2016届数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 13-1合情推理与演绎推理

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2016届高考数学文一轮复习课件12.1合情推理与演绎推理

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一
定正确.( 情推理.(
×
) )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合
√
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类
题号
1
2
答案
C 1:8
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝ nn＋1 · 2 T8 T12 T4 T8
解析
3
(－1)
n＋1
4
观察等式左边的式子，每次增加一项，故第 n 个等式左边有 n 项，指数都是 2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为 1,3,6,10,15,21，….
m c 到bm＋n＝________.
跟踪训练 2
在平面上，设 ha，hb，hc 是三角形 ABC 三条
边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别 Pa Pb Pc 为 Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：h ＋ h ＋ h ＝1.把它类 a b c 比到空间，则三棱锥中的类似结论为 ______________________.
②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理.
(2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). ②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理.
(3)合情推理比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我

2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第11章第3节合情推理与演绎推理

4．观察下列不等式： 1 3 1＋22<2， 1 1 5 1＋22＋32<3， 1 1 1 7 1＋22＋32＋42<4， „„ 照此规律，第五个不等式为________．．．．
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第十一章
2016年新课标高考· 大一轮复习讲义
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第十一章
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整合·主干知识聚焦·热点题型提升·学科素养提能·课时冲关
特点
一般步骤
共性
部分到______ 由______ 整体、个别到______ 一般的推理由______ (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)
整合·主干知识聚焦·热点题型提升·学科素养提能·课时冲关
A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错 C．推理形式错误导致结论错
D．大前提和小前提错误导致结论错
解析：图为对于函数y＝ax，当a>1时为增函数．当0<a<1时，为减函数，所以大前提错误．故选A. 答案：A
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2.演绎推理一般性的原理出发，推出_______________ 某个特殊情况下 (1)定义：从_____________ 的结论，我们把这种推理称为演绎推理；一般到特殊的推理； (2)特点：演绎推理是由____________ (3)模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
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高考一轮复习新课标数学(理)配套教材：13.1 合情推理与演绎推理

第十三章推理与证明§13.1合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．在高考中，合情推理的考查一般以客观题的形式出现，以中档题为主，有时会出现背景新颖的创新型题；演绎推理这部分内容在高考中虽然很少单独考查，但融合在试题中考查该部分内容的可能性较大，既可能以选择题、填空题的形式进行考查，又可能在解答题型中以证明题的形式进行考查．1．推理一般包括合情推理和演绎推理两类．2．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.【自查自纠】2．(1)部分个别(2)特殊特殊(3)归纳类比3．(1)一般特殊(2)三段论关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是由一般到一般的推理 B ．归纳推理是由一般到特殊的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论不一定正确解：归纳推理是由特殊到一般的推理，但结论未必正确．故选D. 下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的性质；②由等差数列的性质类比出等比数列的性质； ③由三角形的面积公式类比出三棱锥的体积公式；④由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和为180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°.A ．仅①②是B ．仅①②③是C ．仅①②④是D ．①②③④都是解：①②③是类比推理，④是归纳推理．它们都属于合情推理．故选D .“任何实数的平方大于0(大前提)，而a 是实数(小前提)，所以a 2>0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的解：当a ≠0时，a 2>0；当a ＝0时，a 2＝0.所以这个推理的大前提错误．故选A.(2012·陕西)观察下列不等式：1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________________．解：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2，右边＝2（n ＋1）－1n ＋1＝2n －1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.故填1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.(2013·陕西)观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， ……照此规律，第n 个等式可为_________________．解：观察到等式左边依次是(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )，等式右边是2n 与n 个奇数的乘积，(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．故填(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．类型一归纳推理在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n(n ∈N ＋)，试猜想这个数列的通项公式．解：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝2a 12＋a 1＝23；当n ＝3时，a 3＝2a 22＋a 2＝432＋23＝12＝24；当n ＝4时，a 4＝2a 32＋a 3＝12＋12＝25，由此猜想，这个数列的通项公式为a n ＝2n ＋1.【评析】数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的对应关系，先根据已知的递推公式，算出数列的前几项，再通过观察，归纳得到关于数列通项公式的一个猜想，这种猜想是否正确还有待严格的证明．(2014届安徽)已知x >0，由不等式x ＋1x ≥2x ·1x＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥44x 3·x 3·x 3·27x 3＝4，……在x >0条件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式_____________________．解：当x ＞0时，分析所给等式的变形过程可得x ＋n n x n ＝n nn x n n xn xn x ++⋯++个＝n ＋1.故填x ＋nnxn ≥n ＋1.类型二类比推理在△ABC 中，若AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，则1AD 2＝1AB 2＋1AC2.在四面体A -BCD中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H ，则类似的结论是什么？并说明理由．解：如图，在四面体A -BCD 中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H ，则1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.证明如下：连接BH 并延长交CD 于E ，连接AE . ∵AB ，AC ，AD 两两垂直，∴AB ⊥平面ACD . 又∵AE ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AE .在Rt △ABE 中，有1AH 2＝1AB 2＋1AE2.①又易证CD ⊥AE ，∴在Rt △ACD 中，1AE 2＝1AC 2＋1AD2.②将②式代入①式得1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.【评析】本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下：平面点线圆三角形角面积周长 … 空间线面球三棱锥二面角体积表面积 …在等比数列{a n }中，若r ，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式a r －s t ·a s －t r ·a t －rs ＝1成立．类比上述性质，相应地，在等差数列{b n }中，若r ，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式______________成立．解：等差与等比的类比关系一般为等差加减乘除等比乘除乘方开方所以等式左边为(r －s )b t ＋(s －t )b r ＋(t －r )b s ＝(r －s )b t ＋(s －t )[b t ＋(r －t )d ]＋(t －r )[b t ＋(s －t )d ]＝(r －s ＋s －t ＋t －r )b t ＋[(s －t )(r －t )＋(t －r )(s －t )]d ＝0.(注意：若a ，b ，c 成等差数列，则b ＋b ＝a ＋c ；若a ，b ，c 成等比数列，则b ·b ＝a ·c )．故填(r －s )b t ＋(s －t )b r ＋(t －r )b s ＝0.类型三演绎推理直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线(大前提)，已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α(小前提)，则直线b ∥直线a (结论)”，上面推理错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解：大前提是错误的，某直线平行于平面，平面内还是存在直线与已知直线异面．故选A.【评析】演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”．上面推理错误的原因是( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误解：当a＞1时，y＝a x为增函数；当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，所以大前提错误．故选A.1．归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．2．归纳推理的一般过程：(1)通过观察个别情况发现相同的性质；(2)推出一个明确表述的一般性结论．3．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比法猜想，然后再加以证明的．4．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．。

