数列极限的教学难点分析与突破
高中数学 数列的极限》 学设计 教
例 ３． 求常数数列 － ７， － ７， － ７， － ７， ……的极限。
４． 反馈练习
这节课设计了 ４ 道巩固性练习。
练习 １．
一个无穷数列的通项公式是
ａｎ＝
ｎ ２ｎ＋１
， 求这
个数的极限是 １ ？ ２
练习 ２． 下列命题正确的是（ ）
①数列｛（－ １）! ｎ ３ ｝没有极限
②数列｛（－ １）ｎ ２ ｝的极限为 ０ ｎ
３． 知识应用
这里举了 ３ 道例题， 与学生一块思考， 一起分析作答。
例 １． 已知数列：
１， － １ ， １ ， － １ ， １ ， ……，（ － １） ｎ＋１ １ ， ……
２３ ４５
ｎ
（ １） 计算 ｜ａｎ－ ０｜。 （ ２） 第几项后面的 所 有 项 与 ０ 的 差 的 绝 对 值 都 小 于
无限趋近于 １。
那 么 就 把 １ 叫 数 列（ １） 的 极 限 ， １ 叫 数 列（ ２） 的 极 限 。
这两个数列只是形式不同， 它们都是随项数 ｎ 的无限增
大， 项无限趋近于某一确定常数， 这个常数叫做这个数列
的极限。
那么， 什么叫数列的极限呢？ 对于无穷数列｛ａｎ｝， 如果 当 ｎ 无限增大时， ａｎ 无限趋向于某一个常数 Ａ， 则称 Ａ 是 数 列 ｛ａｎ｝的 极 限 。
Ｊｉａｏｘｕｅｓｈｅｊｉ 教 学 设计
高中数学《数列的极限》教学设计
盘俊春
（ 贺州高级中学， 广西 贺州 ５４２８００）
一 、教 学 目 标 １．知识与能力目标 ①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。 ②使学生会判断一些简单数列的极限， 了解数列极 限 的“ε－ Ｎ”定 义 ， 能 利 用 逐 步 分 析 的 方 法 证 明 一 些 数 列 的极限。 ③通过观察运动和变化的过程， 归纳总结数列与其 极限的特定关系， 提高学生的数学概括能力和抽象思维 能力。 ２．过程与方法目标 培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。 ３．情感、态度、价值观目标 使学生初步认识有限与无限、近似与精 确 、量 变 与 质 变的辩证关系， 培养学生的辩证唯物主义观点。 二 、教 学 重 点 和 难 点 教学重点： 数列极限的概念和定义。 教学难点： 数列极限的“ε－ Ｎ”定义的理解。 三 、教 学 对 象 分 析 这节课是数列极限的第一节课，是学生学习极限的入 门课， 对于学生来说是一个全新的内容， 学生的思维正处 于由经验型抽象思维向 理论型抽象思维过渡阶段 ， 在《立 体几何》 内容 求球的表面积和体积时对极限思 想 已 有 接 触， 而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限” 的问题， 很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够 使他们做基于直观的理解， 并引导他们作出描述性定义 “当 ｎ 无限增大时 ， 数 列｛ａｎ｝中 的 项 ａｎ 无 限 趋 近 于 常 数 Ａ， 也就是 ａｎ 与 Ａ 的差的绝对值无限趋近 于 ０”， 并能用这 个 定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内 掌握“ε－ Ｎ”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难， 能 够通过具体的几个例子， 归纳研究一些简单的数列的极 限。使学生理解极限的基本概念， 认识什么叫做数列的极 限以及数列极限的定义即可。 四 、教 学 策 略 及 教 法 设 计 本课是采用启发式讲授教学法， 通过多媒体课件演 示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一 个实际问题入手， 引起学生的注意， 激发学生的学习兴趣。 然后通过具体的两个比较简单的数列， 运用多媒体课件 演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大， 无限 地趋向于某个常数的过程， 让学生在观察的基础上讨论 总结出这两个数列的特征， 从而得出数列极限的一个描 述性定义。再在教师的引导下分析数列极限的各种不同 情况。从而对数列极限有了直观上的认识， 接着让学生根 据数列中各项的情况判断一些简单的数列的极限。从而 达到深化定义的效果。最后进行练习巩固， 通过这样的一 个完整的教学过程， 由观察到分析、由定量到定性， 由直观 到抽象， 并借助于多媒体课件的演示， 使得学生逐步地了 解极限这个新的概念， 为下节课的极限的运算及应用做 准备， 为以后学习高等数学知识打下基础。在整个教学过
教学目的数列极限教学重点极限性质教学难点无穷小量副知识点.
0 k n k有 | xn a |
当n k时a xn a
让足够小，可以保证 a 0 1 1 1 1 当n k时, ,此时 { }是 有 界 的 a xn a xn 1 又 当n k时 ， { xn }只 有 有 限 个 正 数 项 ， 时 此{ }是 有 界 的 xn 1 { }整 个 是 有 界 的 xn
x n a yn , 称a为{ x n }的极限, 记做 lim x n a
n
也称数列收敛于a，不收敛的数列就称为发散的
数列极限一览图
数列极限封闭性
极限关于加减乘运算是封闭 的 设 lim x n a， lim yn b，
n n
则 lim （x n y n ） a b，lim x n y n ab
数列极限一览图
商的极限
yn b 设 lim b, lim xn a, xn 0, a 0, 则 lim n n n x 1 1 n a 设 lim xn a, xn 0, a 0, 则 lim n n x a n lim x n a , x n 0, a 0
第二节 数列极限
•教学目的：数列极限 •教学重点：极限性质 •教学难点：无穷小量 •副知识点: 特殊极限
知识结构
无穷小量
数列极限
无穷小量
截丈问题
无穷小量性质
特殊无穷小量
数列
几何性质
代数性质
无限逼近
有界性
运算封闭性
无穷小量定义
保号性
两边夹准则
数列极限
无穷小量
数列极限
极限性质
特殊极限
极限定义 几何性质 有界性 保序性
大学高数教案范文极限
一、教学目标1. 理解数列极限和函数极限的基本概念。
2. 掌握数列极限和函数极限的基本性质。
3. 熟悉并运用极限的四则运算和复合函数的极限运算法则。
4. 能够运用极限知识解决实际问题。
二、教学内容1. 数列极限的定义与收敛性。
2. 函数极限的定义与存在性判别法。
3. 极限的性质和运算法则。
4. 常见极限的计算。
