正四面体的外接球半径的求法资料

求正四面体外接球半径的方法

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求正四面体外接球半径的方法
作者：李金宝
来源：《理科考试研究·高中》2015年第05期
求多面体外接球半径是立体几何的一个难点问题，而求正四面体外接球半径又是一个重点，是高考数学中的常客.本文就此问题做一些探讨与同行共勉.
例题已知正四面体的棱长为a，求其外接球的半径.
反思三种方法都渗透了数学转化化归思想.方法1将空间几何计算问题转化为学生熟悉的平面几何计算问题，具有普遍性，是通法，适用范围广，求所有正棱锥外接球半径都适用等，但运算量大，难度较大.方法2将问题转化等体积求点到面的距离或内切球半径，实质上是平
面几何利用等面积求点到线的距离后内切圆半径的推广，是数学推理类比法的运用，适用求三棱锥高（点到面的距离）或正多面体内切球半径等，但运算量大，难度适中，适用范围一般.
方法3将其转化为更熟悉、简单的其它几何体来解决，方法巧妙、直观、简单，几乎可以口答，但技巧性强，适用范围小.。

四面体外接球的球心、半径求法之欧阳地创编

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC +=所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC在PAC Rt ∆中斜边为AC取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量A CP知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB=距离公222222)2(z y x z y x ++-=++222222)2(-++=++z y x z y x解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

四面体外接球地球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

正四面体外接球和内切球的半径的九种求法

正四面体外接球和内切球的半径的九种求法【作者简介】张秀洲（1987.06），江苏滨海人，毕业于湖南师范大学，中学数学一级教师，省先进工作者，州、县优秀班主任，州先进个人，县优秀教师，县优秀教育工作者，县教师培训师团队成员，县“国培计划”(A307)指导教师，吉首大学“国培计划”(B101)指导老师。

2016年被花垣县人民政府授予“高考优秀教师”荣誉称号，2013年、2019年被花垣县人民政府记“三等功”。

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。

如果一个球与多面体的各面都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球。

有关多面体外接球与内切球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。

研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。

本文重点研究正四面体外接球和内切球的半径的求法：正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合．分析：如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等．又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中，有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高线AO1上；同理：球心O也在其它面的高线上．图1又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD，得：点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心．这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．已知正四面体ABCD棱长为a，设外接球半径为R，内切球半径为r，球心为O ，则正四面体的高h即34R h =即14r h =．外接球半径是内切球半径的3倍．下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）如图2，因为在正四面体ABCD 中，△BCD 是正三角形，O 1是其中心，所以O 1D．因为OO 1⊥平面BCD ，O 1D ⊂平面BCD ，所以OO 1⊥O 1D .所以，在Rt △OO 1D 中，由勾股定理，得22211OD OO O D =+，即222R R ⎫⎫=-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解得R =，所以r R =-．．知识联系：正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心重合，半径之比为1：2；正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合，半径之比1：3．方法二：（三角正切倍角公式）如图3，因为在正四面体ABCD 中，△BCD 是正三角形，O 1是其中心，所以OO 1⊥平面BCD ，O 1D，高1h AO =． 1,,2.OA OD ADO DAO DOO θθ=∴∠=∠=∠= 在1Rt ADO ∆中，11tan DO AO θ===2222tan 2tan 21tan 1θθθ∴===--⎝⎭在1Rt ODO ∆中，113tan 2DO OO r θ====r ∴=，R h r =-==．图2图3．方法三：（平行线法）如图4，连接DO 并延长交平面ABC 于点G ，则G 为△ABC 的中心.连结DO 1并延长交BC 于中点E ，则A ，G ，E 三点共线，113EO EGED EA==；再连接1GO ，则1GO ∥AD ，从而有1113O O O G EG AO AD EA ===，所以134AO AO =，1114OO AO ==．．方法四：（分割体积法）如图5，记正四面体ABCD 的体积为V ，每个面的面积为S ，高为h ，内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，则O ABC O BCD O ACD O ABD V V V V V ----=+++，所以11433Sh Sr =⋅，从而13,.44r h R h ====．【方法拓展延伸】1.多面体的体积为V ,表面积为S ,利用体积分割法,可得其内切球的半径为3Vr S=； 2.高为h ,各面面积均为S 的棱锥内的任意一点到各面的距离之和为定值h .方法五：（补形法）以正四面体的各棱为正方体的面对角线，将其补形为正方体.由于过不共面的四点有且只有一个球，所以正四面体的外接球也是正方体的外接球.设正方体的棱长为x，则2R =且a ,所以R =，从而13r R =．．【方法拓展延伸】1.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其外接球也是以这三条侧棱为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球,若设其三条侧棱长分别为,,,a b c 则易得外接球的半径为R =． 2.若点P 到两两垂直的三个面的距离分别为,,,a b c 点O 为它们的公共点,则图4图5图6PO =22212a b c ++． 3.若点P 到两两垂直且共点于O 的三条直线m ,n ,l 的距离分别为x ,y ,z ,则PO =2222()2x y z ++．方法六：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD ∆于1O ，则1O 为BCD ∆的外心，求得1163,,33AO a DO a == 由相交弦定理得2663(2).333a R a a ⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭解得64R a =． 666633412r a R a a a ∴=-=-= 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和612a ．方法七：（坐标法）如图6, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则6333(0,0,),(0,,0),(,,0),(,,0)332626a a A a B a C a D a -- 设球心O 的坐标为(,,)x y z ，则由OA OB OC OD R ====，得2222OA OB OC OD ===，即22222222222263()()333()()263()()26x y z a x y a z ax y a z ax y a z ++-=+++=-+-+=++-+解得60,.12x y z a ===所以66,.124r z a R a ∴=== 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和612a ．方法八：（相似法）（侧棱、高相似）如图7, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心，⊥∆高163h AO a ==，设O 为球心，则1.O AO ∈设M 是AB 的中点，连结OM ，OB ，BO 1，AO BO OM AB =∴⊥190AMO AO B ∴∠=∠=，又1MAO O AB ∠=∠，AMO ∴∆∽1AO B ∆， 1AM AO AO AB ∴=，即2,63aRa a = 6666,.43412R a r h R a a a ∴==-=-=方法九：（相似法）（斜高、高相似）如图8, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心，⊥∆高163h AO a ==，设O 为球心，则1.O AO ∈设E 为BC 中点，连结AE ,EO 1，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC ∆中心，N 是AE 的三等分点， ON ABC ON r 平面，是内切圆半径,⊥且Rt ANO ∆∽1Rt AEO ∆1AN AO AO AE ∴=，即336332aR a a =，6666,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。

