第三章 命题逻辑

第三章命题逻辑1、判断下列语句是否是命题,如果是命题,指出其真值：（1）2是无理数；(2) 存在最大质数；（1）中国是一个人口众多的国家；（2）这座楼真高啊！（3）你喜欢“蓝色的多瑙河”吗？（4）请你关上门。

（5）地球以外的星球上也有人。

解（1）是命题，真值为1。

（1）是命题，真值为0。

（2）是命题，真值为1。

（3）、（5）、（6）均不是命题。

（6）是命题，真值是惟一的，迟早会被指出。

说明要判断一个语句是否是命题，首先要判断它是否是陈述句，然后再判断它的真值是否是惟一的。

本题中，（4）、（5）、（6）均不是陈述句，无法分辨其真假，故都不是命题。

陈述句不一定是命题，这里的关键是：客观上有无真假可言，而不以主观能否判断为标准。

2、将下列命题符号化，并确定其真值：（1）5不是偶数；（2）天气炎热但湿度较低；（3）2+3=5或者他游泳；（4）如果a和b是偶数，则a+b是偶数；（5）2+2=4，当且仅当3是奇数。

解（1）设P：5是偶数。

则（1）是：P⌝，真值为1。

（2）设P：天气炎热。

Q：湿度较低。

则（2）是：P∧Q。

显然，只有在既炎热又湿度较低的情况下，P∧Q的真值为1，否则，其真值皆为0。

（3）设P：2+3=5。

Q：他游泳。

则（3）是：P∨Q，真值为1。

（4）设P：a和b是偶数。

Q：a+b是偶数。

则（4）是P→Q，真值为1。

（5）设P：2+2=4。

Q：3是奇数。

则（5）是：P↔Q，真值为1。

3、设命题P，Q的真值为1，命题R，S的真值为0，试确定下面命题的真值：（1）G=（P∧Q∧R）∨⌝（（P∨Q）∧（R∨S）；（2）G=（﹁（P∧Q）∨⌝R）∨（（（﹁P∧Q）∨﹁R）∧S）；（3）G=（⌝（P∧Q）∨⌝R）∧（（Q↔⌝P）→（R∨S⌝））；（4）G=（P∨（Q→（R∧⌝P）））↔（Q∨⌝S）。

解（1）故（1）的真值为1。

故（2）的真值为1。

故（4）的真值为1。

4、在什么情况下，下面的命题是真的：“说戏院是寒冷的或者是人们常去的地方是不对的，并且说别墅是温暖的或者戏院是讨厌的也是假的。

”解设P：戏院是寒冷是；Q：戏院是人们常去的地方；R：别墅是温暖的；S：戏院是讨厌的；于是，题设命题为G=（﹁（P∨Q））∧（﹁（R∨S）），且G的真值为1。

由此可知，命题（﹁（P∨Q））与（﹁（R∨S））的真值同时为1，即命题（P∨Q）与（R∨S）的真值同时为0，亦即命题P，Q，R，S的真值同时为0。

故当“戏院是温暖的，戏院不是人们常去的地方，别墅是寒冷的，戏院是不讨厌的”时，题设命题是真的。

说明比较复杂的复合命题，命题之间往往会同时用多个联结及圆括号加以联结。

在确定这种形式命题的真值过程中，必然会涉及到真值计算的次序。

如果出现的联结词相同，又无括号时，按从左到右的次序运算；若遇有括号时，优先进行括号中的运算。

总之，应按运算次序逐次求出真值的中间结果，直至完成全部计算。

5、构造下列公式的真值表，并解释其结果。

（1）（P∧（P→Q））→Q；（2）﹁（P→Q）∧Q；（3）（P∨Q ）↔（Q∨R）可见：（P∧（P→Q））→Q是恒真的。

可见：﹁（P→Q）∧Q是恒假的。

（3）的真值表可见：（P∨Q ）↔（Q∨R）是可满足的。

说明从从依照递归形式所给出的公式的定义中，可以看出：公式是一个符号串，设有真值，不是命题，是命题的抽象，仅当我们对其中的各个原子，用确定的真（1）或假（0）代入解释（赋值）时，才得到一个命题。

