抽样分布和点估计ppt课件
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抽样分布与参数估计
三、t分布曲线下的面积分布规律
自由度为 的t分布曲线
t 分布曲线下 的整个面积为1, t 分布曲线下从a到b 的面积为t值分布 在此范围内的百分 比，即t值落在此 范围内的概率P。
双侧：由于t分布以0为中心对称，即 P（t≤- t, ）＝ P（t≥ t, ）＝ /2 于是有P（- t, ≤t≤ t, ）＝1-
sx
u X
X
t X ＝n-1
s X
u分布 t分布
二、t分布图形的特点
• 1. t分布是一簇曲线。 t分布有一个参数， 即自由度 ，与标准差的自由度一致。
• 2. t分布曲线以0为中心，左右对称； 越小， t变量值的离散程度越大，曲线越扁平。
• 3. t分布曲线较标准正态曲线要扁平些（高 峰低些，两尾部翘得高些）， 逐渐增大， t分布曲线逐渐的逼近于标准正态曲线，若 ＝，则t分布曲线和标准正态曲线完全吻 合。
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
点值估计
参数估计
假设检验
区间估计
一、基本概念
➢ 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
点值估计：不计抽样误差，直接用样本均数来 估计μ。
区间估计：根据抽样误差的规律，按一定的概 率估计总体均数的所在范围。统计上习惯用95% 或99%可信区间表示总体均数可能所在范围。
第一节 均数的抽样误差 第二节 t分布 第三节 总体均数可信区间的估计
一、抽样研究:从总体中随机抽取部分 观察单位构成样本，用样本信息去 推断总体特征的研究方法。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例
二、抽样误差：在抽样研究中，因抽样造 成的样本统计量与样本统计量、样本统计 量与总体参数的差值。
统计学之抽样与抽样分布
的抽样分布
统计推断的过程
• 总体均值
m=?
• 从总体中抽取 • 样本容量为 n 的样本
• 用 作为m 的点估计
• 计算样本平均值
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本平均值 的概率分 布
的期望值
E( ) = = 总体平均值
的抽样分布
的标准差
•
有限总体
无限总体
• 当 n/N < .05时，可以将一个有限总体看作是无限
统计学之抽样与抽样分 布
2020年4月29日星期三
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布 样本平均值 的抽样分布 样本比例 的抽样分布 抽样方法
•n = 100
•n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参数 进行很好的估计
也就是说，样本平均值在总体平均值+/-10分范围内的 概率为0.5036
•面积 = 2(.2518) = .5036
• 的抽样分布
•980 •990•1000
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本比例 的概率分布 的期望值
p = 总体比例
的抽样分布
的标准差 有限总体
无限总体
• 也称为样本比例的标准误
总体
•
称为有限总体校正因子.
• 也称为样本均值的标准误
的抽样分布
中心极限定理：只要样本容量足够大 (n > 30)，不管总 体服从什么分布，样本平均值 都可以认为近似服从 正态分布。
统计学 第 6 章 抽样与参数估计
第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。
抽样估计
假如从中抽取30名,得到样本的平均数、标准差和成数是 x 1554420 x 51814 .00 n 30 2 30名中层干部。 则，样本：抽取到的 ( x x ) s 325009260 / 293347 .72 统计量：根据样本分布计算的综合指标，是样本变量的 n1 函数。 p 19 / 30 0 .63 另注意区分样本容量和样本个数: 样本容量是指一个样本所包含的单位数。 样本个数是指样本的可能数目。
2、样本平均数的标准差（Standard Deviation of x )
设 = 样 本 均 值 分 布 的 标 准 差 ； = 总 体 标 准 差 x
n=样本容量； N=总体单位个数 则，样本均值标准差随总体抽样方法和是否有限有所不同：
2 xΒιβλιοθήκη 不重置抽样时 N n 重置抽样时 ( 无限总体 ) ( 有限总体 ) ( )
0 .3 相 对 0 .2 频 数 0 .1
图4.1 500个 x 的相对频数分布 显然，不同的样本对应着不同的样本统计量，而由于样本 抽取的随机性，样本统计量即为一种随机变量。 一般地，样本统计量的可能取值及其取值概率，形成其概 率分布，统计上称为抽样分布（sampling distribution)。 ▲正是抽样分布及其特征使得用样本统计量估计总体参数 的“精确程度”能够给予概率上的描述。
