59-10.3几何概型

几何概型
1．(2011年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形，长
为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部
分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．
解析：设所求的面积为S ，
由题意得6001000＝S 5×12
， ∴S ＝36.
答案：36
2．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．
解析：P ＝18×43πa 3a 3＝π6
. 答案：π6
3．(2011年扬州调研)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x
>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．
解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知，在集合A 中任取一个
元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16
. 答案：16
4．如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取
一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．
解析：连结圆心O 与M 点，作弦MN 使∠MON ＝90°，
这样的点有两个，分别记为N 1，N 2，仅当点N 在不包含点M 的半
圆弧上取值时，满足MN >2R ，此时∠N 1ON 2＝180°，故所求的概率为
180°360°＝12
. 答案：12
5．(2011年常州调研)已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域E 的概率为________．
解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB 边界及其内部
的部分，区域E 表示的平面区域为△COD 边界及其内部的部分，
所以点P 落入区域E 的概率为S △COD S △AOB ＝12×2×412
×6×6＝29. 答案：29
6．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．
解析：f (1)＝－1＋a －b ＞0，即a －b ＞1，如图：
A (1,0)，
B (4,0)，
C (4,3)，S △ABC ＝92，P ＝S △ABC S 正方形＝924×4＝932
. 答案：932
7．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为________．
解析：面积为36 cm 2时，边长AM ＝6，面积为81 cm 2时，边长AM ＝9，∴P ＝9－612＝312
＝14
. 答案：14
8．在区域⎩⎨⎧ x ＋y －
2≤0x －y ＋2≥0y ≥0
内任取一点P ，则P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为
________．
解析：区域为△ABC 内部(含边界)，
则概率为P ＝S 半圆S △ABC ＝π212
×2 2×2＝π4. 答案：π4
9．(2011年南通调研)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤60≤y ≤6表示的区域为A ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤6x －y ≥0表示的区域为B .
(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；
(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．
解：(1)设集合A 中的点(x ，y )∈B 为事件M ，
区域A 的面积为S 1＝36，
区域B 的面积为S 2＝18，
∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝12
. (2)设点(x ，y )在区域B 为事件N ，
甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x ，y )的个数为36个，
其中在区域B 中的点(x ，y )有21个，
故P (N )＝2136＝712
. 10．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？
解：包含两个间谍谈话录音的部分在30 s 到40 s
之间，当按错键的时刻在这段时间之
内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间(即
0到23
min 之间)的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉．因此问题可转化为向[0,30]内投点，求点落在[0，23
]内的概率，由于投点即按键是等可能的，且每按一键，也就是投点的无限多种可能，所以该试验为几何概型．设A ＝“按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，
则P (A )＝2330＝145
. 11．(探究选做)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1＜0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}．
(1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠∅的概率；
(2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝∅的概率．
解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．
令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]，
则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x .
因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，
所以f ′(x )＞0，
即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．
f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b 2
－1. 要使A ∩B ≠∅，只需－a ＋b 2
－1＜0， 即2a －b ＋2＞0.
所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7组．
所以A ∩B ≠∅的概率为79
. (2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，
所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.
由(1)可知，要使A ∩B ＝∅，
只需f (x )min ＝－a ＋b 2
－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝∅的(a ，b )对应的区域是如图阴影部分．
所以S 阴影＝12×1×12＝14
， 所以A ∩B ＝∅的概率为P ＝144＝116
.。