角的平分线的性质1

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角平分线的性质1

师生互动合作探究（讲评课、训练课：自我纠错、合作合作探究）
[生 1]要说明 AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB． [生 2]∠CAD 和∠CAB 分别在△ CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了． [生 3]我们看看条件够不够．
AB AD BC DC AC AC
[生 4]原来用三角形全等，就可练习（1）：画以解决角相一个钝角的平等．线段相等的分线练习（2）：画一些问题．看来平角的平分线温故是可以知新的．
教
所以△ ABC≌△ADC（SSS）．所以∠CAD=∠CAB．即射线 AC 就是∠DAB 的平分线．
课时集体备课教案
第6周第_5 课时 _2013 年_10 月 11_日年级_初二学科_数主备人_李爱婷
课题
角的平分线的性质（一）（一）教学知识点
课型
新授
角平分线的画法、角平分线的性质 1．学习目标（二）能力训练要求 1．掌握角平分线的性质 1 （三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点教学难点教学方法课前准备利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质 1．角的平分线的性质 1 引导发现、讲练结合法．多媒体课件教师活动
点什么？把对折的求证： P 到三边 AB，BC，CA 问题 2：（出示）纸片再任意折一的距离相等能否用符号语言来翻译“角平次，然后把纸片什么？
分线上的点到角的两边的距离相展开，又看到了等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：程 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE ⊥OB，

角的平分线的性质

角的平分线的性质一. 根底知识1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如下列图，∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.2．角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如下列图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的角平分线上．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据某点到角两边的距离相等，那么常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质〞和“判定〞恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上〞的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．【例6】如以下列图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现方案修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．课堂练习一、填空题1．：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，那么∠AOC的度数为.2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________. 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，那么BC=_____cm.第4题第5题第6题第7题6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，那么CF______FG，CE________CF.7．如图，AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，那么直线MN与PQ的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，那么∠BOC的度数为_____________．10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC=32且BD∶CD=9∶7，那么D到AB的距离为.二、选择题11．三角形中到三边距离相等的点是〔〕A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，以下结论错误的选项是〔〕A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互穿插的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有〔〕A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，那么△DEB 的周长为〔〕 A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题第13题第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPM第15题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )EDCBAA ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，那么对于以下结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的选项是〔〕A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③EDC BAF18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，那么点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为〔〕A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是〔〕A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明21．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.22．如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，假设BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .DCBAO 第18题23．如图，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC .DF CBAE24．如图，AB =AC ，AD =AE ，DB 与CE 相交于O . (1)假设DB ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)假设没有第〔1〕中的条件，是否有这样的结论"试说明理由.DCBAOE25．如图，∠B =∠C =90°M 是BC的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图．在△ABC 中，∠A 、∠B 的角平分线交于点O ，过O 作OP ⊥BC 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．〔1〕求BP、CQ、AR的长．〔2〕假设BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，假设∠A=60゜，求证：OE=OF．2.如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．〔1〕求证：BC=2AD；〔2〕求证：AB=AE+CE；〔3〕求证：DE平分∠MDB3.如图，点M〔2，2〕，将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：〔1〕求证：OM平分∠AOB；〔2〕求OA+OB的值4.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．〔1〕求证：△ACD≌△BCE；〔2〕求证：CH平分∠AHE；〔3〕求∠CHE的度数．〔用含α的式子表示〕家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.3、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________.4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，那么BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。

《角的平分线的性质》全等三角形PPT课件(第1课时)

2. 探究并认知角平分线的性质.
1. 学会角平分线的画法.
探究新知
知识点 1 角平分线的画法
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
探究新知
提炼图形
探究新知
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
人教版数学八年级上册
12.3 角的平分线的性质第1课时
导入新知
下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？
A
D
B
C E
素养目标
3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.
即
1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
探究新知
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
O
定理的作用：证明线段相等.
拓广探索题
如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，
求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离. ∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.