2 p ~ N ( 0 . 6 ,0 . 089 )
四、正态分布
1、正态分布的密度函数
f( x )
式中 x 为正态分布的平均数， 是它的标准差。这两个 ( x, 2 ) 参数决定正态分布密度函数的形状。也可简记为N 正态分布密度函数有如下特性： （1）对称性。 （2）非负性。 （3）当x处于中心位置是， 密度函数值最大。 （4）在处为密度函数的拐点，越大图形越扁平。 （5）当x ±∞时，密度函数f(x) 0,即曲线向两边下垂， 伸向无穷远处。
统计学基础ppt课件
➢ 调查失败的主要原因是抽样框出现了问题。在经济大萧条 时期由于电话和汽车并不普及，只是富裕阶层才会拥有， 调查有电话和汽车的人们，并不能够反映全体选民的观点
4-4
统计学 参数估计在统计方法中的地位
基础
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
4-5
第 4 章 抽样与参数估计
4.1 抽样与抽样分布
4 - 14
统计学 基础
有关抽样的几个基本概念
4、抽样比 抽样比是指在抽选样本时，所抽取的样本
单位数n与总体单位数N之比。一般地讲， n≥30为大样本，n＜30为小样本。研究社会 经济现象时，通常采用大样本进行抽样调查。
对于给定的研究对象，全及总体是唯一确定 的，而样本总体不是唯一的，它是随机的。
有关抽样的几个基本概念
2、抽样框
目标总体规定了理论上的抽样范围，但是进行抽样 的总体单位与目标总体有时是不一致的，因而， 在抽样之前，还必须明确实际进行抽样的总体范 围和抽样单位。
抽样框是指用以代表总体，并从中抽选样本的一个
框架。
目标总体与抽样框有时是一致的；多数情 况下，目标总体的范围要率大于抽样框。
4. 局限性
当N很大时，不易构造抽样框 抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难 没有利用其它辅助信息以提高估计的效率
4 - 17
统计学 基础
抽样方法和样本可能数目
1、重复抽样
重复抽样也叫重置抽样，是指每次抽取一个元素 后又放回，重新参加下一次的抽选，直到抽取n个 元素为止。全及总体单位数始终保持不变，每个总 体单位都有被重复抽中的可能。 重复抽样通常要考虑单位排列顺序，如电话号 码中的“8651”和“1568”不同。
其样本可能数目为 m重 N n
4-4
统计学 参数估计在统计方法中的地位
基础
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
4-5
第 4 章 抽样与参数估计
4.1 抽样与抽样分布
4 - 14
统计学 基础
有关抽样的几个基本概念
4、抽样比 抽样比是指在抽选样本时，所抽取的样本
单位数n与总体单位数N之比。一般地讲， n≥30为大样本，n＜30为小样本。研究社会 经济现象时，通常采用大样本进行抽样调查。
对于给定的研究对象，全及总体是唯一确定 的，而样本总体不是唯一的，它是随机的。
有关抽样的几个基本概念
2、抽样框
目标总体规定了理论上的抽样范围，但是进行抽样 的总体单位与目标总体有时是不一致的，因而， 在抽样之前，还必须明确实际进行抽样的总体范 围和抽样单位。
抽样框是指用以代表总体，并从中抽选样本的一个
框架。
目标总体与抽样框有时是一致的；多数情 况下，目标总体的范围要率大于抽样框。
4. 局限性
当N很大时，不易构造抽样框 抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难 没有利用其它辅助信息以提高估计的效率
4 - 17
统计学 基础
抽样方法和样本可能数目
1、重复抽样
重复抽样也叫重置抽样，是指每次抽取一个元素 后又放回，重新参加下一次的抽选，直到抽取n个 元素为止。全及总体单位数始终保持不变，每个总 体单位都有被重复抽中的可能。 重复抽样通常要考虑单位排列顺序，如电话号 码中的“8651”和“1568”不同。
其样本可能数目为 m重 N n
《常用的抽样方法》课件
可能会受到随机误差的影响， 导致样本结果不稳定。
非随机抽样的优点和缺点
优点 可以根据研究目的和要求，有针对性地选择样本。
可以利用已有资料或数据进行抽样，节省时间和成本。
非随机抽样的优点和缺点
• 在某些特定情况下，非随机抽样可能更符合实际 情况。
非随机抽样的优点和缺点
缺点 难以控制样本质量和数量，可能导致结果不准确。
但同时也需要研究者具备一定的专业知识和经验。
THANKS
容易受到主观因素的影响，导致样本偏差。 在某些情况下，可能存在抽样难度较大的问题。
不同抽样方法的比较和选择
比较
随机抽样和非随机抽样各有优缺点， 适用于不同的情况和目的。
随机抽样更适用于大规模、全面的调 查，而非随机抽样更适用于有针对性 的调查和研究。
选择
根据研究目的、资源、时间和成本等 因素综合考虑选择合适的抽样方法。
判断抽样
定义
适用范围
判断抽样依据研究者的主观判断和经验选 择样本，通常基于对总体特征的了解和对 样本的初步观察。
适用于总体规模较小、内部差异较大或具 有特定特征的群体。
优点
缺点
能够根据研究目的和范围选择有针对性的 样本。
依赖于研究者的主观判断，可能存在偏见 和误差。