探求正四面体外接球、内切球半径求法知识讲解

探求正四面体外接球、内切球半径求法探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h a a 即34R h =；内切球a 即14r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH V 中，222BO BH OH =+，即222()()33R a a R =+-，,.R a r h R a a a ∴==-=-= 方法二：（三角正切倍角公式）作平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO = ,2.AO BO ABO BAO BOH θθ=∴∠=∠∠=Q在Rt ABHV中，tan,23aBHAHθ===在Rt OBHV中，3tan2,3aBHOH r rθ===23r⨯∴==,.r a R h r a a a∴==-=-=方法三：（分割等体积）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V高3h AH a==，设O为球心，则.O AH∈连结,,,BO CO DO得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S，则4,O BCD A BCDV V--=即114,33S r S AH⨯=g g11,4412.3124r AH h aR h r a a a∴====-=-=方法四：（侧棱、高相似或三角）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V22tantan2,1tanθθθ=-Q高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BHAO BO OM AB =∴⊥QAMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠，AMO AHB ∴V :V ， AM AO AH AB∴=，即,aR a =,.R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设BAH MAO θ∠=∠=，则在Rt ABH V中，3cos a AH AB aθ==，在Rt AMO V 中，2cos .aAM AO Rθ==32a aa R∴= ，以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）作平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,AE EH ，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC V 中心，N 是AE 的三等分点，平面，ON 是内切圆半径r,ON ABC ⊥且 ,Rt ANO Rt AEH V :VAN AO AH AE ∴=，32a R = ，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设EAH NAO θ∠=∠=，则在Rt AEH V中，cos 2a AH AEθ==，在Rt ANO V中，3cos .a AN AO Rθ==3aa R∴=，以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,,AE DE DO ，延长DO 交AE 于N ，则N 是AE 的三等分点，.H DE ∈ 且DN ⊥平面.ABC则,Rt ODH Rt DNE V :V OH OD NE DE∴= 即 OH OD = NE DE 13=， 13r R ∴=， 3.R r ∴=又,R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 或：在Rt DNE V 中，1sin ,3NE NDE DE ∠== 在Rt DOH V 中，sin sin ,OH NDE ODH OD∠=∠= 13OH OD ∴=，即13r R =， 3.R r ∴=又,3R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a的棱长为.2a 正方体的体对角线等于外接球直径，有22a R ⨯=，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 方法八：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD V 于H ，则H 为BCD V 的外心，求得,,33AH a BH a == 由相交弦定理得2(2)).333a R a a -=g解得.4R a =.r h R a a a ∴=-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。

四面体外接球的球心、半径求法(经典)

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

第一节原理部分一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

正四面体外接球半径公式

一.正四面体外接球半径公式是什么？
答：R=（√6）a/4。

a为正四面体的棱长。

设正四面体的棱长为a,求其外接球的半径.设正四面体V-ABC,D为BC的中点,E 为面ABC的中心,外接球半径为R,则AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3。

