平面基本性质复习优质课件PPT

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§14.1 平面及其基本性质

Ⅰ.基础知识§14.1 平面及其基本性质
一、平面的基本概念
1.平面的概念：非常“平”，且无限延展的
2.平面的特征：面 ①.无厚度；②无边界；③在空间无限延展.
3.平面的记法：
①可用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示平面.
②可用三个(或三个以上)点的字母表示平面.
4.平面的画法：画平行四边形来表示平面.
（2）证明点在直线上.(证明点是两个平面的公共点，直线是两个平面的交线即可)
（3）证明多点共线.பைடு நூலகம்证明这些点是两个平面的公共点，则它们必在两个平面的交线上)
Ⅰ.基础知识§14.1 平面及其基本性质
二、平面的基本性质
3.公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.
α
A
B
C
推论1：
A
一条直线和直线外的一点确定一个平面α.
α
A
b
直线均在此平面内即可.) (3)证明多点共面.(证明这些点在共面的直线即可.)
Ⅱ.例题选讲§14.1 平面及其基本性质例1 用集合符号表示语句“直线l经过平面α外
M
一点M和平面α内一点N”.并画出图形.
M , N , M l, N l.
α
N
例2 若空间中有四个点，则“这四个点中有三个在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”充的分_不__必__要_______
1.公理1：如果直线 l 上有两个点在平面α上，那么
直线 l 在平面α上.
若A l, B l,且A , B , α
l
则 l .
①公理1的实质：公理1是判定直线在平面上的依据.
②公理1的应用：（1）证明直线在平面上.(只要证明直线上两点在平面上)

《平面的基本性质》课件

平面不能被弯曲或折叠，始终保持平直。
无厚度
平面没有高度，只具有长度和宽度。
由无数个线段组成
平面由无数条线段相连组成，形成各种图形。
平面的基本性质
1
平面上的直线相互作用的规定
2
平面上的直线可以平行、垂直或有其
他特定的相
角度是指由两个线段或直线围成的空间。
平面上的点与直线的关系
总结
1 明确平面的特征与定义
了解平面的基本性质，包括无限大、无厚度和无法折叠曲折。
2 控制平面的性质和规则
理解平面上的点与直线的关系，以及角度和夹角的度量规则。
3 应用平面知识到实际中
将平面的应用领域应用到不同领域，如地理学、图形设计和工程学。
点和直线可以在平面上相互交叉、相连或相切。
平面上直线的夹角
夹角是指两条直线在平面上的交叉程度，可以是锐角、直角或钝角。
平面的相关性质
垂直、平行
垂直的线段间的夹角为90度，平行线始终保持相同的距离。
完美相等与相似的关系
相等的图形的线段和角度完全相同，相似的图形只需保持比例关系。
角度的度量与求和
《平面的基本性质》PPT 课件
本课件详细介绍了平面的基本性质，包括定义、特征和应用。通过丰富的布局和图像，旨在使演示内容更加生动有趣。
平面的定义
平面是指由无限个线段组成的，并且没有厚度的二维图形。与几何体相比，平面只有两个维度。
平面的特征
无限大
平面在两个方向上是无限延展的，没有边界限制。
无法折叠曲折
角度通过度量单位（如度或弧度）来表示，多个角度可以相加为一个新角度。
平面的应用
地理学中的平面
地图是平面的应用之一，用于表示地球表面的二维信息。

平面的基本性质(1)PPT课件

练习:把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来。
a l α α a A β A B l β α A a
B
l
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上有两个不同的点在同一平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面
内（即直线在平面内）。
α
l
A
B
观察下列问题，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P
墙面β
β
α
P
l
公理2.如果两个不同的平面有一个公共点，那么这两个平面相交于过这一点的一条直线。
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
B
A
C
α
A
C
公理3.经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.
公理1:直线L上两点在平面 α 内
直线 L在平面α内
公理2:两平面相交,有且只有一条公共直线公理3:不共面三点确定唯一平面
C1
B1Байду номын сангаасD
C
C
A
A
B
例3. 经过一点可作( 无数经过两点可作( 无数
)个平面; )个平面;
经过三点可作( 一个或无数 )个平面.
例4.已知ΔABC在平面α外，AB、AC、BC的延长线分别与平面α交于点M、N、P三点，求证：M、N、
P三点共线。
B
A C P
α
M
N
4.平面图形与空间图形的概念
公理1：判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性（直线是无限延展的）。公理2：说明两个不同平面相交于唯一一条交线，给出了空间中三点或多点共线的证法。公理3：给出了在空间确定一个平面的依据与方法

