广东省2021届高三年级上学期调研考试数学试题(含答案和解析)
广东省大湾区2025届高三上学期9月统一调研考试数学试题(解析版)
★启用前注意保密大湾区2025届普高毕业级统一调研考试数学2024.9本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若24log log 2m n +=，则2m n =（ ）A. 3B. 4C. 9D. 16【答案】D 【解析】【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可.【详解】因为24log log 2m n +=，所以221log log 22m n +=， 故得12222log log log 4m n +=，化简得1222log log 4mn =， 所以124mn =，故216m n =，故D 正确. 故选：D.2. 设复数z 满足|1|2z −=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）A. 22(1)2x y −+=B. 22(1)2x y +−=C. 22(1)4x y −+=D. 22(1)4x y +−=【答案】C 【解析】【分析】i z x y =+2=，两边平方得到答案.【详解】i z x y =+，则()|1|2|1i |2z x y −=⇒−+=，2=，故22(1)4x y −+=. 故选：C3. 若2{1,3,4,}m m ∈，则m 可能取值的集合为（ ） A. {0,1,4} B. {0,3,4}C. {1,0,3,4}−D. {0,1,3,4}【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得. 【详解】由2{1,3,4,}m ，得21m ≠，则1m ≠，由2{1,3,4,}m m ∈，得3m =，此时29m =，符合题意；或4m =，此时216m =，符合题意；或2m m =，则0m =，此时20m =，符合题意， 所以m 可能取值的集合为{0,3,4}. 故选：B4. 已知随机变量~(,)X B n p ，若(2)2()D X E X =，则p =（ ）A.116B.18C.14D.12【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式列方程，从而求得p . 【详解】依题意X 满足二项分布，且(2)2()D X E X =，即()()()()42,2D X E X D X E X ==， 即()21np p np −=，解得12p =，（0p =舍去）.故选：D5. 甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同排法共有（ ） A. 6种 B. 12种C. 24种D. 48种【答案】D 【解析】【分析】将甲、乙两人看成一个人，根据n 个不同元素围成的环状共有()1!n − 种排法求解.【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将n 个不同元素围成的环状排列剪开看成n 个元素排成一排，即共有!n 种排法，由于n 个不同元素共有n 种不同的剪法，则环状排列共有()!1!n n n=− 种排法.甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有()51!−种坐法，又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为()51!2!48−×=种. 故选：D6. 已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)(5)f f =，函数(1)f ax −的图象关于直线2x =对称，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】函数(1)f ax −的图象关于直线2x =对称，可得到()()(1)41f ax f a x −=−−，再根据(1)(5)f f =列出方程式可求解【详解】根据题意知，函数(1)f ax −的图象关于直线2x =对称，则得到()()(1)41f ax f a x −=−−，又因(1)(5)f f =，则令11415ax ax a −= −+−=或15411ax ax a −=−+−= 解之可得2a =.故选：B7. 已知正(3)n n ≥棱锥的侧棱长为3，则其体积可能为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】A 【解析】的【分析】设正棱锥的底面正多边形的外接圆的半径为(03)R R <<，利用棱锥的体积公式，可得正棱锥的体积21π3V R <2(0,9)x R =∈，设()239f x x x =−，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合选项，即可求解.【详解】设正棱锥的底面正多边形的外接圆的半径为R ，可得外接圆的面积为2πS R = 因为正棱锥的侧棱长为3，所以底面正多边形的外接圆的半径03R <<，又由正棱锥的高为h=设正棱锥的底面多边形的面积为1S ，所以正棱锥的体积21111π333V S h R =⋅<，其中03R <<， 令2(0,9)x R =∈，可得11133V S h =⋅< 设()239,(0,9)f x x x x =−∈，可得()()218336f x x x x x =−=′−，当(0,6)x ∈时，ff ′(xx )>0，函数()f x 单调递增；当(6,9)x ∈时，ff ′(xx )<0，函数()f x 单调递减， 所以，当6x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为()6108f =，所以1113V <<，结合选项，只有A 选项符合题意. 故选：A.8. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且10a =，2n k a n k −=−1(02)n k −<≤，则31S =（ ） A. 26− B. 31−C. 36−D. 40−【答案】B 【解析】【分析】根据2n k a n k −=−写出各项值，直接求和. 【详解】10a =，1220101a a −==−=， 2321211a a −==−=， 2420202a a −==−=，故12344a a a a +++=； 的3523330a a −==−=， 3622321a a −==−=， 3721312a a −==−=， 3820303a a −==−=，故56786a a a a +++=； 4927473a a −==−=−， 41026462a a −==−=−， 41125451a a −==−=−，⋅⋅⋅ ， 41620404a a −==−=，故9101634842a a a −+++⋅⋅⋅+=×=； 51721551510a a −==−=−， 5182145149a a −==−=−，⋅⋅⋅ ， 53121514a a −==−=，故17183110415452a a a −+++⋅⋅⋅+=×=−； 故31S =()()()()12345678916173131a a a a a a a a a a a a +++++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=−. 故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知样本数据7,3,5,3,10,8，则这组数据的（ ） A. 众数为3 B. 平均数为6.5 C. 上四分位数为8 D. 方差为203【答案】ACD 【解析】【分析】利用众数，平均数，方差，上四分位数公式逐个选项分析求解即可. 【详解】首先，我们把数据从小到大排列，得到3,3,5,7,8,10，对于A ：观察得数据3出现的次数最多，所以众数为3，故A 正确； 对于B ：平均数为335781036666+++++==，故B 错误；对于C ：因为一共有6个数据，且675 4.75×%=， 所以上四分位数为第5个数，故上四分位数为8，故C 正确； 对于D ：方差为2222221(36)(36)(56)(76)(86)(106)6−+−+−+−+−+− ， []1120991141640663=+++++=×=，故D 正确. 故选：ACD.10. 若某等腰直角三角形的其中两个顶点恰为椭圆C 的两个焦点，另一个顶点在C 上，则C 的离心率可能为（ ） A.12B.C. 1−D.【答案】BC 【解析】【分析】首先不影响答案情况下可固定直角和椭圆的焦点所处的坐标轴，再设AB AC k ==，最后分,B C 为焦点和,A C 为焦点并结合椭圆定义和离心率公式讨论即可.【详解】在等腰直角ABC 中，在不影响离心率的情况下不妨设π2A ∠=，AB AC k ==，0k >，且椭圆焦点位于x 轴上，当椭圆以B ，C 为焦点时，根据椭圆和等腰直角三角形对称性知点A 为椭圆上顶点，则22,a k a k ==；2,c ck =，离心率ce a==当椭圆以,A C或,A B为焦点时，2(1,a k k a=+=+，2,2kc k c==，离心率1cea==−，1.故选：BC.11. 记函数()sin cos2sin3f x x x x=在区间π0,2的极值点分别为1α，2α()12αα<，函数()()()2143g x x x x=−−的极值点分别为1β，2β()12ββ<，则（）A.1256ββ+= B. ()()i if gαβ=()1,2i=C. ()()()21f f x f αα≤≤D. 2114αβ<【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ：根据导数可得1β，2β为方程2242030x x −+=的两个根，进而可得；选项B ：()6428sin 10sin 3sin f x x x x =−+，根据换元设2sin t x =得()328103h t t t t =−+，与()328103g x x x x =−+解析式相同，进而可判断； 选项C ：由()1π12f f α=>可判断；选项D ：根据先求出1105β<=<，2π5034α<<<根据不等式的性质进而可得.【详解】选项A ：()()()322143=8103g x x x x x x x =−−−+，()2=24203g x x x ′−+， 故由题意可知1β，2β为方程2242030x x −+=的两个根，故1256ββ+=，A 正确； 选项B ：()()()23642sin cos 2sin 3sin 12sin 3sin 4sin 8sin 10sin 3sin f x x x x x x x x x x x ==−−=−+， 设2sin t x =，因π0,2x∈，则()0,1t ∈， 此时函数yy =ff (xx )可化为()28103h t t t t =−+， 由题意此函数的极值点分别为1β，2β()12ββ<，当π0,2x∈时，函数2sin t x =单调递增，故112sin βα=，222sin βα=， 故 ()()11fg αβ=，()()22f g αβ=，故B 正确；选项C ：由2242030x x −+=解得1β=2β=()()111f g g αβ==<， 由题意函数()f x 在()10,α上单调递增，在()12,αα上单调递减，在2π,2α上单调递增，而π12f =，故()()0201π,,2x f x f αα∃∈>，故C 错误；选项D ：由A可知，1105β<=<，2223sin 4βα==<， 因2π0,2α∈，故20sin α<<2π5034α<<<， 故2114αβ<，故D 正确， 故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知等比数列{}n a 的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则1a =______． 【答案】1 【解析】【分析】设出公比，根据()2461352a a a a a a ++=++，求出公比2q ，故13521a a a ++=，得到11a =. 【详解】设公比为q ，则12345663a a a a a a +++++=， 其中()2461352a a a a a a ++=++，又()246135a a a q a a a ++=++，故2q ，()135363a a a ++=故13521a a a ++=，即2411111141621a a q a q a a a ++=++=， 解得11a =. 故答案：113. 已知球O 是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则该圆锥的体积与球O 的体积之比为______． 【答案】83##223【解析】【分析】根据题意作出相应的截面图形，设AE x =，利用勾股定理，用r 表示AE ，结合圆锥体积和球的体积公式即可求解.【详解】球O 是某圆锥内可放入的最大的球，则该球为圆锥的内切球， 截面如图所示：设球O 的半径为r ，则圆锥底面半径为2r ，为可得在ABC 中，,AD BC OF AC ⊥⊥，2CD CF r ==， 设AE x =，由勾股定理得AF ===222AD CD AC +=，即()())222222x r r r +++，化简得223440x rx r +−=，即()()3220x r x r −+=， 0x ，则23x r =，即23AE r =，则圆锥体积为()321232ππ22339r rr r +=， 球O 的体积为34π3r ， 所以圆锥的体积与球O 的体积之比为3332π894π33r r =.故答案为：83.14. 设A ，B ，C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB AC ⋅的最小值为______． 【答案】2− 【解析】【分析】法一：可初步确定A 点所在的平面，作B ，C 在这个面的射影1B ，1C ，利用AB AC⋅()()1111AB B B AC C C =+⋅+把空间向量问题转化为平面向量问题，结合向量数量积的性质和基本不等式求最小值.法二：建立空间直角坐标系，不妨假设A 在平面xOy 中，设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影，利用向量不等式可得：()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥−⋅≥−，即可求解.【详解】法一：如图：不防设点A 在正方体的下底面内，B ，C 在正方体的表面的任何位置，它们在下底面的射影分别为1B ，1C .则11AB C C ⊥，11AC B B ⊥.所以110AB C C ⋅= ，110AC B B ⋅= ，110B B C C ⋅≥. 所以AB AC ⋅()()1111AB B B AC C C =+⋅+11111111AB AC AB C C AC B B B B C C =⋅+⋅+⋅+⋅ 1111AB AC B B C C =⋅+⋅11AB AC ≥⋅11AB AC ≥−⋅ （当1AB 与1AC 方向相反时取“=”）.又()211114AB AC AB AC +⋅≤（当且仅当1AB = 1AC时取“=”）.分析两个“=”成立的条件，可知A 为11B C 中点时，AB AC ⋅有最小值.此时1111AB AC B C +=≤（当11B C 为下底面的面对角线时取“=”）.所以112AB AC ⋅≤=，AB AC ⋅ 11AB AC ≥−⋅ ⇒2AB AC ⋅≥− （当A 位于下底面中心，B ，C 在下底面的射影是下底面的面对角线端点时取“=”）.法二：将正方体置于空间直角坐标系O xyz −中，且A 在平面xOy 中，点O 和点()2,2,2的连线是一条体对角线．设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影． 可得()130,0,B B b = ，()130,0,C C c = ，110AB C C ⋅= ，110AC B B ⋅=则()()111111111111AB AC AB B B AC C C AB AC AB C C AC B B B B C C ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅1133AB AC b c =⋅+，因为()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥−⋅≥−，当且仅当点C 为11B C 的中点时，等号成立，可得()2211111244AB AC B C +−=−≥− ，所以2AB AC ⋅≥−，当()1,1,0A ，11222b c b c −=−=，且330b c =时等号成立． 故答案为：2−.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用AB AC ⋅()()1111AB B B AC C C =+⋅+ ，把空间向量的数量积转化成平面向量的数量积，“降维”是解决该题的关键思想.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos 1A A −=． （1）求A ；（2）记ABC 的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，若3a =，求rR的取值范围． 【答案】（1）π3A = （2）1(0,]2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式整理得到π1sin 62A−=结合角A 范围即可求解； （2）根据正弦定理确定ABC 的外接圆半径为R ，根据等面积确定内切圆半径为r ，从而可得rR的不等式，进而可求其取值范围． 【小问1详解】cos 1A A −=，11cos 22A A ∴−=，则π1sin 62A−= ， ()0,πA ∈ ， ππ66A ∴−=，解得π3A =，π3A ∴=；【小问2详解】根据正弦定理得：2sin aRA==，设ABC 的内心为O ，易知2π3BOC ∠=， 由11sin 22BOC S ar OB OC BOC ==⋅⋅∠，则r OC ⋅， 由余弦定理得：2222cos a OB OC OB OC BOC +−⋅⋅∠，即2293OB OC OB OC OB OC ++⋅≥⋅，当且仅当OB OC =时取等号，3OB OC ∴⋅≤，0r ∴<≤∴12r R=≤， ∴1(0,]2Rr ∈． 16. 已知函数21()exx x f x +−=． 的（1）求()f x 的极值；（2）讨论()f x 在区间[,m m +上的最大值． 【答案】（1）极小值为e −，极大值为25e； （2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，探讨导数值正负求出极值.（2）借助（1）求出的函数()f x 的单调性，再对m 进行分类讨论，结合单调性得到最大值. 【小问1详解】函数21()e x x x f x +−=定义域为R ，求导得221(1)(1)(2)()e e x xx x x x x f x +−+−+−′==−， 当1x <−或2x >时，()0f x ′<，当12x −<<时，()0f x ′>，因此函数()f x 在1x =−处取得极小值(1)e f −=−，在2x =处取得极大值25(2)ef =， 所以函数()f x 的极小值为e −，极大值为25e . 【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在(,1),(2,)−∞−+∞上单调递减，在(1,2)−上单调递增，①当1m +≤−，即1m ≤−时，()f x 在[,m m 上单调递减，max ()()f x f m =；②当11m <−<−时，()f x 在[,1)m −上单调递减，在(1,m −+上单调递增，由()0f x =，得12x x ，21x x −，当1m −<≤时，1m −<≤12()()()(f m f x f x f m ≥≥+，max ()()f x f m =；当1m <<−1m <+<，12()()()(f m f x f x f m <≤，max()(f x f m =；③当12m −≤≤时，()f x 在[,m m 上单调递增，max()(f x f m =+；④当22m −<<时，()f x 在[,2)m上单调递增，在(2,m +上单调递减，max 25()(2)e f x f ==； ⑤当2m ≥时，()f x在[,m m 上单调递减，max ()()f x f m =，所以当m ≤2m ≥时，函数()f x 的最大值为()21e mm m f m +−=；当2m <≤−时，函数()f x的最大值为(f m+； 当22m <<时，函数()f x 的最大值为25(2)ef =.17. 如图，在四面体ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若二面角D AE C −−的正切值为ACDE 与四面体ABCD 的体积之比． 【答案】（1）证明见解析 （2）45【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，得到DO AC ⊥，再由ABC 是正三角形，得到BO AC ⊥，利用面面垂直的判定证明；（2）以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面ADC 和平面ACE 的法向量，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解. 【小问1详解】由题设得，ABD CBD ≅ ，从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠°.取AC 的中点O ，连接DO 、BO ，则DO ⊥AC 且OD OA =， 又ABC 是正三角形，故BO AC ⊥.则Rt AOB 中，22222BO AO AB BO DO +==+，又AB BD =， 所以222BO DO BD +=，故OD OB ⊥.而AC OB O ∩=且都在面ABC ，故OD ⊥面ABC ， 而OD ⊂面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABC .【小问2详解】设2AB =， DE mDB =，结合（1）结论，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1),(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0)D O B C A −，易知平面ADC 的法向量为1(0,1,0)n =，设(,,)E x y z ，由DE mDB =，可得,1)E m −，得,1),(1,0,0)OE m OA =−= ，设面ACE 的法向量为2(,,)n x y z =，则()22010n OA x n OEm z ⋅== ⋅=+−=，取1y m =−，得0,x z ==，所以2(0,1)n m =−， 因为二面角D AE C −−的正切值为，则121cos ,7n n =， 又01m ≤≤，解得45m =，所以45DE DB = ，所以E 到底面ACD 距离与B 到底面ACD 的距离之比为45， 所以四面体ACDE 与四面体ABCD 的体积之比45.18. 在平面直角坐标系xOy 中，等轴双曲线1C 和2C 的中心均为O ，焦点分别在x 轴和y 轴上，焦距之比为2，1C 的右焦点F 到1C 的渐近线的距离为2． （1）求1C ，2C 的方程；的（2）过F 的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于D ，E 两点，AB 与DE的方向相同． （ⅰ）证明：||||AD BE =； （ⅱ）求AOD △面积的最小值．【答案】（1）22224;1x y y x −=−=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ【解析】【分析】（1）根据双曲线特征设22:i i C x y t −=，结合已知列方程求解； （2）（ⅰ）先设直线再联立方程应用两根的和结合中点M ，即可证明；（ⅱ）先把面积转化为122S S S −=再设函数()[)0,9f x x =∈借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值. 【小问1详解】由题设可设 22:i i C x y t −=,这里120,0t t ><. 易知i C 渐近线为y x =±，焦距为i C的右焦点)F，由题设可知22=× , 解得124,1t t ==−. 所以1C 的方程为224x y −=,2C 的方程为221x y −=−. 【小问2详解】（ⅰ）设直线 ()()()()11223344:2,,,,,,,AB x my A x y B x y C x y D x y =+，, 联立直线 AAAA 和 i C 的方程22i x my x y t =+−=,得()22180i m y t −++−=. 为使直线 AAAA 和 i C 均有2个交点，必须有210m −≠，()()22324180i i m m t ∆=−−−> , 解得29m <且21m ≠．由韦达定理可得1234121234228811y y y y t t y y y y m m +=+=−− == −−注意到 1234y y y y +=+，因此线段 AAAA 和线段 BE 具有相同的中点．记上述中点为 M ，注意到,AD DM AM BE EM BM =−=−,所以AD BE = . （ⅱ）由（ i ）可知AOD 和BOE 的面积相等．记AOD 的面积为S ,AOB 的面积为1S ,DOE 的面积为2S .由 AB 与 DE 的方向相同可知122S S S −= . 因为11212S OF y y =××−=，同理2S =所以122S S S −==−, 设()[)0,9f x x =∈, 则()f x ′当[)0,7x ∈时，()()0,f x f x ′>单调递增， 当()7,9x ∈时，()()0,f x f x ′>单调递减，因此S ≥当且仅当27m =时，等号成立， 因此，AOD【点睛】关键点点睛：解题的关键点时把面积转化为122S S S −=，设函数()[)0,9f x x =+∈借助导函数正负得出函数的单调性进而求出最小值. 19. 设离散型随机变量X ，Y 的取值分别为12{,,,}p x x x ，12{,,,}q y y y (),N p q ∗∈．定义X 关于事件“j Y y =”(1)j q ≤≤的条件数学期望为：1(|)(|)pj i i i i E X Y y x P X x Y y =====∑．已知条件数学期望满足全期望公式：1()(|)()qi i i E X E X Y y P Yy ====∑．解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物A 生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A 的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A 的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）： ①直接死亡；②分裂为2个个体．设第n 天上午培养皿中A 的个体数量为n X ．规定1()10E X =，1()0D X =． （1）求65(|6)E X X =； （2）求()n E X ；（3）已知21(|)(1)n n E X X k k k −==+(N )k ∗∈，证明：()n D X 随着n 的增大而增大． 【答案】（1）6 （2）()10n E X = （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）如果在第五天下午加入药物后，有K 个个体分裂，可得16,2K B∼，可求65(|6)E X X =；（2）随机变量Z 表示第1n −天下午加入药物之后分裂的个体数目，则1,2Z B k∼且2n X Z =，可得1(|)n n E X X k k −==设1n X −的取值集合为{}12,,,r x x x ，则由全期望公式可求得结论； （3）由（2）可知2()n E X ()2110n E X −+，可求得()()2100101n E X n =+−，进而可得()n D X .【小问1详解】在事件56X =发生的条件下，如果在第五天下午加入药物后，有K 个个体分裂， 则16,2K B∼ ，()1632E K =×=， 所以62X K =，()()6562236E X X E K ===×=． 【小问2详解】由（1）可类似得到：在事件1n X k −=发生的条件下，如果在第1n −天下午加入药物之后，有m 个个体分裂，则n X 的取值为()2k m k m m +−−=． 在事件1n X k −=发生的条件下，令随机变量Z 表示第1n −天下午加入药物之后分裂的个体数目， 则1,2Z B k∼且2n X Z =． 因此11001(|)2(2|)2()2()22r rn n n n m m E X X k m P X m X k m P Z m E Z k k −−==⋅⋅××∑∑． 设1n X −的取值集合为{}12,,,r x x x ，则由全期望公式可知111100()(|)()()()r rn n n i n i i n i n t t E X E X X x P X x x P X x E X −−−−=====⋅==∑∑． 这表明(){}n E X 是常数列，所以()()110n E X E X ==．【小问3详解】由（2）可知22111()(|)()rnnn i n i i E X E X X x P X x −−====∑ ()()()()2221111110ri i n i n n n i x x P X x E X X E X −−−−==+==+=+∑， 这表明(){}2nE X 是公差为10的等差数列．第21页/共21页 又因为()()()22111100E X D X E X =+= ，所以()()2100101n E X n =+−， 从而()()()()22101n n n D X E X E X n =−=− ． 可以看出，()n D X 随着n 的增大而增大．【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是理解期望与方差的计算公式以及题意，尤其是二项分布的期望公式.。
专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)
专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。
专题13 利用导数解决函数的极值、最值-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)【原卷版】
