2017_2018版高中数学第一章常用逻辑用语3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题学案北师大版选修2_1

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2018年数学第一章集合与常用逻辑用语第三讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

第三讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】 1．简单的逻辑联结词（1）命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2.全称量词与存在量词(1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．（2）全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立"简记为∀x ∈M ，p (x ）．（3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p （x 0)．3．含有一个量词的命题的否定【教材改编】1．（选修2－1 P 22例1改编)下列命题是真命题的是( ) A ．所有素数都是奇数 B ．∀x ∈R,x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ,x 2是有理数 D ．∀x ∈Z，1x∉Z2．（选修2－1 P16例3(1)改编)有下列两命题：①2≥2；②2≥1，则下列正确的为（)A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假【答案】 A【解析】∵命题“2≥2”由命题p：2＝2，q：2＞2用“或”联结后构成的新命题，且p真q假，∴p∨q为真，即①真，同理②也真，故选A。

3．(选修2－1 P27 A组T3(3）改编)命题p：∃x0∈R，x2，0－x0＋1≤0的否定是（）A．∃x0∈R，x错误!－x0＋1＞0B．∀x∈R，x2－x＋1＞0C．∃x0∈R,x20－x0＋1≥0D．∀x∈R,x2－x＋1≤0【答案】 B【解析】∵命题∃x0∈M，p(x0）的否定是∀x∈M，﹁p(x)，故选B.4．(选修2－1 P27 A组T3（1）改编）命题p：∀x∈N，x2＞x3的否定是( ）A．∃x0∈N，x错误!＞x错误!B．∀x∈N,x2≤x3C．∃x0∈N，x2，0≤x30D．∀x∈N，x2＜x3【答案】 C【解析】∵命题∀x∈M,p（x)的否定是∃x0∈M，﹁p（x0)，故选C.5．(选修2－1 P18 B组T(3)（4）改编)命题p：2＞3，q:8＋7≠15，则“p∧q”的否定是( ）A．2≤3且8＋7＝15 B．2≤3或8＋7＝15C．2＞3或8＋7≠15 D．2≤3且8＋7≠15【答案】 B【解析】因为“p∧q”的否定是“(﹁p）∨(﹁q）”,故选B.【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断(1) 设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0,则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( ）A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧（綈q) D．p∧(綈q)【答案】 A【类题通法】1。

高中数学第一章常用逻辑用语1.3.3全称命题与特称命题的否定121数学

因否定不全面致误
写出命题 p：“存在 x∈[0，1]，x（xx－－12）＜0”的否
定，并判断 p 与其否定的真假． [解] p 的否定为：“对任意 x∈[0，1]，x（xx－－12）≥0 或 x（xx－－12）无意义”．由于存在 x∈[0，1]，x（xx－－12）＜0 不成立，故 p 为假命题．其否定为真命题．
解析：(1)该命题的否定“对任意的 x∈R，都有 x2＋mx＋2m －3≥0”为真命题，即 Δ＝m2－4(2m－3)≤0，得 m∈[2，6]． (2)该命题的否定“存在实数 x，使得 x2＋2x＋a≤0”为真命题，即 Δ＝22－4a≥0 得 a≤1.
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易错警示
1．全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是___特__称________命题．一般地，全称命题“所有的 x∈A，使 p(x)成立”的否定为特称命题“存在 x∈A，使 p(x)不成立”．
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2．“命题‘存在 x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－ 16≤a≤0”的( A ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为“存在 x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，所以它的否定“对任意的 x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，所以 Δ ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.所以“命题‘存在 x∈R，x2＋ ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件．
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高中数学第一章常用逻辑用语1.3.13.2全称量词与全称命题存在量词与特称命题121数学

①任意 φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；
②存在 φ∈R，f(x＋1)＝f(x)；
③任意 φ∈R，f(x)都不是偶函数；
④存在 φ∈R，使 f(x)是奇函数．
其中假命题的序号是( A )
A．①③
B．①④
C．②④
D．②③
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解析：对于命题①，若 f(x＋2π)＝sin(φx＋2πφ＋φ)＝sin(φx ＋φ)成立，φ必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数
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含全称量词或存在(cúnzài)量词命题的应用
(1)“任意 x∈R，x2－ax＋9>0”为真命题，则实数 a 的取值范围是___(－__6_，__6_) _______． (2)若“存在 x∈R，x2＋2x＋2＝m”是真命题，则实数 m 的取值范围是__[_1_，_＋__∞__)_______．
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由于函数 a(t)在－1≤t≤12上是减少的，在12＜t≤1 上是增加的，所以当 t＝12时，取最小值 a＝－32；当 t＝－1 时，取最大值 a ＝3. 所以－32≤a≤3. 故当－32≤a≤3 时满足条件，所以 a 的取值范围是[－32，3]．
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(gèbié)
量词．
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(2)特称命题含有___存__在__(_cú_nz_à_i)量__词___的命题，叫作特称命题．类似全称命题，同一个特称命题，可以有下列五种不同的表述方法： ①存在 x∈A，使 p(x)成立； ②至少有一个 x∈A，使 p(x)成立； ③对有些 x∈A，使 p(x)成立； ④对某个 x∈A，使 p(x)成立； ⑤有一个 x∈A，使 p(x)成立．