三、教学重点与难点重点：1. 数列极限和函数极限的定义。
2. 极限的性质和运算法则。
难点：1. 极限存在性的判别。
2. 复合函数极限的计算。
四、教学过程第一课时：数列极限1. 导入：通过实例引入数列的概念，引导学生思考数列的极限问题。
2. 讲解：- 数列极限的定义：给定数列{xn}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|xn - A| < ε，则称数列{xn}的极限为A。
- 收敛数列的性质：唯一性、有界性、局部保号性、子列收敛性。
3. 练习：让学生举例说明收敛数列的性质，并计算一些数列的极限。
4. 总结：强调数列极限的定义和收敛数列的性质，为后续学习函数极限打下基础。
第二课时：函数极限1. 导入：通过数列极限的概念引入函数极限的概念。
2. 讲解：- 函数极限的定义：给定函数f(x)，如果当x趋向于x0时，f(x)的极限为A，则称f(x)在x=x0处的极限为A。
- 函数极限存在判别法：海涅定理、充要条件、柯西准则。
3. 练习：让学生举例说明函数极限存在判别法，并计算一些函数的极限。
4. 总结：强调函数极限的定义和存在判别法，为后续学习极限的性质和运算法则打下基础。
第三课时：极限的性质和运算法则1. 导入：通过函数极限的概念引入极限的性质和运算法则。
2. 讲解：- 极限的性质：唯一性、有界性、局部保号性、子列收敛性。
- 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限运算法则。
3. 练习：让学生运用极限的性质和运算法则计算一些极限。
4. 总结：强调极限的性质和运算法则，为后续学习常见极限的计算打下基础。
T数列极限教学中难点的处理与突破
T数列极限教学中难点的处理与突破T数列极限教学中难点的处理与突破董希智①郭运瑞②（①河南省辉县市第一高级中学，辉县市453600；②河南科技学院，新乡市453003）摘要：在数列极限的教学中，如何引导学生从数列极限的“描述性”定义ε”语言转化. 历来被认为向“精确性”定义过渡，从一般的叙述语言向“N-是极限教学的重点和难点.本文运用建构主义理论，结合自己的教学实践谈谈突破教学难点的思路和方法.关键词：数列极限；建构主义；数学思想方法；描述性；精确性我们知道，高等数学是用极限的理论和方法研究函数的，极限是它的武器和工具, 极限的思想方法贯穿高等数学的始末.高等数学又是一门非常重要的基础课，它是学生学习许多后续课程（如普通物理、常微分方程、复变函数等）的基础.但要学好高等数学，必须首先学好极限, 而极限概念是一个群体，各概念之间有着紧密的逻辑联系，数列极限又是极限理论的基础，因而更显得数列极限尤为重要.这就为教师提出了一个重要任务：必须尽一切努力教好数列极限这一课！那么，怎样教数列极限，才能使学生真正了解它的直观背景，掌握它的精神实质，理解它的思想方法，熟悉它的实际应用，而不至于只是形式地去“理解”它的定义，机械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引导学生从数列ε”极限的“描述性”定义向“精确性”定义过渡，从一般的叙述语言向“N-语言转化. 这一教学重点和难点必须从教和学两个方面突破. 建构主义提倡在教师指导下，以学习者为中心的学习.也就是说，既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用，两者相得益彰、和谐发展，为突破难点提供了有力的支撑.建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”和“意义建构”作为学习环境的四大要素.为突破数列极限的教学难点，笔者通过多媒体课件演示模型精心设计了“问题环境”，再通过师生之间的“会话”、“协作”，逐步完成学生的“意义建构”.一、以模型驱动思维，引导学生认识“无限”我们可先从《庄子.天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”中，使学生初步认识“无限”.然后利用多媒体课件演示“无限”的数学模型，引导学生辩证的认识“无限”.模型（课件演示）我国古代（公元3世纪）数学家刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”意思是：圆内接正多边形的边数越多，正多边形的周长与圆的周长误差就越少，正多边形的边数再增加，一直到正多边形的边不能再分割时，则正多边形的周长就是圆的周长.首先，这句话的要点在于“割之又割”，没有“割之又割”，就没有“以至于不可割”，也就没有了“合体”之说. 因而我们说“割之又割”是一种变化过程，是一种没完没了的变化过程，即“无限”变化过程，所以“无限”实质上是一种永不停止的变化过程.其次，“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是思维上的一种认识，是思维上的一种飞跃—辩证思维. “不可割”是思维上的不可割，是思维上的一个“终结”，不是实际上的，实际上永远达不到“不可割”.有了这种思维认识就顺理成章地有了“合体”之说. 永不停止的“无限”变化过程，有时也有一个“终结”，而这个“终结”不是实质上的“终结”，而是一种变化趋势.二、以具体数列深化思维，引导学生形成“描述性定义”1.多媒体演示以下数列，描绘数列的图象（1）21，41，81，…，n 21，… （2）2，23，34，…，nn 1+，… （3）2，21，34，…，n n n 1)1(--+，… （4）1，1-，1，…，1)1(+-n ，…（多媒体课件动感表示）将这四个数列直观表示在直角坐标中，描绘出每个数列的图形(略).2. 通过观察引出“描述性”定义让学生观察分析数列的图形后不难发现：当项数n 无限增大时，数列（1）的一般项n 21无限接近于常数0；数列（2）的一般项n n 1+无限接近于常数1；数列（3）的一般项nn n 1)1(--+无限接近于常数1；而数列（4）的一般项n x 在1与-1之间摆动，不趋向于某一个确定的常数.教师：当项数无限增大时，如果数列的一般项能无限接近于一个常数，则称这个常数为数列的极限.这就是数列极限的“描述性”定义.板书:“当项数n 无限增大时，无穷数列{}n x 的一般项n x 无限接近于一个常数a ，则称常数a 为数列的极限”.三、“N -ε”精确化定义的形成和概括过程1.在“会话”、“协作”中让学生主动构建知识用《几何画板》考察数列（2）的图像，学生可亲自参与，用鼠标拖动图形中标注的拖动点，观察数列的一般项随n 变化的过程，反复实践，反复体验何谓“趋向于”.在此基础上，老师与学生进行“会话”、“协作”共同再认识“描述性”定义：“当项数n 无限增大时，无穷数列{}n x 的一般项n x 无限接近于一个常数a ，则称常数a 为数列的极限”.