人教B版高中数学必修四高一作业设计：2.3.2向量数量积的运算律

合集下载

人教新课标版数学高一-数学人教B版必修4导学案 2.3.2向量数量积的运算律

导学案：2.3.2向量数量积的运算律一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

二、【重点难点】教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用三、【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.4.掌握向量垂直的条件.四、自主学习平面向量数量积的运算律1．交换律：2．数乘结合律：3．分配律：例1 已知、都是非零向量，且+ 3与7- 5垂直，- 4与7- 2垂直，求与的夹角.例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.例3 四边形ABCD中，＝，＝，＝，＝d，且·＝·＝·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?五、合作探究1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律D.a·b是一个实数2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（）A.72 B .-72 C.36 D.-363.| a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知||=3，||=4，且与的夹角为150°，则(+)２＝ .5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ .六、总结升华1、知识与方法：2、数学思想及方法：七、当堂检测（见大屏幕）。

数学：2.3.2《向量数量积的运算律》教案(新人教B版必修4)

由此我们知道了向量的数量积的代数定义，总感到意犹未尽，有没有几何特征呢？
由上述定义我们已经得知：两个向量的数量积是一个实数，可以是正数、负数、零，其几何含义见P108/图2-50
= 在轴l上的正射影的坐标记作：al，向量的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数余弦定义可知：al= cosθ
5
应用
还可能定义什么运算？
期望学生回答：向量相乘
复习向量有关运算
2
引入新课
以物理背景引入
实际上，在物理课上，我们已经多多少少知道了一些：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
（1）力F所做的功W=。
（2）请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是量，
F（力）是量，
S（位移）是量，
α是。
我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的；
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第七学时～第八学时:第一方案
课题：向量数量积的定义及运算率
教
学
目
标
1、知识与技能
①理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。
②体会平面向量的数量积与向量投影பைடு நூலகம்关系。
③掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。
2、过程与方法
通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力
教学方法
将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动实现的。
教学环节
教学内容
师生互动

高级中学人教B版高一数学必修四导学案2.3.2向量数量积的运算律

向量数量积的运算律学习目标：一、．掌握平面向量的数量积及其几何意义；．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；．了解用数量积可以处理有关长度角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；一、复习回顾、已知两个非零向量和,作,则叫做向量与的夹角。

、向量夹角θ的范围是,与同向时,夹角＿;与反向时,夹角。

、如果向量与的夹角是,则与垂直,记作。

、向量数乘运算的定义是.思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？二、探究过程:叫做的夹角。

.已知两个向量，我们把叫的数量积。

（或）记作即＝其中是的夹角。

叫做向量方向上的。

.零向量与任意向量的数量积为。

.平面向量数量积的性质：设均为非零向量：①②当同向时，＝当反向时，＝，特别地，或。

③④.的几何意义：。

.向量的数量积满足下列运算律：已知向量与实数。

①＝（律）②＝③＝说明：①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。

三、典型例题例已知，，和的夹角为，求？例: 对任意是否有和成立？例:已知已知，，和的夹角为，求四、达标训练:例：已知，，与的夹角为，求的值.变式：已知向量与的夹角为，且，，求：() ;()例: 对任意是否有和成立？例:已知已知，，和的夹角为，求例：已知非零向量和满足，且与垂直，求证：.拓展（）：若向量、、满足，且，，，则.（）：已知,是非零向量，且满足，，求与的夹角选作：已知，且，，若对两个不同时为零的实数，使得与垂直，试求的最小值.。

人教B版高中数学必修四课件高一：2-3-2向量数量积的运算律

• [例1] 已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，
求|a－b|.
• [分析] 利用公式|a|2＝a·a.
• [解析] 由|a＋b|2＝(a＋b)2， • 可得a2＋2a·b＋b2＝576， • ∴169＋2a·b＋361＝576， • ∴2a·b＝46. • ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝169－46＋361
3，且 a 与 b 的夹角为6π，则|a＋b|＝( )
A．3
B. 3
C．21 D. 21
• [答案] D
[解析] ∵|a|＝3，|b|＝ 3，a 与 b 的夹角为6π，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝9＋2×3× 3×cos6π＋3 ＝9＋2×3× 3× 23＋3＝21， ∴|a＋b|＝ 21.
• [答案] ②④ • [解析] ①错因为向量数量积不满足结合
律；③错，因为[(b·c)a－(c·a)·b]·c
• ＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)
• ＝0， • ∴垂直．
• 5．关于平面向量a，b，c，有下列三个命
题：
• ①若a·b＝a·c，则b＝c.
• ②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝
A. 7 C. 13
B. 10 D. 4
[解析] ∵|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 夹角为 60°，
• [答∴案|a]－3bA|2＝|a2|－6a·b＋9|b|2
＝1－6×1×1×cos60°＋9
＝1－6×12＋9＝7，
∴|a－b|＝ 7.
• [例[解2析] ] 已∵知a＋a3、b 与b7都a－是5b非垂零直，向∴(量a＋，3b且)·(7aa－＋53b)b＝与0，
(3)A→B与A→D的夹角为 60°，所以A→B与D→A的夹角为 120°，(←此处易错为 60°.) 所以A→B·D→A＝|A→B|·|D→A|·cos120°＝4×3×－12＝－6.

