高二数学10月月考试题文
广东深圳盐田高级中学2024年高二10月月考数学试题+答案
2024年10月深圳市盐田高级中学高二年级月考数学试卷班级：高二（ ）班 姓名： 命题人：俞兴保 审题人：陈斌一、单选题（共40分，每题5分）1．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于y 轴对称的点坐标是（ ） A ．()2,1,4-B ．()2,1,4--C ．()2,1,4---D ．()2,1,4-2．已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，且AB a =，AD b =，AA c '=， 则()()4+223a b c a b c -⋅-+=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．1-3．平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11AC 与11B D 的交点，设1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示BO ，则（ ） A ．12BO a b c =-+B ．12BO a b c =+-C ． 12BO a b c =-++D ．1122BO a b c =-++4．若平面,αβ的法向量分别为()()2,1,0,1,2,0a b =-=--，则α与β的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定5．已知()()()1231,9,1,,3,2,0,2,1n n m n =-=-=，若{}123,,n n n 不能构成空间的一个基底，则m =（ ） A ．1B ．3C ．5D ．76．已知()()1,1,0,2,,a t b t t =-=，则b a -的最小值是（ ）A．1BC D 7．四棱锥P ABCD -，底面是平行四边形，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-， 则这个四棱锥的底面积为（ ）A B ．C ．52D ．58．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα->”是“120k k >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题（共18分，每题6分）9．已知向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，则下列结论正确的是（ ） A ．向量a 与向量b 的夹角为π6B ．()c a b ⊥-C ．向量a 在向量b 上的投影向量为110,,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．向量c 与向量a ，b 共面 10．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项一定正确的是（ ）A ．132k k k <<B ．321ααα<<C ．231cos s c s co o ααα<<D ．321sin n s n si i ααα<<11．下列命题正确的是（ ）A ．若p 是平面α的一个法向量，,AB 是直线b 上不同的两点，则b α的充要条件 是0p AB ⋅=B ．已知,,A BC 三点不共线，对于空间中任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面C ．已知()()1,1,2,0,2,3a b =-=，若ka b +与2a b -垂直，则34k =-D ．已知ABC 的顶点分别为()()()1,1,2,4,1,4,3,2,2A B C --，则AC 边上的高BD 的三、填空题（共15分，每题5分）12. 已知空间中的单位向量,,a b c ，其两两夹角均为60︒，则2a b c +-=_______ 13.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC 将△ACD 折起, 当二面角B-AC-D 的大小是600时，则B 、D 的两点间距离为_______.14．下列说法正确的是 ．①直线()24y ax a a =-+∈R 恒过定点()2,4-；②若直线l 50my ++=的倾斜角为π3，则实数m 的值为1-； ③已知直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为60x y +-=或2y x =；④设过原点的直线l 的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45︒，得到直线1l 的倾斜角是45α+︒或135α-︒．四、解答题（共77分）15．（13分）如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥; （2）当1=2AE AB 时，求直线1DA 与平面1CED 成角的大小.16．（15分）在平面直角坐标系中有()0,3A ，()3,3B ，()2,0C ， (1)求直线AC 的一般方程；(2)在三角形ABC 中，求AB 边的高线方程； (3)若直线x m =将△ABC 面积两等分，求m 的值17．（15分）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2,∠A 1AC=60°, 且平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,点P ,Q 又分别是AB ,A 1C 1的中点, (1)求证：//PQ 平面11BCC B ； (2) 求点B 1到平面1A PQ 的距离.18. （17分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 190,1ABC AB BC BB ∠=︒===，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 上的动点，且1AE BF B G ==． (1)求证：11A F C G ⊥；(2)若平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13，求BF ．19．（17分）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，底面ABCD 为正方形，11π3D DA D DC ∠=∠=，点E 为1BB 的中点，点F 为1CC 的中点，动点P 在平面ABCD 内.(1)若AC 中点为O ，求证：1D O ⊥平面ABCD ；(2)若//FP 平面1D AE ，求线段CP 长度的最小值.1．A 2．C【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可.【详解】根据题意知,,,90a b a c b c ===，则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，所以原式=8a ⃗2−3b ⃗⃗2−2c ⃗2=8−3−2=3故选：C 3．D【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解； 【详解】如图： 由平行六面体的性质可得 ()()11111111122222BO BB B O AA BD AA AD AB c b a a b c =+=+=+-=+-=-++，故选：D. 4．B【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系.【详解】∵()()2,1,0,1,2,0ab =-=--，则()()()2112000a b ⨯-+--==⨯+⨯⋅，∴a b ⊥，故αβ⊥.故选：B.5．A【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.【详解】若{}123,,n n n 不能构成空间的一个基底，123,,n n n ∴共面，∴存在,λμ，使123n n n λμ=+， 即1093212m λλμλμ-=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解得131m λμ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：A. 6．D【分析】根据空间向量的坐标运算，表示出b a -的坐标，再根据模的计算公式，即可求得答案.【详解】由题意知()()1,1,0,2,,a t b t t =-=，故()()2,,1,1,0(1,1,)b a t t t t t t -=--=+-，则(1)t b a +==-b a -的最小值是故选：D 7．B【分析】平行四边形面积公式，S =AB ∙AD ∙sin∠BAD ，利用向量数量积，求解cos∠BAD ，进而转换成sin∠BAD【详解】利用向量的数量积公式转换的夹角公 cos∠BAD =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|∙|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√14∙√5=√5√14，sin∠BAD =√1−514=√914S =AB ∙AD ∙sin∠BAD =√14∙√5∙√914=3√5故选：B ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题． 8．C【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，若取122ππ,33αα==，则有()1202ππ1332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππtan tan 3033k k ==-<；若12121212sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>， 所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>， 综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件. 