配额抽样
定义
配额抽样是根据总体中某些特征的比例分配一定 数量的样本，以满足特定的代表性要求。
制定调查问卷或指导语
数据收集
根据研究目的设计调查问卷或指导语 ，确保问题清晰、简洁且无歧义。
在调查过程中收集所需的数据，并确 保数据的准确性和完整性。对于无法 直接获取的数据，考虑使用替代方法 进行估算。
实施调查
按照抽样计划进行调查，确保每个样 本单位都有被选中的机会。同时，遵 守伦理和法律规范，保护受访者的隐 私和权益。
《概率论讲义》课件
线性回归
介绍线性回归模型的基本原理和应用案例。
多元非线性回归
探讨多元非线性回归分析的方法和实际应用。
蒙特卡罗方法
1
简介和基本概念
介绍蒙特卡罗方法的基本思想和使用领域。
2
模拟方法
说明蒙特卡罗方法的模拟过程和实际应用。
3
抽样方法
讨论蒙特卡罗方法中的抽样技术和抽样步骤。
应用案例
金融风险管理
探讨概率论在金融风险管理中的应用和重要性。
2
弱大数定律
探讨具体的弱大数定律和其适用性。
3
中心极限定理
详细解释中心极限定理及其在概率论中的重要性。
统计推断
1 点估计
介绍点估计的概念和方法，以及其在概率论中的应用。
2 区间估计
说明区间估计的原理和步骤，并讨论其实际应用。
3 假设检验
讲解假设检验的基本思想和步骤，以及其在统计学中的作用。
回归分析
《概率论讲义》PPT课件
概率论讲义PPT课件大纲
简介
介绍概率论的基本概念和应 用领域，初步了解概率论的 历史和发展。
随机变量
定义随机变量，离散型和连 续型随机变量及其概率分布。
概率分布
二项分布，泊松分布和正态 分布。
大数定律与中心极限定理
1
定义大数定律和中心极限定理
深入了解大数定律和中心极限定理的概念和应用。
人口统计学
展示概率论如何应用于人口统计学数据的分析和预测。
物理学和天文学
介绍概率论在物理学和天文学研究中的关键作用。
结论
总结所学内容，展望概率论的未来发展和应用前景。
参考文献
推荐阅读经典著作和相关文献
提供经典著作和相关文献，供学习和研究参考。
统计学(李荣平)2014-5
P{t>tα(n)}= h(t;n)dt
t (n)
的数tα(n)为t(n)分布的上α分为点。 例：查表求：t0.05（8）， t0.95（8）
o
t (n)
第一节 抽样分布
（三）F 分布
设 U ~ 2(n1 ),V ~ 2(n2 ), 且设 U,V 独立，则称随机变量
F U / n1 V / n2
保证质量，规定σ≤0.6mm时，认为生产过程处于良好控制
状态。为此，每隔一定时间抽取20个零件作为一个样本，并
计算样本方差S2。若P{S2≥c } ≤0.01（此时σ=0.6mm），
则认为生产过程失去控制，必须停产检查，问：
（1）C为何值时，S2≥c的概率才小于或等于0.01？ （2）若取得的一个样本的标准差S=0.84，生产过程是
第五章 抽样分布与参数估计
主
第一节 抽样分布
要 内
第二节 参数点估计
容
第三节 区间估计
第一节 抽样分布
一、随机样本
总体与个体：试验全部可能的观测值叫总体；试验的 每一个观测值叫个体。
样本容量与样本个数：样本中包含的单位数叫样本容 量；从一个总体中可能抽取多少个样本叫样本个数。
总体容量：总体中所包含的个体数。 有限总体和无限总体：总体容量可数的称有限总体， 不可数的称无限总体。 重置抽样（重复抽样）和无重置抽样（不重复抽样）
X
1 n
n i 1
Xi
为样本均值；称统计量
S 2
1 n1
n i1
(Xi
X )2
为 样本方差 ，称统计量 S
S2
1n
( X X ) 2 为样本标准差 ；统计量
n 1 i1 i
统计学抽样与参数估计
12
12
2
（
N
n ）
1.25
(
4
2)
5
n N -1 2 4 1 12
样本平均数的标准差又称为抽样平均误差（或抽样标 准差）。
第19页/共87页
样本均值的分布与总体分布的比较
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
= 2.5
σ2 =1.25
.3 P ( X ) 抽样分布
.2
.1
0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
和
x
n
N n ,即均值推断的抽样误差 N 1
第25页/共87页
样本均值抽样分布的实际应用
•
样本统计量的估计值与其所要测度的总体参数值之
间的绝对差距，被称为抽样误差（sampling error）。
• 抽样分布能够用来提供抽样误差大小的可能性（概
率）。
在例1中，如果人事部经理认为
在一次抽样中所得到的中层干部的
第22页/共87页
B、当总体分布未知时，需要用到中心极 限定理（Central limit Theorem）
对容量为n 的简单随机样本，样本均值的分 布随样本容量的增大而趋于正态分布。
经验上验证，当样本容量等于或大于30时，无 论总体的分布如何，样本均值的分布则非常接近正 态分布。
因此统计上常称容量在30（含30）以上的样本 为大样本（large-sample-size)。
n+1)
Nn
32、、不考考虑虑顺顺序序的的重不复重抽复样抽：样：
C
n N
N! n!(N n)!