一轮复习(理)141合情推理与演绎推理课件(40张)_1

B．小前提错误
C．推理形式错误
D．结论正确
解析：对于可导函数 f(x)，如果 f′(x0)＝0，那么 x＝x0 不一定是函数 f(x)的极值点，大前提错误，故选 A.
答案：A
高频考点 4 推理案例分析【例 4.1】 (2017 年高考·课标全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
骤
推出________________
的命题(猜想)
3.演绎推理 (1)模式：三段论 ①大前提——已知的________； ②小前提——所研究的________； ③结论——根据一般原理，对________做出的判断． (2)特点：演绎推理是由________到________的推理．
答案 1．(1)已知的判断思维过程 (2)合情推理演绎推理 2．(1)归纳、类比猜想 (2)归纳推理类比推理 (3)部分对象全部对象某些类似部分整体个别一般特殊特殊部分对象某些相同性质相同性质一个明确表述的一般性命题(猜想) 相似性或一致性性质另一类事物的性质 3．(1)①一般原理 ②特殊情况 ③特殊情况 (2)一般特殊
[强化训练 3.1] (2019 年保定模拟)有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数
f(x)，如果 f′(x0)＝0，那么 x＝x0 是函数 f(x)的极值点．因为 f(x)＝x3 在 x＝0 处的导数值 f′(0) ＝0，所以 x＝0 是函数 f(x)＝x3 的极值点．以上推理中( )

高考数学(理)新创一轮(实用课件)人教A版：第十二章第1节合情推理与演绎推理

……
故第 10 个图中，小石子有
(1)第 1 个图中，小石子有 1 个，第 2 个图中，小石子有 3＝1＋2 个，
10× 11 1＋2＋3＋…＋10＝＝55 个， 2 第 3 个图中，小石子有 6＝1＋2＋3 个，即 a10＝55. 第 4 个图中，小石子有 10＝1＋2＋3
＋4 个，
考点一归纳推理
[例 1] (2)(2018·济宁模拟)已知 ai>0(i＝1，2，3，…，n)，观察下列不等式： a1＋a2 ≥ a1a2； 2 a1＋a2＋a3 3 ≥ a1a2a3； 3 a1＋a2＋a3＋a4 4 ≥ a1a2a3a4； 4 a1＋a2＋…＋an …… 照此规律，当 n∈N ，n≥2 时， ≥ ________ ． n a1＋a2＋…an n * 解析 (2)根据题意有 ≥ a 1a2…an(n∈ N ， n≥2)． n n 6 7 12 答案 (1)2 ＋2 ＋…＋2 (2) a1a2…an
*
考点一归纳推理
归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可． (4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
考点一归纳推理
[例 1] (1)(2018· 佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如 6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14； 496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，…，此外，它们都可以表示为 2 的一些连续正整数次幂之和，如 6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128 可表示为__________．