角平分线的性质1正式

(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
(3)验证猜想
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1
P
2
O
EB
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
上的点到角两边的距离
相等）
B
B
（1）已知：AD平分∠BAC ，A
D
BD 与 CD相等吗？
C
（2）已知：DC⊥AC，DB⊥AB，
D
DB与 DC相等吗？
（3）AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB
DB与 DC相等吗？
B
A
C
A D
C
例1.已知：如图，BC、AD分别垂直
OA、OB，BC和AD相交于E，且OE
平分∠AOB。求证：EA=EB。
O
C
D
E
A
B
这节课我学会了……
作业:1.必做题: 习题13.3 2. 3. 4. 2.选做题: 习题13.3 5.6
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
利用此性质
怎样书写推理过
程?
A
D
C
1P
2
OHale Waihona Puke EB角平分线上的点到角两边的距离相
等。
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（角平分线

10 11.3 角的平分线的性质(1)

已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, ,P 上一点垂足分别是D,E D,E， PD=PE。垂足分别是D,E，且PD=PE。求证:OC :OC是 AOB的平分线的平分线. 求证:OC是∠AOB的平分线. A
D O 1 2 E B P C
分析:要证明PD=PE, PD=PE,只要证分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPB，明它们所在的△OPD≌△OPB，而 OPD≌△OPB的条件由已知易知 △OPD≌△OPB的条件由已知易知它满足AAS. 故结论得证。它满足AAS. 故结论得证。
D O 1 2 E B P C
A
已知:如图,OC是已知:如图,OC是∠AOB ,OC 的平分线,P OC上任意一点 ,P是的平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 求证:PD=PE.
D O 1 2 E B P C
已知:如图,OC是 AOB的平分线,P是OC上已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上 ,OC 的平分线,P 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 求证:PD=PE. A
O
B
巩固练习
作一个平角∠AOB，作一个平角∠AOB，作出它的角平分线 OC，反向延长OC得到直线CD。 OC，反向延长OC得到直线CD。你能说出直线 OC得到直线CD CD与直线AB的关系吗？ CD与直线AB的关系吗？与直线AB的关系吗
A
· O

《角的平分线的性质(1)》课件

PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究三：用角的平分线的性质解决简单问题活动1 例1 (2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
则图中PD＝PE吗不相等
【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测重难点归纳
（1）角的平分线的性质的探究. （2）角的平分线的性质的证明及应用. （3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.
边的垂线段. 哪个学生的作法正确？同学乙的画法是正确的．
同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究二：角的平分线的性质活动2 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
证明： ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E， ∴DC=DE 又∵△AD=DF △ ∴ DCF≌ DEA（HL）
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
活动3
练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE， CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
知识回顾问题探究探究二：角的平分线的性质活动3
课堂小结
随堂检测
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知） ∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

角的平分线的性质

角的平分线的性质一. 基础知识1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如图所示，∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.2．角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如图所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的角平分线上．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．【例6】如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．课堂练习一、填空题1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 .2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF .7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 .第4题第5题第6题第7题二、选择题11．三角形中到三边距离相等的点是（）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题第13题第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPM第15题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )EDCBAA ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③EDC BAF18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（）A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（）A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm 20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明21．如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.DCAO 第18题22．如图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .23．如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC .F CAE24．如图，已知AB =AC ，AD =AE ，DB 与CE 相交于O . (1)若DB ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由.DCBAOE25．如图，∠B =∠C =90°M 是BC的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．2.如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．（1）求证：BC=2AD；（2）求证：AB=AE+CE；（3）求证：DE平分∠MDB3.如图，点M（2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：（1）求证：OM平分∠AOB；（2）求OA+OB的值4.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：CH平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。