4、不考虑顺序的重复抽样：
统计学课件05第5章抽样与参数估计
反映样本数据的集中趋势和平均水平。
样本方差
定义
样本方差是每个样本数据与样本均值差的平方和的平均值，即 $s^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^2$。
计算方法
先计算每个样本数据与样本均值的差，然后将差平方，最后求和平 均。
作用
反映样本数据的离散程度和波动情况。
样本量的确定
根据调查目的和精度要求确定样 本量：精度要求越高，需要的样
本量越大。
根据总体规模和抽样方法确定样 本量：总体规模越大，需要的样 本量越大；分层或整群抽样较简 单随机抽样需要的样本量更大。
根据调查资源确定样本量：资源 有限时，需要在满足调查目的和 精度要求的前提下，合理确定样
本量。
02 参数估计
大数定律的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布函数F(x)，则对于任意正实数ε，有 lim(n->∞)P(|X1+X2+...+Xn/n-E(X))/ε)=0，其中E(X)是随机变量X的期望值。
大数定律的实例
在抛硬币实验中，随着实验次数的增加，正面朝上的频率将趋近于0.5。
中心极限定理
中心极限定理定义
中心极限定理是指在大量独立同分布的随机变量中，不论 这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布总是趋 近于正态分布。
中心极限定理的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布 函数F(x)，则对于任意实数x，有lim(n->∞)P(∑Xi≤x)=∫(∞->x)F(t)dt。
样本分布的性质
无偏性
如果样本统计量的数学期 望等于总体参数，则该统 计量是无偏的。
统计学课件第六章抽样调查PPT课件
特点
每个样本被选中的机会都 相等，样本的代表性相对 较好。
分层抽样
定义
先将总体按一定标准分成 若干层次或群，然后从各 层或群中按随机原则抽取 样本。
方法
分类抽样、比例抽样、类 型抽样。
特点
能够提高样本的代表性， 降低误差，减少资源浪费。
系统抽样
定义
先将总体中的所有个体按某种顺序排列，然后按 照固定的间隔或系统选取样本。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法和技术，如分层抽样、系统抽样等，以提 高样本的代表性。
提高样本代表性
在抽样过程中尽量减少非随机误差，如无回答、不完整数据等， 以提高样本对总体的代表性。
05 抽样调查的组织与实施
抽样调查的设计
确定调查目的
明确调查的目标和意图，为后 续的抽样设计提供指导。
确定调查对象
合理安排问题的顺序、布局和格式，以提高 问卷的易用性和回答率。
确定调查方式
选择合适的调查方式，如自填式、面访式等， 并确定数据收集的途径。
测试与修正
对问卷进行测试和修正，确保问卷的准确性 和可靠性。
调查的实施与质量控制
培训调查员
对调查员进行培训，确保他们了解调 查目的、问卷内容、调查方法等。
现场实施
将总体分成若干个群集或组，然后从每个 群集或组中抽取一定数量的样本，也称为 簇抽样或组抽样。
抽样调查的应用场景
01
02
03
04
市场调查
通过对目标市场的部分消费者 进行调查，了解市场需求、消 费者行为和产品反馈等信息。
社会调查
通过对一定范围内的社会成员 进行调查，了解社会现象、人 口状况和社会问题等信息。
统计学课件第六章抽样调查ppt课 件
统计学复习(抽样分布、参数估计、假设检验)
两个样本均值之差的抽样分布 （1）如： ） 抽样
X1 − N(µ1,σ12 ), X2 − N(µ2 ,σ2 ),
2
则 x1 − x2 ) ~ N(µ1 − µ2 , (
σ12 σ22
n1 + n2
)
抽样
σ12 N1 − n1 σ22 N2 − n2 (x1 − x2 ) ~ N[(µ1 − µ2 , ( )+ ( )] n1 N1 −1 n2 N2 −1
对于无限总体， 对于无限总体， 一个估计 如果对任意 量如能完 ε＞ˆ 0 满足条件 全地包含 LimP(|θn −θ |≥ ε ) = 0 未知参数 n→∞ 信息， 信息，即 则称 θˆ 是 θ 为充分量 的一致估计。 的一致估计。
点估计
常用的求点估计量的方法
用样本的数字特征 1.数字特征法: 1.数字特征法:当样本容量增大时 ,用样本的数字特征 数字特征法 去估计总体的数字特征。 去估计总体的数字特征。 例如，我们可以用样本平均数(或成数 和样本方差来估 例如，我们可以用样本平均数 或成数)和样本方差来估 或成数 计总体的均值(或比率 和方差。 或比率)和方差 计总体的均值 或比率 和方差。
样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 抽样
均值µ=∑Xi/N 均值
均值 X = Σxi
n
样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 统计量 统计量是一个随机变量 随机变量， 统计量是一个随机变量， 样本均值的概率分布称为 样本均值的抽样分布。 样本均值的抽样分布。
2
n
总体均值 （µ） ）
X ± tα
2
( n −1 )
第6讲 抽样和抽样估计精品文档
或1，不可能是1-，怎样解释这个概率的含义？
2. 用[Ｌ，Ｕ]去框，估计结论或者正确或者错误，但
是如果多次重复估计的话，则平均100次估计中，只 有100 次估计错误，有100（1- ）估计正确。
3. 这个某种程度称为置信水平，表示为 (1
为是总体参数未在区间内的比例 ，显著性水平，
也称风险值
常用的为0.01，0.05，0.10，相应的置信水平
值有 99%, 95%, 90%