2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件第43讲合情推理与演绎推理

【解析】2 位回文数有 9 个，3 位回文数有 9×10 ＝90 个，4 位回文数有 90 个，5 位回文数有 9×10×10 ＝100×9 个，依次类推可得 2n＋1 位回文数有 9×10n 个．
(2)观察下列各式： a＋b＝1， a2＋b2＝3， a3＋b3＝4， a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，„，则 a10＋b10＝( C ) A．28 B．76 C．123 D．199 【解析】记 an＋bn＝f(n)，则 f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7； f(5)＝f(3)＋f(4)＝11. 通过观察不难发现 f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*， n≥3)，则 f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29； f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76； f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以 a10＋b10量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a· b＝b· a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)· c＝a· c＋ b· c”； ③“(m· n)t＝m(n· t)”类比得到“a(b· c)＝a(b· c)”； ④“ t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a· p ＝x· p⇒a＝x”； ⑤“|m· n|＝|m|· |n|”类比得到“|a· b|＝|a|· |b|”； a·c a ac a ⑥“bc＝b”类比得到“ b· ． c ＝ b” 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由向量的知识可得只有①②正确．
4．考察下列一组不等式： 3 3 2 2 2 ＋5 >2 ×5＋2×5 ， 4 4 3 3 2 ＋ 5 >2 × 5 ＋ 2 × 5 ， 5 5 2 1 1 22＋52>2 ×52＋22×52， „ 将上述不等式在左、右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不 am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a>0，b>0，a≠b，等式为__________________________________________ m>0，n>0) _______________ ．

【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学人教A版(理)第十二篇第1讲合情推理与演绎推理

f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝ f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76； f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123. 答案 C
3．(2013· 临沂二模)对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，根据
考向一
【例1】►观察下列等式：
1＝1 ， 1＋2 ＝3， 1＋2 ＋3＝6， 1＋2 ＋3＋4＝10， 1＋2 ＋3＋4＋5＝15，
归纳推理
13＝1 ， 13＋2 3＝9， 13＋2 3＋33＝36， 3 3 3 3 1 ＋2 ＋3 ＋4 ＝100， 3 3 3 3 3 1 ＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＝225.
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关
系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
3 1 1 3 【训练 1】 (2012· 青岛模拟)观察下列等式： × ＝ 1－ 2， 1× 2 2 2 1× 2 1 4 1 1 3 1 4 1 5 1 × ＋ × ＝ 1－， × ＋ × ＋ × ＝1－ 2 2× 3 22 3× 22 1× 2 2 2× 3 22 3× 4 23 1 ， …，由以上等式推测到一个一般结论为 ________． 4× 23
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象
的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到_____ 特殊的推理．

高考数学人教版理科一轮复习课件：合情推理与演绎推理

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第六章·第五节
第27页
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(1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8－S4，S12－S8 成等差
T8 数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn，则 T4，T4 ，
TT182成等比数列．
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第六章·第五节
第26页
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类比推理的应用类型类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法． (1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解． (2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键． (3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
A．2 017×22 013 B．2 017×22 014 C．2 017×22 015 D．2 016×22 016
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第17页
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(2)(2019·湖南五市十校联考)图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第 1 代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第 2 代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 n 代“勾股树”所有正方形的面积的和
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高考理科数学一轮复习课件合情推理与演绎推理

03
演绎推理基础
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
演绎推理的定义与特点
定义
演绎推理是从一般性的原理、原则出发，通过逻辑推理得出结论的推理方法。
前提与结论之间有必然联系
只要前提真实，推理过程正确，结论就必然真实。
推理过程严密
演绎推理要求每一步推理都必须有充分的依据，不能出现逻辑上的漏洞。
合情推理在数学中的应用
发现新的数学规律和性质
通过合情推理，数学家们能够发现新的数学规律和性质，推动数学的发展。
解决数学问题
在解决数学问题时，合情推理能够帮助我们找到问题的突破口，提出合理的假设和猜想，进而找到问题的解决方法。
培养创新思维
合情推理能够激发我们的创新思维，让我们在探索数学世界的过程中不断发现新的思路和方法。
函数与导数中的推理问题
结合具体函数和导数题目，分析推理过程，包括函数的单调性、极值、最值等问题的推理方法。
学生常见错误及纠正方法
01
忽视条件或条件使用不当
学生在推理过程中容易忽视某些条件或错误使用条件，导致推理结果不准确。纠正方法包括仔细阅读题目、明确条件、逐步推导等。
02
推理逻辑不严密
学生在推理过程中逻辑不严密，容易出现漏洞或错误。纠正方法包括加强逻辑思维训练、学习正确的推理方法等。
03
缺乏创新意识
学生在解题过程中过于依赖常规方法，缺乏创新意识。纠正方法包括鼓励学生尝试多种方法、培养发散性思维等。
思维拓展与创新意识培养
一题多解
通过展示同一题目的多种解法，引导学生拓展思维，培养创新意识。
考察方式与解题技巧