平面的基本性质课件

边相等、角相等的多边形。
性质
正n边形的内角和总是等于(n-2) × 180度。
三角形及其性质
1
定义
由三条线段连接的图形。
2
等边三角形
三条边相等的三角形。
3
等腰三角形
两边相等的三角形。
直角三角形及其性质
定义勾股定理特殊直角三角形
一个角为90度的三角形。直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。 45-45-90三角形和30-60-90三角形。
平面上任意两点可确定一条直线，平面上的三个点不共线，可确定一个平面，且任意两个平面相交于一条直线。
3 平行性质
平面上的两条直线要么相交于一点，要么平行。
平面图形的分类
三角形
由三条线段连接的图形。
四边形
由四条线段连接的图形。
圆
由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的点的集合。
正多边形及其性质
定义
运用平面图形基本性质的例题
通过解决一些实际问题，我们将学习如何运用平面图形的基本性质。
平面的基本性质ppt课件
这个PPT课件将帮助您了解平面的基本性质，包括平面的定义和分类，各种图形及其性质，三角形的角度定理，四边形的性质以及圆的性质和周长面积计算。
什么是平面？
平面是一个无限延伸的二维空间，由无数个点和直线组成。
平面的基本定义和性质
1 定义
平面由至少三个不共线的点确定。
2 性质
四边形及其性质
定义
由四条线段连接的图形。
正方形
四条边相等，四个角都是90度。
矩形
有四个角都是90度的四边形。
平行四边形
没有角度为90度的四边形。
圆及其性质

平面基本性质复习PPT课件

X
学习目标 1 熟练掌握平面概念及其表示方法 2 熟练掌握平面的基本性质 3 掌握线共面、点共线、线共点问题解决方法
一、基础知识回顾:平面的基本性质一览表：
公理
内
容
作用
公理1 公理2 公理3
一直线上有两个点在一个平面内，则这直线上所有点都在这个平面内
。若两平面有一个公共点，则他们有无数公共点，且这些点在一条直线上；这条直线叫做两平面的交线；
(2)两两平行的三条直线最多可确定三个平面 .
(3)在空间两组对边平行的四边形是平行四边形 .
(4)在空间形一定是平面图形.
(A)0 (B)1
(C)2
(D)3
2、空间四点可以确定的平面个数是（） (A)1个 (B)4个 (C)无数个 (D)1个或4个或无数个
3、下列命题：
（1）两条直线可确定一个平面.
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a、b、c 相交于点O．求证：a、b、c、d共面．
证明：∵d∩a＝P，
∴过d、a确定一个平面α（推论 2）．
同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．
∵O∈a，O∈b，O∈c，
∴O∈α，O∈β，O∈γ．
∴平面α、β、γ都经过直线d和d 外一点O．
∴α、β、γ重合．
不共线的三点确定一个平面；
判断或证明直线在平面内
确定平面的交线证明点共线
确定平面或证明平面重合
公理3推抡1
直线和直线外一点确定一个平面；确定平面或证明平面重合
公理3推抡2
两相交直线确定一个平面；
确定平面或证明平面重合
公理3推抡3
两平行直线确定一个平面；
确定平面或证明平面重合
①线共面问题

10.1平面的基本性质课件(优质课)