高中数学人教B版必修4 2.3.2向量数量积的运算律学案 Word版缺答案

2．3．2向量数量积的运算律
一、学习要点：向量数量积的运算律及其简单运用
二、学习过程：
一.复习回顾：
平面向量数量积的定义及其几何意义、性质:
二.新课学习：
1.平面向量数量积的运算律:
(1)
(2)
(3)
注意: 向量的数量积是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．
〈1〉.实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c . 但是a ⋅b = b ⋅c ⇒ a = c
〈2〉.在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b ) c ≠ a (b ⋅c )
2.常用数量积运算公式
在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式及类似于实数平方差的公式在解题中的应用较为广泛.即:
(1)
(2)
(3)
三．例题：
例1用向量方法证明：菱形对角线互相垂直.
例2已知a 、b 都是单位向量，它们的夹角为60︒，求3a b +.
例3已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.
四.课堂练习:
P练习题;
1. 教材
111
五.课堂小结:
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质及运算律解决相关问题.
六.作业:见作业（21）。

2022-2021学年高二数学人教B版必修4学案：2.3.2 向量数量积的运算律

2.3.2向量数量积的运算律明目标、知重点 1.把握平面对量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.1.向量的数量积(内积)|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.|a|cos θ叫做向量a在b 方向上的正射影的数量，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的正射影的数量.2.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b ＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a2；(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a||b|.3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(支配律).[情境导学]引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是格外必要的.向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相像，实质差别很大.实数中的一些运算性质不能任凭简洁地类比到向量的数量积上来.探究点一向量数量积运算律的提出思考1类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再推断正误(完成下表)：运算律实数乘法向量数量积推断正误交换律ab＝ba a·b＝b·a正确结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)错误支配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c错误思考2在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明.答(a·b)c＝a(b·c)不成立，由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不愿定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般状况下不会成立.a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c不成立，如图所示.明显a·b＝b·c，且a≠c.探究点二向量数量积的运算律问题已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(支配律).思考1如何证明a·b＝b·a？对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？答a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，b·a＝|b||a|cos〈b，a〉，∵〈a，b〉＝〈b，a〉，cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉，∴a·b＝b·a.(λa)·b有意义，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).思考2如何证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种状况争辩)答当λ＝0时，0·b＝0·(a·b)＝a·0＝0.当λ>0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝λ|a||b|cos〈λa，b〉，λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝λ|a||b|cos〈a，λb〉；∵λ>0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，b〉＝cos〈a，λb〉，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).当λ<0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝－λ|a||b|cos〈λa，b〉，λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝－λ|a||b|cos〈a，λb〉，∵λ<0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，λb〉＝－cos〈a，b〉，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).综上所述，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).思考3下面是证明支配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c的过程，请补充完整.证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，图(1)向量a＋b在向量c方向上的正射影的数量|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝0；向量a在向量c方向上的正射影的数量为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在向量c方向上的正射影的数量为|b|cos〈b，c〉＝OB1，易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.所以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉.两边乘以|c|得：|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为锐角时，如图(2)所示，图(2)向量a＋b在向量c方向上的正射影的数量为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝OC1；向量a在向量c方向上的正射影的数量为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在c方向上的正射影的数量为|b|cos〈b，c〉＝OB1，∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，∴OC1＝OA1＋OB1，∴|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉.两边同乘以|c|得：|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b|·|c|cos〈b，c〉，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，图(3)同理可证得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.答案④解析由于两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有很多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特殊是向量的数量积不满足结合律，即一般状况下(a·b)·c≠a·(b·c).跟踪训练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________.答案①③④解析依据向量积的支配律知①正确；由于[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；由于a，b不共线，所以|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确.故正确命题的序号是①③④.探究点三平面对量数量积的运算性质思考实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面对量的数量积运算中照旧成立，请依据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.例2已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).解(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a|·|b|cos θ－6|b|2＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72.反思与感悟娴熟把握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键.计算形如(m a＋n b)·(p a＋q b)的数量积可仿多项式乘法的法则开放计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解.跟踪训练2已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)|3a－4b|.解(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4＝0.(2)|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19∴|3a－4b|＝419.例3已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋k b与a－k b相互垂直.解a＋k b与a－k b相互垂直的条件是(a＋k b)·(a－k b)＝0，即a2－k2b2＝0.∵|a|＝3，|b|＝4，∴9－16k2＝0，∴k＝±34.当k＝±34时，a＋k b与a－k b相互垂直.反思与感悟向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线：a与b垂直的等价条件是a·b＝0.跟踪训练3已知e1与e2是两个相互垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角？解∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0.但当k＝1时，e1＋k e2＝k e1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.综上，k的取值范围为k>0且k≠1.1.下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A.1B.2C.3D.4答案C解析①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C.2.设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于()A.1B.2C.3D.5答案A解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.3.已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是()A.60°B.30°C.135°D.45°答案C解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－a 2＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22.∴〈a ，b 〉＝135°.4.已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.答案－8或5解析由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.[呈重点、现规律]1.数量积对结合律一般不成立，由于(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同.2.在实数中，若ab ＝0则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，由于其中cos θ有可能为0.3.在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0D /⇒a ＝c .一、基础过关1.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 C解析设向量a 与b 的夹角为θ， ∵c ⊥a ，∴c·a ＝0.又∵c ＝a ＋b ，∴(a ＋b )·a ＝0，即a 2＋b·a ＝0⇔|a |2＋|a||b |cos θ＝0. 又∵|a |＝1，|b|＝2，∴cos θ＝－12.故θ＝120°.2.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5，则|3a －b |等于( ) A.7 B.6 C.5 D.4答案 A 解析 |3a －b |＝(3a －b )2＝9|a |2＋|b |2－6a ·b＝9＋25－6×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49＝7. 故选A.3.在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( ) A.－32 B.0 C.32 D.3答案 A解析 a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA → ＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12.同理b·c ＝－12，c·a ＝－12，∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.4.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形答案 B解析 ∵AB →＝DC →即一组对边平行且相等，AC →·BD →＝0，即对角线相互垂直，∴四边形ABCD 为菱形. 5.设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( ) A.若θ确定，则|a |唯一确定 B.若θ确定，则|b |唯一确定 C.若|a |确定，则θ唯一确定 D.若|b |确定，则θ唯一确定答案 B解析 |b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2 ＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2. 由于|b ＋t a |min ＝1，所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1. 所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ. 即θ确定，|b |唯一确定.6.已知|a |＝3，|b |＝4，则|a －b |的取值范围为______. 答案 [1,7]解析方法一 ∵||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |， ∴1≤|a －b |≤7，即|a －b |的取值范围是[1,7]. 方法二设θ为两向量a ，b 的夹角，则θ∈[0，π]. ∵|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ＝25－24cos θ， ∴|a －b |2∈[1,49]，∴|a －b |∈[1,7].7.已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |. 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12，∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12；又|a |＝1，∴|b |＝22.∵a ·b ＝12，∴|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝22，∴向量a ，b 的夹角为45°.(2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12，∴|a －b |＝22.二、力气提升8.设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4全部可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3B.π3C.π6D.0答案 B解析设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝∑i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种状况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.9.在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________. 答案 12解析在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0， ∴|AB →|＝12.10.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________. 答案712解析由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.11.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是π3，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角.解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是π3，∴m·n ＝|m||n |cos π3＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.12.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1 (k ∈R )，求k 的取值范围.(1)证明由于|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，所以(a －b )·c ＝a·c －b·c ＝|a||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，所以(a －b )⊥c .(2)解由于|k a ＋b ＋c |>1，所以(k a ＋b ＋c )2>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a·b ＋2k a·c ＋2b·c >1，所以k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. 所以k 2－2k >0，解得k <0，或k >2. 所以实数k 的取值范围为k <0，或k >2. 三、探究与拓展13.已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解由向量垂直得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12|b |2|b |2＝12，∴a 与b 的夹角为π3.。