并将公式在其所有解释下所取真值列成的一个表，称为其真值表。

构造真值表的步骤如下：（1）找出给定公式G中所有的原子AA n,,（n≥1），列出所有可能的解释1（2n个）。

（2）按照从低到高的顺序列出G的各层次，最后为G本身。

（3）根据五个逻辑联结词的真值表，计算出各层次的真值，直至计算出G的真值。

在本题的三个真值表中，我们还会看到有三种不同类型的最后结果。

其中（1）的最后一列全为1（真），（2）的最后一列全为0（假），（3）的最后一列既有1又有0，我们将其分别称为恒真的，恒假的和可满足的。

因此，构造公式G的真值表，是判断公式G的类型的一种方法当然，真值表还有其它的用途，而判断公式的类型也还有其它的方法。

6、用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P→﹁P）→﹁P；（2）﹁（P→Q）∧Q；（3）（P∧﹁P）↔Q；（4）（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）解（1）的真值表（2）的真值表（3）的真值表故公式（3）为可满足。

（4）的真值表说明 设G ：公式 I ：G 的所有解释当真值)(1G T ≡1时，称G 为恒真的。

)(1G T ≡0时，称G 为恒假的。

)(1G T ={10 时，称G 为可满足的。

由定义可知，恒真的和恒假的公式有些很好的特性，如：（1） G ∨﹁G 恒真；G ∧﹁G 恒假。

（若G 表示原子，亦然）；（2） G 是恒真的↔﹁G 是恒假的；（3） 两个恒真的公式的析取、合取、蕴涵、等值均为恒真的。

公式恒真性的判定，是数理逻辑的重要问题。

虽然我们可以用真值表法来判定这一问题，但是这种方法，对于原子数较多的公式，相当繁复。

利用求与G 等价范式的方法，来解决判定问题在某些情况下会简单一些。

7、 证明下面的等价式：（1）（﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∧R ）∨（P ∧R ）=R ；（2）（P ∧（Q ∧S ））∨（﹁P ∧（Q ∧S ））= Q ∧S ；（3）P →(Q →R)=(P ∧Q) →R;(4)﹁(P ↔Q)=(P ∧﹁Q)∨(﹁P ∧Q)证 (1) （﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∧R ）∨（P ∧R ）=（﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∨P ）∧R ） (分配律)=((﹁P ∧﹁Q)∧R)∨（Q ∨P ）∧R) (结合律)=((﹁P ∧﹁Q)∨（Q ∨P ）)∧R) (分配律)=(﹁(P ∨Q)∨(P ∨Q)) ∧R (德·摩根律)=1∧R (互补律)=R (同一律)(2) （P ∧（Q ∧S ））∨（﹁P ∧（Q ∧S ））=(（Q ∧S ）∧P)∨((Q ∧S)∧﹁P) (交换律)=（Q ∧S ）∧(P ∨﹁P) (分配律)=（Q ∧S ）∧1 (互补律)= Q ∧S (同一律)(3) P →(Q →R)= ﹁P ∨(﹁Q ∨R) (蕴涵律)= (﹁P ∨﹁Q)∨R (结合律)=﹁(P∧Q) ∨R (德·摩根律)=(P∧Q)→R (蕴涵律)(4)﹁(P↔Q)=﹁((P↔Q)∧(Q↔P) (等价律)=﹁((﹁P∨Q)∧(﹁Q∨P)) (蕴涵律)=﹁(﹁P∨Q)∨﹁(﹁Q∨P) (德·摩根律)=(﹁(﹁P)∧﹁Q)∨(﹁(﹁Q) ∧﹁P) (双重否定律)=(P∧﹁Q)∨(﹁P∧Q) (交换律)8、证明G∨（G∧H）=G （吸收律）证G∨（G∧H）=G∧1∨（G∧H）（同一律）=G∧（H∨﹁H）∨（G∧H）（互补律）=（G∧H）∨（G∧﹁H）∨（G∧H）(分配律)=（G∧H）∨（G∧H）∨（G∧﹁H）(交换律)=（G∧H）∨（G∧﹁H）（等幂律）=G∧（H∨﹁H）(分配律)= G∧1 (互补律)=G (同一律)证毕.9、化简下列各式：（1）A∨（﹁A∨（B∧﹁B））；（2）（A∧B∧C）∨（﹁A∧B∧C）.解(1) A∨（﹁A∨（B∧﹁B））=A∨（﹁A∨0）(互补律)=A∨﹁A (同一律)= 1 (互补律)(2) (A∧B∧C)∨（﹁A∧B∧C）= (A∧(B∧C)) ∨（﹁A∧(B∧C)）(结合律)=(A∨﹁A) ∧(B∧C) (分配律)=1∧(B∧C) (互补律)= B∧C (同一律)说明设有公式G，H，判定它们是否等价（即G=H），一般来说，常用下面的方法：1、真值表法分别瘵G，H的真值表列出，如果它们的真值表完全相同，则G与H等价，否则就不等。