公理3
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❖ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。
如果平面α和β有一条公共直线a，就说平面α与平面β相交，交线是a,记作 α ∩β。=a 两平面若相交，则有且只有一条交线。
画图规则：“见者为实，不见者为虚” 这样立体感更强，更直观。
思考3
例题
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如图：在长方体 ABCD—A1B1C1D1中，点P是棱A1B1
上的中点，画出点P，B，C1三点所确定的平面α
与长方体表面的交线。 D1 C1
Ａ1
· Ｄ P
B1 Ｃ
Ａ
Ｂ
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练习
1、判断对错：（1）如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数多个公共并且这些公共点都在直线AB上。( 正确 ) （2）经过一条直线的平面有无数多个（正确）（3）线段AB在平面内，则直线AB在平面内。（正确） 2、若一直线a在平面α内，则正确的图形是（ A）
A ·
B ·
α
思考1
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公理1:(如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这直线上的所有点都在这个平面内。)
有什么作用？
判断直线或点是否在平面内的依据
讨论
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放一支钢笔在桌面上，让它的一部分伸出桌面外，此时钢笔所在的直线是不是完全在桌面所在的平面内呢？
跟踪练习
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点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为（C ）
A.P l
B.P l
C.P l
D.P l
问题三
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高中数学《平面的基本性质》复习和习题课件PPT

2.已知a、b、c、d是两两相交但不共点的四条直线.求证:a、b、c、d共面.
3.不共面的4个点中，能否有3个点共线？为什么？
4.已知 l, a ,b , a b A
求证：A∈l.
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
典例精析
例
变式训练
变式训练1 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）. Ａ.０Ｂ.１Ｃ.１或４Ｄ.无法确与三条平行直线a,b,c都相交，求证：这四条直线共面.
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
三、简答题 1.为什么说平行四边形和梯形都是平面图形？
高中
立体几何
数学
§第一节平面的基本性质（复习+习题练习）
知识清单知识点一点、直线与平面的位置关系
（1）点A在直线 l上，记作 Al ；点A不在直线l上，记作 Al （2）点A在平面α内，记作A∈α；点A不在平面α内，记作 A a （3）直线 l 在平面α内，记作l a ；直线 l 不在平面α内，记作 l a
知识清单
知识点二平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内(直线在平面内，或者平面经过直线).
（2）公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有一条过这点的公共直线.
（3）公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面. （4）推论1：过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面. （5）推论2：过两条相交直线有且只有一个平面. （6）推论3：过两条平行直线有且只有一个平面.

《平面及平面基本性质(一)》(课件)

(1) 说明：此时即直线在平面内，或者说平面经过直线.
公理一是判定直线在平面内的依据.
(2) 公理一的含义如图所示，可用符号表示为：
Al,Bl, A,B l
(2) 公理一的含义如图所示，可用符号表示为：
Al,Bl, A,B l
(3) 以“直线在平面内”的意义为
依据，常用下面的推理
判定“点在平面内”：
A
l B
Al,l A
(2) 公理一的含义如图所示，可用符号表示为：
Al,Bl, A,B l
(3) 以“直线在平面内”的意义为
依据，常用下面的推理
判定“点在平面内”：
A
l B
Al,l A
点在线上, 线在面内, 则点在面内.
(三) 两个平面相交的依据：
1. 一条直线l既在平面内，又在平面内，即和有一条公共的直线l，则称与相交.交线是l，记做 ∩ =l.
3. “公理二”的说明： (1) 若两个平面有一个公共点, 则
必定还有第二个、第三个……，必有无限多个公共点，所有这些公共点都在同一直线上，反之，该直线上的每一个点都是两个平面的公共点. 因此，两平面若有公共点，则必有公共直线.
(2) 两个平面若相交，则有且只有一条交线.
(2) 两个平面若相交，则有且只有一条交线.
平面及平面的基本性质(一)
引言 1. 思考：
是否存在三条直线两两互相垂直？若存在请举出实际中的例子.
2. 立体几何的研究对象、内容：平面几何研究的对象是平面图形
(点、线以及组合)的形状、大小、位置关系，而立体几何研究的对象是空间图形的形状、大小、位置关系.
两者的区别：平面图形——所研究的对象都在同