故选：C. 9．BCD【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A ；由向量相乘为0可得向量垂直B 正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C 错误，c a b =+得出向量共面判断D.【详解】因为1011101b a ⋅=⨯+⨯+⨯=，所以cos ,1b a b a =， 可得221cos ,211b a ==++，则向量a 与向量b 的夹角为π3，故A 错误； 因为()()()()1,2,11,0,11120110c a b ⋅-=⋅-=⨯+⨯+⨯-=，所以()c a b ⊥-，即B 正确；根据投影向量的定义可知，向量a 在向量b 上的投影向量为()2111cos ,0,1,10,,222b a b a a b b b b⋅⎛⎫⋅⋅=== ⎪⎝⎭，所以C 正确； 由向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，可知c a b =+，向量c 与向量a ，b 共面， 所以D 正确.故选：BCD 10．ABC【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.【详解】由图可得1320k k k <<<，321ααα<<，cosα1<0<cosα2<cosα3故ABC 正确.故选：ABC. 11．BCD【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A 的结论，利用共面向量的充要条件判断B 的结论，利用向量垂直的充要条件判定C 的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高BD 的值判定D 的结论．【详解】若p 是平面α的一个法向量，直线b 上有不同的两点A ，B ，当b α⊂时， 即使0p AB ⋅=，也不能说明//b α，故A 错误；若212555OP OA OB OC =++，则212()()()555OP OA OB OP OC OP -=-+-，所以12AP PB PC =+，所以,,,P A B C 四点共面，故B 正确； 由题意可得()(),2,23,22,0,1ka b k k k a b +=-++-=-，若ka b +与2a b -垂直，则()()22230ka b a b k k +⋅-=++=，解得34k =-，故C 正确；由题意可得(5,0,2),(4,3,0)AB AC ==-，则AC 边上的高BD 的长即为点B 到直线AC 的距离22AC BD AB AB AC ⎛⎫ ⎪=-⋅= ⎪⎝⎭D 正确． 故选：BCD. 12. √5【分析】利用模长公式，集合数量积的计算，平方后再开根号【详解】|a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗|=√(a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗)2=√a ⃗2+4b ⃗⃗2+c ⃗2+4a ⃗∙b ⃗⃗−2a ⃗∙c ⃗−4b ⃗⃗∙c ⃗=√1+4+1+4×12−2×12−4×12=√513．√2【分析】理解异面直线夹角与方向向量之间的关系，结合基底转换和模长公式即可计算结果.【详解】根据垂直关系，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角，即为二面角B-AC-D 的平面角，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+1+1+2×(−12)=√214．②③④【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④.【详解】直线()24R y ax a a =-+∈即直线()()24R y a x a =-+∈，当2x =时，4y =， 即直线()24R y ax a a =-+∈恒过定点()2,4，①错误；直线√3x +my +5=0，倾斜角为π3，斜率为k =−√3m =tan π3=√3，所以m =−1,②正确；因为直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，当截距都为0时，直线l 方程为2y x =，当截距不为0时，可设直线方程为1x ya a +=，则241a a +=，即6a =，则直线方程为60x y +-=，所以直线l 的方程为2y x =或60x y +-=，③错正确.若倾斜角小于135°，逆时针旋转，倾斜角加45°，即α+45°；若倾斜大于135°，逆时针旋转45°，α＋45°大于180°，倾斜角为45°-（135°-α）=α-135° 故答案为：②③④ 15．（1）证明见解析；（2）12； 【分析】（1）连接1AD ，通过证明1DA ⊥平面1AED ，则可证明11DA ED ⊥； （2）建立空间直角坐标系，根据AEAB的值，计算平面1CED 的法向量，结合点到面的距离公式即可得出答案【详解】（1）如图所示：连接1AD ，因为AB ⊥平面11ADD A ，所以1AB DA ⊥，所以1AE DA ⊥， 又因为四边形11ADD A 为正方形，所以11AD DA ⊥，且1AE AD A =，所以1DA ⊥平面1AED ，所以11DA ED ⊥；（2）建立空间直角坐标系如图所示：E （1，12，0） 设平面1CED 一个法向量为(),,n x y z =， 又()()()()110,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,1D A C D ，所以()11,0,1DA =，CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−12,0), CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,1)，因为100CE n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，{x −12y =0−y +z =0,所以取x =1,所以法向量n ⃗⃗=(1,2,2) 所以|cos 〈DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n⃗⃗〉|=|√2∙3|=√22，所以向量夹角为45°，所以线面夹角为45° 16．（1）3x+2y-6=0;；（2）x=2；（3）m =√3【分析】（1）斜截式求直线方程，化简即可（2）利用垂直关系，得出高线的斜率，再用点斜式方程求解（3）先由两直线的交点坐标的求法求得,D E 的坐标， 再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：（1）由题意的，直线AC 在x 轴和y 轴的截距分别为2和3，由截距式方程x2+y3=1，化简得3x +2y −6=0（2）直线AB 的斜率k AB =3−33−0=0 ，根据垂直关系可得，边AB 上的高线，斜率不存在，由于高线过点C （2，0），所以边AB 上的高线方程为x=2 （3）设直线x m =与边AB ，AC 分别交于点,D E ．由92ABCS=，得94AEDS =． 又直线AC 的方程为123x y +=，而点E 在边AC 上，故可设3,32m E m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因此，3||02mDE =>． 139224AEDm Sm =⋅⋅=，m ∴=17.（1）略；（2）2√155【分析】（1）利用中位线，判定面面平行关系，再转换成线面平行关系；（2）构建空间直角坐标系，计算平面A 1PQ 的法向量，结合点到面的距离公式进行求解 【详解】（1）取A 1B 1的中点M ，连接MQ ，MP在△A1B 1C 1中，A 1Q=QC 1，A 1M=MB 1，∴QM ∥B 1C 1在四边形MPBB 1中，MB 1=PB 且MB 1∥PB ，∴四边形MPBB 1是平行四边形，∴MP ∥BB 1，∵BB 1∩B 1C 1=B 1，BB 1⊆面BCC 1B 1，B 1C 1⊆面BCC 1B 1又∵MP ∩MQ=M ，MP ⊆面MQP ，MQ ⊆面MQO∴面MQP ∥面BCC 1B 1又∵PQ ⊆面MQP ，∴PQ ∥面BCC 1B 1（2）取AC 中点O ，连接A 1O ，BO△ABC 为等腰三角形，∴BO ⊥AC∵面ACC 1A 1⊥面ABC ，面ACC 1A 1∩面ABC=AC ，∴BO ⊥面ACC 1A 1，∴BO ⊥A 1O在△A 1OA ，∠A 1AO=60°，A 1A=2，OA=1，易得AC ⊥A 1O以O 为原点，OA ，OB ，OA 1分别为x,y,z 轴，以建立空间直角坐标系 A 1(0,0,√3)，A(1,0,0)，B(0,√3,0)，C(-1,0,0)，P(12,√32,0)，Q(-1,0,√3)，∵AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴B 1(-1,√3,√3)，∴A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0,0)，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32,−√3)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√3,0)设平面A 1PQ 的法向量为 n ⃗⃗=（x,y,z ），∴{n ⃗⃗∙A 1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−x =0n ⃗⃗∙A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12x +√32y −√3z =0，设y=2，取 n ⃗⃗=（0,2,1）d =|n ⃗⃗∙A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗||=|2√3√5=2√15518.