人教B版高中数学必修四《2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律》_4

向量数量积的运算律教学设计教学目标1.掌握平面向量数量积的运算律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题；3.培养学生数学运算能力，为下节课灵活运用平面向量数量积解决长度、角度、垂直、共线等问题打好基础。

教学重点：平面向量数量积的运算律教学难点：利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决问题授课类型：新授课教具：多媒体内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积2．向量的数量积的重要性质><=⋅=⋅a e a a e ,cos ||)1( （2）a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（3）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）（4）cos θ =||||a b a b ⋅（此性质可以解决向量的夹角问题）；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；二、新课讲授(a b)c?a (b c)⋅⋅⋅⋅ a (b c)?a b a c ⋅+⋅+⋅ a)b?(a b)?a (b)λ⋅λ⋅⋅λ 思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？小组合作对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。

（预测：学生对向量数量积的分配律的证明不完整，需要老师讲解，分配律成立的证明会用到向量的线性运算及数量积的几何意义）得出结论向量的数量积满足哪些运算律？2.例1（设计意图：此例题巩固数量积运算律的计算方面的应用）例2：已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线。

2016-2017学年高一数学人教B版必修4教案2.3.2向量数量积的运算律

《向量数量积的运算律》教学设计一、情景引入知识回顾：平面向量数量积的定义及几何意义（学生回答）问题导思：向量的数量积是否具有类似于数量乘法那样的运算律？ ⑴交换律：b a ⋅= ； ⑵结合律：()b a ⋅λ= = ； ⑶分配律：()c b a ⋅+= 。

（学生回答）二、合作探究展示探究一分配律的证明求证：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（师生共同探究）探究二数量积的运算律应用（一）()2221||2||a b a a b b +=+⋅+证明：（）()()222||||a b a b a b +⋅-=-（）（学生版演）探究三数量积的运算律应用（二）已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线求证：AC ⊥BD.（师生共同探究，展示规范步骤）跟踪练习：0=3=5ABC=60.ABC AB BC AC ∠在中，已知边长，，，求边长（学生做，说）探究四数量积的运算律应用（三）已知06,4,,60a b a b ==〈〉=（1）求).3()2(b a b a -⋅+（学生版演）跟踪练习：已知：04,2,,120a b a b ==〈〉=求：（1）a b + （2）()(2).a b a b +⋅-（学生版演）当堂练习1. 已知向量b a ,的夹角为060,3 ） A 33 B 3 C 23 D 322.已知向量b a ,的夹角为0120,4求)2(b a b +⋅3.,,2b a c +=且,a c ⊥求向量b a ,的夹角。

（学生说答案）2k a b ka b +-（2）当且仅当取何值时，与互相垂直？。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》2

向量数量积的运算律教学设计新授课第一课时一．【教学目标】1知识与技能目标：理解向量数量积的运算律；2过程与方法目标：掌握向量数量积的运算律，能运用运算律解决相关问题；3情感态度与价值观目标：创设适当的问题情境，引入课题，激发学生的学习兴趣，培养数学意识。

二．【教学重点】理解并初步掌握向量数量积的运算律三．【教学难点】向量数量积运算律分配律的证明。

四．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量数量积的基础上以及实数中相关运算律和公式引入向量数量积的运算律，运算律教学过程中紧扣向量数量积的定义进行分析，小组之间探究讨论，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。