如何理解1-？
1. 由于 作为总体参数，是固定不变的常数，它或在给 出的区间 [Ｌ，Ｕ]内，或在该区间外，概率只能是0
样本抽样分布特征的证明
设从总体中抽出的样本为x1，x2，x3…xn ,由于是重复抽样， 每个xi都是从总体中随机抽出的，都是与总体同分布的随机
变量，并且是相互独立的。总体的平均数为，方差为 2，则：
E
(
x)
E
(
x1
+x2
x3 n
xn
)
1 n
[E(x1)+E(x2 )+E(x3 )
E(xn )]
第6讲 抽样与抽样估计
6.1 抽样调查的基本概念 6.2 抽样分布（重点） 6.3 抽样估计的基本方法（难点） 6.4 样本容量的确定
学习目的: 1. 掌握抽样调查的基本概念 2. 区分总体分布、样本分布、抽样分布，理解抽样分布与总体分布
的关系 3. 掌握抽样估计的基本方法，点估计和区间估计
6.1 抽样调查的基本概念
N
5
E（x)= 8, D（x)= 2 8 4
n2
抽 样平均误差 D（x) 2 x
2. 用[Ｌ，Ｕ]去框，估计结论或者正确或者错误，但
是如果多次重复估计的话，则平均100次估计中，只 有100 次估计错误，有100（1- ）估计正确。
3. 这个某种程度称为置信水平，表示为 (1
为是总体参数未在区间内的比例 ，显著性水平，
也称风险值
常用的为0.01，0.05，0.10，相应的置信水平
值有 99%, 95%, 90%
如何理解1-？
1. 由于 作为总体参数，是固定不变的常数，它或在给 出的区间 [Ｌ，Ｕ]内，或在该区间外，概率只能是0
样本抽样分布特征的证明
设从总体中抽出的样本为x1，x2，x3…xn ,由于是重复抽样， 每个xi都是从总体中随机抽出的，都是与总体同分布的随机
变量，并且是相互独立的。总体的平均数为，方差为 2，则：
E
(
x)
E
(
x1
+x2
x3 n
xn
)
1 n
[E(x1)+E(x2 )+E(x3 )
E(xn )]
第6讲 抽样与抽样估计
6.1 抽样调查的基本概念 6.2 抽样分布（重点） 6.3 抽样估计的基本方法（难点） 6.4 样本容量的确定
学习目的: 1. 掌握抽样调查的基本概念 2. 区分总体分布、样本分布、抽样分布，理解抽样分布与总体分布
的关系 3. 掌握抽样估计的基本方法，点估计和区间估计
6.1 抽样调查的基本概念
N
5
E（x)= 8, D（x)= 2 8 4
n2
抽 样平均误差 D（x) 2 x
第9讲 大学统计学课件-抽样调查
总体方差(δ2)和总体标准差(δ)——测定全及总体标 志变异程度的指标
抽样指标 —— 根据抽样总体各个单位标志值计 算的综合 指标，与全及指标相对应
抽样平均数 (x)——抽样总体中某一变量 值(观测值)的算术平均数
抽样成数(p)——具有某种标志的单位数 在抽样总体 中所占的比重 样本方差 (s2) 和样本标准差 (s)—— 说明 抽样总体标志变异程度的指标
2.5 3.0 4.0 4.5 5.0
0.98760 0.99730 0.99940 0.99993 0.99999
例 6.3 某大学有 500 人进行高等数学统考，随机抽查 20% ， 所得有关成绩数据如表。 试以95.45%的概率保证：
(1)估计全部学生的平均成绩；
(2)确定成绩在80分以上学生所占的比重和估计人数。
区间推断的可靠程度(置信度)
令 x t则 t x x
x
p
p
则
t 则 p t p
式中：t — 概率自由度（极限误差为平均误 差的倍数）
x t x X x t x
依据中心极限定律，当 n≥30，抽样平均指标近似服从 正态分布，全及指标所落范围就可以用曲线所围成的面积大 小来计算。
x
s n
x
p
s2 n (1 ) n N
p(1 p) n (1 ) n N
抽样成数 p 平均误差
p(1 p) n
应用条件
n 5% N
n 5% N
影响抽样误差的因素
全及总体标志变动程度 ——与抽样误差的大小成正比关系
样本单位数
——与抽样误差的大小成反比关系 抽样组织形式 ——抽样组织形式不同，抽样误差的大小不同
简单随机抽样的抽样估计
若 置 信 度 为 (1-)=90% ,求 总 体 优 质 品 率 的 置 信 区
间 及 优 质 产 品 的 数 量 ？
15
总体方差的区间估计
大样本情况下,样本标准差S的分布近似于正 态分布:
其均值为总体标准差，其标准差为 ，
2n
所以标准标准差置信度1的置信区间为:
（SZ2
S 2n，SZ2
S） 2n
18
抽样数目的确定 (大样本)
必要的抽样数目:指为了使抽样误差不超过 给定的允许范围至少应抽取的样本单位数 目。 一般根据抽样极限误差与抽样数目关系来 确定必要的抽样数目。
19
采用重复抽样,则抽样极限误差为
x Z 2x Z 2( n)
若规定在一定概率保证程度下允许误差为 ， x
则由 x
Z
2x
Z
651(件)
不重复抽样：
n
Z2 2 P(1 P)N
2 p
N
Z2
2 P (1
P)
32 0.93 0.07 5000 0.032 5000 32 0.93 0.07
576(件)
25
确定抽样单位数目应注意的问题
1. 以上四个计算公式只适用于简单随机抽样。 2. 在同样条件下，不重复抽样比重复抽样要求 的抽样单位数目少。 3. 同一总体往往同时需要计算抽样平均数和抽 样成数，由于它们的方差和允许误差要求不同， 因此，对于抽样单位数目多少的要求也不一样， 为了防止抽样单位数目的不足，而扩大抽样误 差，在实际工作中，往往根据抽样单位数目比 较大的一个数目进行抽样，以满足共同要求。
9
设待估计的总体参数为，L,U为样本 确定的两个统计量,对于给定的(0 1),
有：
P(L U ) 1 则称(L,U )为参数的置信度(1)的置信 区间.该区间的两个端点L,U分别称为置 信下限和置信上限,统称为置信限.为显 著性水平,(1)为置信度.