(1)证明过程见解析；(2)12【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110A F C G ⋅=，得到垂直关系；（2）在（1）的基础上，得到10A F EG ⋅=，故1A F EG ⊥，从而得到线面垂直，故()11,1,A F m =--为平面1EGC 的一个法向量，结合平面11AA B B 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出m ，从而求出BF .【详解】（1）因为1B B ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ， 所以1B B AB ⊥，1B B BC ，又90ABC ∠=︒，故1,,B B AB BC 两两垂直，以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 因为11AB BC BB ===，1AE BF B G ==，设1AE BF B G m ===，01m ≤≤， 所以()()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,0,1,0A F m C G m -，则()()()()()()110,0,1,1,01,1,,0,1,00,1,10,,1A F m m C G m m =-=--=--=--，则()()111,1,0,,10A F C G m m m m ⋅=--⋅--=-=，故11A F C G ⊥；（2）()1,0,0E m -，则()()()0,1,01,0,01,1,0EG m m m m =---=--，则()()11,1,1,1,0110A F EG m m m m m ⋅=--⋅--=-+-=，则1A F EG ⊥，又1C G EG G ⋂=，1,C G EG ⊂平面1EGC ，所以1A F ⊥平面1EGC ，故()11,1,A F m =--为平面1EGC 的一个法向量，又平面11AA B B 的法向量为()0,0,1n =，则平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为(1111,1,cos ,A F nA F n A F n m ⋅--==⋅又平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13， 13=，解得12m =，故12BF =. 19.(1)略 【分析】（1）利用几何关系求出1OD OD ==22211+OD OD DD =，得到线线垂直关系，进而得到面面垂直关系；（2）构造平面//DFH 平面1DAE ，从而确定点P 必在DH 上，然后利用等面积法求解即可；或者利用空间向量结合二次函数求最值.【详解】（1）连接OD 、1OD 、1D C ，11π2,3D D DA D DA ==∠=， 12D A ∴=，同理12D C =，O 是正方形对角线AC 中点，1D O AC ∴⊥，且AC =1OD OA OD ∴===即22211+OD OD DD =，则1OD OD ⊥，∵AC=AD,11π3D DA D DC ∠=∠=∴△ADD 1≌△CDD 1，∴AD 1=CD 1，∴△ACD 1为等腰△，∴D 1O ⊥AC ∵AC ∩DO=O ，AC ⊆面ABCD ，DO ⊆面ABCD ∴D 1O ⊥面ABCD（2）法一：取BC 中点H ，连接HD ，HF ，DF ，易得//,DA E EF F DA =，故四边形EFDA 是平行四边形， //DF AE ∴，又DF ⊄ 平面1,D AE AE ⊂ 平面1D AE ，//DF ∴平面1D AE ，同理11////FH BC D A ， FH ⊄平面 11D AE D A ⊂， 平面1D AE ， //FH ∴平面 1D AE ，且FH DF F ⋂=都在面DFH 内， 故平面//DFH 平面1D AE ，则点P 必在DH 上，且当CP DH ⊥时取得CP 的最小长度，DH CD ==由等面积法得：1122CP DH DC CH ⨯=⨯，解得CP =故CP法二：取1,,DA DC DD 为一组空间基底，则11D A DD DA =-+，112AE DC DD =+， //FP 平面1D AE ，1FP mD A nAE ∴=+，代入整理得12n FP m DD mDA nDC =++（-）， 故1111222n CP FP CF FP DD m DD mDA nDC =+=+=+++（-）， 动点P 在平面ABCD 内，1022n m ∴+=-， 122n m ∴=+，故2||4CP mDA nDC =+=（）当且仅当15n =-时，||CP 法三：由第一问知11,,D O AC D O OD OD AC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则1D （，D ），(0,C，），(B ， 11DD CC =，1(C ∴，(F ， 同理11DD BB =，1(B ∴-，(E ，1(0,D A =，1(D E =， 设平面1D AE 的法向量为(,,)n x y z=，则11000022n DA n D E x z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=--=⎪⎪⎩⎩，令1x =-，得(1,3,3)n =-， 设点(,,0)Pm n，(FP m n =，0n FP⋅=，即3m n =故||CP m =当且仅当n =||CP。
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
福建省莆田市第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
福建省莆田市第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知某数列为34562491625---L ，，，，，，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ） A ．1081-B ．1081C ．11100-D ．111002．已知等比数列{}210416,n a a a ,＝,＝则6a =（ ） A ．8 B ．±8 C ．10 D ．±103．已知两点()()3,1,2,5M N -，直线l 过点()1,1P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)4,+∞C ．[]1,4-D ．(][),14,-∞-⋃+∞4．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，23a =，21n n n a a a +++=，则2024S 的值为（ ） A ．0B ．3C ．4D ．55．已知数列{}n a 满足()123232n a a a na n n ++++=+L ，则66a =（ ） A ．2B ．13366C ．13766D ．139666．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由45个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有1,3,7,9个点，四角各有2,4,6,8个点，中间有5个点，简化成如图33⨯的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个n 阶幻方就填好了，记n 阶幻方对角线上的数字之和为n S ，则8S 的值为（ ）A ．111B ．175C ．260D ．3697．在数列{}n a 中，25n a n n=+，则12232425a a a a a a -+-++-=L （ ） A ．25B ．32C ．62D ．728．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,1,2,n n na n a a a n ++⎧==⎨⎩为奇数为偶数，则100S =（ ）A ．5132156⨯-B ．5132103⨯-C ．5032156⨯-D ．5032103⨯-二、多选题9．已知数列{}n a 的通项公式为()627nn a n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．1a 是数列{}n a 的最小项B ．4a 是数列{}n a 的最大项C ．5a 是数列{}n a 的最大项D ．当5n ≥时，数列{}n a 递减10．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，若16121410S S S S +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．260S =B ．若131S =-，则393S =C ．当13n =时，n S 取得最小值D ．当0d >时，满足0n S <的最大整数n 的值为2511．已知n T 是正项数列{}n a 的前n 项积，且n n n n a T a T +=，将数列{}n T 的第1项，第3项，第7项，…，第21n -项抽出来，按原顺序组成一个新数列{}n b ，令n n n c T b =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，且不等式()1n n S λ>-⋅对*n ∀∈N 恒成立，则（ ）A ．数列{}n T 是等比数列B ．1+=n n a nC ．12n n S n +=⋅D ．实数λ的取值范围是(−4,16)三、填空题12．已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n =+，则数列{}n a 的通项公式为13．等比数列 a n 中，112a =，44a =-，令1n n b a =，则数列 b n 前n 项和为n S =.14．已知函数31()31x x f x -=+，数列{}n a 满足121a a ==，()*3n n a a n +=∈N ，()()2340f a f a a ++=，则20241i i a ==∑．四、解答题15．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =．若5a ，2a ，1a 成等比数列． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S16．已知直线l 过定点()1,4A ，且直线l 在x ，y 轴上的截距依次为m 和n . (1)若直线l 在x ，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若直线l 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于B ，C 两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形BOC 面积最小时直线l 的方程.17．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，*n N ∈．数列{}n b 满足11b =，11n n n S n S b n +-=+++，其中n S 为数列{}n b 是前n 项和．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)令()()21n n n b n c n a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1524n T ≤<． 18．记n S 是公差不为0的等差数列 a n 的前n 项和，已知3453a a S +=，154a a S =，数列 b n 满足()11322n n n b b n --=+≥，且111b a =-.(1)求 a n 的通项公式；(2)证明数列12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列 b n 的通项公式； (3)求证：对于任意正整数n ，2221211112n a a a ++⋅⋅⋅+<19．已知数列{}n a 满足：11a =，25a =，2144n n n a a a ++=-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对于数列{}n b ，规定{}n b ∆为数列{}n b 的一阶差分数列，其中1n n n b b b +∆=-.如果{}n b 的一阶差分数列满足()*,,i j b b i j i j ∆≠∆∀∈≠N ，则称{}n b 是“绝对差异数列”.判断数列{}n a 是否为“绝对差异数列”并给出证明.(3)设12231nn a c n =+-，()()()112121nn n n n c d +-=++，记数列{}n d 的前n 项和为n T ，若对任意的n *∈N ，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围.。
高二10月月考(数学)试题含答案
高二10月月考（数学）（考试总分：100 分）一、 单选题 （本题共计7小题，总分35分）1.（5分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4512a a +=，则8S 的值为（ ） A ．14B ．28C ．36D ．482.（5分）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m > 到其焦点的距离为5，则实数m 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．83.（5分）已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y +-=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．24.（5分）已知空间向量(2,1,2)a =-，(1,2,1)b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是（ ） A ．424(,,)333-B ．(2,1,2)-C ．242(,,)333-D ．(1,2,1)-5.（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A ．192 里B ．96 里C ．48 里D ．24 里6.（5分）设1F ，2F 是椭圆22:193x y C m m+=++的焦点，若椭圆C 上存在一点P 满足1290F PF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．](,3-∞B ．](3,3-C ．)3,+∞⎡⎣D ．]3,3⎡-⎣7.（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点为1A 、2A ，又点()10,B b -、()20,B b ，若焦点到渐近线的距离等于2，112211222F B F B A B A B S S =四边形四边形，则双曲线的方程为（ ）A ．223144x y -=B ．2241134x y -= C ．223142x y -= D ．224132x y -=二、 多选题 （本题共计2小题，总分10分）8.（5分）已知111ABC A B C -是各条棱长均等于1的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，下列结论正确的是（ ）A ．AC 与平面1AB D B ．平面1AB D 与平面111A BC 所成的角是60 C ．1A B AD ⊥ D ．平面1A BD ⊥平面1AB D9.（5分）已知0a b >>，椭圆22122:1x y C a b +=的离心率为1e ，双曲线22222:1x y C a b-=的离心率为2e 则（ ） A ．椭圆1C 的长轴长为2a B ．双曲线2C 的虚轴长为2aC ．椭圆1C 与双曲线2C 的焦距相等D ．22122e e += 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分）10.（5分）设,P Q 分别为直线0x y -= 和圆22(6)2x y +-= 上的点，则||PQ 的最小值为_______.11.（5分）在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960a a a a ++++=，则123100a a a a ++++=__________.12.（5分）己知椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，过点)(1,1M -且斜率为12的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的方程为______．四、 解答题 （本题共计3小题，总分40分）13.（13分）已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1＝3，且a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若S n 表示数列{a n }的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．14.（13分）如图，已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N AM C --的正弦值．15.（14分）己知F 是椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点M 在椭圆上，MF x ⊥轴，MF 4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 为直线:l x =Q 为椭圆C 上一点，且以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求2216OP OQ -的取值范围．答案一、 单选题 （本题共计7小题，总分35分） 1.（5分）D 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质即可求出. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和， 所以()()18818842a a S a a +==+ ()45448a a =+=故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题. 2.（5分）C 【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离解出p ，再将点M 的坐标代入抛物线方程即可解得. 【详解】抛物线的准线方程为：2px =-，因为M 到焦点距离为5，所以M 到准线的距离152p+=，即p =8，则抛物线方程为216y x =.将(1,m )代入得：216m =，因为0,m >所以4m =.故选：C. 3.（5分）B 【分析】首先由点P 的坐标满足圆的方程来确定点P 在圆上，然后求出过点P 的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解. 【详解】由题知，圆22(1)5x y +-=的圆心(0,1)C ，半径r = 因为222(21)5+-=，所以点(2,2)P 在圆C 上， 所以过点P 的圆C 的切线l 与直线PC 垂直， 设切线l 的斜率k ，则有1PC k k ⋅=-，即21120k -⋅=--，解得2k =-. 因为直线10ax y -+=与切线l 垂直， 所以1k a ⋅=-，解得12a =. 故选：B. 4.（5分）A 【分析】由向量b 在向量a 上的投影向量为||cos ,||ab a b a <>，计算即可求出答案． 【详解】解：向量(2,1,2)a =-，(1,2,1)b =-则2||223a =+，22||11b =+()()2112126a b =⨯+-⨯-+⨯=，所以向量b 在向量a 上的投影向量为()2,1,26424cos ,6,,333336a a b a b a bb a aa b -⋅⎛⎫=⋅=⨯=- ⎪⨯⎝⎭． 故选：A ． 5.