五．【教学过程】六．【板书设计】向量数量积的运算律一．向量数量积的运算律二例题讲解已知向量c b a ,,和实数,λ则交换律：a b b a ⋅=⋅数乘结合律：)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ 三课堂小结分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(七．【教学反思】向量的数量积的运算律共两个课时，本课时为第一课时。

围绕数量积的运算律，进行了论证及简单应用，展开设计，为下节课灵活应用向量数量积的运算律解决问题奠定基础。

例题的选取紧紧扣住课本的例题，并通过例题展开变式研究和培养学生的发散性思维。

采取小组PK 的方式引导学生结合具体习题设计问题，体现开放教学和民主的课堂氛围。

渗透数学思想方法的学习：类比的思想，渗透发散性思维的培养意识，通过教师的设计，引导学生怎样把一个题目解活、用活、学活，从而提高有效学习的效率。

引导学生自己小结，一方面培养学生对问题的整理综合能力，另一方面引导学生学习抓主流、抓重点内容，懂得取舍得当。

2018-2019学年高一数学人教B版必修4课时作业2.3.2 向量数量积的运算律

课时作业22向量数量积的运算律(限时：10分钟)．已知|a|＝2，b是单位向量，且a与b夹角为60°，则a·(a－b)等于() ．1B．2－3C．3D．4－ 3(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a－3b＋5a·b＝2×4－3×5＋5×(－10)＝－93.(限时：30分钟)若|a|＝63，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是()120°B．150°C．60°D．30°|a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a |2＋2a·b ＋|b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2，即2a·b ＝－2a·b ，所以a·b ＝0，a ⊥b .故选B.答案：B3．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：a·b ＝|a |×4cos60°＝2|a |，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，即|a |2－a·b －6|b |2＝－72，故|a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6.答案：C4．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A.7B.10C.13 D ．4解析：∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13. 答案：C5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB→＋PC →)等于( )A.49B.43 C ．－43 D ．－49解析：∵AM ＝1，且AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23. 如图，AP →·(PB →＋PC →)＝AP →·2PM →＝AP →·AP →＝AP →2＝⎝⎛⎭⎫232＝49. 答案：A6．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵c·d ＝0，∴(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，∴2k a 2－8a·b ＋3k a·b －12b 2＝0，∴2k ＝12，∴k ＝6.答案：B7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝__________. 解析：因为|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝12－2×1×2cos60°＋22＝3，故|a －b |＝ 3. 答案： 38．等腰直角三角形ABC 中，|AB →|＝|AC →|＝2，则AB →·BC →＝__________.解析：AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos135°＝2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝－4. 答案：－49．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为__________．解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴a 2＋a·b －2b 2＝－6.。