高中数学第1章常用逻辑用语 3 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 3.3

3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 3.3 全称命题与特称命题的否定学习目标：1.理解全称量词和存在量词的意义．(重点) 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点) 3.能判断含一个量词的命题的真假．(易混点)1．全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题．思考：在全称命题和特称命题中，量词是否都可以省略？[提示]在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．3．全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题的否定是全称命题．1.判断正误(1)任意x∈R，x>0 的否定是存在x∈R，x<0. ( )(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．( )(3)“三角形内角和是180°”是全称命题．( )[答案](1)×(2)√(3)√2.下列命题是全称命题的个数是( )①任何实数都有平方根；②所有素数都是奇数；③有的等差数列是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0 B．1 C．2 D．3D[①②④是全称命题，故选D.]3.“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)有些存在 [含的量词是有些，为存在量词．]4.命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________．[答案] 特称命题假任意x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0全称命题、特称命题及其真假判断【例1】 (1)有下列四个命题： ①任意x ∈R ，2x 2－3x ＋4>0； ②任意x ∈{1，－1，0}，2x ＋1>0； ③存在x 0∈N ，x 20≤x 0；④存在x 0∈N *，x 0为29的约数．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假． ①对任意实数x ，都有x 2＋1＞0； ②存在一个自然数小于1； ③菱形的对角线相等；④至少有一个实数x ，使sin x ＋cos x ＝53.C [(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以任意x ∈R ，2x 2－3x ＋4>0，故①正确；因为x ＝－1时2x ＋1＜0，所以任意x ∈{1，－1，0}，2x ＋1>0错误，故②错误；当x ＝0时x 20≤x 0，所以存在x 0∈N ，x 20≤x 0，故③正确；因为1，29均为29的约数，所以存在x 0∈N *，x 0为29的约数，故④正确．所以真命题的个数为3.](2)[解] ①全称命题．由x 2≥0，知x 2＋1＞0，所以①是真命题． ②特称命题．由于0∈N ，且0＜1，所以②是真命题．③全称命题．由于有一个角为60°的菱形对角线不相等，所以③是假命题． ④特称命题．由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＜53，所以④是假命题．1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词．需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写．2．要判断全称命题“对任意x ∈M ，p (x )成立”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立．但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．3．要判断特称命题“存在x ∈M ，使p (x )成立”是真命题，只要在集合M 中能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立，否则，这一命题就是假命题．1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2B [A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．](2)判断下列命题的真假．①在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ； ②存在一个函数，既是偶函数又是奇函数； ③每一条线段的长度都能用正有理数来表示； ④存在一个实数x ，使得等式x 2＋x ＋8＝0成立； [解] ①真命题．②真命题，如函数f (x )＝0，既是偶函数又是奇函数．③假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示． ④假命题，方程x 2＋x ＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．全称命题与特称命题的否定(1)p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (2)p ：有的三角形是等边三角形； (3)p ：所有能被3整除的整数是奇数； (4)p ：每一个四边形的四个顶点共圆．[解] (1) 命题p 的否定：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.(2) 命题p的否定：所有的三角形都不是等边三角形．(3) 命题p的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数．(4) 命题p的否定：存在一个四边形的四个顶点不共圆．对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法1．确定类型：是特称命题还是全称命题．2．改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．3．否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．2．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；(3)存在x∈R，使log2x＞0成立；(4)对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．[解](1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．利用两种命题求参数的取值范围1．命题p：对任意的实数x，a>f(x)恒成立，该命题是什么命题？如何求实数a的取值范围？[提示]该命题是全称命题，求实数a的取值范围只要a>f(x)max即可．2．命题p：若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，该命题是什么命题？如何求实数a的取值范围？[提示]该命题是特称命题，求实数a的取值范围只要a>f(x)min即可．【例3】已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对任意x 1∈[－1，3]，存在x 2∈[0，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数m 的取值范围．[思路探究] 存在x 2∈[0，2]，m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，只需m 大于或等于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2在[0，2]上的最小值即可．[解] 因为x 1∈[－1，3]，所以f (x 1)∈[0，9]，又因为对任意x 1∈[－1，3]，存在x 2∈[0，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，即存在x 2∈[0，2]，g (x 2)≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－m ≤0，所以m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122，即m ≥14.1.(变条件)把题设条件“对任意x 1∈[－1，3]，存在x 2∈[0，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)”换成“存在x 1∈[－1，3]，对任意x 2∈[0，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)”，求实数m 的取值范围．[解] 因为x 1∈[－1，3]，所以f (x 1)∈[0，9]，又因为存在x 1∈[－1，3]，对任意x 2∈[0，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，即任意x 2∈[0，2]，g (x 2)≤9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－m ≤9，所以m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－9，m≥⎝ ⎛⎭⎪⎫120－9，即m ≥－8.所以实数m 的取值范围为[－8，＋∞)．2.(变条件)把题设条件“对任意x 1∈[－1，3]，存在x 2∈[0，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)”换成“对任意x ∈[0，2]，使得f (x )≥g (x )”，求实数m 的取值范围．[解] 对任意x ∈[0，2]，使得f (x )≥g (x )等价于对任意x ∈[0，2] x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，即m ≥－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立，因为y ＝－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[0，2]上为减函数，故－154≤－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，所以只需m ≥1即可．即实数m 的取值范围为[1，＋∞)．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．命题p ：任意x ∈R ，x ≥0的否定是( ) A ．任意x ∈R ，x <0 B ．存在x ∈R ，x ≤0 C ．存在x ∈R ，x <0D ．任意x ∈R ，x ≤0C [因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：存在x ∈R ，x <0.故选C.]2．命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x >1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1C [利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x ，都有x ≤1.]3．给出下列四个命题： ①梯形的对角线相等； ②对任意实数x ，均有x ＋2>x ； ③不存在实数x ，使x 2＋x ＋1<0； ④有些三角形不是等腰三角形．其中所有正确命题的序号为________．②③④ [①中直角梯形的对角线不相等；②显然成立；③x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，成立；④显然成立．]4．若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.]5．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x0，使得1x20－x0＋1＝2.[解](1)是全称命题，用符号表示为“α∈R，sin2α＋cos2α＝1”，是真命题．(2)是特称命题，用符号表示为“l，l的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．(4)是特称命题，用符号表示为“x0∈R，1x20－x0＋1＝2”，是假命题．。