为“描述性”定义向“精确化” 定义过渡作准备.为了更简明、更清晰地展示“会话”、“协作”的过程，笔者撷取了一段课堂实录：老师：让我们考察数列（2）的图像，当项数n 无限增大时，其一般项n x ＝nn 1+是否趋向于某一常数？几乎全体学生：是！趋向于1.老师：噢！大家都认为随n 无限增大时，一般项nn 1+将趋向于1.但何谓“趋向于1”呢？学生A ：就是无限接近于1.老师：什么叫“无限接近”？（众笑）学生B ：（经过片刻思考）就是随着n 越来越大，n x 与1的差越来越小.学生B ：（受启发后继续补充）也就是n x 与1的距离1-n x 越来越小.老师：距离比0.1小行吗？学生C ：行！只要n ＞10即可.老师打开《几何画板》考察数列（2）的图像，故意给出n ＝1，2，3，4，图像并不在（0.9，1.1）之间.老师：数列（2）中的各项并不在（0.9，1.1）内，并不靠近1呀？学生D ：（反驳）那是因为你给的n 太小了.把n 的范围设定在10到20之间，数列的相应项就都在（0.9，1.1）内了！老师通过《几何画板》用鼠标拖动图形中标注的拖动点，再演示把n 的范围设定在10到20之间，屏幕上数列的相应项就都在（0.9，1.1）内了.老师：随着n 继续增大，比如到了n ＞20以后，数列的相应项会不会跑出（0.9，1.1）范围呢？老师通过《几何画板》再演示，同学们发现第20项以后数列的相应项都在（0.9，1.1）内. 且相应的各项距离1越来越近了. 继续演示到了n ＞100以后，数列的相应项也都在（0.9，1.1）内，且相应的各项距离1越来越近了.老师：你们认为在（0.9，1.1）内，此数列有多少项？几乎所有学生：有无穷多项. 老师：通过观察我们看到，要1-n x ＜0.1，只要n ＞10即可. 再给出要1-n x ＜0.01、0.001，让学生讨论多少项以后，这个数列的各项就能分别都在区间（0.99，1.01）、（0.999，1.001）内.学生经过积极的交流合作，很快得到分别是第100项、第1000项以后.老师一边与学生讨论，一边将讨论的结果板书：n x ＝nn 1+，∞→n ，1→n x 当n ＞10、 n ＞100、 n ＞1000、… 有1-n x ＜0.1、1-n x ＜0.01、1-n x ＜0.001，… 老师：我们用1-n x 来衡量n x 与1之间的接近程度，1-n x 越小，n x 就越接近1，如果1-n x 要多么小就多么小，可以任意小，小于预先给定的无论多么小的正数ε，即表示n x 与1之间无限接近，就是1→n x .那么n 满足什么条件时，就能使1-n x ＜ε？所有学生：（通过自己运演）得到ε1>n 时，就能使1-n x ＜ε.老师：因为n 是数列的项数，应该是正整数.所以我们取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N ，于是当N n >时，恒有11-+nn ＜ε成立. 老师：你们通过了刚才的体验与实践，能不能用语言概括一下？我们只有把上述现象用数学形式加以概括，才能得到极限的精确描述.2.在交流协作中完成“N -ε”精确化定义经过学生间的交流协作，在若干次的修改、补充、完善后，形成如下的表述： 极限的“N -ε”定义：0>∀ε无论它多么小，∃正整数N ，当N n >时的一切项n x ，恒有a x n -＜ε.则称常数a 是数列{}n x 的极限，记作a x n n =∞→lim 或 )(∞→→n a x n 用数学符号简述为：0>∀ε，∃正整数N ，当N n >，恒有a x n -＜ε⇔a x n n =∞→lim . 四、“N -ε”精确化定义的进一步分析至此，教师还须对“N -ε”定义中的语言作进一步的解释，要指出：①ε与N 的逻辑关系是先有ε后有N ，关系不容颠倒.定义中的N 是变化过程的界限，N 由相应的ε来确定，ε越小，N 越大，有时也记为)(εN ，但并不意味着N 由ε唯一确定.因为ε取定后，N 的选取并不唯一（老师可用上面的例子再作解释）.②ε是任意给定的正数，它具有两重性.一是它的任意性，因此它不是一个固定的常数，以保证a x n -要多么小就有多么小，它刻划n x 无限接近于a 的程度；二是它的相对固定性，ε一经取定，就相对固定了下来，以便根据它去求出N ，但ε的本质是一个常量.③“对任意给定的正数ε”，“恒有a x n -＜ε”，表明数列{}n x 的项n x 与a 要多么接近就多么接近，这表达了“无限接近”的确切意思；“∃正整数N ，当N n >时的一切项n x ”则说明上述无限接近的过程和条件与n 无限增大的过程的具体联系.只要n 在增大过程中达到某一个界限N 时，N n >后就能保证a x n -＜ε都成立.④定义中并不是、也不需要数列{}n x 的所有项n x 均满足a x n -＜ε，而是当n 增大到一定程度时，比如N n >以后的所有项满足a x n -＜ε就可以了，至于N 之前的有限个项是否满足a x n -＜ε并不影响常数a 是数列{}n x 的极限.五、从理性认识又回到感性认识，对定义作几何解释若a x n n =∞→lim ，也就是：0>∀ε无论它多么小，∃正整数N ，当N n >时的一切项n x ，恒有a x n -＜ε. 对这个任意给定的无论多么小的正数ε，我们都能以常数a 为中心作出一个a 的ε邻域（a -ε，a +ε），（老师边说边作出图，此处略）.我们可根据ε来确定N ，当N n >以后的所有项n x 全部落在邻域（a -ε，a +ε）内，在邻域之外只有有限项1x ，2x ，…，N x .也可以形象地说成是无论正数ε多么小，数列{}n x 的“尾巴”全部进入到邻域（a -ε，a +ε）内. 又由于ε可以任意小，所以邻域（a -ε，a +ε）可以任意地小，即数列{}n x 中几乎所有的点全聚集在a 的附近，可见数列极限的“N -ε”定义精确地描述了“当项数n 无限增大时，无穷数列{}n x 的一般项n x 无限接近于一个常数a ”的这种变化趋势.至此，数列极限的定义已全部讲完，同学们对数列的极限已经有了一个明确的并且直观的认识，下面我们可以用极限的“N -ε” 定义来证明数列的极限.六、用极限的“N -ε”定义来证明数列的极限要证a x n n =∞→lim .任意给定了ε＞0之后，问题的关键是有没有这样的一项N x ，即是否可以找到自然数N ，使得当N n >时，就有a x n -＜ε都成立？所以问题就转化为根据ε去找N .也就是说，从不等式a x n -＜ε出发，倒推回去，去推出不等式)(εh n >，这样的[])(εh 就可以去作我们要找的N 了.例1 证明1)1(lim =-+∞→nn nn . 