（5分）B 【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列{}n a ，由题意和等比数列的求和公式可得61112378112a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎦，解得1192a =，第此人第二天走1192962⨯=里.故选：B ． 6.（5分）B 【分析】判断椭圆的焦点所在轴，P 点为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠取得最大角，进而得出结论． 【详解】解：因为椭圆方程为22:193x y C m m+=++，930,3m m m +>+>>-，排除A,D 选项， 所以椭圆焦点在x 轴，29a m =+，23b m =+，所以c 当P 点为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠取得最大角，设12F PF θ=∠，则ππ,sin 4222θθ≤<=，解得33m -<， m 的取值范围是(3-，3]．故选：B ． 7.（5分）A 【分析】求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出2b =，再根据题意可得222c b a b ⋅=⨯⋅，求出2c a =，再由222a c b =-即可求解. 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，可得()1,0F c -，()2,0F c ，()1,0A a -，()2,0A a ， 其渐近线为by x a=±，不妨取by x a =，即0bx ay -=，则()2,0F c 2b ==，又112211222F B F B A B A B S S =四边形四边形，则222c b a b ⋅=⨯⋅，即2c a =，因为222a c b =-，则2244a a =-，解得243a =，所以双曲线的方程为223144x y -=. 故选：A二、 多选题 （本题共计2小题，总分10分）8.（5分）ACD 【分析】根据正三棱柱的性质，结合空间线面的关系，逐项分析判断即可得解. 【详解】对A ，设点C 到平面1AB D 的距离为h ，易知1B 到平面ACD 由11C ABD B ACD V V --=，可得1113332AB DACD Sh S ⋅=⋅，由1AB =，AD =1B D =所以112AB DS==14ACDS =，解得h =AC 与平面1AB D 所成的角的正弦值为41hAC ==A 正确； 如图，延长1,B D BC 交于点P ，连接AP ，由112CD BB =知C 为BP 中点，由ABC 为等边三角形， 所以90BAP ∠=，所以1BAB ∠为二面角的平面角， 易知145BAB ∠=，故B 错误；对C ，由AB AP ⊥，根据正三棱柱的性质可得AP ⊥平面11ABB A ， 所以1AP A B ⊥，又11A B AB ⊥，所以1A B ⊥平面1AB P ，所以1A B AD ⊥，故C 正确； 对D ，由C 答案的分析可知，1A B ⊥平面1AB P ，1A B ⊥平面1AB D ，而1A B ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面1AB D ，故D 正确. 故选：ACD 9.（5分）AD 【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐一判断即可. 【详解】 对于A ，椭圆22122:1x y C a b +=，且0a b >>，所以1C 的长轴长为2a ，故A 正确； 对于B ，双曲线22222:1x y C a b-=，2C 的虚轴长为2b ，故B 不正确；对于C ，椭圆1C 的焦距为2C 的焦距为C 不正确；对于D ，22221221a b b e a a-==-，22222221a b b e a a +==+，所以22122e e +=，故D 正确； 故选：AD三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分）10.（5分）【分析】易知||PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】圆心()0,6到直线0x y -=的距离为d ==所以||PQ 的最小值为d r -==故答案为： 11.（5分）145 【分析】根据题意得到12310013599246100a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++，再由等差数列性质得到24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++，代入数据计算即可得到答案.等差数列{}n a 中，已知公差12d =，12310013599246100a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=. 故答案为：145.2212x y += 12.（5分）【分析】设出点A ，B 的坐标，利用中点坐标公式，斜率公式以及点差法联立即可求解． 【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由已知可得：122x x +=-，122y y +=，且121212y y x x -=-，把点A ，B 的坐标代入椭圆方程可得：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，则2121221212()()1()()2y y y y b a x x x x -+=-=-+，又抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，所以1c =， 所以221a b -=，则22a =，21b =，所以椭圆的方程为：2212x y +=，故答案为：2212x y +=．四、 解答题 （本题共计3小题，总分40分） 13.（13分）（1）a n ＝2n +1（2）T n ＝32342(1)(2)n n n +-++ 【分析】（1）根据题意得24113a a a =⋅，设公差为d ，代入可求得d 值，代入等差数列通项公式，（2）由（1）得a n ＝2n +1，即可求得n S ，进而可得11111()(2)22n S n n n n ==-++，根据裂项相消求和法，计算即可得答案. （1）由题意得：24113a a a =⋅，设公差为()d d ≠0，所以（3+3d ）2＝3（3+12d ），解得d ＝0（舍）或2， 所以a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1． （2）由于（1）得a n ＝2n +1，则(24)2n n n S +=＝n 2+2n ， 所以11111()(2)22n S n n n n ==-++．所以T n ＝1111111111(1)232435112n n n n -+-+-++-+--++ =1111(1)2212n n +--++＝32342(1)(2)n n n +-++．14.（13分）（1）证明见解析；（2 【分析】（1）先在等腰三角形ABC 中证OB AC ⊥，然后在MOB △中根据勾股定理证OB OM ⊥，从而结论得证；（2）用向量法求两个面的法向量，根据向量的夹角公式来求二面角的余弦值. 【详解】（1）连接OM ，在ABC 中，因为2AB BC ==，AC =O 为AC 的中点，所以OB AC ⊥，且OB在MAC △中，因为MA MC AC ===O 为AC 的中点，所以OM AC ⊥，且OM =在MOB △中，因为OB OM =MB = 所以222BO OM MB +=，所以OB OM ⊥，又AC OM O =，,AC OM ⊂平面AMC ，所以OB ⊥平面AMC ．（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为MA MB MC AC ====2AB BC ==，所以(0,A，B，C，M ，(0,AM =，(BC =-，由23BN BC =，得(33N，则2(33AN =， 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则20320ANm x y AM m y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令y =(51)m =--， 因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB =为平面AMC 的一个法向量， 设二面角N AM C --为θ，则cos cos ,m OB θ-=〈〉==因为[]0,θπ∈，所以二面角的正弦值sin θ===15.（14分）（1）22184x y +=；（2）[50-，)+∞． 【分析】（1）由已知建立等式关系，联立方程求出a ，b ，再得到椭圆的方程；（2）根据椭圆的参数方程设点Q 的坐标，再设点P 的坐标，利用已知可得OP ，OQ 垂直，则向量OP 与向量OQ 的数量积为0，得出等式关系，然后表示出所求的关系式，利用基本不等式，得到其范围．【详解】（1）由已知可得224b b a=⎧⎪⎨=⎪⎩a =2b =， 所以椭圆的标准方程为22184x y +=； （2）根据椭圆的参数方程可设点,2sin )Q θθ，[0θ∈，2)π，另设点P的坐标为)m ，因为以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，所以OP OQ ⊥，即12cos 2sin 0OP OQ m θθ⋅=+=，所以6cos sin m θθ=-， 所以22222||16||1816(8cos 4sin )OP OQ m θθ-=+-+223664146sin sin θθ=+-， 令2sin [0t θ=∈，1]， 则223636||16||641462641469614650OP OQ t t t-=+-⨯=-=-，当且仅当3664t t =，即3t 4=时取等号， 此时22||16||OP OQ -的取值范围为[50-，)+∞．【点睛】解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.。
河北省鸡泽县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 (含答案)