【状元360】高考数学一轮复习 13.1 合情推理与演绎推理课件理

n＋1 可得 f(n)＝f(n－1)＋，所以 3 n＋1 n＋1 n n＋1 n f(n) ＝ f(n － 1) ＋＝ f(n － 2)＋＋＝ …＝＋＋ 3 3 3 3 3 n－1 3 n＋1 n n－1 3 2 1 1 ＋＋f(1)＝＋＋＋＋＋＝ (n＋1)(n＋2) 3 3 3 3 3 3 3 3 6
考点二归纳推理示范2 将正△ABC 分割成 n2(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图 1，图 2 分别给出了 n＝2,3 的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别依次成等差数列，若顶点 A，B，C 处的三个数互不相同且和为 1，记所有顶点上的数之和为 f(n) ，则有 f(2) ＝ 2 ， f(3) ＝ ____________ ，…， f(n) ＝ __________________.
10 1 答案 (n－1)(n＋2) 3 6
【点评】关键找出 f(n)与 f(n－1)的关系．
展示2 将正三角形的每一边三等分，以每一条边上居中的一线段为边向外作正三角形得到六个正三角形，重复上述作法，一直继续下去．设原正三角形的周长为 a0，依次所得的周长所成的数列记为{an}，判断数列{an}是何种数列？并求通项公式 an.

T8 T12 【答案】 T4 T8
【解析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的 T8 T12 T16 前 n 项积为 Tn，则 T4，，，成等比数列． T4 T8 T12
方法点拨：平面几何问题类比立体几何问题，通常是平面几何的点、线、面类比立体几何的线、面、体，等差类比等比，通常是等差的和差类比等比的积商.

2016届数学一轮人教A版配套精品课件 13-1合情推理与演绎推理

【训练1】 (2015·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … ___．
基础诊断
考点突第十破三页，编辑于星期五课：堂十八总点结四十六分。
答案 A
基础诊断
考点突第二破十四页，编辑于星期课五堂：十总八点结四十六分。
[思想方法]
1．合情推理的过程概括为
从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→
归纳、类比 ―→ 提出猜想
2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．
基础诊断
考点突第九破页，编辑于星期五：课十堂八点总四结十六分。
考点一归纳推理
【例1】 (2014·海口调研)如图是按一定规律排列的三角形等式表，现将等式从左至右，从上到下依次编上序号，即第一个等式为20＋21＝3，第二个等式为20＋22＝5，第三个等式为21＋22＝6，第四个等式为20＋23＝9，第五个等式为21＋ 23＝10，……，依此类推，则第99个等式为( ) 20＋21＝3 20＋22＝5 21＋22＝6 20＋23＝9 21＋23＝10 22＋23＝12 20＋24＝17 21＋24＝18 22＋24＝20 23＋24＝24
解析 (1)法一从商类比开方，从和类比积，则算术平均数
可以类比几何平均数，故 dn 的表达式为 dn＝n c1·c2·…·cn.
基础诊断
考点突第十破六页，编辑于星期五课：堂十八总点结四十六分。
法二若 {an} 是等差数列，则 a1 ＋ a2 ＋ … ＋ an ＝ na1 ＋ n（n2－1）d，∴bn＝a1＋（n－2 1）d＝d2n＋a1－d2，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则 c1·c2·…·cn＝cn1·q1＋2＋…＋ (n－1)＝cn1·qn（n2－1），∴dn＝n c1·c2·…·cn＝c1·qn－2 1，即{dn}为等比数列，故选 D.