在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,可解得：R=（√6）a/4.另外,我们也可以先求出OE,因为OE恰好是四面体的内切球的半径r。

利用等积法可求得r.设四面体的底面积为S,则1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.于是在Rt△AEO中,有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,从而得R=（√6）a/4。

扩展资料：
正四面体的性质：
1、正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。

2、正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。

3、正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。

4、正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。

5、对于四个相异的平行平面，总存住一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上。

四面体外接球的球心半径求法

四面体外接球得球心、半径求法在立体几何中,几何体外接球就是一个常考得知识点,对于学生来说这就是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形得情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。

本文章在给出图形得情况下解决球心位置、半径大小得问题、一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

【原理】:长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体得外接球直径为体对角线长即【例题】:在四面体中,共顶点得三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。

解:因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长所以:四面体外接球得直径为得长即:所以球得表面积为二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。

【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】:已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上,且,,,,求球得体积。

解:且,,,,因为所以知所以所以可得图形为:在中斜边为在中斜边为取斜边得中点,在中在中所以在几何体中,即为该四面体得外接球得球心A C所以该外接球得体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线、三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解ﻩ【例题】:已知在三棱锥中,,,,求该棱锥得外接球半径、解:由已知建立空间直角坐标系解得所以半径为【结论】:空间两点间距离公式:四、四面体就是正四面体处理球得“内切”“外接"问题与球有关得组合体问题,一种就是内切,一种就是外接。

作为这种特殊得位置关系在高考中也就是考查得重点,但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊。

解决这类题目时要认真分析图形,明确切点与接点得位置及球心得位置,画好截面图就是关键,可使这类问题迎刃而解。

一、棱锥得内切、外接球问题例1.正四面体得外接球与内切球得半径就是多少？分析:运用正四面体得二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。

四面体外接球的球心、半径求法

For personal use only in study and research; not forcommercial use四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++= 1663142222=++=R 所以2=R球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += A CD B E所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC在PAC Rt ∆中斜边为AC取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP == 所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC +=A CDBE所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

四面体外接球半径的常规求法

教学参谋解法探究2018年9月四面体外接球半径的常规求法⑩湖北省武汉市第四十三中学卢伟近几年来，随着三视图的引人，使得立体几何客观题的考查形式趋于多样化，这其中表现突出的就是四面体外接球球心在哪里的问题.下面结合具体例题的分析，归纳，并得出结论，以期能够对这一类问题有一个较为广泛的认识.（以下例题均只求取四面体外接球的半径"）一、定义法球心到球面上各点的距离相等，即为半径.下面通过对两大类型的分析，从而确定相关特征的四面体外接球球心的位置.第一类型：“垂直+条件”型（有一条侧棱与底面垂直的四面体）例i在四面体中，丄平面&'(，"&'(为边长是3的正三角形，且&4)6，求".解析：首先找到的外心G，作OG丄面&'(，且使得〇*)丄$4,则满足条件的02即为该四面体外接球的球心，再取$4的中点，，连接0，，如图1所示，经计算知")2#3.小结:这里不妨设A')-，4S).，V3 4例2在四面体中，S4丄平酿'（，&'丄B(，S()2,求".解析：如图2,易证'（丄邠，由直角三角形斜边的中线等于斜边 '图2的一半知SC的中点0即为球心，故 w")i.(事实上，这里与例i的解题思想是一致的y 例3在四面体中，S4丄平面4'(，120"，4')4()4S)2,求".$S去.在双曲线^#02)1中，过右焦点（左焦点对称可得) a1〇的两条垂直相交弦4'与C1，有如下结论：结论4:当(.222-a2)(.2-a222)>0时，|其中2=^ —&=la2-.2l■2a.22-a222)<0时，=la2-.2l2a.2结论5 :当(.222-a2)(. 2-a222)>0时，当(.222-a2)(. 2-a222)<0 时，114'卜1(11丨>-$^.la2- .2l结论6:若4'与（1的中点分别记为,，7,则直线,7结论7:丄+丄=丄.l4'l l(1l2p结论 8:l4'l+l(1l'8p.结论9:若4'与C1的中点分别记为,，7,则直线,7恒过定点|%，0&.五、结语限于篇幅，上述对双曲线与抛物线的证明过程都没有给出来，感兴趣的读者可以验证一下.至此，我们感叹于圆锥曲线内部的和谐与统一，同时也激起我们对未知领域的向往.我们相信如果能够把这样的一种追求与探索的情感融入到平时的教学中去，感染学生，使之成为他们学习与成长中的一道风景，帮助学生领悟数学的魅力所在.l4'l+ l(1l 当（222-a2l4'l l(1l恒过定点(%2,0).在抛物线02=29中，过焦点的两条垂直相交弦4'与 (1,有如下结论：参考文献：1.钟长彬，杨苍洲，圆锥曲线两垂直焦点弦的一组结论[J].中学数学研究，2014(6).|!94十•？•!{：，■?高中2018年9月解法探究解析：根据例1的作图，结合正弦定理知，2!= —isin 30o !!=2,其中!为外接圆的半径，则可知&=#T .小结:这3个例题都是属于“垂直+条件”型的四面体外接球球心的问题.根据例1的作图方式我们知道，关键是先找到底面A #$C 的外心，这里是分别以特殊三角形 (等边三角形，直角三角形h 与一般三角形(利用正弦定理)为背景，寻找突破口，则可以得到这类问题的统一计算公式这里底面三角形的外接圆半径，*为垂线段#+的长）第二类型：“等腰+条件”型（定义一类特殊的四面体---等腰四面体：三条侧棱相等的四面体）例4已知在四面体+-#$%"， ++#)+$)+%)2，$ $#%)30。