间 及 优 质 产 品 的 数 量 ？
15
总体方差的区间估计
大样本情况下,样本标准差S的分布近似于正 态分布:
其均值为总体标准差，其标准差为 ，
2n
所以标准标准差置信度1的置信区间为:
（SZ2
S 2n，SZ2
S） 2n
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抽样数目的确定 (大样本)
必要的抽样数目:指为了使抽样误差不超过 给定的允许范围至少应抽取的样本单位数 目。 一般根据抽样极限误差与抽样数目关系来 确定必要的抽样数目。
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采用重复抽样,则抽样极限误差为
x Z 2x Z 2( n)
若规定在一定概率保证程度下允许误差为 ， x
则由 x
Z
2x
Z
651(件)
不重复抽样：
n
Z2 2 P(1 P)N
2 p
N
Z2
2 P (1
P)
32 0.93 0.07 5000 0.032 5000 32 0.93 0.07
576(件)
25
确定抽样单位数目应注意的问题
1. 以上四个计算公式只适用于简单随机抽样。 2. 在同样条件下，不重复抽样比重复抽样要求 的抽样单位数目少。 3. 同一总体往往同时需要计算抽样平均数和抽 样成数，由于它们的方差和允许误差要求不同， 因此，对于抽样单位数目多少的要求也不一样， 为了防止抽样单位数目的不足，而扩大抽样误 差，在实际工作中，往往根据抽样单位数目比 较大的一个数目进行抽样，以满足共同要求。
9
设待估计的总体参数为，L,U为样本 确定的两个统计量,对于给定的(0 1),
有：
P(L U ) 1 则称(L,U )为参数的置信度(1)的置信 区间.该区间的两个端点L,U分别称为置 信下限和置信上限,统称为置信限.为显 著性水平,(1)为置信度.
统计学中的抽样分布与区间估计
统计学中的抽样分布与区间估计是一种重要的方法和理论，可供研究者利用有限样本数据对总体参数进行推断与估计。
抽样分布是指多次从总体中抽取样本得到的统计量的分布，它与总体的分布有关，并且可以用来计算参数的抽样分布，从而提供参数的区间估计。
首先，抽样分布是统计学研究中的基本概念。
在进行统计推断时，我们无法对整个总体做出观测和测量，只能通过对样本数据的分析和统计推断来了解总体的特征和属性。
因此，抽样分布的理论基础是从总体中随机抽取的样本可以代表总体。
其次，抽样分布的性质主要包括：无偏性、一致性和有效性。
无偏性是指样本统计量的数学期望等于总体参数的真实值，即抽样分布的期望与总体参数一致；一致性是指随着样本容量的增加，抽样分布会趋于聚集在总体参数附近；有效性是指样本统计量的方差最小，即抽样分布的方差相对较小。
区间估计是利用抽样分布来进行参数估计的一种方法。
在统计推断中，我们往往无法通过一个点估计量来完全确定参数的值，因此需要通过区间估计来给出一个范围，以包含参数的真实值。
区间估计的过程包括：选择合适的抽样分布、计算样本统计量的抽样分布、确定置信水平和临界值、计算置信区间。
置信水平是区间估计中一个重要的指标，它表示在多次抽样中，根据抽样分布的性质，可以包含参数真实值的概率。
一般常用的置信水平为95%，意味着在100次实验中，有95次或更多的结果将包含参数真实值。
根据抽样分布的性质和置信水平，可以确定相应的临界值，并利用样本统计量的抽样分布计算置信区间。
区间估计的应用非常广泛。
例如，在医学研究中，可以利用抽样分布和区间估计来估计新药的治疗效果；在市场调研中，可以利用抽样分布和区间估计来评估产品的市场份额与消费者偏好；在金融投资中，可以利用抽样分布和区间估计来预测股票收益与风险。
总之，统计学中的抽样分布与区间估计是一种基础的方法和理论，可用于对总体参数进行推断与估计。
抽样分布的性质决定了区间估计的精确性和可信度。
通过合适地选择抽样分布和确定置信水平，可以利用区间估计进行统计推断和决策，为研究者提供有限样本数据的有力支持和指导，进而推动学科的发展与进步。
抽样方法与样本量估计ppt课件
x
Nn
n
率的标准 ） :误 Sp(（ 1N n)有 p(n 1 1 p 限 ) 总 无 限 体 总 体 p(1n p)
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31
4 . 1
例1 欲调查某农村小学学生的蛔虫感染率，该校有学生2000人，若取样本例数 100人，试作单纯随机抽样设计。
解：先将全校学生编号：0，1，2，3，…，1999；再用附表17随机数字表，任意 指定某行某列，比如第5行第9列，由此处开始，向右依次抄录随机数字100组，每 组4个数字，凡后面出现与前面相同的数字弃去，如得0873，3732，0405，6930， 1609，0588，…。凡首字≥8者减8，≥6者减6，≥4减4，≥2减2，依次得873，1732， 405，930，1609，588，…。