证 因1)1(--+nn n ＝n 1，对任意给定的无论多么小的ε＞0，要使1)1(--+n n n ＜ε， 就是n 1＜ε，解不等式得到ε1>n ，取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N ，于是当N n >时，恒有11-+n n ＜ε成立，即1)1(lim =-+∞→nn n n . 例2 证明0)1()1(lim 2=+-∞→n nn 证 因0)1()1(2-+-n n 2)1(1+=n ＜11+n ＜n 1，所以对任意给定的无论多么小的正数ε，要使0)1()1(2-+-n n ＜ε，只要n 1＜ε，解不等式得到ε1>n ，取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N ，于是当N n >时，恒有0)1()1(2-+-n n ＜ε，即0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 需要说明的是：对于给定的ε，能够说明N 确实存在即可，没有必要求出最小的N 是什么.因此，为了求解方便，我们总是把不等式a x n -作适当的放大，利用放大之后的式子小于ε，解不等式得到N .还可以再举几个证明极限的例子，本次课就可以结束了.（下边的内容教师可根据具体情况而定，充分体现因材施教的原则）七、从反面理解数列的极限定义在讲授了数列极限的“N -ε”定义之后，还要指出的a x n n ≠∞→lim 的“N -ε”定义，这样既可以加深对数列极限本质的认识，又可以锻炼学生的抽象思维能力，使他们逐步适应这类精确的数学语言.参考文献[1]徐利治.《数学方法论选讲》,武汉:华中工学院出版社.1998[2]皮亚杰.(瑞士)《发生认识论原理》.北京:商务印书馆.1995[3]郭运瑞.MM 教育方式与数学创新教育的教学原则.职业技术教育.2001,3[4]同济大学.《高等数学》第五版.高等教育出版社.2003。
数列极限教学中应注意的几个问题
数列极限教学中应注意的几个问题
一、及时调整教学节奏：由于数列极限教学的特殊性，教师应根据学生的学习速度及时调整教学进度，避免学习过程中出现沉闷、杂乱和困难等现象。
二、注重实践训练：在数列极限教学中，应着重让学生进行各种形式的实践训练，根据学生的理解程度来选择实践训练的具体形式和内容，以确保学生对课堂内容有较深入的理解。
三、注重形象化：学生对抽象数学知识的理解总是有困难，因此，在数列极限教学中，教师应尽可能使用形象、动画、图片等来讲解数列极限的解释和求值方法，引导学生以图形的方式理解数列极限的概念和思想，大大提高学生对数列极限的理解能力。
四、引导学生思考：在数列极限教学中，教师应结合讲解的内容及实际情况，提出一些有挑战性的问题，鼓励学生提出自己的观点，引导学生进行深层次的思维，以进一步提高学生对数列极限的理解能力。
如何应对高考数学中的数列极限问题
如何应对高考数学中的数列极限问题数列极限是高考数学中的重要内容之一，涉及到极限概念、数列性质和计算方法等。
在备考高考数学时，正确掌握数列极限的求解方法和应对策略，对于提升数学成绩至关重要。
本文将介绍如何应对高考数学中的数列极限问题，并以例题加以说明。
一、数列极限的概念与性质在解决数列极限问题之前，我们首先要了解数列极限的概念与性质。
数列极限是指当数列中的元素随着项数的增加逐渐趋近于某一固定值时，该固定值即为数列的极限。
数列极限具有以下基本性质：1. 极限存在性：对于收敛数列，必然存在唯一的极限值；对于发散数列，不存在极限值。
2. 有界性：收敛数列是有界的，即存在一个数M，使得对于数列的每个元素a(n)，都有|a(n)|≤ M。
3. 单调性：收敛数列一定是单调的，即严格递增或严格递减；而发散数列可以是任意的。
了解数列极限的定义和性质，可以帮助我们在解题过程中更好地进行分析和判断。
二、数列极限的计算方法在解决数列极限问题时，我们常用的计算方法有以下几种：1. 分式法：适用于计算分式形式的数列极限，例如lim(n→∞)(a(n+1)/a(n))=L，可通过将数列通项分子分母同时除以n（n为项数）进而求得L的值。
2. 代数法：适用于计算含有变量的数列极限，例如lim(n→∞)(√(n²+n)-n)=L，可通过将根式表达式进行有理化简化，并运用极限的性质计算出L的值。
3. 递推关系法：适用于计算递推型数列的极限，例如已知数列满足a(n+1)-a(n)=an，并已知极限lim(n→∞)(a(n)/n)=L，可以通过递推关系式求得L的值。
4. 换元法：适用于计算复杂表达式的数列极限，例如lim(n→∞)(sin(nπ/2n))=L，可以运用换元法将s in(nπ/2n)转化为形式更简单的表达式，进而计算出L的值。
在进行数列极限的计算时，应根据题目要求选择合适的方法，灵活运用数学工具和知识，化繁为简，准确求解。
高中数列与数列极限的教学策略
高中数列与数列极限的教学策略数列是数学中的重要概念之一，它在实际生活和各学科中都有广泛应用。
数列的学习对于高中学生来说是一项必修课程，并且在数学竞赛等方面也扮演着重要的角色。
然而，由于数列的抽象性质和较为复杂的概念，许多学生对其理解和掌握存在困难。
因此，在教学中，我们需要合适的策略来帮助学生更好地理解和应用数列及数列极限。
本文将探讨高中数列与数列极限的教学策略。
一、培养数列概念的直观感受力数列概念的理解首先要从直观感受入手。
我们可以通过生动形象的例子，如小球下落或费波那契数列等，让学生感受到数列的规律和特点。
这样可以帮助学生建立起对数列的基本概念的直观认识，使后续的学习更加容易。
二、引入数列的定义和表示方法在学生对数列有了一定的直观感受后，我们可以引入数列的定义和表示方法。
介绍数列的等差数列和等比数列的定义，并通过具体的数列示例来说明其特点和构造方法。
同时，还应引入数列的通项公式的概念和计算方法，以及通项公式与数列图形的关系等。
这样可以让学生通过具体的计算和推理，深入理解数列的内涵和扩展应用。
三、数列极限的教学策略1. 渐近线法：在数列极限的教学中，可以引入渐近线的概念。
通过观察数列图形是否逐渐趋近于一条直线，可以初步判断数列的极限存在与否。
这样可以启发学生对数列极限的直观感受，使其更好地理解数列的趋势和发展。
2. 极限的迭代法：对于一些较为复杂或难以判断的数列，可以采用迭代的方法来逼近极限值。
通过多次迭代计算数列的前几项，观察数列逐渐趋近的情况，帮助学生理解数列极限的概念和计算方法。
3. 数列极限的性质：引入数列极限的性质，如有界性、单调性等，通过具体的例子来说明和证明这些性质。
这样可以帮助学生更好地理解数列极限的特点和应用。
四、启发式问题解决方法在教学中，我们可以设置一些启发式问题来激发学生的思维和兴趣，培养其解决问题的能力。