2024~2025学年度高二上学期10月月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设直线的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）A.B.C.1D.23.已知直线与平行，且过点，则（ ）A.B.3C.D.24.如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ）A. B.:80l x +=αα=30 60 120 150α()4,2,n m =- l ()1,3,2u =--l ∥αm =2-1-1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=2l ()3,1-ab=3-2-P ABC -G ABC V M PG 3PM MG =,,PA a PB b PC c === AM =311444a b c -++ 311434a b c-++C. D.5.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（）A. B.C. D.6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（）7.已知实数满足，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.8.在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（）D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间向量，且，则下列说法正确的是（）111444a b c-++111434a b c-++()1,5-220x y-+=()2,72110x y+-=410x y--=4150x y+-=90x y+-=111ABC A B C-ABCV1AA=2AB=C1AB ,x y21y x=-12x-……63yx--[)9,3,4∞∞⎛⎤--⋃+⎥⎝⎦93,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)9,3,4∞∞⎛⎤-⋃+⎥⎝⎦9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦P ABC-3PA AB==M()2PM xPA yPB x y PC=++--AM ()()()1,2,3,23,0,5,2,4,a abc m=+=-=a ∥cA.B.C. D.10.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）A.始终过定点B.若，则或C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限11.如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹长度为B.点到平面的距离是定值C.直线与平面D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为__________.13.已知向量，若共面，则__________.14.如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为b = 6m =()2b c a +⊥cos ,b c <>= 1:0l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=2l 21,33⎛⎫⎪⎝⎭1l ∥2l 1a =3-12l l ⊥0a =0a >1l 1111ABCD A B C D -,P M 1111A B C D AP BM AC =⊥P πM 1A BD CP ABCD PM 1()3,1P l x y l ()()()3,2,3,1,3,2,7,0,a b c λ=-=--= ,,a b cλ=111ABC A B C -12,AB AA M ==11B C N的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知的顶点坐标为.（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程.16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与直线的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.AM CN 11ABB A ABC V ()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB 111ABC A B C -1,AB AC AB AC AA ⊥==,E F 11,AB A B AF ∥1B CE 1C E AF 1111ABCD A B C D -ABCD 11,2AC DB AA ⊥==P 1DD 12DP PD =（1）求证：四边形为正方形；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知直线过定点.（1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程；（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上存在一点，使直线与平面，求的长.ABCD 1AD PAC ()1:340l kx y k k ---=∈R P P 2l 1l x A y ,B ABO V S O S 1l P ABCD -ABCD 90,1,2,60,30ADC BCD BC CD PD PDA PAD ∠∠∠∠======= PAD ⊥ABCD ABCD B BO AD ⊥AD O PO PO ⊥ABCD A PB C --PA M BM PAD PM2024~2025学年度高二上学期10月月考·数学参考答案、提示及评分细则1.A 因为直线的斜率为，又，.故选A.2.B 因为，所以，所以，解得.故选B.3.D 因为直线与直线平行，，解得，直线过，则得，经验证与不重合，.故选D.4.A 因为为的重心，所以，又点是线段上的一点，且，所以.故选A.5.C 点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即，故选C.6.C 取的中点，则，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，:80l x +=k =tan α=0180α< …30α= l ∥αn u ⊥ 4620n u m ⋅=-++= 1m =-1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=12121313,,22k k k k a a=-=-=⇒-=-6a =2:l ()3,1-960b -++=3b =1l 2l 2ab∴=G ABC V ()()()1112333AG AB AC PB PA PC PA b c a =+=-+-=+-M PG 3PM MG =()()1131311132444443444AM AG GM AG GA AP PA AG a b c a b c a =+=++=-+=-+⨯+-=+-()1,5-220x y -+=(),x y ()51312351202y x x y y x -⎧=-⎪=⎧⎪+⇒⎨⎨=+⎩⎪--+=⎪⎩()()733,3,2,7,423k -==--()433y x =--+4150x y +-=AC O ,BO AC BO ⊥=O xyz -()()10,1,0,,0,1,0A B C -()1,0,2,0AB CA ==-CA 1AB11CA AB AB ⋅==故点到直线的距离为.故选C.7.D 由于点满足关系式，且，可知在线段上移动，且，，设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选D.8.B 延长至点，使得，所以，又由，所以四点共面，所以的最小值为点到平面的距离，又点是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又，易得点到平面的距离为，所以.故选B.9.ABD ，故A 正确；，设，故B 正确；，故C 错误；，故D正确.故选ABD.10.ACD11.BCD 因为，所以，即点在底面C 1AB d ==(),x y 21y x =-12x -……(),x y AB ()1,3A --()2,3B ()3,6Q ()()63963,331432QA QB k k ---====---(),x y AB 63y x --9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,PA PB PC ,,D E F 2,2,2PD PA PE PB PF PC ===()()22222x y x y PM xPA yPB x y PC PD PE PF --=++--=++ ()21222x y x y --++=,,,M D E F AM A DEF A PD A DEF P DEF 6PD PE PF DE DF EF ======P DEF AM ()()()1,2,3,23,0,5,2,1,1,a a b b b =+=-∴=--∴== ()2,4,,c m a = ∥c 121,24263a c m m λλλλλ=⎧⎧=⎪⎪=∴=⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩()()22,2,8,2212283260b c a b c +=-⋅+=-⨯+⨯+⨯=≠cos ,b c b c b c⋅<>===⋅AP ===11A P =E内是以为圆心､半径为1的圆上，所以点的轨迹长度为，故A 错误；在正方体中，，又平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，又平面，所以点到平面的距离是定值，故B 正确；因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，又，所以直线与平面所成角的正切，故C 正确；到直线的距离为落在上时，，故D 正确.