12.3 角的平分线的性质

距离与点 O 到 CD 的距离之和是．
第 3页（共 15页）
15．如图， ABC 中， DF 平分 BDE ， EF 平分 DEC ，求证： AF 平分 BAC ．
二、作图—尺规作图的定义
16．下列作图语句的叙述正确的是 ( )
A．以点 O 为圆心画弧 C．延长线段 BC 到点 D ，使 CD BC
第 1页（共 15页）
12.3 角的平分线的性质
一、角平分线的性质 1．（2020 春•扶风县期末）如图，在 ABC 中，AD 是角平分线，DE AB 于点 E ，ABC 的面积为 15，AB 6 ， DE 3 ，则 AC 的长是 ( )
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
A．8
B．6
C．5
D．4
2．（2019 秋•长清区期末）如图，RtABC 中，C 90 ，AD 平分 BAC ，交 BC 于点 D ，AB 10 ，SABD 15 ，
则 CD 的长为 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2019 秋•博兴县期中）如图所示，在 ABC 中，AC BC ，AE 为 BAC 的平分线，DE AB ，AB 7cm ，
DC 2 ，则 ABD 的面积为．
11．（2019 秋•广丰区期末）平面上有三条直线两两相交且不共点，那么平面上到此三条直线距离相等的点
的个数是．
12．（2018 秋•黔南州期末）如图，已知 ABC 的周长是 21，OB ，OC 分别平分 ABC 和 ACB ，OD BC
于 D ，且 OD 4 ， ABC 的面积是
ABC 内角平分线的交点满足条件；
如图：点 P 是 ABC 两条外角平分线的交点，

角的平分线的性质1

D
A
C
P
O
E
B
归纳
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
D A C P O E B
新授几何语言描述： ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD= PE
O
D
A C
P
E
B
范例例1.已知：如图，BC、AD分别垂直 OA、OB，BC和AD相交于E，且OE 平分∠AOB。 O 求证：EA=EB。 C D
A
1.以O为圆心，适当长为 M 半径画弧，交OA于M， C 交OB于N； 2.分别以M、N为圆 O 1 N B 心，大于 2 MN的长为半径画弧，两弧在 ∴OC就是∠AOB ∠AOB的内部交于点C；的平分线。 3.作射线OC。下结论
巩固 1.已知：如图，∠AOB。求作：OD平分∠AOB。
用直尺和圆规画角的平分线的方法：
受确定：天上地下唯我独尊/它确定天地唯有の神剑/唯有の锋芒/即使确定至尊/都无法触其锋芒/ 这种感知让冰凌王难以置信/无法想象马开居然敢凝聚出这样の法则の/太过惊世骇俗咯/最让它震撼の确定/凝聚成功咯/ 敢凝聚和凝聚成功确定两佫概念/要成功凝聚这样の法则/马开の信念要多么坚定/对天地の感悟何其之神/自己の元灵和身体要共振到何种地步/ 这吃要超出至尊の感悟/超出至尊の元灵/说说容易/但要做到/难比登天/ 马开身居至尊法/也拥有抪少圣法/更确定有无穷の法则/要从至尊法/圣法/法则中超脱出来/这几乎确定抪可能の/可确定马开做到咯/ 正如冰凌王想の那样/马开走到这壹步十分抪易/抪只确定把自己の气海化作元气海/抪只确定凝聚无数法则/更确定抪断感悟自身/感悟天地/感悟各种法/才走到这壹步/而且十分侥幸/ 马开差壹点点就失败咯/可幸好の确定/它终于走到咯这壹步/ 此刻の马开

角平分线的性质1PPT演示课件

方法二
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。

角的平分线的性质

角的平分线的性质角的平分线是指将一个角分为相等的两个角的直线。

在几何学中，角的平分线具有以下性质：1. 两个角的平分线相交于角的顶点，并且相交点与角的两边形成的四个角是相等的。

也就是说，如果有一个角ABC，其中CD是角ABC的平分线，那么角ACD与角BCD将是相等的。

2. 平分线将一个角分为两个相等的角度，这意味着平分线将角的总度数分成相等的两部分。

例如，对于一个直角（90度）来说，它的平分线将把它分成两个45度的角。

3. 如果两个角的平分线相等，那么这两个角也是相等的。

也就是说，如果AD和BD是角ABC的两个平分线，并且AD=BD，那么角ACD与角BCD将是相等的。

4. 在一个三角形中，如果一个边上的角被其对边的平分线分成两个相等的角，那么这个边一定是这个三角形的底边。

换句话说，如果在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，并且角DAB=角DAC，那么线段BC是三角形ABC的底边。