高考数学第1章集合与常用逻辑用语第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”课件理北师大版

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根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题． (2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．
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1.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝
(2)由特称命题的否定可得綈p为“任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]
20
全(特)称命题的否定方法：任意x∈M，p(x) 互否存在x0∈M，綈p(x0)，简记：改量词，否结论．
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全称命题、特称命题的真假判断 (1)下列命题中的假命题是( ) A．任意x∈R，x2≥0 B．任意x∈R,2x－1＞0 C．存在x0∈R，lg x0＜1 D．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
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4．逻辑联结词
(1)命题中的_且___、_或___、__非__叫做逻辑联结词．
(2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真真
_真__
_真__
_假__
真假
_假__
_真__
_假__
假真
_假__
_真__
_真__
假假
_假__
_假__
_真__
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[常用结论] 1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真即真． (2)p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假． (3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
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二、教材改编 1．命题“任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是( ) A．存在x0∈R，x20＋x0≤0 B．存在x0∈R，x20＋x0＜0 C．任意x∈R，x2＋x≤0 D．任意x∈R，x2＋x＜0 B [由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B.]

高中数学第一章常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词(含解析)1数学教案

全称量词与存在量词预习课本P21～25，思考并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？[新知初探]1．全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号__∀__全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示__∃__特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”知识点原命题命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)綈p：∃x0∈M，綈p(x0)的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)綈p：∀x∈M，綈p(x)的否定[(1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( )(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( )(3)“三角形内角和是180°”是全称命题( )答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0答案：C3．下列全称命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题与特称命题的判断[典例](1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路[注意] 全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略． [活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； (4)方程3x －2y ＝10有整数解．解：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立． (2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.全称命题、特称命题的真假判断[典例] A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R ，e x>0(2)下列命题中的真命题是( )A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件 [解析] (1)对于A ，x ＝1时，lg x ＝0；对于B ，x ＝k π＋π4(k ∈Z)时，tan x ＝1；对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，所以C 中命题为假命题；对于D ，e x>0恒成立．(2)对于A ，当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；对于B ，令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题；对于C ，向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；对于D ，|x |≤1，即－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，则|x |≤1不一定成立，所以“|x |≤1”为“x ≤1”的充分不必要条件，故D 为假命题．[答案] (1)C (2)B指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假． (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)存在两个相交平面垂直于同一条直线． (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0. 解：(1)是全称命题．∵a x>0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)是全称命题．存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题． (3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， ∴命题(3)是假命题． (4)是特称命题．对任意x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题.全称命题与特称命题的否定[典例] p n n2n pA．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2[解析] (1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．[答案] (1)C (2)D全称命题与特称命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.利用全称命题与特称命题求参数[典例] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解] 法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)，令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立，而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，1＋a 2＋2－a 2，a <－1.由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]．法二：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0，令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－42－a >0，a <－1，f －1≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2.所以－3≤a ≤1. 综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1. 而命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 2．已知命题p ：∃x 0∈R ，使x 20－mx 0＋1＝0，命题q ：∀x ∈R ，有x 2－2x ＋m >0.若命题q ∨(p ∧q )为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．解：由于綈p 为真，所以p 为假，则p ∧q 为假．又q ∨(p ∧q )为真，故q 为真，即p 假、q 真．命题p 为假，即关于x 的方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，则m 2－4<0，解得－2<m <2；命题q 为真，则4－4m <0，解得m >1. 故实数m 的取值范围是(1,2)．层级一学业水平达标1．已知命题p ：∀x >0，总有e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得e x 0≤1 C ．∀x >0，总有e x≤1D ．∀x ≤0，总有e x<1解析：选B 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定綈p 为∃x 0>0，使得e x 0≤1.故选B.2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lg x 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3解析：选B A 中，若sin A ＝sin B ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题，B 显然是真命题；C 中，若lg x 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x <3得14<x <34，故不存在这样的x ∈Z ，故D 为假命题．3．命题“∃x 0∈R,2x 0<12或x 20>x 0”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0≥12或x 20≤x 0B ．∀x ∈R,2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R,2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R,2x 0≥12且x 20≤x 0解析：选C 原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D 当a ＝0时，不等式恒成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4，所以綈p ：a <0或a >4.6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________．解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．答案：所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝08．已知命题“∃x 0∈R,2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题等价于“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”是真命题，即Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定． (1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．解：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π. (2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题，所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.