例如，通过给出数列的前几项，让学生猜想数列的通项公式，并利用数学归纳法或其他方法进行验证。
高中数学中数列教学的难点与对策
高中数学中数列教学的难点与对策数列作为高中数学的重要内容，其教学难点与对策一直是教师关注的焦点。
数列作为一类特殊的函数，其性质和规律需要学生深入理解和掌握。
然而，在实际教学中，数列教学存在一些难点，如概念抽象、解题方法多样、学生理解困难等。
本文将从高中数学数列教学的难点出发，探讨相应的对策，以期提高教学效果。
一、数列教学的难点1.概念抽象数列作为一种特殊的数据序列，其概念较为抽象。
学生需要理解数列的通项公式、前n项和等基本概念，同时还需要掌握数列的分类和性质。
这些概念对于初学者来说较为困难，需要教师通过生动的教学方式帮助学生理解。
2.解题方法多样数列问题往往需要通过灵活运用数列的概念、性质和解题技巧来解决。
解题方法多样，包括分组求和法、倒序相加法、错位相减法等。
学生需要掌握这些解题方法，并在实际应用中灵活运用。
然而，由于学生的基础知识不扎实、解题经验不足等原因，往往难以灵活运用解题方法。
3.学生理解困难数列作为一种特殊的数据序列，其性质和规律需要学生深入理解和掌握。
然而，由于学生的数学基础不扎实、思维能力有限等原因，往往难以理解数列的性质和规律。
同时，数列问题往往涉及多个知识点，学生难以全面掌握，导致解题困难。
二、对策针对以上难点，教师可以从以下几个方面入手，提高数列教学效果。
1.强化基础知识教学教师在教学中应该注重基础知识的教学，帮助学生建立扎实的基础知识体系。
对于数列概念、性质和解题方法等基础知识，教师应该通过生动的教学方式帮助学生理解掌握。
同时，教师应该注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，使学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。
2.注重解题方法的训练教师在教学中应该注重解题方法的训练，使学生能够灵活运用解题方法解决数列问题。
教师应该通过例题讲解、习题训练等方式，使学生掌握数列问题的解题技巧和方法。
同时，教师应该鼓励学生多做题、多思考、多交流，通过实践不断提高解题能力。
3.注重学生思维能力的培养教师在教学中应该注重学生思维能力的培养，使学生能够深入理解数列的性质和规律。
数列的极限_教学设计
数列的极限_教学设计标题：数列的极限教学目标：1.理解数列的概念和性质。
2.掌握计算数列极限的方法和技巧。
3.能够用数列的极限解决实际问题。
教学准备：1. PowerPoint课件。
2.数列的题目集。
3.学生小组讨论活动准备。
教学过程：Step 1: 引入（15分钟）1.引导学生回顾数列的定义，解释数列的概念和性质。
2.引导学生思考一个问题：“数列的极限是什么，它有什么意义？”鼓励学生展示自己的观点。
Step 2: 数列极限的定义和计算方法（30分钟）1.展示数列的极限的定义和计算方法，用图示和公式两种方式解释。
2.给学生提供一些简单的数列，帮助他们通过计算极限来理解定义的意义。
3.演示一些复杂的数列，引导学生运用计算方法计算极限。
Step 3: 数列极限的性质和应用（30分钟）1.介绍数列极限的性质，如唯一性和保序性。
2.展示数列极限的应用，如在实际问题中求解极限。
3.提供一些实际问题，引导学生运用数列极限来解决这些问题。
Step 4: 小组讨论活动（20分钟）1.将学生分成小组，每个小组讨论一个数列相关的问题。
2.每个小组选一名代表分享讨论结果，并得到其他小组的反馈和讨论。
3.鼓励学生从不同角度思考问题，培养团队合作和表达能力。
Step 5: 总结与评价（15分钟）1.总结数列的极限的概念、性质和计算方法。
2.让学生回答一些问题，检测他们对于数列极限的理解和应用能力。
3.鼓励学生提出自己的疑惑和思考，给予评价和指导。
教学拓展：1.引导学生练习更多的数列极限计算题目，巩固他们的计算能力。
数列极限教案
数列极限教案第一篇：数列极限教案数列的极限教案授课人：###一、教材分析极限思想是高等数学的重要思想。
极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。
二、教学重点和难点教学重点：数列极限概念的理解及数列极限ε-N语言的刻画。
教学难点：数列极限概念的理解及数列极限ε-N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。
三、教学目标1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。
2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。
四、授课过程1、概念引入例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。
.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......内接正6⨯2n-1形的面积为An.A1,A2,A3......An......→圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断1接近圆的面积。
例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。
第一天的长度1第二天的剩余长度第二天的剩余长度第四天的剩余长度 8.....第n天的剩余长度n-1. (2)随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。
这里蕴含的就是极限的概念。
总结：极限是变量变化趋势结果的预测。
例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列：111⎧1⎫（1）⎨⎬: 1，,......； 23n⎩n⎭⎧(-1)n⎫1111:-1，-，-,......；（2）⎨⎬n2345⎩⎭（3）n2:1,4,9,16,......；（4）(-1):-1,1,-1,1,......,(-1),......； nn{}{}我们接下来讨论一种数列{xn}，在它的变化过程中，当n趋近于+∞时，xn不断接近于某一个常数a。
如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）（4）中的数列却没有这样的特征。
浅析数列极限的教学
（） 具 有双 重性 ， １ 即 既具 有 任 意 性 ， 又 具 有稳 定 性 。 因为 占有 任 意性 ， 可 以将 才
Ｆ 取 为 任 意 小 的 正 数 ，才 可 以 用