人教版数学高一人教B版必修4导学案向量数量积的运算律

2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(难点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.(重点)[基础·初探]教材整理1 两个向量的夹角阅读教材P 107内容，完成下列问题.1.已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，并规定0≤〈a ，b 〉≤π，并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉.2.当〈a ，b 〉＝π2时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作a ⊥b .在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.3.当〈a ，b 〉＝0时，a 与b 同向；当〈a ，b 〉＝π时，a 与b 反向；当〈a ，b 〉＝π2或a 与b 中至少有一个为零向量时，a ⊥b .如图2-3-1，在△ABC 中，AC →，AB →的夹角与CA →，AB →的夹角的关系为________.图2-3-1【解析】根据向量夹角定义可知向量AB →，AC →夹角为∠BAC ，而向量CA →，AB →夹角为π－∠BAC ，故二者互补.【答案】互补教材整理2 向量在轴上的正射影阅读教材P 108“例1”以上内容，完成下列问题.已知向量a 和轴l 如图2-3-2.作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称做a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.图2-3-2OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos θ.已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为( )A.332B.322C.12D.32【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.故选D.【答案】 D教材整理3 数量积的定义及性质和运算律阅读教材P 108“例1”下～P 110内容，，完成下列问题.1.向量的数量积(内积)的定义：|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.由定义知，两个向量a 与b 的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零.2.平面向量数量积的性质：(1)如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a ＝|a |cos 〈a ，e 〉；(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)a ·a ＝|a |2即|a |＝a ·a ；(4)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |(|a ||b |≠0)；(5)|a ·b |≤|a ||b |.3.平面向量数量积的运算律：(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，有λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb ).已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是( )A.－25B.25C.－24D.24【解析】因为|AB →|2＋|BC →|2＝9＋16＝25＝|CA →|2，所以∠ABC ＝90°，所以原式＝AB →·BC →＋CA →·(BC →＋AB →)＝0＋CA →·AC →＝－AC →2＝－25.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]与向量数量积有关的概念(1)以下四种说法中正确的是________.(填序号)①如果a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②如果向量a 与b 满足a·b<0，则a 与b 所成的角为钝角；③△ABC 中，如果AB →·BC →＝0，那么△ABC 为直角三角形；④如果向量a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b ＝－12，则a 在b 方向上的投影为________，b 在a 方向上的投影为________.(3)已知等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC →＝________.【精彩点拨】根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.【自主解答】 (1)由数量积的定义知a·b ＝|a||b|cos θ(θ为向量a ，b 的夹角). ①若a·b ＝0，则θ＝90°或a ＝0或b ＝0，故①错；②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；③由AB →·BC →＝0知B ＝90°，故△ABC 为直角三角形，故③正确；④由a 2＝|a|2＝1，b 2＝|b|2＝1，故④正确.(2)设a 与b 的夹角为θ，则有a·b ＝|a|·|b|cos θ＝－12，所以向量a 在向量b 方向上的投影为|a|·cos θ＝a·b |b|＝－125＝－125；向量b 在向量a 方向上的投影为|b|·cos θ＝a·b |a|＝－123＝－4.(3)如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .因为AB ＝AC ，所以BD ＝12BC ＝2，于是|BA →|cos ∠ABC ＝|BD →|＝12|BC →|＝12×4＝2，所以BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝4×2＝8.【答案】 (1)③④ (2)－125 －4 (3)81.在书写数量积时，a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .[再练一题]1.给出下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a ，b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |；④|a ||b |<a ·b ；⑤a ·a ·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是________.(填序号)【导学号：72010063】【解析】由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a；⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错.综上可知①②⑥正确.【答案】①②⑥数量积的基本运算已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积.【精彩点拨】(1)当a∥b时，a与b夹角可能为0°或180°.(2)当a⊥b时，a与b夹角为90°.(3)若a与b夹角及模已知时可利用a·b＝|a|·|b|cos θ(θ为a，b 夹角)求值.【自主解答】设向量a与b的夹角为θ，(1)a∥b时，有两种情况：①若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|＝20；②若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝－|a||b|＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝0.(3)当a与b夹角为135°时，a·b＝|a||b|cos 135°＝－10 2.1.求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ.2.非零向量a 与b 共线的条件是a·b ＝±|a||b|.[再练一题]2.已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.图2-3-3【解】 (1)AB →与AC →的夹角为60°，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)AB →与BC →的夹角为120°，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12. (3)BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.与向量模有关的问题已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：(1)|a＋b |；(2)|(a＋b)·(a－2b)|.【精彩点拨】利用a·a＝a2或|a|＝a2求解.【自主解答】由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2 3.(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.[再练一题]3.例3中，题干条件不变，求|a－b|.【解】因为|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角θ＝120°，所以|a－b|＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－2×4×2×cos 120°＋22＝27，所以|a－b|＝27.[探究共研型]平面向量数量积的性质探究1设【提示】a⊥b⇔a·b＝0.探究2当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？【提示】当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a ＝a2＝|a|2或|a|＝a·a.探究3|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？【提示】|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|，cos θ＝a·b|a||b|.已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d ＝m a－3b，求当m为何值时，c与d垂直？【精彩点拨】由条件计算a·b，当c⊥d时，c·d＝0列方程求解m.【自主解答】由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.由c⊥d，知c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(m a－3b)＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝2914，即m＝2914时，c与d垂直.1.已知非零向量a，b，若a⊥b，则a·b＝0，反之也成立.2.设a与b夹角为θ，利用公式cos θ＝a·b|a||b|可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π].[再练一题]4.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.【解析】设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，所以|a|2＝9|b|2，又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos θ＝13|b|2＋12|b|2cos θ，即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos θ，故有cos θ＝－13.【答案】－131.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝8，∠C ＝60°，则BC →·CA →＝( )A.20B.－20C.20 3D.－20 3【解析】 BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos 120°＝5×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－20. 【答案】 B2.设e 1，e 2是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是( )A.e 1·e 2＝1B.e 1·e 2＝－1C.|e 1·e 2|＝1D.|e 1·e 2|<1【解析】 e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos<e 1，e 2>＝±1.【答案】 C3.在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且b ·a ＝0，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定【解析】在△ABC 中，因为b ·a ＝0，所以b ⊥a ，故△ABC 为直角三角形.【答案】 C4.已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________.【导学号：72010064】【解析】因为a在e方向上的投影为－2，即|a|cos<a，e>＝－2，所以cos<a，e>＝－2|a|＝－12，又〈a，e〉∈[0，π]，所以<a，e>＝120°.【答案】120°5.已知a·b＝20，|a|＝5，求b在a方向上的投影的大小. 【解】设a，b的夹角为θ，则b在a方向上的投影就是|b|cos θ，因为|a||b|cos θ＝a·b＝20，所以|b|cos θ＝20|a|＝205＝4，即b在a方向上的投影是4.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知|b|＝3，a在b方向上的投影是23，则a·b为()A.13 B.43C.3D.2【解析】由数量积的几何意义知a·b＝23×3＝2，故选D.【答案】 D2.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，则a与b的夹角θ为()【导学号：72010065】A.π6 B.2π3C.π3 D.5π6【解析】∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，∴a·b＝－3 2，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－1 2.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.【答案】 B3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b 等于()A.－2B.－1C.1D.2【解析】因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.【答案】 B4.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A.2B.4C.6D.12【解析】∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a |＝6.【答案】 C5.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为( )A.1B.12C.34D.32【解析】 ∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，∴a 与c 的夹角为60°.又|a －c |＝a 2－2a ·c ＋c 2＝1－|c |＋|c |2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|c |－122＋34，故|a －c |的最小值取32.【答案】 D二、填空题6.已知a ⊥b ，|a|＝2，|b|＝1，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于________.【解析】 ∵(3a ＋2b )⊥(λa －b )，∴(λa －b )·(3a ＋2b )＝0，∴3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝1，a ⊥b ，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0， ∴12λ－2＝0，∴λ＝16.【答案】 167.已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋m b ＋7c ＝0，其中a 与b 的夹角为60°，则实数m ＝________.【解析】 ∵3a ＋m b ＋7c ＝0，∴3a ＋m b ＝－7c ，∴(3a ＋m b )2＝(－7c )2，化简得9＋m 2＋6m a ·b ＝49.又a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，∴m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8.【答案】 5或－8三、解答题8.已知|a |＝4，|b |＝2.(1)若a 、b 的夹角为120°，求|3a －4b |；(2)若|a ＋b |＝23，求a 与b 的夹角θ.【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. 又|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a －4b |＝419.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2a ·b ＋22＝(23)2，∴a ·b ＝－4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－44×2＝－12. 又 θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.9.在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状.【解】如图，a ＋b ＋c ＝0.则a ＋b ＝－c ，即(a ＋b )2＝(－c )2，故a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2.①同理，a 2＋2a ·c ＋c 2＝b 2, ②b 2＋2b ·c ＋c 2＝a 2. ③由①－②，得b 2－c 2＝c 2－b 2，即2b 2＝2c 2，故|b |＝|c |.同理，由①－③，得|a |＝|c |.故|a |＝|b |＝|c |，故△ABC 为等边三角形.[能力提升]1.(2016·玉溪高一检测)已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 【解析】因为Δ＝a 2－4|a |·|b |cos θ(θ为向量a 与b 夹角).若方程有实根，则有Δ≥0即a 2－4|a |·|b |cos θ≥0，又|a |＝2|b |，∴4|b |2－8|b |2cos θ≥0，∴cos θ≤12，又0≤θ≤π，∴π3≤θ≤π.【答案】 B2.已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角.【解】 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°，∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12.∵a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2 ＝1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2 ＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－32×13×3＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，∴a与b的夹角为120°.。