层级二应试能力达标1．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 解析：选D 由正弦函数的图象，知∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，又3<π，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，3sin x <πx ，即∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0. 2．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．p ，q 都是假命题D ．綈q 是假命题解析：选D p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＝2x ＋122≥0，∴p 为假命题，綈p 为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4，∴x 0＝34π时成立．故q 为真，而綈q 为假命题． 3．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋12x ＋34>0.给出下列结论：①命题p 是真命题； ②命题q 是假命题； ③命题(綈p )∧q 是真命题； ④命题p ∨(綈q )是假命题．其中正确的是( ) A ．②④ B ．②③ C ．③④D ．①②③解析：选C 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题；对于命题q ，因为函数y ＝x 2＋12x ＋34的图象开口向上，最小值在x ＝－14处取得，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1116>0，所以命题q 为真命题．由命题p 为假命题和命题q 为真命题可得：命题(綈p )∧q 是真命题，命题p ∨(綈q )是假命题．故③④正确．4．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0解析：选D 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．5．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0； ②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0； ③∃x 0∈N ，x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，x 0为29的约数．其中真命题有________个．解析：易知①③④正确．当x ＝－1时，2x ＋1<0，故②错误．答案：36．已知命题p ：∃c >0，y ＝(3－c )x在R 上为减函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋2c －3>0.若p ∧q 为真命题，则实数c 的取值范围为________．解析：由于p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3.故实数c 的取值范围为(2,3)．答案：(2,3)7．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解：法一：由题意知，x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0，或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0.解得a ≤－3.故命题p 中，a >－3. 即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．8．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围．解：易知f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对∀m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B 根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．3．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：选D ①的逆命题为1a <1b则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．4．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题B ．命题p 是特称命题C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题解析：选C 命题p ：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p 是假命题．5．下列命题中，真命题是( ) A ．命题“若|a |>b ，则a >b ”B ．命题“若“a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C ．命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题 D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b.下列命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题．7．已知f (x )＝e x＋x －1，命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0 C ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0解析：选B 由于函数y ＝e x 和y ＝x －1在R 上均是增函数，则f (x )＝e x＋x －1在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，所以p 为真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0，故选B.8．下列关于函数f (x )＝x 2与函数g (x )＝2x的描述，正确的是( ) A ．∃a 0∈R ，当x >a 0时，总有f (x )<g (x ) B ．∀x ∈R ，f (x )<g (x ) C ．∀x <0，f (x )≠g (x )D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解解析：选A 在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)<g(x)，其余三命题均错误．9．已知p：x≥k，q：3x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选B3x＋1<1⇔x<－1或x>2.又p是q的充分不必要条件，则k>2，故选B.10．下列判断正确的是( )A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N*，x3>x2”的否定是“∃x0∈N*，x30<x20”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：选D 选项A是全称命题，不正确；选项B应该是∃x0∈N*，x30≤x20，不正确；对于选项C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，周期T＝2π2a＝πa，当a＝1时，周期是π，当周期是π时，a＝1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充要条件；选项D正确，故选D.11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C 由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分条件．故选C.12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的逆否命题是________．解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．答案：若b ∉B ，则a ∈A14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．解析：p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题．答案：p ∨q ，綈p15．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3. 由綈p 是綈q 的充分条件可知，q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a >b ，则1a <1b”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．解析：由题意，知ab ≠0，当ab >0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b <a ，所以四种命题都是正确的．当ab <0时，若a >b ，则必有a >0>b ，故1a>0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b，则必有1a<0<1b，故a <0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab <0.答案：ab <0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当a －1＋|b ＋2|＝0时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题． (2)若a －1＋|b ＋2|＝0，则a ＝1且b ＝－2，真命题． (3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x 2，则y ＝1且x ＝1，假命题．19．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知， f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2.若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1.综上可得，c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知k ∈R 且k ≠1，直线l 1：y ＝k 2x ＋1和l 2：y ＝1k －1x －k .(1)求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1k －1，k －1≠0，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2. ∴直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2.(2)设f (x )＝k2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k2×－1＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2.∴k 的取值范围是(－1,2)．21．(本小题满分12分)已知“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，知m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.由－1<x <1，得m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2，故M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2. (2)由x ∈N 是x ∈M 的必要条件，知M ⊆N . ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝(2－a ，a )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，解得a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝(a,2－a )，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不满足M ⊆N . 综上可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫94，＋∞. 22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2，即B ＝{m |m >2}．(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立；③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.综上①②③可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。