（ ） 济 类 专 业 开 设 的 高 等 数 学 ， 于 １经 对
Ｓｃｉ ｃ０ ｅｎ ａｎ ｄ Ｔｅｃｈ ｏｇｙ ｎｎｏ ｎｏｌ Ｉ ｖａｔ Ｏ ｅｒ ｌ ｉＲ ａｄ
ＱＱ Ｑ： 】 Ｑ
创 新 教 育
浅 析 数 列 极 限的教 学
梁 飞 （ 安徽科技 学院理学 院数学系 安徽凤 阳 ２ ３ ０） ３１ ０
摘 要 ： 列极 限的教 学， 总的策略 来说 ， 注重对这个 概念 内涵 的揭示和 描述 。 数 从 应 极限“￡一Ｎ ” 言应根据 不 同的教 学对 象确 定不 同 语 的 教 授 方 式 。 外 ， 描 述 性 定 义 过 渡 成 “ —Ｎ ” 义 时 应 深 入 剖 析 并 利 于 接 受 。 另 把 定 关键 词 ： 列极 限 “ 数 一Ｎ ” 言 描述性 定义 语 中 图分 类 号 ： １ １ ０ ７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ ４ ０ ８ （ ０ ００ （） ０ － １ １ ７ — ９ Ｘ ２ １ ） ２ｃ一 １ ４ ０ ５
数 列 极 限 是 高 等 数 学 的 基 础 ， 高 等 此 ， 数 列极 限定 义 的 教学 ， 总 的 基 本 策 是 对 从
数 学 中最 重 要 的概 念 之 一 ， 一 个 重 点 也 略 来 说 ， 重 于 对 这 个 概 念 内 涵 的 揭 示 和 是 应
Ｎ ＝ｍａ ｛ ， ｝ ｘ ＮＯＮＩ即可。
是 一 个 难 点 ． 是 研 究 微 分 学 和 积 分 学 的 描 述 ， 轻 于 其 数 学 符 号 、 学 形 式 的 研 ３ 关于 “ Ｎ”定 义的几点说 明 它 而 数 一
如何突破数列极限概念教学难点
如何突破数列极限概念教学难点摘要极限概念是微积分中最基本最重要的概念，微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。
但极限概念又是数学中最抽象的概念之一，因为抽象难学，在中学或一些大学里，有的教师只讲用语言表达的极限的描述性定义，而不讲用“ε-N”、“ε-δ”表达的严格定义，致使学生一知半解，影响了学生对整个微积分知识的学习。
笔者认为，加强对极限概念的教学，不仅对学习微积分，而且对学生深刻认识宏观和微观世界都具有十分重要的意义；只要突破了数列极限概念的教学难点，就可以使学生正确理解、掌握极限概念的思想和方法。
本文结合多年教学实践和学生实际，谈谈突破数列极限概念教学难点的一些认识和做法，与同仁共同探讨。
关键词突破数列极限概念难点微积分学，是以极限为基本工具，主要研究函数的微分和积分的理论与应用的一门数学学科，极限概念是微积分中最基本最重要的概念，如，连续、导数、定积分等都是用极限来定义的[1]。
然而大家知道，微积分基本定理的发明者牛顿—莱布尼茨，起初是以无穷小建立微积分的，后来因遇到了逻辑的困难，在他们的晚期都不同程度的接受了极限思想。
牛顿所用的极限概念只是接近下列直观性描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近常数A，那么就说数列{ an }以A为极限”。
这种描述性语言大家容易接受，但没有给出两个“无限”过程之间的联系，不能作为科学论证的基础，主要由于这个原因，才受到了贝克莱等人的怀疑和攻击。
到了19世纪，柯西比较完整地阐述了极限概念和理论，但没有达到彻底严密的程度。
是被称为数学分析之父的魏尔斯特拉斯提出了极限的静态定义，给微积分提供了严格的理论基础。
所谓数列{ an }以常数A为极限是指：“如果任意给定ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式∣an-A∣<0恒成立”。
数列极限的这个严格而精确的定义，正是数列极限概念教学的难点所在，对初学者来说是个超级抽象的概念。
尽管现行全国高考数学考试大纲对数列极限概念只要求了解，普通高中数学教材教学大纲中的教学目标只要求从数列的变化趋势理解数列极限概念，在大学里对非数学专业的大学生也不作更高的要求，但笔者认为，作为教师不能仅限于大纲规定的要求，或者教起来难教费时，也就跟着降低对学生的要求，更不应该绕开它。
从“数列极限”概念的教学谈难点的突破
Ｉ
的作 用 ， 以及 为 什 么 要 对 ｎ Ｎ 的一 切 自然 数 都 成 ＞
样 一个 时 刻 ， 与 Ａ 接 近 到某 一 程 度 ， 列 中在 这 个 ｎ 数
使 他们 易懂 难 忘 ， 而 牢 固 掌 握． 极 限概 念 的教 学 从 在
中主要 注意 以下 几个 问题 ：
１ 利 用 直 观 例 子 ．
时 刻后 的各 项 ， 不 会 突 破 这 个 程 度 ． 定 义 的 精 确 都 为
个难 点 的突破 ， 当经 历量 变— — 质变— — 巩 应
固三 个 阶 段 ．
１ 量 变 阶 段 ．
这一 阶段 的时 间 长 ， 要 是 为认 识 上 的飞 跃 （ 主 质
１
的极 限是否存 在来 加深 理解定 义 中 Ｎ
变） 作好数 量上 的准 备 ， 加有 助 于概 念 形 成 的感 性 增
化 打 下 了基 础 ．
３ 逐 步 引 申， 层 深 入 ． 层 朴素的观念 ， 只是 对 极 限 的 表 面 的认 识 ， 它 是 但
向纵深 发展 的基 础． 照 上 述 三 条 ， 逐 步 向 学 生 指 对 可
在 教学 当 中 ， 由下 面的 问题 谈起 ： 甲 、 先 有 乙二容
的教学 ， 分析 分母 值 趋 近 于 零 时 分 式 值 的 变化 情 况 ，
讲 述古 代数 学家祖 冲之对 圆周 率 的研 究 等等 ， 学 使
生熟悉 并正 确理解 “ 穷大” “ 无 、 任意 小 ” 趋 向” “ 、“ 、 无
高中数学备课教案数列与数列的极限
高中数学备课教案数列与数列的极限高中数学备课教案：数列与数列的极限引言：数列与数列的极限是高中数学课程中的重要内容，对于学生的数学思维能力和问题解决能力的培养具有重要意义。
本节课的教学目标是让学生通过理论学习和实例探究，掌握数列概念及其性质，并能够运用相应的方法计算数列的极限值。
【知识与技能】：1. 掌握数列的定义和基本性质；2. 了解数列的收敛与发散的概念；3. 理解数列极限的计算方法和应用。
【过程与方法】：通过理论讲解、实例分析和解题训练相结合的方式进行教学，培养学生观察、分析和解决问题的能力。
【教学步骤】：一、数列的定义及基本性质（15分钟）1. 数列的概念及常见表示方法；2. 数列的有界性和单调性；3. 数列极限的定义及其解释；4. 举例说明数列的性质。
二、数列的收敛与发散（15分钟）1. 数列的收敛与发散的概念；2. 收敛数列与发散数列的判断方法；3. 面对实际问题，如何分析数列的收敛性。