学习界的专题13 利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值例1 已知函数f (x) =+ ln x ，求函数f (x)的极值.x【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020 届月考】下列说法正确的是（）A.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极大值B.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极小值C.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极值D.当f (x0 ) 为f (x) 的极值且f '(x0 ) 存在时，则有f '(x0 ) = 0【变式演练2】（图像与极值）【百师联盟2020 届高三考前预测诊断联考全国卷1】如图为定义在R 上的函数f (x)=ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0)的图象，则关于它的导函数y =f '(x)的说法错误的是（）A．f '(x)存在对称轴B．f '(x)的单调递减区间为⎛-∞,1 ⎫2 ⎪ ⎝⎭C．f '(x)在(1, +∞)上单调递增D．f '(x)存在极大值【变式演练3】（解析式中不含参的极值）【江苏省南通市2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数f (x)=(ax2 +x +1)e x ，其中e是自然对数的底数，a ∈R .（1）当a = 2 时，求f (x )的极值；（2）写出函数f (x )的单调增区间；（3）当a = 0 时，在y 轴上是否存在点P，过点P 恰能作函数f (x)图象的两条切线？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020 届高三高考数学（理科）三诊】已知函数f (x )=ax - 2 ln x - 2 ，g (x )=axe x - 4x ．（1）求函数f (x )的极值；（2）当a > 0 时，证明：g (x )- 2 (ln x -x +1)≥ 2 (ln a - ln 2 )．【变式演练5】（由极值求参数范围）【黑龙江省哈尔滨一中2020 届高三高考数学（理科）一模】已知函数学习界的007f ( x ) = x ln x -1 (m + 1) x2 - x 有两个极值点，则实数m 的取值范围为（）2A ． ⎛ - 1 , 0⎫B ． ⎛-1, 1 -1⎫C ． ⎛ -∞, 1 -1⎫ ）D ． (-1, +∞)e ⎪ e⎪ e⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭⎝⎭【变式演练 6】（由极值求其他）【四川省江油中学 2020-2021 学年高三上学期开学考试】已知函数f ( x ) = 1x 3 + ax 2 + bx (a , b ∈ R ) 在 x = -3 处取得极大值为 9.3（1） 求 a ， b 的值；（2） 求函数 f (x ) 在区间[-4, 4] 上的最大值与最小值.类型二 求函数在闭区间上的最值万能模板内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 求出函数 f (x ) 在开区间(a , b ) 内所有极值点；第二步 计算函数 f (x ) 在极值点和端点的函数值；第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例 2 【河南省天一大联考 2020 届高三阶段性测试】已知函数 f ( x ) = ln x - x ， g ( x ) = ax 2+ 2x (a < 0) .（1） 求函数 f( x ) 在⎡1 , e ⎤上的最值； ⎢⎣ e ⎥⎦（2） 求函数 h( x ) = f (x ) + g (x ) 的极值点.【变式演练 7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟 2019-2020 学年高三上学期 12 月联考】已知函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上可导，则“函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上有最小值”是“存在 x 0 ∈(a ,b ) ，满足 f '(x 0 ) = 0 ”的⎨ 1 （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式演练 8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市 2020 届高三下学期六月模拟】若函数⎧a ln x - x 2 - 2 (x > 0 )f ( x ) = ⎪x + + a (x < 0) 的最大值为 f (-1) ，则实数a 的取值范围为（ ）⎩⎪ xA ． ⎡⎣0, 2e 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣0, 2e 3⎤⎦C ． (0, 2e 2⎤⎦D ． (0, 2e 3⎤⎦【变式演练 9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考】已知函数f (x ) = cos 2 x s in 2x ，若存在实数 M ，对任意 x 1 , x 2 ∈R 都有 f ( x 1 ) - f (x 2 ) ≤ M 成立.则 M 的最小值为（）A.3 38B.32C.3 3 4D.2 3 3【变式演练 10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学 2020 届高三下学期期中】已知函数f (x ) = (x - a - 1)e x -1 - 1x 2 + ax , x > 02（1） 若 f (x ) 为单调增函数，求实数 a 的值；（2） 若函数 f (x ) 无最小值，求整数 a 的最小值与最大值之和.【高考再现】1.【2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数 ƒ(x ) = 䂸x 3 — t x 䂸 + 1(t C R )在(t h + œ) 内有且只有一个零点，则 ƒ(x )在[ — 1h 1]上的最大值与最小值的和为．2【. 2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷）】已知函数 ƒ x = 䂸sinx + sin 䂸x ，则 ƒ x的最小值是 ．3. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 21】已知函数 f (x ) = sin 2x sin 2x ．3 381 2 n （1） 讨论 f ( x ) 在区间(0,π) 的单调性；（2） 证明： f (x ) ≤ ；（3） 设 n ∈ N *，证明： sin 2x sin 22x sin 24x sin 22nx ≤ 3 ． 4n4. 【2020 年高考天津卷 20】已知函数 f (x ) = x3+ k ln x (k ∈ R ) ， f ' (x ) 为 f ( x ) 的导函数．（Ⅰ）当 k = 6 时，（i ） 求曲线 y = f ( x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；（ii ）求函数 g (x ) = f (x ) - f '(x ) + 9的单调区间和极值；x（Ⅱ）当 k - 3 时，求证：对任意的 x , x ∈[1, +∞) ，且 x> x ， 有 f '( x ) + f ' (x ) > f (x 1 )- f (x 2 ) ． 1 2 1 2 2x - x 1 25. 【2018 年全国卷Ⅲ理数】已知函数 ƒ x = 䂸+ x + tx 䂸 ln 1 + x — 䂸x ．（1） 若 t = t ，证明：当— 1 ǹ x ǹ t 时，ƒ x ǹ t ；当 x Σ t 时，ƒ x Σ t ；（2） 若 x = t 是 ƒ x 的极大值点，求 t ．6. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科】设函数 ƒ(x ) = [tx 䂸 — (3t + 1)x + 3t + 䂸]e x .（Ⅰ）若曲线 y = ƒ(x )在点(䂸h ƒ(䂸))处的切线斜率为 0，求 a ；（Ⅱ）若 ƒ(x)在 x = 1 处取得极小值，求 a 的取值范围.7. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）】设函数 ƒ(x )=(x — t 1)(x — t 䂸)(x — t 3)，其中t 1h t 䂸h t 3 C R ,且t 1h t 䂸h t 3是公差为 d 的等差数列.（I ）若t 䂸 = t h d = 1h 求曲线 y = ƒ(x )在点(t h ƒ(t ))处的切线方程；（II ） 若 d = 3，求 ƒ(x)的极值；4 4 （III ） 若曲线 y = ƒ(x) 与直线 y =— (x — t 䂸) — 6 3有三个互异的公共点，求d 的取值范围.【反馈练习】1.【2020 届高三 6 月质量检测巩固卷数学（文科）】若函数 f ( x ) = e x (-x 2 + 2x + a )在区间(a , a +1) 上存在最大值，则实数a 的取值范围为（）⎛ -1 A ．, -1 + 5 ⎫ B ． (-1, 2)2 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ -1 C ． 2 ⎫ , 2⎪⎛ -1 D ．2⎫, -1⎪ ⎝ ⎭⎝⎭2. 【黑龙江省大庆市第四中学 2020 届高三下学期第四次检测】若函数 f (x ) = ae x- 1在其定义域上只有 3x个极值点，则实数a 的取值范围（）⎛ e 2 ⎫⎛ e 2 ⎫ A ． -∞, - ⎪ (1, +∞)⎝⎭ B ． -∞, - ⎪⎝⎭C ． ⎛-e , -1 ⎫ (1, +∞)D ． ⎛-∞, - 1 ⎫4e 2 ⎪ e ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭xx2 x3. 【湖北省金字三角 2020 届高三下学期高考模拟】已知函数 f ( x ) = e + - ln x 的极值点为1 ，函数 2g ( x ) = e x + x - 2 的零点为 x ，函数 h ( x ) = ln x的最大值为x ，则（ ） 2 2x 3A. x 1 > x 2 > x 3B. x 2 > x 1 > x 3C. x 3 > x 1 > x 2D. x 3 > x 2 > x 14. 【湖北省宜昌一中、龙泉中学 2020 届高三下学期 6 月联考】已知函数（ff (e ) = 1，当 x ＞0 时，下列说法正确的是（）ex ）满足 x 2 f '(x ) + 2xf (x ) = 1+ ln x ，① f (x ) 只有一个零点；② f (x ) 有两个零点；- 5 + 5 - 5③ f (x) 有一个极小值点；④ f (x) 有一个极大值点A．①③B．①④C．②③D．②④5.【山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟】已知函数f(x)的导函数f'(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3)，则下列结论正确的是（）A．f (x)在x = 0 处有极大值B．f (x )在x = 2 处有极小值C. f (x)在[1, 3]上单调递减D．f (x )至少有3 个零点6.【云南省曲靖市2020 届高三年级第二次教学质量监测】已知实数a, b 满足0 ≤a ≤1，0 ≤b ≤ 1 ，则函数f (x)=x3 -ax2 +b2 x +1 存在极值的概率为（）A．1B．3C．16 6 3D.37.【云南省红河自治州2019-2020 学年高三第二次高中毕业生复习统一检测】下列关于三次函数f ( x) =ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0) ( x ∈R) 叙述正确的是（）①函数f (x) 的图象一定是中心对称图形；②函数f (x) 可能只有一个极值点；③当x ≠-b时，f (x) 在x =x 处的切线与函数y = f (x) 的图象有且仅有两个交点；0 3a 0④当x ≠-b时，则过点(x, f (x))的切线可能有一条或者三条．0 3a 0 0A．①③B．②③C．①④D．②④8.【2020 届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知e 为自然对数的底数，设函数f (x)=1 x2 -ax +b ln x 存在极大值点x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值f (x )< 0 ,则下列结论2 0 0bb ( ) 中正确的是()A. 存在 x 0= ,使得f (x 0 ) < - 12eB. 存在 x 0= ，使得f (x 0 ) > -e 2C.b 的最大值为e 3D.b 的最大值为 2e 2ax 2⎛ 1 , 3⎫9. 【四川省内江市 2020 届高三下学期第三次模拟考试】函数f （x ）＝ 2+（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间 2 ⎪⎝ ⎭内有极小值，则 a 的取值范围是（）A ． ⎛ -2, -1 ⎫B ． ⎛-2, -1 ⎫3 ⎪2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭C ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃⎛ - 1 , +∞⎫D ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃ ⎛ - 1 , +∞ ⎫ 3 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭10.【河北省衡水中学 2019-2020 学年高三下学期期中】已知函数 f (x ) =(x2- a )2- 3 x 2 -1 - b ，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一．组．即可）1 3 5 9① a ≤ - ② < a < ③ a = 1 ，-2 < b < 0 ④ a = 1 ，- < b < -2 或b = 0 ⑤4 个极小值点⑥1 个极小值点2 2 2 4⑦6 个零点⑧4 个零点1. 【福建省漳州市 2020 届高三高考数学（文科）三模】已知函数 f (x ) = ( x + 3) e x- 2m ， m ∈ R .（1）若 m = 3，求 f ( x ) 的最值；2（2）若当 x ≥ 0 时， f (x - 2) + 2m ≥ 1 mx 2+ 2x +1 ，求 m 的取值范围.e 212. 【安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学 2020 届高三高考数学（文科）最后一卷】已知函数 f (x ) = 1 x 2- 2x + a ln x ， a > 1 . 2e（1） 讨论 f( x ) 的单调性；（2）若f (x )存在两个极值点x1 、x2 ，求f (x1 )+f (x2 )的取值范围.13.【2020 届安徽省芜湖市高三下学期教育教学质量监测】已知函数f (x)=ae x + 2e -x+(a - 2 )x .（1）若y =f (x )存在极值，求实数 a 的取值范围；（2）设1 ≤a ≤ 2 ，设g (x)= f (x)-(a + 2)cos x 是定义在⎛-∞,π ⎤上的函数.2 ⎥⎝⎦（ⅰ）证明：y =g'(x )在⎛-∞,π ⎤上为单调递增函数( g'(x)是y =g (x )的导函数)；2 ⎥⎝⎦ （ⅱ）讨论y =g (x )的零点个数.14.【广东省惠州市2021 届高三上学期第一次调研】已知函数f (x) =x- ln(ax) ．a（1）若a > 0 ，求f (x) 的极值；（2）若e x ln x +mx 2 +(1 -e x )x +m ≤ 0 ，求正实数m 的取值范围．15.【北京五中2020 届高三（4 月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝me x﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m 的取值范围.16.【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021 届高三上学期第一次联考】已知函数f (x) =ae x - cos x -x(a ∈R).（1）若 a = 1 ，证明：f (x) ≥ 0 ；（2）若f (x) 在(0,π) 上有两个极值点，求实数 a 的取值范围.17.【西南地区名师联盟2020 届高三入学调研考试】已知函数f (x)=1x3 +bx2 +cx ，b 、c 为常数，且3学习界的007- 1< b < 1， f '(1) = 0 . 2（1）证明： -3 < c < 0 ；（2）若 x 是函数 y = f (x ) - cx 的一个极值点，试比较 f ( x - 4) 与 f (-3) 的大小. 0218.【山东省威海荣成市 2020 届高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖， 如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧 PMQ （ M 为此圆弧的中点）和线段 PQ 构成.已知圆O 的半径为12 千米， M 到 PQ 的距离为16 千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域 R 1 为矩形 ABCD ，养殖区域 R 2 为 A M B ，且 A , B 均在圆弧上，C ,D 均在线段 PQ 上，设∠AOM =α.（Ⅰ）用α分别表示矩形 ABCD 和 A M B 的面积，并确定cos α的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在 R 1 内养殖鱼类，在 R 2 内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3 : 2 .求当α为何值时，能使年总产值最大.19.【江苏省南通市 2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数 f (x ) = ( x - a ) e x + b (a , b ∈ R ) ．（1） 讨论函数 f( x ) 的单调性；（2） 对给定的 a ，函数 f( x ) 有零点，求b 的取值范围；（3）当 a = 2 ， b = 0 时， F (x ) = f ( x ) - x + ln x ，记 y = F ( x ) 在区间⎛ 1 ,1⎫上的最大值为 m ，且4 ⎪ ⎝ ⎭m ∈[n, n + 1), n ∈Z ，求n 的值．20.【陕西省西安中学2020-2021 学年高三上学期第一次月考】已知函数f ( x) =x -1 -a ln x ．（1）当 a = 1 时，求f(x)的最小值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，(1+1)(1+1) ⋅⋅⋅ (1+1) <m ，求m 的最小值．2 22 2n。
2021届广东省六校联盟高三第一学期第二次联考数学试题【解析版】
2021届广东省六校联盟高三第一学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，则A B 等于（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2【答案】C【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =-<≤，{}1,0,1A B ∴=-.故选：C.2．已知命题p ：131,28x x -∀≥≤，则命题p ⌝为（ ）A ．13001,28x x -∃≥>B ．10031,28x x -∀≥>C ．13001,28x x -∃<≤D ．10031,28x x -∀<≤【答案】A【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．【详解】命题p ：131,28x x -∀≥≤的否定p ⌝为：13001,28x x -∃≥>故选：A3．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 5sin a C A =,22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（ ） A ．3B 3C ．12D ．2【答案】D【分析】由已知利用正弦定理可求得ac ,进而可求得2226a c b +-=代入“三斜求积”公式即可求得结果.【详解】2sin 5sin a C A =，25a c a =，5ac =,因为22()16a c b +=+，所以，2221626a c b ac +-=-=，从而ABC 22165242⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解,考查分析问题的能力和计算求解能力,难度较易.4．已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由33a b log log ＜和333a b ＞＞分别求出a ，b 的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案． 【详解】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞， 由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于中档题．5．实数,,x y k 满足2230{10,x y x y z x y x k+-≥-+≥=+≤，若z 的最大值为13，则k 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和曲线，观察图形，知直线过直线和的交点时，解得，故选B.考点:线性规划. 【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题．其题型大概有如下两种：一、已知线性约束条件，求目标函数的最优解．这种题的难度较小；二、已知线性约束条件中含有参数，并且知道最优解，求参数的值．本题属于第二种，难度要大，解决的方法如下：先作出不含参数的平面区域和目标函数取最优解时的直线，再根据含参数的不等式利用斜率相等或截距相同来解决问题.6．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，则下列函数值一定正确的是（ ） A ．(1)0f = B ．(2)1f =C ．(2020)0f =D ．(2021)1f =【答案】C【分析】由已知条件知()f x 的周期为4，且(2)(2020)0f f ==，而(2021)(1)f f =函数值不确定，即可知正确选项.【详解】(1)(1)f x f x +=-对所有x ∈R 恒成立，又()f x 是定义在R 上的奇函数，知：()()f x f x -=-且(0)0f =，∴(2)()()f x f x f x +=-=-，即(4)()f x f x +=，则()f x 的周期为4，∴(2)(20)(0)0f f f =+=-=，(2020)(45050)(0)0f f f =⨯+==，故B 错误，C 正确；而(2021)(45051)(1)f f f =⨯+=不能确定其函数值. 故选：C.7．在ABC 中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（ ） A ．2y x = B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-【答案】D【分析】画出图形，将,AB AC 作为基底向量，将EB 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可求解【详解】如图，由题可知，点D 为BC 的中点，点E 为AD 上靠近D 的三等分点，()()111121326233EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=-， 21,,233x y x y ∴==-∴=-故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题8．三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上.棱锥P ABC -的各棱长为：2PA =，3,4,13,5,25PB PC AB BC AC =====则球O 的表面积为（ ） A ．28π B ．29πC ．30πD ．31π【答案】B【分析】由各棱长结合勾股定理知P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，进而求出Rt PBC 的外接圆半径r ，由外接球半径R 与r 、PA 的几何关系即可求出R ，最后求外接球表面积即可.【详解】由题意知：222PB PC BC +=，222PA PC AC +=，222PA PB AB +=， ∴,,PA PB PC 两两垂直，即P ABC -为直三棱锥， ∴若Rt PBC 的外接圆半径为r ，则522BC r ==，又PA ⊥面PBC ，∴外接球心O 到PA 的距离为52r =，故外接球半径2229()2PA R r =+=， ∴外接球表面积2429S R ππ==. 故选：B.【点睛】关键点点睛：由棱长推出P ABC -为直三棱锥，有PA ⊥面PBC ，根据其外接球半径R 与Rt PBC 外接圆半径r 、PA 的几何关系求出R ，进而求球的表面积.二、多选题9．下列四个命题中，正确的有（ ） A ．函数3sin(2)3y x π=+的图象可由y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到 B ．sin 2xy e=的最小正周期等于π，且在(0,)2π上是增函数（e 是自然对数的底数）C ．直线x ＝8π是函数5sin(2)4y x π=+图象的一条对称轴 D ．函数tan y x =,2x k x k k Z πππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭【答案】CD【分析】利用图像的平移判断选项A ；利用周期的定义判断选项B ；利用整体代入的思想判断选项C ；利用正切函数的定义域判断选项D. 【详解】将y ＝3sin 2x 的图象向左平移3π个单位长度得到y ＝23sin[2()]3sin(2)33x x ππ+=+，故A 错误；令()sin2xf x e =，∴()()sin2sin2x x f x ee ππ++==，故()sin2x f x e =的周期为π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故B 错误； 由52,42x k k Z πππ+=+∈， 得3,28k x k Z ππ=-∈， 当1k =时，x ＝8π是其对称轴，故C 正确；由tan 0x ≥得,()2k x k k Z πππ≤<+∈，故D 正确.故选：CD.10．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么（ ） A ．a ＋b 有最小值2＋22 B ．a ＋b 有最大值2＋22 C ．ab 有最小值3＋22 D ．ab 有最大值1＋2【答案】AC【分析】由基本不等式得ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +，ab －1＝a ＋b ≥2ab ，又a ＋b >2、ab >1，应用一元二次不等式的解法，即可求a ＋b 、ab 的最值. 【详解】ab ＝1＋(a ＋b )≤2()2a b +(当且仅当a ＝b >1时取等号)，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0且a ＋b >2，解得a ＋b ≥2＋22，∴a ＋b 有最小值2＋22，知A 正确，B 错误；由ab －(a ＋b )＝1，得ab －1＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b >1时取等号)，即ab －2ab －1≥0且ab >1，解得12ab ≥+，即ab ≥3＋22， ∴ab 有最小值3＋22，知C 正确，D 错误. 故选：AC.11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则下列命题正确的有（ ）A ．直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角为定值B ．三棱锥D －BPC 1的体积为定值 C ．异面直线C 1P 和CB 1所成的角为定值D ．直线CD 和平面BPC 1平行 【答案】BCD【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式, 线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，逐项判断即可.【详解】选项A ，由线面所成角的定义，令BC 1与B 1C 的交点为O ，可得∠CPO 即为直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角，当P 移动时∠CPO 是变化的，故A 错误. 选项B ，三棱锥D －BPC 1的体积等于三棱锥P －DBC 1的体积，而△DBC 1大小一定，∵P ∈AD 1，而AD 1//平面BDC 1∴点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离 ∴三棱锥D －BPC 1的体积为定值，故B 正确；选项C ，∵在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， ∴CB 1⊥平面ABC 1D 1，∵C 1P ⊂平面ABC 1D 1，∴CB 1⊥C 1P ，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故C 正确；选项D ，直线CD 和平面ABC 1D 1平行，∴直线CD 和平面BPC 1平行，故D 正确. 故选：BCD.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是A ．20192g =B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =， 所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。
T8联考2023届高三第一次学业质量评价数学试题(含答案解析)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 z 满足1 zi zi2 |1 3i | ，则 z （ ）
A．1 i
B． 1 1 i 22
C． 1 1 i 22
【详解】若 an 0 ，则 Sn Sn1 ，Sn 是递增数列，“ an 0 ”是“Sn 是递增数列”的充分条件；
若Sn 是递增数列，则 Sn Sn1 ，an 0(n 2) ，但是 a1 的符号不确定，“ an 0 ”不是“Sn 是
递增数列”的必要条件.
故选：A
4．C
【分析】举特例可说明 A,B,D 的正误，利用方差的计算公式可判断 C.