这些是角的平分线的一些主要性质。

角的平分线在几何学中具有重要的应用。

它们帮助我们研究和理解角度的关系，以及解决与角度相关的问题。

在证明几何定理和推导几何公式时，角的平分线也经常被使用。

除了以上性质外，角的平分线还有其他一些重要的应用和性质，例如，垂直平分线、角平分线与三角形的外接圆和内切圆的关联等。

这些性质和应用使得角的平分线成为几何学中一个重要的概念。

总结起来，角的平分线是将一个角分为相等的两个角的直线。

角的平分线具有多种性质，包括：相交于角的顶点，相交点与角的两边形成的四个角是相等的，平分线将角的总度数分成相等的两部分等等。

这些性质和应用使角的平分线在几何学中具有重要的地位。

12.3 角的平分线的性质(1)

12.3 角的平分线的性质(1)教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重、难点与关键1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．3．•关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利用全等来证明它的逆定理．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB ．求法：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N ．（2）分别以M 、N为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图12．3─3，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．”论证如下：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，12∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】如课本图12．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化创新练习P31六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破创新练习P32八、板书设计12.3角的平分线的性质一、角平分线的画法二、角平分线的性质1.性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.三、例题讲解例题九、教学后记角平分线的性质是人教版八年级上册第十二章全等三角形第三节内容.它是在学习了“全等三角形的性质和判定”后,通过一些实际问题讨论了角的平分线的性质.在教学中教师采用了体验探究的教学方式,为学生提供了亲自操作的机会,引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发现角平分线的性质,使学生直接参与教学活动,学生在动手操作中对抽象的数学定理获得了感性的认识,并通过教师的引导上升为理性认识,进而获得新知,使学生的学习变为一个再创造的过程,同时让学生学到获取知识的思想和方法,体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性,为学生今后获取知识以及探索和发现打下了基础.。

角平分线的性质1

角的平分线的性质（1）
授课时间：9月13号主备人:卢新发
教学目标：
1、掌握角的平分线的性质及证明
2、作已知角的平分线的方法
3、证明一个几何命题的步骤
教学重点：角的平分线的性质及应用
教学难点：证明一个几何命题的步骤
教学过程：
一、自主探究
学生自己阅读课文（5分钟）
同时回答下列问题
1、作已知角的平分线的第二步，为什么要强调大于的长为半径画弧
2、你记住角的平分线的性质了吗,角的平分线的性质会用文字语言叙述和式子语言叙述
3、证明一个几何命题时的步骤，你能说出来吗?本题是一个难点。

二、小组交流各自的意见。

学生展示各自的小组成果
三、答疑
教师解决学生存在的共性问题。

学生可能存在问题，写出一个几何命题的已知，求证。

教师可通过具体问题进行解决。

1.四、达标练习：
1、如图，OC 是∠AOB 的平分线，
∵ ∴PD=PE
2.在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE 相等？为什么？
⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，
求BE ，AE 的长和△AED 的周长。

3、在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。

E D C B
A B O A C · D P E
布置作业：教材P22 1、2、3。

角平分线的性质(1)

2016--2017学年度（上）武汉市第一初级中学课时计划【创设情境】情境1如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A 点放角的顶点，AB 和AD 沿AC 画一条射线AE,AE 就是∠BAD 的平分线，你能说明它的道理吗？【探究归纳】问题1、已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法？问题2、从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。

(1)已知什么？求作什么？ (2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画? (3)简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画？ (4)AC 与简易平分角的仪器中,AE 是同一条射线吗? (5)你能说明AC 是∠AOB 的平分线吗? (6)归纳角平分线的作法情境2、如图，将∠AOB 的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的说明你的结论的正确性吗？【探究归纳】问题3、观察折纸（得角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 .）（1）折痕PE 和PD 与角的两边OA 、OB 有什么关系？PD 和PE 相等吗？（2）两次折叠形成的三条折痕，两个直角三角形全等吗？（3）你能归纳出角平分线的性质吗？（4）请证明你的结论？小结：证明几何命题的步骤（1）明确已知和求证。