三、数列极限的计算方法（20分钟）1. 使用数列的极限基本性质计算极限；2. 利用夹逼定理求解数列极限；3. 利用递推公式计算数列的极限。
四、数列极限的应用（20分钟）1. 利用数列极限解决实际问题；2. 数列极限在几何和物理问题中的应用；3. 通过实例讲解数列极限应用的步骤和方法。
五、综合训练与展示（30分钟）1. 组织学生进行数列极限的解题训练；2. 学生自主发表解题思路和方法；3. 教师进行点评和总结。
【教学重点与难点】：重点：数列的定义和基本性质、数列极限的计算方法和应用。
难点：如何应用数列极限解决实际问题。
【教学反思】：通过本节课的教学，学生对于数列与数列的极限有了更深入的理解。
在教学过程中，我注意引导学生分析问题，培养其独立思考和解决问题的能力。
在练习环节，我注重学生能够独立运用所学知识解答问题，并对学生的答案进行点评和指导，加强他们的思维能力和实际应用能力。
通过课堂讨论和展示，学生之间的互动增加，激发了学生的学习热情和参与度。
(完整版)《数列的极限》教学设计.docx
章节、内容授课时间及班级授课周次教具教材地位教材分析教学重点教学难点教学关键知识目标能力目标教学目标分析情感目标学生知识现状分析教学方法教法分析分析学法分析教学过程设计《高等数学》——数列极限教学设计§1.2 极限（数列极限）2017 年 6 月 2 日 1、2 节电子技师 3 班第 14 周授课时间 1 课时 45 分钟三角板、圆规众所周知，数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识，另外，极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变。
数列极限的概念。
如何从变化趋势的角度，来正确理解数列极限的概念。
教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质（即定义）。
从数列的变化趋势来理解极限的概念；能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想。
1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，使学生理解数列极限的定义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力。
2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点，感受“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。
1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。
2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发学生的学习积极性，优化学生的思维品质。
授课对象为二年级学生，有部分高中毕业生、大多数是初中毕业生、学生基础层次差距较大；多数学生欠缺学习方法，不善于自己分析探究，习惯于教师的讲授；另外数学语言表达存在一定问题。
但已具备一定的初等数学基础知识。
根据本节课的内容和学生的实际水平，整节课以教师为主导、学生为主体、启发思维为主线；并采用班内“隐性”分层教学，接合讲授法、演示法、讨论法、探究法等方法。
1、自主学习：学生自己通过预习，了解所学知识2、探究合作学习：通过教师的引导，学生合作探究，互相交流，解决教学中出现的问题。
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万方数据
数列极限的教学难点分析与突破
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
陈平 江苏省苏州实验中学,215011
中学数学月刊 ZHONGXUE SHUXUE YUEKAN 2001，""(11) 0次
本文链接：/Periodical_zxsxyk200111004.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7784e4ea-da42-4fd2-a774-9dcd00c55b5b
对知识产生过程的教学，对知识（特别是概 念）产生过程中蕴含的丰富的数学思想方法 缺乏必要的挖掘，而把时间和精力都集中在
训练学生的解题能力上，这种“轻过程、重结
果”的教学模式严重扼杀了学生学习的主动 性、创造性，在主观上增加了教学的难度．
（５）从学生的认识水平看：在学习本节内 容前，学生用有限的观点看问题已成思维定 势，即学生有着稳定的有限观的认知结构．而 极限的概念对学生来说是全新的，学生不能 用已有的认知结构中的有关知识来同化新知 识，即学生对无限这个概念缺乏必要的认知 基础，故仅靠被动式地接受、复制新知识是很 难突破难点的．
教师：你们认为在区间（ｏ．９，１．１）上，此 数列有多少项？
几乎全体学生：有无限多项． 再给出ｏ．０１、ｏ．００１，让学生讨论多少项 以后，这个数列的以后各项就能分别都在区 间（ｏ．９９，１．０１）、（Ｏ．９９９，１．００１）上．学生经过
积极的交流协作，很快得到分别是第１００项、
第１ ｏｏｏ项以后，各项与１的差的绝对值分
２００１年第１１期
中学数学月刊
·７。
数列极限的教学难点分析与突破
陈 平 （江苏省苏州实验中学２１５０１１）
尽管现代科学技术发展迅猛，新知识、新 技术层出不穷，但人类对“无限”这个领域的 认识和探索还仅仅是冰山一角．对中学生来 说，高中代数下册（人教版）中“数列的极限” 这一节，是学生第一次感知用数学的观点涉 及无限的有关知识，第一次感悟用数学语言 去严格地定义极限，也是第一次经历其认识 观由有限到无限、形式逻辑到辩证逻辑的重 大转变．如何帮助学生建立极限的概念，历来 是高中数学教学的难点，本文拟就难点形成 的原因进行分析，并结合自己的教学实践提 出一些突破难点的思路和方法． １难点形成的原因分析
破． ２突破难点的理论基础
运用建构主义学习理论来指导突破难点 的教学实践有其普遍的意义．
首先，建构主义理论的核心为：“知识不 是被动接受的，而是认知主体积极建构的．” 因而，用建构主义来解释学生的学习活动，其 本质是：学习不是学生对教师所授予的知识 的被动接受，而是一个以其已有的知识和经 验去过滤和解释新知识、新信息，并通过自己 的活动和其他人（包括教师和学习伙伴）的帮 助，对新知识建构起自己的正确理解．就本节 课而言，虽然数列的极限这一概念已由前人