充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．某同学掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据 5 次的统计结果，可以判
断一定没有出现点数 6 的是（ ）
A．中位数是 3，众数是 2
B．平均数是 3，中位数是 2
C．方差是 2.4 ，平均数是 2
D．平均数是 3，众数是 2
【详解】选项 A：有可能出现点数 6，例如 2, 2,3, 4, 6 ；
选项 B：有可能出现点数 6，例如 2, 2, 2,3, 6 ；
选项 C：设这 5 次的点数为 x1, x2 ,, x5
，则方差
s2
1 5
[(
x1
2) 2
( x2
2) 2
( x5
2) 2 ]
如果出现点数 6，而 1 (6 2)2 3.2 ，则方差大于或等于 3.2，故不可能出现点数 6； 5
【详解】解 2x 4 得 x 2 ，解 log3x 1 得 0 x 3 ，
广东省2025届高三上学期毕业班调研考试(一) 数学试卷(含解析)
2025届广东省高三毕业班调研考试（一）数学试卷及答案一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合2{|8150},{|5}A x x x B x x =∈-+≤=<Z ，则A B ⋂=（）A．{}3B．{}3,4C．{}4,5D．{}3,4,52．已知1z ，2z 是两个虚数，则“1z ，2z 均为纯虚数”是“12z z 为实数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a和b 的夹角为150︒，且2,a b == ()2a b b +⋅= （）A．9-B．3-C．3D．94．已知π2sin sin 33αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．59-B．19-C．19D．595．已知等比数列{}n a 为递增数列，n nnb a=.记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和，若2133312a a a S T =+=，，则n S =（）A．141n --B．()11414n --C．()14112n-D．24n -6．已知体积为的球O 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为则该正四棱锥体积值是（）A．B．C．D．7．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{}n a 为斐波那契数列，()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，其通项公式为n n n a ⎡⎤⎛=-⎥ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，设n是2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦+-<+的正整数解，则n 的最大值为（）A．5B．6C．7D．88．函数()ln f x x =与函数()212g x mx =+有两个不同的交点，则m 的取值范围是（）A．21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B．21,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭D．210,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共3小题）9．现有十个点的坐标为()()()121000,x x x ,,,,,，它们分别与()()()1210101010y y y ,,,,,,关于点(3,5)对称已知1210,,,x x x 的平均数为a ，中位数为b ，方差为c ，极差为d ，则1210,,,y y y 这组数满足（）A．平均数为6a -B．中位数为6b -C．方差为cD．极差为d10．设123,,z z z 是非零复数，则下列选项正确的是（）A． 2211z z =B．1212z z z z +=+C．若122i 2z --=，则116i z +-的最小值为3D．若22i i 4z z ++-=，则2z的最小值为11．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当()()0e e e 0x f x f x ≥+--=，，且当>0时，()()e e 0f x f x ''++->，则下列说法正确的是（）A．()e 0f =B．()f x 在(),e -∞上单调递增，在()e,+∞上单调递减C．若()()1212,x x f x f x <>，则212ex x +<D．若12,x x 是()()()2e 2g xf x x =+--在()0,2e 内的两个零点，且12x x <，则()()211ef x f x <<三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列{}n a 的首项12a =，公差3d =，求第10项10a 的值为.13．若()554325432102x a x a x a x a x a x a +=+++++，则531420a a a a a a ++=++.14．如图，在矩形ABCD 中，8,6,,,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，点Q 在直线HF 上，点N 在直线BC 上，,,OQ kOH CN kCF k ==∈R，直线EQ 与直线GN 相交于点R ，则点R 的轨迹方程为.四、解答题（本大题共5小题）15．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2cos2cos22sin 2sin sin B A C B C-=-(1)求A ；(2)若23b c P Q ==，，，分别为边a b ，上的中点，G 为ABC 的重心，求PGQ ∠的余弦值.16．设A B ，两点的坐标分别为())3,0,3,0.直线AH BH ，相交于点H ，且它们的斜率之积是13-.设点H 的轨迹方程为C .(1)求C ;(2)不经过点A 的直线l 与曲线C 相交于E 、F 两点，且直线AE 与直线AF 的斜率之积是13-，求证：直线l 恒过定点.17．如图所示，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与B 的交点，608AB AD BAD AC ∠=== ，，.(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，且存在一个正整数k ，使得PA kPF PC kCE ==，，若已知平面FCD 与平面PCD 的夹角的正弦值为1313，求k 的值.18．已知函数()()1ln f x x x =-，(1)已知函数()()1ln f x x x =-的图象与函数()g x 的图象关于直线=−1对称，试求()g x ；(2)证明()0f x ≥；(3)设0x 是()1f x x =+的根，则证明：曲线ln y x =在点()00,ln A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线.19．如果函数()F x 的导数为()()F x f x '=，可记为()()d f x x F x =⎰，若()0f x ≥，则()()()baf x dx F b F a =-⎰表示曲线()y f x =，直线x a x b ==，()a b ＜以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积.如：22d x x x C =+⎰，其中C 为常数；()()222204xdx C C =+-+=⎰，则表0,1,2x x y x C ===+及x 轴围成图形面积为4.(1)若()()()e1d 02xf x x f =+=⎰，，求()f x 的表达式；(2)求曲线2y x =与直线6y x =-+所围成图形的面积；(3)若()[)e 120,x f x mx x =--∈+∞，，其中m ∈R ，对[)0,a b ∀∈+∞，，若a b >，都满足()()0d d a b f x x f x x >⎰⎰，求m 的取值范围.参考答案1．【答案】B【分析】先解不等式求得集合A ，进而求得A B ⋂.【详解】集合()(){}2{|8150}{|350}3,4,5A x x x x x x =∈-+≤=∈--≤=Z Z .而{|5}B x x =<，故{}3,4A B ⋂=.故选B.2．【答案】A【分析】设12i,i(,R z b z c b c ==∈且,0)b c ≠,可得12z z ∈R ，如121i 12+2i 2z z +==，可得结论.【详解】若12,z z 均为纯虚数，设12i,i(,z b z c b c ==∈R 且,0)b c ≠,则12i i z b b z c c ==∈R ，所以“12,z z 均为纯虚数”是12zz 是实数的充分条件，当121i,22i z z =+=+，121i 12+2i 2z z +==，所以“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的不必要条件，综上所述：“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的充分不必要条件.故选A.3．【答案】C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】()222a b b a b b+⋅=⋅+ 2cos1502a b b=⋅⋅︒+2223⎛=+⋅= ⎝⎭.故选C.4．【答案】B【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.【详解】由题干得2π1sin sin sin cos sin 332ααααα⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭1πsin cos 26ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以22ππ21cos 22cos 1213639αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.5．【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解q 的值，再由数列的单调性进一步判断即可.【详解】2131133141122312a a a a q a S T q q q=⇒=⇒=+=⇒++=，则()()2121294214042q q q q q q -+=--=⇒==，.由于{}n a 为递增数列，则1144q a ==，，所以{}n a 的通项公式为24n n a -=所以()()11414411412nn n S -==--.故选C.6．【答案】A【分析】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，取CD 的中点F ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，利用∽ POQ PFH 求出球心到四棱锥顶点的距离h ，再由棱锥的体积公式计算可得答案.【详解】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，由体积为34π3R得R =，连接PH ，PH ⊥平面ABCD ，球心O 在PH 上，OH R =，取CD 的中点F ，连接,HF PF ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，且OQ PF ⊥，∽ POQ PFH ，球心到四棱锥顶点的距离为h ，所以=PQ PH OQ FH，h ，所以1181283333==ABCD V S PH .故选A.7．【答案】A【分析】利用给定条件结合对数的性质构造42n a <，两侧同时平方求最值即可.【详解】由题知n是2log 1(14(xx x ⎡⎤⎣⎦-<+的正整数解，故2log (1(14n nn ⎡⎤⎣⎦-<+，取指数得((4112n n n +--<，同除2n得，42n n -<⎝⎭⎝⎭，故42n n ⎡⎤⎫-⨯⎥⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即42n a <，根据{}n a 是递增数列可以得到{}2n a 也是递增数列，于是原不等式转化为2812525n a <⨯<.而565,8a a ==可以得到满足要求的n 的最大值为5，故A 正确.故选A.8．【答案】D【分析】利用参变分离将函数图象有两个交点问题转化为y m =和()21ln 2x h x x -=的图象有两个交点，由导数求得ℎ的单调性并求得最大值即可得出结论.【详解】由()21ln 02mx x x +=>得22ln 1m x x -=，则问题转化为y m =和()21ln 2x h x x-=的图象有两个交点，而()()()2232112ln 21ln 2x x x x x h x x x ⎛⎫⋅-- ⎪-'⎝⎭==，令ℎ'>0，解得0e x <<，令ℎ'<0，解得e x >，故ℎ在()0,e 上单调递增，在()e,+∞单调递减，则()()2max 1e 2e h x h ==，ℎ大致图象如下所示：结合图象可知，m 的取值范围是210,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选D.9．【答案】ABCD【分析】根据对称知识可得()6110i i y x i i =-∈≤≤Z ，，结合平均数、中位数、方差、极差的性质，即可判断出答案.【详解】由于()()()121,0,,0,,,0x x x ，它们分别与()()()1210,10,,10,,,10y y y 关于点(3,5)对称，则有()6110i i x y i i +=∈≤≤Z ，，即有()6110i i y x i i =-∈≤≤Z ，.则由平均数的性质可得1210,,,y y y 这组数的平均数为6a -，结合中位数性质可知中位数为6b -，结合方差性质可得方差为c ，极差非负，所以极差为d .故选ABCD.10．【答案】CD【分析】利用共轭复数的概念和加减运算性质判断A，举反例判断B，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合圆的性质判断C，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合椭圆的性质判断D 即可.【详解】对于A.，设1i z a b =+，则1i z a b =-，所以22221(i)2i z a b a b ab =+=-+，2221(i)2i z a b a b ab =-=--，当,a b 有1个为0或全为0时， 2211z z =，当,a b 均不为0时，2211,z z 无法比较大小，故A 错误，对于B，当1i z =，2i z =-时，120z z +=，此时120z z +=，122z z +=，故1212z z z z +=+不成立，故B 错误，对于C，设1i z a b =+，因为122i 2z --=，所以i 22i 2a b +--=，故有2(2)i 2a b -+-=，可得22(2)(2)4a b -+-=,所以1z 的轨迹是以()2,2为圆心，2为半径的圆，而116i i 16i 1(6)i z a b a b +-=++-=++-=，故116i z +-表示点(),a b 到定点()1,6-的距离，由圆的性质可知，1min 16i 23z +-==，故C 正确，对于D，设2z a bi =+，所以2i i i (1)i z a b a b +=++=++=，2i i i (1)i z a b a b -=+-=+-=，而22i i 4z z ++-=，故4，所以得到点(),a b 到两定点()0,1-，()0,1的距离之和为4，故2z 的轨迹是以()0,1-，()0,1为焦点的椭圆，故轨迹方程为22143y x +=，而2z 表示(),a b 到原点的距离，由椭圆的几何性质可得当点B 在椭圆的左右顶点时，2z 取得最小值，此时2z =2min z =D 正确.故选CD .11．【答案】ACD【分析】A 选项，令=0，可求()e f ；B 选项，对()()e e e 0f x f x +--=两边求导，结合()()e e 0f x f x ''++->得()e 0f x '-<，()e 0f x '+>，可判断()f x 单调性；C 选项，12e x x ,,的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D 选项，证明212e x x +<，利用函数单调性，证明()()12f x f x <且()()21e f x f x <，可得结论.【详解】A 选项，令=0，则有()()()()e e e 1e e 0f f f -=-=，所以()e 0f =，故A 正确.B 选项，对()()e e e 0f x f x +--=两边求导，得()()e e e 0f x f x '++-='，所以()()e e e f x f x +=-'-'，代入()()e e 0f x f x ''++->，得当>0时，()()1e e 0f x '-->，所以()e 0f x '-<.又因为()()e e 0f x f x ''++->，所以，()e 0f x '+>.因此，当e x <时，()0f x '<，()f x 在(),e -∞上单调递减；当e x >时，()0f x '>，()f x 在()e,+∞上单调递增.故B 错误.C 选项，对12e x x ,,的大小关系进行分类讨论：①当12e x x <≤时，()f x 在(),e -∞上单调递减，所以()()12f x f x >，显然有212e x x +<；②当12e x x ≤<时，()f x 在()e,+∞上单调递增，不符合题意；③当12e x x <<时，当0x ≥时，()()e e e f x f x +=-.令()()()()()()122e e,e 2e e 2e t x f t f t f x f x f x ∞=+∈+=->=-，，，又因为()()e 0f x f ≥=，所以()22e 0f x ->，因此()()()()1222e 2e 2e f x f x f x f x >=->-.因为12e 2e e x x <-<，，由()f x 的单调性得，212e x x +<.故C 正确.D 选项，因为()()()()()()2200e 202e 2e e 20e e 220g f g f g f =+->=+->=-=-<，，，所以120e 2e x x <<<<.先证212e x x +<，即证122e x x ->，即()12e 0g x ->，只需证()2112e (2e e)20f x x -+--->，即证()211e (e )20f x x +-->.事实上，()()()()()2211111e e 2e 20f x x f x x g x +-->+--==，因此212e x x +<得证.此时有1210e 2e 2e x x x <<<<-<.因为()()()()()22211122e 22e e 2e 2f x x x x f x =--+=---+<--+=，又()10f x ≠，所以()()211f x f x <，因为()()()2112e e f x f x f x <-=，又()10f x ≠，所以()()21e f x f x <.综上，()()211e f x f x <<，故D 正确.故选ACD.【方法总结】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.12．【答案】29【分析】根据等差数列的通项公式求得正确答案.【详解】依题意101922729a a d =+=+=.故答案为：29.13．【答案】121122【分析】利用赋值法令1x =，1x =-，联立方程组求解即可.【详解】令1x =，得()554321012243a a a a a a +==+++++，令1x =-，得()5543210121a a a a a a -+==-+-+-+，则()()543210543210531243112122a a a a a a a a a a a a a a a +++++--+-+-+-++===，且()()543210543210420243112222a a a a a a a a a a a a a a a ++++++-+-+-++++===，故531420121122a a a a a a ++=++.故答案为：121122.14．【答案】()221,3916y x y -=≠-【分析】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出直线EQ 的方程与直线GN 的方程，联立求解即可.【详解】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为8,6AB BC ==，所以()()()()()()0,0,4,0,4,0,0,3,0,3,4,3O H F E G C --，所以()4,0OH =- ()()0,3,4,3CF OC =-= ，又因为,OQ kOH CN kCF == ，所以()()4,0,0,3OQ k CN k =-=-，所以()()4,0,4,33Q k N k --.因为()()0,3,4,0E Q k --，所以直线EQ 的方程为334y x k=--①，因为()()0,3,4,33G N k -，所以直线GN 的方程为334ky x =-+②.由①可得()()3043xk x y =-≠+，代入②化简可得()2210916y x x -=≠，，结合图象易知点R 可到达()0,3G ，但不可到达()0,3E -，所以点R 的轨迹方程为()221,3916y x y -=≠-，故答案为：()221,3916y x y -=≠-.15．【答案】(1)π3；(2)133266-.【分析】(1)根据二倍角公式将已知条件变形转化，再根据正弦定理边角互化，带入到余弦定理即可求得；(2)根据已知设AB c AC b ==，，表达出AP BQ ，，再根据余弦定理可求得结果.【详解】（1）因为2cos2cos22sin 2sin sin B A C B C -=-，所以()()22212sin 12sin 2sin 2sin sin B A C B C ---=-，即222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，由正弦定理得222a c b bc =+-，由余弦定理得1cos 2A =，因为()π0π3A A ∈=，，；（2）设AB c AC b== ，，1cos 2332b c b c A ⋅=⋅=⨯⨯= ，依题意可得()1122AP b c BC b c BQ b c =+=-=- ，，，所以AP===，BQ===()221111143917224424424AP BQ b c b c b b c c⎛⎫⋅=+-=-⋅-=--=-⎪⎝⎭，所以cosAP BQPGQAP BQ⋅∠==-⋅.16．【答案】(1)(2213x y x+=≠；(2)证明见解析.【分析】（1）设点H的坐标为(),x y，然后表示出直线,AH BH的斜率，再由它们的斜率之积是13-，列方程化简可得点H的轨迹方程；（2）设()()1122,,,E x yF x y，当直线l斜率不存在时，求得直线l为x=0，当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx b=+，由13AE AFk k⋅=-得2213=-，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，代入上式化简可得20b=，从而可求得直线恒过的定点.【详解】（1）设点H的坐标为(),x y，因为点A的坐标是()，所以直线AH的斜率AHk x=≠，同理，直线BH的斜率BHk x=，由已知，有(13x-≠±，化简，得点H的轨迹方程为(2213x y x+=≠，即点H的轨迹是除去()),两点的椭圆.（2）证明：设()()1122,,,E x yF x y①当直线l斜率不存在时，可知1221,x x y y==-，且有22111313AE AFx yk k⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得1101x y==±，，此时直线l为x=0，②当直线l斜率存在时，设直线:l y kxb=+，则此时有：2213AE AFk k+++++⋅==-联立直线方程与椭圆方程2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()222316310kx kbx b +++-=，根据韦达定理可得：122631kb x x k -+=+，21223331b x x k -=+，所以2222222233613131336333131b kbk kb b k k b kb k k --⋅+⋅+++=---++++，所以222222(33)63113k b k b b k --++=-，所以221=-所以20b =，则0b =或b=，当b=时，则直线(:l y k x =+恒过A 点与题意不符，舍去，故0b =，直线l 恒过原点()0,0，结合①，②可知，直线l 恒过原点()0,0，原命题得证.【关键点拨】此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力.17；(2)4k =.【分析】（1）利用圆柱以及棱锥的体积公式，即可求得答案.（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，结合平面FCD 与平面PCD 的夹角的正弦值，即可求得答案.【详解】（1）在底面ABCD 中，因为AC 是底面直径，所以90ABC ADC ∠=∠=，又AB AD =，故ACB ≌ACD，所以13042BAC DAC BAD BC CD AB AD ∠∠∠=======,,因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以211π()16π2V AC PC PC ==⨯，211112243232V AB BC PC PC=⨯⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=,因此12VV=；（2）以C为坐标原点，以,CA CP为,x z轴正方向，在底面ABCD内过点C作平面PAC的垂直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为30BAC DAC AB AD∠∠===，，所以ABE≌ADEV，故90AEB AED∠∠== ，所以1622BE DE AB AE CE AC AE=====-=，，2PC kCE k==，因此()()()()()() 0,0,0,8,0,0,2,,0,0,2,2,,0,0,2C AD P k CD CP k==，()8,0,2PA k=-，因为PA kPF=，所以18,0,2PF PAk k⎛⎫==-⎪⎝⎭，则88,0,22,,0,22F k CF kk k⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面FCD和平面PCD的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z==，则有:()1111822020n CF x k zkn CD x⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，2222020m CP kzm CD x⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取())()221,,1,3,4n k k k k m⎛⎫=----=-⎪⎪⎝⎭，设平面FCD与平面PCD的夹角为θ，则sinθ=所以有：2cos cos,13m nθ==，整理得2120k k--=，2120k k-+=（无解，舍），由于k为正整数，解得4k=.18．【答案】(1)()()()3ln2,(2)g x x x x=----<-；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）由()()11f x g x --=-+，得()()()12ln 1g x x x -+=----，再利用换元法求()g x ；（2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明；（3）取曲线e x y =上的一点()11e ,xB x ，设()ln g x x =在A 处的切线即是()ex h x =在B 处的切线，证明直线AB 的斜率等于()ln g x x =在A 处的切线斜率和()e xh x =在B 处的切线斜率即可.【详解】（1）因为()f x 的图象与()g x 的图象关于直线=−1对称，所以()()11f x g x --=-+.又因为()()()()()111ln 12ln 1f x x x x x ⎡⎤--=-----=----⎣⎦，所以()()()12ln 1g x x x -+=----，令1t x =-+，则1x t =+，所以()()][()()()21ln 113ln 2g t t t t t ⎡⎤=--+--+=----⎣⎦，因此()()()3ln 2,(2)g x x x x =----<-.（2）证明：解法1：当1x ≥时，10x -≥且ln 0x ≥，此时()()1ln 0f x x x =-≥；当01x <<时，10x -<且ln 0x <，此时()()1ln 0f x x x =->，故综上()0f x ≥.解法2：()1ln 1f x x x +'=-，令()1ln 1x x xϕ=+-，()2110x x x ϕ'=+>在()0,+∞上恒成立，故()x ϕ在()0,+∞上单调递增，即()f x '在()0,+∞上单调递增，因此当01x <<时，()()10f x f ''<=；当()()110x f x f ''≥≥=，；因此()f x 在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，故()()10f x f ≥=.（3）证明：不妨取曲线e x y =上的一点()11e ,xB x ，设()ln g x x =在A 处的切线即是()e xh x =在B 处的切线，则()()10101e x g x h x x ''===，得101ln x x =，则B 的坐标0011ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由于()0001ln 1x x x -=+，所以0001ln 1x xx +=-，则有()()2000000000002000000000011111ln ln 111111ln ln 11ABx x x x x x x x x x k g x x x x x x x x x x x ++-----======++--'++-，综上可知，直线AB 的斜率等于()ln g x x =在A 处的切线斜率和()e xh x =在B 处的切线斜率，所以直线AB 既是曲线ln y x =在点()00n ,l A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线.19．【答案】(1)()e 1xf x x =++；(2)1256；(3)12m ≤.【分析】（1）根据新定义及()02f =计算得解；（2）根据新定义，构造函数()26g x x x =-+-即可得出面积；（3）根据所给条件可得()()d F x f x x =⎰在[)0,+∞上单调递增，转化为()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，分离参数后利用导数求出函数最值即可得解.【详解】（1）()()e 1d e x xf x x x C =+=++⎰，其中C 为常数.而()02f =，即102C ++=，所以1=C ，所以()e 1xf x x =++.（2）联立26y x y x ⎧=⎨=-+⎩，解得123,2x x =-=，当32x -<<时，26x x -+>，令()26,g x x x =-+-()()2311d 623F x g x x x x x C ==-+-+⎰，则围成的面积()()()2389125d 23212189326S g x x F F -⎛⎫⎛⎫==--=-+----+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰.（3）令()()d F x f x x =⎰，由题意可知，[)0,a b a b ∀∈+∞>，，，满足()()()()00F a F F b F ->-，即()()F a F b >，即()()d F x f x x =⎰在[)0,+∞上单调递增，进而()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，e 120x mx --≥在()0,+∞恒成立.由于>0，即e 12x m x -≥，令()e 12x g x x-=，则()22e 2e 24x x x g x x -+'=，令()()2e 2e 22e 0x x xh x x h x x '=-+=≥，，所以ℎ在[)0,+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，即()0g x '≥，进而()g x 在()0,+∞单调递增，而()000e 1e 1lim lim lim 222x x x x x g x x →+→+→+-===，所以()12g x ≥，所以12m ≤.【关键点拨】本题第三步关键在于利用a b >，都满足()()0d d abf x x f x x >⎰⎰，得出函数()()d F x f x x =⎰在[)0,+∞上单调递增，再转化为()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，分离参数求解.。
专题10 圆锥曲线的方程(多选题)(12月)(人教A版2021)(解析版)
专题10 圆锥曲线的方程（多选题）1．椭圆2219x y m +=的焦距是4，则实数m 的值可以为．A ．5B ．8C ．13D ．16【试题来源】湖北省襄阳市宜城市第三中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】AC【分析】计算得到2c =，讨论9m >和09m <<两种情况得解．【解析】椭圆2219x y m +=的焦距是4，故24c =，2c =．当9m >时，94m -=，解得13m =；当09m <<时，94m -=，解得5m =．故选AC ． 2．已知12,F F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是A ．2MF 的最大值大于3B ．12MF MF ⋅的最大值为4C ．12F MF ∠的最大值为60°D ．若动直线l 垂直于y 轴，且交椭圆于A B 、两点，P 为l 上满足||||2PA PB ⋅=的点，则点P 的轨迹方程为222123x y +=或222169x y +=【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第三章 圆锥曲线的方程 【答案】BCD【解析】由椭圆方程得2224,3,1a b c ==∴=，因此12(1,0),(1,0)F F -． 选项A 中，2max3=+=MF a c ，A 错误；选项B 中，2121242⎛+⎫⋅= ⎪⎝⎭MF MF MF MF ，当且仅当12MFMF =时取等号，B 正确；选项C 中，当点M 为短轴的端点时，12F MF ∠取得最大值，取M ，则1212tan30232∠∠=∴=F MF F MF ，12F MF ∴∠的最大值为60°，C 正确； 选项D 中，设()()11(,),,,,-P x y A x y B x y ．11||||2,2⋅=∴-⋅+=PA PB x x x x ，2212∴-=x x ，即2212=+x x 或2212=-x x ．又由题意知221143+=x y ，222143-∴+=x y 或222143++=x y ，化简得222169x y +=或222123x y +=，D 正确．故选BCD ．3．把方程||||14x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有 A ．函数()f x 的图象不经过第三象限 B ．函数()f x 在R 上单调递增C ．函数()f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()2g x f x x =+不存在零点【试题来源】江苏省苏州市相城区2020-2021学年高三上学期阶段性诊断测试 【答案】ACD 【解析】由题意，方程||||14x x y y +=， 当0,0x y ≥≥时，2214x y +=，表示椭圆在第一象限的部分；当0,0x y ><时，2214x y -=，表示双曲线在第四象限的部分；当0,0x y <>时，2214x y -+=，表示双曲线在第二象限的部分；当0,0x y <<时，2214x y --=，此时不成立，舍去，其图象如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A 是正确的； 由函数的图象可得，该函数在R 为单调递减函数，所以B 不正确；由图象可得，函数()f x 的图象上的点P 到原点的距离的最小的点在0,0x y ≥≥的图象上，设点(,)P x y ，则点P 满足0,0x y ≥≥时，2214x y +=，即2214x y =-则PO ===0x =时，min 1PO =，所以C 正确；令()0g x =，可得()20f x x +=，即()12f x x =-，则函数()()2g x f x x =+的零点，即为函数()y f x =与12y x =-的交点，又由直线12y x =-为双曲线2214x y -=和2214x y -+=渐近线，所以直线12y x =-与函数()y f x =没有交点，即函数()()2g x f x x =+不存在零点，所以D 是正确的．故选ACD ．4．已知双曲线E 的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的标准方程可以是A ．22124x y -=B ．22124y x -=C ．2212y x -=D ．2212y x -=【试题来源】广东省湛江市第二十一中学2021届高三上学期9月月考 【答案】ACD【分析】分别求出四个选项中双曲线的渐近线方程可得结果．【解析】选项A 中，a =2b =，所以双曲线有一条渐近线方程为by x a==，选项C 中，a =1b =，所以双曲线有一条渐近线方程为ay x b ==，选项D 中，1a =，b =by x a==，选项B 中，a =2b =，所以双曲线的渐近线方程都是a y x x b =±=．故选ACD ． 5．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线为12:l y x =，则下列结论正确的是 A ．a b >B ．2a b =C ．双曲线ED ．双曲线E 的焦点在x 轴上【试题来源】重庆市万州沙河中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】CD【分析】由双曲线标准方程，结合已知渐近线即可知焦点位置、参数关系、离心率． 【解析】由双曲线渐近线by x a=±，知2b a =，又222+=a b c ，所以e ==综上，有：2b a a =>，x 轴上，故选CD ． 6．下列双曲线中，以2y x =±为渐近线的双曲线的标准方程为A ．2214y x -=B ．221416x y -=C ．2214x y -=D ．221164y x -=【试题来源】江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2019级新疆班）上学期期中 【答案】ABD【分析】根据双曲线的几何性质之求渐近线的方法可得选项．【解析】2214y x -=的渐近线方程为2y x =±，所以A 正确；221416x y -=的渐近线方程为2y x =±，所以B 正确； 2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，所以C 不正确；221164y x -=的渐近线方程为2y x =±，所以D 正确，故选ABD ． 7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于,P Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则 A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．