人教B版高二数学导学案必修四《232 向量数量积的运算律》

2.3.2 向量数量积的运算律一．【学习关键词】1.正确的使用向量数量积运算律二【课前自主梳理】平面向量数量积的运算律①a ⋅b= （交换律）；②(λa )⋅b= （结合律）③(a+b )⋅c = （分配律）三．【课堂合作研习】例1 已知a,b 都是非零向量，且a+3b 与7a-5b 垂直，a-4b 与7a-2b 垂直，求<a,b >.例2 已知3a =，2b =， a 与b 的夹角为60°，c=3a+5b ，d=m a-3b ，当m 为何值时，c 与d 垂直？例3 设两个向量e 1,e 2满足122,1e e ==，e 1,e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围。

四．【课堂巩固】1.已知a,b 是非零向量且满足(a-2b )⊥a ，(b-2a)⊥b ，则a 与b 的夹角为（） A.6π B.3πC.π32D.π652.若3a =，b =a 与b 的夹角为6π，则a b +=（）A.3B.3C.21D.213.已知1,,(23)(4)a b a b a b ka b ==⊥+⊥-，则k 等于（）A.6-B.6C.3D.3-4.设a,b,c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(ab)c-(ca)b =0；②a b a b -≤-；③(bc)a-(ca)b 不与b 垂直；④(3a+2b)(3a-2b)=9a 2-4b 2，其中正确的有 .5.关于平面向量a,b,c ，有下列三个命题：①若ab=ac ，则b=c .②若),1(k a = ，)6,2(-=b ，b a ∥，则3-=k .③非零向量a 和b 满足b a b a -==，则a 与a+b 的夹角为60°.其中真命题的序号为。

（写出所有真命题的序号）6.如图所示，在平行四边形ABCD 4=3=，︒=∠60DAB ，求：（1）BC AD ⋅；（2）CD AB ⋅；（3）DA AB ⋅.7.已知)1,3(-=a ，)23,21(=b ，且存在实数k 和t ，使得b t a x )3(2-+=，b t a k y +-=，且y x ⊥，试求t t k 2+的最小值。

2018版高中数学人教B版必修四学案：2.3.2 向量数量积的运算律

2.3.2向量数量积的运算律[学习目标] 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．[知识链接]1．向量数乘的运算律有哪些？答(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[预习导引]1．向量的数量积(内积)|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a2；(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a||b|.3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).要点一向量数量积运算律的有关概念例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．答案④解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．规律方法向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)．跟踪演练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________．答案①③④解析根据向量数量积的分配律知①正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；∵a，b不共线，∴|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.要点二向量数量积运算律的综合应用例2 已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b )．解 (a ＋2b )·(a －3b )＝a ·a －a ·b －6b ·b＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a |·|b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72.规律方法熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键．计算形如(m a ＋n b )·(p a ＋q b )的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解．跟踪演练2 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：(1)(2a －b )·(a ＋3b )；(2)|3a －4b |.解 (1)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋6a ·b －a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4＝0.(2)|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19.∴|3a －4b |＝419.例3 已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直．解 a ＋k b 与a －k b 互相垂直的条件是(a ＋k b )·(a －k b )＝0，即a 2－k 2b 2＝0.∵|a |＝3，|b |＝4，∴9－16k 2＝0，∴k ＝±34. 当k ＝±34时，a ＋k b 与a －k b 互相垂直．规律方法向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是a·b＝0.跟踪演练3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角？解∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0.但当k＝1时，e1＋k e2＝k e1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为{k|k>0且k≠1}.1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|·cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C. 2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于()A．1 B．2 C．3 D．5答案 A解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案 C解析由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∴θ＝120°. 4．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________. 答案－8或5解析由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.1.向量的数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )＝a ·(|b ||c |cos 〈b ，c 〉＝|b ||c |cos 〈b ，c 〉·a 是一个与a 共线的向量，两者一般不同．2．在实数中，若ab ＝0则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3．在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0⇏ a ＝c .。