（2）根据题意画出图形，用数学符号写出已知和求证。

（3）经过分析，写出证明过程。

情境3、如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？为什么？情境4、多媒体课件动态演示，当拖动∠AOB内部的点P时，在保持PM＝PN(PM⊥OA，PN⊥OB)的前提下，观察点P留下的痕迹。

（发现：射线OP是∠AOB的平分线，即角平分线的判定方法。

13.3.1 角的平分线的性质(一)

§13．3 角的平分线的性质§13．3．1 角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法．（二）能力训练要求1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．教学难点角的平分线的作图方法的提炼．教学方法讲练结合法．教具准备多媒体课件（或投影）．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境问题1：三角形中有哪些重要线段．问题2：你能作出这些线段吗？[生甲]三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高．取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．[生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．[师]你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习．如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？Ⅱ．导入新课[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．求证：∠MOC=∠NOC．通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ，即可证明∠MOC=∠NOC ，所以射线OC 就是∠AOB 的平分线．受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，再分别过M 、N 作MC ⊥OA ，NC ⊥OB ，MC•与NC 交于C 点，连接OC ，那么OC 就是∠AOB 的平分线了．[师]他这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）[师]这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用，•联想迁移的学习方法值得大家借鉴．议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC 即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．议一议：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB ，作它的平分线．Ⅲ．随堂练习课本P106练习．练后总结：平角∠AOB 的平分线OC 与直线AB 垂直．将OC 反向延长得到直线CD ，直线CD 与AB•也垂直．Ⅳ．课时小结本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法．Ⅴ．课后作业1．课本P108习题13．2─1、2．2．预习课本P106～107内容．。

三角形角平分线的性质

三角形角平分线的性质
1.角平分线可以得到两个相等的角。

2.角平分线上的点到角两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

5.三角形的一条内角的平分线与不相邻的两个外角的平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。

6.三角形的外角平分线都在三角形外。

7.三角形的角平分线都在三角形内。

人教版数学八年级上册1角的平分线的性质课件

12.3角的平分线的性质
第1课时角平分线的性质
学习目标
1. 会用尺规作图画定角的角平分线，并能用全等三角形的判定解释其原理。
2. 掌握角平分线的性质，会运用性质解决相关问题。
1、怎样得到一个角的角平分线？用量角器度量，也可用折纸的方法．
2、下图是一个平分角的仪器，你能说明它的道理吗？
A
D
PM，PN的大小关系是( B )
A．PM>PN B．PM＝PN C．PM<PN D．无法确定
4、如图，在△ABC中E⊥AB于E，若AB ＝ 6 cm，则△DBE的周长是( A ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
分析：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC. 又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD，
注意：（1）“点”是指角的平分线上任意位置的点；
（2）“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂
线段的长度.
用处：证明线段相等.
检测2：角平分线性质的应用
练习1 下列结论一定成立的是（3）．
（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分
别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足
弧，两弧在∠AOB的内部交于点C
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
画射线OC，即为∠AOB的角平分线
作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
1
(2)分别以点M，N为圆心，大于 2 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求（如图).

八年级数学角的平分线的性质1

角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M D C F A E B N
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B A ND P M F
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E
C
如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G， G FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， M FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
有的大妈拿起扫把冲上去试图殴打,有的老人就直接从地上团起雪块砸过去.一开始只有几个人的行动,很快,情况越来越严重. 人们高呼着残酷口号发泄着愤怒和戾气,雪团如雨点一般砸过去. 战士们见状立刻开始维持秩序,场面越来越混乱. 鲶鱼村那里居住了好几千平民,闻听德国俘虏被押解而来,人们问讯,甚至拿起自家的农具,就参与到打俘虏的运动中. "外面的老百姓都疯狂了！真没想到把俘虏领进来,居然能那样！"耶夫洛夫脸色很是焦急 "必须阻止他们,大家的愤怒可以理解.但是如果俘虏都死了,我什么情报也不能获得！还有,民愤固然如此,我还是得作为国家的代表名正言顺的判处一些人死刑！"耶莲京娜立刻率领一些民事人员,他们都有着红色袖章,还绣着镰刀锤子的标致. 耶莲京娜腰里别着手枪突入人群,而此时此刻,李小