2OPQS≥D ．3OP OQ ⋅=-【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BCD【解析】焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)， 准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ， 消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0， 所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ，124y y =-1211112222OPQSOF y y =-=⨯=， 当0m =时成立， 则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确；故选BCD.8．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的焦点与抛物线24x y =的焦点之间的距离为2，且CA ．C的渐近线方程为y = B ．C 的标准方程为2212y x -=C ．C的顶点到渐近线的距离为3D．曲线1x y e =-经过C 的一个焦点【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考 【答案】ABD【解析】设抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线C 的一个焦点坐标为1(,0)(0)F c c >， 由题意可知12FF =2c =⇒=c =（舍去）， 因为C1ce a b a===⇒=== 选项A：因为1,a b ==，所以C的渐近线方程为y =，故本选项说法正确；选项B：因为1,a b ==C 的标准方程为2212y x -=，故本选项说法正确；选项C ：设C 的一个顶点坐标为(1,0)0y -=的距离为=，根据双曲线和渐近线的对称性可知C的顶点到渐近线的距离为，故本选项的说法不正确． 选项D：当x =10y e =-=，而(恰好是双曲线的一个焦点，因此本选项的说法正确．故选ABD.9．已知双曲线的方程为221169x y -=，则下列说法正确的是A．焦点为(0) B ．渐近线方程为3x ±4y =0 C ．离心率5e 4=D ．焦点到渐近线的距离为4【试题来源】广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测 【答案】BC【分析】根据双曲线的方程依次求出焦点、渐近线方程、离心率等，即可得答案；【解析】对A ，焦点为(5,0)±，故A 错误；对B ，渐近线方程为220340169x y x y -=⇒±=，故B 正确；对C ，54c e a ==，故C 正确；对D ，焦点到渐近线的距离为3b =，故D 错误；故选BC ．10．已知,A B 两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是 A ．爆炸点在以,A B 为焦点的椭圆上 B ．爆炸点在以,A B 为焦点的双曲线的一支上C ．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B 监测点的距离为6803米 D ．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B 监测点的距离为680米【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【解析】依题意，,A B 两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2秒，设爆炸点为C ，则3402680800CA CB -=⨯=<，所以爆炸点在以,A B 为焦点的双曲线的一支上．所以A 选项错误，B 选项正确．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以224CA CB=，即2CA CB =，结合680CA CB -=可得680CB =． 所以C 选项错误，D 选项正确．故选BD.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)，抛物线2y =的准线过双曲线的左焦点，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k +2k =2【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】BCD【解析】因为双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)，所以2c e a ==，12b a ==，渐近线方程为12y x =±，故A 错误；又c =22,1a b ==，所以双曲线方程为2214x y -=，故B 正确；因为()()2,0,2,0A B -，设(),P x y ，则1k 22212244y y y x x k x =⋅==+--⋅，故C 正确；2212222122442y y xy y x xx x x y yk k x =+==⋅=⋅+---+，因为点P 在第一象限，渐近线方程为12y x =±，所以102OP k <<，则 2x y >，所以121k k +>，所以存在点P ，使得1k +2k =2，故正确；故选BCD12．椭圆22116x y m+=的焦距为m 的值为A ．9B ．23C ．16D ．16+【试题来源】江苏省南航附中2020-2021学年高二（9月份）月考 【答案】AB【解析】椭圆22116x y m+=的焦距为2c =得c =依题意当焦点在x 轴上时，则167m -=，解得9m =；当焦点在y 轴上时，则 167m -=，解得 23m =， 所以m 的值为9或23．故选AB ． 13．下列说法正确的是A ．平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；B ．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若A B >则a b >； C ．若数列{}n a 为等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；D ．垂直于同一个平面的两条直线平行．【试题来源】湖北省四地六校2020-2021学年高二上学期10月联考【答案】BD【解析】若距离之和等于12F F ，则轨迹是线段12F F ，不是椭圆，A 错； 三角形中大边对大角，大角对大边，B 正确；{}n a 的公比1q =-时，10n n a a ++=，{}1n n a a ++不是等比数列，C 错；由线面垂直的性质定理知D 正确．故选BD ．14．点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的方程可以是A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221168x y +=【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考 【答案】ACD【解析】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则需1290F BF ∠≥︒，221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，则222a b ≥，所以选项ACD 满足．故选ACD ．15．在平面直角坐标系xoy 中，F 1，F 2分别为椭圆 22142x y +=的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试 【答案】ABC【解析】由椭圆 22142x y +=可知，2,a b c ===焦点坐标为(，通径为222b a=，因为△AF 1F 2为直角三角形，所以A 为直角顶点时，A 在短轴端点，此时AF 1的长为2；1F 为直角顶点时，A 在y 轴左侧，此时AF 1的长为1；2F 为直角顶点时，A 在y 轴右侧，此时AF 1的长为3；故选ABC ．16．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是直角，则满足条件的一个e 的值可以是A ．12BC．3D ．45【试题来源】江苏省南京市六合区大厂高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】BD【解析】1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，∴()1,0F c -，()2,0F c ，222c a b =-，设点(),P x y ，因为椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是直角，所以12PF PF ⊥， 所以()(),,0x c y x c y -⋅+=，化简得222x y c +=，联立方程组22222221x y c x yab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，整理，得()2222220a xc a c =-⋅≥，所以2220c a -≥，解得2e ≥，又01e <<，12e ∴≤<．故选BD ．17．设椭圆22193x y +=的右焦点为F，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ， B 两点，则下述结论正确的是 A ．AF +BF 为定值 B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12] C．当m =时，△ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【试题来源】江苏省南通中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】AD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '=， 所以=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，所以AB 的范围是()0,6，所以ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B，因为)F，所以(60BA BF ⋅=-=-，所以ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A -，)B ，所以112ABFS=⨯=D 正确．故选AD. 18．下列判断正确的是A ．抛物线2y x =与直线0x y +-=仅有一个公共点B ．双曲线221x y -=与直线0x y +-=仅有一个公共点C ．若方程22141x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则542t <<D ．若方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4【试题来源】江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试 【答案】BD【解析】对于A ，抛物线2y x =与直线方程0x y +=，联立方程，消去x ，可得20y y +=，10∆=+>，所以抛物线2y x =与直线0x y +=有两个个公共点，故A 错误；对于B ，双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，直线0x y +=与渐近线y x =-平行，故双曲线221x y -=与直线0x y +-=仅有一个公共点，故B 正确；对于C ，若方程22141x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则410t t ->->，解得512t <<，故C 错误；对于D ，若方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，故D 正确．故选BD ．19．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)++=C x y r 和22222:(2)-+=C x y r ，其中常数12,r r 为正数满足124r r +<，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是 A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 全书综合测评 【答案】BC【解析】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ．当124r r +<时，两圆相离，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切． ①若均内切，则1122,PC r r PC r r =-=-， 此时1212PC PC r r -=-，当12r r ≠时，点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线， 当12r r =时，点P 在线段12C C 的垂直平分线上． ②若均外切，则1122,PC r r PC r r =+=+， 此时1212PC PC r r -=-，则点P 的轨迹与①相同．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切，则11222112,,PC r r PC r r PC PC r r =-=+-=+．同理，当与圆2C 内切，与圆1C 外切时，1212PC PC r r -=+．此时点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选BC ． 20．已知曲线22:1C mx ny += A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线B ．若0m n =>，则C C ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期（期中）半期 【答案】AD【分析】由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解． 【解析】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n <<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确．故选AD ．21．在平面直角坐标系xOy 中，下列结论正确的是A ．椭圆2212516x y +=上一点P 到右焦点的距离的最小值为2；B ．若动圆M 过点(2,0)且与直线2x =-相切，则圆心M 的轨迹是抛物线； C6=表示的曲线是双曲线的右支；D ．若椭圆22112x y m+=的离心率为12，则实数9m =．【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】ABC【解析】对于A ，椭圆2212516x y +=的长半轴长5a =，半焦距3c ==，∴椭圆的右顶点到右焦点的距离最小为2a c -=，故A 正确；对于B ，若动圆M 过点(2,0)且与直线2x =-相切，则圆心M 到(2,0)的距离等于到直线2x =-的距离，则圆心M 的轨迹是抛物线，故B 正确；对于C6=的几何意义是平面内动点(,)x y 到两个定点(4,0)-，(4,0)距离差等于6的点的轨迹，表示以(4,0)-，(4,0)为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故C 正确；对于D ，椭圆22112x y m+=的离心率为12，当焦点在y 轴上时，2a m =，212b =，则c =12e ==，解得16m =，故D 错误．故选ABC ． 22．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是 A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初 【答案】BC【解析】抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2p y =-， 点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确；由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-， 所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，， 221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+， 在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选BC ． 23．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，则A ．若抛物线上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x =B ．若2AF BF =，则直线l的斜率为C ．若直线l43p AB =D ．设线段AB 的中点为P ，若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】AD【解析】对于A 选项，由抛物线的定义可得232pEF =+=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，A 选项正确；对于B 选项，如下图所示： 抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2220y mpy p --=，222440m p p ∆=+>恒成立，由根与系数关系可得122y y mp +=，212y y p =-，由于2AF BF =，由图象可得2AF FB =，即1122,2,22p p x y x y ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，122y y =-，可得121221222y y y y mp y y p =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得4m =±，所以，直线l的斜率为1m=±B 选项错误； 对于C 选项，当直线lB选项可知，3m =，123y y p +=， 由抛物线的焦点弦长公式可得)12128223AB x x p y y p p p p =++=++=+=，C 选项错误；对于D 选项，抛物线的焦点F 到准线的距离为2p =，则该抛物线的方程为24y x =．设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，216160m ∆=+>， 则124y y m +=，()21212242x x m y y m ∴+=++=+，()212241AB x x m =++=+，点P 到y 轴的距离为212212x x d m +==+， 所以，()22221111sin 1112222212d m PMN m m AB+∠===-≥-=++， 当且仅当0m =时，等号成立，D 选项正确．故选AD ． 24．设A ，B 是抛物线2yx 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中模拟 【答案】ACD【解析】B ．设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C ．O 到直线AB的距离1d ，即C 正确；A．||||OA OB =．||||2OA OB ∴正确； D ．由题得11111,4312y y +=∴=，所以211==12x x ∴，x =．所以113k-==-，所以直线AB的方程为14y x=+，所以14b=．由题得212121211111 ||()2244222 AB y y y y k x x b k b=+++=++=+++=++=1114++=3223．所以41||133BF=-=．所以D正确．故选ACD．25．已知1F，2F是双曲线()2222:10,0x yE a ba b-=>>的左、右焦点，过1F作倾斜角为30的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，1PM MF=，下列判断正确的是A．21π3PF F B．2112MF PF=C．ED．E的渐近线方程为y=【试题来源】福建省厦门市2019-2020学年高二下学期期末【答案】BCD【解析】如右图，由1PM MF=，可得M为1PF的中点，又O为12F F的中点，可得2//OM PF，2190PF F∠=︒，1230PF F∠=︒，2112MF PF=，故A错误，B正确；设122F F c=，则12cos30cPF==︒，22tan30PF c=︒=，则1223a PF PF c=-=，可得==cea，ba==，则双曲线的渐近线方程为by xa=±即为y=．故C，D正确．故选BCD．26．已知双曲线222(0)63x yλλ-=≠，则不因λ改变而变化的是A．渐近线方程B．顶点坐标C．离心率D．焦距【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一）【答案】AC【解析】双曲线222(0)63x yλλ-=≠可化为2222163x yλλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=，所以2231()2b e a=+=，渐近线方程为b y x a =±=，故选AC ． 27．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为A ．2 BCD ．3【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一） 【答案】AB【解析】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得， 所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+， 即42a c ≥，12e <≤，故选AB ．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，且双曲线C 的左焦点在直线0x y ++=上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．12k k 为定值14D ．存在点P ，使得121k k +=【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研 【答案】BC【解析】因为双曲线C 的左焦点(,0)c -在直线0x y +=上，所以c =c e a ==，所以2a =，故2221b c a =-=，所以双曲线方程为2214x y -=，故双曲线的渐近线方程为20x y ±=，故A 错误；B 正确； 由题意可得(2,0),(2,0)A B -，设P (m ， n )，可得2214m n -=，即有22144n m =-，所以212212244n n n k k m m m =⋅==+--，故C 正确；因为点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，所以120,0k k >>，则121212k k +≥=⨯=，当且仅当12k k =时，等号成立， 由A ，B 为左右顶点，可得12k k ≠，所以121k k +>，故D 错误．故选BC29．已知抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b-=(0,a >0b >)的左焦点F ，且与双曲线交于,A B 两点，O 为坐标原点，AOB 的面积为32，则下列结论正确的有 A ．双曲线C 的方程为224413y x -=B ．双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°C ．点F 到双曲线CD ．双曲线C 的离心率为2 【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试 【答案】ABD【解析】因为抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b-=(0,a >0b >)的左焦点F ，所以1c =-，又与双曲线交于,A B 两点，所以221,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AOB 的面积为2123122b a ⨯⨯=，即232b a =，解得213,24a b ==，所以双曲线C 的方程为22441y x -=，故A 正确；双曲线C 的渐近线方程为y =，所以两渐近线的的夹角为60°，故B 正确；点F 到双曲线C 的渐近线的距离为2d =，故C 错误； 双曲线C 的离心率为1212c e a ===，故正确；故选ABD.30．设1F ，2F 是双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF OP =，则下列说法正确的是 A ．2F P b =BC．双曲线的渐近线方程为y =D ．点P在直线x =上 【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测 【答案】ABD【解析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， 焦点()1,0F c -，()2,0F c ，()0,0,0a b c >>>因为过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，所以2bcF P b c===，故A 正确；因为OP a ===，则()1222cos cos 180cos OP aFOP F OP F OP OF c∠=︒-∠=-∠=-=-，所以1PF ==，在三角形1OPF 中，根据余弦定理可知2221111cos 2OP OF F PFOP OP OF +-∠==⋅22262a c a aac c +-=-，解得223a c =，即离心率e =或e =，故B 正确；因为e ==b a =y =，故C 错误； 因为点P在直线y =上，可设()()0P x x >，由OP a =可知，OP a ===，解得3x a =，故D 正确．故选ABD ． 31．如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上的点(M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，P 为双曲线上的动点，已知(3,1)A ，则12PA PF +的值可能为 A ．32 B ．2 C ．52D ．4【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测【答案】CD【解析】依题意可知点(3)M -在渐近线b y x a =-上，所以3b a =3b a =， 设(c,0)F ，则3030122abb c a -=--+=⨯⎩，结合3b a =解得2c =，由222c a b =+，所以21a =，23b =，所以离心率2c e a ==，右准线为212a x c ==，设点P 到右准线12x =的距离为d ，则根据双曲线的定义可知2PFe d==， 所以12PA PF PA +=+122d PA d ⨯=+132≥-52=．根据四个选项可知，,C D 正确．故选CD.32．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且122=PF PF ，若1215sin F PF ∠=a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是 A ．6e =B ．4e =C ．5b a =D ．3b a =【试题来源】江苏省南通市如东高级中学、泰州高级中学2020-2021学年高二11月联考 【答案】ACD 【解析】122PF PF =，∴由双曲线定义可知1222PF PF PF a -==，14PF a ∴=，由1215sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±，在12PF F △中，由余弦定理可得2221241641cos 2244a a c F PF a a +-∠==±⨯⨯，解得，224c a =或226c a=，2c a ∴=或c =，b ∴==或b =，2ce a∴==，故选ACD ． 33．已知2a =，4c =，则双曲线的标准方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【试题来源】江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高二上学期检测（一） 【答案】AC【解析】由已知得22212b c a =-=，所以当焦点在x 轴上，双曲线的标准方程为221412x y-=；当焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为221412y x-=．故选AC34．已知双曲线C过点且渐近线方程为3y x =，则下列结论正确的是 A ．双曲线C 的方程为2213x y -=B ．双曲线CC ．曲线21x y e -=-经过双曲线C 的一个焦点D ．焦点到渐近线的距离为1【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】ACD【分析】根据已知条件求得,,a b c ，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项．【解析】设双曲线方程为221Ax By +=，将(代入得921A B +=．双曲线的渐近线方程为y =133A B =⇒=-． 由92113A B A B+=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得1,13A B ==-，所以双曲线的方程为2213x y -=．所以1,2a b c ===．故A 选项正确．双曲线的离心率为ca==，故B选项错误．双曲线的焦点坐标为()2,0±，其中()2,0满足21xy e-=-，所以C选项正确．双曲线一个焦点为()2,0，渐近线方程y x=30y-=，1=，故D选项正确．故选ACD35．已知双曲线C的标准方程为2213yx-=，则A．双曲线C的离心率为2B．直线2x=与双曲线C相交的弦长为6C．双曲线2213xy-=与双曲线C有相同的渐近线D．双曲线C【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考【答案】ABD【解析】由2213yx-=得1,2,2ca b c ea=====，渐近线为y=，故A正确，C中双曲线2213xy-=的渐近线为3y=±，故C错；B中将2x=代入2213yx-=解得3=±y，故2x=与双曲线C相交的弦长为6，故B正确；D中，双曲线C的焦点到渐近线的距离为d b===D正确故选ABD 36．设双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右焦点为F，直线l为C的一条斜率为正数的渐近线，O为坐标原点．若在C的左支上存在点P，使点P与点F关于直线l对称，则下列结论正确的是．A．2PF b=B．POF的面积为abC．双曲线CD．直线l的方程是2y x=【试题来源】湖南师大附中2020-2021学年高二上学期10月月考（第二次大练习）【答案】ABD【解析】设左焦点为1F，PF与l的交点为M，如下图所示：因为点P 与点F 关于直线l 对称，所以OM PF ⊥，M 为PF 中点，且O 为1FF 中点， 所以112OM PF =，2PF MF =，因为(),0,:0F c l bx ay -=，所以MF b ==，所以2OM a ==，所以2PF b =，故A 正确；因为112POFPFF SS =，且1122222PFF PF PF a b Sab ⋅⨯===，所以POFSab =，故B 正确；由双曲线的定义可知12PF PF a -=，所以222b a a -=，所以2b a =，所以:2l y x =，2b a ===，所以e =，故C 错误，D 正确，故选ABD ． 37．已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有 A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形D ．123F PF π∠=【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】BC【解析】由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20， 得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF ，由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==， 则11337||833PF =+=，则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确， 在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=，则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角， 则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确，2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选BC ．38．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为1F ，点A 坐标为0,1，点P 双曲线左支上的动点，且1APF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为 AB ．2 CD ．3【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】ABC【解析】由右焦点为1F ，点A 的坐标为(0,1)，1||5AF ， 1APF △的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得1||||PA PF +的最小值不小于 9，又2F 为双曲线的左焦点，可得12||||2PF PF a =+，1||||PA PF +=2||||2PA PF a ++ ， 当A ，P ，2F 三点共线时，2||||2PA PF a ++取最小值52a + 所以529a +≥，即2a ≥，因为c =ce a=≤．故选ABC ． 39．已知1F 、2F 是双曲线22:12y C x -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的有 A ．双曲线C的渐近线方程为y = B ．以12F F 为直径的圆方程为222x y += C ．点M的横坐标为D ．12MF F △【试题来源】江苏省徐州市铜山区大许中学2020-2021学年高三上学期第二次调研考试 【答案】AD【解析】由双曲线方程2212yx-=知a=，1b=，焦点在y轴，渐近线方程为ay xb=±=，A正确；c==，以12F F为直径的圆的方程是223x y+=，B错误；由223x yy⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1xy=⎧⎪⎨=⎪⎩1xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩223x yy⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1xy=⎧⎪⎨=⎪⎩1xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩所以，M点横坐标是±1，C错误；121211122MF F MS F F x=⋅=⨯=△D正确．故选AD．【名师点睛】双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±，而双曲线()222210,0y xa ba b-=>>的渐近线方程为ay xb=±（即bx ya=±），应注意其区别与联系．40．双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQ l⊥，垂足为Q．当2||||PF PQ+的最小值为3时，1F Q的中点在双曲线C上，则A．C的方程为22122x y-=B．CC．C的渐近线方程为y x=±D．C的方程为221x y-=【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考【答案】BCD【解析】因为21||||2PF PF a-=，所以21122.PF PQ PF PQ a FQ a+=++≥+因为焦点到渐近线的距离为b，所以1FQ的最小值为b，所以2 3.b a+=不妨设直线OQ 为by xa=，因为1F Q OQ⊥，所以点1(,0)F c-，2(,)a abQc c--，1F Q的中点为22(,2a cc+-)2ab c -．将其代入双曲线C 的方程，得2222222()144a c a a c c+-=，即2222222(1)144a a c a c c +-=，解得.c = 因为22223,b a a b c +=+=，所以1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=，yx =±故选BCD41．若椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和椭圆()222222222:10x y C a b a b +=>>的离心率相同，且12a a >，则下列结论正确的是 A ．椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点B ．1122a b a b = C ．22221212a a b b -<-D ．1212a a b b -<-【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第三章 圆锥曲线的方程 【答案】AB【解析】依题意，1212==c c e a a ，=所以1212b b a a =，所以1122a b a b =，因此B 正确；又12a a >，所以椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点，因此A 正确； 设1212==b b m a a ，其中01m <<，则有()()()()222222211221210a b a b m a a ---=-->， 即有22221122->-a b a b ，则22221212->-a a b b ，因此C 错误；()()()112212(1)0---=-⋅->a b a b m a a ，即有1122->-a b a b ，则1212->-a a b b ，因此D 错误．故选AB ． 42．已知曲线E 的方程为()22,ax by ab a b R +=∈，则下列选项正确的是A ．当1ab =时，E 一定是椭圆B ．当1ab =-时，E 是双曲线C ．当0a b =>时，E 是圆D ．当0ab =且220a b +≠时，E 是直线【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试 【答案】BCD【解析】对于A ，若1a =，1b =，此时22ax by ab +=变为221x y +=，不表示椭圆，故A 错误；。
广东省惠州市2021届高三第一次调研考试数学试题(含答案)
（2）设 bn
an
1 an1
，求数列 {bn} 的前
n
项和 Sn
．
18．（本小题满分 12 分）
数学试题
第 3 页，共 17 页
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在△ ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，且 b cos A=2c a cos B .