2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】

思考2常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.

2017_2018版高中数学第一章经常使用逻辑用语3_1全称量词与全称命题3_2存在量词与特称命题学

3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题学习目标 1.明白得全称量词与存在量词的含义.2.明白得并把握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并把握其判定方式.知识点一全称量词、全称命题试探观看下面的两个语句，试探以下问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).梳理(1)概念短语“______”“每一个”“任何”“__________”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全数的含义，如此的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作__________.(2)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成当即可.知识点二存在量词、特称命题试探观看下面的两个语句，试探以下问题：P：m>5；Q：存在一个m∈Z，m>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)梳理(1)概念短语“________”“__________”“有一个”“存在”都有表示个别或一部份的含义，如此的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作__________.(2)特称命题真假判定要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成当即可，不然这一特称命题确实是假命题.类型一全称命题与特称命题的判定命题角度1 全称命题与特称命题的不同表述例1 设p (x )：2x 是偶数，试用不同的表述方式写出以下命题：(1)全称命题：任意x ∈N ，p (x )；(2)特称命题：存在x ∈N ，p (x ).反思与感悟全称命题或特称命题的表述形式尽管很多，可是具体到一个问题时最为适当的却只有一个，解题时注意明白得.跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”)命题角度2 全称命题与特称命题的识别例2 判定以下命题是全称命题，仍是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.反思与感悟判定一个命题是全称命题仍是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，因此要依照命题表达的意义判定，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.跟踪训练2 判定以下命题是全称命题仍是特称命题.(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x 2＋y 2＝1上存在一个点到直线y ＝x ＋1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)关于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n ，使得a n 与1之差的绝对值小于0.01.类型二全称命题与特称命题的真假的判定例3 判定以下命题的真假.(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；(5)任意x∈R，x2－3x＋2＝0；(6)存在x∈R，x2－3x＋2＝0.反思与感悟要判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每一个元素x，证明p(x)都成立；若是在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么那个全称命题确实是假命题.要判定特称命题“存在x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成当即可；若是在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么那个特称命题确实是假命题.跟踪训练3 判定以下命题的真假：(1)有一些奇函数的图像过原点；(2)存在x∈R,2x2＋x＋1<0；(3)任意x∈R，sin x＋cos x≤ 2.类型三利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围例4 已知以下命题p(x)为真命题，求x的取值范围.(1)命题p(x)：x＋1>x；(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；(3)命题p(x)：sin x>cos x.反思与感悟已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，必然要辨清参数，恰被选取主元，合理确信解题思路.解决此类问题的关键是依照含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题进程中要注意变量取值范围的限制.跟踪训练4 假设方程x 2＋ax ＋1＝0，x 2＋2ax ＋2＝0，x 2－ax ＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a 的取值范围.1.以下命题中，不是全称命题的是( )A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.必然存在没有最大值的二次函数2.命题p ：存在x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：任意a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图像过点(2,0)，那么( )A.p 假q 真B.p 真q 假C.p 假q 假D.p 真q 真 3.已知函数f (x )＝|2x －1|，假设命题“存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)”为真命题，那么以下结论必然成立的是( )A.a ≥0B.a <0C.b ≤0D.b >14.以下命题中，既是真命题又是特称命题的是( )A.存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB.存在实数x ，使sin x ＝π2C.对一切α，sin(180°－α)＝sin αD.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β5.特称命题“存在x 0∈R ，|x 0|＋2≤0”是________命题.(填“真”或“假”)1.判定全称命题的关键：一是先判定是不是命题；二是看是不是含有全称量词.2判定全称命题的真假的方式：概念法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，那么全称命题为假.3.判定特称命题真假的方式：代入法，在给定的集合中找到一个元素x 0，使命题p (x 0)为真，不然命题为假. 提示：完成作业第一章 §3 3.1～3.2答案精析问题导学知识点一试探(1)语句P无法判定真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，能够判定真假，是命题.语句P是命题Q中的一部份.(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.梳理(1)所有任意一条全称命题知识点二试探(1)语句P无法判定真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，能够判定真假，是命题.语句P是命题Q中的一部份.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.梳理(1)有些至少有一个特称命题题型探讨例1 解(1)全称命题：①对所有的自然数x,2x是偶数；②对一切的自然数x,2x是偶数；③对每一个自然数x,2x是偶数；④任选一个自然数x,2x是偶数；⑤凡自然数x，都有2x是偶数.(2)特称命题：①存在一个自然数x，使得2x是偶数；②至少有一个自然数x，使得2x是偶数；③对有些自然数x，使得2x是偶数；④对某个自然数x，使得2x是偶数；⑤有一个自然数x，使得2x是偶数.跟踪训练1 特称例2 解(1)能够改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题.(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.跟踪训练2 解(1)全称命题. (2)特称命题. (3)特称命题. (4)特称命题.例3 解(1)真命题.(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数.(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示.(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解.(5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立.(6)真命题，x ＝2或1，都能使等式x 2－3x ＋2＝0成立.跟踪训练3 解 (1)该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y ＝x 是奇函数，其图像过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是特称命题.∵2x 2＋x ＋1＝2(x ＋14)2＋78≥78>0， ∴不存在x ∈R ，使2x 2＋x ＋1<0.故该命题是假命题.(3)该命题是全称命题.∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立， ∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题.例4 解 (1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R .(2)∵x 2－5x ＋6>0，∴(x －2)(x －3)>0，∴x >3或x <2.(3)∵sin x >cos x ，∴2k π＋π4<x <2k π＋5π4(k ∈Z ). 跟踪训练4 解由方程x 2＋ax ＋1＝0无实根，可知a 2－4<0，即a 2<4，即－2<a <2；由方程x 2＋2ax ＋2＝0无实根，可知a 2－2<0，即a 2<2，即－2<a <2；由方程x 2－ax ＋4＝0无实根，可知a 2－16<0，即a 2<16，即－4<a <4，∴当a 2<2，即－2<a <2时，三个方程均无实根.∴当a ≤－2或a ≥2时，三个方程中至少有一个方程有实根.故a 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞).当堂训练1.D2.A3.B4.A5.假。