但是，当公式很繁杂，或所含符号很多时，真值表法的工作量太大。

2、推演法依据基本等价式，在等价的意义下，对G进行推演，得到G=H的形式。

3、主范式法分别求出G与H的主析（合）取范式，若他们相同，则G与H等价；若它们不同，则G与H不等价。

4、范式法判断G↔H恒真时，则G与H等价。

另外，需要指出的是，公式G的等价形式是不唯一的。

10、试将下列公式化为析取范式和合取范式：（1）P∧（P→Q）；（2）﹁（P∨Q）↔（P∧Q）（3）（（P∨Q）→R）→P；（4）（P→Q）↔（﹁Q→﹁P）.解(1) P∧（P→Q）= P∧(﹁P∨Q) (蕴涵律)合取范式=(P∧﹁P)∨（P∧Q）(分配律)析取范式(2) ﹁（P∨Q）↔（P∧Q）=(﹁（P∨Q）→（P∧Q）)∧(（P∧Q）→﹁（P∨Q）)(等值律)=(（P∨Q）∨（P∧Q）) ∧(﹁（P∧Q）∨﹁（P∨Q）) (蕴涵律)=（P∨Q）∧(﹁P∨﹁Q) (分配律) 合取范式=(﹁P∨P) ∨(﹁P∨Q)∨(﹁Q∧P) ∨(﹁Q∧Q) (分配律)析取范式(3) （（P∨Q）→R）→P=(﹁（P∨Q）∨R)→P (蕴涵律)=﹁(﹁（P∨Q）∨R)∨P (蕴涵律)=(﹁﹁（P∨Q）∧﹁R)∨P (德·摩根律)=(（P∨Q）∧﹁R)∨P (双重否定律)=（P∨Q∨P）∧(﹁R∨P ) (分配律) 合取范式=(P∧﹁R)∨(Q∧﹁R) ∨P (分配律)析取范式(4) （P→Q）↔（﹁Q→﹁P）=(﹁P∨Q) ↔(﹁﹁Q∨﹁P) (蕴涵律)=(﹁P∨Q) ↔( Q∨﹁P) (双重否定律)=((﹁P∨Q)→( Q∨﹁P))∧(( Q∨﹁P) →(﹁P∨Q)) (等值律)=(﹁(﹁P∨Q)∨( Q∨﹁P))∧((﹁Q∧﹁﹁P)∨(﹁P∨Q)) (蕴涵律)=((﹁﹁P∧﹁Q) ∨( Q∨﹁P)) ∧((﹁Q∧﹁﹁P)∨(﹁P∨Q)) (德·摩根律)=((P∧﹁Q) ∨( Q∨﹁P)) ∧((﹁Q∧P)∨(﹁P∨Q)) (双重否定律)=( P∨Q∨﹁P) ∧(﹁Q∨Q∨﹁P) ∧(﹁Q∧﹁P∨Q)∧(P∨﹁P∨Q) 合取范式=(P∧﹁Q) ∨( Q∧﹁Q∧P)∨(P∧﹁Q∧P) ∨(﹁P∨Q) (分配律)析取范式说明为得到任意一个公式G的范式(合取范式或析取范式)的步骤如下：（1）应用蕴涵律和等值律，删除G中的→和↔，使G中只含有∨，∧，﹁。

（2）应用双重否定律和(德·摩根律)，将G中所有﹁移至原子之前，使G中每个子句和短语中不含﹁或只有一个﹁。

（3）反复使用分配律，当欲得到合取范式时，用∨分配律；当欲得到析取范式时，用∧分配律。

另外，一个公式的合取范式和析取范式都是不唯一的，当然其真值是相等的。

因此利用范式来判定两个公式是否等价，并不方便，但是，任意一个公式和主范式是唯一的，从而解决了等价公式的判定问题。