（1）求角 B 的值； （2）若 a 4 ，△ ABC 的面积为 3 ，求△ ABC 的周长．
行调研，每个县区至少派 1 位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）.
A． 1 6
B． 1 4
C． 1 3
D． 1 2
10．对于函数 f x ，若在定义域内存．在．实数 x，满足 f x f x ，称 f x 为“局部奇函数”.
若 f x 4x m2x1 m2 3 为定义域 R 上的“局部奇函数”，则实数 m 的取值范围是（ ）.
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惠州市 2021 届高三第一次调研考试试题 数学
全卷满分 150 分，时间 120 分钟． 注意事项：
2020.07
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡 上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
A．1 3 m 1 3
B．1 3 m 2 2
C． 2 2 m 2 2
D． 2 2 m 1 3
数学试题
第 2 页，共 17 页
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二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题满分 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分。
2021年广东省普通高中学业水平合格性考试 数学试卷(解析版)
132021 年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一.选择题：本大题共 15 题，每小题 6 分，共 90 分。
在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1 设全集 U={2,3,4,5}，A={2}，则C UA = ()A. {2,3,4,5}B.{2,3,4,5}C.{3,4,5}D.{3,4}答案：C2. 已知cos （π2-α）=1 ，则sin α 的值为（ ）21 B -1C D - A. 22 22解：答案：A ， cos （π2-α）= sin α = 123. 下列函数为偶函数的是（ ）1+ x 2A. f (x ) = x +1 B f (x ) = C x 2f (x ) = x 3D f (x ) = sin x答案：B解：A 选项既不是奇函数也不是偶函数，C 和D 选项是奇函数4.已知a = 0.23， b = 0.32 , c = 0.33 ，则 a , b , c 的大小关系（ ）A. a < c < bB. b < a < cC. c < a < bD. a < b < c答案：A解： a = 0.23 = 0.008， b = 0.32= 0.09, c = 0.33= 0.027 ，所以a < c <b 3211 5.经过点 A （-1,6），B （0,2）的直线方程是（ ）A. x - 4y - 2 = 0 B. 4x - y - 2 = 0 C. x + 4y + 2 = 0 D. 4x + y - 2 = 0答案：D解：由题意知k= AB 2 - 6 0 - (-1)= -4 ,所以 y - 2 = -4(x - 0)，即4x + y - 2 = 06. 同时抛掷两粒均匀的骰子，则向上的点数之和是6 的概率是（ ）1 1 51A. 12B. 11C. 36D. 6答案：C解：同时抛掷两粒均匀的骰子一共有 36 种结果，其中点数之和为 6 的有 5 种结果，所以向上的点数之和5 是6 的概率 P =367. 下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）11 A. y = x 3 B. y = x +1 C. y = log 23 x D. y = ( )x3 答案：D解：A y = x 3在定义域内为增函数，B y = 2 x +1在定义域为增函数，C. y = log x 在（0，+ ∞）为增函数，3D.y = ( )x 3 在定义域为减函数。
2021届广东省高三二模数学试题(解析版)
2021届广东省高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{}24xA x =>，集合{}B xx a =<∣，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),4-∞ B ．()1,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】D【分析】由2xy =单调递增，解出指数不等式24x >的解集得集合A ，因A B =R ，结合数轴可求得a 的取值范围. 【详解】解：{}{}{}224222x x A x x x x =>=>=>，{}B x x a =<∣，又A B =R ，∴结合数轴可得2a >，所以a 的取值范围为()2,+∞.故选：D. 2．已知复数2iz i i=++(i 为虚数单位)，则z =（ ）A ．BC 1D【答案】B【分析】根据复数运算整理得到1755z i =+，由模长运算可求得结果. 【详解】()()()22117222555i i i i z i i i i i i i -+=+=+=+=+++-，z ∴==故选：B.3．2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则()P B A =（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】D【分析】由条件概率公式直接计算可得结果.【详解】()12P AB =，()23P A =，()()()132243P AB P B A P A ∴===. 故选：D.4．某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30【答案】C【分析】利用组合数首先求出每小组中各队进行比赛次数，再求出各小组的第一名单循环比赛次数即可求解.【详解】由题意每小组中各队进行单循环比赛次数为23515C =， 各小组的第一名再进行单循环比赛次数为2510C =，先后比赛的总次数为151025+=. 故选：C5．函数211x x y x -+=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】选将函数表达式分离后运用基本不等式求出值域就可以选出答案.【详解】221(1)(1)11(1)1111x x x x y x x x x -+-+-+===-++---，当1x >时，1(1)1131y x x =-++≥=-（2x =等号成立）；当1x <时，11(1)1[(1)]1111y x x x x =-++=--++≤-=---（0x =等号成立）； 从而可知选项D 正确. 故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】依次列举出大鼠、小鼠前几天打洞穿墙的尺数，至某天总和不小于16尺即得解.【详解】大鼠从第一天起打进尺数依次为：1，2，4，8，…， 小鼠从第一天起打进尺数依次为：1，12，14，18，…， 前3天两鼠完成量的总和为35164<，前4天两鼠完成量的总和为135168>， 所以第4天两鼠相逢. 故选：B7．已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为的最大值为（ ）A ．32πB ．323πC ．10πD ．24π【答案】A【分析】设圆柱底面圆半径为r ，高为h ，利用勾股定理可构造方程，利用h 表示出r ，从而将圆柱体积表示为关于h 的函数的形式，利用导数求最值的方法即可求得圆柱体积的最大值.【详解】设圆柱底面圆半径为r ，高为h ，则(2222h r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2211204r h ∴=->，0h ∴<<∴圆柱体积23124V r h h h πππ==-，23124V h ππ'∴=-，令0V '=，解得：4h =，∴当()0,4h ∈时，0V '>；当(h ∈时，0V '<，3124V h h ππ∴=-在()0,4h ∈时单调递增，在(h ∈时单调递减， max 4864324V πππ∴=-⨯=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中几何体体积最值的求解问题，解题关键是能将圆柱体积表示为关于圆柱的高h 的函数的形式，从而利用导数求得最值.8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为4，焦距为.过椭圆C 的上端点B 作圆222x y +=的两条切线，与椭圆C 分别交于另外两点M ，N .则BNM 的面积为（ ） A ．6 B ．14425C ．125D ．152【答案】B【分析】根据椭圆的短轴长为4，焦距为BN 的方程，利用直线与圆相切，求得直线方程，与椭圆方程联立，求得M ，N 的坐标即可.【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为4，焦距为，22,6b c a ==，所以椭圆方程为22164x y +=，如图所示：设直线BN 的方程为2y kx =+， 则原点到直线BN 的距离为21d k=+，又因为直线BN 与圆222x y +=相切， 221k=+1k =±，则直线BN 的方程为2y x =-+，由222164y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即122,55N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 同理求得122,55M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以BNM 的面积为112421442225525S MN BD ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯+= ⎪⎝⎭， 故选：B二、多选题9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（ ）A ．直线1BC 与直线AF 垂直B ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92C ．三棱锥F AGE -的体积为2D ．点1A 与点G 到平面AEF 的距离相等【分析】A.建立空间直角坐标系，由1AF B C ⋅是否为零判断；B.根据1//EF AD ，由平面的基本性质得到截面是等腰梯形 1AEFD 求解判断；C.由F AGE A FGE V V --=求解判断；D. 根据1//AG 平面1AEFD ，即1//AG 平面AEF 判断. 【详解】如图所示：A.建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,0,0,2,1,2,2,2,0,2,0,2,2,1,2,0,2A F B C AF B C =-=--，而120AF B C ⋅=≠，所以直线1B C 与直线AF 不垂直，故错误；B.如图所示：因为1//EF AD ，所以截面为等腰梯形 1AEFD ，所以截面面积为()2222221111292222122222AD EF S EF AD AB BE ⎛⎫-⎛⎫=++-=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故正确；C.1111163223F AGE A FGE V V FG BB AB --==⨯⨯⨯=，故错误； D. 因为11//AG D F ，1//AG 平面1AEFD ，即1//AG 平面AEF ,所以点1A 与点G 到平面AEF 的距离相等，故正确； 故选：BD【点睛】方法点睛：画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．10．将函数()sin f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的()10ωω>，得到函数()g x 的图象.若()g x 在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则A ．()g x 在[]0,π上有两个零点B ．()g x 在[]0,π上有两个极值点C ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．ω的取值范围为24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】CD【分析】先由图象的平移和伸缩变换得到函数()sin 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像，单调性，值域逐一判断可得选项． 【详解】将函数()sin f x x =的图象向右平移6π个单位长度后，函数的解析式为sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将曲线上各点的横坐标变为原来的()10ωω>，得到函数()sin 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又[]0,x π∈，所以666x πππωωπ-≤-≤-，又()g x 在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以7266πππωπ≤-≤，解得2433ω≤≤，故D 正确； 当23ω=时，则662x πππω-≤-≤，此时()g x 在[]0,π上只有一个零点，故A 不正确；并且662x πππω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，时，()g x 单调递增，故B 不正确； 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，6626x ππππωω-≤-≤-，当2433ω≤≤时，666x πππω-≤-≤，所以函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确.故选：CD ．【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图像变换和正弦函数的性质，关键在于由6x πω-的范围．运用整体代换的思想，得以解决问题．11．已知0a >，0b >，21a b +=，则（ ）A ．2215a b +≥B ．113a b+≥+ C ．22a b +> D ．22log log 3a b +≤-【答案】ABD【分析】利用12a b =-将22a b +化为关于b 的二次函数形式，结合b 的范围可求得A 正确； 由()11112a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可知B 正确； 由11a b b +=-<可知C 错误； 利用基本不等式可求得18ab ≤，结合对数函数单调性可求得D 正确. 【详解】对于A ，0a >，0b >，21a b +=，120a b ∴=->，解得：102b <<， ()2222212541a b b b b b ∴+=-+=-+，∴当25b =时，()2min 4815411555b b -+=-+=，2215a b ∴+≥，A 正确；对于B ，()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即a =时取等号，B 正确； 对于C ，0b >，21a b +=，11a b b ∴+=-<，22a b +∴<，C 错误；对于D ，21a b +=≥（当且仅当2a b =时取等号），18ab ∴≤，22221log log log log 38a b ab ∴+=≤=-，D 正确.故选：ABD.【点睛】易错点睛：本题重点考查了利用基本不等式和函数单调性求最值的问题；利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD【分析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+， 所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确； 因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误. 故选：BD.三、填空题 13．曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在x 轴上的截距为___________. 【答案】32【分析】根据导数的几何意义，求得曲线在1x =处的切线方程，进而求得切线在x 轴上的截距.【详解】由题意，函数1ln y x x=-，可得211y x x '=--，所以12x y |='=-，由当1x =时，1ln11y =-=，即切点坐标为(1,1)， 所以切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=，令0y =，可得32x =，即切线在x 轴上的截距为32. 故答案为：32.14．已知θ为第二象限角，且sin 24θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭tan θ=___________. 【答案】43-【分析】根据θ的范围可求得24θπ+的范围，结合sin 024θπ⎛⎫+>⎪⎝⎭可确定24θπ+为第二象限角，结合同角三角函数关系求得cos 24θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用二倍角公式和诱导公式可求得cos θ，由同角三角函数关系可求得结果. 【详解】θ为第二象限角，()222k k k Z ππθππ∴+<<+∈，32244k k πθππππ∴+<+<+()k Z ∈，又sin 024θπ⎛⎫+=>⎪⎝⎭，()3222244k k k Z πθππππ∴+<+<+∈，cos 024θπ⎛⎫∴+< ⎪⎝⎭，cos 24θπ⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭， 32sin cos sin cos 242425θπθππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又θ为第二象限角，4sin 5θ∴==，sin 4tan cos 3θθθ∴==-. 故答案为：43-. 【点睛】易错点点睛：已知三角函数值求解函数值时，易错点是忽略角所处的范围，造成在求解三角函数值时出现符号错误.15．已知ABC 中，1AB =，3AC =，1cos 4A =，点E 在直线BC 上，且满足：()BE AB l AC l =+∈R ，则||AE =___________.【分析】设()BE BC AC AB AB l AC λλ==-=+，得BE BC =-，由余弦定理解得BC ，再利用向量线性运算得AE AB BC =-，则()2||AE AB BC =-展开即可得结果．【详解】设()BE BC AC AB AB l AC λλ==-=+，所以1l λ==- 故BE BC =-，则AE AB BE AB BC =+=-由余弦定理的2221cos 24AB AC BC A AB AC +-==⋅，又1AB =，3AC =所以2BC =，则22212cos 2BA BC B BA BC AC ⋅⋅=+-=由()222||21AE AB BCAB AB BC BC =-=-⋅+==【点睛】关键点点睛：本题的关键先求解1l =-，得BE BC =-，然后再由向量模计算方法运算．四、双空题16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，设直线1l 与2l 交于点()00,P x y ，则0y =___________，PAB ∆面积的最小值为___________.【答案】1-; 4【分析】设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程可求得交点坐标()2,1P k -.因为12PABSAB d =，所以将弦长AB 和点P 到直线AB 的距离d 带入即可求得面积的最小值. 【详解】解：抛物线方程为24x y =，∴抛物线的焦点()0,1F由题意，直线AB 的斜率存在，设:1AB l y kx =+，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，124x x k ∴+=，12·4x x =-，由24x y =，得24x y =，求导得2x y '=，∴()21111:42x x l y x x -=-，即21124x x y x =-① 同理2222:24x x l y x =-② ∴由①②得12022x x x k +==，2211112112001242244x x x x x x x x yx +=-=-==-.()21241AB xk=-===+点P 到直线AB 的距离2d ===()()322221141214122PABSAB d k k k ∴==++=+， 易知20k =，即0k =时，()min 4PABS =，故PAB △面积的最小值为4. 故答案为：1-；4.【点睛】思路点睛：设出A ，B 两点的坐标，由导数几何意义求出两切线方程，然后联立求解交点P 坐标；设出直线AB 方程，并联立抛物线方程，由弦长公式可得AB ，由点到直线距离公式可得点P 到直线AB 的距离，从而求得12PABSAB d =，进而易得面积的最小值.五、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23sin 2CC +=c =，___________，求ABC 的周长.从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件①：2AB AC bc ⋅=；条件②：ABCS=，条件③：2(cos cos )2a a C c A +=. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；ABC 的周长为6.【分析】由题设条件，求出角C ，选条件①：由向量数量积求出角A ，由正弦定理求解即得；选条件②：由三角形面积公式求出边b ，再由余弦定理求解即得；选条件③：由正弦定理边化角，再用余弦定理求解.【详解】由23sin 2CC +=3sin cos )C C +-=，即3sin 0C C =，所以tan C =，因为(0,)C π∈，所以6C π=.选择条件①：由2AB AC bc ⋅=，得2cos bc A bc ⋅=，所以1cos 2A =， 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以2ππ=--=B AC ，所以2b c ==，6a =，所以ABC 的周长为6；选择条件②：由ABCS=，得1sin 2ab C =，所以b = 由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，所以2124812a a =+-，即212360a a -+=，解得6a =，所以ABC 的周长为6；选择条件③：由2(cos cos )a a C c A +=及正弦定理得：(sin cos sin cos )sin a A C C A B +=，所以sin()sin a A C B +=，所以sin sin a B B =，即a =，由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，所以222331242b b b =+-，所以b =，62a b ==，所以ABC 的周长为6.18．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，2144n n n a a a ++=-. （1）证明：{}12n n a a +-为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）(1)21nn S n =-+.【分析】（1）由2144n n n a a a ++=-，化简得到211222n n n na a a a +++-=-，结合等比数列的定义，即可求解.（2）由（1）求得112222n n n n a a -+-=⨯=，得到11122n nn n a a +--=，根据等差数列的定义和通项公式，求得12n n a n -=⨯，结合“乘公比错位相减法”，即可求解.【详解】（1）因为2144n n n a a a ++=-，所以()211122422n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-，即211222n n n na a a a +++-=-， 又由2122a a -=，所以{}12n n a a +-是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知{}12n n a a +-是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以112222n n n n a a -+-=⨯=，可得11122n nn n a a +--= 又由1012a =，所以12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以11(1)12nn a n n -=+-⨯=，即12n n a n -=⨯， 所以01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以12321222322n nS n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，可得012122222n nn S n --=++++-⨯()0212212n n n ⨯-=-⨯-，所以(1)21nn S n =-+.【点睛】错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，求解数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（2）注意事项：①在写出n S 和n qS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；③作差后，作差部分应用为1n -的等比数列求和.19．如图，AB 是半圆E 的直径，C 是半圆E 上异于,A B 的一点，点D 在线段AC 上，满足DE AB ⊥，且PA PC ⊥，30BAC PAC ∠=∠=，4AB =，7PB =.（1）证明：BC PA ⊥；（2）求二面角D PE B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）777. 【分析】（1）由圆的性质和勾股定理可证得AC BC ⊥，PC BC ⊥，由此可得BC ⊥平面PAC ，由线面垂直的性质可证得结论；（2）以C 为原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）AB 是半圆E 的直径，C 是半圆E 上异于,A B 的一点，∴AC BC ⊥.30BAC ∠=，4AB =，∴2BC =，2223ACAB BC .PA PC ⊥，30PAC ∠=，∴3PC =，7PB =∴222PC BC PB +=，∴PC BC ⊥.PC AC C ⋂=，,PC AC ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，∴BC PA ⊥.（2）以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴､y 轴，过点C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -如图所示，则()0,0,0C ，()23,0,0A ，()0,2,0B ，)3,1,0E ，23D ⎫⎪⎪⎝⎭，332P ⎫⎪⎪⎝⎭， ∴3322PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0BE =-，设平面PDE 的法向量为()111,,m x y z =，则1111133022303m PE x y z m DE x y ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令11y =，得：13x =-113z =-，13,1,3m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭；设平面PBE 的法向量为()222,,n x y z =，得222223302230n PE y z n BE x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令21x =，得：23y 23z =(1,3,3n ∴=；3337773cos ,2593779m n m n m n-⋅∴<>===-⋅⨯结合图可知，二面角D PE B --为钝二面角，∴二面角D PE B --的余弦值为777. 【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角； （3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.20．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为32，过双曲线C的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为N，且FON(O为坐标原点)（1）求双曲线C的标准方程；（2）若P，Q是双曲线C上的两点，且P，Q关于原点对称，M是双曲线上异于P，Q的点.若直线MP和直线MQ的斜率均存在，则MP MQk k⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22145x y-=；（2）是定值，定值为54.【分析】（1）先求得点(),0F c到渐近线的距离，再根据FON(O为坐标原点)的面积1||||2S NF ON=⋅=求得a，b的关系，再结合离心率求解；（2）设()11,P x y，()00,M x y，得到()11,Q x y--，由22002211145145x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减，计算MP MQk k⋅即可.【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为by xa=±，即0bx ay±=，所以点(),0F cbcbc==.所以FON的面积为111||||222NF ON ba⋅=⋅=⋅=即ab=.因为双曲线C的离心率为32ca====，所以2254ba=，即b=.代人ab=，解得2a=，所以b=故双曲线C的标准方程为22145x y-=.（2）MP MQ k k ⋅是定值，理由如下：设()11,P x y ，()00,M x y ，则()11,Q x y --，2201x x ≠，所以22002211145145x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减并整理得2201220154y y x x -=- 所以220101012201010154MP MQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-. 所以MP MQ k k ⋅是定值，且该定值为54. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP )是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP 日平均浓度(单位：3μg/m )在[]0,120时为一级水平，在(]120,300时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP 日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP 日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95.（1）若单个喷雾头能实现有效降尘38m ，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数. （2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率均相应提升了5%，求：①该工地在未来10天中至少有2天TSP 日平均浓度能达到一级水平的概率；(100.60.006≈，结果精确到0.001)②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP 日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.【答案】（1）()3608m；（2）①0.954；②无法达到节水节能的目的，理由见解析. 【分析】（1）根据条件求出每个TSP 段对应的概率，列出设置喷头个数的分布列，求出设置喷头数的均值，从而计算出有效除尘体积.（2）①根据（1）中的概率，求得TSP 日平均浓度 达到一级水平的概率，未来10天的日平均浓度概率情况满足二项分布，从而求得概率.②计算出此时启用喷头数的期望值，与前面只能启动的期望值比较，若更大，则不能实现节水节能，更小则可以.【详解】解：（1）由已知条件和互斥事件的概率加法公式有(80)0.15P X ≤=，(80120)(120)(80)0.350.150.2P X P X P X <≤=≤-≤=-=， (120200)(200)(120)0.70.350.35P X P X P X <≤=≤-≤=-=， (200300)(300)(200)0.950.70.25P X P X P X <≤=≤-≤=-=， (300)1(300)10.950.05P X P X >=-≤=-=.则智能设置喷雾头个数Y 的分布列为：则()200.15500.2800.351100.251500.0576E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(个) 所以施工期间工地能平均有效降尘的立方米数为()3(8)8()876608E Y E Y m =⨯=⨯=（2）①由已知，该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP 日平均浓度X 达到一级水平的概率为(120)0.350.050.4P X ≤=+=，设未来10天中TSP 日平均浓度能达到一级水平的天数为ξ，则~(10,0.4)B ξ所以101910(2)1(0)(1)10.6C 0.40.610.00640.010.954P P P ξξξ≥=-=-==--⨯⨯≈--⨯=.故该工地在未来10天中至少有2天TSP 日平均浓度能达到一级水平的概率约为0.954. ②该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP 日平均浓度X 对应喷雾头个数Y 的分布列为则()200.2500.2800.351100.25150069.5E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(个)，若只有当TSP 日平均浓度在二级及以上水平时启用150个喷雾头，则启用喷雾头个数的期望值为(0.20.2)0(0.350.25)15090+⨯++⨯=(个)，大于之前智能启用喷雾头个数的期望值69.5，由于单个喷雾头出水量一样，所以无法达到节水节能的目的. 【点睛】关键点点睛：求得每个事件的概率，列出分布列，求出期望来解决相关问题. 22．已知函数21()(1)ln (0)2f x x a x a x a =+--≠. （1）当12a ≥时，证明：()0f x ≥； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）求导，根据参数取值范围，确定函数的单调区间，从而求得最小值. （2）导数中有参数，对参数分类讨论，结合（1）中的结论，求得函数有2个零点时的参数取值范围.【详解】（1）证明：()f x 的定义域为()0,∞+， 又()(1)()(1)a x a x f x x a x x+-'=+--=因为102a ≥>，所以令()0f x '=，得1x =. ()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以当1x =时，()f x 取得极小值，也是最小值， 即min 1()(1)02f x f a ==-≥. 所以当12a ≥时，()0f x ≥. （2）解：①当0a >时，由（1）可知，当1x =时，()f x 取得极小值1(1)2f a =-. 又由（1）知，当12a ≥时()0f x ≥ 要使得()f x 有两个零点，则1(1)02f a =-<，即102a <<此时(2)(2ln 2)0f a =->，1211121111(1)1(1)102a a aa f e e a e a a e a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--->--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()f x 在11,1ae -⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,2上各有一个零点，满足题意. ②当10a -<<时，令()0f x '=，得1x a =-或21x =.()f x '，()f x 的变化情况如下表：当x a =-时，()f x 取得极大值211()ln()1ln()2f a a a a a a a a a ⎡⎤-=-+--=-+--⎢⎥⎣⎦令1()1ln()(10)2u a a a a =-+---<<，则112()022a u a a a+'=--=-> 所以在()1,0-上，()u a 单调递增因为3()(1)02u a u >-=>，所以()()0f a au a -=< 所以()f x 不可能有两个零点.③当1a =-时2(1)()0x f x x-=≥'，在()0,∞+上，()f x 单调递增，所以()f x 不可能有两个零点. ④当1a <-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：当1x =时，()f x 取得极大值(1)02f a =-<， 所以()f x 不可能有两个零点，综上所述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：借助导数求解单调区间，研究最值情况，带参问题需要分类讨论，从而确定函数零点情况.。