高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。

1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。

2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。

（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？（6）（6）x ≤3。

2. 推断下列语句是不是命题。

（1）矩形莫非不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（3）一个数不是合数就是质数。

（4）大角所对的边大于小角所对的边；（5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。

2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词1.3.1全称量词与全称命题

题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)是全称命题.因为2是素数,但2不是奇数, 所以该命题是假命题. (2)是全称命题.因为对任意x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题. (3)是全称命题.由平行四边形的性质可知,该命题是真命题.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】判断下列命题的真假. (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P; (2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示; (4)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立; (5)任意x∈R,x2-3x+2=0; (6)存在x∈R,使x2-3x+2=0.
命
解析:因为对任意 x∈R,x +x+1= ��
2
1 2 + 2
+ ≥
3 4
3 4
> 0,
所以只需m2-m≤0,即 0≤ m≤1.所以当 m=0 或 m=1 时,对任意 x∈ R,m2-m<x2+x+1 成立,故该命题是真命题.
答案:真
内部文件，请勿外传
内部文件，请勿外传
1
2
3
4
5
5.对任意实数x,关于x的不等式2x>m(x2+1)恒成立,求实数m的取值范围. 解不等式2x>m(x2+1)对任意x都成立,即不等式mx2-2x+m<0恒成立. (1)当m=0时,不等式化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意. (2)当m≠0时,要使mx2-2x+m<0恒成立, �� < 0, 则解得m<-1. 2 (-2) -4��2 < 0, 综上可知,所求实数m的取值范围为(-∞,-1).

高中数学第一章常用逻辑用语4全称量词与存在量词12全称量词与存在量词3作业含解析新人教A版选修2_

全称量词和存在量词预习导学基础梳理．全称量词与全称命题．语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．．存在量词和特称命题．语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．．全称命题的否定．般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．称命题的否定是特称命题．．特称命题的否定．般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．称命题的否定是全称命题．,►自测自评．命题“有理数的平方仍是有理数”，用符号“∀”写成全称命题为∀x∈{有理数}，x2∈{有理数}．．给出下列命题：①所有的偶数都不是素数；②∀x>5且x∈R，都有x>3；③有的奇数不是素数；④存在x∈R，x既能被5整数也能被3整除．其中是全称命题的命题序号是①②．随堂巩固．下列命题是特称命题的是(D)．偶函数的图象关于y轴对称．正四棱柱都是平行六面体．不相交的两条直线是平行直线．存在无理数大于等于3．有下列命题：1)所有的素数是奇数；2)∀x∈R，(x－1)2＋1≥1；3)有的无理数的平方是无理数；4)∃x0∈R，使2x20＋x0＋1＝0；5)存在两条相交直线垂直于同一个平面；6)∃x 0∈R ，x 20≤0.中是真命题的为________________(填序号)．案：(2)(3)(6)．给下列四个结论：“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，2x ＞0”；“∀x ∈N ，(x －1)2＞0”的否定是“∃x ∈N ，(x －1)2≠0”；“∃x ∈R ，lg x ＜1”的否定是“∀x ∈R ，lg x ≥1”；“∃x ∈R ，tan x ＝2”的否定是“∀x ∈R ，tan x ＞2或tan x ＜2”．中正确结论的序号是______．案：③④．判断下列命题的真假．1)有的正方形不是矩形；2)有理数是实数；3)存在一个数，它的相反数是它本身；4)∀x ∈N ，x 2＞0；5)∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；6)∃x ∈R ，x 2＋1＜0.析：(1)是假命题，所有的正方形都是矩形；2)是真命题，所有的有理数都是实数；3)是真命题，0的相反数就是它本身；4)是假命题，自然数0的平方不大于0；5)是真命题，因为对于任意实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，从而有a 2＋b 2≥（a ＋b ）22恒成立； 6)是假命题，任何一个实数x 都不满足x 2＋1＜0. ．命题p ：∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0，若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围．析：依题意，∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0恒成立．t ＝2x ，由x ∈[－1，2]，得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4， 4x －2x ＋1＋2－a ＜0，化为a ＞t 2－2t ＋2，即a ＞(t －1)2＋1，命题p 等价于∀t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4. ＞(t －1)2＋1恒成立，令y ＝(t －1)2＋1. t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4时，y max ＝(4－1)2＋1＝10，以只须a ＞10，即可得p 为真命题，所求实数a的取值范围是(10，＋∞)．课时达标．下列是全称命题且是真命题的是(B)．∀x∈R，x2＞0．∀x∈Q，x2∈Q．