故选BCD.12.答案见错题集13.5 因为共面，所以存在实数，使得，即，即14. 取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，且，因为为的中点，故，于是，平面的一个法向量为，1111A B C D 1A 14P π21111ABCD A B C D -AC BD ⊥,,,AC BM BD BM B BD BM ⊥⋂=⊂DBM AC ⊥DBM M 11B D 11B D ∥1A BD M 1A BD P ABCD P ABCD P 'P C 'CP ABCD min 1P C ='CP ABCD 1A 11B D d =,P M 11A C min 1PM =-,,a b c ,x y c xa yb =+ ()()()7,0,3,2,31,3,2x y λ=-+--73023,3,2, 5.32x yx y x y x y λλ=-⎧⎪=-+===⎨⎪=-⎩解得AB O O ()0,1,0A )CM a a ⎛- ⎝a ⎡∈⎣N AM 2a N ⎛ ⎝2a CN a ⎛= ⎝ 11ABB A )OC =cos ,OC CN OC CN OC CN⋅<>==⋅设，则，，故.15.（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.16.（1）证明：由于三棱柱是直三棱柱，所以，因为点分别为棱的中点，所以，则四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面（2）解：因为直三棱柱，所以以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，于是，设直线与直线的夹角为，则2a t t ⎡=∈⎢⎣cos ,OC CN <>==1t ⎡∈⎢⎣cos ,OC CN <>∈ D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD ()10139y x +=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=111ABC A B C -11AB A B ∥,E F 11,AB A B 1AE B F ∥1AEB F AF ∥1B E AF ⊄11,B CE B E ⊂1B CE AF ∥1;B CE 111,ABC A B C AB AC -⊥A 1,,AB AC AA x y z 12AA =()()()10,2,2,1,0,0,1,0,2C E F ()()11,2,2,1,0,2C E AF =--=1C E AF θ11cos C E AF C E AFθ⋅==⋅所以直线与直线17.（1）证明：连接，如图所示，在直四棱柱中，平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；（2）解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，解得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，1C E AF DB 1111ABCD A B C D -1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1BB AC ⊥111111,,,AC DB BB DB B BB DB ⊥⋂=⊂1BDB AC ⊥1BDB BD ⊂1BDB AC BD ⊥ABCDABCD D 1,,DA DCDD x y z )()()14,,0,0,2,0,0,3AC D P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()144,,233PA PC AD ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎭⎝⎭PAC (),,n xy z =403403n EA z n EC z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩3z =x y ==PAC ()n =1AD PAC θ所以，即直线与平面.18.答案见错题集19.答案见错题集111sin cos ,||n AD n AD n AD θ⋅==== 1AD PAC。
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。
高二10月月考(数学)试题含答案
高二10月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）A．4 B．﹣4C．D．﹣2.（5分）如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1 C．D．2（1+）3.（5分）已知0＜α＜π，2sin2α＝sinα，则sin（α﹣）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则＝（）A．B．C．D．25.（5分）在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（）A．m B．m C．m D．m6.（5分）在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝2，点P是斜边上的一个三等分点，则＝（）A．0 B．4 C．D．﹣7.（5分）在△ABC中，若sin（A+B﹣C）＝sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形8.（5分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝，点P 是线段BC 1上一动点，则CP +PA 1的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分） 9.（5分）若将函数f （x ）＝2sin （x +）图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到的函数g （x ）的图象，函数g （x ）（ ） A ．图象关于点（﹣，0）对称B ．最小正周期是πC ．在（0，）上递增 D ．在（0，）上最大值是110.（5分）已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m ⊥l 的是（ ）A. m ⊥α，l ⊥β，α⊥βB. m ⊥α，l ∥β，α∥βC. m ⊂α，l ⊥β，α∥βD. m ⊂α，l ∥β，α⊥β11.（5分）若函数f （x ）＝sin （ωx +）（ω＞0）在[0，]上仅有两个零点，则ω的的值可以是（ ） A ．1B ．52C ．72D ．412.（5分）关于函数()(1cos )cos tan2xx x f x =+，有下述四个结论正确的有（ ）A.()f x 的定义域|()2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭, B..函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数C.()f x 最小正周期为πD.()f x 是奇函数三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）已知单位向量与的夹角为120°，则||＝ ．14.（5分）在钝角△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，则最大边c 的取值范围是15.（5分）已知＜α＜π，0＜β＜，tanα＝﹣，cos（β﹣α）＝，则sinβ的值为．16.（5分）已知△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝2，P是平面ABC外的一点，且满足PA＝PB＝PC，∠APB＝120°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）（本题满分10分）已知角θ的终边与单位圆x2+y2＝1在第一象限交于点P，且点P的坐标为．（1）求tanθ的值；（2）求的值．18.（12分）（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，B＝30°，且2a sin A﹣（2b+c）sin B＝（b+2c）sin C．（1）求sin（A﹣C）的大小；（2）若△ABC的面积为3，求△ABC的周长．19.（12分）（本题满分12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△BCD，△ABD均为边长为2的正三角形．（1）若AC＝，求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）若AC＝2，求三棱锥A﹣BCD的体积．20.（12分）（本题满分12分）已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos（x+）cos（x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣]上的值域．21.（12分）（本题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab．（1）求角C的值；（2）若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求2a﹣b的范围．22.（12分）（本题满分12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．答案一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）B2.（5分）A．3.（5分）B．4.（5分）D．5.（5分）A．6.（5分）B．7.（5分）C8.（5分）B二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）BC10.