克列尔公式求外接球半径

克列尔公式求外接球半径克列尔公式求外接球半径克列尔公式源于18世纪法国数学家克列尔的研究，该公式用于计算一个正四面体外接球的半径。

由于正四面体是一种重要的多面体，而外接球半径又是其重要参数之一，因此克列尔公式被广泛地应用于物理、化学、材料科学等领域。

下面将详细介绍克列尔公式的原理、推导和应用。

一、克列尔公式的原理正四面体是一种多面体，具有4个面、6条棱和4个顶点。

如果在正四面体的每个面上取一个点，那么这4个点的凸包就是该正四面体。

同时，如果在正四面体外部构造一个球，该球可以切到正四面体的每个面上且仅切到各个面的一个点上，那么这个球就是该正四面体的外接球。

在任意一个正四面体中，外接球的半径都可以由克列尔公式计算得到。

二、克列尔公式的推导设正四面体ABCD中，A点到外接球的球心O的距离为R，边长为a，则有：AB = AC = AD = aBC = BD = a√2CD = a√3设O为球心，OA = OB = OC = OD = R，则有：∠AOD = 3π/2，∠BOC = π/2，∠AOC = ∠BOD = π/3，则△AOD、△BOC、△AOC、△BOD都是等边三角形。

设M为OA的中点，则有：OM = OA/2 = R/2AD = a√3/3 = 2OM，即 AD/OM = 2∠AOD = 3π/2，∠ADO = π/6△AMO、△ADO相似，则有：AD/OA = OM/AMAD/R = R/2OM2R³ = a³ + 4OM³R³ = a³/(2√3)由此可得：R = a/√6三、克列尔公式的应用克列尔公式的应用非常广泛，特别是在物理、化学和材料科学等领域。

例如，利用克列尔公式可以计算出各种晶体的晶格常数、原子半径和空隙率等参数，进而进一步研究晶体结构和物理性质。

此外，该公式还可以用于诸如密排球堆、分子包装和天然晶体形态等问题的计算。

综上所述，克列尔公式是一种极其重要的数学工具，它不仅有着理论上的重要性，还具有广泛的实际应用价值。

正四面体的外切球半径公式

正四面体的外切球半径公式在我们的数学世界里，正四面体可是个有趣的家伙！今天咱们就来聊聊正四面体的外切球半径公式。

先来说说啥是正四面体。

想象一下，有一个形状，它的四个面都是全等的正三角形，这就是正四面体啦。

那正四面体的外切球半径公式到底是啥呢？这公式是：r = √6a/4 ，其中 a 表示正四面体的棱长。

为了更好地理解这个公式，咱们来做个小实验。

有一次我在课堂上，拿着一个自己做的纸质正四面体模型，给同学们讲解。

我把这个模型举得高高的，让大家都能看清楚。

我问同学们：“大家看，这个正四面体是不是很神奇？那你们猜猜外切球的半径和棱长有啥关系？”同学们都瞪大眼睛，开始思考。

这时候，有个平时很调皮的同学站起来说：“老师，我觉得肯定很复杂！”我笑着说：“其实也没那么难，咱们一步步来。

”咱们来仔细分析分析这个公式。

假设这个正四面体的棱长是 a ，那咱们得找到外切球的球心。

这个球心到正四面体的四个面的距离都相等，也就是半径 r 。

咱们把正四面体分成四个全等的三棱锥，每个三棱锥的高都是外切球的半径 r 。

这四个三棱锥的体积之和就等于正四面体的体积。

通过一系列的计算和推导，咱们就能得出r = √6a/4 这个公式啦。

再回到那个课堂，经过一番讲解，同学们恍然大悟，那个调皮的同学还说：“老师，原来数学也没那么可怕！”在学习这个公式的时候，大家可别死记硬背，要理解其中的原理。

多做几道相关的题目，熟练掌握。

总之，正四面体的外切球半径公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多动手去推导，一定能把它拿下！相信大家在数学的海洋里都能乘风破浪，勇往直前！。