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5
抽样调查的特点
特点1：抽取的样本作为一个“代表团”来代表总体。而不是随意 挑选的个别单位代表总体。
特点2：调查样本一般按随机的原则抽取，在总体中每个单位被抽 取的机会相等。因此被抽中的单位在总体中是均匀分布的，不致出 现倾向性误差，代表性强。
特点3：所抽取的调查样本数量是根据误差的要求并经过科学的计 算确定，在调查样本的数量上有可靠保证。
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18
滚雪球抽样
通常是先选出一组最初的调查对象，通常是随机选出的， 在访谈之后，要求这些被访者推荐一些属于目标总体的其他 人，根据这些推选出后面的被访者。与随机的方式相比，被 推举的人将具备与推荐人更为翔实的人口及心理特征。 优点是：主要目的是估计总体中非常稀少的某些特征。 缺点是：这种方式非常耗时。
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10
对抽样误差认识与使用的误区
一些研究者甚至部分官员不愿意或不习惯接受数据的误差 范围，一谈到误差，惟恐别人说数据不准，将数据误差绝对。 由于对数据误差的认识存在着误区，在如何使用数据上也存在 着误区。抽样调查的数据拿来就用，不谈抽样误差和调查误差， 认为调查数据就是总体的真值。在进行工作政绩考核或进行地 区间的数据对比时，调查指标数据的高低变成了地区之间排队、 政绩评比的依据，忽视了对数据误差的评估。现有的调查数据 不仅没有正确地使用，反而还带来地区之间数据高低的相互攀 比，同时也影响了以后抽样调查的数据质量。
抽样分布t分布中心极限定理点估计矩估计最大似然法
抽样分布t分布中⼼极限定理点估计矩估计最⼤似然法⽣物统计与实验设计-统计学基础-2&区间估计-1正态分布参数:均值和⽅差其中，选择1d是因为好算；通常，95%区分⼤概率事件和⼩概率事件，当总体是正态分布时，可以利⽤常⽤抽样分布估计出样本参数：抽样分布是样本估计量是样本的⼀个函数，在统计学中称作统计量（这就是说，统计量由样本值计算得到），因此抽样分布也是指统计量的分布。
以下是当总体满⾜正态分布时，样本均值也满⾜正态分布（抽样分布是样本均值的分布，此处是正态分布）样本均值的均值与⽅差和总体参数之间的关系：如上式，若得到⼀次实验的样本，样本容量就是n，计算所有样本会得到⼀次实验的样本均值，多次实验会得到多次实验的样本均值，假如有600次实验则会得到600个样本均值，再对这600个样本均值进⾏计算，计算出样本均值的均值和⽅差，这个样本均值的均值和⽅差与总体参数满⾜上式，根据上式关系即可估算出总体均值和总体⽅差。
当总体不是正态分布，可利⽤中⼼极限定理估计出总体参数：中⼼极限定理：n⾜够⼤则认为样本呈正态分布，因此其样本均数也呈正态分布。
如今，为了精确计算样本均数，存在三种常见的抽样分布（抽样分布是指统计量的分布，以上例为例，就是样本均值的分布），这⾥的计算是为了得到右边的参数部分。
最为常⽤的是t分布，它的特点是对于样本含量没有要求：化简之后是下式：t分布的期望和⽅差如下：由以上期望和⽅差可知，t分布只与⾃由度有关系，与其他⽆关。
使⽤t分布作为抽样分布⽽不使⽤正态分布的理由是：对于⼤样本，当n⾜够⼤时，t分布和标准正态分布的曲线⼏乎重合；对于⼩样本，此时⾃由度为n-1，并不等同于正态分布（其实若样本容量⽐较⼩⽐如25，样本均值分布很⼤可能不是正态分布），⽽t分布在此时因为⾃由度的控制，使得曲线并⾮正态分布，⽐较符合客观事实，所以可以控制系统误差，⽐标准正态分布更准确。
若不使⽤t分布，则可以先使⽤特定数（⽐如30为界限，此处具体值依据具体问题）判断是⼤样本或是⼩样本，再选择分布：当总体分布为正态分布，则样本指标的分布也采⽤正态分布，即⽤Z分布来进⾏统计推断。
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抽样误差(Sampling error)
1、总误差、抽样误差、非抽样误差
关系：总误差=抽样误差+非抽样误差
2、抽样误差是指在遵循随机的原则下，样本 统计量和总体参数之间差别。是由随机因 素、偶然因素等引起的。 测量指标：抽样平均误差 抽样极限误差
例：某银行审计员想了解某类用户的平均存款余额，对其中 10个可能账户作为样本，观测账户余额分别如下(元):
5 7 1 s 1 8 1 元 x n 1 0
s
因此该类账户平均余额可能为4109元，抽样平均误 差为181元
抽样平均误差*
概念：样本统计量对总体参数的标准差。
a r( ) 计算公式： S ˆ V
作用：用来衡量总体参数估计的精确度。
样本均值的抽样平均误差计算公式 放回
x
S
S [
p n 1n 2 ( x x ) 2
2 ( x x ) 1 2
总体标准差
n 1
n 1
]
NEXT
（三）抽样误差