人教B版高中数学必修四《2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律》_1

2.3.2向量数量积的运算律学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.梳理与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”.类型一向量数量积的运算性质例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 设a ，b ，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0； ②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的是________.(填序号)类型二平面向量数量积有关的参数问题命题角度1 已知向量垂直求参数值例2 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________. 反思与感悟由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于( ) A.－92 B.0 C.3 D.152命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3 已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________.反思与感悟由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a ，b ，θ∈[0，π2)⇔a ·b >0，θ∈(π2，π]⇔a ·b <0.跟踪训练3 设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.1.下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A.1 B.2 C.3 D.42.已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是( ) A.60° B.30° C.135° D.45°3.已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )A.1B.0C.2D.34.已知正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是( ) A.32 B.12 C.－32 D.－125.已知|a |＝2，|b |＝1，(2a －3b )·(2a ＋b )＝9. (1)求a 与b 之间的夹角θ；(2)求向量a 在a ＋b 上的正射影的数量.1.数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等.2.在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3.在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中，a ·b ＝b ·c ，b ≠0⇏a ＝c .答案精析知识梳理知识点一正确错误正确错误知识点二(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 (a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a 题型探究例1 ④ 跟踪训练1 ③ 例2 2 跟踪训练2 C 例3 (0,1)∪(1，＋∞)跟踪训练3 实数t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．当堂训练1．C 2.C 3.D 4.C 5．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b ) ＝4a 2－4a ·b －3b 2＝9，即16－4a ·b －3＝9， ∴a ·b ＝1，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝7，即|a ＋b |＝7.设a 与a ＋b 的夹角为α，则向量a 在a ＋b 上的正射影的数量为 |a |cos α＝|a |×a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ＋b |＝57＝577.。

人教版高中必修4(B版)2.3.2向量数量积的运算律课程设计

人教版高中必修4(B版)2.3.2向量数量积的运算律课程设计一、课程目标1.了解向量数量积的概念和运算方式；2.熟练掌握向量数量积的运算律，并能够理解其几何意义；3.能够应用向量数量积的运算律解决实际问题。

二、教学内容2.3.2 向量数量积的运算律1.数量积的分配律：$ \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$2.数量积的结合律：$ \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b}) =\lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})$3.数量积的交换律：$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot\vec{a}$4.向量平行的判定：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\|\vec{b}|\cos\theta $，其中 $\\theta$ 为 $\\vec{a}$ 和$\\vec{b}$ 之间的夹角。

三、教学方法1.通过引入向量数量积的运算律的问题，激发学生学习的兴趣，提升学生的学习热情；2.采用示例分析和练习的形式，引导学生理解向量数量积的运算律，并通过多组练习巩固所学知识；3.引导学生进行分组讨论，互相交流，加深对向量数量积的运算律的认识；4.结合实际问题，引导学生应用所学知识解决实际问题，并进行课堂展示和学习成果分享。

四、教学流程1.引入问题：引导学生思考，如果要求$\\vec{a}\\cdot\\vec{b}+\\vec{a}\\cdot\\vec{c}$，应该如何计算？2.示范讲解：向量数量积的分配律 $\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} +\\vec{c}) = \\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\vec{c}$；3.练习巩固：让学生进行练习，加深对向量数量积的分配律的理解；4.小组讨论：将学生分成小组，进行向量数量积的运算律的分组讨论；5.实际问题：引入实际问题，让学生应用所学知识，解决实际问题；6.课堂展示：学生展示自己所解决的实际问题，进行成果分享。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》

全日制普通高中人教B版必修4教学课题《向量数量积的运算律》甘井子区鉴开中学姜源授课对象：高一学生课型：新授课一、设计依据与设计思路1教学内容：本节课是人教B版数学必修4第二章《平面向量》§主要内容是向量数量积的运算律与应用。

2课标解读会进行平面向量数量积的运算，体会平面向量数量积与投影的关系；体会向量是一种处理几何问题的方法，发展运算能力和解决实际问题的能力。

这说明体会向量数量积与投影的关系是进行运算律推导的的关键。

3教材分析本节内容对向量数量积的运算律理解是建立在之前向量数量积的物理意义及向量数量积的定义的内容基础上的；为坐标运算，向量的几何、物理应用等向量计算探究问题奠定基础，是平面向量这一章的重要内容。

4学情分析学生在接触向量数量积运算律之前学习过实数与整式的运算律。

两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的计算方法，它区别于数的乘法。

学生对向量的概念的理解有困难，进行教学设计时考虑将这两进行对比，采用类比的思维从而降低难度，同时增强学生的逻辑推理能力。

同时向量数量积的运算量相对较大，应合理安排训练内容使学生的计算能力得以提升。

5学习价值分析学生用以往的知识经验，类比实数运算律，在本节课内容中会出现错误，教师需要引导学生，让学生敢于探究、勤于思考，增强学生分析解决问题的能力。

在这节课中，学生应结合其前一节课向量数量积，进一步理解正射影的概念，将知识联系起来，建立形与数的联系。

让学生主动探究运算律部分内容，让学生借助图形进行计算与理解，同时，教师应在合适的时候给予规范的解答。

类比实数a b a b(+)(-)小结、尾巴7设计理念本着“教师主导，学生主体”的思想，以教育心理学家皮亚杰的理论——认知的不平衡或冲突状态是一种认知发展动力，是学习过程中内在的动机为基点。

教学过程中着力创设认知冲突，刺激学生的求知欲望，并维持他们在学习活动中的动力，以实现认知的发展。

通过认知矛盾激发学生学习知识的热情，以发展能力为目标。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》0

