A1-第四章(不定积分)§3-§5

x cos x d x = ? ∫
2
若选 v′ = x , 1 2 则v = x , 2
6
⇒ ∫ u v′d x = ∫ u d v = u v − ∫ v d u
(1) 都要容易求出。 一般： 一般： 无论怎么选 v’ , v 都要容易求出。 ( 2) ∫ v d u 要比 ∫ u d v 易求。 易求。 (3) v’(x) 的 首选： 首选： 次选： sin x , cos x ； 次选： 再次之： 再次之： x 等幂函数； 等幂函数； 不选： 不选： ln x .
( 5) ∫ x arctan x 1+ x2
2
dx = 1 arctan x dx 2 = arctan xd 1 + x 2 ∫ 2 ∫ 1+ x2
= 1 + x arctan x − ∫
dx 1+x2
= 1 + x 2 arctan x − ln x + 1 + x 2 + C
14
x = t , dx = 2tdt
§3. 分部积分法
1
∫ x sin x d x
特点： 特点：
=?
目前还无法计算
被积函数是两个不同类型的函数的乘积。 被积函数是两个不同类型的函数的乘积。 从函数乘积的导数公式入手
2
§3. 分部积分法
有连续导数， 设 u (x), v (x) 有连续导数，则 ( u v )′ = u′ v + u v′ ⇒ u v′ = ( u v )′ − u′ v
m
令 u = ln ax , arcsin x , arccos x , arctan x , dv = x dx .
m
可使原来含超越函数的被积函数化为 代数函数的积分。 代数函数的积分。
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练习题
(1)∫ x 2 e − x dx = − x 2 e − x + ∫ 2 xe − x dx = L
如何选择 v ?
5
⇒ ∫ u v′d x = ∫ u d v = u v − ∫ v d u
例：
∫ x sin x d x
1 2 = ∫ sin x d x 2 1 2 2 = ( x sin x − ∫ x d sin x ) 2 1 2 2Байду номын сангаас= ( x sin x − ∫ x cos x d x ) 2
经过几次分部积分后，又出现原来的积分， 经过几次分部积分后，又出现原来的积分， 可移项合并求出积分。（再生法） 。（再生法 这时 可移项合并求出积分。（再生法） 求不定积分往往将换元、 求不定积分往往将换元、分部法结合起来 一起使用！下面再看一些例子。 一起使用！下面再看一些例子。
29
x arcsin x d x 例1： ∫ ： 2 1− x 1 1 2 解一： 解一： 原式 = - ∫ arcsin x d(1-x ) 2
例3： ：
1 d ( − cos t ) = [− t cos t + ∫ cos t d t ] 2 1 1 [sin x 2 − x 2 cos x 2 ] + C = 2 [− t cos t + sin t ] + C = 2 31
∫x 1 =2∫t
x2 = t
例6： ：
2 2
∫
由再生法： 由再生法： ∴ ∫ x + a d x 1 2 2 2 2 2 = [ x x + a + a ln x + x + a ] + C . 2
2 2
26
本例还可用前面讲过的三角代换 令 x = a tan t
原式 = ∫ a sec t d t
2 3
a ( sec t tan t + ln sec t + tan t )+ C . = 2
∫
= sec x tan x − ∫ sec x d x + ln sec x + tan x 由再生法： 由再生法： sec 3 x d x ∫ 1 = [ sec x tan x + ln sec x + tan x + C . 2
3
25
x + a d x (= ∫ u d v ) x 2 2 dx = x x +a − ∫ x⋅ 2 2 x +a 2 x + a 2- a 2 2 2 dx = x x +a −∫ 2 2 x +a 2 a 2 2 2 2 dx = x x + a − ∫ x + a dx+ ∫ 2 2 x +a 2 2 2 2 2 2 2 = x x + a − ∫ x + a d x + a ln x + x + a
dv
=−
∫ x d cos x
则 v = − cos x , d v = − d cos x ,
= − ( x cos x − cos x d x ) ∫ = − x cos x + sin x + C .
4
∫ u v′d x = ∫ (u v )′d x − ∫ v u′d x ⇒ ∫ u d v = uv − ∫ v d u 即 ∫ f ( x )d x = ∫ u⋅ v′ d x = ∫ u d v = u v − ∫ v d u = u v − ∫ v ⋅ u′d x 求 ∫ g( x )d x . = u v − ∫ g ( x )d x 较易求。 要求： 要求： ∫ g ( x )d x = ∫ v u′ d x 较易求。
∫
1 x 2 2 2 = [ x a − x + a arcsin ] + C . 2 a
∫
28
小结（ 小结（三）：
在 ∫ P (sin x ) e d x 、 P (cos x ) e d x 、 ∫
ax ax
∫ sec
3
x d x 、∫ x + a 、 x − a 、 中 L ∫
2 2 2 2
(6)∫ sin x dx = 2∫ t sin tdt = −2t cos t + 2∫ cos tdt = L
ln x = t , dx = e t dt
(7 )∫ cos ln xdx =
∫e
t
cos tdt
I = ∫ e t cos tdt = e t cos t − ∫ e t d cos t =
15
(
)
16
17
18
19
20
21
22
23
例4： ：
∫e
x
x
cos x d x
x
x
= ∫ cos x d e = e cos x − ∫ e d cos x x x = e cos x + ∫ e sin x d x
x
= e cos x + ∫ sin x d e x x x x = e cos x + e sin x − ∫ e d sin x = e cos x + e sin x − ∫ e cos x d x x x ⇒ 2 ∫ e cos x d x = e (cos x + sin x ) x e x (cos x + sin x ) + C . ∴ ∫ e cos x d x = 2
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1 2 例2： ∫ x ln x d x = ∫ ln x d x ： 2 1 2 2 = [ x ln x − ∫ x d ln x ] 2 1 2 2 1 = [ x ln x − ∫ x ⋅ d x ] 2 x 1 2 = [ x ln x − ∫ x d x ] 2 1 2 1 2 = [ x ln x − x ] + C . 2 2
−x
8
= − x e − 2 x e −2 e +C.
小结（ 小结（一）：
在 ∫ x e d x 、 x cos ax d x 、 x sin ax d x 中 ∫ ∫
m ax m m
令 u = x , dv = e dx , cos axdx , sin axdx
m ax
可降低x 的幂次数。 可降低 m 的幂次数。
= e t cos t + ∫ e t sin tdt
∴
= e cos t + e sin t − ∫ e sin tdt = e cos t + e sin t − I
t t t
t
t
1 t 1 t I = e cos t + e sin t + C = ( x cos ln x + x sin ln x ) + C 2 2
x x
x
再 生 法
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例5： ∫ sec x d x = ∫ sec x d tan x ： = sec x tan x − ∫ tan x d sec x = sec x tan x − ∫ tan 2 x sec x d x
3
= sec x tan x − ∫ (sec 2 x− 1) sec x d x = sec x tan x − sec 3 x d x + ∫ sec x d x
= − ∫ arc sin x d 1 − x 1 2 2 = − [ 1 − x arcsin x − ∫ 1 − x ⋅ dx] 2 2 1− x = − 1 − x arcsin x + x + C . 1 解二： 解二： 令 x = sin t , d x = cos t d t . x t 原式 = ∫ t sin t d t = − ∫ t d cos t 2 1− x = − t cos t + sin t + C