2016版高考数学大一轮复习课件：第11章-第2节合情推理与演绎推理

棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________．
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第八页，编辑于星期五：二十三点五十四分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
4．观察下列不等式：
基
础知识点
1＋212<32，
方法技巧
1＋212＋312<35，
1＋212＋312＋412<74，
课
核心
…，
时限
A．28
B．76
核
C．123
D．199
课时
心
限
考
时
向
【答案】 C
检测
菜单
第十页，编辑于星期五：二十三点五十四分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基
础知
6．(2013·陕西高考)观察下列等式：
识
点
(1＋1)＝2×1，
方法技巧
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
点
方法技巧
数项之间的关系．
2．归纳推理的一般步骤
(1)通过观察个别情况发现某些相同本质．
核
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命
课时
心
限
考向
题．
时检
测
菜单
第十三页，编辑于星期五：二十三点五十四分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
对点训练 (2013·陕西高考)观察下列等式：
课时
心
限
考向
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)．

2016届数学一轮人教A版配套精品课件 13-3数学归纳法及其应用

() ×
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用． ( )×
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝
k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．
() ×
基础诊断
考点突第破四页，编辑于星期五课：十堂八总点四结十六分。
2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n
基础诊断
考点突第破十五页，编辑于星期课五：堂十总八点结四十六分。
①当 n＝1 时，左式＝32，右式＝ 2，
左式>右式，所以结论成立．
Hale Waihona Puke ②假设 n＝k 时结论成立，即2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1> k＋1，
则当
n＝k＋1
时，
2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·2（2kk＋＋31）> k＋1·2（2kk＋＋31）＝22kk＋＋31，
基础诊断
考点突第破二页，编辑于星期五课：十堂八总点四结十六分。
2．数学归纳法的框图表示
基础诊断
考点突第破三页，编辑于星期五课：十堂八总点四结十六分。
诊断自测
1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论
成立．
( ×)
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．
基础诊断
考点突第破十七页，编辑于星期课五：堂十总八点结四十六分。
规律方法用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比
较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．

2016届高考数学文一轮复习(人教版)讲义12.1合情推理与演绎推理

§12.1合情推理与演绎推理1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．(×)(6)2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415， (6)ba＝6ba(a，b均为实数)，则可以推测a＝35，b＝6.(√)1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误答案 C解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．答案1∶8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8. 3．(2013·陕西)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为____________________________________．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论，设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．答案T 8T 4 T 12T 8解析对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.题型一归纳推理例1 设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．思维点拨先正确计算各式的值，再根据自变量之和与函数之和的特征进行归纳．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1， ∵f (x 1)＋f (x2)=====思维升华归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．(1)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为_______________________________________________． (2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有__________________________．答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 (1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．题型二类比推理例2 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.思维点拨等差数列{a n }和等比数列{b n }类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算．答案 n －m d nc m解析设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1，a m ＋n ＝nb －man －m，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.题型三演绎推理例3 已知函数f (x )＝－aa x ＋a (a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．思维点拨证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y ＝f (x )的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上．小前提是f (x )＝－a a x ＋a (a >0，且a ≠1)的图象关于点(12，－12)对称．(1)证明函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x ＋a＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称．(2)解由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1， f (0)＋f (1)＝－1.则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．证明设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． ∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数．高考中的合情推理问题典例：(1)(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.解析由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000. 答案 1 000(2)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案x 0x a 2－y 0yb 2＝1 (3)观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________________________．解析归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案1＋122＋132＋142＋152＋162<116温馨提醒(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误.应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题.方法与技巧1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．失误与防范1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.A组专项基础训练(时间：45分钟)1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32 C．33 D．27答案 B解析5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确答案 C解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误． 3．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确．5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n答案 D 解析若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1) ＝c n 1·q (1)2n n -，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q 12n -，即{d n }为等比数列，故选D.6．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．答案 14解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.7．在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的13”．拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________．答案 14解析设正三角形的边长为a ，高为h ，内切圆半径为r ，由等面积法知3ar ＝ah ，所以r ＝13h ；同理，由等体积法知4SR ＝HS ，所以R ＝14H . 8．(2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n 个等式可为____________________________．答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)解析由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×…×(2n －1)．9．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．解 (1)∵a 1＝5，d ＝2，∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)． (2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当2≤n ≤5，n ∈N 时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2.又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. B 组专项能力提升(时间：30分钟)11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．正方形是矩形D ．其他答案 A解析根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．12．设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a b ∈A ，则称A 对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集答案 C 解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S ∆∆＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为______________________．答案 111222O PQ R O P Q R V V --＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2解析考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为111222O PQ R O P Q R V V --＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2. 14．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列{S n n}是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故{S n n}是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心； (2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)．解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)． (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2， f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2， …f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2.所以f(12 013)＋f(22 013)＋f(32 013)＋f(42 013)＋…＋f(2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。