（5分）ABC11.（5分）BC12.（5分）BD三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）．14.（5分）（2，6）．15.（5分）．16.（5分）．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）解：（1）将代入圆的方程x2+y2＝1得：，因为在第一象限，所以，；（2）＝．18.（12分）解：（1）∵2a sin A﹣（2b+c）sin B＝（2c+b）sin C，∴2a2﹣b（2b+c）＝c（2c+b），整理得b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴，解得A＝120°．又B＝30°，∴C＝180°﹣120°﹣30°＝30°，即C＝B＝30°，∴sin（A﹣C）＝sin（120°﹣30°）＝1．（2）由（1）知b＝c，A＝120°，∴，解得．由余弦定理，得，即a＝6．∴ABC的周长为．19.（12分）解：（1）证明：取BD边中点O，连接AO，CO，∵△BCD，△ABD为边长为2的正三角形，∴BD⊥OA，则OC＝OA＝．∵OC2+OA2＝6＝AC2，∴OA⊥OC，又OC∩BD＝O，OC，BD⊂平面BCD，∴OA⊥平面BCD，∵OA平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）解：∵BD⊥OC，BD⊥OA，且OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面AOC，∴BD⊥平面AOC，在AOC中，OA＝OC＝，AC＝2，∴，∴＝．20.（12分）解：（I）求函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos（x+）cos（x﹣）＝sin2x+sin（2x﹣）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）．故函数f（x）的最小正周期为＝π，再由2x﹣＝kπ+可得对称轴方程为x＝+，k∈z．（II）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，故当 2x﹣＝时，函数取得最大值为2，当 2x﹣＝﹣时，函数取得最小值为﹣2×＝﹣，故函数f（x）在区间[﹣]上的值域为[﹣，2]．21.（12分）解：（1）由题意知（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，∴a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可知，，又∵C∈（0，π），∴．（2）由正弦定理可知，，即，∴，＝，＝，＝，又∵△ABC为锐角三角形，∴，则即，所以，即，综上2a﹣b的取值范围为．22.（12分）解：（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1．又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．。
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福建省晋江市永春县第一中学2016-2017学年高二数学10月月考试题
文
考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1.数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（ ）
A ．12-=n a n
B ．)21()1(n a n n --=
C ．)12()1(--=n a n n
D ．)12()1(+-=n a n n
2.若c b a >>，则一定成立的不等式是（ ）
A ．c b c a > B.ab ac > C ．c b c a ->- D ．
111
a b c
<< 3.已知ABC ∆中，6,30,120AB A B ===，则ABC ∆的面积为（ ）
A ．9
B ．18 C
．
．4.等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5.在等比数列{}n a 中，R a n ∈（*
N n ∈），2616a a =，488a a +=，则
6
10
a a =（ ） A ．1 B ．3- C ．1或3- D ．13-或 6.已知△ABC 中
cos cos A a
B b
=，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 7.等差数列{}n a 其前13项和为39，则=++876a a a （ ）
A ．18
B ．12
C ．9
D ．6 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若
4
23S S =，则64
S S = （ ） A ．2 B ．
7
3
C ．83
D ．3
9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若角,,A B C 成等差数列，边,,a b c 成等比数
列，则sin sin A C ⋅的值为（ ）
A ．34
B
．12 D ．14
10.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．
若则32b =-，1012b =， 则8a =（ ）
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-．若数列{}n b 满足210log n n b a =-，则使数列{}n b 的前n 项和取最大值时的n 的值为（ ）
A ．8
B ．10
C ．8或9
D ．9或10
12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121,a a =={(2)}n n nS n a ++为等差数列，则n a =（ ）
A. 1
2
n n - B. 1121n n -++ C. 2121n n -- D. 1
1
2n n ++
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
13.若数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则n a =____________．
14.在等比数列{}n a 中，已知2,1654321-=++=++a a a a a a ，则该数列的前12项的 和为 .
15.如图,某人在高出海面600米的山上P 处，测得海面上的航标在A 正东，俯角为30°，航
标B 在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为 米.
16.数列{}n a 的22*
1(2,,)n n a a p n n N --=≥∈P 为常数，则称数列{}n a 为“等方差数列”，下
列是对“等方差数列”的判断，其中正确的是 . ①若{}n a 是“等方差数列”，则}{2
n a 是“等差数列”。
②若{}n a 是“等方差数列”，则}{2n
a 是“等方差数列”。
③})1{(n
-是“等方差数列”
④若{}n a 是“等方差数列”，则*{}()kn a k N ∈k 为常数也是“等方差数列”
A
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．。
17．（本小题满分10分）
已知等差数列{}n a 满足2414a a +=，设n S 为其前n 项和，且318S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；
（Ⅱ）设2n
n n b a =+,求数列{}n b 的其前n 项和n T .
18．（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,且5
5
sin ,5==A a ． （Ⅰ） 若5=∆ABC S ，周长为12，求边c 的值； （Ⅱ） 若3
cos 5
B =，求边c 的值．
19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量()()2sin ,cos ,A A B =-p u r
(sin ,1)B =-r
q ，且12
⋅=p q u r r 。
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若c =，求b a -的取值范围．
20.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差2d =,且2514,,a a a 构成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对一切正整数n ，有
1223
11111
2
n n a a a a a a ++++
<
21. （本小题满分12分）
设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，12a =，且1234,3,2S S S 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设25n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
22．（本小题满分12分）
已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足1
22n n n
S a +=-,其中*n ∈N ．
{}n b 是等差数列；
（Ⅱ）设2n
n n c b -=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T <；
（Ⅲ）设1
4(1)2n b
n n n d λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任
意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立．。