《平面的基本性质》课件

平面解析几何在实际问题中的应用案例
物理学中的应用
在物理学中，许多概念和公式可以通过平面解析几何来描述和解释，例如力学、电磁学和光学中的许多概念。
工程学中的应用
在工程学中，平面解析几何被广泛应用于机械设计、建筑设计、航空航天等领域。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，平面解析几何是生成和处理二维图形的基础，例如在游戏开发、动画制作和计算机视觉等领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
平面与几何体的关系
总结词
平面是几何体的重要组成部分，它可以作为几何体的边界或表面。
详细描述
在几何学中，许多常见的几何体都是由平面构成的。例如，长方体的每个面都是一个平面，球体的表面也是一个平面。此外，平面还可以用来定义其他几何体的形状和大小，例如通过平面的交线来定义三维空间的形状。
CHAPTER 02
平面上的直线的方程
两点式方程
通过平面上两点的坐标，可以求出直线的方程。
点斜式方程
已知直线上的一个点和直线的斜率，可以求出直线的方程。
平面上的点与直线的位置关系
点在直线上
如果一个点的坐标满足直线的方程，则该点在直线上。
点在直线外
如果一个点的坐标不满足直线的方程，则该点在直线外。
CHAPTER 04
与线性代数的联系
线性代数提供了研究平面几何对象（如向量、矩阵和线性变换）的工具。
平面解析几何的发展历程与未来展望
发展历程
从早期的欧几里得几何到文艺复兴时期的笛卡尔几何，再到现代的解析几何，平面解析几何经历了漫长的发展历程。
未来展望
随着数学和其他学科的发展，平面解析几何将继续发展，与其他数学分支的交叉将更加深入，新的研究方法和视角也将不断涌现。

《平面的基本性质》公开课课件

平面的基本性质
复习回顾
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
Al, B l, A, B l
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
五、【小结】
1.公理3的三个推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.公理3及其三个推论的作用是确定平面 3.证明若干个点、线共面的方法． (Байду номын сангаас证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、线落在此平面内)
AB α.(公理1)同理BC α，AC α，所以AB，BC，
CA三直线共面.
证共面问题，可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合．
怎样的直线a我们就说它在平面外？
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
例题讲解
例1 直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
所以经过点A和直线a有且只有一个平面
例题讲解
解法二:因为A在直线BC外，所以过点A和直线BC确定
平面α.(推论1)，因为A∈α，B∈BC，所以B∈α.故AB α，同理AC α，所以AB，AC，BC共面.

平面的基本性质23页PPT

平面的基本性质
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
3.2 点、线、面之间的位置关系
§3.2.1 平面的基本性质
图片欣赏
平面性质
平面的表示平面的确定
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
2.
及直线a外一点D.
3. 求证：直线AD、BD、CD共面
例2、如图，在长方体中，点P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
D1
C1
A1
B1
DCΒιβλιοθήκη PAB不共线的三点确定一个平面直线和直线外一点确定一个平面两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面
两个平面相交的画法。
根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．
(1)A,B
(2)l,m
(3)l
(4 )P l,P ,Q l,Q
公理3
经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面
•A
B•
•C
想一想：哪些现象可以用来说明公理3？
1、三脚的板凳才能坐稳！ 2、两块合铁和一把锁才能固定门！ 3、照相机的支架是三条腿！
平面；平面的画法；平面的表示；公理1 (判定直线在平面内）；公理2（判定两个平面相交）; 公理3（三点确定一个平面）

08平面的基本性质课件

图形语言：
A 符号语言：B 直线 A B
性质1可以帮助我们解决哪些几何问题？
⑴判定直线或点是否在平面内； ⑵检验平面.
自行车的撑脚一般安装在自行车的什么位置？能不能安装在前后轮一条直线的地方？
照相机支架需要几条腿？两条行不行？三条在一条线上行不行？
根据上面的实例，你得到怎么样的一个结论？如何用数学语言描述上述事实？
C AB
M 平面 AC
A1 平面 A C
A
C
AB BC B
AB 平面 AC
A A1 平面 A C
A
B
C B
A A A1
A C A A1
C
练习．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面 A1C 1 , A1 B1 , B1C 1 ，分别记作、、，试用适当的符号填空．
【例4】已知：ABC 在平面外， P， AB
AC R， Q BC
求证：P，Q，R三点共线.
证明： A B P ,
Байду номын сангаас
P A B， P 平面 ,
点 P 在平面 A B C 与平面的交线上（性质3） .
同理可证：
数学理论
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
图形语言： a

b
符号语言：a b P 有且只有一个平面 , 使 a , b
数学运用
【例2】两两相交且不共点的三条直线必在同一个平面内.
B A C
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C 求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一：因为AB∩AC=A 所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（性质1）因此直线AB，BC，CA共面.