登记性误差
非抽样误差
调 查 误 差
非随机因素引起的系统性偏差 抽样误差：由于随机性带来的偶然的代表性误差 不能避免，但是可以计算和控制。主要有抽样相对 误差和抽样绝对误差。
2002年4月15日，中国正式加入国际货币基金组织数据公布通用系 统（GDDS），这标志着中国统计系统的发展迈出了重要的一步。这 些国家必须在基金组织公布标准公告栏网页 /gddsindex.htm）上向公众发布其当前的统 计结果、进一步改进的计划和技援的需求。目前，有42个国家参加 了GDDS 。
3342 4156
1 0
3216 4045
5281 4362
4365 3982
4074 4267
由此估计该类账户的平均余额，并计算其抽样平均误差。
3 3 4 2 4 2 6 7 x xn 4 1 0 9 i/ 1 0 i 1
1 0 1 2 2 s ( x x ) 3 2 6 3 8 7 i 1 01 i 1
总体参数— 描述总体数量特征的指标。总体是惟一的，所 以参数也是惟一的； 样本统计量— 描述样本数量特征的指标，由样本计算而得。 由于样本是随机的，所以样本统计量是随机变量。
总体参数 总体平均数
样本统计量
样本统计量公式
x xn
2
样本平均数
总体成数 P
总体方差
样本成数
样本方差 样本标准差
154 .37 万人
？
x城
i 1
Xi
xu
i 1
X
1254.95万人
154.37 万人
R城镇=49000户
x 3 1 8 3 8 元 城
R农村=2100户
x 1 3 7 4 6 元 u
代表性有多大？误差多大？
抽样得到单位面积产量 推 算 上海粮食的种植面积 2010年 上海 粮食 产量为118.40万吨
代表性有多大？误差多大？
抽样估计的现实应用
例1 一汽车轮胎制造商生产一种被认为寿命更 长的新型轮胎。
120个 样本
测试
平均里程： 36,500公里
推断
新轮胎 平均寿命: 36,500公里
例2：某党派想支持某一候选人参选美国某州议员，为了决定 是否支持该候选人，该党派领导需要估计支持该候选人的民众 占全部登记投票人总数的比例。由于时间及财力的限制： 400个 样本 支持人数： 160 推断
2
2 为 ( n ) 分布的上分位点。 则称 ( n)
2
2 ( n)
4.性质：
a.分布可加性 若X ~ 2(n1)，Y~ 2(n2 )， X ， Y独立，则 X + Y ~ 2(n1+n2 ) b.期望与方差 若X~ 2(n)，则 E(X)= n，D(X)=2n
一、简单随机抽样和抽样误差 二、统计量和抽样分布 三、参数估计的主要内容
统计推断的起点
样本和总体 • 1.总体(populations)：又称全及总体、母体，指所 要研究对象的全体，由许多客观存在的具有某种 共同性质的单位构成。总体单位数用 N 表示。 • 2.样本(samples)：又称子样，来自总体，是从总 体中按随机原则抽选出来的部分，由抽选的单位 构成。样本单位数用 n 表示。 • 3.总体是唯一的、确定的，而样本是不确定的、 可变的、随机的*。
抽样分布和点估计
统计方法
描述统计
推断统计
概率理论
抽样理论
参数估计
假设检验
统计推断的过程
总体
样本统计量 样 本 例如：样本均 值、比例、方 差
抽样分布：依据总体的信息来确定样本的分布
2010年 上海 城镇家庭人均
可支配收入31838元 N城镇=1254.95万人
1254.95万人
农村家庭人均
可支配收入13746元 N农村=154.37万人
支持该候选人的选民 占全部选民的比例： 160/400=40%
第五章 参数估计
第一节 统计推断的基本问题和概念 第二节 总体参数的点估计* 第三节 正态总体均值的区间估计* 第四节 一般总体均值的大样本区间估计 第五节 正态总体方差的区间估计 第六节 样本容量的确定*
第一节 统计推断的基本问题和概念
2.2—分布的密度函数f(y)曲线
n/2 1 y e , y 0 f( y ) 2 (n /2 ) , y 0 0
y n 1 2 2
3. 分位点 设X ~ 2(n)，若对于：0<<1，
存在
) 0 满足 (n
2
P { X ( n )} ,
2 x2 n
E (x )
不放回
2 x
ห้องสมุดไป่ตู้
2 Nn
n N 1
统计中常用的三种分布
统计量的分布称为抽样分布。数理统 计中常用到如下三个分布： 2—分布、 t —分布和F—分布。
一、 2—分布
2 2 2 1 . 构设 造 X , , X ~ N ( 0 , 1 ), 则 X ~ ( n ). 1 n i iid 2 称为 n 自 的 分 由 . 布 度为 i 1 n
n
不放回
N n x N 1 n
如何理解样本均值的抽样分布*
1、样本均值分布和总体分布之间的关系 大样本(N>30) 小样本(N<30)
正态总体 非正态总体
正态分布 正态分布 （中心极限定理）
正态分布 非正态分布
2、样本均值的均值等于总体均值 3.样本均值方差： 放回