教学过程
教学
环节
教学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容
学生活动
教学目的
复习
导入
知识回顾：对数量积的定义和向量与单位向量乘积的几何意义进行复习。
学生通过思考，共同回答这些问题。
通过复习温故知新，有助于新旧知识相结合。
新课
讲授
自学课本给出向量数量积的三大运算律。并且通过新颖的微课视频主要对交换律和分配律进行推导证明。
学生自主阅读课本，观看微课视频，加深对向量数量积三大定律的记忆。
培养学生自主学习和总结问题、归纳问题的能力。
课堂
练习
主要分为以下三部分：
1、例题讲解
教师对例题进行讲解和板书，展示运算律的应用，同时明确证明题的一般步骤。规范学生书写习惯。
2、尝试练习
以三道小题分别给出三大定律对数量积运算、求模、求夹角问题的作用。并对学生给出的答案加以点评。（纠错）
3、巩固练习
由两道问题组成教师引导学生对所学知识进行整合，并且适当提升题型难度，将之前学过的垂直内容加以深化，在学生做题后加以展示、点评、纠错和分析错误。
学生通过思考问题及对教师做题方式加以观察。明确书写步骤。
自主完成尝试练习的三道问题，白板展示对错误加以纠正。
学生自主做题，白板展示并且对错误加以纠正。
培养学生观察能力，规范解题步骤。
培养学生独立思考做题及对错误问题加以改正的能力。
帮助学生形成完整的知识内容框架。培养学生总结问题的能力。
小组
讨论
出示讨论的问题，以小组为单位进行讨论。并且引导学生以多种方法（尤其是几何意义方面）解决问题。对学生回答的问题给出适当的评价。
学
具
多媒体；白板展台；导学案
教

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》1

教案学科：数学课题：向量数量积的运算律教师：白秋艳单位：喀左四高向量数量积的运算律一、教学目标1掌握平面向量数量积的运算律及常用恒等式；2理解数量积运算律的适用范围，并注意与实数乘法、数乘向量运算律的区别与联系．3会应用运算律进行相关的计算或证明等问题二、教学重难点教学重点：向量数量积的运算律的灵活应用。

教学难点：向量数量积的运算律的证明。

三、教学方法：通过高考题展示，激发学生积极性，让学生产生好奇心，提高学习效率。

通过设置问题、师生共同探究、总结、应用的方式学习。

四、教学过程（一）情景引入知识回顾：平面向量数量积的定义及几何意义（学生回答）问题导思：向量的数量积是否具有类似于数量乘法那样的运算律？⑴交换律： = ；⑵数乘结合律： = = ；⑶分配律： = 。

（学生回答）（二）、合作探究展示类型一数量积的基本运算【例1】1已知|a|＝4，|b|＝5，且向量a与b的夹角为60°，则2a＋3b·3a－2b ＝________（教师板演）2已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|（学生板演）变式训练1 已知|a|＝|b|＝5，〈a，b〉＝错误!，求|a＋b|，|a－b|（学生板演）类型二求向量的夹角【例2】已知|a|＝3，|b|＝4，a＋2b·2a－b＝4，求a与b夹角θ（教师引导，学生展示）变式训练21已知a，b是非零向量且满足a－2b⊥a，b－2a⊥b，则a与b的夹角是（学生展示）2已知|a|＝1，|b|＝3，|2a＋b|＝错误!，求向量a与b的夹角．（学生展示）类型三数量积在几何证明中的作用【例3】1已知△ABC中一点O满足OA=⋅=OA⋅⋅，则O为△ABC的OBOCOCOBA．内心B．外心C．重心 D．垂心（教师引导，学生展示）2设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知错误!＋错误!－2错误!·错误!－错误!＝0，试判断△ABC的形状．（学生展示）变式训练3求证：平行四边形两条对角线的平行和等于四条边的平方和．（学生展示）三小结：理解数量积运算律的适用范围，会应用运算律进行相关的计算或证明等问题（四）作业：自组题。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.2 向量数量积的运算律》19

平面向量数量积的运算律【教学目标】1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．【教学重点】平面向量数量积运算律的应用【教学难点】平面向量数量积运算律的理解；与实数运算律的区别和联系；平面向量数量积在解决长度、角度等问题的运用。

【教学设计】是正确的？怎么证明它们？用投影讲解。

2．在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明。

学生思考讨论，自己解决问题，学生讲解。

培养学生自主学习能力和习惯。

（四）例题讲解例1：结论：①若≠，·＝0，则＝；②若·＝·，则＝；③·＝·；④·[·－·]＝0，其中正确结论的序号是________．例2：||＝5，||＝4，与的夹角为60°，求＋2·－3．变式1：已知向量与的夹角为12021求：||变式2：在三角形ABC中，AB=5,BC=4,ABC=12021,求AC 长。

变形3：已知三角形ABC的边AB=5，BC=4，in∠ABC=35,求边AC。

学生思考，口答。

老师讲解，学生思考。

变式题学生自己思考，学生讲解。

基本运算练习。

让学生深刻理解向量数量积的运算律。

层层递进，有意识的培养学生的解题思维。

变形4：已知a=5，b=4，a b+=21，求向量a与b的夹角。

变形5：已知a b+=5，a b-=4，求a b⋅。

变式 6 ：与不共线，为何值时，向量＋与－互相垂直．变式成求向量模的练习。

由求模长变式成三角形边长。

与三角函数简单结合问题，仍是求模问题。

变式成求夹角这类基本问题。

已知模求数量积问题。

让学生充分体会向量数量积运算律和实数乘法运算律的区别与联系，并能通过变式训练熟练掌握运算律的应用。

（五）课堂小结本节课学习的知识有哪些？你对哪部分知识最感兴趣？接下来你想研究什么问题？。