∃x∈Z，x20＞1．∀x，y∈R，x2＋y2＞0．下列命题中，真命题是(A)．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数析：∵当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)，f(x)是偶函数．∵当m＝1时，f(x)＝x2＋x(x∈R)，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．A对，B、C、D错．故选A.．(2013·广州二模)命题“∃x0∈R，x20＋4x0＋5≤0”的否定是(C)．∃x0∈R，x20＋4x0＋5＞0．∃x0∈R，x20＋4x0＋5≤0．∀x∈R，x2＋4x＋5＞0．∀x∈R，x2＋4x＋5≤0．命题“原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称”的否定是(C)．原函数与反函数的图象关于直线y＝－x对称．原函数不与反函数的图象关于直线y＝x对称．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称．存在原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称．下列命题中的真命题是(D)．∃x0∈R使得sin x0＋cos x0＝1.5．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x．∃x0∈R使得x20＋x0＝－1．∀x∈(0，＋∞)，e x＞x＋1．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)．∃x0∈R，f(x)≤f(x0)．∃x 0∈R ，f (x )≥f (x 0)．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0的否定是__________________________．案：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0. ．有以下三个命题：∀α∈R ，在[α，α＋π]上函数y ＝sin x 都能取到最大值1；②若∃a ∈R ，且a ≠0，f (x＋a )＝－f (x )时∀x ∈R 成立，则f (x )为周期函数；③∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－74π，－34π，使sin x ＜cos x .中正确命题为______(填序号)．析：①为假，如α＝π，ɑ∈[π，2π]时y ＝sin x 最大值为0；为真，f (x ＋2a )－f (x ＋a )＝f (x )，x ∈R 恒成立，T ＝2a ；为假，sin x ＞cos x .案：②．已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围________．案：[－8，＋∞)0．(2013·揭阳二模)已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________．案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 1．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，判断否命题的真假：1)直线与x 轴都有交点；2)正方形都是菱形；3)梯形的对角线相等；4)存在一个三角形，它的内角和大于180°.案：(1)全称命题，否命题为：有些直线与x 轴没有交点．真命题．2)全称命题，否命题为：有些正方形不是菱形，假命题．3)全称命题，否命题为：有些梯形对角线不相等．真命题．4)特称命题，否命题为：所有三角形内角和小于或等于180°.真命题．2．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．析：命题p ：x 2－a ≥0，即a ≤x 2，∵x ∈[1，2]时，上式恒成立，而x 2∈[1，4]，∴a ≤1. 题q ：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2. p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴a ＝1或a ≤－2.实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－2}．体验高考．(2014·湖北卷)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(D)．∀x0∉R，x20≠x0．∀x0∈R，x20＝x0．∃x∉R，x20≠x0．∃x0∈R，x20＝x0．(2014·天津卷)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为(B)．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1．∀x＞0，总有(x＋1)e x0≤1．∀x≤0，总有(x＋1)e x0≤1析：已知命题中含有“∀”，所以该命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式可知，其否定是一个特称命题，把全称量词改为存在量词，然后把“(x＋1)e x＞1”改为“(x0＋1)e x ≤1”即可得到该命题的否定为：“∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1”，故选B.．(2013·重庆卷)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(A)．存在x0∈R，使得x20＜0．对任意x∈R，都有x2＜0．存在x0∈R，使得x20≥0．不存在x∈R，使得x20＜0．(2013·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则(C )．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈B．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈B．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉B．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是(B ) ．p ∧q B ．綈p ∧q．p ∧綈q D ．綈p ∧綈q析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞13＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题；对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0，1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题．上，綈p ∧q 是真命题，故选B.。