平面的基本性质.ppt

于是可得到 M∈面 ABD∩面 BCD＝BD. 即点 M 在直线 BD 上。
有关共面、共线、共点问题的证明方法 1．证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合． 2．证明三点共线问题证明空间三点共线问题，先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上． 3．证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．而这条直线往往归结为平面与平面的交线．
A, B, C三点不共线
B A
C
有且只有一个平面，使A , B , C
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。符号语言：
P P
l且P l
四、跟踪训练巩固新知
问题4：（教材 P38—3）一扇门，可以想象成平面的一部分，通常用两个合页把它固定在门框的一边上，当门不锁上的时候，可以自由转动，如果门锁上，则门就固定在墙面上，这个事实说明平面具有哪条基本性质?
五、小结归纳布置作业
课堂小结：
1、平面的基本性质、推论及应用：
2、有关共面、共线、共点问题的证明方法
作业： 1、教材P38----A组、 B组 2、学案
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. B A A 符号语言：直线 AB B 基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号语言：
4、（教材P37——思考与讨论变式）

高中数学平面的基本性质(1)课件

当我们从适当的角度和距离来观察桌面或黑板面时，感到它们都很象什么图形呢？平行四边形
Page 14
通常画平行四边形来表示平面.
四面体
三个平面相交且交于一点
Page 15
在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°，横边画成邻边的两倍.
45°
如果是非水平平面，只要画成平行四边形. 铅直平面
l A
平面α与平面β相交于AB
α APage 23β NhomakorabeaB
AB
【例1】已知命题： ①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚； ②有一个平面的长是50m，宽是20m； ③黑板面是平面； ④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念. ④ 其中正确的的命题是__________.
Page 16
如果几个平面画在一起，当一个平面有一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画.
Page 17
两相交平面的画法：
β α α β
Page 18
平面与平面相交的画法
E M F
N
α∩β=AB 两个平面的交线必须画出,被别的平面遮盖的部分线段,画成虚线或不画.
3. 平面的表示法
Page 7
1. 平面的特点
问题：请同学们观察下面的纸盒，它是由几个面构成的？
Page 8
Page 9
Page 10
问题：还有哪些面留给我们平面的形象呢？桌面、黑板、地面、海平面等. 问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有什么特点？很大、很平. 以上例子给我们“平面”的直观，但平面是一个不加定义的概念，具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.

平面的基本性质优质课件PPT

(9). 下列命题中正确的是[ ] A．空间三个点确定一个平面 B．空间一点及一条直线确定一个平面 C．空间两条直线确定一个平面 D．一个圆周上的三个点确定一个平面
(平平10面面).AB如B1D图1∩∩A平平C面面∩BADCA==C__1__=__B__o__D_____AA____1___，__．，
二、Байду номын сангаас课
1.平面
立体几何中的平面的特点:
1.平的
（不是凹凸不平）
2.四周无限延展
（没有边界）
3.不计大小
（无所谓面积）
4.不计厚薄
（没有体积）
2、点、线、面的位置关系及表示
空间看成点的集合，点是空间的基本元素,空间中的点、直线、平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示．
点A在直线a上，记作： A∈a
一条直线。
3. 探索平面的基本性质:
数学实验1：
把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面。
（1）若直尺上的两个点固定在桌面内，问直尺所在直线上各点与桌面所在的平面有何关系？
桌面α
B
A
基本性质1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
作用:判定直线是否在平面内的依据
2个平面分空间有两种情况：
(1)两平面没有公共点时
(2)两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
4、空间中两直线的位置关系
在平面内，两条不重合直线之间有相交与平行这两种关系。
m
m
P
l
l l