广东省广州市2024届高三上学期12月调研考试(零模) 数学(B)含答案
2024届广州市高三年级调研测试数学（答案在最后）本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2z z +=，4i z z -=-，则z =（）A .1B.2C.D.2.已知集合(){}ln 12M x y x ==-，{}exN y y ==，则M N ⋂=（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.∅3.已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A.jB.j-C.2jD.2j-4.已知函数()()031x bf x a ab =+≠-是奇函数，则（）A.20a b += B.20a b -= C.0a b += D.0a b -=5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列{}n a ，且{}1n n a a +-为等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（）A.99100B.100101C.9950D.2001016.直线:2l y kx =-与圆22:670C x y x +--=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（）A.7,4⎤⎦B.7,8⎡⎤⎣⎦C.3,4⎤⎦D.23,8⎡⎤⎣⎦7.已知π02βα<<<，()1cos 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A.12B.35C.53D.28.若函数()32113f x x ax x =-++在区间()0,2上存在极小值点，则a 的取值范围为（）A.51,4⎛⎫⎪⎝⎭B.51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.()1,+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h ），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中a 的值为0.015B.样本的第25百分位数约为217C.样本平均数约为198.4D.在被调查的用户中，用电量落在[)170,230内的户数为10810.已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A.若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B.若EE 的实轴长为1C .若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D.当a变化时，1F PQ 周长的最小值为11.已知点3π,18P ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()()πsin 04f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心，则（）A.3π18f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是奇函数B.2833k ω=-+，*k ∈N C.若()f x 在区间3π11π,88⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有2条对称轴，则2ω=D.若()f x 在区间π2π,55⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则2ω=或143ω=12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30︒，则（）A.1DB ⊥平面PMNB.平面PMN截正方体所得的截面面积为C.点Q 的轨迹长度为πD.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，MF x ⊥轴，若OFM △（O 为坐标原点）的面积为2，则p =______.14.()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为______（用数字作答）.15.已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在同一球面上，PC ⊥平面ABC，PC BC ==，AB =，且PA 与平面ABC所成角的正弦值为6，则该球的表面积为______.16.已知函数()()()222e22e 0xx f x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a ______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n n a n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.如图，在四棱锥P ABCD -中，//CD AB ，90ABC ∠=︒，224AB BC CD ===，三棱锥B PAD -的体积为423.（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）若PA PD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，点N 在线段AP 上，2AN NP =，求平面NCD 与平面ABCD 夹角的余弦值.19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.20.已知函数()()()2ln 1f x x x ax =++-.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当10x -<<时，()0f x <，求a 的取值范围.21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X 表示甲购买的次数，求X 的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？22.在平面直角坐标系xOy 中，点()F ，点(),P x y 是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆22:4O x y +=内切，记点P 的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）设点()0,1A ，(),0M t ，()()4,02N t t -≠，直线AM ，AN 分别与曲线E 交于点S ，T （S ，T 异于A ），AH ST ⊥，垂足为H ，求OH 的最小值．2024届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2z z +=，4i z z -=-，则z =（）A.1B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由条件求得z ，即可计算模长.【详解】∵2z z +=，4i z z -=-，∴224i z =-，12z i =-，∴z ==故选：C.2.已知集合(){}ln 12M x y x ==-，{}e xN y y ==，则M N ⋂=（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.∅【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得,M N ，进而求得M N ⋂.【详解】由120x ->，解得12x <，所以1|2M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，而e 0x >y=，所以{}|0N y y =>，所以10,2M N ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A3.已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A.jB.j-C.2jD.2j-【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a与b共线，则240t --=，所以2t =-，(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅⋅=⋅=，故选：C4.已知函数()()031x bf x a ab =+≠-是奇函数，则（）A.20a b +=B.20a b -= C.0a b += D.0a b -=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.【详解】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，由于()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以3231313131x x x x xb b b ba a a -⋅+++=-+----()1322031x xb a a b -=+=-=-.故选：B5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列{}n a ，且{}1n n a a +-为等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（）A.99100B.100101C.9950D.200101【答案】D 【解析】【分析】根据累加法求得n a ，利用裂项求和法求得正确答案.【详解】1231,3,6a a a ===，21322,3a a a a -=-=，由于{}1n n a a +-为等差数列，所以()12111n n a a n n +-=+-⨯=+，所以()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- 11232nn n +=++++=，1a 也符合，所以()()11211,2211n n n n a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为1111112002121223100101101101⎛⎫⎛⎫-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故选：D6.直线:2l y kx =-与圆22:670C x y x +--=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（）A.4⎤⎦B.⎡⎤⎣⎦C.4⎤⎦D.⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出AB 的取值范围.【详解】由题易知直线:2l y kx =-恒过()0,2M -，圆22:670C x y x +--=化为标准方程得()22:316C x y -+=，即圆心为()3,0C ，半径4r =，圆心到()0,2M -距离4CM ==<，所以()0,2M -在圆C 内，则直线l 与圆C 交点弦AB 最大值为直径即8，AB 最小时即为圆心到直线距离最大，即CM l ⊥时，此时AB ==所以AB 的取值范围为⎡⎤⎣⎦.故选：D7.已知π02βα<<<，()1cos 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A.12B.35C.53D.2【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.【详解】()1cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，()3sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=，1si cos cos sin si n cos cos sin 3n ααβααβββ=--，分子分母同时除以cos cos αβ得：1tan tan 1tan tan 3ααββ=--①，由于π02βα<<<，所以0π02π02αββα⎧⎪->⎪⎪-<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，所以π02αβ<-<，所以()4cos 5αβ-==，所以()()()sin 3tan cos 4αβαβαβ--==-，即tan tan 333,tan tan tan tan 1tan tan 444αβαβαβαβ-=-=++，代入①得：1333tan tan 441tan tan ααββ=+-，解得3tan tan 5αβ=.故选：B8.若函数()32113f x x ax x =-++在区间()0,2上存在极小值点，则a 的取值范围为（）A.51,4⎛⎫⎪⎝⎭B.51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据()f x '的零点、()f x 的极值点的情况列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】()32113f x x ax x =-++，()221f x x ax '=-+，()221f x x ax '=-+的开口向上，对称轴为x a =，与y 轴的交点为()0,1，当0a ≤时，在区间()0,∞+上，()0f x ¢>，()f x 单调递增，没有极值点，所以0a >，要使()f x 在区间()0,2上存在极小值点，则()2210f x x ax '=-+=在()0,2有两个不等的正根，则需()20Δ440022540a a a f a '>⎧⎪=->⎪⎨<<⎪⎪=->⎩，解得514a <<，所以a 的取值范围是51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】求解函数极值点的步骤：（1）确定()f x 的定义域；（2）计算导数()f x '；（3）求出()0f x '=的根；（4）用()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内()f x '的符号，进而确定()f x 的单调区间；（5）根据单调区间求得()f x 的极值点.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h ），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中a 的值为0.015B.样本的第25百分位数约为217C.样本平均数约为198.4D.在被调查的用户中，用电量落在[)170,230内的户数为108【答案】AC【解析】【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可.【详解】对A ，20(0.0060.0070.010.012)1a ++++=，所以0.015a =，故A 正确；对B 设样本的第25百分位数约为b ，，则200.0070.140.25⨯=<20(0.0070.012)0.380.25+=>，所以[]170,190b ∈，故B 错误；对C ，样本平均数为：20(1600.0071800.0122000.0152200.012400.006)198.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；对D ，用电量落在[)170,230内的户数为：20(0.0120.0150.01)200148++⨯=，故D 错误.故选：AC10.已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A.若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B.若EE 的实轴长为1C.若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D.当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A 选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,b a b a===，故A 正确；B 选项，若E 的离心率为c e a ==，解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=︒，则122221224PF PF a PF PF c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=-==⋅=，故C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +-=+=+，所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥，当且仅当84a a=，即a =所以1F PQ周长的最小值为D 正确.故选：ACD11.已知点3π,18P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()()πsin 04f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心，则（）A.3π18f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是奇函数B.2833k ω=-+，*k ∈N C.若()f x 在区间3π11π,88⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有2条对称轴，则2ω=D.若()f x 在区间π2π,55⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则2ω=或143ω=【答案】BC【解析】【分析】根据()f x 的对称中心求得,b ω，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.【详解】依题意，点3π,18P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()()πsin 04f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心，所以1b =，且*3ππ3ππ28sin 0,π,,848433k k k ωωω⎛⎫+=+==-+ ⎪⎝⎭∈N ①，B 选项正确.则()*28πsin 1,334k f x k x ⎡⎤⎛⎫=-+++ ⎪⎢⎥⎭⎣⎦∈⎝N ，所以3π283ππ1sin 83384f x k x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()28πsin 12332k x k ⎡⎤⎛⎫=-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于12k -是奇数，所以()3π28π1sin 128332f x k x k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是偶函数，A 选项错误.C 选项，3π11π3πππ11ππ,8884484x x ωωω<<+<+<+，将*28,33k k ω-+∈=N 代入得：3π28π28π11π28π83343348334k k x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++<-++<-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得28π8π2πππ33433k k k x k ⎛⎫<-++<+- ⎪⎝⎭，由于()f x 在区间3π11π,88⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有2条对称轴，所以3π8π2π5π2332k <-≤，解得13191616k <≤，由于*k ∈N ，所以1k =，对应28233ω=-+=，所以C 选项正确.D 选项，()f x 在区间π2π,55⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，π2ππ2ππππ2ππ,,555554454x x x ωωωωωω<<<<+<+<+，将*28,33k k ω-+∈=N 代入得：π28π28π2π28π53343345334k k x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++<-++<-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得8π7π28π16ππ156********k k x k ⎛⎫+<-++<- ⎪⎝⎭，则16ππ8π7ππ15601560k k ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭，解得1718k ≤≤，而*k ∈N ，所以1k =或2k =，1k =时，8π7π16ππ37π21π,,156015606020k k ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合单调性，2k =时，8π7π16ππ71π127π,,156015606060k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合单调性，所以2k =舍去所以281233ω=-+⨯=，所以D 选项错误.故选：BC12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30︒，则（）A.1DB ⊥平面PMNB.平面PMN 截正方体所得的截面面积为C.点Q 的轨迹长度为πD.能放入由平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，求出平面PMN 的法向量，得到线面垂直；B 选项，作出辅助线，找到平面PMN 截正方体所得的截面，求出面积；C 选项，作出辅助线，得到点Q 的轨迹，并求出轨迹长度；D 选项，由对称性得到平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在1B D 上，设球心为(),,R t t t ，由RS t = 得到方程，求出半径的最大值.【详解】A 选项，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()11,2,0,0,1,2,2,0,1,0,0,0,2,2,2P M N D B ，故()()()12,2,2,1,1,2,1,2,1DB PM PN ==--=- .设平面PMN 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()(),,1,1,220,,1,2,120m PM x y z x y z m PN x y z x y z ⎧⋅=⋅--=--+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令1z =得，1x y ==，故()1,1,1m = ，因为12DB m = ，故1DB ⊥平面PMN ，A正确；B 选项，取111,,A D AB CC 的中点,,E F Q ，连接11,,,,,,,,MQ ME EN NF FP PQ EP A B CD ，因为M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，所以11//,//N MQ F A B CD ，又11////EP A B CD ，所以////NF MQ EP ，所以平面PMN 截正方体所得的截面为正六边形FPQMEN ，，故面积为2364⨯⨯=，B 正确；C 选项，Q 为平面PMN 上的动点，直线1QB 与直线1DB 的夹角为30︒，又1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S 为圆心，133r B S =为半径作圆，即为点Q 的轨迹，其中114443B D B D ==++= 11132B S B D ==，故半径3313r ==，故点Q 的轨迹长度为2π，C 错误；D 选项，因为M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，所以平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，不妨求能放入含有顶点D 的空间几何体的球的半径最大值，该球与平面PMN 切与点S ，与平面11ADD A ，平面ADCB ，平面11DCC D 相切，由对称性可知，球心在1B D 上，设球心为(),,R t t t ，则半径为t ，()1,1,1S ，故RS t = )1t t -=，解得32t -=，D 正确.故选：ABD【点睛】立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，MF x ⊥轴，若OFM △（O 为坐标原点）的面积为2，则p =______.【答案】【解析】【分析】根据所给条件，可得(,0)2p F ，再令2p x =得y p =，带入面积公式24OFM p S = ，计算即可得解.【详解】由(,0)2p F ，令2p x =得y p =，所以212224OFM p p S y =⋅⋅== ，所以28p =，p =.故答案为：14.()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为______（用数字作答）.【答案】120【解析】【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】由于()22522x y x y x =⋅⋅，所以()522x x y +-的展开式中含52x y 的项为()()222211252532C 2C C 120x x y x y ⨯⨯-=，所以()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为120.故答案为：12015.已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在同一球面上，PC ⊥平面ABC ，PC BC ==，AB =，且PA 与平面ABC 所成角的正弦值为6，则该球的表面积为______.【答案】36π【解析】【分析】求出三角形ABC 外接圆圆心1O ，过1O 作1OO ⊥平面ABC ，且1122OO PC ==，则O 为三棱锥-P ABC 的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.【详解】如图根据题意，PC ⊥平面ABC ，所以PAC ∠即为PA 与平面ABC 所成角，则sin 6PAC ∠=，又因为PC BC ==，AB =，所以sin 66PC PAC AP AP∠==⇒=，则AC ==,又22230AC AB BC AB BC ==+⇒⊥，即三角形ABC 为直角三角形，取AC 中点1O ，则1O 为三角形ABC 外接圆圆心，取AP 中点O ，则1OO PC ，且122PC OO ==，所以OP OC OA OB ===，即O 为三棱锥-P ABC 的外接球球心，其半径22222211630922R OA O O O A ⎛⎫⎛==+=+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为24π36πR =.故答案为：36π16.已知函数()()()222e 22e 0x x f x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a ______.【答案】2e 2【解析】【分析】利用导数，求出()f x 的单调区间，由函数()f x 恰有两个零点即函数()f x 与x 轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得.【详解】因为()()()222e 22e 0x x f x a x a x a =--->，所以()()222e 2e 2e 2x x x f x a x a x '⎡⎤=-+--⎣⎦()()2e e x x ax a =-+令e x y ax =-，则e x y a '=-，令0'>y ，故当ln x a >时0'>y ，函数e x y ax =-为增函数，当ln x a <时0'<y ，函数e x y ax =-为减函数，即当ln x a =时函数e x y ax =-有最小值()1ln a a -，若()1ln 0a a -≥，即0e a <≤时()0f x '≥，此时函数()f x 在R 上为增函数，与题意不符；若()1ln 0a a -<，即e a >时，此时函数()e ,0xy ax a =->与x 轴有两个不同交点，设交点为()()12,0,,0x x ，且120x x <<，即1212e e x x ax ax ⎧=⎨=⎩，所以当1x x <或2x x >时0y >，即()0f x ¢>，此时函数()f x 为增函数，当12x x x <<时0y <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数，依题意，函数()f x 恰有两个零点即函数()f x 与x 轴有两个不同的交点，即()10f x =或()20f x =，所以()1122211e 022e x x a x a x --=-或()2222222e 022e x x a x a x --=-，化简得12x =或22x =，所以121e e 2x a x ==，故答案为：2e 2.【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：设()()()F x f x g x =-方法一：转化为函数()F x 与x 轴交点个数问题，通过求解()F x 单调性构造不等式求解；方法二：转化为函数()(),y f x y g x ==的交点个数问题求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，//CD AB ，90ABC ∠=︒，224AB BC CD ===，三棱锥B PAD -的体积为3.（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）若PA PD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，点N 在线段AP 上，2AN NP =，求平面NCD 与平面ABCD 夹角的余弦值.【答案】（1（2）3【解析】【分析】（1）根据等体积法求得点P 到平面ABCD 的距离；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面NCD 与平面ABCD 夹角的余弦值.【小问1详解】设点P 到平面ABCD 的距离为h ，则133B PAD P ABD ABD V V h S --==⋅=△，由题可知142ABD S AB BC =⋅= ，所以34P ABD ABD V h S -=== 所以点P 到平面ABCD.【小问2详解】取AD 的中点M ，连接PM ，因为,PA PD PM AD =⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，PM ⊂平面PAD ，PM AD ⊥，所以PM ⊥平面ABCD ，由（1）知PM =.由题意可得BD AD ===，所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥.以D 点为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，过点D 作PM 的平行线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()(),,A PC，依题意()(22222,,,0,333DC AP AN AP ⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,0,33DN DA AN ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面NCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110033n DC n DN x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设()11,1,2n =- ，平面ABCD 的一个法向量为()20,0,1n =，设平面NCD 与平面ABCD 的夹角为θ，则121212cos cos ,3n n n n n n θ⋅===⋅，所以平面NCD与平面ABCD 夹角的余弦值为3.19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)2,3【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.已知函数()()()2ln 1f x x x ax =++-.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当10x -<<时，()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）20x y -=；（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）利用2()ln(1)1x f x x x +=+++'，求出切线的斜率，然后求解所以曲线()y f x =在(0,0)处的切线方程．（2）由2()ln(1)1x f x x a x +=++'+-，令()()((1,0)g x f x x ∈'=-，则2211()01(1)(1)x g x x x x =-=<+++'，故()f x '在(1,0)-上为减函数，讨论2a ≤和2a >时函数的单调性，即可得解.【小问1详解】因为0a =，所以()(2)ln(1)f x x x =++，(0)(02)ln10f =+⨯=，由切点为(0,0)，2()ln(1)1x f x x x +=+++'，所以02(0)ln(01)201f '+=++=+，所以曲线()y f x =在(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即20x y -=．【小问2详解】由2()ln(1)1x f x x a x +=++'+-，令()()((1,0))g x f x x -'=∈则2211()01(1)(1)x g x x x x =-=<+++'，故()f x '在(1,0)x ∈-上为减函数．又(0)2f a '=-，①当2a ≤时，()(0)0f x f '>≥'，故()f x 在(1,0)-上为增函数，所以()(0)0f x f <=恒成立，故2a ≤符合题意；②当2a >时，由于(0)20f a =-<'，由1e 10a --<-<且当2a >时()e11e e 210aa a f a a a --=-++-=-+>，根据零点存在定理，必存在(1,0)t ∈-，使得()0f t '=，由于()f x '在(1,0)-上为减函数，故当(1,)x t ∈-时，()0f x '>，,()0x t ∈时()0f x '<，故()f x 在(1,)x t ∈-上为增函数，()f x 在,()0x t ∈上为减函数所以当,()0x t ∈时，()(0)0f x f >=，故()0f x <在(1,0)-上不恒成立，所以2a >不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(],2-∞．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，同时考查恒成立问题，是难题．本题的关键有：（1）二次求导，利用二次求导得出导函数的单调性；（2）分类讨论，找到讨论点是关键，本题讨论点为2a ≤和2a >.21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X 表示甲购买的次数，求X 的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？【答案】（1）分布列详见解析（2）买2个【解析】【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式、排列组合数的计算公式求得X 的分布列.（2）根据甲一次性购买的吉祥物盲盒的个数进行分类讨论，通过计算各种情况下的总费用来求得正确答案.【小问1详解】由题意可知X 所有可能取值为2,3,4，()()()213323233A C A 31422,3,4333939P X P X P X =========,所以X 的分布列如下：X234P134929【小问2详解】设甲一次性购买x 个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为Z .依题意，x 可取0,1,2,3.方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用133090Z =⨯=元.方案2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用21923079Z =+⨯=元.方案3：购买2个盲盒时，当2个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物，总费用32193068Z =⨯+=，()2332A 26833P Z ===，当2个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外2款吉祥物，总费用()133311121923098,98C 333Z P Z =⨯+⨯===⨯⨯=，所以()32168987833E Z =⨯+⨯=元.方案4：购买3个盲盒时，当3个盲盒打开后款式各不相同，则总费用431957Z =⨯=，()334312A 39P Z ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当3个盲盒打开后恰有2款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，则总费用()2114432311123193087,87C C C 3333Z P Z =⨯+===⨯⨯⨯=，当3个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用()314431131960117,117C 39Z P Z ⎛⎫=⨯+===⨯=⎪⎝⎭，所以()422125157871179393E Z =⨯+⨯+⨯=元.对比4个方案可知，第3个方案总费用的期望值最小，故应该一次性购买2个吉祥物盲盒.22.在平面直角坐标系xOy 中，点()F ，点(),P x y 是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆22:4O x y +=内切，记点P 的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）设点()0,1A ，(),0M t ，()()4,02N t t -≠，直线AM ，AN 分别与曲线E 交于点S ，T （S ，T 异于A ），AH ST ⊥，垂足为H ，求OH 的最小值．【答案】（1）2214x y +=（21-【解析】【分析】（1）根据题意设出(),P x y ，根据以PF 为直径的圆与圆22:4O x y +=内切列出方程，化简即可得到P 的轨迹为曲线E 的方程.（2）先证直线ST 恒过定点()2,1Q ，然后求出点H 轨迹，进而求出OH 的最小值.【小问1详解】设(),P x y ，则PF的中点,22x y G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，根据题意得122OG PF =-，即2=-，4=-化简得点P 的轨迹方程22:14x E y +=【小问2详解】设()()1122,,,S x y T x y ，先证直线ST 恒过定点，理由如下：由对称性可知直线ST 的斜率不为0，所以可设直线:ST x my n =+，联立直线ST 与22:14x E y +=，()22222142404x y m y mny n x my n⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩,则22040m n ∆>⇒+->，①212122224,44mn n y y y y m m --+==++，②所以()11:11x AS x y y =--，令0y =，得点M 横坐标111xt y -=-，同理可得点N 横坐标2241x t y --=-，故1212411x x y y --+=--，将1122,x my n x my n =+=+代入上式整理得：()()()1212244420m y y n m y y n ++--++-=，将②代入得()()22222020m mn n m n m n m n ++--=⇒++-=，若0m n +=，则直线():1ST x m y =-，恒过()0,1A 不合题意；若20m n +-=，则():12ST x m y =-+，恒过()2,1Q ，因为直线ST 恒过()2,1Q ，且与22:14x E y +=始终有两个交点，又()0,1A ，AH ST ⊥，垂足为H ，所以点H 轨迹是以AQ 为直径的半圆（不含点,A Q ，在直线AQ 下方部分），设AQ 中点为C ，则圆心()1,1C ，半径为1，所以11OH OC ≥-=，当且仅当点H 在线段OC 上时，所以OH 1-.【点睛】方法点睛：根据圆锥曲线中直线间的几何关系求动点的轨迹方程，注意转化思想的应用；。
广东省三校(广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学)2021届高三数学上学期第一次联考试题 理
广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2021届高三数学上学期第一次联考试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合A ＝{x ｜lg(2)y x =-}，B ＝{2|30x x x -≤}，则A ∩B ＝.A. {x ｜0＜x ＜2}B. {x ｜0≤x ＜2}C. {x ｜2＜x ＜3}D. {x ｜2＜x ≤3} 2．若复数z 的共轭复数满足()112i Z i -=-+,则||Z =.A.2 B.32C.10D.123．下列有关命题的说法错误的是.A. 若“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若αβ、是两个不同平面，m α⊥,m β⊂，则 αβ⊥；C. “1sin =2x ”的必要不充分条件是“=6x π”；D. 若命题p ：200,0x R x ∃∈≥，则命题：2:,0P x R x ⌝∀∈<；4．已知某离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P827 49m127则X 的数学期望()E X =.A ．23B ．1C ．32D ．25．已知向量a 、b 均为非零向量，则a 、b 的夹角为.A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6．若1cos =86πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为. A. 1718B. 1718-C. 1819D. 1819-7．若直线()m n +2=0m>0n>0x y +、截得圆()()2231=1x y +++的弦长为2，则13m n+的最小值为. A. 4B. 12C. 16D. 68．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=. A ．5B ．6C ．7D ．89．已知定义在R 上的偶函数()()3sin()cos()(0,),0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02f x f x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为. A.13 C.12D.3210．在如图直二面角ABDC 中，△ABD 、△CBD 均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将△ABE 沿BE 翻折到△A 1BE ，在△ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是.A ．BC 与平面A 1BE 内某直线平行B ．CD ∥平面A 1BEC ．BC 与平面A 1BE 内某直线垂直D ．BC ⊥A 1B11．定义12nnp p p ++⋅⋅⋅+为n 个正数12n p p p ⋅⋅⋅、、、的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a的前n 项的“均倒数”为121n +，又1=4n n a b +，则12231011111=b b b b b b ++⋅⋅⋅+. A.111 B. 112 C. 1011 D. 1112 12．已知函数()2x mf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是. A. (0,)e B. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13．设,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ；14．若3()nx x-的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为 ；15．已知点P 在双曲线()2222=10x y a b a b->>0,上，PF x ⊥轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为 ；16．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ABC ⊥平面，==2AB AC ， ∠BAC =120。
广东省2021年中考数学试题(含解析)
2021年广东省初中学业水平考试数 学说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为90分钟．2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑．3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．9的相反数是A ．﹣9B ．9C ．91D ．﹣912．一组数据2、4、3、5、2的中位数是A ．5B ．3．5C ．3D ．2．5 3．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x 轴对称的点的坐标为A ．（﹣3 ，2）B ．（﹣2 ，3）C ．（2 ，﹣3）D ．（3 ，﹣2） 4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为A ．4B ．5C ．6D ．7 5．若式子4-x 2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是A ．x≠2B ．x≥2C ．x≤2D ．x≠﹣2 6．已知△ABC 的周长为16，点D 、E 、F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF的周长为A ．8B ．22C ．16D ．4 7．把函数y=（x ﹣1）2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为A ．y=x 2+2B ．y=（x ﹣1）2+1C ．y=（x ﹣2）2+2D ．y=（x ﹣1）2+38．不等式组()⎩⎨⎧+≥≥2x 2-1-x 1-x 3-2的解集为A ．无解B ．x≤1C ．x≥﹣1D ．﹣1≤x≤1 9．如题9图，在正方形ABCD 中，AB=3，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为A ．1B ．2C ．3D ．210．如题10图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0．其中正确的结论有A．4个B．3个C．2个D．1二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共27分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11．分解因式：xy ﹣x=____________．12．如果单项式3x m y 与﹣5x 3y n 是同类项，那么m+n=________． 13．若2-a +|b+1|=0，则（a+b ）2021=_________．14．已知x=5﹣y ，xy=2，计算3x+3y ﹣4xy 的值为___________． 15．如题15图，在菱形ABCD 中，∠A=30°，取大于21AB 的长为半径，分别以点A 、B 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连接BE 、BD ，则∠EBD 的度数为___________．16．如题16图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m ．17．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC=90°，点M 、N 分别在射线BA 、BC 上，MN 长度始终不变，MN=4，E 为MN 的中点，点D 到BA 、BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为_________________．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．先化简，再求值：(x+y)2+(x+y)(x﹣y) ﹣2x2，其中x=2,y=3．19．某中学展开主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：（1）求x的值；（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？20．如题20图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，BD=CE ，∠ABE=∠ACD ，BE 与CD 相交于点F ．求证：△ABC 是等腰三角形．四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）21．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+4y x 310-y 32ax 与⎩⎨⎧=+=15by x 2y -x 的解相同．（1）求a 、b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x 的方程x 2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．22．如题22图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB=90°，AB 是⊙O 的直径，CO 平分∠BCD ． （1）求证：直线CD 与⊙O 相切；（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E ，P 为优弧AE ⌒上一点，AD=1，BC=2，求tan ∠APE 的值．23．某社区拟建A 、B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米，建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的53． （1）求每个A 、B 类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A 、B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）24．如题24图，点B 是反比例函数y=x8（x ＞0）图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A 、C ．反比例函数y=xk （x ＞0）的图象经过OB 的中点M ，与AB 、BC 分别交于点D 、E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF 、BG ．（1）填空：k=________；（2）求△BDF 的面积；（3）求证：四边形BDFG 为平行四边形．25．如题25图，抛物线y=c bx x 6332+++与x 轴交于点A 、B ，点A 、B 分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ，BC=3CD ．（1）求b 、c 的值；（2）求直线BD 的直线解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出．．．．所有满足条件的点Q 的坐标．2021年广东省初中学业水平考试数 学说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为90分钟．2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑．3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1．9的相反数是A ．﹣9B ．9C ．91D ．﹣91 【答案】A【解析】正数的相反数是负数．【考点】相反数2．一组数据2、4、3、5、2的中位数是A．5 B．3．5 C．3 D．2．5 【答案】C【解析】按顺序排列，中间的数或者中间两个数的平均数．【考点】中位数3．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为A．（﹣3 ，2）B．（﹣2 ，3）C．（2 ，﹣3）D．（3 ，﹣2）【答案】D【解析】关于x轴对称:横坐标不变，纵坐标互为相反数．【考点】对称性4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】（n-2）×180°=540°，解得n=5．【考点】n边形的内角和5．若式子4-x2在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x≠2B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2 【答案】B【解析】偶数次方根的被开方数是非负数．【考点】二次根式6．已知△ABC的周长为16，点D、E、F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF 的周长为2C．16 D．4 A．8 B．2【答案】A【解析】三角形的中位线等于第三边的一半．【考点】三角形中位线的性质．7．把函数y=（x﹣1）2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为A．y=x2+2 B．y=（x﹣1）2+1C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣1）2+3【答案】C【解析】左加右减，向右x变为x-1，y=（x﹣1﹣1）2+2y=（x﹣2）2+2 ．【考点】函数的平移问题．8．不等式组()⎩⎨⎧+≥≥2x 2-1-x 1-x 3-2的解集为A ．无解B ．x≤1C ．x≥﹣1D ．﹣1≤x≤1【答案】D【解析】解不等式．【考点】不等式组的解集表示．9．如题9图，在正方形ABCD 中，AB=3，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】D【解析】解法一：排除法过点F 作FG ∥BC 交BE 与点G ，可得∠EFG=30°，∵FG=3，由三角函数可得EG=3，∴BE ＞3．解法二：角平分线的性质延长EF 、BC 、B ’C ’交于点O ，可知∠EOB=∠EOB ’=30°，可得∠BEO=∠B ’EO=60°， ∴∠AEB ’=60°．设BE=B ’E=2x ，由三角函数可得AE=x ，由AE+BE=3，可得x=1，∴BE=2．【考点】特殊平行四边形的折叠问题、辅助线的作法、三角函数．10．如题10图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0．其中正确的结论有A．4个B．3个C．2个D．1【答案】B【解析】由a＜0，b＞0，c＞0可得①错误；由△＞0可得②正确；由x=-2时，y ＜0可得③正确．当x=1时，a+b+c＞0，当x=-2时，4a-2b+c＞0即-4a+2b-c ＞0，两式相减得5a-b+2c＞0，即5a+2c＞b，∵b＞0，∴5a+b+2c＞0可得④正确．【考点】二次函数的图象性质．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共27分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11．分解因式：xy﹣x=____________．【答案】x（y-1）【解析】提公因式【考点】因式分解12．如果单项式3x m y与﹣5x3y n是同类项，那么m+n=________．【答案】4【解析】m=3，n=1【考点】同类项的概念13．若2-a +|b+1|=0，则（a+b ）2021=_________．【答案】1【解析】算术平方根、绝对值都是非负数，∴a=2，b=-1，-1的偶数次幂为正【考点】非负数、幂的运算14．已知x=5﹣y ，xy=2，计算3x+3y ﹣4xy 的值为___________．【答案】7【解析】x+y=5，原式=3（x+y ）-4xy ，15-8=7【考点】代数式运算15．如题15图，在菱形ABCD 中，∠A=30°，取大于21AB 的长为半径，分别以点A 、B 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连接BE 、BD ，则∠EBD 的度数为___________．【答案】45°【解析】菱形的对角线平分对角，∠ABC=150°，∠ABD=75°【考点】垂直平分线的性质、菱形的性质16．如题16图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m ．【答案】31【解析】连接BO 、AO 可得△ABO 为等边，可知AB=1，l=32π，2πr=32π得r=31 【考点】弧长公式、圆锥17．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC=90°，点M 、N 分别在射线BA 、BC 上，MN 长度始终不变，MN=4，E 为MN 的中点，点D 到BA 、BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为_________________．【答案】2-52【解析】 点B 到点E 的距离不变，点E 在以B 为圆心的圆上，线段BD 与圆的交点即为所求最短距离的E 点，BD=52，BE=2【考点】直角三角形的性质、数学建模思想、最短距离问题三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．先化简，再求值：(x+y)2+(x+y)(x﹣y) ﹣2x2，其中x=2,y=3．【答案】解：原式=x2+2xy+y2+x2-y2-2x2=2xy把x=2,y=3代入，原式=2×2×3=26【解析】完全平方公式、平方差公式，合并同类项【考点】整式乘除，二次根式19．某中学展开主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：（1）求x的值；（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？【答案】 解：（1）由题意得24+72+18+x=120，解得x=6 （2）1800×1207224 =1440（人） 答：估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人． 【解析】统计表的分析 【考点】概率统计20．如题20图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，BD=CE ，∠ABE=∠ACD ，BE 与CD 相交于点F ．求证：△ABC 是等腰三角形． 【答案】 证明：∵BD=CE ，∠ABE=∠ACD ，∠DFB=∠CFE ∴△BFDF ≌△CFE （AAS ） ∴∠DBF=∠ECF∵∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC∴△ABC 是等腰三角形【解析】等式的性质、等角对等边【考点】全等三角形的判定方法、等腰三角形的判定方法四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）21．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+4y x 310-y 32ax 与⎩⎨⎧=+=15by x 2y -x 的解相同．（1）求a 、b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x 的方程x 2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】 解：（1）由题意得⎩⎨⎧==+2y -x 4y x ，解得⎩⎨⎧==1y 3x由⎩⎨⎧=+=+15b 3310-32a 3，解得⎩⎨⎧==12b 34-a （2）该三角形的形状是等腰直角三角形，理由如下： 由（1）得x 2﹣43x+12=0 （x-32）2=0 x 1=x 2=32 ∴该三角形的形状是等腰三角形 ∵（26）2=24，（32）2=12 ∴（26）2=（32）2+（32）2 ∴该三角形的形状是等腰直角三角形【解析】理解方程组同解的概念，一元二次方程的解法、三角形形状的判断 【考点】二元一次方程组、一元二次方程、勾股定理逆定理22．如题22图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB=90°，AB 是⊙O 的直径，CO 平分∠BCD ．（1）求证：直线CD 与⊙O 相切；（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E ，P 为优弧AE ⌒上一点，AD=1，BC=2，求tan ∠APE 的值．【答案】（1）证明：过点O 作OE ⊥CD 交于点E ∵AD ∥BC ，∠DAB=90° ∴∠OBC=90°即OB ⊥BC∵OE ⊥CD ，OB ⊥BC ，CO 平分∠BCD ∴OB=OE∵AB 是⊙O 的直径 ∴OE 是⊙O 的半径 ∴直线CD 与⊙O 相切E（2）连接OD 、OE∵由（1）得，直线CD 、AD 、BC 与⊙O 相切 ∴由切线长定理可得AD=DE=1，BC=CE=3， ∠ADO=∠EDO ，∠BCO=∠ECO ∴∠AOD=∠EOD ，CD=3 ∵AE ⌒=AE ⌒∴∠APE=21∠AOE=∠AOD∵AD ∥BC∴∠ADE+∠BCE=180°∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90° ∵OE ⊥DC ，∠ODE=∠CDO ∴△ODE ∽△CDO ∴CD OD OD DE =即3ODOD 1=∴OD=3∵在Rt △AOD 中，AO=2∴tan ∠AOD=AO AD=22 ∴tan ∠APE=22 【解析】无切点作垂直证半径，切线长定理，直角三角形的判定，相似三角形的运用、辅助线的作法【考点】切线的判定、切线长定理、圆周角定理、相似三角形、三角函数 23．某社区拟建A 、B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米，建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的53．（1）求每个A 、B 类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A 、B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用． 【答案】解：（1）设每个B 类摊位占地面积为x 平方米，则每个A 类摊位占地面积为（x+2）平方米.53x 602x 60•=+ 解得x=3经检验x=3是原方程的解 ∴x+2=5（平方米）答：每个A 、B 类摊位占地面积各为5平方米和3平方米.（2）设A 类摊位数量为a 个，则B 类摊位数量为（90-a ）个，最大费用为y 元. 由90-a≥3a ，解得a≤22.5 ∵a 为正整数 ∴a 的最大值为22y=40a+30（90-a ）=10a+2700∵10＞0∴y 随a 的增大而增大∴当a=22时，y=10×22+2700=2920（元） 答：这90个摊位的最大费用为2920元.【解析】分式方程的应用题注意检验，等量关系的确定是关键 【考点】分式方程的应用，不等式的应用，一次函数应用五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分） 24．如题24图，点B 是反比例函数y=x8（x ＞0）图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A 、C ．反比例函数y=xk（x ＞0）的图象经过OB 的中点M ，与AB 、BC 分别交于点D 、E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点O 关于点C 对称，连接BF 、BG ． （1）填空：k=_2_______； （2）求△BDF 的面积；（3）求证：四边形BDFG 为平行四边形．【答案】（2）解：过点D 作DP ⊥x 轴交于点P由题意得，S 矩形OBC=AB •AO=k=8，S 矩形ADPO=AD •AO=k=2 ∴AB AD =41即BD=43AB ∵S △BDF=21BD •AO=83AB •AO=3 （3）连接OE 由题意得S △OEC=21OC •CE=1，S △OBC=21OC •CB=4 ∴41CB CE =即CE=31BE ∵∠DEB=∠CEF ，∠DBE=∠FCE ∴△DEB ∽△FEC∴CF=31BD∵OC=GC ，AB=OC ∴FG=AB-CF=34BD-31BD=BD ∵AB ∥OG ∴BD ∥FG∴四边形BDFG 为平行四边形【解析】反比例函数k 的几何意义，三角形面积的表示，清楚相似比与线段比的关 【考点】反比例函数、相似三角形、三角形的面积比、平行四边形的判定25．如题25图，抛物线y=c bx x 6332+++与x 轴交于点A 、B ，点A 、B 分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ，BC=3CD ． （1）求b 、c 的值；（2）求直线BD 的直线解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出．．．．所有满足条件的点Q 的坐标．【答案】解：（1）由题意得A （-1,0），B （3,0），代入抛物线解析式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⨯+=++0c b 396330c b -633，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==23-23-c 33-1-b （2）过点D 作DE ⊥x 轴交于点E∵OC ∥OC ，BC=3CD ，OB=3 ∴3DCBC OE OB == ∴OE=3∴点D 的横坐标为x D =-3∵点D 是射线BC 与抛物线的交点∴把x D =-3代入抛物线解析式得y D =3+1∴D(-3,3+1)设直线BD 解析式为y=kx+m ，将B （3，0）、D(-3,3+1)代入⎩⎨⎧+=++=m k 3-13m k 30，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3m 33-k ∴直线BD 的直线解析式为y=3x 33-+ （3）由题意得tan ∠ABD=33，tan ∠ADB=1 由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x 轴交点为M ，P （1，n ）且n ＜0，Q （x ，0）且x ＜3①当△PBQ ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ABD 即2n -=33，解得-n=332 tan ∠PQB=tan ∠ADB ，即x-1n -=1，解得x=332-1②当△PQB ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ADB 即2n -=1，解得-n=2 tan ∠QPB=tan ∠ABD ，即x -1n -=33，解得x=32-1 ③当△PQB ∽△DAB 时，tan ∠PBQ=tan ∠ABD 即2n -=33，解得-n=332 tan ∠PQM=tan ∠DAE ，即1-x n -=31-13++，解得x=1-334 ④当△PQB ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ABD 即2n -=1，解得-n=2 tan ∠PQM=tan ∠DAE ，即1-x n -=31-13++，解得x=32-5 综上所述，Q 1（332-1，0）、Q 2（32-1，0）、Q 3（1-334，0）、Q 4（32-5，0） 【解析】分类讨论不重不漏，计算能力要求高【考点】一次函数、二次函数、平面直角坐标系、相似三角形、三角函数、分类讨论、二次根式计算。