2018版高中数学苏教版选修1-1：第一章常用逻辑用语 1.3.1 量词

解析答案
1
2
3
4
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④ 2.下列命题中，不是全称命题的是_____.
①任何一个实数乘以0都等于0； ②自然数都是正整数； ③每一个向量都有大小； ④一定存在没有最大值的二次函数. 解析 ④是存在性命题.
自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
全称量词和全称命题
(1)全称量词：短语“所有”“任意”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“ ∀ ”表示. (2)全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题 .全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p(x) ，读作 “ 对任意x属于M，有p(x)成立”.
有斜率”是假命题.
(3)每个指数函数都是单调函数.
解
无论底数 a ＞1 或是0<a<1 ，指数函数都是单调函数，所以 “ 每个指
数函数都是单调函数”是真命题.
解析答案
题型二
存在量词与存在性命题
例2 判断下列存在性命题的真假： (1)∃x∈Z，x3<1；解 ∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
∴“∃x∈Z，x3<1”是真命题.
所以“∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0”为假命题.
解析答案
(3)∃x∈R，tan x＝1；
解 π π 当 x＝4时，tan 4＝1，所以“∃x∈R，tan x＝1”为真命题.
(4)∃x∈R，lg x＝0.
解当x＝1时，lg 1＝0，所以“∃x∈R，lg x＝0”为真命题.
解析答案
题型三全称命题、存在性命题的应用
答案
知识点二
存在量词和存在性命题
(1)存在量词：短语 “存在一个”“至少有一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“ ∃ ”表示. (2)存在性命题：含有存在量词的命题称为存在性命题 . 存在性命题 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x) ，读作 “存在一个x属于M，使p(x)成立”.