由条件可得直线AB的方程为y=﹣x+1．于是，有，．设弦AB的中点为M，则由中点坐标公式得，，由此及点M在直线l得．22．已知函数f（x）=﹣kx且f（x）在区间（2，+∞）上为增函数．（1）求k的取值范围；（2）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导函数，因为f（x）在（2，+∞）上为增函数，所以得到导函数在（2，+∞）上恒大于等于0，列出k与x的不等式，由x的范围即可求出k的取值范围；（2）把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中确定出h（x）的解析式，求出h（x）的导函数，令导函数等于0求出此时x的值，然后根据（1）求出的k的范围，分区间讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间，根据函数的增减性求出函数的极小值和极大值，判断得到极小值大于0，所以要使函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，即要极大值也要大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意f′（x）=x2﹣（k+1）x，因为f（x）在区间（2，+∞）上为增函数，所以f′（x）=x2﹣（k+1）x≥0在（2，+∞）上恒成立，即k+1≤x恒成立，又x＞2，所以k+1≤2，故k≤1，当k=1时，f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在x∈（2，+∞）恒大于0，故f（x）在（2，+∞）上单增，符合题意．所以k的取值范围为k≤1．（2）设，h′（x）=x2﹣（k+1）x+k=（x﹣k）（x﹣1），令h′（x）=0得x=k或x=1，由（1）知k≤1，①当k=1时，h′（x）=（x﹣1）2≥0，h（x）在R上递增，显然不合题意；②当k＜1时，h（x），h′（x）随x的变化情况如下表：由于＞0，欲使f（x）与g（x）图象有三个不同的交点，即方程f（x）=g（x），也即h（x）=0有三个不同的实根．故需即（k﹣1）（k2﹣2k﹣2）＜0，所以，解得．综上，所求k的范围为．2016年9月27日。