2021-2022年高三上学期期末考试数学(文)试题 含答案(III)
2021-2022年高三上学期期末考试数学（文）试题 含答案(III)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分 注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
一、选择题1．已知（1+i ）•z=﹣i ，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、A a x a x xA ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（ ）A B [-1,1] C D (-1,1]3、抛物线的准线方程是 ( )A B C D4、若,使得-成立是假命题，则实数的取值范围是( )A B C D {3}5．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．16．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an ，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．268．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A． B． C． D．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A B C D10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]11 ．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）第Ⅱ卷二、填空题.（20分）13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___14．已知直线L 经过点P （﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L 的方程是 ．15．若直线ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x ＜2）的对称中心，则+的最小值为 ．16．定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足，则称函数y=f （x ）是[a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y=x 2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f （x ）=x 3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b •c 的最大值及θ的取值范围； （Ⅱ）求函数的最值．18．（12分）如图，在Rt △AOB 中，，斜边AB=4，D 是AB 中点，现将Rt △AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值；19.（12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；的取值范围；（2）求点M的纵坐标yM（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
广东省佛山市石门中学2021届高三下学期5月高考模拟数学试题含答案
2021届高三高考模拟数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.【黄志平】已知U =R ,函数()ln 1y x =-的定义域为M ,集合{}220N x x x =->,则=)(N C M U （ ）A. (],0-∞ B. ()0,1 C. [)1,2 D. [)2,+∞2.设()()1i i 2x y +-=，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x y +=A ．1BCD ．23.【刘振龙】在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为（ ）A.18 B.14 C.12 D.384.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.【付强】如图，圆柱1OO 的轴截面11ABB A 是正方形，,D E 分别是1AA 和1BB 的中点，C 是弧AB 的中点，则经过C D E 、、的平面与圆柱1OO 侧面相交所得到的的曲线的离心率是（ ）C. 2D. 6. 【黄志平】已知,a b 是单位向量，且()1,1a b +=-，若向量c a b =-，则a 与c 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π37.【马安华】 (x 2+2a x- a)5的展开式中各项的系数和为1024,则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、48.【罗建中】已知两点()()1,3,2,3,M N --在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的曲线方程是（ ）A ．2410x y +-= B. 22125x y +=C. 2212y x += D. 2212y x -= 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分。
广东省2021届高三上学期调研考试物理试题及答案
广东省2021届高三年级上学期调研考试物理一、选择题：本题共10小题，共46分．在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，每小题4分．第8～10题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．1．许多科学家对物理学的发展作出了巨大贡献，以下关于物理学史和物理学家所用物理学方法的叙述不正确的是A ．根据速度定义式t x v ∆∆=，当t ∆非常非常小时，tx ∆∆就可以表示物体在t 时刻的瞬时速度，该定义应用了极限思想方法B ．伽利略猜想自由落体的运动速度与下落时间成正比，并直接用实验进行了验证C ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律D ．牛顿用控制变量法通过大量的实验得出牛顿第二定律2．如图所示，质量为0.2kg 带有遮光条的滑块在气垫导轨上，从光电门的左侧向右运动，撞到右侧挡板经0.2s 后弹回，测量显示滑块两次经过光电门时遮光条的遮光时间分别是0.002s 和0.003s ，已知遮光条宽度为1.2cm ，取向右为正方向，则滑块受到挡板的平均作用力大小是A ．4NB ．6NC ．10ND ．20N3．如图所示，用a 、b 、c 三种色光照射光电管阴极K 进行光电效应的实验，ac 为红光且a 光较强，b 为蓝光光强介于a 光和c 光之间，某次实验先用c 光入射时，有光电流产生．下列说法错误的是A ．当换用a 光入射时，入射光的光强变大，饱和光电流变大B ．当换用b 光入射时，光电子的最大初动能变大，饱和光电流变大C ．若保持光的光强不变，不断减小入射光的频率，则始终有光电流产生D ．遏止电压的大小与入射光的频率有关，与入射光的光强无关4．2019年6月9日，中国组合郑赛赛／段莹莹历史性闯入法国网球公开赛女双决赛，获得亚军．如图所示为某次比赛郑赛赛在发球，如果将网球视为质点，发球后网球以初速度v 0从t=0时刻开始做平抛运动，经过时间t ，网球的速度大小为v ，下落的高度为h ，加速度大小为a ，忽略空气阻力，则下列图像可能正确的是5．体操吊环体现力量之美，如图所示中国运动员表现精美绝伦，赢得全场欢呼，此后，中国运动员双手缓慢向外分开过程中，下列说法正确的是A．运动员受到的合力变大B．运动员对吊绳的拉力变大C．运动员所受重力和双臂的合力是一对作用力和反作用力D．运动员所受重力是手臂拉力的分力6．2020年6月23日9时43分，我国在四川宜昌成功发射北斗三号收官之星，经过近8天的飞行，北斗卫星导航系统最后一颗组网卫星已于6月30日下午14时15分成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．至此北斗三号30棵卫星成功组网．下面关于该卫星的说法错误的是A．该卫星运行时线速度一定小于地球第一宇宙速度B．该卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度C．我国发射第一颗人造地球卫星的周期是114min，比该卫星的周期短，所以第一颗人造卫星离地面的高度比该卫星高D．各国发射这种卫星所受万有引力可能不一样大7．如图所示变压器为理想变压器，原线圈接人稳压交流电源，其原副线圈的匝数比为4：1．则当滑动变阻器滑片P向b端移动时A．电流表A1的示数变小B．电流表A2的示数变大C．电压表V3的示数变大D．电压表V1和V2的示数比始终为4：18．局部空间静电场某平面的电场线分布如图所示，a、b、c、d为电场中的四个点，将一电荷量为-q的点电荷Q从无穷远处（电势为0）移到c点，此过程中，电场力做功为-W，受力为F c，再将Q从c点移到d点，受力为F d，则下列说法正确的是A．以点的电场强度比b点的小B ．以点的电势比b 点的低C ．F c 比F d 大D ．c 点的电势为q W 9．如图所示，一物块在水平圆盘上离轴心r 处，其质量为m ，其与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k 倍，该物块随网盘一起绕中心竖直轴做匀速圆周运动，若A ．圆盘突然停止，则物块将沿圆周运动轨迹的切线方向做匀减速直线运动B ．物块与圆盘的摩擦力突然消失，物块将沿网周运动轨迹的切线方向做匀速直线运动C ．物块与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度是rkg m =ω D ．物块随圆盘从静止开始缓慢加速，直至即将相对圆盘发生相对滑动的过程中，圆盘对物块做了mkgr 焦耳的功10．两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度大小为0.2T ，方向与纸面垂直，边长L 为0.1m 、总电阻为0.05Ω的正方形导线框abcd 位于纸面内，cd 边距磁场边界L ，如图所示，已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd 边于t=1s 时刻进入磁场，以初始位置为计时起点，规定：电流沿顺时针方向时的电动势E 为正，磁感线垂直纸面向外时磁通量Φ为正．则以下关于线框中的感应电动势E 、磁通量Φ、感应电流I 和电功率P 随时间变化的图象中错误的是二、非选择题：共54分．第11～14题为必考题，每个试题考生都必须作答．第15～16题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共42分．11．（6分）探究在质量不变的情况下物体的加速度与所受外力的关系的实验装置如图1所示．(1)实验中以下操作正确的是A ．平衡摩擦力时，小车应连上纸带，打开打点计时器电源B ．释放小车时，小车的位置应靠近打点计时器C ．调整滑轮的高度，使细线水平D ．用天平测m 以及小车质量M ，小车运动的加速度可直接用公式Mmg a =求出 (2)某次实验得到了一条纸带如图2所示，他已在每条纸带上按每5个点取好一个计数点，依次打点先后为0，1，2，3，4，5．由于不小心，第3个点污染不清楚了，如图所示，计算4、5两点间的长度约为 mm (3)打A 纸带时，打“1”点时的速度是 m/s ，物体的加速度大小是 m/s 2．（结果保留二位有效数字）12．（10分）现要比较准确测量电压表V 1（0～3V ，内阻约3kΩ）的内阻R V .实验室提供的器材有：A ．电流表A （0～0.6A ，内阻约0.1Ω）B ．电压表V 2（O ～9V ，内阻约10kΩ）C ．定值电阻R 1（阻值为6kΩ）D ．定值电阻R 2（阻值为600Ω）E ．滑动变阻器R(0～20Ω)F ．直流电源（10V ，内阻可不计）G ．开关S 及导线若干利用上面所给器材，进行如下实验操作：(1)先用多用电表粗测电压表内阻；所用多用电表的电阻档有“×100”、“×10”和“×1”档．该同学选择“×10”档，用正确的操作方法测量时，发展指针偏转角度较小，为了较准确地进行测量，应选择“ ”档．重新换档后，该同学按正确的操作方法测量时，多用电表的指针位置如图甲所示，粗测结果是 Ω；(2)为了更准确地测出电压表内阻，该同学设计了如图所示电路图，请用笔面线代替导线在丙图中完成电路的连接；(3)在实验中测得若干组电压表V 1、V 2的读数U 1、U 2，若U 2=2.8U 1，则可求出R V = kΩ.（保留3位有效数字）13．（10分）如图所示，右侧光滑水平地面上紧靠光滑网弧轨道BC 有一长度为L=2.0m 、质量为M=lkg 的木板，木板上表面正好与圆弧轨道底部相切，处在同一水平线上，木板的右方有一足够长的台阶，其高度正好与木板相同；左侧光滑的水平桌面上固定一轻弹簧，质量m=1kg 的小物块将弹簧的另一端压缩之后由静止释放，离开弹簧后从A 点水平飞出，恰好从B 点以s m v B /6=的速度沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道BC ，从底部C 处滑上木板使其从静止开始向右运动，当木板速度为2m/s 时，木板与右侧台阶碰撞立即被粘住（即速度变为零），若O 为圆弧轨道的同心，C 为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道的半径R=1m ，︒=∠60BOC ，2/10s m g =，物块碰撞前后均可视为质点．求：(1)弹簧最初具有的弹性势能；(2)小物块第一次到达圆弧轨道的C 点时对圆弧轨道的压力大小；(3)若物块与木板及台阶表面间的动摩擦因数均为2.0=μ，求物块m 在台阶表面上滑行的最大距离．14．（16分）如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，半径O′O 与Y轴夹角为30°，一电子以平行x 轴，速率v 从A 点沿直径AO′方向射入磁场，从O 点射出进入第Ⅰ象限磁感应强度为B 的磁场Ⅱ中，运动到C 点时速度方向与x 轴的正方向相同，C 点的右侧是竖直向下电场强度为E 的匀强电场，最终电子从X 轴D 点射出，出射方向与X 轴夹角为30°，已知电子质量为m 、电荷量为e ，不计电子重力，求：(1)圆形磁场区域的磁感应强度大小；(2)电子从A 到D 运动的时间．（二）选考题：共12分．请考生从2道物理题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．15．[选修3-3]（12分）(1)（4分）如图所示，绝热容器A 中装有理想气体，B 中是真空，二者体积相等，K 2固定一个轻质绝热活塞，将K 2 可抽式绝热隔板缓慢抽开，气体稳定后其内能 （填“变大”、“变小”或“不变”）；再打开K 2缓慢调节右侧 重物，直至封闭气体体积减小到总体积的一半，则封闭气体的温度 （填“升高”、“降低”或“不变”）．(2)（8分）如图所示的薄壁玻璃管，上端开口且较粗，截面积S 1=2cm 2；下端封闭且较细，截面积S 2=1cm 2，上下管的长度均为L=12cm.一段水银柱把一定质量的理想气体封闭在细管内，两水银面正好均在两部分玻璃管的正中央位置．已知大气压强p 0相当于76cm 高水银柱产生的压强，气体初始温度为T 1=264K ，重力加速度g 取10m/s 2. ①若缓慢升高气体温度，求当细管内的水银刚被全部排出时气体的温度T 2；②若继续缓慢升高温度，要使水银不溢出，则温度T 3不能超过多少？16．[选修3-4]（12分）(1)（5分）下列说法正确的是____．（填正确答案标号．选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分．每选错1个扣3分，最低得分为0分）A ．电磁波的传播不需要依赖介质B ．物体做受迫振动时，驱动力的频率越高，受迫振动的物体振幅越大C ．用透明的标准样板和单色光检查平面的平整度利用了光的全反射D ．同一单摆摆角很小时在高山山脚的振动周期一定小于在该山山顶的振动周期E ．未见其人先闻其声，是因为声波波长较，容易发生衍射现象(2)（7分）如图所示，一锐角为30°的直角三角形玻璃砖水平放置，AC 距离为L ，单色光从C 点以与竖直面成30°的夹角射入玻璃砖，经玻璃砖折射后从D 点水平射出，求：①玻璃砖的折射率；②光在玻璃砖中的传播时间．物理参考答案1．BA ．根据速度定义式t x v ∆∆=，当tt ∆非常非常小时，tx ∆∆就可以表示物体在t 时刻的瞬时速度，该定义应用了极限思想方法，故A 项表述正确，但不符合题意；B ．伽利略用数学和逻辑推理得出了自由落体的速度与下落时间成正比，而不是直接用实验验证这个结论，故B 项表述错误，符合题意；C ．开普勒在他的导师第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，C 项表述正确，但不符合题意；D ．牛顿用控制变量法通过大量的实验得出牛顿第二定律，故D 项表述正确，但不符合题意．2．C s m s m t d v /6/002.0012.011===滑块通过光电门2的速度是 s m s m t d v /4/002.0012.012===，取向有为正方向，则小球与挡板撞过程中动量的变化为：)46(2.012+⨯-=--=∆mv mv p kg ·ms=-2kg ·m/s ，负号表示方向向左，根据动量定理的公式，得P F ∆=1，代人数据求得：N F 10=3．CA ．当换用a 光入射时，入射光的频率不变，入射光的光强变大，饱和光电流变大，因为饱和光电流与入射光的强度成正比，故A 正确；B 根据光电效应的规律，光电子的最大初动能随入射光频率的增大而增大，当换用b 光入射时，入射光的频率变高，光电子的最大初动能变大，饱和光电流也变大，故B 正确；C ．如果入射光的频率小于极限频率将不会发生光电效应，不会有光电流产生，故C 错误；D ．根据G X eU W h E =-=γ，得遏止电压R G ，及最大初动能E k 与入射光的频率有关，与入射光的强度无关，故D 正确4．B 网球做平抛运动，2022121mv mv mgh -=，gh v v 2202+=，A 项错误；22202202t g v v v v y +=+=，B 项正确；由于平抛运动的加速度恒定，因此C 、D 两项错误．5．B 运动员处于静止状态，受到的合力为零，双手缓慢向外分开过程中始终平衡，合力不变，故A 错误；由于双臂与竖直方向夹角增大，所以双臂所受的拉力增大，B 正确；运动员所受重力和双臂的合力不是一对作用力和反作用力是一对平衡力，C 错误；运动员所受重力竖直向下，拉力斜向上方，所以重力不是手臂拉力的分力，D 错误．6．CA ．第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，也是卫星做圆周运动的最大的运行速度，该卫星是同步地球不是近地卫星，运行时线速度小于第一宇宙速度，故A 项正确；B ．同步地球卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度；故B 项正确；C ．根据万有引力充当向心力，可知卫星的轨道半径与运行周期之间的关系为3224πGMT r =，因为我国发射第一颗人造地球卫星的周期是114min ，比该卫星的周期短，所以第一颗人造卫星离地面的高度比同步卫星低，故C 项错误；D ．同步卫星轨道半径一定，但是不同的同步卫星，质量不一定相等，则所受的万有引力大小不一定相等，故D 项正确．7．D 当滑动变阻器滑片P 向b 端移动时，R 2接人电路电阻减小，电阻R 右面的总电阻变小，分压减小，U 3减小，A 2减小，总功率增大，A 1示数增大，A 项错误，B 项错误，C 项错误；当滑动变阻器滑片P 向b 端移动时，由于升压变压器的输入电压不变，则输出电压不变，即V 1和V 2不变，示数比始终为4：1，D 项正确；故选B 、D 两项．8．BCA ．由图可知：a 点电场线比b 点电场线分布密集，故a 点的电场强度比b 点的大，故A 项错误；B ．根据沿着电场线电势降低，可知，a 点电势较低，故a 点的电势比b 点的低，故B 项正确；C ．由图可知：c 点电场线比d 点电场线分布密集，故c 点的电场强度比d 点的大，故C 项正确；D ．Q 从无穷远处（电势为0）移到c 点的过程，根据动能定理得：W qU C -=∞，得：q W U C =∞．又0=∞C U ，可得Q 1移入之前，c 点的电势为：qW c -=ϕ，故D 项错误；故选B 、C 两项． 9．AC 若圆盘突然停止，则物块由于惯性将沿圆运动轨迹的切线方向做直线运动，由于盘面是粗糙的，因此物块将做减速直线运动，A 项正确；物块与圆盘一起做圆周运动时，摩擦力沿半径方向指向圆心，物块有沿半径向外滑动的趋势，则当物块与圆盘的摩擦力突然消失时，物块将沿半径向外的方向滑去，B 项错误；当最大静摩擦力提供向心力时，加速度最大，根据牛顿第二定律，由r m kmg m 2ω=得rkg m ω，C 项正确；即将滑动时的速度为r v m ω=，根据动能定理：1222022mkg mv w W m f =-==，D 项错误． 10．BCD 由图象知，0～1s 没有感应电动势，导线框匀速运动的速度为：1.0/11.0===s m t L v m/s ，根据=E BLv 知：002.01.01.02.0=⨯⨯==BLv E V ，根据楞次定律1～2s 电流方向顺时针，2～3s 电流方向逆时针，2s 时002.01.01.02.0=⨯⨯==∅BS Wb ，故A 正确，B 错误；1～2s 内05.0002.0==R E I m/s=0.04A ，由C 图可知，线框进磁场时，感应电流的方向为顺时针，故C 错误；在1～2s 内，导线框所受的安培力=F 008.005.011.02.02222=⨯⨯==N R v L B BIL N ，故D 错误． 11．(1)AB(2分)(2)54.0（1分）(3)0.33（1分）0.60（2分）(1)解析：A ．平衡摩擦力时，小车应连上纸带，打开打点计时器电源，故A 项正确；B ．释放小车时，小车的位置应靠近打点计时器，这样小车运动的距离长一些，纸带上打的点就多一些，故B 项正确；C ．调节滑轮的高度，使牵引木块的细绳与长木板保持平行，否则拉力不会等于合力，故C 项错误；D ．小车运动的加速度是利用打点计时器测量，如果用天平测出m 以及小车质量M ，直接用公式求出，这是在直接运用牛顿第二定律计算的，而我们实验是在探究加速度与物体所受合外力和质量间的关系，故D 项错误．(2)根据匀变速直线运动的特点（相邻的时间间隔位移之差相等）得出：0112122323343445x x x x x x x x -=-=-=-则45点间的长度为54.0mm(3)根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，打点计数点“1”时物体的速度大小33.01.02036.003.0=⨯+=v m/s 根据运动学公式2at x =∆得：2/60.002.0030.0036.0s m a =-= 12．(1)×1003000（各2分，共4分）(2)见解析图（3分）(3)3.33（3分）解析：①用“×10”档，指针偏转角度较小，说明欧姆表示数太大，所选档位太小，应换大档，用“×100”档进行测量；由图甲所示可知，欧姆表示数是30×100Ω=3000Ω． ②根据电路图，连接实物图，结合电表的量程，及正负极，则实物图如下图所示：③根据欧姆定律，则有：10]2U R R U U V =-整理可得，102U R R R U V V += 8.20=+V V R R R 且60=R kΩ，解得：33.3=V R kΩ； 13．解：(1)6=B v m/s ，设小物块在A 点的速度为v A ，则在B 点有：︒=60cos B A v v （1分）设弹簧最初具有的弹性势能为p E ，则：221A p mv E =代入数据联立解得：5.4p =E J （2分）(2)设小物块在B 点的速度为v B ，则从B 到C 的过程中有： 222121)60cos 1(B C mv mv mgR -=︒-（1分）设在C 点，圆轨道对小物块的支持力为N ，则有：R vc mg N 2=- 代人数据解得：4=vc m/s ，26=N N （1分）由牛顿第三定律可知，小物块到达圆轨道的C 点时对圆轨道的压力为26N （1分）(3)设物块m 滑上木板后，当木板速度为：s m v /22=时，物块速度为v 1，以向有为正方向，由动量守恒定律得：21mv mv mv C +=，解得：21=v m/s ，设在此过程中物块运动的位移为x 1，木板运动的位移为x 2，由动能定理得：对物块22112121:mvc mv mgx m -=-μ 解得：31=x m （1分）对木板22221Mv mgx M =μ： 解得：m x 12=（1分）此时木板静止，物块m 正好到木板左端，设物块m 在台阶上运动的最大距离为x 4， 由动能定理得：214210mv mgx -=-μ（1分） 解得：m x 14=（1分）14．解：(1)由题意得，电子的运动半径恰好等于13qE mv R r =（2分） 解得eRmv B 221=（1分） (2)电子在圆形磁场中的运动时间：因为运动周期eBm T π2=（2分） 电子在圆形区域的运动时间vk T t 22622π==（2分） 电子由O 运动到C 时速度方向改变了60°角，所以其轨迹对应的圆心角为︒=60θ， 运动的时间为eE m eg m T t 32613602ππθ=⨯=︒=（2分） 电子从C 点到D 点在匀强电场中仅受电场力作用做类平抛运动根据牛顿第二定律可得：ma eE =（1分）将电子在D 点的速度分解可知（如图）V v v D 33230cos =︒=（2分）电子由C 到D ，在B 点设电子在B 点沿电场方向的速度大小为v y ，则有︒=30tan v v y 3at v y =（1分） 解得eEmv t 333=（1分） 所以电子从A 到D 运动的时间eE mv eE m v R t 33333++=ππ（2分） 15．(1)不变（2分）升高（2分）解析：(1)抽开隔板时，由于下方是真空，气体做自由扩散，气体没有对外做功，又没有热传递，则根据=∆U W Q +可知，气体的内能不变；活塞下降气体被压缩的过程中，外界对气体做功，根据W Q U +=∆可知，气体内能增大，温度升高．(2)解：①设水银全部进入上端玻璃管时，水银柱的长度为x12122xS S L S L =+，得cm S LS LS x 92122=+= 初态压强882101=++=h h p p p p cmHg ，末态压强8502=+=x p p p cmHg 体积32162cm S L V ==，32212cm LS V == 由理想气体状态方程222212T V p T V p =，解得5102=T K （4分） ②继续升高温度气体经历等压过程，则由盖—吕萨克定律知，22T V T V B B = 其中312318)(cm S x L LS V =-+= 解得K T 7653=即温度不能超过765K （4分）16．(1)ADE （5分）解析：电磁波的传播不需要依赖介质，A 项正确；物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，当系统的固有频率等于驱动力的频率时，振幅达到最大，这种现象称为共振，B 项错误；用全息照片记录资料和用透明的标准样板和单色光检查平面的平整度都是利用了光的干涉现象；故选项C 项错误；重力加速度随着高度的增大而减小，根据公式 gL T π2=，可知同一单摆在高山山脚的振动周期一定小于在该山山顶的振动周期，D 项正确；未见其人先闻其声，是因为声波波长较长，绕过阻碍物，继续向前传播，发生衍射现象，故E 项正确．(2)解：①如图所示入射单色光的折射光路图，由几何关系可知︒=∠=︒∠=∠6014601根据对称性和几何关系，︒=∠=∠3023（1分） 由折射定律有321232sin 1sin ==∠∠n （2分） ②光在半球玻璃砖中的传播速度2c n c v ==（2分） 由几何关系可知L CD =光在半球玻璃砖中的传播时间cL C C L v CD t 3===（2分）。
2020-2021学年广东省广州市白云区人教版三年级上册期末学生学业水平调研数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年广东省广州市白云区人教版三年级上册期末学生学业水平调研数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．我做10道口算题，大约用了1（）。
A．秒B．分钟C．小时2．（）的9倍是36。
A．3 B．4 C．63．一支粉笔长约75（）。
A．分米B．厘米C．毫米4．一头大象大约重3（）A．千克B．吨C．克5．240秒＝（）分。
A．4 B．6 C．106．用分数表示图中的涂色部分，正确的是（）。
A．16B．56C．457．根据算式45÷9＝5，下列说法错误的是（）。
A．45是9的5倍B．5的9倍是45 C．45的9倍是5 8．90厘米＝（）分米。
A．9 B．90 C．9009．小东7：15从家出发，7：35到校，小东从家到学校用了（）分钟。
A．35 B．50 C．2010．一辆自行车398元，买2辆这样的自行车大约需要（）元。
A．600 B．800 C．100011．一只羊约重50千克，20只这样的羊约重（）吨。
A．1 B．10 C．100012．如图，的个数是的（）倍。
A．4 B．3 C．213．1里面有（）个19。
A．9 B．1 C．714．一本练习册，小红做了45，还剩（）。
A．45B．35C．1515．要使“□51×3”的积是三位数，□里最大填（）。
A．4 B．3 C．2 16．读一遍古诗《咏柳》所用的时间约20（）。
A．秒B．分钟C．小时17．小明把20个梨的14送给爷爷，送出了（）个。
A．6 B．5 C．418．妈妈把蛋糕平均分成8块，吃掉了5块，还剩下这个蛋糕的（）。
A．18B．58C．3819．如图，用2个边长1厘米的小正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米。
A．6 B．7 C．820．在12、16、18中，最大的是（）。
A．12B．16C．18二、口算和估算21．直接写出得数。
广东省广州市花都区2025届高三上学期10月调研考试数学试卷(含答案)
广东省广州市花都区2025届高三上学期10月调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin60∘cos30∘−cos120∘sin30∘=( )A. 3−14B. 12C. 3+14D. 12.一质点A沿直线运动，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=t2+2，则质点A在t=3s 时的瞬时速度为( )A. 11m/sB. 8m/sC. 6m/sD. 113m/s3.设θ是第一象限角，则“|θ−π12|<π12”是“cosθ>32”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知{a n}是等差数列，且a1+a3+a4=−56，a5+a7+a8=100，则a4+a6+a7=( )A. 55B. 58C. 61D. 645.设函数f(x)=sin(ωx+π4)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )A. [74,94)B. [74,134)C. (94,114]D. (94,134]6.学校举办运动会，高三(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为( )A. 114B. 328C. 17D. 5287.若a，b>0，且ab=2a+b+4，则ab的取值范围是( )A. (4,8+43]B. (4,16]C. [8+43,+∞)D. [16,+∞)8.若函数f(x)同时满足：(1)∀a,b∈R，当a+b=0时，有f(a)−f(b)=0；(2)∀a,b∈(0,+∞)，f(a)−f(b)a−b >0恒成立，则( )A. f(log314)>f(2−23)>f(2−32)B. f(log314)>f(2−32)>f(2−23)C. f(log314)<f(2−23)<f(2−32)D. f(log314)<f(2−32)<f(2−23)二、多选题：本题共3小题，共18分。