第三章 命题逻辑

第三章命题逻辑

1、判断下列语句是否是命题,如果是命题,指出其真值：

（1）2是无理数；

(2) 存在最大质数；

（1）中国是一个人口众多的国家；

（2）这座楼真高啊！

（3）你喜欢“蓝色的多瑙河”吗？

（4）请你关上门。

（5）地球以外的星球上也有人。

解（1）是命题，真值为1。

（1）是命题，真值为0。

（2）是命题，真值为1。

（3）、（5）、（6）均不是命题。

（6）是命题，真值是惟一的，迟早会被指出。

说明要判断一个语句是否是命题，首先要判断它是否是陈述句，然后再判断它的真值是否是惟一的。

本题中，（4）、（5）、（6）均不是陈述句，无法分辨其真假，故都不是命题。陈述句不一定是命题，这里的关键是：客观上有无真假可言，而不以主观能否判断为标准。

2、将下列命题符号化，并确定其真值：

（1）5不是偶数；

（2）天气炎热但湿度较低；

（3）2+3=5或者他游泳；

（4）如果a和b是偶数，则a+b是偶数；

（5）2+2=4，当且仅当3是奇数。

解（1）设P：5是偶数。则（1）是：P

⌝，真值为1。

（2）设P：天气炎热。Q：湿度较低。则（2）是：P∧Q。

显然，只有在既炎热又湿度较低的情况下，P∧Q的真值为1，否则，其真值皆为0。

（3）设P：2+3=5。Q：他游泳。则（3）是：P∨Q，真值为1。

（4）设P：a和b是偶数。Q：a+b是偶数。则（4）是P→Q，真值为1。

（5）设P：2+2=4。Q：3是奇数。则（5）是：P↔Q，真值为1。

3、设命题P，Q的真值为1，命题R，S的真值为0，试确定下面命题的真值：

（1）G=（P∧Q∧R）∨⌝（（P∨Q）∧（R∨S）；

（2）G=（﹁（P∧Q）∨⌝R）∨（（（﹁P∧Q）∨﹁R）∧S）；

（3）G=（⌝（P∧Q）∨⌝R）∧（（Q↔⌝P）→（R∨S

⌝））；

（4）G=（P∨（Q→（R∧⌝P）））↔（Q∨⌝S）。

解（1）

故（1）的真值为1。

故（2）的真值为1。

故（4）的真值为1。

4、在什么情况下，下面的命题是真的：“说戏院是寒冷的或者是人们常去的地方是不对

的，并且说别墅是温暖的或者戏院是讨厌的也是假的。”

解设P：戏院是寒冷是；Q：戏院是人们常去的地方；R：别墅是温暖的；S：戏院是讨厌的；

于是，题设命题为G=（﹁（P∨Q））∧（﹁（R∨S）），且G的真值为1。

由此可知，命题（﹁（P∨Q））与（﹁（R∨S））的真值同时为1，即命题（P∨Q）与（R∨S）的真值同时为0，亦即命题P，Q，R，S的真值同时为0。

故当“戏院是温暖的，戏院不是人们常去的地方，别墅是寒冷的，戏院是不讨厌的”时，题设命题是真的。

说明比较复杂的复合命题，命题之间往往会同时用多个联结及圆括号加以联结。在确定这种形式命题的真值过程中，必然会涉及到真值计算的次序。如果出现的联结词相同，又无括号时，按从左到右的次序运算；若遇有括号时，优先进行括号中的运算。总之，应按运算次序逐次求出真值的中间结果，直至完成全部计算。

5、构造下列公式的真值表，并解释其结果。

（1）（P∧（P→Q））→Q；（2）﹁（P→Q）∧Q；（3）（P∨Q ）↔（Q∨R）

可见：（P∧（P→Q））→Q是恒真的。

可见：﹁（P→Q）∧Q是恒假的。

（3）的真值表

可见：（P∨Q ）↔（Q∨R）是可满足的。

说明从从依照递归形式所给出的公式的定义中，可以看出：公式是一个符号串，设有真值，不是命题，是命题的抽象，仅当我们对其中的各个原子，用确定的真（1）或假（0）代入解释（赋值）时，才得到一个命题。并将公式在其所有解释下所取真值列成的一个表，称为其真值表。

构造真值表的步骤如下：

（1）找出给定公式G中所有的原子A

A n

,

,

（n≥1），列出所有可能的解释

1

（2n个）。

（2）按照从低到高的顺序列出G的各层次，最后为G本身。

（3）根据五个逻辑联结词的真值表，计算出各层次的真值，直至计算出G的真值。

在本题的三个真值表中，我们还会看到有三种不同类型的最后结果。其中（1）的最后一列全为1（真），（2）的最后一列全为0（假），（3）的最后一列既有1又有0，我们将其分别称为恒真的，恒假的和可满足的。因此，构造公式G的真值表，是判断公式G的类型的一种方法当然，真值表还有其它的用途，而判断公式的类型也还有其它的方法。

6、用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？

（1）（P→﹁P）→﹁P；（2）﹁（P→Q）∧Q；

（3）（P∧﹁P）↔Q；（4）（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）

解（1）的真值表

（2）的真值表

（3）的真值表

故公式（3）为可满足。

（4）的真值表

说明 设G ：公式 I ：G 的所有解释

当真值)(1G T ≡1时，称G 为恒真的。

)(1G T ≡0时，称G 为恒假的。

)(1G T ={10 时，称G 为可满足的。

由定义可知，恒真的和恒假的公式有些很好的特性，如：

（1） G ∨﹁G 恒真；G ∧﹁G 恒假。（若G 表示原子，亦然）；

（2） G 是恒真的↔﹁G 是恒假的；

（3） 两个恒真的公式的析取、合取、蕴涵、等值均为恒真的。

公式恒真性的判定，是数理逻辑的重要问题。虽然我们可以用真值表法来判定这一问题，但是这种方法，对于原子数较多的公式，相当繁复。利用求与G 等价范式的方法，来解决判定问题在某些情况下会简单一些。

7、 证明下面的等价式：

（1）（﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∧R ）∨（P ∧R ）=R ；

（2）（P ∧（Q ∧S ））∨（﹁P ∧（Q ∧S ））= Q ∧S ；

（3）P →(Q →R)=(P ∧Q) →R;

(4)﹁(P ↔Q)=(P ∧﹁Q)∨(﹁P ∧Q)

证 (1) （﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∧R ）∨（P ∧R ）

=（﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∨P ）∧R ） (分配律)

=((﹁P ∧﹁Q)∧R)∨（Q ∨P ）∧R) (结合律)

=((﹁P ∧﹁Q)∨（Q ∨P ）)∧R) (分配律)

=(﹁(P ∨Q)∨(P ∨Q)) ∧R (德·摩根律)

=1∧R (互补律)

=R (同一律)

(2) （P ∧（Q ∧S ））∨（﹁P ∧（Q ∧S ））

=(（Q ∧S ）∧P)∨((Q ∧S)∧﹁P) (交换律)

=（Q ∧S ）∧(P ∨﹁P) (分配律)

=（Q ∧S ）∧1 (互补律)

= Q ∧S (同一律)

(3) P →(Q →R)

= ﹁P ∨(﹁Q ∨R) (蕴涵律)

= (﹁P ∨﹁Q)∨R (结合律)