境中已对“数列的极限”这一概念进行了“意 义建构”，但是否完善呢？如果学生能自如地 （不是死记硬背）运用定义来证明某些具体数 列的极限，当然是没有问题的．但数列极限的 定义在中学阶段要求不高，故教师应把握好 尺度．从培养学生创新意识的思路出发，我设 计了这样一个问题：请同学们自己构造一个 极限是５的数列，要求稍复杂些，不要让老师 一眼就看出来．同学们积极参与、踊跃发言， 构造了许多新颖别致的数列，现举几例：
（６）从学生的学习习惯看：我国的基础教 育长期以来一直重视教师的主导作用，而对 培养学生自主学习的习惯、探索创新的能力 等方面不够重视．因而学生亦养成了依赖、迷 信教师的学习习惯，象数列极限这种难讲难 懂的概念，如果教师不作深入的剖析，学生自 己也往往采取不求甚解的态度（反正以后对
解题也没有什么大用处）．由此，难点无法攻
其次，问题情境充分引发了学生的兴趣， 激发了学生探索问题的积极性．为以下“协 作”、“会话”等环节创造了良好的氛围．
另外，从素质教育的观点看，数学也是一 种文化，让学生了解一些数学史知识，渗透爱 国主义教育，也应该是数学教师的职责． ２．２在“会话”、“协作”中让学生主动构建知
识
＾＇一Ｌ１
用《几何画板》考察数列以。一鼍二的学生间的交流协作，在若干次的修 改、补充、完善后，形成如下表述：不论给定一 个多小的正数ｅ，都能找到一个自然数Ⅳ，使 以Ⅳ以后各项与１的差的绝对值Ｉ口。一１ Ｉ都小
于￡，即Ｉ口。一１ ｌ＜￡恒成立． 至此，学生对“趋向于１”有了精确的认
识，教师再给出数列极限的定义（略）．
３．３既完善意义建构，又培养创新精神 学生在“情境”、“协作”、“会话”的学习环
割圆术：在圆内内接一个正六边形，然后 再把这六条边所对的六条弧平分，连接各点， 作出一个正十二边形；用同样的办法在正十 二边形的基础上作出正二十四边形；在正二 十四边形的基础上作出正四十八边形，…… 如果一直这样把圆周分割下去，那么，所得的 团内接正多边形的边长之和就越来越“趋向 于”圆周长了．
刘徽用“割圆术”的思想计算了正九十六 边形的边长之和，算出圆周率７ｃ＝３．１４．祖冲 之按照刘徽的思路，在计算出圆内接正 ２４５７６边形的边长之和后，算出了圆周率在 ３．１４１５９２６与３．１４１５９２７之间（祖率）．
建构主义理论把“情境”、“协作”、“会话” 和“意义建构”作为学习环境的四大要素．为 了突破“数列的极限”这一教学难点，笔者先 精心创设一个“问题情境”，再通过师生之间、 学生之间的“协作”、“会话”，逐步完成学生的 “意义建构”． ３突破难点的教学设计 ３．１营造能引起学生认知冲突的问题情境
学习环境中的“情境”必须有利于学生对 所学内容的“意义建构”．因此，本课开始时我 举了我国魏晋时期杰出数学家刘徽“割圆术” 的例子．
教师演示，将咒的范围定在（１０，２０）时，
屏幕上数列的各项都在区间（ｏ．９，１．１）上了． 教师：当咒在（１０，２０）时，数列的各项是
在（ｏ．９，１．１）上了，会不会扎到了（１００，１２０） 间，数列中有些项会跑出（ｏ．９，１．１）呢？
教师演示将扎的范围定在（１００，２００），同 学们发现数列的各项离１更近了．
一１．１
列‰一等｝趋向于１，但“趋向于１”是什么意 ，‘
思，谁来回答一下？ 学生Ａ：就是无限接近１． 教师：什么“无限接近”？（众笑） 学生Ｂ：（经过片刻思考）就是随着咒越
来越大，以。与１的差越来越小． 学生Ｂ：（受到启发后补充）也就是距离Ｊ
以。一１ Ｉ越来越小． 教师：距离比Ｏ．１小行吗？ 学生Ｄ：行！只要”＞１０即可．
万方数据
·８·
中学数学月刊
２００１年第１１期
经过千锤百炼而建造好了的，但对学生来说， 仍是全新的、未知的、难理解的，需要每个人 再现类似的认知、创造过程来形成．即在教师 的指导下，学习者通过自身的活动和学习伙 伴间的相互帮助来对已有的数学知识构建起 自己的正确理解．
其次，正如笔者在上一节难点的成因分 析中所述，要让学生建立“数列的极限”这一 概念，必须从教和学这两个方面突破．建构主 义提倡在教师的指导下，以学习者为中心的 学习．也就是说，既强调学习者的认知主体作 用，又不忽视教师的指导作用，丽者相得益 彰、和谐发展，为突破难点提供了有力的支 撑．
（１）从教学内容本身看：极限的概念是抽 象思维的产物．它的指导思想是将“趋向于” 这种永无终止的生成过程相对地“静止”下 来，从而克服表达上的含糊性．但由于缺乏直 观的形象材料，加之概念本身的文字表述 （“￡一Ⅳ”法）又难以理解，所以学生接受概念 时有较大的难度．
（２）从教材的编排处理上看：显然，教材 编写者为了降低难度，试图采用由“特殊一一 般”的方法来给出极限的概念，但缺少对“为 什么要这样定义”的解释和说明．学生学习后 仍感到牵强附会，无法达到“知其所以然”的 境界，从而无法理解概念的实质．
“数列的极限”这一节内容我已教过多 轮，开始的“灌输式”教法，我得到学生的反馈 信息是：“老师，极限的概念实在不好懂，干脆 把它背下来”．我听后深感痛心和自责，通过 不断地向老教师讨教和自身的充电学习，才 渐入佳境．尽管本文观点还有许多不足或可 商榷之处，但波利亚说得好：“你卷进问题的 深浅程度将取决于你解决它的愿望的殷切程 度，除非你有十分强烈的愿望，否则要解决一 个真正的难题的可能性是很小的”．对学生的 学是如此，对教师的教又何尝不是如此呢？愿 与广大同行共勉！
下载时间：2010年8月9日
为什么要营造这个问题情境？笔者首先
万方数据
是考虑了建构主义学习理论中的一些基本观 点：学习并非是对于外部所给予知识的被动 接受，而是一个主观能动性得以充分发挥、主 动建构自己的认知结构的过程．特别是主体 已有的知识经验在新知识获得过程中发挥着 十分重要的作用．本课的问题情境通过对古 代极限思想的感悟，调动了学生已有的对“趋 向于”这一概念的粗糙认识，为突破难点提供 了必要的知识准备和情感准备．
别小于Ｏ．０１、Ｏ．００１．教师一边与学生讨论，
一边将讨论结果板书：
口口。Ｈ２一—盟—，，咒咒一·。。。。，，日日。Ｈ．＋１１．． ，ｚ
，ｚ＞：１０
１００
１ ０００
１０ ０００…
ｌｎ。一１ Ｉ＜：Ｏ．１ ０．０１ Ｏ．００１ Ｏ．０００ １…
教师：我们把第三行的小正数记为ｅ，第
二行中的自然数记作为Ⅳ，同学们能不能用
（３）从应试教育的教学观看：虽然数列极 限的概念对今后学习微积分等内容有着承前 启后的重要作用，但在旧教材中并没有凸现 其价值，也不在高考的考查范围内．因而许多 教师在处理时草草了事，甚至直接让学生背 背定义，以便省出时间去搞“对考试有用的东 西”，从而客观上造成了对概念缺乏正确、深 刻的理解．
（４）从传统的教学方法看：许多教师忽视
象，学生可以亲自参与，用鼠标拖动图形中标 注的拖动点，观察数列的通项随挖变化的过 程，反复实践、反复体验何谓“趋向于”．
在此基础上，老师、学生进行“会话”、“协 作”．为了更简明、更清晰地展示“会话”、“协 作”的过程，笔者撷取了一段课堂实录：